1.8. EXPLOITATION DES T-INVARIANTS 17
1.8 Exploitation des T-invariants
L’ensemble des T-invariants peut aider à identifier les parties du réseau qui sont superflues vis à vis de la fonction métabolique que l’on étudie.
En fait, chaque T-invariant peut être vu comme un module qui permet lorsqu’il fonctionne “à la bonne vitesse”, de maintenir l’état du système.
• Les T-invariants triviaux (réactions réversibles) permettent de maintenir le système dans un état stationnaire mais ne contribuent pas à la voie métabolique; ils ne sont pas très intéressants.
• Par contre les autres T-invariants contribuent à la voie métabolique. On va donc se focaliser surtout sur les autres.
Les transitions qui ne sont impliquées dans aucun T-invariantnon-trivialsont des candidats pour une réduction du réseau.
Pour être plus précis, la suppression de ces transitions ne change pas les fonctionnements station- naires, puisque ces transitions n’apparaissent pas dans les T-invariants non triviaux.
Ainsi étudier les comportements stationnaires du système réduit (après suppression de ces transi- tions) revient au même qu’étudier le comportement du système initial.
Si on reprend le cas de la synthèse de l’amidon dans la pomme de terre, les candidats pour une réduction du modèle sont :
• SPSr
• AdK et AdKr
Dans ce cas, on a pu ainsi supprimer une place (AMP).
Exercice : Supprimez les transitions correspondant à ces candidats dans le RdP de la synthèse de l’amidon dans la pomme de terre et recalculer les T-invariants.
1.9 Ensembles de transitions dépendantes (ADT sets: abstract dependent transition sets)
Définition 1.9.1
• Deux transitions dépendent l’une de l’autre si elles apparaissent toujours ensemble dans l’ensemble des T-invariants (non triviaux). Autrement dit, à un état stationnaire l’une des transitions ne peut fonctionner sans l’autre.
• Cette relation est reflexive, symétrique et transitive. C’est donc une relation d’équivalence menant à une partition de l’ensemble des transitions en classes d’équivalence. Les classes d’équivalence sont appelés ADT setsou ensembles des transitions dépendantes.
Il est évident que quelque soit la classe d’équivalence et quelque soit le T-invariant considéré, soit tous les éléments de la classe appartiennent à l’ensemble des transitions du T-invariant (appelé support du T-invariant), soit aucun.
Comme les ensembles de transitions dépendantes (ADT sets) sont disjoints par définition (les classes d’équivalence sont disjointes), ils définissent des sous-réseaux qui peuvent se chevaucher uniquement sur certaines places. Ces places, qui appartiennent à au moins deux sous-réseaux, définissent l’interface entre ces sous-réseaux. Du coup, on peut construire une abstraction du réseau de départ en associant une transitionabstraite à chacun de ces sous-réseaux. Cette abstraction est construite par l’algorithme suivant.
18 CHAPTER 1. LES RÉSEAUX DE PETRI Algorithme de construction du réseau abstrait basé sur les ADT sets
1. calculer les ensembles de transitions dépendantes (ADT sets), qui doivent être connectés, 2. à chaque ensemble de transitions dépendantes, associer une transition
3. à chaque interface, on associe une place
Exemple 1. Reprenons l’un des exemples précédents (voir ci-dessous). Les deux T-invariants sont : (1,1,0,0)et (0,0,1,1).
4
a b
4 e
t2
t1 t3
t4
ae4 be
4
a b
4 e
t2
t1 t3
t4
ae4 be
L’interface entre les deux sous-réseaux induits par les T-invariants est l’unique place e. Le réseau abstrait est donc : e
4 4
t3
t1
Exemple 2. Soit le système suivant :
a −→ b
b −→ c
2.b −→ d
c −→ a
c −→ 3.e
d −→ e
e −→ 2.b
3.e −→ f
f −→ c
Peut-on décomposer ce système ?
1. Construction du RdP associé
a b d
e
f c
2 2 3
3 t1
t4
t9
t3
t6
t8
t2 t7
t5
2. Calcul des invariants : (t1, t2, t4), (t3, t6, t7), (t5, t8, t9)
3. Les classes d’équivalence : C1={t1, t2, t4},
C2={t3, t6, t7}, C3={t5, t8, t9}
4. Abstraction du réseau : b
c e
C1 C2
C3
2
3
