DISTRIBUTION DE MATIÈRE NUCLÉAIRE ET DIFFUSION ÉLASTIQUE D’IONS LÉGERS ET

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Submitted on 1 Jan 1973

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DISTRIBUTION DE MATIÈRE NUCLÉAIRE ET DIFFUSION ÉLASTIQUE D’IONS LÉGERS ET

LOURDS

B. Fernandez

To cite this version:

B. Fernandez. DISTRIBUTION DE MATIÈRE NUCLÉAIRE ET DIFFUSION ÉLASTIQUE D’IONS LÉGERS ET LOURDS. Journal de Physique Colloques, 1973, 34 (C4), pp.C4-43-C4-53.

�10.1051/jphyscol:1973406�. �jpa-00215281�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C4, supplément au no 11-12, Tome 34, Novembre-Décembre 1973, page 43

DISTRIBUTION DE MATIÈRE NUCLÉAIRE

ET DIFFUSION ÉLASTIQUE D'IONS LÉGERS ET LOURDS

B. FERNANDEZ

Département de Physique Nucléaire, CEN Saclay, BP no 2, 9 1190 Gif-sur-Yvette, France

Résumé. -La diffusion élastique de protons, deutons, particules a et ions lourds, utilisée comme moyen de déterminer la distribution de matière des noyaux, est passée en revue et discutée. Les résultats récents indiquent que, malgré certaines difficultés encore à surmonter, ces méthodes permettent des déterminations de rayons de distributions de matière a -t 0,l frn près.

Abstract. - Elastic scattering of protons, deuterons, cl-particles and heavy ions is reviewed and discussed as a mean to determine nuclear matter distributions. Recent results indicate that, in spite of some as yet unsolved problems, these methods allow the determination of nuclear matter radii within

+

0.1 fm.

1. Introduction. - L'histoire de la physique nucléaire se confond dans ses débuts avec celle de la mesure de ce qui a conduit à concevoir l'existence même d'un noyau de l'atome : ses dimensions. L'in- vestigation des dimensions du noyau fut d'abord exclusivement liée à la diffusion de particules a.

Puis ce fut surtout l'interaction électromagnétique qui apporta les résultats les plus remarquables, avec la diffusion d'électrons, l'étude des atomes muoniques, etc. Cependant, ces mesures n'apportent de renseignements que sur la distribution des protons dans le noyau, et il faut bien utiliser des sondes nucléaires pour obtenir des renseignements sur celle des neutrons. La raison qui pendant longtemps n'a pas permis à la diffusion de particules nucléaires d'apporter des renseignements précis sur la distribu- tion de matière des noyaux tient à la difficulté de décrire correctement l'interaction d'une particule avec un noyau : c'est un problème à N corps, pour lequel on ne connaît même pas vraiment l'interaction à deux corps. Cependant, des progrès continus depuis, disons les vingt dernières années, ont permis de montrer, en particulier pour la diffusion de particules a, d'abord qu'il existait une grandeur bien déterminée qu'on peut appeler rayon d'interaction a-noyau, ensuite que cette interaction a-noyau peut au premier ordre au moins se représenter par l'action d'un poten- tiel central moyen sur la particule a, enfin qu'il est possible de façon assez simple de relier ce potentiel aux distributions de matière du noyau et de la parti- cule a. L'objet de cet exposé est de montrer comment cette évolution a été possible, et à quel point de raffi- nement et de possibilités en est aujourd'hui la diffusion de particules nucléaires.

2. Les premières indications des dimensions du noyau. - C'est l'interprétation par Rutherford [l]

des expériences de Geiger et Marsden [2] de diffusion de particules a qui fournit la première indication des dimensions très petites du noyau. Rutherford calcula en effet la section efficace de diffusion de particules a par une charge ponctuelle :

et constata que cette formule s'appliquait bien à la diffusion aux grands angles mesurée par Geiger et Marsden. Il en conclut que toute la charge du noyau était concentrée dans un espace de dimensions infé- rieures à la distance minimale d'approche qu'il avait calculée. D'autres mesures confirmèrent que cette formule s'appliquait bien à la diffusion de parti- cules a sur des noyaux lourds, mais pas à la diffusion a-proton [3], [4], [ 5 ] , [6]. Et bientôt, des mesures de Bieler [7] montrèrent que la formule de Rutherford cessait d'être valable, au-dessus d'une certaine énergie, dans la diffusion de particules a sur l'aluminium et le magnésium. C'est probablement là la première indication des dimensions nucléaires, car les expé- riences précédentes ne donnaient qu'une limite supérieure à ces dimensions. L'ensemble de ces don- nées fut repris par Pollard [8] aux lumières de la méca- nique ondulatoire. En prenant comme rayon d'inter- action la distance d'approche minimale, à l'énergie pour laquelle la transmission des ondes s est 10

%,

Pollard montra que les rayons des noyaux légers (jusqu'à l'aluminium) pouvaient se mettre sous la forme R = r, Ali3 avec r, compris entre 1,4 et

1,5 fm (Fig. 1).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1973406

C4-44 B. FER NANDEZ

FIG. 1. - Rayon d'interaction cc-noyau, de l'hélium à i'alumi- nium, calculé par Pollard [8] en fonction de A113.

3. La diffusion de particules a aux énergies inter- médiaires et le rayon de diffraction. - 11 faut mainte- nant faire un bond en avant de vingt ans pour voir la diffusion de particules a utilisée à nouveau pour obtenir des informations sur les rayons des noyaux.

Les premières mesures faites sur les cyclotrons don- nant des faisceaux de plus de 40 MeV révélèrent en effet le caractère fortement diffractionnel de la dif- fusion élastique. La figure 2 montre une distribution

Io-'

* O œ

w r

O\

n

-

U

43

IO-'

'O"O 2.0 4.0 6.0 8.0 100 12.0 140 15.0 180 x : 2 k R o s h (812)

FIG. 2. - Distribution angulaire de particules cc difisées élastiquement par le magnésium-24, a 42 MeV (Naqib [9]).

La courbe en trait plein représente le calcul de la diffraction de Fraunhofer. En tirets sont indiquées les positions des maxi-

mums dans la paramétrisation (9).

angulaire mesurée de particules a de 42 MeV diffusées éiastiquement par le magnésium 24 [9]. Les fortes oscillations ressemblent beaucoup à des franges de diffraction. La courbe théorique correspond d'ailleurs ici à Ia diffraction Fraunhofer, c'est-à-dire à la figure de diffraction créée asymptotiquement par un disque totalement absorbant placé dans le trajet d'ondes planes.

La section efficace de Fraunhofer s'écrit [IO]

où k est le nombre d'onde, 8 l'angle d'observation, et RF le rayon du disque. On voit donc qu'on peut caractériser très simplement les distributions angulaires par un paramètre RF caractéristique de l'interaction a-noyau. En fait, il faut corriger le rayon ainsi obtenu pour tenir compte de l'interaction coulombienne négligée dans la formule de Fraunhofer (2). Blair [IO]

proposa une méthode semi-classique, en considérant que la formule (2) donne le paramètre d'impact à l'infini, alors que le rayon de diffraction corrigé RF, a-noyau est la distance minimale d'approche classique :

ZZ' e2

RFC=-+ 2 E ,/RE

+($)' -

⁽³⁾

Le modèle de Fraunhofer, qui est donc celui de la diffraction d'un noyau totalement absorbant, à bords francs dans l'espace ordinaire, est équivalent à un modèle « à bords francs » dans l'espace des moments angulaires. Pour le montrer, il faut considérer le développement en ondes partielles de l'amplitude de diffusion :

Les y, contiennent toute l'information physique sur la diffusion. Le modèle de Fraunhofer de diffraction

« à bords francs » est équivalent aux petits angles [IO]

à

y, = O pour

( 5 ) Ici L est un moment angulaire critique relié au rayon de Fraunhofer par

et au rayon corrigé de I'interaction coulombienne par

ZZ' e2 ZZ' e2 (7a)

RF, = ---

2 E

+

^Jn-(L

+

¹⁾

+ jX)

ce qui est équivalent à

C'est en utilisant un modèle de coupure dans les

DISTRIBUTION DE MATIÈRE NUCLÉAIRE, DIFFUSION ÉLASTIQUE D'IONS LÉGERS, LOURDS C4-45 moments angulaires semblable à celui-ci que Blair [ I l ]

interpréta les premiers résultats de Farwell et Wegner [12] sur la diffusion élastique de particules a entre 10 et 42 MeV à plusieurs angles sur des noyaux lourds. Selon ces résultats (Fig. 3), la section efficace suit la loi de Rutherford jusqu'à une certaine énergie critique, puis décroît exponentiellement. Blair montra que le rayon de diffraction peut, dans ce cas, être assimilé à la distance minimale d'approche classique, évaluée à l'énergie où la section efficace observée est égale au quart de la section efficace de Rutherford.

TARGET: Pb

SCATTERING ANGLE : 60°

'\

ALPHA- PARTICLE ENERGY (MEV)

FIG. 3. - Diffusion élastique de particules cl par le plomb à 60°

(système du laboratoire). L'énergie El14 portée sur la figure est l'énergie où la section efficace est le quart de la section

efficace de Rutherford (~arwell et Wegner [12]).

Cette méthode permit à Kerlee, Blair et Farwell [13]

de déterminer des rayons d'interaction a-noyau pour une très grande variété de noyaux, et de montrer que ce rayon pouvait s'écrire comme R = r, A1I3

+

b, avec r, = 1,414

+

0,042 fm et b = 2,19 f 0,20 fm.

La figure 4 montre l'ensemble de ces résultats, qui sont remarquables à deux titres :

Ils montrent qu'il existe bien une grandeur carac- téristique, le rayon d'interaction a-noyau, certainement relié au rayon du noyau, et dont on peut supposer que les variations reflètent les variations du rayon nucléaire.

Ils donnent les premières mesures expérimentales de la variation d'un rayon nucléaire comprenant les neutrons, entre le nickel et le plutonium.

Des perfectionnements très nombreux ont été apportés depuis à la détermination du rayon de diffrac- tion, tant au point de vue expérimental que théorique.

Au point de vue expérimental, des expériences à grande résolution angulaire permettent de mesurer

FIG. 4. - Rayon d'interaction a-noyau déduit de la diffusion élastique de particules a mesurée par Kerlee, Blair et Farwell [13].

La courbe en trait plein est une droite ajustée aux moindres carrés.

de faibles variations du rayon de diffraction, comme l'avaient d'abord montré Wall et al. [14] et Berstein et al. [15] : les distributions angulaires de particules a diffusées élastiquement par les isotopes 40 et 48 du calcium mettent en évidence la variation du rayon d'interaction. Pour le comprendre, il suffit de considé- rer la section efficace de Fraunhofer (2) dont les mini- mums correspondent aux zéros de la fonction de Bessel J,(X). Le i-ième minimum est lié au i-ième zéro

ti

par

kR,O =

ri.

(8)

Si l'on considère un minimum vers 30° et qu'on détermine sa position à

+

0,10 près, on peut obtenir une précision de f 0,3

%

sur le rayon de diffraction soit _+ 0,02 fm pour un rayon de l'ordre de 7 fm.

Cette méthode a été employée par Fernandez et Blair [16] pour mesurer la variation du rayon de diffrac- tion pour une série de treize noyaux pairs allant du calcium 40 au nickel 62. Les figures 5 et 6 montrent une distribution angulaire sur le calcium 44, et le détail de la variation du minimum vers 35O dans les isotopes

10 20 25 30

8, ,(degl

FIG. 5. - Distribution angulaire de particules a de 41,76 MeV diffusées élastiquement par le calcium-44. La courbe en trait plein représente l'analyse par le modèle optique, la courbe en

tirets l'analyse par paramétrisation du type (9) [161.

4

B. FERNANDEZ

RG. 6. - Distribution angulaire expérimentale des particules a diffusées par les isotopes 40, 42, 44, 48 du calcium dans la

région du minimum près de ^{3 5 0} 1161.

du calcium. La figure 7 donne la variation du rayon de diffraction dans une série de treize noyaux compris entre le calcium 40 et le nickel 62, cette variation étant donnée à IT 0,02 fm près.

8 , l - COMPARAISON ENTRE TROIS MOOELES

q0 -

.

R F C , F m n k f ~ r

O R 1 ,Rianitriutin dirtnr d i s l e /2

7.9 - ^{O Ry,Mndili} O ~ t i ~ u i

7.8 -

-

_{E 7.7 -}

6

-

- -

7.3

I l I 1 I I I I l I I I I

MS krlh [&al4 [541/J [56? ']6"[ [64?

o.

FIG. 7. - Variation du rayon de diffraction a-noyau, entre le calcium-40 et le nickel-62, calculé par trois méthodes 1161.

Au point de vue théorique, de grands progrès ont été faits par rapport à la simple description par la diffraction Fraunhofer « à bords francs ». Tout d'abord, on a évidemment songé à introduire une paramétrisation des éléments de la matrice de diffusion y, de façon moins brutale que (5), en écrivant par exemple [17]

puis, pour concilier l'enveloppe des maximums et l'amplitude des oscillations des distributions angu- laires [17], 1181

Ici L peut prendre des valeurs non entières, et le rayon de diffraction qui lui correspond est défini comme précédemment par (7b). Des paramétri- sations plus élaborées ont permis de mieux rendre compte dans le détail des distributions angulaires jusqu'aux grands angles en introduisant en général deux paramètres supplémentaires. Une excellente revue de ces modèles a été faite par Frahn et Venter [19]. Cependant, le rayon de diffraction est surtout déterminé par les premières oscillations aux petits angles, qui peuvent être très bien reproduites par la paramétrisation (9).

Une autre façon de paramétriser les y , est de les calculer dans le cadre d'un modèle dynamique tel que le modèle optique. Dès 1957, Igo et Thaler [20] et Cheston et Glassgold [21] donnent des analyses de diffusion élastique de particules a par le modèle optique, et d'innombrables autres analyses ont été faites depuis. Pour les petits angles, un modèle à quatre paramètres est en général utilisé, l'interaction

&-noyau étant représentée par le potentiel

Dans la mesure où il s'agit seulement de déterminer un rayon de diffraction, ce modèle ressemble beau- coup à la paramétrisation (9), ainsi que le montre la comparaison entre les deux types d'analyses pour Ia diffusion de particules a de 42 MeV sur le calcium 42 (Fig. 8). On peut définir, par analogie avec (9), un moment angulaire critique LI,, par interpolation :

, A w L f r u o m OES ( P A R T I E REELLEI

ONDES PARTIELLES JI CAS DU 'BCa

FIG. 8. - Amplitudes oz des ondes partielles calculées dans le modèle de coupure franche, la paramétrisation de type (9) et le modèle optique, dans l'analyse de la diffusion élastique

a-"Ca à 42 MeV 1161.

DISTRIBUTION DE MATIÈRE NUCLÉAIRE, DIF :FUSION ÉLASTIQUE D'IONS LÉGERS, LOURDS C4-47 Fernandez el Blair [16] ont obtenu des rayons de

diffraction très semblables par les trois méthodes (Fraunhofer, paramétrisation de type (9), et modèle optique) et surtout une variation d'un isotope à l'autre quasi identique (Fig. 7).

Enfin, des expériences récentes ont montré que la diffusion d'ions plus lourds à haute énergie (relative- ment à la barrière coulombienne) a les mêmes carac- téristiques diffractionnelles que la diffusion de par- ticules a. Dans la diffusion d'oxygène 16 à 130 MeV et de 12C à 118 MeV, Friedman et al. [22] ont ainsi déterminé le rayon de diffraction pour des noyaux cibles de plomb, néodyme et samarium. Colombani et al. [23] ont de même déterminé un rayon de diffrac- tion 84Kr-208Pb et 8 4 ~ r - 2 3 2 T h en utilisant un fais- ceau de krypton 84 de 500 MeV.

4. Le rnodEle optique : que peut nous apprendre la diffusion élastique sur le potentiel d'interaction ? -

L'énorme quantité d'analyses de données par le modèle optique [24] a surtout mis en évidence I'im- possibilité, pour des particules fortement absol.bées comme les particules a, de déterminer la forme et la profondeur du potentiel optique en utilisant simple- ment la diffusion élastique. Déjà en 1957, Igo et Thaler [20] montrèrent que, seule, la partie extérieure du potentiel jouait un rôle important dans la diffusion a-noyau à 43 MeV, ce qui a été confirmé par de nombreux auteurs. Dans cette région, on a rapidement exp n 1, si bien que la partie réelle du potentiel peut s'écrire

v

-

= v

exp

(%)

^exp

(- i)

^,

r - Ropt 1

+

^exp

---

a

Pour une valeur fixée de a, on voit que V et Ropt sont indéterminés, si V exp(RopJa) reste constant.

Le paramètre a peut être déterminé au mieux à 5 % près et souvent seulement à 10

%

près, bien qu'il gouverne l'enveloppe décroissante des maximums (ceci en raison d'une certaine incertitude entre les valeurs de a et W , qui joue un rôle en partie similaire).

Il semblait donc impossible de tirer, de l'analyse de la diffusion élastique, des renseignements sur la forme du potentiel, et a fortiori sur la distribution de matière.

Cependant, Jackson et Morgan [25] font une inté- ressante remarque en comparant des analyses de diffusion élastique de particules a : sur le nickel 58 [26], [27], le cérium 140 [28] et le plomb 208 [29]

à 42 MeV, sur le calcium 42 et le titane 50 à 30,s MeV [30], sur le calcium 42 à 42 MeV [31], et sur le titane 50 à 44 MeV [32]. Ils remarquent en effet qu'il existe bien un invariant liant l'énorme variété de familles de paramètres V, Rapt, a pouvant rendre compte d'une distribution angulaire : c'est la pro- fondeur du potentiel réel évaluée au rayon de dif- fraction RI,, défini selon les éq. (Il) et (76).

Fernandez et Blair [16] font la même remarque dans l'analyse des diffusions élastiques de particules a de 42 MeV sur les noyaux 40

<

A

<

62. On peut écrire cette propriété sous la forme

Ropt - Ru2

V exp = Cte

a

Cette constante vaut par exemple

-

1,88 f 0,03 MeV dans la diffusion a-42Ca à 30,s MeV (analyse pour des angles 8

<

68O), - 2,43 & 0,09 MeV dans la diffusion à 42 MeV sur les noyaux 40

<

A

<

62.

Il est particulièrement intéressant dans ces condi- tions de vérifier s'il existe un invariant de ce type dans des conditions où le rayon de diffraction n'existe pas. Des mesures de diffusion de particules a sur plusieurs noyaux lourds : 204Pb, 206Pb, 208Pb, 209Bi, à plusieurs angles, et à des énergies proches de la barrière coulombienne ont permis à Goldring et al. [33] de montrer que l'analyse de leurs mesures par le modèle optique permettait de déterminer pour chaque noyau la valeur de la distance a-noyau au sommet de la barrière coulombienne, qu'ils appellent le rayon de Rutherford RR, ainsi que la hauteur de cette barrière, si bien que RR jouerait dans la rela- tion (12) le rôle du rayon de diffraction. D'autre part, Badawy et al. [34] ont récemment mesuré la diffusion élastique de particules a sur les isotopes de l'étain, du samarium et du plomb, a des énergies voisines de la barrière colombienne et à un seul angle proche de 1800. Ils montrent que, d'une part, la mesure à d'autres angles n'apporte pas d'information sup- plémentaire et que, d'autre part, il existe bien une relation liant entre eux les trois paramètres V, Ropt et a de la partie réelle du potentiel :

V exp ^ROpt - ^R0'2 = - 0,2 MeV

.

₍₁₃₎

a

Ici R,,,, qui est la distance a-noyau où le potentiel nucléaire réel a une profondeur de 0,2 MeV, est déterminé à f 0,02 fm près (Fig. 9).

Enfin, notons ici encore que des mesures récentes ont montré que la diffusion élastique d'ions lourds tels que l'oxygène à des énergies proches de la bar- rière coulombienne possède des propriétés très sem- blables à celles de la diffusion de particules a dans des conditions semblables [35], [36], [37], et qu'en particulier il existe bien une relation d'invariance du type (12). L'analyse par Robertson et al. [36] de la diffusion 16.180-116.1 18s n montre par exemple (Fig. 10) que l'indétermination entre Rapt et a , pour une valeur donnée de V, est du type

Bop,

+

^{un =} Cte

avec a

=

3,8, si bien qu'on peut écrire la relation (12) sous la forme

v

exp ^{R O ~ t} - R o s 8 6 = - 0 8 6 MeV a

C4-48 B. FERNANDEZ

r

^{OPTICAL with W = a V= =} MODEL RAD11

- 200MeV

- 20MeV 0.57 Fm

FIG. 9. - Variation du rayon du potentiel a-noyau obtenu par Badawy et al. [34] dans la diffusion élastique de particules a près de 180° à des énergies proches de la barrière couiombieme, pour les isotopes de l'étain, du samarium et du plomb. Les rayons des isotopes du calcium de Fernandez et Blair [16]

sont indiqués pour comparaison.

FIG. 10. - Valeurs de R et a qui donnent un accord identique avcc l'expérience dans l'analyse par le modèle optique de la diffusion élastique 16slRO-116.1zoSn. O n voit qu'on a une indé- termination du type R 4- 3,8 a

-

constante (Robertson et al. [36]).

R,,,,, qui est ici la distance cible-projectile où la profondeur du potentiel réel est - 0,86 MeV, est la quantité déterminée dans ces expériences.

II faut remarquer ici que ces mesures sont faites tantôt à des petits angles, tantôt à des angles proches de 180°. C'est que le domaine angulaire important est ici celui qui correspond classiquement à des col- lisions d'effleurement, où la distance minimale d'ap- proche reste en gros supérieure à la somme des rayons du projectile et de la cible, ou à peine inférieure.

Enfin, nous pouvons conclure que la diffusion élastique de particules fortement absorbées, observée dans des conditions proches des conditions classiques de collisions d'effleurement, permet de caractériser le potentiel réel d'interaction projectile-cible par une longueur, qui est la distance où le potentiel réel a une profondeur donnée, bien déterminée par l'expé- rience pour un couple cible-projectile donné (et variant lentement avec la masse de l'un ou l'autre), et pour une énergie donnée (cette profondeur aug- mente avec l'énergie).

La diffusion élastique de nucléons et deutons n'a pas été discutée jusqu'ici. En effet, l'analyse phé- noménologique par le modèle optique n'a jamais permis d'obtenir des informations sur un rayon d'inter- action. En raison des incertitudes entre V et R,,,, on fixe le plus souvent R,,,

=

1,25 A1I3 et on ajuste V.

5. Distribution de matière et potentiel optique. - Le calcul du potentiel optique a-noyau ou nucléon- noyau a longtemps paru trop difficile pour pouvoir être tenté avec succès. Considérons par exemple le potentiel proton-noyau. La forme la plus simple que nous puissions écrire est :

où p,,,(rl) représente la distribution de matière du noyau-cible et v(l r - r'

1)

une interaction effective nucléon-nucléon. Cependant, il est clair que cette forme est seulement le premier terme d'un dévelop- pement : elle ne tient compte ni de I'antisymétrisation, ni des effets d'ordre supérieur. Elle a pourtant été utilisée telle quelle par Greenlees et al. [38] pour calculer la partie réelle du potentiel optique proton- noyau, avec un remarquable succès (Fig. 11 et 12).

1 ~ " 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 1 1 ' 1 ' ~

2.5 - E,=30.3 U I V

H

2.0 ^, - - - - SIAMARD MOOEL

O W ,*

.-

'n 0.5 - a

œ - _1.0

O

O - 0.8

œ O

LL - _0.6

w

-

^{0.4 'Osn}

œ 0.2

- _0.0

a 0.4

0.2 0.0

O 20 40 60 80 100 120 MO 160 180 c . m. ANGLE ideqrees)

FIG. 11. - Distributions angulaires de protons difiusés élas- tiquement à 30 MeV par trois noyaux. Les analyses par le modèle de convolution (trait plein) et le modèle optique ordi- naire (tirets) donncnt da accords avec l'expérience très sem-

blïbles (Greenlees er al. [50]).

DISTRIBUTION DE MATIÈRE NUCLEAIRE, DIFFUSION ÉLASTIQUE D'IONS LÉGERS, LOURDS C4-49

~ ~ ~ 3 0 . 3 MeV

- - - STANDARD MODEL - FOLDING MODEL

i

FIG. 17. - Polarisalivns des protons ditfusés élastiquement à 30 MeV par trois noyaux. Ici encore les analyses par le modèle de convolution (trait plein) et le modèle optique ordinaire

(tirets) sont équivalentes (Greenlees et al. [40]).

Ces auteurs ont ainsi obtenu de très bons accords entre leurs calculs et les mesures a 14,s MeV, 30,3 MeV et 40 MeV sur de nombreux noyaux. L'in- térêt de tels calculs est que, une fois déterminée la force effective nucléon-nucléon, on peut espérer obtenir des informations sur la densité de matière de la cible. La force nucléon-nucléon est prise soit avec une forme de Yukawa, soit avec une forme gaussienne. L'analyse des données est alors faitc en supposant que la distribution de matière a une forme dite de Fermi :

p,(r) = p,, [I

+

^exp

(y-)] ^{-' .}

⁽¹⁵⁾

Greenlees et al. [38], [39], [40] ont montré que les paramètres R, et a, ne peuvent être déterminés, mais que la grandeur caractéristique du phénomène est le rayon quadratique moyen de la distribution de matière

Dans les cas où la distribution des protons est déterminée par diffusion d'électrons, on peut ainsi avoir une information sur la distribution des neutrons.

Malheureusement, les distributions angulaires sont

pratiquement insensibles aux paramètres de la force nucléon-nucléon, et même à sa forme, alors que les rayons quadratiques moyens des distributions de matière y sont très sensibles. Si nous prenons l'exemple du plomb 208, la différence entre les rayons quadra- tiques moyens de neutrons et protons varie de 0,46 fm pour une force de Yukawa de rayon quadratique moyen 1,50 fm à 0,13 fermi avec une gaussienne de rayon quadratique moyen 2,07 fm.

Greenlees et al. [39] estiment la gaussienne meilleure parce qu'elle donne une différence neutrons-protons nulle pour les noyaux de fer et nickel, et qui augmente régiilièrement jusqu'au plomb, alors que la forme de Yukawa donne une différence constante. 11 semble cependant que ceci doit inciter à une certaine prudence en ce qui concerne les valeurs absolues des différences de rayons neutrons-protons, d'autant plus que I'uti- lisation d'une force dépendant de la densité [41] et la prise en compte des effets d'échange [42] peuvent affecter les résultats.

Cette méthode a été employée par Boyd et al. [43], [44] pour mcsurer la variation du rayon de matière des neutrons dans les isotopes de l'étain, en particulier la différence entre les rayons quadra- tiques moyens des neutrons et protons, qu'ils donnent égale à 0,s fm environ. D'autre part, Lombardi et al. [45] l'ont appliquée aux isotopes 40, 44, 48 du calcium. Ils trouvent des distributions de protons et neutrons pratiquement identiques pour chacun des isotopes 40 et 44, et une différence (des rayons qua- dratiques moyens) de 0,4 f 0,1 fm pour le calcium 48.

Enfin, Winsborrow et al. [46] ont appliqué la même méthode a la diffusion de deutons sur les isotopes 112, 118, 119, 124 de l'étain, avec des résultats quelque peu différents de ceux de Boyd et al. [44], mais ces diffé- rences ne sont pcut être pas très significatives.

Les premiers calculs du potentiel réel a-noyau ont été faits peu après ceux du potentiel proton- noyau [47], [48], [49], [SOI. Malgré la complication apparente due au caractère composite de la par- ticule x , plusieurs facteurs rendent ce calcul plus simple que dans le cas des protons :

e Le fait que la particule a a un spin zéro évite les problèmes di1 couplage spin-orbite.

O La grande énergie de liaison de la particule a dont le premier état excité est très élevé permet de négliger ses excitations.

O L'absorption forte dans le noyau fait que seule la partie extérieure du potentiel est importante, si bien qu'il est moins grave de négliger I'antisymétri- sation.

Ces calculs consistent, comme dans le cas des protons, à prendre le premier terme du développement du potentiel [47], [49]

U,,,(R) est le potentiel a-noyau, p,(r) la distribution

(3-50 B. FERNANDEZ

de matière, et Veff(I r

-

R 1) est une interaction effective

---

^...

nucléon - ci, UR étant considéré ici comme un para- mètre de renormalisation pouvant tenir compte des effets négligés.

Deux approches ont alors été utilisées. Jackson et al. [47], [48] ont cherché, dans le cas du calcium 42, a déterminer V,,,(J r - R

1)

en prenant pour p,(r) la distribution de matière calculée par Swift et Elton [SI], [52] et qui reproduit bien la distribution de charge expérimentale. Ils ont essayé, pour la force effective a-noyau, une forme de Yukawa et une forme gaussienne. Seule la forme gaussienne s'est révélée satisfaisante, la forme de Yukawa don- nant des potentiels trop diffus (Fig. 13) [47]. Cette force est donc de la forme

102

Ver,(( r - R

1 )

^{= - Vo} exp[- K2(l r - R

1)2]

(17) \

FIG. 13. - Analyse de la diffusion de particules a de 42 MeV sur le calcium par Jackson et Kembhavi [47], en utilisant ici un potentiel nucléon-a du type de Yukawa. Le potentiel obtenu, trop diffus, produit un amortissement trop rapide des oscillations.

avec V , ^E 50 MeV, et K

-

0,s fm-' (avec ici UR = 1).

Le bon accord obtenu avec les résultats de Peterson [31]

est un très bon argument en faveur du modèle (voir Fig. 14).

Une autre approche est celle de Bernstein [49]

qui calcule V,,,(I r- R

1)

en faisant la convolution d'une interaction nucléon-nucléon et de la distribution de matière de la particule a. Il obtient un résultat très proche du précédent : Vo

=

37 MeV, K = 0,s fm-'. Il prend ensuite les paramètres cm et a, de la distribution de matière comme para- mètres ajustables, ainsi que UR.

Cette méthode a été employée par plusieurs auteurs.

Citons Batty et Friedman [53] qui ont analysé les résultats de Goldring et al. [33] et déduit pour le plomb un rayon quadratique moyen de la distribution

FIG. 14. - Analyse de la diffusion de particules a dc 42 MeV sur le calcium-42 par Morgan et Jackson [48], avec ici un poten- tiel nucléon-? de type gaussien, V ( r ) = V, exp(- K2 rZj. L'accord

obtenu ici est excellent.

de neutrons supérieur de 0,l fm à celui de la distri- bution de charge. Tatischeff et Brissaud [54] ont tout d'abord déduit l'interaction a-nucléon d'une analyse de la diffusion de particules a de 166 MeV sur le carbone 12, le silicium 28, l'étain et le plomb. Pour ce faire, ils ont utilisé les paramètres donnés par Bernstein [49] soit Vo

=

37 MeV, K = 0,s fm-', et ont déterminé le paramètre UR, considéré comme un paramètre de renormalisation tenant compte des effets négligés, en particulier des effets d'échange.

Puis ils ont appliqué cette méthode au plomb 208 (Fig. 15) pour tenter d'en déduire le rayon de la distribution de neutrons. Comme les données sont caractérisées par un paramètre, il ne peut être question de déterminer tous les paramètres de la distribution de neutrons. Ils ont donc pris la même forme que pour la distribution de charge :

en permettant seulement à cn, de prendre des valeurs différentes. Ils obtiennent ainsi un rayon quadratique moyen de 5,75 f 0,09 fm. Enfin Brissaud et al. [55]

ont mesuré sur un grand nombre de noyaux les dis- tributions angulaires de diffusion élastique de par-

DISTRIBUTION D E MATIÈRE NUCLÉAIRE, DIFFUSION ÉLASTIQUE D'IONS LÉGERS, LOURDS (24-51

FIG. 15. - Distribution angulaire de particules a sur le plomb- 208 à 166 MeV (Brissaud et al. [55]). Les courbes représentent les calculs théoriques utilisant un potentiel réel calculé par convolution de la densité de matière et de l'interaction a-nucléon, avec un potentiel imaginaire de même forme (trait plein) ou

phénoménologique (tirets).

ticules a à 166 MeV, et en ont déduit la variation du rayon quadratique moyen de la matière nucléaire à travers la table des éléments (Fig. 16) avec des incer- titudes variant de

+

^{0,l fm à 0,16 fm.} Un aspect très intéressant de cette analyse est qu'elle permet facilement de déterminer la partie de la distribution qui joue le rôle principal. La figure 17 montre comment se dégrade l'accord avec l'expérience quand on annule la densité de matière nucléaire pour un rayon infé- rieur à rd, en montrant le rapport z = x2(rd)/z2 (rd = 0)

1

^{l I I 1 I 1 I l}

3 r, (rayon 5 du noyau) 7

Z

2

l

FIG. 17. - Variation du rapport 7

-

~ z ( r d ) / ~ ' (rd = 0) des ,y2 obtenus dans l'analyse de la diffusion élastique de particules a sur le plomb-208 en fonction du rayon rd au-dessous duquel on rend nulle la densité de matière nucléaire. On voit que le X*

est insensible aux valeurs de la densité de matière audessous d'un certain rayon : environ 5,6 fm 166 MeV, environ 7 fm à 44 MeV, si on admet comme significative une variation

au moins égale à 30 % (Brissaud et al. [55]).

en fonction de rd. Si on admet comme tolérable une variation de 30

%

du x2, on voit que seule la partie extérieure à 5,6 fm environ joue un rôle important, tandis qu'à 44 MeV, c'est la partie extérieure à environ 7 fm qu'il faut considérer. 11 est très intéressant de constater que, selon l'énergie incidente, des parties très différentes de la distribution de matière sont explorées.

Il faut enfin citer l'analyse faite par Bernstein et Seidler [56] des distributions angulaires mesurées par Hauser et al. et Schatz [57] sur le zirconium 90 et le plomb 208. Bernstein et Seidler ont pris une distri- bution de matière de neutrons de la forme

I I I I

'08pb ,

' i

..-.

^MI-MA _166MeV

-

M I - M I

:

'

---

MI-MI 1 0 4 ~ e v

.-.-

M I - M I 4 4 M e V ^r

-

^' _'

et ont cherché à faire varier c et a. Comme le montre la figure 18, il existe une indétermination entre c et a très semblable à celle que nous avons rencontrée dans le modèle optique. Elle indique que c'est à un certain rayon r

=

6 fm que la densité de matière neutronique est bien déterminée à 104 MeV : dans cette région, elle est environ de 0,018 fm-3.

Bernstein et Seidler font également dans cet article une comparaison de tous les résultats connus à ce jour sur la différence des rayons quadratiques moyens des distributions de matière de neutrons et de protons pour le plomb 208. 11 est remarquable de constater que toutes les déterminations faites par diffusion de protons et particules a donnent des valeurs très

1 I 11

I

rr II 1

1 I

1

I I

I

1 I

,, II

i

1 1

1

1 .i -

FIG. 16. - Variation du rayon de la densité de matière déduit cohérentes,

dé

l'ordre de 0,25

+

^{0,10 fm.} Il faut cepen-

de la mesure de diffusion élastique de particules a de 166 MeV dant noter que les mesures de sections efficaces

par Brissaud et al. [55], en fonction de A'". ( x f , x-) à 800 MeV [58] et (y, n-)/(y, ')n à 8 et

1

i 1

I 1.

/-

-

B. FERNANDEZ

obtenus sur le potentiel réel n'en dépendent prati- quement pas.

II semble donc bien que nous possédions maintenant un moyen précis d'obtenir des informations sur la distribution de matière des noyaux. D'une part, la diffusion d e protons donne une information sur le rayon quadratique moyen de cette distribution, et d'autre part la diffusion de particules a permet de déterminer un point de cette distribution, en surface,

a i (ml c'est-à-dire déterminer à quelle distance du centre

la densité de matière a une valeur donnée, cette valeur variant avec l'énergie des particules a. 11 ne faut cependant pas se cacher qu'il subsiste quelques difficultés :

\ ' les résultats obtenus peuvent dépendre du type d'interaction choisi, et peut-être du type de para- métrisatioii de la densité de matière, quand on consi-

:O" 20" 30' 4 5 6 7 dère des densités faibles (particules a de faible énergie) ;

6,- r 1.n) la distribution de matière des neutrons est obtenue

FIG. 18. - Résultats de l'analyse de la diffusion élastique de particules a de 104 MeV sur le zirconium-90 (Bernstein et Seidler [56], données de Hauser et al., et Schatz [57]). (a) Dis- tribution angulaire, et analyse théorique avec la distribution prédite par un calcul Hartree-Fock, et une distribution de matière phénoménologiquc ajustée aux moindrcs carrés ; (b) Carte en courbes de niveaux dc ~2 en fonction des para- mètres c et a de la distribution de matière ; ( c ) Différentes distributions de matière correspondant aux points 1, 2, 3 de (b) ; elles ont la même valeur pour 7 z 6 fm ; (d) Densitk de protons

et neutrons à la surface.

16 GeV [59] donnent un résultat de signe contraire, de l'ordre dc - 0,l fm.

Nous n'avons discuté que du calcul du potentiel réel. Celui du potentiel imaginaire est beaucoup plus difficile et n'a pas été tenté dans les calculs de ce type. Les potentiels imaginaires utilisés sont donc purement phénoménologiques, avec une forme qui peut être de Woods-Saxon, ou une forme identique à celle du potentiel réel calculé, et toujours une pro- fondeur ajustable. De nombreux calculs montrent toutefois que les résultats ne sont pas très sensibles à la forme détaillée de ce potentiel, et que les résultats

par différence entre la distribution de matière globale fournie par ces méthodes et la distribution de matière des protons, fournie par la diffusion d'électrons par exemple. Elle est donc probablement mal déterminée dans les régions mal déterminées par diffusion d'élec- trons, c'est-à-dire les régions à densité faible. A fortiori, la Wérence des distributions de matière de neutrons et de protons, qui est très faible (quelques pour-cent en rayon) risque d'être sensible à de petites erreurs.

6. Conclusion. - D'une détermination empirique d'un rayon d'interaction, nous sommes arrivés, en queIque vingt ans, à la détermination de la densité de matière à une distance précise du centre d'un noyau, et ce, grâce à l'observation de la figure de diffraction formée par la diffusion de particules a. II parait maintenant vraisemblable que l'étude de cette diffusion à des énergies allant de la barrière coulombienne à plus de 100 MeV peut pcrmettre de déterminer point par point la distribution d e matière neutronique, au moins dans la région de la surface nucléaire. S'il faut tirer une morale de cette histoire, disons, comme le poète Henri Michaux dans « Face aux verrous » :

Ne désespérez jamais. Faites infuser davantage.

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