Le choix des méthodes intégrales, dans la résolution des équations aux dérivées partielles (EDP) avec conditions aux limites en général, est historiquement assez ancien et a connu un développement très dynamique suite aux travaux de W. Pour le problème de Maxwell, si on reste dans le cadre des solutions avec méthodes intégrales, de nombreuses idées ont été proposées : citons.
Origine du problème et objectifs de la thèse
Origine du problème
Ensuite, il y a le choix de la construction en ondelettes, et même pour les espaces fonctionnels classiques (espaces de Sobolev) il n'y a pas (encore ?) de construction universelle. Comme souligné dans cette thèse, le principal inconvénient d'une telle méthode était le caractère complet de la matrice discrète obtenue, qui rendait l'inversion (et donc le calcul du champ dirigé) chronophage.
Les ondelettes pour la résolution d'équations intégrales. 4
Béline [2] à l'INSA de Rennes, et ce fut le point de départ de deux thèses simultanées à Rennes : celle de R. Loison[31]. Si le point de départ et les objectifs étaient comparables, les motivations étaient très différentes : d'une part, pour la thèse de R.
Résultats et comparaisons
En revanche, pour la thèse présentée ici, l'accent a été mis sur les résultats théoriques : examen de l'opérateur intégral, estimations d'erreur, critères de compression, etc. Les résultats obtenus pour la compression, et donc la complexité algorithmique, sont en accord avec les tests numériques effectués par R.
Réduction du problème
- Modélisation du problème initial
- Equations intégrales
- Réduction du problème, objectifs
- Structure du document
Par contre, en tenant compte de la condition d'annulation de la composante tangentielle du champ électrique sur ?, on obtient. En particulier, lorsqu'on revient au cas de la surface fermée, on distingue celles Hs(M) qu'il faut distinguer de Hes(M).
Gradient surfacique
Divergence surfacique
Rotationnels
Laplacien surfacique
Potentiel de simple couche
Remarque : ce dernier théorème n'est valable que pour les surfaces fermées régulières, comme pour la partie de Fredholm pour tous les indices de Sobolev. Ce qui nous intéresse se passe à l'extérieur ?, et pour des raisons d'unicité, nous insistons sur le fait que la valeur kden n'est pas une fréquence de résonance, autrement dit que le problème intérieur n'admet que la solution triviale1.
L'équation intégrale
Si l'on prend, comme prévu, les traces tangentes dans la formule de représentation (3.2.5), on obtient Le champ E vérifie bien les équations de Maxwell et vérifie donc le problème maxwellien intérieur homogène (et E = 0 de nos hypothèses) ainsi que le problème extérieur avec la condition de rayonnement de Silver-Müller à inniment pour Es, qui restait à prouver.
Espaces
Espace des solutions
Nous voulons réduire l'équation intégrale à un système de 22 inconnues scalaires, et pour cela nous utiliserons la décomposition de Hodge des éléments X =TH?12(div?). Enfin, nous voulons travailler sur les espaces Sobolev classiques ; L'idée est que nous pourrions utiliser des éléments finis standard pour la résolution numérique et même utiliser des décompositions de valse pour résoudre rapidement le système résultant.
Preuve : Le fait qu'il s'agisse d'une parenthèse de dualité est une conséquence immédiate des théorèmes de décomposition de Hodge. La relation (3.3.18) est une conséquence directe des théorèmes de décomposition de Hodge et du théorème 3.3.3.
Décomposition de l'équation intégrale
Montrons que L11 est Fredholm : on sait que l'opérateur vectoriel à une couche V est un opérateur de Fredholm de H?12(?)3 à H12(?)3, qui peut s'écrire. Si L est bien un opérateur de Fredholm, D = diag(D11;?D22) n'est pas constrictif sur X, ce qui interdit l'utilisation de toute méthode de Galerkin sur X.
Méthode de Galerkin dans X
On fait de même pour les autres relations (4.2.17), complétant ainsi la preuve de la proposition. Preuve : Pour la première partie de la preuve, on a, grâce à la proposition précédente, pour tout uJ 2XJ,.
Le système modié: perturbation et changement de variables
Le système perturbé
Du corollaire 4.2.4, on a une estimation de l'erreur ku?uJk, entre la solution de l'équation intégrale et la solution de Galerkin, en fonction (de la régularité) du second terme et (de la régularité) de la solution u. Cette dernière convergence est plus forte si on place la solution dans H∞12, mais ce plongement n'est pas univoque, et en ce sens, on a une convergence plus faible de la norme (la norme H∙12 n'est pas une norme équivalente à la norme en X pour l'espace X2 à spins nuls).
Laplacien discret
Notes : f 2 L2 doit être supposé ici pour obtenir le second terme dans les espaces ad hoc. Mais nous avons convergence dans l'espace variationnel pour la composante à divergence nulle et convergence L2 pour l'autre composante. On notera AJ la matrice AJ par rapport à la base (pour distinguer matrices et opérateurs).
Traitement des constantes: le système augmenté
Moduler un opérateur compact, L est fortement contraignant, donc un opérateur de Fredholm de Z à son L2-Dual Zb ; pour plus. Étant M inversible et décomposé en somme d'un opérateur fortement liant et d'un opérateur compact dans son double, on a la. Preuve : La condition inf-sup est une conséquence du fait que M est fortement contraignant, modulant un opérateur compact (voir la preuve de la proposition 4.2.3).
Multirésolution sur un élément de référence
Ondelettes sur la surface
- Géométrie, bases nodales de multirésolution
- Ondelettes
- Stabilité
- Moments nuls
Nous allons montrer que la stabilité tient pour jsj 1, ce qui est crucial pour résoudre notre problème. Comme Bj est uniformément borné, et du fait que la famille f'j+1 g[fj+1 g est L2-stable, on en déduit que la famille f g[fj+1 g est une base L2-stable de j+1. On se place dans un élément du triangle Tij;k;vi est limité à vij;k,Ibjvi.
Résolution du problème perturbé
- Estimation d'erreur pour la méthode perturbée
- Préconditionnements
- Décroissance des coecients, moments nuls
- Seuillage
On fait de même pour la solution UJ:. avec pour matrice BJ la matrice déjà vue précédemment :. Nous utilisons ici les résultats obtenus dans la section précédente, en particulier nous appliquons le Corollaire 5.2.2. Bien entendu, le caractère borné de la surface est ici essentiel, sinon on n'aurait plus une estimation du type donné au corollaire 5.2.2.
Résolution du problèmecompressé,estimationsd'erreurs, conver-
Choix de la matrice de seuillage
Preuve : Pour les blocs correspondant aux matrices de Laplace et de masse (opérateur d'identité), il n'y a pas de seuil, mais le coefficient en (;0) est nul lorsque ;0 > 0.
Stabilité
Estimation d'erreur
En termes de résolution d'onde, deux différences importantes apparaissent pour les surfaces fermées régulières. En comparant les estimations avec le cas des surfaces régulières, nous remarquons que les ondelettes proches du bord, en plus de diminuer K?(2d+2+r) pour le préconditionnement, par exemple, montrent des facteurs exponentiellement décroissants en fonction de ce paramètre (essentiellement). Les équivalences de normes dépendent naturellement de la sélection des cartes, des ouvertures ou de la distribution des unités.
Opérateurs
On se donne une partition d'unité(i) par rapport à la couverture(i), et pour toute fonction (ou distribution) en dehors de ?0, on écrit. Remarque : La dérivée normale @p n'est bien définie que si le second membre est suffisamment régulier. On sait (cf. [24] pour les frontières polygonales) que les solutions du Laplacien à second terme dans L2, dans un domaine polygonal à mode de Dirichlet homogène sont dans H1+ !?”, où.
Potentiel de simple couche
Le théorème 6.3.1 a été démontré par Schneider [45] pour le cas des surfaces à bords de Lipschitz, l'article étant apparenté à celui d'Eskin [23].
Equation intégrale
La définition 7.1.1 dicte que cette divergence est dans H∼12(?) ou même dans H~∼12(?0), puisque cette divergence est naturellement égale à zéro en dehors de ?0. De ce point de vue, la deuxième définition de 7.1.2 est clairement équivalente à 7.1.1 : la distribution X(?) du support inclus dans ?0. Cette condition aux limites est entièrement incluse dans la Définition 7.1.1 en considérant, par exemple, les fonctions H1.
Espace image
- Dénition, caractérisations
- Décomposition de Hodge
- Encore une caractérisation de X b (? 0 )
- Projecteurs
Nous donnerons tout de suite la contrepartie du théorème 3.3.2, dual du théorème 7.1.1 dans un sens que nous précisons aussi tout de suite. Preuve du théorème 7.2.2 : il reste à montrer que, si et f est dans L2, alors le crochet est confondu avec le produit scalaire L2. Preuve : c'est une simple conséquence des théorèmes de décomposition de Hodge et de la dualité Xe(?0);Xb(?0).
Décomposition de l'équation intégrale
Preuve : c'est une simple conséquence des théorèmes de décomposition de Hodge et de la dualité Xe(?0);Xb(?0). avec les écritures associées claires pour les sous-espaces. Par rapport au cas de la surface régulière, on aura à discrétiser deux types d'éléments : typiquement ceux en H1(?0) sans conditions aux limites, et ceux en He1(?0), avec une condition de Dirichlet homogène au bord. Cela signifie que les représentations conservent les barycentres et que, par exemple, le milieu d'une arête de la triangulation de T au niveau j est envoyé vers un milieu d'une arête de la triangulation de la surface au même niveau de résolution.
Ondelettes
- Cas sans conditions au bord
- Stabilité
- Cas avec condition nulle au bord
- Moments nuls
Inégalité inverse : Comme supposé, la triangulation (à tous les niveaux de résolution) de ?0 fait partie de la triangulation de. On se donne un élément pj 2j(?0) et on le développe en un élément pj 2j(?) pour que pej s'annule à tous les nœuds de ?n?0 de la triangulation. Reste l'inégalité directe : pour j assez grand, on peut trouver deux ensembles compacts Kj1 Kj2 formés de triangles fermés du triangle plan.
Méthode de Galerkin pour la résolution de l'équation intégrale. 156
Le système perturbé
De plus, si u est une solution de Lu=f et si J 2YJ est une solution de. C'est exactement le résultat du corollaire du corollaire 8.3.3 avec les relations de liaison PJ, PbJ, J et 0J vues dans la proposition 8.3.1. A partir du corollaire 8.3.3, on a une estimation de l'erreur ku?uJk, entre la solution de l'équation intégrale et la solution de Galerkin, en fonction de la (régularité) du second terme et de la (régularité) de la solution u.
Laplacien discret
Traitement des constantes: le système augmenté
Commençons par remarquer que le problème perturbé avec changement de variables (matriceAJ) est une méthode de Galerkin pour un problème en variables. En utilisant la méthode de Galerkin pour l'opérateur M, on obtient le résultat recherché (élimination des constantes) : on pose. La relation au problème désordonné se lit facilement en prenant pour fonctions de test, d'abord les éléments de type (0Z;0) à moyenne nulle, puis en prenant les fonctions de test à moyenne nulle, dont ZJ est la solution.
Estimations d'erreurs pour la méthode perturbée
Pour le comportement des opérateurs, on retrouve (essentiellement) le comportement de l'opérateur simple couche et les remarques ci-dessus. Dans les coefficients de la matrice, on trouvera des éléments faisant intervenir ces deux types d'ondelettes, et on prendra des précautions pour présenter une (bonne) décroissance de ces éléments (au fur et à mesure que le niveau de résolution augmente). Pour ces derniers, nous appliquons la stratégie de troncature vue dans la section 5.3.1 (rien de différent loin du bord...).
Préconditionnement
On réduit l'opérateur M à un opérateur de `2 en lui-même en utilisant à nouveau l'équivalence des normes selon la base des ondelettes : on résout l'équation en UJ au niveau discret.
Seuillage
En revanche, pour les éléments non nuls sur la frontière, l'intégration par parties donne un élément de frontière qui n'a pas d'estimation analogue à celle relative aux moments nuls (ou une estimation beaucoup plus faible, comme nous le verrons). Pour la première condition, puisque]r?0;?j enO (2j) donne le nombre d'éléments non nuls augmenté de. Enfin, pour la dernière condition, on branche le cas élaboré pour les surfaces fermées où l'on a la condition.
Stabilité, estimation d'erreur, convergence
Les estimations par blocs
Pour la première affirmation, nous effectuerons la preuve pour le bloc M = (m;0) = A43?Ac43; les autres blocs ont une analyse strictement similaire. De la symétrie de la matrice, nous savions que nous devions faire le travail sur les lignes. 8.8.7) où P0 est un point quelconque du support de et C une constante qui ne dépend que de la géométrie de la surface et du caractère local des ondes.
Stabilité, taux de convergence
