Roland Becker Université de Pau et des Pays de l'Adour, Pau Faker Ben Belgacem Université Technique de Compiègne, Compiègne Erik Burman University College London, Londres, Royaume-Uni et devant le jury composé de. Faker Ben Belgacem Université Technique de Compiègne, Compiègne Erik Burman University College Londres, Londres, Royaume-Uni Université AlexeiLozinski de Franche-Comté, Besançon.
Résumé de la thématique de la thèse d’université
Pour examiner la qualité de la prédiction numérique (critère 2), un modèle in vitro a été utilisé. Une mesure précise de la déformation de la ligne d'écoulement lors d'une interaction fluide-structure peut être obtenue à l'aide d'un appareil photo numérique.
Recherches post-doctorales
Pour écrire la méthode de Nitsche associée à (2.1), on peut partir de la transformation (2.1)(ii) donnée ci-dessous. Les contributions présentées ci-dessous concernent des extensions de la méthode de Nitsche aux problèmes d'interaction fluide-structure (Section 2.1), aux équations intégrales aux frontières.
Analyse numérique de la méthode de pénalité pour le contact unilatéral et le
Nous parvenons à montrer grâce à cette technique un résultat de convergence de forme presque optimal. Les conditions sur les paramètres Nitscheθandγ pour obtenir la stabilité de la méthode et cette propriété de convergence sont proches de celles requises dans le cadre FEM classique, sauf que la perturbation logarithmique entre également en jeu dans le choix du paramètre γ. Des cas de tests numériques nous ont permis de garantir la validité de notre analyse en pratique.
Ils ont également démontré ici les meilleures propriétés de convergence de la variante symétrique de la méthode de Nitsche (qui préserve par ailleurs la symétrie du problème initial). Par conséquent, la formule (2.11) ci-dessus est une extension des conditions de contact de la formule (2.3) qui sert de base à la méthode de pénalité pour un état de Dirichlet non homogène. L’équation (2.12) ci-dessus peut être discrétisée et résolue de manière très simple dans le cadre de la méthode des éléments finis.
Il est intéressant de noter que cette propriété reste vraie quelle que soit l’exactitude de la solution fédérée.
Méthode de Nitsche pour le contact unilatéral et le frottement
La seule différence est que nous n’avons pas pu mettre en évidence une variante qui serait équivalente à la méthode antisymétrique sans paramètre proposée par Burman dans le cadre des conditions de Dirichlet [54]. Un point très intéressant est que nous avons pu démontrer la convergence optimale de ces méthodes sans recourir à aucune hypothèse sur la topologie de la zone d'adhésion ou sur une régularité supplémentaire de la solution dans la zone de contact. A ce jour et à notre connaissance, un tel résultat n’a pas été établi pour d’autres méthodes.
Ils ont également souligné l'importance pratique des méthodes non symétriques θ = 0 et antisymétrique θ = −1, qui permettent de choisir le paramètre de Nitsche γ0 dans un intervalle plus large que celui de la méthode symétrique θ = 1. Ainsi l'algorithme généralisé de Newton converge mieux pour ces valeurs de θ, et la convergence optimale dans la norme H1 se vérifie également en pratique, même pour γ0 relativement grand. De par sa simplicité, la méthode non symétrique θ = 0 ouvre également des perspectives d’extensions du cadre de l’élasticité finie (non linéaire).
Méthode stabilisée par projections L 2 locales pour les domaines fictifs
Application à l’interaction fluide-structure
Dans un premier travail avec Miguel Fernández (INRIA CRI Paris-Rocquencourt), nous avons tenté d'adapter cette méthode "Parareal" à des problèmes d'interaction fluide-structure. Il fournit en fait de fortes instabilités numériques pour les problèmes hyperboliques du second ordre, tels que les problèmes d'élastodyne. Nous avons introduit une extension de cette idée aux problèmes simplifiés d'interaction fluide-structure, qui permet de lever l'hypothèse de linéarité sur la partie fluide, et qui fournit de meilleures propriétés de stabilité que la méthode standard.
Application au couplage éléments finis – lattice Boltzmann
Méthode d’éléments finis pour les équations RNS/P
Une méthode alternative proposée par l'équipe de Farhat [66] puis reformulée et analysée par Gander et Petcu [72, 73] consiste à construire un espace de type Krylov à partir de prédictions fines, puis à projeter sur cet espace la prévision approximative lors de la phase de correction. Avec Gabriel Barrenechea (Université de Concepción, Chili) nous avons développé une méthode d'éléments finis pour résoudre ces équations, plus robuste et plus flexible que les méthodes existantes basées sur les différences finies. Une analyse partielle de la méthode a été réalisée et nous avons pu démontrer une condition inf-sup discrète entre l'espace de pression et celui de vitesse.
Des tests numériques utilisant le logiciel FreeFEM++ ont conforté ces résultats, montrant l'intérêt et les limites du modèle et de la méthode pour différentes géométries de canalisations, ainsi que l'influence du terme de stabilisation. Ensuite, avec Pierre-Yves Lagrée (Institut d'Alembert, Paris), nous avons travaillé sur la validation de cette méthode d'éléments finis dans le cadre théorique double couche/triple couche. Dans ce cadre pertinent du point de vue de la mécanique des fluides, la méthode proposée peut être comparée avec succès à des solutions analytiques et/ou calculée à l'aide d'autres méthodes (différences finies).
Un point intéressant est que la nouvelle méthode des éléments finis permet de faire des prédictions dans des situations où une solution analytique n'est plus disponible et où les autres méthodes numériques échouent : par exemple dans des canalisations où un obstacle sur la paroi donne une hauteur relative considérable.
Interaction fluide-structure pour les plis vocaux
Cette différence est à l'origine de sérieuses difficultés mathématiques et numériques, et à notre connaissance il n'existe aucun résultat d'existence et d'unicité de solutions pour ces équations. Notre approche repose sur une discrétisation d'ordre inférieur (pression constante par morceaux) combinée à un terme stabilisant optionnel de type grad-div. Solenne Piart (ISIFC) y a contribué, lors de son stage de 3ème année à l'école d'ingénieur sous la direction de Fabrice Richard et moi.
Ce chapitre décrit ma participation à l'orientation des étudiants dans le cadre de mes recherches, ainsi que d'autres aspects, tels que l'implication dans des projets et diverses responsabilités liées à la recherche. Ce système est utilisé, entre autres, pour modéliser l’effet d’un médicament lorsqu’il est administré sur une tumeur cancéreuse. Durant sa première année, Michel Duprez s'est consacré à une étude approfondie des propriétés mathématiques du problème de contrôle optimal que nous lui avons présenté, et a déjà obtenu des premiers résultats très encourageants.
Les résultats préliminaires que nous avons obtenus ont été présentés lors de la conférence IVCPB en 2012 (voir §3.3).
Implication dans des projets de recherche avec financements
Le projet ECOS-Sud/CONICYT (Projet de coopération et d'échange France-Chili), pour la période 2012-2014, financé par le comité ECOS-Sud : "FLUISP : Interaction fluide-structure dans la parole et ses pathologies". Visiting Professorship » financé par l'Université de Franche-Comté pour inviter Gabriel Barrenechea (University of Strathclyde, Glasgow, Royaume-Uni) pour un séjour d'un mois en avril 2013. Le projet PEPII (Project Interdgraduate Multidgraduate Research Institutes) de 2012 à 2012, financé par le CNRS : "SIM2E : Simulation et identification de modèles en écologie : relation proie-prédateur et transmission d'Echinococcus multilocularis".
Projet associant le Laboratoire de Mathématiques de Besançon (autre membre : Ulrich Razafison) et le laboratoire Chrono-Environnement de Besançon (membres impliqués : Patrick Giraudoux, Antoine Perasso, Francis Raoul). BQR de 2011 à 2012, financé par l'Université de Franche-Comté : « Méthodes parallèles en temps pour les équations de Saint-Venant », avec Mihaï Bostan et Ulrich Razafison.
Responsabilités administratives
Au Laboratoire de Mathématiques de Besançon
Laboratoire TIMC, équipe GMCAO
Rôle d’expertise scientifique
- Revues internationales avec comité de lecture
- Note aux Comptes-Rendus
- Chapitre de livre
- Comptes-rendus de colloques
Payan, Simulation of retroglossal fluid-structure interaction during obstructive sleep apnea, Lecture Notes in Computer Science p. Fernández, An augmented massless semi-implicit coupling scheme for fluid-structure interaction, in Proceedings of the Fourth Meeting on Numerical Analysis of Partial Differential Equations, Santiago Numerico I, 2009, p.
28], A semi-implicit coupling scheme without added mass for fluid-structure interactions arising in blood flows, in Proceedings of the International Conference “Fluid and Elasticity”, 2009, p. Fernández, Fast numerical methods for fluid-structure interaction problems arising in blood flows, in Proceedings of the Third Chilean Workshop on Numerical Analysis of Partial Differential Equations, WO-NAPDE, 2010. Heuer, A Nitsche-based domain decomposition for hypersingular integral equations, in Proceedings of the Fifth Meeting on Numerical Analysis of Partial Differential Equations, Santiago Numerico II, 2010, p.
Renard, A Nitsche-based method for contact and friction problems, in Proceedings of The 3rd International Conference on Computational Contact Mechanics, ICCCM, 2013, pp.
Communications
Conférences sur invitation personnelle
Richard, Finite element model of a vocal fold replica, i 8th International Conference on Voice Physiology and Biomechanics, ICVPB, 2012. Quarteroni, A parareal multiscale coupling of finite element and lattice Boltzmann methods, in Proceedings of The International Conference on Scientific Computation And Differential Equations, SciCADE, 2013, pp.
Communications à des colloques, avec sélection sur résumés
Arnold, An interior penalty finite element method with discontinuous elements, SIAM Journal on Numerical Analysis pp. Hughes, The finite element method with Lagrange multipliers on the boundary: bypassing the Babuška-Brezzi condition, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering pp. 44] ,Boundary Lagrange multipliers in finite element methods: error analysis in natural norms, Numerische Mathematik pp.
Elliott, Finite element approximation of the Dirichlet problem using the boundary penalty method, Numerische Mathematik p. element approximation of a class of one-sided problems in linear elasticity, Applied Mathematics Quarterly pp.
Kim, Internal Penalty Methods for Finite Element Approximations to the Signorini Problem in Elastostatics, Computers & Mathematics with Applications pp. Pitkäranta, Boundary subspaces for the finite element method with Lagrange multipliers, Numerische Mathematik pp. Stenberg, On some techniques for approximating bounded conditions in the finite element method, Journal of Computational and Applied Mathematics pp.