HAL Id: jpa-00248869

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Submitted on 1 Jan 1992

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Modélisation 2D par Eléments Finis de phénomènes micro-ondes en milieu ouvert

L. Nicolas, K. A. Connor, S. Salon, B. G. Ruth, L. F. Libelo

To cite this version:

L. Nicolas, K. A. Connor, S. Salon, B. G. Ruth, L. F. Libelo. Modélisation 2D par Eléments Finis

de phénomènes micro-ondes en milieu ouvert. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1992, 2 (11),

pp.2101-2114. �10.1051/jp3:1992234�. �jpa-00248869�

J. Phys. ^{III France 2} (1992) ^2101-2114 NOVEMBER 1992, PAGE 2101

Classification

Physics

Abstracts 41.90 02. 60

Modklisation 2D par Eldments Finis de phdnomknes micro- ondes

_en

milieu _ouvert

L. Nicolas

(I),

K. A. Connor

(2),

S. J. Salon

(2),

B. G. Ruth

(3)

et L. F. Libelo

(3)

(1) Centre de G£nie

Electrique

de

Lyon,

URA CNRS 829, B.P. 163, 69131

Ecully

Cedex, France (2) Rensselaer

Polytechnic

Institute,

Troy,

NY 12180-3590, U-S-A-

(3)

Harry

Diamond Laboratories,

Adelphi,

MA 20783-1197, U-S-A- (Regu le 17 _mars 1992, rdvisd le 26 mai1992, acceptd ^{le 11} ao4t1992)

R4sumd. Nous

pr£sentons

ici notre activitd dans le domaine de la moddlisation bidimensionnelle de

prob16mes

de micro-ondes _en milieu ouvert, pour la

conception

d'antennes _ou l'dtude de

problkmes

de diffraction

£lectromagn£tique

_: forrnulation _par la m£thode des El£ments Finis,

prise

en compte ^{de l'infini} par la m£thode des

Equations Int£grales

de Frontikre ou par des conditions

aux limites absorbantes, moddlisation des _sources de courant, calcul du

champ

lointain. Dons _une seconde

partie,

_nous illustrons _ces diff£rentes m£triodes par la mod£lisation d'une antenne haute

puissance.

Abstract. We present ^{in this} paper ^the modelization of open boundaries microwave

problems

using Finite Element method, for the

design

of antennas _or for the

study

of electromagnetic

scattering

_: Finite Element forrnulation,

coupling

with

Boundary

Element Method _or with Absorbing

Boundary

Conditions, modelization of _{current sources,} calculation of far field. In _a

second pan, we show the results

conceming

_a

high

_power microwave launcher.

1. Introduction.

Les

probl~mes

lids h la

g6ndration,

le

guidage

et la

propagation

de micro-ondes h haute

puissance

deviennent de

plus

_en

plus importants

dans de nombreux domaines de

recherche,

tels que la fusion nuddaire _par

exemple. Jusqu'h prdsent,

les diffdrents

dispositifs

dtaient calculds _en faisant

appel

h la thdorie

g60m6trique

de la diffraction

(GTD)

_:

l'analyse

est alors

g6n6ralement

limit6e h la consid6ration du

champ lointain,

les

propri6t6s

du

champ proche

_ne pouvant ^dtre d6termin6es _avec

prdcision.

Or celui-ci

peut

se r6v61er crucial

lorsque,

_par

exemple,

les

6nergies

mises _en

jeu

sont suffisamment

importantes

_{pour que} les

ph6nom~nes

dlectromagndtiques

deviennent _non lindaires. Nous

pr6sentons

ici _une mdthode

numdrique qui pallie

_ces insuffisances: il

s'agit

de la m6thode des E16ments Finis,

d£veloppde

_en

2 dimensions et utilis6e _avec des conditions _aux limites absorbantes _ou

coup16e

h la m6thode des

Equations Int6grales

de Frontibre pour

prendre

_{en compte} le domaine ext6rieur

jusqu'h

l'infini. Nous

l'appliquons

h la

conception

de

guides

d'ondes ouverts

(ce

^demier tenure par

opposition

_aux cavitds

qui

_sont

ferrn6es)

_ou h l'6tude de

problkmes

de diffraction. Dons _une

premikre partie.

nous d6crirons la formulation mdme _: mise _en

Equation, couplage

_avec la m6thode des

Equations Int6grales,

mise _{en oauvre} des conditions _aux limites

absorbantes,

mod61isation des _sources pour [es

guides d'ondes,

calcul du

champ

lointain. Dans _une seconde

partie,

nous

pr6senterons

les r6sultats d'une mod61isation d'une structure h base d'antennes de Vlassov. En

particulier,

le

champ

lointain calcu16 par E16ments Finis _sera

compard

h celui mesurd dans la structure rdelle.

2. Formulation par E14ments Finis.

Les

Equations

de base sont dvidemment celles de

Maxwell,

6crites _en

r6gime harrnonique,

en

prenant en

compte

^le tenure dli _aux courants de

d6placement

VXE

=

-Jm-jWPH (i)

V _x H

=

J~

+

jw

eE

(2)

oh

E _est le

champ dlectrique

H est le

champ magn6tique

J~ est la densit6 de courant

61ectrique

Jm

est la densit6 de _courant

magn6tique

w est la

pulsation

des

phdnombnes (=

2

wf)

e et _p sont

caractdristiques

des matdriaux.

2. I MISE _EN

tQUATION.

En croisant les deux

dquations prdcddentes, appliquant

la mdthode de

Galerkin,

et utilisant des identit6s vectorielles

classiques,

_nous obtenons alors la

formulation _{« en}

champ 61ectrique

_{» ou « en}

champ magndtique

_» :

-I[)(VXW)(VXE)+jwew.EjdD- W.H~dr=- W.J~dD (3)

a J°'H

r a

ou bien

()(VXW)(VXH)+jwpw.HjdD- W.E~dr=- W.J~dD (4)

a J°JE

r a

oh

W _est la fonction

poids

utilisde

k _est la constante de

propagation (k~

=

w~

ep

E~ est la composante

tangentielle

du

champ 61ectrique

_sur la frontibre

(= (1/j

_we

)(3E/3n))

H~ est la

composante tangentielle

du

champ magn6tique

_sur la frontikre.

En 2

dimensions,

suivant la

polarisation,

seule _une seule composante ^subsiste :

E~

pour un

mode Transverse

Electrique _{(TE), H~}

_{pour un} mode Transverse

Magndtique (TM) (Fig.

I la formulation

prdcddente

devient

alors,

_{pour un} mode TM :

I(VW.~VH~+jwpw.H~j

^dD-

^{W.E~dr= W.J~~dD (5)}

a J°JE _r

a

et pour un mode TE _:

([VW ^{) VE~}

⁺

^j

w eW

E~j

^{dD W}

^H~

^{dr = W J~~ dD}

⁽⁶⁾

a J °J P _r

a

N° II tLEMENTS FINIS 2D EN HYPERFREQUENCES ²¹⁰³

, ^,

, ^,

, '

~~§-

j'

~~~-

^/'

~~f~

/ ^x

/~_ _E~$~j

Fig.

I. Onde

plane

incidente sur un

cyclindre

_: mode TM (a), ^{mode TE} (b).

[Uniform

plane

wave on a

cylinder

_: TM mode (a) ^and TE mode (b).]

2.2 DISCR#TISATION _EN

ilL#MENTS

_{FINIS. -Ces} diffdrentes

grandeurs

sont

exprimdes

_en

utilisant des fonctions de base

classiques

N

(x, y)

:

n n

liz

_"

I ~klizk,

i'~

~

i ~k'

~~~

k=I k=1

oh _n est le nombre de noauds par dldment fini.

Les 616ments finis utilis6s sont du

type triangles isoparam6triques

du deuxikme ordre, et la formulation

(5)

6crite _sous forme matricielle devient _:

isi [Hi iTi iEti

=

IF1 (8)

avec

[HI

: vecteur colonne des inconnues nodales

H~

[E~]

: vecteur colonne des inconnues nodales

E~

et les matrices

[S], [T]

et

IF

d6finies _comme suit _:

[S]

=

~ ~ _VN~

_VN

+

jwpN~ Nj

^dD

⁽⁹⁾

~~~ n jwe

jTj

=

z [NT NJ

^dr

lo)

eii~ re

IF

=

z I[N~ NJ

^dD

[Jm] ^{(I I)}

ells fle

2.3 EXTENSION AUX PROBLtMES _DE DIFFRACTION

#LECTROMAGN#TIQUE.

Dans _{ce cas,} [es

champs

sont

d6compos6s

en

champ

incident et

champ

diffracts _: H

~

Hw

+

Hdi (12)

E

=

E,~

+ E~~

(13)

oh

in

correspond

_au

champ

^incident di

correspond

_au

champ

^diffracts.

De mdme que le

champ total,

le

champ

incident obdit h

l'6quation

de Helmoltz vectorielle.

La formulation

pr6c6dente (5)

devient

alors,

_{pour une}

polarisation

TE _:

I[vw'~v(Hinz+Hdiz)+j°'PW'(Hinz+Hdiz)jdn~

fl

/ iw

^~

^{~~~~~) ~~'~~}

_dr

= o.

(14)

JW E r

En

2D,

l'onde incidente

plane,

constituant _{une source sur} les

frontibres,

est calcu16e _comme

(en champ magn6tique

_par

exemple)

_:

H_

=

H~ ^e-Jk(x

^{CDS « + SW «} _{avec a}

l'angle

d'incidence

(15)

2. 4 ARISE _EN COMPTE DE L'INFINI _{i COUPLAGE AVEC} LA M#THODE _DES

iIQUATIONS

INT#GRALES

DE FRONTI#RE. Par nature-mdme des 616ments

finis,

le domaine d'6tude _est

tronqud

^alors

qu'il

est n6cessaire de

prendre

en

compte

^la

propagation

au-deli de _ses frontikres. Une

premi~re

mdthode _est la

prise

_en compte ^du milieu extdrieur par

Equations Intdgrales

de

Fronti~re. Les

d6veloppements math6matiques

_partent de la seconde identit6 de Green

vectorielle,

conduisent h la formule de Stratton

(7) qui, appliqude

_en

2D, permet

^de calculer [es

champs dlectrique

_ou

magn6tique

dons _un domaine h

partir

de leurs valeurs

surfaciques

_:

H~

=

I( j

w eG E~

~

H~

^dr

(16)

r ~~

avec

G

=

@/4 ) H(~~(kr )

dG/dn

=

Qk/4 ). H)~~(kr),

_cos

p

et

H(~~

et

H)~~

sont les fonctions de Hankel de seconde

esp~ce

et d'ordre 0 _ou I.

Exprimde

_sur la surface du

domaine, l'dquation (16) prdsente

_une

singularitd lorsque

le

point

de calcul _se confond _avec le

point d'int6gration.

Cette

singularit6

est lev6e par

int6gration

sur un arc de cercle autour du

point

considdr6 et en faisant tendre le rayon de _{cet arc vers} 0 _{; on}

obtient alors _au

point

I de la fronti~re _:

ai H~~

I( %

Hz jw

eG E~ ^dr =

0

(17)

r ~~

oh aj ^est

l'angle

int6rieur forma par ^la surface _au

point

considdrd.

Ecrite _sous forme

matricielle,

_avec [es mdmes notations _{que pour}

(8), (17)

devient _:

iui iHii

=

iv i iEti (18)

avec

[U]

=

z l~~

_{N dr ou} bien _{a au}

point singulier (19)

em r~ ^~~

IV

=

jw

_e

z

G N dr

(20)

eii~

r~

et

[Hi]

est le _vecteur colonne des inconnues nodales

H~

sur la fronti~re.

N° II tLtMENTS _FINIS 2D EN HYPERFREQUENCES ²¹⁰⁵

Le

couplage

E16ments

Finis-Equations Int6grales

de Fronti~re s'effectue donc _en 6crivant les

6quations (18)

et

(8).

Il _est

possible

d'61iminer

[E~]

en dcrivant _:

iEti

₌

[vi-

^'

iuiiHii, (21)

et

l'6quation globale

du

syst~me

EF-EIF _est alors _:

is [Hi iTi iv1- iui iHii

₌

IF1 (22)

Remarquons

_que le

syst~me

matriciel

global

est _non

sym£trique,

en raison de la

prdsence

des sous-matrices EIF

[U]

et

IV ].

Une bonne

approximation (bonne,

_car elle donne des r6sultats

satisfaisants)

_pour le

symdtriser

consiste h

prendre

_{une «} contribution moyenne » pour la

partie

«

Equations Intdgrales

_»

(on ajoute

h la matrice initiale _sa

transpos6e

et on divise par

2),

et

(22)

devient _:

isi iHi -1/2(iTi ivi-

^'

iui

₊

iTi [vi-

^'

ruin)iHii

=

IF1 (23)

2.5 EXTENSION A PLUSIEURS DOMAINES

fL#MENTS

_{FINIS. La}

pr6c6dente

m6thode peut ^dtre

dtendue _avec la mdme formulation h

plusieurs

domaines d6crits par Eldments Finis et

coup16s

entre eux par

Equations Int6grales

de fronti~re. Cela

peut

^devenir avantageux dans le _cas

d'interactions tr~s lointaines _entre diffdrentes structures,

puisqu'on

_va ainsi limiter le nombre d'dldments finis. La

figure

4 compare le mdme

probl~me,

_une antenne de Vlassov assoc16e h deux

rdflecteurs,

moddlis6 dans le

premier

_{cas par un} domaine EF avec des Conditions _aux

limites absorbantes et, dans le second _cas, par ³ domaines EF relids par EIF. La

figure

3

indique

les

temps

^{de calcul}

correspondants.

2.6 ARISE EN COMPTE DE L'INFINI PAR CONDITIONS AUX LIMITES ABSORBANTES. On le

comprend

aisdment h

partir

de la

figure 3,

la mdthode

hybride

EF-EIF _se rdvble cofiteuse _en temps ^{CPU. Elle ndcessite} en effet _une

manipulation

relativement lourde des sous-matrices EIF

qui

sont

pleines

et _non

symdtriques.

Une mdthode

plus

efficace pour

prendre

_{en compte}

~ f

Fig.

2. Mod61isation d'un

guide

d'onde ferm£ par une fendtre

di£lectrique

_: mode

TM-couplage

EF-

EIF-maiIlage,

isovaleurs de champ

magn£tique

H~.

[Modelization of _a waveguide with _a dielectric window _: TM mode-FE-BIEM

coupling-mesh

and isovalues of

H~.]

mdthode b de noeuds b d'dldment b d'elts de fionti%re

semblage

Rdsolution

hybride

¹³⁶⁵ 547 89 585 24

c~nd ~~~ ^{S9S4 2831 124} 243 19I

Fig.

3.

Temps

CPU (en _{s, sur} HP9000/425) de calcul du

prob16me

de la

figure

4.

[CPU time (in _{s, on a} HP9000/425) for the

computation

of the

problem

shown in figure 4.]

~HHbitittiiil1iMflii

o

Qi~'

0

o

n

Fig.

4. Moddlisation d'une antenne de Vlassov _avec 2 rdflecteurs

: haut

; mdthode hybride, bas _: conditions _aux limites absorbantes.

[Modelization of _a Vlassov type antenna associated with 2 reflectors _: top :

hybrid

method, bottom

absorbing Boundary Conditions.]

l'infini _est l'utilisation de conditions _aux limites absorbantes. Leur

principal

_avantage est

qu'elles

constituent des conditions _aux limites

locales,

_ce

qui signifie qu'elles

conservent h la matrice Eldments Finis _son caract~re lacunaire. Par contre, elles _{ne sont}

qu'approximatives

et ne mod61isent donc pas l'ext6rieur du domaine d'dtude exactement.

Nous _avons mis en oauvre 2 types ^{de conditions} aux limites

absorbantes, d6signdes

_par le

nom de leurs _« cr6ateurs _» :

Engquist-Majda

et

Bayliss-Turkel.

Toutes deux ont pour

objectif

d'absorber les ondes sortant du domaine d'6tude _{en causant un} minimum de r6flexions.

L'erreur

numdrique

r6sultante doit dtre minimisde tout _en r6duisant la distance entre le

dispositif

micro-ondes _et les fronti~res du domaine

d'6tude,

de mani~re h diminuer le nombre de noauds de

maillage

n6cessaires h la mod61isation du

problkme. Pratiquement,

cette distance

sera de l'ordre d'une

longueur

d'onde.

N° lI tLEMENTS FINIS 2D EN

HYPERFREQUENCES

2107 2.6.I Conditions _aux limites absorbantes de type

Engquist-Majda.

Elle s'dcrit _sous la forme _:

k~

4

+

jk ~ f

= 0

(24)

an ar

oh

4

est le

champ

_sur la frontibre

(E~

ou

H~)

k _est le nombre d'onde

n est la direction norrnale h la frontibre

r est la direction

tangentielle.

Les frontibres du domaine d'6tude sont

rectangulaires

et les r6flexions sont d'autant

plus

foibles que l'onde vient

perpendiculairement

h celles-ci

[8].

En ins6rant

(24)

dans la formulation

(5),

on obtient

alors,

_sous forrne

matricielle,

_avec [es notations

pr6c6dentes

_:

is i iHi

₊

ic i [Hi i ID i [Hi i

=

o

,

(25) [C

=

~

z lN~

N dr

(26)

°~ ~

ei~ r~

~~~~ 2/we~l~~~~'$~~'

^~~~~

2.6.2 Conditions _aux limites absorbantes de ~ype

Bayliss-Turke/.

Elles _sont

r6put6es plus pr6cises

_que ^{[es conditions}

d'Engquist-Majda [3, 8].

Par contre, la frontibre du domaine

ext6rieur devant dtre

circulaire,

elle n6cessite _un

plus grand

nombre d'616ments

finis,

et [es temps ^{de calcul sont alors}

augment6s

:

oh

r est la distance radiale

les autres tenures ont la mdme

signification

_que

pr6c6demment.

Une

comparaison prdcise

de _ces m6thodes pour la

prise

en compte ^{de l'infini} sera

d6velopp6e

dans

[10].

2.7 MOD#LISATION _DE L'EXCITATION DES GUIDES D'ONDES.

Lorsque

l'on veut atteindre de hauts niveaux

d'dnergie (de

l'ordre du

Gw),

un des

problkmes pratiques auxquels

on se heurte est de

produire

_un faisceau bien d£fini et bien pur, sans

gaspiller

_une

dnergie significative

dans des modes

parasites.

Une fois le mode d6sir6

obtenu,

on s'int6resse alors h _sa

propagation

et h

son « effet lointain

». Pour _nos

mod61isations,

_nous consid6rerons le faisceau _«

purif16

» et donc le mode bien d6fini _: TM1,

TM2, TEI,

_etc.

(un

seul indice

apparait

_{car nous} travaillons

en

2D).

L'excitation _sera alors constitu6e par une source

lindique

de courant,

6quivalente

h _une

source de

champ (Fig. 8)

:

situ6e h _une

demi-longueur

^{d'onde du fond de}

guide

de manibre que l'onde r6fl6chie _au fond du

guide s'ajoute

h l'onde

incidente,

avec des valeurs

correspondant

au mode d6sir6 _{: en «} cosinus _» pour un mode TM, en

« sinus _» pour un mode TE.

o

~~

T~~

~

Fig. 5. Moddlisation de la _structure de la

figure

4, avec des conditions _aux limites absorbantes de type

Bayliss-Turkel.

[Modelization of the device shown in

figure

4, with

Bayliss-Turkel absorbing boundary

conditions.]

m6thode nb de noeuds nb d'4J4ments fib d'el~ de honfi4m Assemblage R£solution

BayliwTurkel _{8126 3988 84 337 236}

Engqui~.Majda _{S9S4 2831 124 243 I91}

Fig. 6. Temps CPU (en _{s, sur} HP9000/425) de calcul du

problbme

des

figures

4 _et 5.

[CPU time (in _{s, on a} HP9000/425) for the

computation

of the

problem

^{shown in}

figures

4 and 5.]

Fig.

7. Diffraction _{par un}

objet

conducteur _:

Engquist-Majda

and

Bayliss-Turkel.

[Scattering by _a conducting

object

_:

Engquist-Majda

and

Bayliss-Turkel.]

N° II

fLfMENTS

_{FINIS 2D EN}

HYPERFRfQUENCES

2109

Fig.

8. Visualisation des _sources de _courant pour les modes TMI, TM2 (haut) et TEI, TE2 (bas).

[Visualization of current sources for TMI, TM2 modes

(top)

and TEI, TE2 (bottom).]

2.8 CALCUL DU CHAMP LOINTAIN. Le

champ lointain,

calcu16 _en des

points

situds hors du

domaine

d'dtude,

est la

grandeur qui

int6resse le

concepteur.

^{Nous l'dvaluons} par

Equations Int6grales

de

Fronti~re,

_en utilisant

l'dquation (16),

h

partir

des valeurs de

champs dlectrique

_et

magndtique

_sur les frontibres du domaine d'dtude.

On

distingue

deux _cas, suivant la mdthode

employ6e

_pour la

prise

_en compte de l'infini _:

m6thode

hybride EF/EIF

_{: pour un} mode TM par

exemple, H~

est connu dons tout le

domaine et E~ ^est connu sur la fronti~re _en utilisant

[21].

Le calcul du

champ

lointain _ne pose

aucun

problbme particulier.

m6thode EF assoc16e h des conditions _aux limites absorbantes _: seul H~ est connu, et

E~ ^doit en dtre d6duit _par d6rivation _:

E~=-nx (I/jwe)VXH~. (29)

II s'avbre que ce calcul est peu

pr6cis

s'il _est effectu6 sur la fronti~re-mdme du domaine

d'6tude,

les conditions _aux limites absorbantes n'6tant

qu'approximatives

_: il convient alors de

d6finir _un contour ferm6

int6rieur,

situ6 h mi-chemin entre la structure

rayonnante

et la frontibre ext6rieure.

2.9 CoNcLusIoN. Nous _venons de d6crire la formulation par E16ments Finis que nous

avons mise en oauvre dans notre

logiciel

wave2d. Ses

principales caract6ristiques

sont :

moddlisation de

probl~mes

ouverts ou

infinis,

_en

rdgime hwrnonique

_; moddlisation 2D _;

calcul du

champ

lointain par EIF.

Malgrd

le

handicap

dli h

l'approche bidimensionnelle,

il _est

possible

d'6tudier des

dispositifs complexes

en conservant des

temps

^{de calculs} raisonnables. A titre

d'exemple,

nous allons

maintenant

pr6senter

^les r6sultats de la moddlisation d'une structure h base d'antennes de Vlassov.

.043404

.04?a35

t~

Fig.

9.

Champ

lointain

produit

_par un

guide coupd

h 45° l'infini _est

pris

_{en compte par} EIF (haut) _et par conditions _aux limites absorbantes (bas).

[Far field

produced

by _a waveguide with _a 45° slant-cut angle _: exterior is taken into _account by BIEM

(top)

and by A-B-C- (bottom).]

3. Mod41isation d'antennes de Vlassov h haute

puissance.

3.I D#FINITION DES CONFIGURATIONS. Une campagne d'essais _a dt6 men£e _aux

Harry

Diamond Laboratories pour des _structures rayonnantes ^{h haute}

puissance.

L'antenne de base utilis6e _pour cette

application

est _un

guide

d'onde

cylindrique coup6

h 20°

(Fig. 10a),

de

type

de Vlassov.

Chaque dispositif

6tud16 _est

compos6

de deux antennes, situdes dans le mdme

plan vertical, plac6es

dans des

positions

diffdrentes _avec des distances axiales diff6rentes

(Fig. lob).

Une

quinzaine

de telles

configurations

ont 6t6

mod61is6es,

_{et nous}

pr6sentons

ici [es rdsultats de l'une d'elles

(guides plac6s

comme h la

Fig. 10b,

avec

Di

₌

0).

Les

principales caract6ristiques g60m6triques

et

physiques

sont _: diam~tre du

guide

:

4,75

_cm,

longueur

du

guide

_:

29,5

_cm,

fr6quence

:

8,5

Ghz

(soit

_une

longueur

d'onde de l'ordre de

3,5 cm),

mode _transverse

magn6tique

n° 1.

N° II tLtMENTS _{FINIS 2D} EN

HYPERFREQUENCES

2111

...

,

... ;..

.. «.

.. ;

3.3 ANALYSE _DES RtSULTATS. La

figure

12 compare les rdsultats de calcul _en

champ proche

et en

champ

lointain.

Plusieurs remarques

s'imposent

:

. On note la

pr6sence

d'une onde stationnaire entre les 2

guides.

Ceci

provient

de

l'approximation

2D

qui

est faite _: les deux

guides

dtant _en effet

supposds

infinis dans la direction

perpendiculaire

_au

plan d'dtude,

_{on a} cr££ _une

magnifique

cavitd rdsonante. Celle-ci n'existe _en fait dans la r6alit6

qu'h

un

degr6

bien

moindre, puisque

les deux

guides

sont

cylindriques.

. Le

champ proche

dans le

guide

inf6rieur

appar@t beaucoup plus

^{distordu dans le} cas oh

D~

₌ ^4* h par rapport au cas oh

D~

₌ 2* h. Cette distortion

provient

de r£flexions se

produisant

_sur la

partie

inf6rieure du

guide supdrieur.

Le

champ

lointain en

pardt

^affects : il y a

deux lobes

principaux

dans le

premier

cas, alors que le faisceau est

unique

dans le second _cas.

En

quelque

sorte, pour

D~

₌ 2* A, les deux antennes sont _« accorddes _».

. De la remarque

pr6c6dente

on d6duit imm6diatement l'int6rdt de la moddlisation

numdrique

d'une telle structure : il devient

possible

de

l'optimiser

_par la connaissance du

champ proche.

o

i t=

i

Fig,

13. R£sultats du calcul de la

configuration

_pour deux distances aXiales _: h

gauche,

isovaleurs instantan£es de H~

(champ proche),

h droite,

champ

lointain

correspondant.

[Computation

results of the studied _structure for two axial

separations

: at the left, instantaneous isovalues of H~ (near field), at the

right,

far field.]

N° II

fL#MENTS

_{FINIS 2D EN}

HYPERFRtQUENCES

2113 La

figure

14

reprdsente

[es

champs

lointains calculd et mesur6 pour le _cas

D~=

4* h. Mdme si _{on retrouve} le mdme nombre de

lobes,

ceux-ci _ont des

amplitudes

totalement

diff6rentes. Bien

qu'ait

dt6 montrde

auparavant [9]

l'efficacitd de

l'approximation

2D pour la mod61isation d'un

guide cylindrique,

cette

approximation

montre h

pr6sent

_ses limites _: il _est Evident que la cavitd rdsonante que nous avons cr6£e _entre [es

guides

modifie

grandement

^la

configuration

du

champ lointain,

et une moddlisation 3D

s'impose

^dans ce cas.

Ndanmoins,

[es r6sultats ainsi obtenus sont riches

d'enseignement.

_.--".,

"'

"

'.~

'.'

' '

, ,

I" 'f' )""

/

'd

,' '

' '"-©" _'

", ,'

'".,o-"

Fig.

14.

Champs

lointains calculd

(gauche)

et mesurd (droite).

[Far field

computed

(left) and measured

(right).]

4. Conclusion.

Nous _avons

prdsent6

_une formulation 2D

compl~te

_par mdthode d'Eldments Finis pour les

phdnomknes

micro-ondes dans les milieux ouverts et dans le domaine

frdquentiel. Beaucoup

de

dispositifs

_peuvent dtre mod61isds _en 2

dimensions, mais,

comme le _montre

l'analyse

de la structure rdelle que nous avons

effectu6e,

cela n'est pas suffisant. Notre effort de recherche _se porte ^{donc h}

pr6sent

sur une formulation tridimensionnelle

qui

_a donna _ses

premiers

rdsultats

jug6s

trbs

encourageants ii1].

Bibliographie

II ] ENGQUIST B., MAJDA A.,

Absorbing Boundary

Conditions for the Numerical Simulation of Waves, Math. Camp. 31(1977) 629-651.

[2] BAYLISS A., TURKEL E., Radiation

Boundary

Conditions for Wave-like

Equations,

Comm. Pure

Appl.

Math. 33

(1980)

707-725.

[3] D'ANGELO J., MAYERGOYz I., On the Use of Local

Absorbing Boundary

Conditions for RF

Scattering

Problems, IEEE Trans. Magn. 25 (1989) 3040-3042.

[4] SHIN P., SALON S., CONNOR K., The

Hybrid Finite-Boundary

Element Solutions of

Waveguide

Problems, IEEE Trans. Magn. 25 (1989) 3943-3945.

[5] VLASSOV S., ORLOVA I.,

Quasioptical

Transformer which Transform the Waves in _a

Waveguide Having

Circular Cross Section into _a

Highly

Directional Bearn of Waves,

Radiophys.

Quantum

Electron. 17

(1974)

148.

[6] SHIN P. S.,

Hybrid

Finite-Boundary Element Analysis of Time Harmonic

Electromagnetic

Fields, Ph. D, thesis, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY (1989).

[7] STRATTON J. A.,

Electromagnetic Theory

(McGraw Hill, 1941).

[8] GIVOLI D., Non reflecting

boundary

conditions, J. Computational

Phys.

⁹⁴

(1991)

1-29.

[91 CONNOR K. A., SALON S. J., KASIBHOTLA K., SHIN P. S., HADWIN L. J., RUTH B. G., LIBELO L. F.,

Analysis

of

High

Power Microwave Windows, Conf.

Digest

lsth Int'l Conf, _on IR and

MM Waves, Orlando (12/1990) _pp. 470-472.

[10] YAOBI J. L., NICOLAS A., NICOLAS L., 2D

electromagnetic

scattering

by simple shapes

_a

quantification

of the _error due _to open

boundary,

communication

acceptde

_pour CEFC 92, 3- 5/08/92, Claremont, USA.

[ll] NiCOLAS L., SALON S. J., CONNOR K. A., LIBELO L. F., RUTH B. G., Three Dimensional Finite Element

Analysis

of

High

Power Microwave devices, communication

acceptde

_pour CEFC 92, 3-5/08/92, Claremont CA, USA.