C'est presque dans ce contexte que je remercie Olivier Guès de m'avoir encouragé à généraliser certains résultats aux systèmes hyperboliques symétrisables. Nous donnons une représentation de l’opérateur solution comme un produit infini d’opérateurs intégraux de Fourier complexes.
Introduction
D'après la procédure écrite ci-dessus, l'opérateur WP,z(u0) donne une approximation de la solution du problème de Cauchy. La convergence dans les espaces de Sobolev de la représentation WP,z est étudiée dans la section 1.5.
Notations
Dans la section 1.6, nous étudions les aspects microlocaux de la représentation de WP,z, en particulier la propagation des singularités ainsi que la convergence du front d'onde WP,z(u0) vers la solution du problème de Cauchy. La convergence du front d’onde WP,z(u0) est cruciale pour des applications telles que l’imagerie sismique, comme nous le verrons au chapitre 2.
Le problème de Cauchy
Propriétés du propagateur couche mince
La nature de J(z′,z) et J(z′,z)R sera étudiée dans la section 1.6 pour comprendre la propagation des singularités. Pour prouver le résultat du théorème 1.4.3, nous devons introduire quelques définitions et montrer quelques résultats préliminaires.
Résultats de stabilité et de convergence dans les espaces de Sobolev
Il suffit alors d'utiliser la formule du premier ordre de Taylor et l'intégration par parties. Notons encore que le résultat de convergence est exact et non modulo l'opérateur de régularisation comme dans le cas de la construction paramétrique classique lorsque le symbole a(z,x, ξ) est suffisamment régulier en z.
Propagation des singularités, convergence du front d’onde
Propriétés géométriques de W P,z
En effet, à aucun moment nous ne cherchons à minimiser le nombre de variables de phase utilisées (ici les variables de phase sont ξ(k),x(k),. Le grand nombre de variables de phase dans φ(z,z(k ) ,. .,z(0)) donne une représentation globale de l’idéal canonique associé à WP,z.
Propagation des singularités, convergence du front d’onde
Ce type de schéma préserve la forme symbolique à chaque étape du processus d'intégration, préservant ainsi le volume de l'espace cotangent T∗(Rn)\0 le long de ce flux discret. Pour montrer la propagation effective du front d’onde de l’opérateur WP,z, nous utilisons l’ellipticité de G(z′,z) loin du support de. Celle à laquelle nous pensons est l'imagerie sismique (voir chapitre 2), dont le support unique est précisément celui que l'on cherche à analyser dans l'image du sous-sol obtenue.
Ce résultat est également important lorsque l'on considère le passage à la limite dans l'approximation proposée comme une réalisation de l'intégrale de chemin (de type Feynman) représentant la solution. Alors la propagation de la singularité correspond à la propagation de l'énergie le long de chemins stationnaires.
Le cas des systèmes
Systèmes symétriques
Contrairement à la formule du produit Trotter, nous n'utilisons pas le semigroupe obtenu en "gelant" l'influence du paramètre d'évolution sur le symbole (voir Remarque 1.1.1). Un résultat de convergence de la formule du produit de Trotter pour cet opérateur en présence d'un potentiel peut être trouvé dans [IT04]. La convergence est prouvée comme dans le cas scalaire en évaluant la consistance de la forme du théorème 1.5.2.
Un ingrédient essentiel de la preuve du théorème 1.5.2 est la formule pour la composition de OψD et OIF donnée par le théorème 2.2 dans [Kg81, section 10.2]. Nous le remplaçons par le résultat suivant qui diffère de la forme attendue par un terme restant qui n'a clairement aucune importance pour la suite de la preuve de la convergence de l'opérateur WP,z.
Systèmes symétrisables
La difficulté réside alors dans la gestion de ces termes « parasites » qui s'amoncellent sur les compositions dans WP, M. La suite de la preuve de convergence de WP,z dans les espaces de Sobolev (Hs(Rn))k se fait comme dans le cas symétrique. Le but de l’imagerie est de reconstruire les discontinuités souterraines à partir des réflexions enregistrées dans les données sismiques.
On peut alors utiliser la méthode de représentation de l'opérateur solution par produits d'OIF et étudier sa mise en œuvre dans la section 2.3, dans le cas où le symbole utilisé est tronqué, par exemple en ne gardant que le symbole principal. Après avoir introduit le problème de l'imagerie dans ce contexte, dans la section 2.4 nous montrerons les applications de nos méthodes aux données sismiques.
Découplage microlocal en champs montant et descendant de l’équation des ondes
En particulier, le support singulier de cette image correspond aux singularités dans le milieu de propagation. Dans la section 2.2 nous montrerons des équations d'ondes découplées, dites « à sens unique », qui auront la forme des équations traitées au chapitre 1. Dans la section 2.5 nous nous intéresserons à la problématique de l'extension des données sismiques telles qu'elles sont formulées par les géophysiciens : les données sismiques sont souvent incomplètes, pour diverses raisons comme des dysfonctionnements ou un mauvais positionnement des récepteurs.
Nous choisissons un tel angle Θ ∈ (0,π2) et travaillons dans l'aire microlocale IΘ sous l'hypothèse que WF(u)⊂IΘ. La restriction à IΘ permet d’éviter la propagation dans la direction horizontale, c’est-à-dire dans la direction x, lorsque l’on se place sur l’ensemble caractéristique Char(p).
Approximations
Troncature
Nous avons vu dans la section 1.6 que ceci est déterminé uniquement par le symbole principal a1(z,x, ξ).
Approximations « Generalized Screens »
L'idée de la méthode GS est de séparer les dépendances en x et ξ dans la phase des opérateurs afin d'« extraire » les dépendances spatiales des intégrales de Fourier du propagateur couche mince G(z′,z). Pour le reste du symbole, la méthode utilisée dans [6] consiste à faire d'abord cette formulation par contraste1 sur l'opérateur A défini à la section 2.2 et à procéder à l'identification des termes qui composent la série asymptotique (2.3.3) via ( pseudodifférentiel ) procédure de calcul a(z,x, ξ) de la section 2.2. La figure 2.3 montre les calculs numériques de résolution de l'équation des ondes directes dans un modèle géologiquement raisonnable.
Un exemple est donné de la propagation dans le cas élastique pour lequel on peut également formuler des « équations unidirectionnelles » en suivant la procédure de la section 2.2 ; une approche GS du propagateur à couches minces peut alors être développée et mise en pratique dans le cas d'une phase matricielle (voir [14]). L'étoile indique la position de la source ; (b) Champ d'ondes complet calculé par une méthode des différences finies (deuxième ordre dans l'espace et le temps) ; (c) Champ d'onde acoustique ascendant calculé selon la méthode GS (séquence 4) au temps t = 0,9 s ; (d) Champ d'ondes ascendant élastique (composante horizontale) calculé par la méthode GS (séquence 2) au temps t = 0,9 s ; la source utilisée est explosive.
Formulation du problème d’imagerie et mise en pratique
La comparaison est effectuée avec une résolution complète de l’équation d’onde aux différences finies. A noter que les caustiques sont prises en compte par cette méthode « à sens unique » de résolution de l'équation (voir commentaire 1.6.4). A partir de H(z′,z) nous obtenons l’opérateur de modélisation sismique dans le cadre de l’approximation de linéarisation de Born [SDH05].
Dans le cadre de l'approximation de Born, seule la vitesse c(x) est utilisée dans le calcul de a(z,x, τ, ξ). Les méthodes que nous avons développées donnent une représentation de H(z′,z) par le produit de OIF et permettent ainsi de formuler l'opérateur image par de tels produits (voir [5]).
Prolongement de données
L'opérateur de modélisation des données sismiques est obtenu en composant l'opérateur M : δc7→ δG avec l'opérateur de restriction R à la variété d'acquisition Y. Sous certaines conditions de transversalité des deux éléments à l'intersection de Y l'opérateur de modélisation F = R◦ M est une OIF. C'est grâce à sa relation canonique que l'on peut retracer les singularités des données (réflexions) à celles de l'image.
Dans le cas d'un système symétrisable, il semble important de savoir si une estimation fine de la norme de l'opérateur couche mince, telle que celle donnée dans le théorème 1.7.4, est vraie ou non. Ce résultat permet de procéder comme nous l'avons fait ici dans le cas hyperbolique et d'obtenir un résultat représentant l'opérateur solution comme un produit infini de OψD.
Introduction et notations
Dans le cas d'équations paraboliques telles que l'équation de la chaleur que nous avons écrite, la contrôlabilité est approximativement vraie. Ce concept est équivalent à celui de contrôle de trajectoire dans le cas d'équations linéaires. Dans le cas de l'équation de la chaleur, la contrôlabilité à zéro a été démontrée pour la première fois dans [LR95].
La deuxième partie exploite à la fois les inégalités de Carleman globales et la méthode [LR95] basée sur une inégalité de la forme (3.1.5). Enfin, nous utilisons les inégalités de Carleman pour les équations paraboliques à coefficients discontinus pour obtenir des inégalités de stabilité dans le problème d'identification du coefficient c de la partie principale de l'opérateur.
Inégalités de Carleman pour des coefficients de diffusion C 1 par morceaux
Enfin, sur l'intervalle [aj,aj+1] on relie les deux extrémités de la fonction ˜β de manière C2, où β′ ne disparaît que dans ω0.
Coefficients à variations bornées : passage à la limite dans des inégalités de Carleman
Si l'on construit les fonctions de poids de Carleman ϕε et ηε à partir de βε selon (3.2.1) on obtient les inégalités de Carleman pour les opérateurs ∂t ±∂x(cε∂x). Cette transition frontière définit donc une fonction β dans Ω et les fonctions de poids de Carleman selon (3.2.1). Dans tous les termes traces à dominer (voir la preuve du théorème 3.2.3) on peut factoriser.
Ainsi, les résultats précédents montrent que les inégalités de Carleman pour qε et les opérateurs ∂t±∂x(cε∂x) donnent des inégalités similaires pour q et les opérateurs ∂t±∂x(c∂x) avec les mêmes constantes lorsque ε tend à zéro. D'après la méthode de [IY01] du théorème 3.3.5, nous obtenons maintenant l'inégalité de Carleman dans le cas où le membre droit de f a une régularité H−1 dans l'espace.
Contrôlabilité d’équations paraboliques semi-linéaires à coefficient discontinu en dimen-
Les fonctions de poids utilisées sont celles définies par (3.2.1) à partir de la fonction β obtenue ci-dessus. Cette inégalité nous permet de traiter de la contrôlabilité des systèmes non linéaires où la non-linéarité est fonction non seulement de l'état du système, mais aussi de son gradient [DFCGBZ02]. Pour l’appliquer, nous avons besoin d’estimations de la solution y du système linéarisé (3.4.3) en fonction des données initiales y0 et du contrôle v.
Le dernier point est démontré dans [9] à partir d’un argument d’interpolation reflété sous la forme de la fonction ls. Le résultat de contrôlabilité locale s’ensuit alors en choisissant ε suffisamment petit pour que le maximum du point fixe obtenu soit plus petit que R en (3.4.5).
Un résultat de contrôlabilité en dimension plus grande que deux
Problème d’identification de coefficients non réguliers
On peut assurer qu'une des solutions de (3.6.1), par exemple ˜y, est dans une classe de fonctions bien régulières et bornées dans de "bons" espaces, par un choix particulier de conditions aux limites h(t, x ) (voir [3, sections 2 et 3]). En particulier, nous pouvons garantir que ∆˜y≥r>0 dans Ω′ au temps T′ en utilisant le principe du maximum. Si l’on injecte maintenant la borne inférieure de W0(s, λ) et les équivalents de wk, k =0,1,4, obtenus sous la forme du coefficient associé ξ0 dans (3.6.3), on voit que le demi- le gain de puissance en s obtenu dans le lemme 3.6.2 est essentiel.
On peut alors montrer que ce coefficient est strictement positif lorsque λ et s sont pris successivement grands. Si nous suivons la méthode de [YZ01], nous pouvons montrer le résultat de stabilité sur la condition initiale donnée en (3.1.7) à partir du résultat précédent.
Perspectives
On peut également citer le résultat de [LT06] qui ne s'intéresse pas à la contrôlabilité uniforme nulle mais à la convergence de la contrôlabilité approchée. Si l’on parvient à obtenir des inégalités d’observabilité uniformes, la question de la convergence de la fonction de contrôle obtenue pourra être résolue lorsque la discrétisation sera affinée. Le résultat que nous obtenons, comme dans de nombreux résultats similaires pour les équations paraboliques, nécessite de mesurer la solution sur tout le domaine pendant un temps positif.
En raison de la régularité de la frontière, nous pouvons choisir une fonction β∈C2(Q) qui satisfait la propriété suivante. En ne gardant qu'un seul terme du côté gauche dans l'inégalité de Carleman (3.A.1), on obtient (en prenant λ=λ0).
