HAL Id: jpa-00206503

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Submitted on 1 Jan 1967

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Sur l’origine de la limite élastique des métaux cubiques centrés à basse température

B. Escaig

To cite this version:

B. Escaig. Sur l’origine de la limite élastique des métaux cubiques centrés à basse température.

Journal de Physique, 1967, 28 (2), pp.171-186. �10.1051/jphys:01967002802017100�. �jpa-00206503�

SUR L’ORIGINE DE LA LIMITE ÉLASTIQUE ^{DES MÉTAUX} CUBIQUES

CENTRÉS A BASSE TEMPÉRATURE

Par B.

ESCAIG,

Laboratoire de Physique des Solides associé ^au C.N.R.S., Faculté des Sciences, 91-Orsay.

Résumé. 2014 Pour

expliquer

la forte variation

thermique

de la limite

élastique (macro- scopique)

des métaux

cubiques

^{centrés à basse}

température,

^on

développe

l’idée que ^se constituent, ^{au cours de la} microdéformation, ^de

longues

dislocations vis dissociées de

façon

sessile ; ^leur

glissement thermiquement

^{activé et la}

multiplication

^de dislocations

qui

^{en résulte}

se

produiraient

à la limite

élastique macroscopique.

^On suppose que les dislocations

présentes

initialement sont dissociées dans leur

plan

^de

glissement.

^Deux

types

^de

plans

de dissociation sont

envisagés (110)

^et

(112).

^Pour

chaque

^{métal, le choix du}

plan

^{réel de}

dissociation,

^{donc du}

plan

^de

glissement, dépend

^des

énergies

^{de faute}

d’empilement correspondantes.

^{Au cours de}

la microdéformation, ^les

parties

^vis

qui apparaissent

^{sur les arcs} de dislocation sont stabilisées,

se

décomposant

^de

façon

^{sessile sur}

plusieurs plans

^{à la fois,}

changeant

alors de mode de disso- ciation. Les barrières sessiles formées sont éliminées par

déviation,

^activée

thermiquement,

dans un des

plans

^de

dissociation, après

recombinaison

partielle.

^{On rend ainsi}

compte

^des

variations

thermiques

de la limite

élastique (macroscopique),

^{de son}

énergie

^{et de son volume} d’activation, ^{observés à basse}

température

^et à vitesse de déformation constante pour ^les métaux

cubiques

^{centrés de}

grande pureté.

^{Le seul}

paramètre ajusté

pour

expliquer

^les

expé-

riences est

l’énergie

^{de faute}

d’empilement

^{sur les}

plans (110)

^ou

(112). Typiquement,

^{on montre}

que ^des

énergies

de l’ordre de

03BCB/100

pour ^le

fer,

^comme pour ^le

tungstène

^sont nécessaires pour ^décrire l’ensemble des mesures faites en dessous de la

température ambiante ;

^{elles corres-}

pondent

à des dissociations de

quelques

^distances

interatomiques.

Abstract. ²⁰¹⁴ In order to

explain

^the

large temperature dependence

^{of the low}

temperature macroscopic

^elastic limit of b.c.c. metals, ^we

postulate

^the

formation, during microdeformation,

of

lengths

of sessile dissociated screw dislocation. Their

thermally

^activated

glide

^{and the}

resulting multiplication

^of dislocations should

produce

^a

macroscopic

elastic limit. It is assumed that the dislocations

initially present

^are dissociated in their

glide planes.

^Two

planes

of dissociation are

possible

^for b.b.c. metals

(110)

^and

(112).

^{In a}

given ^metal,

^the

choice of the

plane

^of dissociation, and thus the

glide plane, depends

^{on the}

corresponding stacking

^fault

energies

^{of the two}

planes. During microdeformation,

^{the screw}

segments

formed on dislocation arcs are stabilised

by

^their simultaneous

decomposition

^{into sessile}

barriers on several

planes,

^thus

changing

the mode of dissociation. These sessile barriers are

eliminated

by thermally

^activated

cross-slip,

^after

partial

recombination, ^{into one of the} dissociation

planes.

^{One can thus account for the observed}

temperature dependence

^{of the}

macroscopic

^elastic

limit,

activation energy and activation volume at low

temperatures

^and

constant strain rates for

high purity

^b.c.c. metals. The

stacking

^fault

energies

^{of the two}

planes (110)

^or

(112),

^{are the}

only adjustable parameters

necessary ^to

explain

^the

experimental

results.

Typically,

it is shown that

energies

of the order of

03BCB/100,

^{for iron as well as}

tungsten,

are necessary ^to

reproduce

^{the three}

experimental quantities

measured below room

temperature ;

these

energies correspond

^to dissociations of several interatomic distances.

Introduction.

^- Le trait

caractéristique

^{de la défor-}

mation des métaux

cubiques

centrés de

grande pureté

à basse

température

^{est la forte}

augmentation

^{de la}

limite

élastique macroscopique quand

^la

tempé-

rature diminue au-dessous du

cinquième, environ,

^du

point

^{de fusion. Ce}

phénomène

^a

primitivement

^été

rattaché aux interactions entre

impuretés

^{et disloca-}

tions. Mais pour les métaux les

plus

purs, les résultats semblent

indépendants

^{des teneurs en}

impuretés

^des

échantillons étudiés

[5]. D’ailleurs,

^{si les}

impuretés

sont

réparties

^au

^hasard,

^{en solution} solide dans la

matrice,

le durcissement observé semble

trop impor-

tant pour être

expliqué

par les concentrations très faibles

d’impuretés (quelque

¹⁰

p.p.m.)

^contenues

dans les métaux de zone fondue utilisés

[1-2-3]. Si,

par contre, ^les

impuretés

^sont

réparties

^de

préférence

sur les

dislocations,

^{la limite}

élastique

^et la contrainte d’écoulement

plastique

du métal à déformation finie devraient suivre des variations différentes avec la tem-

pérature. Or,

^{Conrad et Schoek}

[4],

par

exemple,

^ont

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002802017100

montré que les

énergies

d’activation de ces deux contraintes sont les

mêmes, impliquant

^{ainsi une ori-}

gine

^{commune aux deux}

phénomènes.

^{Il faut admettre}

que le durcissement à basse

température,

^{comme le}

mécanisme de déformation

même,

^{est dû au moins}

pour ^une bonne

part

^{à un} frottement de

réseau, intrinsèque

^{à la matrice.}

Un tel frottement a été en

général

^{décrit en termes}

de forces de

Peierls-Nabarro,

par Conrad ^surtout

[5].

Cette

description

^rend toutefois difficilement

compte

quantitativement

^de

l’expérience [6].

^En outre, les

mesures de microdéformation de Brown et al.

[3-7]

sur le fer ^oc semblent montrer

qu’il

^{existe une limite}

élastique microscopique

^c,,

point

^de

départ

^{de la}

déformation

plastique

^{et du}

déplacement

^{des dislo-}

cations, puis

ultérieurement une limite

anélastique

toutes deux assez faibles et peu sensibles à la

tempé-

rature, donc bien inférieures ^à la limite

élastique macroscopique

^{usuelle à basse}

température.

^{Il se}

peut qu’un

frottement de réseau

préexistant

^{à toute}

déformation,

^comme les forces de

Peierls-Nabarro, puisse

^rendre

compte

de la faible variation de la véri- table limite

élastique a, (T)

^{avec la}

température [3].

Mais

au-delà,

^entre 6~ ^et pour ^une déformation inférieure à 10-3

(domaine

^{dit de}

microdéformation),

les résultats de Brown

[7]

^semblent

indiquer

que le métal est le

siège

d’un durcissement

rapide

^reflétant

une modification dans la structure du réseau de dis- location. La limite

macroscopique

^oM devient la contrainte de

propagation

des dislocations de ce nou- veau réseau. Ekvall et Brown concluent _par

exemple

à la constitution d’un

champ

de « contraintes internes » élevé au cours de la

microdéformation,

^surmonté par le

glissement

^{dévié des}

dislocations,

^activé

thermique-

ment. Ces auteurs ont été ainsi les

premiers

^{à voir}

dans les déviations

l’origine profonde

^{de la limite}

macroscopique.

^{R. B.}

Herring,

^{dans une récente étude}

de

microfluage

^du

molybdène

^{entre 200 OK et 300}

°K,

arrive à des conclusions

analogues [8].

Lawley

^et

Gaigher [9]

^ont confirmé les résultats de Brown en déformant

légèrement

^{entre 4,oK et 300 °K}

des monocristaux de

molybdène

^{de zone}

fondue,

^{et en}

observant ensuite le réseau de dislocation _par micro-

scopie électronique.

^Dès

après quelques

millièmes de

déformation,

^{le taux} de durcissement ^est très

élevé,

et croît à mesure que décroît la

température

^{de dé-}

formation à

partir

^{de 200 OK.}

Parallèlement,

^alors que les dislocations du cristal initial étaient

quelconques, après

déformation à 4 OK un

grand

^nombre

s’allongent,

très

droites,

^{dans la direction}

vis

¹¹¹

~; après

déformation à 300

°K,

^il

n’y

^{a aucun doute}

qu’elles

sont moins

droites,

^et

plus

sévèrement

crantées,

^bien

qu’encore

essentiellement vis.

La

fréquence

^de dislocations vis

rectilignes 111 ~ après

déformation à basse

température

^{a été}

également

observée dans le fer par Keh

[10],

^et dans le fer- silicium _{par Low} et Turkalo

[11].

^Ces dislocations vis sont

beaucoup

^{moins mobiles} que les coins. Or Nakada et Keh

[12]

^{ont montré sur des mono-}

cristaux de

fer,

^{en activant} successivement deux

systèmes

^de

glissement,

que le durcissement à basse

température augmente

^d’autant

plus

que décroît le nombre de dislocations

mobiles,

^{à mesure} que la ^tem-

pérature

^{diminue. Ainsi} a-t-on souvent été conduit à penser

[3], [8], [9]

que si (JE

peut

^{être lié au mou-}

vement initial des

segments

^{coin de la}

dislocation,

est lié à la mobilité de ceux de caractère

vis,

apparus

au cours de la

microdéformation,

^{ne redevenant}

mobiles _{que par} déviation.

De ce

qui précède,

^il

apparaît

clairement

qu’une

formulation

quantitative

^{de la variation}

thermique

de doit d’abord se fonder sur un modèle du

blocage

des dislocations au cours de la microdéformation. On obtient un tel

blocage

^en admettant que les disloca- tions vis se dissocient de

façon

^{sessile au cours du}

glissement.

^{Tout arc de}

dislocation,

^{de vecteur de}

Burgers 1 111 > prend

^en effet des

parties

^{vis en}

se courbant dans son

plan

^de

glissement (112)

^ou

(110), lorsque

la contrainte active une source de Frank et

Read _par

exemple.

^{Une fois}

vis,

^ces

segments peuvent

se dissocier dans

plusieurs plans (112)

^ou

(110)

^{à la}

fois,

^en

plusieurs partielles;

l’ensemble

obtenu, plus

stable _{que la} dislocation

parfaite,

^est

sessile;

^{il se}

développe

^le

long

^des

directions 111 > empêchant

l’arc d’atteindre sa

position instable,

c’est-à-dire blo-

quant

l’émission de la source. Peu à peu ^toutes les boucles de dislocations se

développent

^de

préférence

le

long

^des

directions

¹¹¹

~,

^et

perdent

^{ainsi leur}

mobilité. Elles ne la

reprennent

que si un processus de déviation leur

permet

de redevenir

glissile

^{sur l’un}

des

plans

de dissociation

(112)

^ou

(110);

l’activation

thermique

^{de ce}

phénomène

^rend

compte

^{de celle du} mécanisme de déformation. Un processus

analogue

^a

été

proposé

pour le

glissement prismatique

^{des hexa-}

gonaux

compacts [5].

La

justification

d’un tel modèle demande l’étude des

points

^{suivants :}

1)

conditions dans

lesquelles

^des dislocations ini- tialement

glissiles peuvent

devenir sessiles

quand

elles

prennent

^une orientation vis lors de la micro- déformation. Ceci fera

l’obiet

de la

première partie;

2) analyse

des mécanismes

thermiquement

^activés

leur

permettant

^{de redevenir}

glissiles

^{à la limite}

élastique macroscopique.

Cette

analyse dépend

^du

plan

^de

glissement

^consi-

déré. Le choix de celui-ci est

lié,

pour

chaque métal,

au choix du

plan

de dissociation initial des disloca-

tions, (112)

^ou

(110),

^{donc aux}

énergies

^{de faute}

d’empilement correspondantes.

^Les

plans

^de

glisse-

ment

observés, (112)

^et

(110),

^semblent

dépendre

^en

outre de différents facteurs mal

contrôlés, température,

orientation de l’axe de traction et

peut-être

^{vitesse de}

déformation

[8], [18], [19], [20], [26], [27].

^Ils

peuvent

^{même ne}

plus

^être

cristallographiques lorsque

la

température

^{est assez}

élevée,

^et la vitesse de défor- mation assez faible

[18].

^En l’absence d’informations

précises

^{sur les}

systèmes

^{actifs de}

glissement,

^{nous avons}

été amenés à

envisager

^{les deux}

plans possibles

^de

dissociation

(110)

^et

(112).

^Les méthodes d’études seront les mêmes dans les deux _cas, et seront déve-

loppées

^{dans les}

parties

^{II et III}

respectivement.

Dans ces deux

parties,

^on étudie d’abord la limite

élastique

^{à 0}

oK,

ao, c’est-à-dire la contrainte de ^re- combinaison de la barrière sessile sur toute sa

longueur.

A

température

^non

nulle,

il suffit que ^cette recombi- naison ait lieu sur une certaine

longueur critique,

entre deux constrictions

Po

^et

Qo ( fcg.

¹

b)

^{au-delà de}

FIG. 1. ^-

Triple

dissociation d’une dislocation

parfaite

1 111 >

^{sur les}

plans (110) d’après Kroupa

^et

Vitek

[15]

^:

a) sessile ;

b)

^sous contrainte ;

c) glissile.

Toutes les fautes

d’empilement

sont de même nature.

Les contraintes o sont

comptées positivement

^{dans le}

sens

indiqué.

laquelle

^la

configuration, instable,

^{évolue vers la}

recombinaison de toute la barrière. On calcule alors

l’énergie U(6)

^{et le volume}

v(6)

d’activation corres-

pondant,

ainsi que la limite

élastique a(T);

^des

expressions simplifiées

^{de ces}

grandeurs

^mais

plus

utilisables sont déduites des

expressions générales

^dans

les limites a 6o ^et 6~.

Enfin,

^{dans la}

partie IV,

^nous comparons ^nos résul- tats aux données

expérimentales

de déformation à vitesse constante. Ceux-ci

s’expriment

^en fonction d’un seul

paramètre

^{mal connu}

expérimentalement,

^l’éner-

gie

^{de faute}

d’empilement

y. On détermine ce para- mètre de manière à

représenter

^{le mieux}

possible

^la

totalité des mesures faites. Au-dessus de

quelques

dizaines de

degrés Kelvin,

^{les mesures de limite}

élastique a(T),

^de

l’énergie

^et du volume d’activation

peuvent

^être correctement

représentées

^{aussi bien} par

un

glissement

^{sur les}

plans (110)

que ^sur les

plans (112),

à

partir d’énergie

^{de faute}

d’empilement

^{de même}

ordre sur ces

plans.

^A très basse

température (hélium liquide),

les limites

élastiques correspondant

^{à ces}

énergies

^{de faute sont en}

général supérieures

^aux

quelques

^valeurs

expérimentales

^connues par ^un fac- teur

1,5

^à

2;

les limites

élastiques

^ainsi

prévues

^sur

~ 112 ~

^sont

plus

^faibles que

sur ( 110 ~.

^A

titre

indicatif,

pour le

tungstène

^on

explique

^les

contraintes observées entre 20 OK et 500 OK avec

Y N - IO-2

⁴⁵⁰

ergs/cm2

pour ^un

glissement 110 j,

^ou y ~

1,6

^X

10-~~ ~

⁷⁰⁰

ergs/cm2

pour

un

glissement 112).

^{Dans le cas du}

fer,

^les

valeurs

y(110) --

^{10-2 200}

ergs~cm2,

^ou

y(l12) ri 1,33

^{X 10-2 260}

ergs/CM2

^rendent

compte

des contraintes observées entre 50 et 300 oK.

Toutes ^ces

énergies

^{de faute}

correspondent

^{à de faibles}

largeurs

de dissociation

(quelques

distances inter-

atomiques).

I.

GÉOMÉTRIE

DE LA DISSOCIATION Admettant une certaine dissociation des dislocations de

glissement,

^nous étudions ici comment celle-ci conduit au

blocage

des vis. D’où les

points

^{suivants :}

d’abord,

^{comment les}

dislocations,

avant toute défor-

mation, peuvent

^être

dissociées;

^{elles sont alors au}

moins

partiellement coins,

^{et leur}

plan

^de

glissement

doit être le

plan unique

de dissociation

( ~ I .1 ) ; ensuite,

comment ces

dislocations,

devenues vis au cours de la

microdéformation,

^sont stabilisées _par un nouveau

type

^de

dissociation, qui

^{les rend sessiles}

(§ I . 2) ; enfin,

^comment peut ^se réaliser le

long

d’une même boucle de dislocation le

changement

de mode de dis- sociation des

parties coins, glissiles,

^aux

parties vis,

sessiles

( § 1. 3)).

I.1.

Rappel

^des

dissociations possibles

d’une dis-

location coin,

de vecteur

de Burgers 1 ^{111 .}

^-

Une faible dissociation des dislocations coins dans les métaux

cubiques

^{centrés est}

suggérée

par le fait _{que le}

glissement

^se fait dans des

plans cristallographiques

d’autant mieux définis

qu’on

^{déforme à}

plus

^basse

température [18], [26].

^Ces dissociations

n’ont jamais

été observées au

microscope électronique;

^{elles sont}

donc

faibles,

^{mettant en}

jeu

^des

énergies

^{de faute}

probablement

^{élevées. On a}

suggéré

^deux

types

^de

plans

^{de faute}

possibles, (110)

^ou

(112), correspondant

à deux modes de dissociations différents :

(i) Kroupa et Vitek [15]

^ont

proposé

^la dissociation du _vecteur

B = 1 111

^{dans un}

plan (110),

^selon

La dislocation

(L, b2)

^{est la limite commune}

( fig.1 c)

de deux rubans

contigus

^{de faute de même} nature, décrite par Crussard

[14],

^{limités en outre} par

(L’, b~)

^et

(Lg,

L’ensemble est

plus

^stable que la dislocation

parfaite

^si

l’énergie

^{de faute} y ^est inférieure à 4 X 10-2

pLB

^environ.

(ii)

^Hirsch

[16]

^et

Sleeswyck [17]

^ont montré que la dissociation est aussi

possible

^{sur un}

plan (112)

selon :

Les trois

partielles

limitent ici deux rubans

contigus

de faute mais de nature

différente, 6 ⁽ 111 >

^et

1/3 ^{( 111 ),} analogues

^{aux fautes}

intrinsèques

^{et extrin-}

sèques

^{du réseau}

cubique

^{à faces}

^centrées,

^{cette der-}

nière

ayant

vraisemblablement une

énergie

^r’

supé-

rieure à la

première, y’ (~ fig. 2 c).

2. ^-

Triple

dissociation d’une dislocation par-

111 >

^{sur les}

plans (112), d’après

^Slee-

swyk[17] :

a) sessile ;

b)

^sous

contrainte ;

c) glissile ;

^dans c j ^{la faute}

extrinsèque

^est

indiquée

par ^un double trait. Lets contraintes sont

comptées posi-

tivement dans le sens

indiqué.

Ces deux ensembles sont évidemment

glissiles

^dans

le

plan

de dissociation.

I.2.

Dissociation

de

dislocations vis

de vecteur

1/2 ⁽ 111). - ’Lorsque ’

la dislocation est pure- ment

vis,

des dissociations sur

plusieurs plans

^{de la}

zone ~ 111 >

deviennent

possibles.

(i~

Dissociation sur les trois

plans (110) (Kroupa [13])

La dislocation vis

(L4, b4) ( fig,

¹

a)

^{raccorde les}

trois rubans de faute limités par les ^{autres sur} les trois

plans

¹¹⁰

~.

L’ensemble est

plus

stable que la dislocation

parfaite

^dès que

y 1,5

^{X 10-2}

yB.

(ii)

Dissociation sur deux

plans (112) (Hirsch [16])

Sleeswyck

^{a montré}

[17]

que

l’équilibre

^stable

de ces trois

partielles

^{sur des}

plans

différents cor-

respond

^{à une} dissociation sur deux seulement des

plans

¹¹²

~,

^{l’une des}

partielles

^se

plaçant

^{à leur}

intersection

( fig.

²

a) .

Les deux fautes créées sont ici

intrinsèques. Enfin,

la réaction est

identique

^{à celle}

qui

^{a conduit au}

type glissile,

^{I .1}

(ü) ;

^{il est donc}

possible

de passer d’un

type

^{à l’autre} par

simple glissement,

^sans recombinaison

[17].

Ces deux

configurations

^sont évidemment sessiles.

Elles sont en outre

plus

^stables que les dissociations

glissiles précédentes.

^{Pour la}

première, Kroupa

^et

Vitek ont montré

qu’il

^en était ainsi pour ^une

énergie

de faute pas

trop forte, y ~LB1100;

^{ce seuil est du}

même ordre que le seuil de dissociation sessile. Pour la

seconde,

^on

peut

^montrer

(Annexe 3)

que la dis-

parition

^{de la faute}

extrinsèque

stabilise l’ensemble sessile si

l’énergie

de celle-ci

dépasse

de seulement 10

% l’énergie

^{de faute}

intrinsèque,

^ce

qui

^{devrait être}

usuellement le cas. Ces

conclusions,

^{établies sous}

contrainte

nulle,

c’est-à-dire dans des conditions

qui

se

rapprochent

^de celles de la

microdéformatiôn,

sont peu modifiées par l’existence d’une contrainte

(Annexes

^{1 et}

3).

I.3.

Transition glissile-sessile.

^{- Il faut encore} étudier comment les

segments

vis d’une boucle de dislocation vont

pouvoir changer

^{de mode de disso-}

ciation,

^{et de}

glissiles,

devenir sessiles. Nous allons

montrer

qu’un

^tel

changement

^{se réalise sous des}

conditions _peu différentes de celles où le

type

^sessile de dissociation est

plus

^stable que le

type glissile.

FIG. 3. ^-

Triple

dissociation sur les

plans (112),

^sous

contrainte.

P’ Q’, P" Q",

^et

I,3

^sont trois dislocations

partielles - 111 > coplanaires ;

^{la faute}

extrinsèque

est

représentée

par des hachures

plus

^serrées.

Dans le cas d’une dissociation dans les

plans (112),

nous avons

remarqué

que le passage du mode

glissile

au mode sessile de dissociation

peut

s’effectuer _par

simple glissement,

^sans recombinaison de dislocation.

Le passage d’un mode à l’autre doit donc se réaliser facilement le

long

^{d’une même boucle. Le}

problème

se pose, par contre, dans ^{le cas} d’une dissociation dans l’autre

type

^de

plan,

^les

plans (110).

Le passage

glissile-sessile

nécessite ici le

changement

^{du nombre}

et de la nature des

partielles, L1-~- L’

^-

Ll ⁺ L2 ⁺ L4,

donc leur recombinaison

temporaire

^{et la}

propagation

de constrictions.

Néanmoins,

^on

peut

s’attendre à ^ce que ^ce passage soit

possible lorsque

^{la stabilité relative}

du

type

^{sessile est} suffisante

(faute d’empilement

d’énergie

y suffisamment

faible).

Une estimation de la barrière

d’énergie

^{à franchir}

(Annexe 1)

^{montre en effet}

que celle-ci devient inexistante pour

Y 0,5

^X

10-2 ~,B (sous

contrainte

nulle,

donc dans les conditions de la

microdéformation) ;

^{elle est} de l’ordre de

0,1

^eV

entre

0,5

^et

0,7

^{X 10-2}

au-delà, rappelons

que la dissociation sessile est de toute

façon

instable. Ceci modifie peu le seuil de stabilité relative. Si ^une méthode

plus

^détaillée

qu’en

^{Annexe 1} était néces- saire pour étudier par

exemple

l’influence d’une

contrainte,

^{on voit}

qu’une

telle étude

peut

être remise si on se

limite,

^{comme c’est le cas}

ici,

^aux

aspects

essentiels du mécanisme de déformation.

En

conclusion,

dès que

l’énergie

^{de faute}

d’empi-

lement y ^ou

y’

n’est pas très

forte,

les dislocations

prennent

nécessairement une

configuration

^sessile

quand

^elles

atteignent

par

glissement

l’orientation vis.

II. GLISSEMENT

ET

DÉVIATION DANS LES PLANS (110)

Nous passons maintenant ^au deuxième

aspect

^du

modèle,

^{à savoir comment les}

vis,

devenues sessiles

au cours de la

microdéformation,

retrouvent leur mobilité sous la contrainte _5,,, limite

élastique

^macro-

scopique.

^Nous

envisageons

^{ici le cas où le}

plan

^de

glissement

^et de dissociation initial est du

type (110) ;

celui des

plans (112)

^{est traité}

au §

^III.

Pour rendre mobile une dislocation dissociée dans trois

plans (110) ( fig.

¹

a),

^on doit recombiner les trois

partielles Ll, L2, L4

^{en une}

^{seule, A,}

^{de vecteur}

b1 + b ⁺ b =1 ^{(334), glissile}

^{dans le}

^{plan (110)}

de

L3.

^Ce

problème

^de recombinaison est un

problème classique :

^{à 0}

OK,

la recombinaison doit avoir lieu

sur toute la

longueur

^{de la}

barrière,

^{à la} limite élas-

tique

^{à 0°K}

(§ II,l);

^à

température

^{non nulle}

(§ II.2)

l’activation

thermique

^rend

possible

^{la re-}

combinaison sur une certaine

longueur critique

^seu-

lement,

^{entre deux}

pincements

^{P et}

Q;

au-delà la

configuration

^est

instable,

^{et P et}

Q s’éloignent

^l’un

de

l’autre,

entraînant la recombinaison

complète.

II .1. Limite

élastique ^à

^{- Le} calcul de la contrainte de recombinaison des

partielles L1, L2, L4

1

a),

c’est-à-dire de ao, limite

élastique

^{à 0}

~K,

se déduit de l’étude de

l’équilibre

de la dislocation totale

dissociée,

soumise à des contraintes 6 sur les

plans (110) ;

^on suppose celles-ci

identiques

^et

dirigées

comme

indique

^la

figure

^{1 a. D’autres cas de}

figure

donneraient des résultats

analogues.

La distance D

qui sépare LI

^ou

L2

^de

L4 s’exprime

^en fonction de la

période B = 1 ~ 2 110 ~

^du

^réseau,

^par les expres- sions

(Annexe 1) :

^:

b

représente

^le module des vecteurs

b1, b,, b3;

^on

notera que pour

ab j

_y

(L,)

^est

repoussée

^à

l’infini,

et n’intervient

plus;

^{on a alors un}

problème

^{à trois}

dislocations au lieu de

quatre,

^{d’où une dualité des} formules

qui

^{se retrouve dans toute la suite.}

On ^en déduit le

paramètre x

^{= de la disso-}

ciation. Celui-ci

dépend

évidcmment de la distance

Do

^{= ocb à}

partir

^de

laquelle

^nous estimons recombi- nées

Ll, L2

^et

L,.

^{Nous avons}

pris B(oc N 5),

^ce

qui

^est

justifié

par des considérations

énergétiques (Annexe 1)

^et

géométriques puisque

^{B est la}

période

du réseau. D’où :

Ici

aussi,

^{un choix un} peu différent des

paramètres ce

et x ne

changerait

pas l’allure des résultats. La limite

élastique

7, ^est racine de ⁼

1,

^{d’où :}

Yl N

0,7

^{X 10-2} pour le fer 2 X 101 _ergs et 140

ergs/cm2.

II . 2. Limite

élastique

à

T #

0 °K. ^- II .2.1. Mo- DÈLE. ^- A

température

^non

nulle,

^la recombinaison devient totale une fois recombinée une certaine lon- gueur

critique

^entre deux constrictions P et

Q.

L’énergie

d’activation U est alors la somme de deux

termes :

Ul, énergie

^des

pincements

^{P et}

Q,

^en gros

proportionnelle

^{à la}

largeur

^{D de}

dissociation;

^et

U2,

lié à la

longueur critique

^de

recombinaison, PQ.

^A

la fin de cette

partie

^{nous montrons} que les

hypo-

thèses faites dans cette

analyse

concernent essentiel- lement le terme

Ul,

^lui-même

négligeable

^devant

U2 lorsque PQ »

^D.

Comme

PQ

^{est une} fonction décroissante de la contrainte _6, on voit que le détail des constrictions ^a peu

d’importance

^et que ^nos

hypothèses

^se

justifient

pour des limites

élastiques

relativement

faibles,

^c’est-à- dire des

températures

pas

trop

^{basses -}

plus préci-

sément au-dessus de

quelques

dizaines de

degrés

Kelvin.

Comme dans les

problèmes

^{de ce} genre, ^nous devons calculer successivement

l’énergie R

^de recombinaison de

Li, L2~ L4

par unité de

ligne, puis

^{les termes}

U1

^et

U2.

Nous pouvons alors ^en déduire le volume

d’activation,

la vitesse de déformation

plastique,

^et enfin la limite

élastique correspondante.

^{Toutes ces}

grandeurs

^sont

exprimées

^en fonction d’un seul

paramètre

peu connu,

l’énergie

^de

faute,

^{sans doute assez}

élevée,

^{au moins}

100

ergs/CM2.

II . 2 . ~.

ÉNERGIE

DE RECOMBINAISON. ^- Soit le vecteur de

Li

^et

L2,

^D leur distance à

L4

^en

équilibre

avec une contrainte 6 sur les

plans

^de

dissociation;

^{on a : 1}

Cette relation est facile à établir

lorsque L3

^est

rejetée

^à

l’infini;

^{A est} alors lié à la

répulsion

^totale

subie par

L,

^ou

L2,

^{D étant donné} par

(3 b) . Lorsque L3

n’est

plus

^à

l’infini,

^on

peut

^montrer

(Annexe 1)

que

L3

n’intervient dans

(6) qu’en

^modifiant

D,

donné main- tenant par

(3 a) ;

mais à ceci

près, l’équation (6)

reste encore valable.

II.2.3.

ÉNERGIE

^DE CONSTRICTION. ^-

Évaluons

à

présent l’énergie U,

^des constrictions des deux par- tielles

Li

^et

L2

^avec

L4 ( fig,

¹

b) .

^{Comme nous l’avons}

déjà remarqué (§ II .2.1.)

^{et comme nous le discutons}

plus

^en détail ci-dessous

(§ II .2.8),

^{seule une} expres- sion

approchée

^de

U1

^nous suffit pour étudier les

aspects

essentiels du

phénomène,

^{au moins au-dessus}

de la

température

^{de l’hélium}

liquide,

^et

correspond

aux autres

approximations

^faites par

ailleurs,

^dans

cette

analyse.

^C’est

pourquoi

nous avons utilisé la méthode de calcul de Stroh

[21] plutôt

que les méthodes

numériques plus

élaborées de Shôck

[28],

Wolf

[29]

^et

Speidel [30].

Considérons le cas

simplifié

^où

L3

^{est à}

^l’infini;

comme

ci-dessus,

^les

équations

^ne diffèrent pas ^essen- tiellement

lorsque L3

^{est à distance finie.}

L,

^et

L2

étant

symétriques

par

rapport

^au

plan L4 L3,

^{il suffit}

d’étudier le

pincement

^de

Ll,

par

exemple,

^avec

L4

dont elle est

séparée

de D. Stroh

[21]

^{a étudié une}

telle constriction en

supposant

essentiellement les deux dislocations suffisamment _peu inclinées l’une sur

l’autre _pour

pouvoir

^ramener localement leur inter- action à celle de deux dislocations

parallèles. Soit y

^la

distance d’un élément de

Li

^{à l’élément de}

L4,

^situé

en face de

lui,

^{et v} la coordonnée réduite =1-

(ylD).

L’énergie

^{W du}

pincement

^a été obtenue par Stroh

en

intégrant

^{d W =}

2AK (- Log ( 1- r~) - V)I/2

^dv

entre v ⁼ 0 et v

= 1,

^{avec K =}

D(TIA)I/2,

^{@ T la}

tension de

ligne

^de

L1,

^{A et D les}

paramètres

^définis

en

(6)

^et

(3).

Pour tenir

compte

^de la distance ab ⁼ xD de recombinaison de

Li

^et

L4,

^{nous devons}

intégrer

ici entre v ⁼ 0 et v ⁼ 1- _x; si on

développe

^{d W au}

voisinage

^{de v =}

^0,

^{on voit} que W est en

~2,

^soit

On

peut

alors déterminer la constante

P,

^de

façon

^à

retrouver le résultat de Stroh à la limite x ⁼

0,

W =

1,1 AK; donc P

^{= 1.1.}

Nous _pouvons discuter maintenant comment la troisième

partielle L3,

^{à une} distance z de

L4,

^modifie

ce résultat pour ^une même

séparation

^D

d’équilibre

entre

Li

^et

L4.

Deux effets contraires en résultent.

D’une

part,

^la

présence

^de

L3 correspond

^{à une}

répulsion

^entre

LI

^{et les deux autres} dislocations

plus

faible que si la même

largeur

D était due aux seules dislocations

Ll, L2, L4.

^D’autre

part,

^le

pincement allonge L3 ( fig.

¹

b),

^et par là accroît ^son

énergie.

Enfin,

^{ces deux} effets contraires sont faibles : le

rapport

de la

répulsion

^de

L3

^sur

L2

^{à celle de}

L4

^sur

L2 (distance y)

^est de l’ordre de

0,1 ylz 0,1.

^Il

paraît

ainsi raisonnable de

prendre

pour

énergie

^d’un

pin-

cement tel que P

l’expression (7)

^avec

encore ~

⁼

^1,1;

L3 n’y

intervient

qu’indirectement

^{à travers}

.D, ^donné

par

(3).

^En

prenant

la tension de

ligne

^de

LI propor-

tionnelle à

Log (Dlb)

^{et en} éliminant K et D ⁼

Blx,

on obtient :

Rappelons

que x ^{-- est} lié à la contrainte ⁶ par l’intermédiaire de la

séparation D(ci)

^des

partielles L1, L4

donnée par

(3).

II .2.4.

ÉNERGIE

D’ACTIVATION DE LA DÉVIATION. ^- Passons à

l’énergie

^de

configuration

que

prend

^l’en-

semble

PQ (portion

recombinée des

partielles Ll, L2, L4,

de vecteur

fi)

^et

L3 ( fig.

¹

b)

^{dans leur}

plan ( 110 ~

de

glissement

^{sous une} contrainte 6 dans ce

plan.

Nous supposons que l’ensemble

(PQ, L,)

^se

comporte solidairement,

^{comme la}

parfaite

^totale

équivalente :

l’arc

PQ est égal

^{à l’arc de}

L3 correspondant, Pi Qi ;

la tension de

ligne

^de

l’ensemble,

y

compris l’énergie

de

faute,

^est celle de la

parfaite

^{T’ N}

~,B2~2;

^{enfin le}

rayon de courbure commun est celui de la

parfaite,

p ⁼

T’ laB.

^{Il est clair} que ceci n’est valable _que dans la mesure où

y »

^ab

(b

^est le module de

b3).

^Toute-

fois,

^{l’Annexe 2 montre} que dans

l’approximation opposée,

^6b > y, les résultats ne sont modifiés _{que par}

un facteur variant ^entre

0,8

^{et 1.}

Dès

lors, l’énergie

de constriction étant

désignée

par

U1,

celle de l’ensemble vaut :

U est ainsi fonction _{de p} et de 1 ⁼

PQ, = 2p

^sin

8;

la barrière à franchir ^est définie d’une

part

par

= 0,

^{soit T’ =}

P6B,

^d’autre

part

par

=

0,

^{soit =}

0,

c’est-à-dire

Soit ^{i i}

selon

(6).

^{Il est facile de voir}

que X

^est

toujours

^assez

faible _pour écrire

8J

^{= 2X. A cet}

angle critique

^cor-

respond

^{un maximum en}

U,

^{donc :}

- une

longueur critique

^de

recombinaison, lo

⁼

L, B

- une

énergie

d’activation

au-delà de

laquelle L1, L2

^et

L4

^se recombinent sur toute leur

longueur.

On

peut expliciter

^à

présent l’énergie

^{U de la}

déviation. Traitant

indépendamment

^{les deux}

pince-

ments P et

Q

^nous

prendrons U1

⁼

2 W, W

^étant donné _par

(8).

^{D’où :}

On a

exprimé x

^{en 6, et} 6o à

partir

^de

(3)

^et

(4).

Le terme

logarithmique

^dans

(12) dépend

peu de a, et varie entre

1,27(x

⁼

1,

^{6 ==}

6Q)

^et

1,5

à 2 pour des dissociations de

quelques

^{B. La fonction}

g(x)

^enfin

dépend

peu elle aussi de _6, ^au moins dans deux cas;

pour ^a

;S cro(x ~ 1), 1 j2 y2;

^{pour ci}

^«

^60,

x N 1 -

15o0/u ^{et g}

^ne

dépend

que de so. De là les

expressions simplifiées suivantes,

déduites de

l’expres-

sion

générale (12)

(i)

^cr sa

(typiquement

^{T 10}

OK, voir.

^{4 et}

5).

En

développant

^{en -}

ci) :

a~

(typiquement

^T > 100

OK).

^Dans

(12)

le

premier

^{terme dans la}

parenthèse

^devient

négli- geable

^{devant le}

second,

c’est-à-dire

l’énergie

^des

constrictions, U1,

^devant

U2;

^{on retrouve alors}

II . 2 . 5. VOLUME D’ACTIVATION. ^- Le volume d’acti- vation se déduit des

expressions précédentes

par

v=-dyd6:

On en déduit les

expressions simplifiées :

(ii)

^{6 le}

premier

^{terme de}

(17)

^{est ici}

égal

^à

quelques unités,

^{et devient}

négligeable

^{devant le}

second, égal

^à

plusieurs dizaines;

^{d’où en}

prenant

11.2.6. VITESSE DE DÉFORMATION. ^- Par vibration

thermique,

^les boucles dissociées de

longueur lo,

^de

fréquence v

⁼

v,/L, peuvent

^atteindre

l’angle

^cri-

tique 00

^{et se}

développer

ensuite dans tout le

cristal, balayant

^{une surface}

L2,

^et introduisant une défor- mation

BL2;

^{d’où une vitesse de} déformation È :

1 : Taille du réseau de

dislocations,

de densité p ~ 1-2.

vD :

Fréquence

^de

Debye.

k : : Constante de Boltzmann T :

température

^absolue.

L : : Taille du cristal.

I I . 2 . Î. LIMITE

ÉLASTIQUE 6 ( T) .

^{- En inver-}

sant

(20),

^{on obtient}

r(c-) :

U ^est donné par

(12) ;

^{on en} déduit les

expressions simplifiées correspondantes

^à

(15)

^et

(16) :

^-.

La

quantité

^{C est} donnée par

(21)

^{où on a}

développé

^u

dans le

logarithme

^au

voisinage

^{de x = 1. Ce}

loga-

rithme varie peu ^{avec a, et} C est essentiellement constant. Pour des valeurs raisonnables des _para-

mètres,

vD

= 1013s-1, E ~ 1,4

^{x 10-4}

s -1

^{L == 10-~} cm, l ⁼ 10-4 _cm, C ⁼⁼ 45 +

Log

^-

a»;

pour

compris

^entre

0,05

^et

0,95,

^le

logarithme

^{varie entre}

:t

6;

^on pourra donc

prendre typiquement

^{C ~ 45.}