générations de la commande CRONE

Etude du contrôle de la température d'un milieu homogène fini, diffus et incertain à l'aide des trois générations de la commande CRONE. Ce résultat est utilisé dans le chapitre suivant dans le cadre de la définition de modèles de synthèse de fréquence pour des contrôles robustes.

Avant-propos

1 ERE P ARTIE

1.1 - Introduction

Après avoir rappelé la carte de contrôle et les données nécessaires à la synthèse (les spécifications des spécifications, les modèles du procédé et les signaux d'entrée, ainsi que les zones d'incertitude), une attention particulière est portée à la traduction des spécifications temporelles de les spécifications en spécifications de fréquence. Enfin, les principes des trois générations du contrôle CRONE sont résumés et les principales étapes nécessaires pour utiliser la boîte à outils de conception du système de contrôle CRONE sont présentées.

1.2 - Opérateur intégro-différentiel non entier

L'introduction de la forme diffusive (Trigeassou, et al., 2012) (Trigeassou, et al., 2013) facilite l'interprétation système de l'intégrateur non entier. Cette définition de la dérivée non entière basée sur l'opérateur Im(s), sans formulation analytique de Dm(x(t)), est la définition implicite de la dérivée d'ordre non entier.

1.3 - Exemples d’intégrateurs non entiers

Que le caractère localisé des paramètres d'un système soit le résultat d'une discrétisation spatiale (méthode des éléments finis), ou d'une localisation réelle des éléments d'un circuit ou d'un réseau (électrique : Figure 1.6 ; mécanique : Figure 1.7 ; hydraulique : Figure 1.8 ;. .. ), le lien avec le SDNE a fait l'objet de nombreux travaux (Oustaloup, 1995). Chacun de ces segments étant le siège de phénomènes capacitifs et dissipatifs, une cellule gamma RC lui est associée, d'où le réseau thermique de la figure 1.10 constitué d'un agencement en cascade de N cellules gamma RC identiques (Poinot & Trigeassou, 2004).

1.4 – Synthèse d’un intégrateur non entier pour la simulation temporelle

Une décomposition de l'expression (1.31) de IN(s) en éléments simples facilite le passage au domaine temporel, à savoir. Pour obtenir un comportement intégratif du 1er ordre à travers les frontières, c'est-à-dire aux basses et hautes fréquences compatibles avec l'approche fréquentielle, un mode intégratif pour k.

1.5 – Commande CRONE

La première génération du contrôle CRONE est basée sur un contrôleur à phase constante C(s) (proche de la fréquence à gain unité en boucle ouverte ωu) obtenu pour une plage de fréquence limitée [ωA, ωB], c'est-à-dire La figure 1.22 montre un exemple de fenêtre de dialogue dans le cas de la commande CRONE de troisième génération.

1.6 - Conclusion

2 EME P ARTIE

M ODELISATION DES PHENOMENES DE DIFFUSION THERMIQUE DANS UN MILIEU FINI HOMOGENE EN VUE DE

Etude comparative des milieux fini et semi-infini

SOMMAIRE

2.1 – Introduction

2.2 – Modélisation

La condition initiale que la température soit nulle, la transformation de Laplace de la première équation du système (2.1) conduit à une équation différentielle d'ordre 2 par rapport à la variable x, c'est-à-dire Notons, pour la suite de l'analyse, que L et Lx sont reliés par une relation de la forme De plus, l'inverse de la fréquence de transition L définit la constante de temps de diffusion, L, pour le milieu fini de longueur L, c'est-à-dire

Du point de vue du système, les transferts Hx,s, et H(x,s,L) peuvent être interprétés comme le résultat de la cascade (figure 2.2).

Premièrement, seule l'analyse de la réponse fréquentielle F(0, j, L) permet de souligner à x = 0 l'influence du caractère fini du milieu par rapport au cas semi-infini. Il existe donc deux comportements asymptotiques, à savoir :. aux basses fréquences, un comportement intégratif fractionnaire d'ordre aux hautes fréquences, un comportement proportionnel unitaire. Dans un deuxième temps, l'analyse de la réponse fréquentielle globale H(0, jω, L) permet de souligner, toujours à x = 0, les différences entre les environnements fini et semi-infini, soit : - aux basses fréquences, un comportement intégrateur d'ordre 1.

Aux hautes fréquences, les deux milieux présentent en réalité le même comportement d’intégration partielle de l’ordre de 0,5.

Une étude comparative à x = 0 entre milieux semi-infinis et finis montre que la différence se retrouve aux basses fréquences. De plus, l’exploitation de la dualité temps-fréquence à l’aide des théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale permet cette affirmation. Ainsi, si la durée de la simulation temporelle Tsim est beaucoup plus courte que la constante de temps de diffusion L, alors seul un comportement partiel est observé, le milieu fini peut alors être assimilé à un milieu semi-infini.

1lim

Comme à x = 0, la relation (2.35) met en évidence l'existence d'un comportement asymptotique, cours0, de type capacitif caractérisé par un intégrateur d'ordre 1. Le comportement intégrateur d'ordre 0,5 observé pour x = 0 à des fréquences élevées progressivement disparaît à mesure que x s'éloigne de l'origine, phénomène d'autant plus prononcé que la longueur L du milieu fini diminue. Alors, de la même manière que dans le cas du milieu semi-infini pour x > 0, le comportement fractionnaire d'ordre 0,5 observé dans les fréquences moyennes dans le cas du milieu fini (relation (2.49)) diminue lorsque x =  d/x2 diminue, c'est-à-dire lorsque x s'éloigne de l'origine.

Enfin, dans la mesure où le comportement fractionnaire d’ordre 0,5 est également limité aux basses fréquences par la présence d’un comportement intégratif d’ordre 1 (relation (2.48)), il peut disparaître complètement si x et L sont suffisamment proches.

2.5 – Conclusion

Le comportement asymptotique aux hautes fréquences d'un milieu fini de dimension L à la profondeur x est identique à celui d'un milieu semi-infini, comme le montre la relation (2.50). Exploiter la dualité temps-fréquence à l'aide du théorème des valeurs initiales permet donc de confirmer que le comportement asymptotique dans les premiers instants d'un milieu fini de dimension L à la profondeur x est identique à celui d'un milieu semi-infini.

Modèles d’analyse et de synthèse

3.1 – Introduction

3.2 – Modèles d’analyse

Le tableau 3.3 présente les valeurs numériques des paramètres H0, L et x de la forme canonique réduite de H(x, s, L) (relation (3.3)), selon la nature du matériau, la longueur L du milieu et la position x du capteur. 3.2.3 - Analyse de l'influence du matériau et de la longueur L du milieu Par rapport à la condition paramétrique nominale du procédé, les variations sont dues à la nature du matériau. 3.2.4 - Analyse de l'influence du matériau, de la longueur L du milieu et de la position x du capteur.

Toujours par rapport à l'état paramétrique nominal du procédé, aux variations de la nature du matériau.

3.3 – Modèles de synthèse

Les figures 3.12 et 3.13 présentent les réponses fréquentielles de H(x,s,L) correspondant à la deuxième étude de cas utilisée dans le cadre de la synthèse de la commande CRONE de 2ème génération. Pour le reste, le modèle P2.2(s) utilisé pour la synthèse de l'affectation CRONE de 2ème génération pour cette deuxième étude de cas est ainsi obtenu comme précédemment par en H(x,s,L) (relation (3.3)) pour remplacer . , F(0,s,L) par F~0,s,L. Les figures 3.15 et 3.16 présentent les réponses fréquentielles du modèle P3(s) utilisé pour la synthèse de la commande CRONE de 3ème génération.

La synthèse de 3. Le contrôle CRONE de génération ne peut pratiquement pas être réalisé sans la boîte à outils CRONE Control.

3.4 – Conclusion

Dans ce cas, les différentes réponses fréquentielles du modèle associées aux états paramétriques définis pour l'étude sont générées à l'aide d'un fichier MatLab puis transférées à l'aide de la boîte à outils.

3 EME P ARTIE

S YNTHESE F REQUENTIELLE DE C OMMANDES R OBUSTES

4.1 – Introduction

Dans ce cas, le régulateur se réduit à un intégrateur d'ordre 1 en cascade avec une cellule d'avance de phase d'ordre 0,25, conformément aux développements précédents. Dans ce cas, le régulateur se réduit à un intégrateur d'ordre 1 en cascade avec une cellule d'avance de phase d'ordre 0,5, conformément aux développements précédents. La constance de la marge de phase M quel que soit le mode paramétrique illustre bien, dans le plan de Black-Nichols, la robustesse du degré de stabilité vis-à-vis des variations paramétriques.

La constance des facteurs de résonance, notamment ceux de la fonction de sensibilité complémentaire T, quel que soit l'état des paramètres, dans le domaine fréquentiel démontre bien la robustesse du degré de stabilité vis-à-vis des variations des paramètres.

4.3 – Commande CRONE de 2 ème génération

Enfin, pour les trois cas d'études correspondant aux trois valeurs de marge de phase M et 90°, les structures des régulateurs synthétisés avec les approches de contrôle CRONE de première et deuxième génération sont identiques. Ainsi, à x > 0, l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte (s,x) est donnée par. Par définition, l'expression de la marge de phase M(x) à la fréquence de gain unité, u, a la forme.

Ce résultat est prévisible étant donné la dépendance de la marge de phase M(x) sur x, illustrée à la figure 4.7.

4.4 – Conclusion

5.1 – Introduction

5.2 – Synthèse en présence de variations de gain avec phase non constante

Quelle que soit la valeur d'ordre n proche de u, l'expression (5.6) CF(s) reste théorique dans la mesure où son gain tend vers l'infini lorsque  tend vers les hautes fréquences, du fait de la présence d'une exponentielle croissante. Quant à la forme rationnelle de CR(s), elle est dérivée de la connexion de la forme rationnelle du régulateur de 1ère génération (relation (4.13)) en cascade avec la forme rationnelle de l'approximation polynomiale de l'exposant obtenue avec l'outil CRONE avec fréquence identification, c'est-à-dire Enfin, la robustesse du degré de stabilité des réponses temporelles (Figure 5.2.d) simulées par la forme rationnelle de CR(s) permet d'évaluer la qualité de l'identification fréquentielle déjà présentée en Figure 5.1.c.

Quant à la forme rationnelle CR(s), elle résulte de l'association de la forme rationnelle du contrôleur de cascade de 1ère génération avec la forme rationnelle du polynôme d'approximation exponentielle, soit

5.3 – Synthèse en présence de variations de gain et de phase

Ce résultat se traduit au niveau de la fonction complémentaire de sensibilité par la quasi-constance du facteur de résonance (Figure 5.9.e). Pour cet exemple, les paramètres optimaux concernent la fonction de transfert en boucle ouverte. Ce résultat se traduit au niveau de la fonction complémentaire de sensibilité par la quasi-constance du facteur de résonance (Figure 5.11.e).

Dans le cadre de l'étude comparative, les réponses de l'indice de la figure 5.12 doivent être comparées à celles de la figure 5.8.

5.4 – Conclusion

Conclusion générale et perspectives

Puis, à partir de ces résultats, trois axes d'étude sont définis adaptés à la synthèse de chacune des trois générations de la commande CRONE. Le chapitre 4 présente l'étude comparative des deux premières générations du contrôle CRONE, étude associée au premier domaine (variations de gain à phase constante). L'influence de la variation de phase en plus de la variation de gain sur les performances du 2. Le contrôle de génération CRONE, en particulier la sensibilité du degré de stabilité aux incertitudes paramétriques, est illustré.

En effet, la minimisation de la sensibilité du taux de stabilité aux incertitudes paramétriques associées à ce troisième domaine d'étude conduit à un taux de stabilité quasiment robuste, illustrant ainsi le fait que la commande CRONE de troisième génération est adaptée à cette étude de cas récente.

Application of Fractional Calculus to Polarization Dynamics in Solid Electrical Materials, Montana: Montana State University. Estimation of heat flow in a CrN-coated tool during MDF machining using a non-integer system identification technique. Use of fractional Volterra series to identify thermal diffusion in an ARMCO iron sample subjected to large temperature variations.

Approximation of a partial order model by a full order model: a new approach considering approximation error as an uncertainty.