Ainsi, l’un des modèles biologiques les plus simples et les plus importants – le modèle logistique – correspond à la dynamique des polynômes quadratiques dont l’étude mathématique est la plus intéressante. Il est donc intéressant de considérer des modèles de dimension supérieure comme l'application Hénon (qui est une petite perturbation de la dynamique polynomiale quadratique en dimension 2), et qui sont encore mal compris d'un point de vue théorique.
Modèle initial continu
En se référant à la figure 25, où se situent ces points (voir section 4.2.3), on voit qu'il s'agit de la zone de pliage. Sortie de la "tête" L'équilibre (entre pli et pointe) est répulsif à expansion négative (la valeur propre dominante est négative), tandis que le circuit en période 2 (au niveau du col, entre les points 42 et 31) est positivement répulsif. Tant que N(r) est suffisamment petit devant 100 000 et suffisamment grand devant 1, les points obtenus sont presque alignés et la pente (en valeur absolue) de la droite de régression est une bonne estimation de la dimension fractale de l'objet. attracteur.
Compte tenu de l'imprécision de la méthode de localisation des plis, il est quasiment certain que la ligne brisée considérée saute d'un filament à l'autre. Valeurs propres du différentiel au pli (en T2(xj)) Première valeur propre Deuxième valeur propre. Il faut donc rapporter les grandeurs calculées au diamètre de la projection de l'attracteur.
Ayant une variété locale instable, sa partie image T−2n doit se rétrécir autour de l'équilibre pour n suffisamment grand. Puisqu'il s'agit d'un équilibre, il s'agit de calculer des images successives de la partie T2 de la variété locale instable. En fait il n'y a pas forcément de « mélange » de l'espace des phases sous l'action de la dynamique dans le cas d'un système transitoire.
En fait, cette propriété équivaut à la notion suivante (qui se distingue clairement de la notion d'attracteur, définition C.14). Un processus de regroupement en bandes se produit alors, à l'image de la cascade directe : les composants liés de l'attracteur fusionnent séquentiellement.
Lissage de la fécondité
Lissage du facteur saisonnier
La fonction mρ définie par (2.3) n'est pas continue ; il est légitime de considérer un facteur saisonnier un peu plus régulier. Pour ce faire, on ajoute un paramètre | qui indique la durée du printemps et de l'automne.
Aspects biologiques
Études antérieures
Il a été démontré expérimentalement qu'une augmentation de la quantité de nourriture disponible augmente la densité, mais n'a aucun effet sur la dépendance à la densité (C. glaerolus, Finlande [YSHPJ01]). Ainsi, nous avons tenté d'incorporer la stochasticité environnementale et démographique dans les modèles pour expliquer les fluctuations de population observées (C. glaerolus, Alps [YS00]).
Paramètres du modèle
Âge de première reproduction La maturité des femelles est supérieure à 17 jours, auxquels il faut ajouter la durée de gestation, soit encore 20 jours [YIS93]. L'âge maximum de 2 ans est également une légère surestimation de ce qu'il est réellement.
Problèmes posés
Par la suite, nous écrirons parfois Ns au lieu de Nts lorsque cela ne crée pas de confusion. A un N ∈ Yt0 donné, on associe donc une unique fonction continue N définie sur [−A1; +∞[ couvrant N et compatible avec T (c'est-à-dire résoudre l'équation (2.1)).
Existence d’un attracteur
Modèle non-saisonnier
Dans les deux cas (figures 7 et 8) il semble qu'il s'agisse d'une décomposition spectrale (voir théorème C.12) de l'attracteur Λ en un nombre fini de composantes (respectivement 2 et 10). L'hypothèse la plus plausible serait qu'à ces valeurs de γ il existe deux attracteurs différents, et que la condition initiale (I) se transfère brusquement du bassin de l'un au bassin de l'autre.
Deux attracteurs coexistent pour certaines valeurs de γ : un point fixe (au milieu) et une orbite de période 2 (haut et bas). Il est également possible que le diagramme soit en fait continu, mais que les bassins d'attraction des orbites périodiques attractives soient trop petits pour être atteints par des simulations, avec la méthode que nous avons utilisée ici.
En revanche, il n’est pas tout à fait certain que T2 soit effectivement topologiquement mélangé à chacun, même si nous n’avons pas vu de périodicité évidente. La dynamique de f sur ces cycles n'est pas nécessairement simple (c'est-à-dire topologiquement conjuguée à la rotation) et le cycle peut ne pas coïncider exactement avec l'attracteur.
Étude du cas (0,15; 0,30; 8,25)
Visualisation en dimension 3
Lorsque des zones bien séparées ont été distinguées, nous avons conclu que la dynamique était N-périodique. Après un nombre suffisant d’itérations de ce processus, nous avons une bonne approximation de la variété instable locale à l’équilibre. Ceci s'accompagne de la création d'une orbite stable de période 2, tandis que le point fixe devient instable.
Géométrie de l’attracteur
Dynamique sur l’attracteur
Dans cette zone de la tête et de l’arrière, on peut schématiser la dynamique comme suit. On laisse donc le triangle soit par le bas de l'arrière, soit par le plat ou le creux, soit par la queue.
Visualisation en temps continu
On quitte donc le corps, pour y revenir rapidement (si on descend trop bas dans le point arrière, soit près du triangle, soit au point 49), ou (le plus souvent) après avoir traversé le pli et éventuellement la pointe. Ce bref aperçu de la dynamique permet de comprendre comment le mélange et le chaos des dynamiques s'établissent sur l'attracteur. Différences entre régions Les régions de l'attracteur se distinguent par l'amplitude des pics (il y a un facteur 2 entre les amplitudes possibles des maxima élevés) et des creux (inférieurs ou supérieurs à 1), ainsi que par l'amplitude relative. plitude des maxima secondaires (inexistants ou valant jusqu'à 2).
Les pics faibles se retrouvent sur la queue (quand elle apparaît à t = 0) ou sur l'avion (quand elle apparaît à t = 2). Des pics très élevés (N ≥6) se trouvent au niveau du pli, de la pointe, du sommet de la pointe arrière et du col, avec quasiment aucun maximum secondaire et des minima inférieurs à 1. Le deuxième pic est légèrement plus bas que le premier à la pointe, mais le rapport s'équilibre à l'approche du virage.
Cette analyse peut être affinée à l'aide des figures de l'annexe D, qui permettent de distinguer les filaments d'une région en utilisant une évolution temporelle continue dans le passé ou dans un futur proche.
Dimension fractale de l’attracteur
Sensibilité aux conditions initiales
Point fixe, variété instable
Cela nous donne un argument supplémentaire pour penser que 3 dimensions suffisent pour représenter l'attraction : les valeurs propres suivantes ont un module encore plus petit, l'attraction n'est réellement étendue qu'en 2 ou 3 dimensions, tandis que les autres ont peu d'importance. Variété instable Nous pouvons déterminer la variété instable en regardant les images avec f = T2 d'un segment situé dans la direction instable près de l'origine (Figure 34). D'un point de vue dynamique, il est intéressant de visualiser comment cela se déroule au sein de l'attraction, tant d'un point de vue dynamique que d'un point de vue géométrique.
La variété instable est en effet une courbe continue, ce qui nous donne une idée plus précise de la géométrie. Notez cependant que le filament 58-74 (c'est l'une des branches) n'a pas encore été atteint.
Formation du pli
Sur deux ans, cela se traduit par une forte augmentation de la courbure, mais avec le temps, il y a des périodes où la tendance s'inverse. L'approche dynamique La question du repliement peut être abordée d'un point de vue dynamique plutôt que purement géométrique en observant l'évolution de la population en temps continu (figure 39). Nous avons calculé ici les valeurs et vecteurs propres du différentiel D de T2, et non ceux de D⋆D, qui permettent d'estimer avec précision les directions contractées ou élargies, dans la mesure où < x, D⋆D(x )> = kD(x)k2.
La troisième partie est droite et monte en même temps que le sommet de la deuxième partie. Ces deux phénomènes sont si difficiles à distinguer l'un de l'autre que la normalisation L1 du vecteur propre conduit à une compensation entre la hauteur du pic et celle de la partie rectiligne. Les quelques irrégularités observées sur les courbes des figures 41 et 43 semblent confirmer l'hypothèse avancée lors de l'investigation de la courbure du pli : la ligne brisée considérée doit « sauter » d'un filament à l'autre, deux filaments l'un à côté de l'autre. . côte qui n'a pas exactement la même courbure.
Pour −0,6≤δ≤ −0,35, on voit que la pièce, jusqu'alors quasiment rectiligne, se plie littéralement lors du déplacement rapide dans R3 depuis la zone "inférieure" (deux coordonnées proches de 1, la troisième grande) vers la " zones " supérieures (une coordonnée proche de 1, les deux autres grandes).
Non-hyperbolicité de l’attracteur
Cela ne serait utile que dans le contexte de l’étude de la « taille » des régions de contribution de plusieurs attracteurs. Visualisation des mesures physiques Afin de limiter la taille des chiffres représentant l'attracteur, nous n'avons présenté qu'une fraction des points que nous avons calculés, de sorte qu'il y a environ 20 000 points dans chaque graphique. En chaque point nous avons déterminé les éléments de la sphère B de rayon = 0,1 dans Lp(R201) centrés en ce point x201(t0).
Le cas spécifique de la dynamique hyperbolique est extrêmement important, notamment parce qu’il se produit dans la plupart des systèmes dynamiques. Soit l'alphabet Aun (c'est-à-dire un ensemble) fini, pourvu de la topologie discrète et du voisinage ouvert, Q est dense dans R .
On montre alors une proposition similaire à la proposition C.16, qui complète la classification dans le cas de dimension 1. Pour toutǫ,(0,0)est un équilibre du système, les valeurs propres de la dérivée en 0 sont µǫ = jeλ+ǫ et µǫ. Ces fenêtres de périodicité sont proches, montrant clairement la complexité de la dynamique dans cette région de l’espace des paramètres.
