DESCRIPTION DU MATERIAU ET DES PHENOMENES ONDULATOIRES RESPONSABLES DE
P RESENTATION DU MATERIAU
P HENOMENES ONDULATOIRES
La viscoélasticité
Le phénomène d'atténuation viscoélastique peut être décrit à l'aide de différents modèles rhéologiques, qui couplent oscillateurs et amortisseurs idéaux, conduisant à une expression de l'atténuation en fonction de la fréquence. Nous nous intéressons particulièrement à la dépendance en fréquence de l'atténuation générée par le modèle Kelvin-Voigt, c'est le plus fréquemment utilisé dans le domaine.
L’anisotropie
Parmi ces modèles, les auteurs utilisent des modèles développés dans le contexte de l'électronique et vérifient leur applicabilité dans le domaine de l'élasticité, ainsi que leur capacité à reproduire des résultats expérimentaux. Dans cette thèse nous appelons diffusion le phénomène global d'interaction entre une onde et les hétérogénéités présentes dans un milieu, et diffraction le phénomène unitaire de l'interaction de l'onde avec un objet.
La diffusion par un ensemble de fibres
Etude de l'évolution des parties réelles des coefficients de raideur en fonction de la fréquence. Etude de l'évolution des parties réelles des coefficients de rigidité en fonction de la concentration.
D ESCRIPTION DE DEUX METHODES D ’ HOMOGENEISATION DYNAMIQUE DE MATERIAUX COMPOSITES
Homogénéisation asymptotique
Les équations forment le BVP (Boundary Value Problem) que nous essayons de résoudre en utilisant la méthode d'homogénéisation asymptotique. Il convient de noter que dans le cas bidimensionnel, le problème cellulaire que nous posons en suivant un raisonnement similaire n'a pas de solution analytique ; des méthodes numériques sont ensuite utilisées pour les résoudre.
Méthode de Sébastien Lonné : modèle à trois phases en incidence normale
Variation (en %) de la partie réelle du nombre d'onde pour le mode compression en fonction des coefficients de raideur. Variation (en %) de la partie imaginaire du nombre d'onde pour le mode compression en fonction des coefficients de raideur.
IDENTIFICATION DES RIGIDITES A PARTIR DES PROPRIETES DES ONDES GUIDEES
M ODELISATION DE LA PROPAGATION DES ONDES GUIDEES
M ETHODE D ’ INVERSION A PARTIR DES PROPRIETES DES ONDES GUIDES
Principe
Il faut donc définir une méthode permettant d'inverser les nombres d'onde des modes guidés pour obtenir les coefficients de rigidité du matériau. La première étape consiste à calculer, à l'aide de la méthode SAFE, les nombres d'onde des modes guidés se propageant dans le milieu hétérogène défini au début de ce chapitre.
Calcul des modes guidés dans le milieu hétérogène
Un exemple de maillage bidimensionnel d'une section d'une mèche hétérogène est présenté sur la figure II-2. Après avoir rappelé que les ondes guidées se propageant à l'intérieur du cylindre pouvaient être décrites de manière modale, nous proposons d'étudier dans la section suivante les différents modes se propageant dans la mèche en fonction de la fréquence considérée.
Calcul des modes guidés dans le milieu homogène
L'ensemble des nombres d'onde de référence que nous utilisons à des fins de comparaison comprend le mode de compression, le mode de torsion et la moyenne des deux modes de flexion. Voyons maintenant comment calculer les nombres d'onde des modes se propageant dans la mèche homogène équivalente (dont la géométrie est identique à celle de la mèche hétérogène).
Études des propriétés des modes et de leur sensibilité aux coefficients de rigidité
Variation (en %) de la partie réelle du nombre d'onde du mode torsion en fonction des coefficients de raideur. Variation (en %) de la partie réelle du nombre d'onde de la moyenne des modes de flexion en fonction des coefficients de raideur.
Sensibilité de la méthode aux coefficients de rigidité : conclusion
Enfin, on notera que la partie réelle du coefficient semble dépendre faiblement de la fréquence de l'onde incidente. Etude de l'évolution des parties imaginaires des coefficients de raideur en fonction de la fréquence.
C OMPORTEMENT DE LA METHODE D ’ INVERSION A PARTIR DE DONNEES SIMULEES
C ONCLUSIONS
87 obtenu par chaque méthode est cependant observé en raison de la dépendance de la fréquence des coefficients dans le cas d'une incidence oblique. Nous avons vu en annexe E que les éléments dépendent de la polarisation de l'onde incidente.
MODELE A TROIS PHASES ET INCIDENCE OBLIQUE
D EFINITION DU MODELE A TROIS PHASES
D IFFRACTION DES ONDES DE VOLUME EN INCIDENCE OBLIQUE SUR UN CYLINDRE A SYMETRIE ISOTROPE TRANSVERSE
Description du problème et méthode de résolution
Pour résoudre le problème général de la diffraction d'une onde par un cylindre, il faut exprimer le champ de déplacements dans chacun des milieux. Néanmoins, (Fan, Sinclair et Honarvar 1999) ont développé les expressions correspondant au problème de la diffraction d'une onde par un cylindre isotrope transversal placé dans un milieu solide isotrope infini en utilisant la décomposition donnée par ( 3.2).
Expression des potentiels dans chacun des milieux
Nous avons la même chose avec le nombre d'onde des ondes de cisaillement dans l'environnement. 48, où les coefficients sont les amplitudes modales et représentent la partie radiale du nombre d'onde de l'onde se propageant dans le milieu interne (0).
Résolution du problème
Paramètres utilisés pour l'algorithme génétique dans l'étude de la dépendance en fréquence de la rigidité. La figure III-16 présente l'évolution des parties réelles des cinq coefficients de rigidité en fonction de la concentration.
M ODELE A TROIS PHASES EN INCIDENCE OBLIQUE
Expression des potentiels correspondant aux ondes diffractées dans le milieu environnant
La méthode présentée en annexe D, qui a permis de définir l'expression des potentiels dans le milieu intérieur dans le cas de la diffraction des ondes sur un seul cylindre, peut être utilisée pour déterminer l'expression des potentiels dans le milieu environnant. En substituant (3.30) et en suivant le raisonnement utilisé dans le cas de la diffraction sur un cylindre transversalement isotrope, on obtient l'expression suivante pour les potentiels dans le milieu 2.
Expression des potentiels correspondants à l’onde incidente
On remarque alors que les expressions pour les dérivées des fonctions de Hankel sont similaires aux expressions pour les dérivées des fonctions de Bessel, et s'écrivent : 3.31) La méthode présentée en annexe D, qui a permis de définir l'expression des potentiels dans le milieu interne dans le cas de diffraction d'onde sur un seul cylindre, peut être utilisée pour définir les expressions des potentiels dans le milieu pour déterminer autour. Pour l'onde de cisaillement polarisée dans le plan perpendiculaire à l'axe des cylindres (onde SH), on a.
Expression des potentiels dans le milieu intermédiaire
55 des ondes de compression dans la matrice et la partie radiale du nombre d'onde des ondes de cisaillement dans la matrice.
Définition du système
56 colonnes 12x1 contenant les expressions du champ de déplacement et les contraintes correspondant à l'onde incidente dans le milieu effectif infini. Notez cependant que le système contient cette fois 15 inconnues ; En fait, le nombre d’ondes incidentes et d’ondes réfléchies dans le milieu environnant nous est inconnu, car il dépend des propriétés du milieu recherché.
Fonctions d’amplitude de diffraction
Sur la Figure III-13 nous représentons l'évolution des parties réelles des cinq coefficients de raideur en fonction de la fréquence. L'étude de l'évolution des coefficients en fonction de la concentration permet d'observer un comportement similaire à celui observé par S.
M ETHODE DE RESOLUTION
Équation de Yang & Mal (Yang et Mal 1994)
Les auteurs (Yang et Mal 1994) proposent une méthode itérative pour résoudre ce problème et déterminer les nombres d'onde. La méthode repose sur l'hypothèse initiale que le milieu environnant est constitué d'une matrice (le nombre d'onde est donc celui de l'onde incidente dans la matrice) ; une fois le système résolu, nous utilisons l’équation (3.41) pour déterminer 〈 〉, le nombre d’onde du milieu effectif, que nous réinjectons ensuite dans le système comme étant le nombre d’onde de l’onde incidente.
Équation de Kim (J. Y. Kim 2004)
Résolution du problème dans le cas de l’incidence oblique
Dans le cas d'une onde SH incidente définie sur la figure III-3, trois ou deux modes seront réfléchis à la surface. Cette constatation est essentielle car à certaines valeurs l’onde de compression, représentée ici en bleu, s’éteint dans le milieu environnant.
Validation dans le cas de l’incidence normale
A noter que nous ne comparons pas les performances de la méthode selon que l’on utilise l’une ou l’autre des fonctions de coût. La figure III-14 représente l'évolution des parties imaginaires des coefficients de raideur en fonction de la fréquence, où nous avons choisi de représenter uniquement les parties imaginaires des coefficients et.
M ETHODE DE RESOLUTION EN INCIDENCE OBLIQUE UTILISANT L ’ ALGORITHME GENETIQUE
Onde incidente
Mais pour un même angle d'incidence, chaque type d'onde susceptible de solliciter la structure a sa propre valeur. Représentation de l'occurrence sur le modèle triphasé, . a) sous le même angle, et b) pour le même.
Gestion des angles critiques
Evolution des parties imaginaires des coefficients (bleu foncé), (vert), (rouge) en fonction de la fréquence adimensionnelle ; ligne continue, équation de Kim ; lignes pointillées, équation Yang&Mal. Représentation du problème de diffraction d'une onde incidente obliquement sur un cylindre à symétrie isotrope transverse.
U TILISATION DE LA METHODE AUX PETITS ANGLES
Définition de la plage angulaire
Le but de la méthode est de définir les coefficients de rigidité de la couche unidirectionnelle sur toute la plage angulaire de telle sorte que le système de données à analyser soit surdéterminé. Connaissant les coefficients de rigidité de la fibre, on peut déterminer la valeur du nombre d'onde à l'aide de l'équation de Christoffel (A.H. Nayfeh 1995) dans la direction des fibres, ce qui nous donne : 3,51) avec ( ) la vitesse des ondes longitudinales se propageant dans la fibre dans la direction 3 (axe du cylindre), ( ) le tenseur de rigidité de la fibre.
Définition de la fonction coût
Notez que les amplitudes modales des ondes diffractées ( ) et donc les fonctions d'amplitude de diffraction (3.55) dépendent de l'angle d'incidence. La figure III-12 illustre la méthode de résolution implémentée, où le nombre de sommes d'angles apparaît.
Étude de la dépendance des paramètres à la configuration considérée
Evolution des parties réelles des coefficients (violet), (bleu foncé), (bleu clair),. vert) et (rouge) en fonction de la fréquence adimensionnelle ; ligne continue, équation de Kim, ligne pointillée équation de Yang&Mal. Evolution des parties réelles des coefficients (violet), (bleu foncé), (bleu clair),. vert) et (rouge) en fonction de la concentration ; ligne continue, équation de Kim, ligne pointillée équation de Yang&Mal.
R ESULTATS FINAUX
Étude de la dépendance des paramètres à la fréquence
Pour la partie réelle du coefficient en fonction de la fréquence, représentée en violet sur la figure, les valeurs obtenues par la méthode sont réparties dans l'espace de recherche et leur validité est donc à considérer avec prudence. Dans cette étude de la dépendance de nos coefficients à la fréquence, nous avons montré que les formulations de Yang&Mal et Kim sont équivalentes sur toute la gamme de fréquence étudiée.
Dépendance à la concentration
Evolution de la partie imaginaire des coefficients (bleu foncé), (vert) et. rouge) en fonction de la concentration en fibres ; Équation de Kim en ligne continue, équation de Yang&Mal en ligne pointillée. Pour observer la différence qu'il peut y avoir dans l'évolution des coefficients en fonction de la concentration, on compare les résultats obtenus sous incidence normale avec ceux présentés précédemment.
Dépendance à l’angle d’incidence
On remarque que, comme le coefficient, le coefficient dépend plus fortement de l'angle d'incidence pour les basses fréquences. Nous ne montrons pas ici les valeurs atteintes pour les fonctions de coût, qui ne montrent pas de comportement particulier vis-à-vis de l'angle d'incidence.
C ONCLUSIONS
Lorsqu'on considère le tissage tridimensionnel des mèches à l'échelle mésoscopique, il faut au préalable connaître tous les coefficients de raideur du milieu effectif représentatif de la mèche. Les perspectives immédiates de développement de nos travaux consistent dans la solution du problème posé par les angles critiques dans le cas de la diffraction d'ondes de volume à incidence oblique.
C AS BIDIMENSIONNEL
99 Utilisation de la loi de Hooke, qui permet de relier le tenseur de contraintes au tenseur de déformation par le rapport. On notera en outre que représente la surface de l'élément et que représente la matrice de rigidité qui lui est associée ; elle dépend du matériau auquel il est fixé et peut varier d'un élément à l'autre lorsqu'il s'agit de matériaux hétérogènes.
C AS UNIDIMENSIONNEL
Les facteurs responsables de l'atténuation ou de la propagation des ondes se propageant dans le VER sont la viscoélasticité de la matrice et la diffusion sur les fusibles. Calcul d'une valeur non représentative de la microstructure, permettant de prendre en compte la diffusion sur les mèches.
R ESOLUTION DU SYSTEME
Cas bidimensionnel
Cas unidimensionnel
Lors de la propagation des ultrasons dans le VER, divers phénomènes ondulatoires vont se produire. Mais contrairement au cas de l'échelle microscopique, nous faisons ici l'hypothèse que le phénomène de diffusion sur les mèches ne relèvera que du régime de diffusion simple.
E SPACE DE RECHERCHE ET FONCTION COUT
C ODAGE
Pour le cas d'un VER contenant 30% de fusible, en considérant l'interligne matriciel (H.2). Tout d'abord, nous définissons une valeur responsable de la répartition de l'onde sur les aubes ; cependant, il ne prend pas en compte la microstructure du matériau.
S ELECTION
C ROSS -O VER
Les deux chromosomes résultant du croisement, appelés chromosomes filles, sont ajoutés à la génération suivante ; Nous effectuons cette opération jusqu'à restaurer la génération entière, c'est-à-dire que nous obtenons ( ) de nouveaux chromosomes. Le choix des chromosomes qui subiront cette opération n’est pas totalement aléatoire : on choisit les meilleurs chromosomes et on les multiplie avec plusieurs autres, choisis au hasard.
M UTATION
Une couche composite tricotée et le nœud du composant répété périodiquement tout au long de la couche. Cet angle dépend des coefficients élastiques de la mèche et des résultats de l'étape d'homogénéisation à l'échelle microscopique et peut varier en fonction des propriétés.
C RITERE D ’ ARRET
L’ ALEATOIRE COMME FACTEUR DE ROBUSTESSE
I NTERFACE M ATRICE /M ILIEU INTERIEUR
I NTERFACE MILIEU ENTOURANT /M ATRICE
O NDE INCIDENTE
La valeur que l'on obtient de ce calcul permet d'obtenir un ordre de grandeur pour les coefficients de rigidité, prenant en compte la diffusion sur les fusibles, contrairement au calcul statique précédent. On constate que les résultats obtenus en (H.11) sont proches des résultats obtenus en (H.6) avant prise en compte de la fraction volumique dans le VER.
D ESCRIPTION DU MATERIAU
D EFINITION D ’ UNE VALEUR STATIQUE DE L ’ ESPACE DE RECHERCHE
H OMOGENEISATION DU VER COMPLET
Adaptation du modèle à trois phases au cas du VER
Mettons-nous dans une configuration typique pour le contrôle des matériaux composites en considérant la propagation des ondes L (de compression) à incidence normale par rapport au plan de la pièce ; cette configuration de contrôle est appelée contrôle L0°. Nous pouvons conclure que sous incidence L0°, toutes les sections désorientées d'un angle donné peuvent être considérées comme des diffuseurs égaux, indépendants de la direction de mèche, du fait de leur symétrie isotrope transversale.
Fonction coût
Un cylindre viscoélastique de rayon, à symétrie isotrope transversale, représentatif des pales (centre 0) est entouré d'un cylindre de rayon, isotrope et viscoélastique, constitué d'une matrice (centre 1) elle-même entourée d'un cylindre d'extension infinie, transversalement isotrope et viscoélastique, avec les propriétés du milieu effectif (milieu 2). 134 où ( ) est la fonction d'amplitude de diffraction correspondant à une onde incidente du type sur une section désorientée d'un angle par rapport au plan horizontal.
Calcul d’une valeur non représentative de la microstructure permettant de prendre en compte la diffusion
Limitations
Le calcul ne peut donc s'appliquer qu'aux structures pour lesquelles la valeur de la distance minimale entre les bits est donnée par Nous montrons, à partir de la figure H-7 et des résultats obtenus par le modèle triphasé, que l'angle maximum de désorientation des sections de la structure pour la matrice d'élasticité (H.4) n'excède pas 6°.
C ONCLUSION
