HAL Id: jpa-00205710

HAL Id: jpa-00205710

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00205710

Submitted on 1 Jan 1963

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Étude des constantes élastiques de la blende et de leur variation avec la température

André Zarembovitch

To cite this version:

André Zarembovitch. Étude des constantes élastiques de la blende et de leur variation avec la tem- pérature. Journal de Physique, 1963, 24 (12), pp.1097-1102. �10.1051/jphys:0196300240120109700�.

�jpa-00205710�

1097.

ÉTUDE DES CONSTANTES

ÉLASTIQUES

^{DE LA BLENDE}

ET DE LEUR VARIATION AVEC LA

TEMPÉRATURE

Par ANDRÉ

ZAREMBOVITCH,

Laboratoire des Recherches

Physiques,

^Sorbonne.

Résumé. ²⁰¹⁴ Les vitesses des ondes ultrasonores ^se

propageant

dans différentes directions d’un monocristal de sulfure de zinc

(blende)

ont été mesurées au moyen de trois méthodes

optiques

indépendantes : méthode de résonance, méthode de diffraction de la lumière par les ultrasons,

méthode de visualisation. Les expériences ^{ont été} répétées ^sur

plusieurs

échantillons. Les cons-

tantes

élastiques

déduites de ces mesures à température ordinaire sont en accord avec la valeur de la compressibilité de la blende.

Cette étude a été

poursuivie

depuis ^la température ^ordinaire

jusqu’à

^la

température

^{de l’azote} liquide. ^{On a} déduit par

extrapolation

les constantes élastiques ^{au zéro} absolu, ^{et la} température

de Debye ^de la blende. On constate que l’écart entre ^notre valeur, ^{et la} température ^de Debye

déterminée par des ^{mesures de} chaleur spécifique, ^est supérieur ^{aux erreurs}

d’expériences.

Abstract. ²⁰¹⁴ The velocities of ultrasonic waves travelling along different directions of a zinc blende monocrystal ^{have been measured} by ^three

independent,optical

methods : the thickness

resonance method, light diffraction by ultrasonic waves, and the visualization method.

Several

samples

^{have been} investigated. ^The elastic constants derived from the measurements at ^room temperature agree with the value of the compressibility ^of zinc-blende.

This

study

^{has been} carried out from room temperature ^to liquid nitrogen

temperature.

^The

elastic constants at 0 °K are derived by

extrapolation

^{and the} Debye temperature of zinc-blende calculated. The difference between our value, and that deduced from heat

capacity

^measure- ments, is greater ^{than the}

experimental

^error.

PHYSIQUE ^TOME 24, ^DÉCEMBRE 1963,

I. Introduction. ^- La

première

détermination des constantes

élastiques

du sulfure de zinc

(blende)

par ^une méthode

statique

^{à 20}

OC,

^{est due à}

Voigt (1918) [1].

En 1944

Bhagavantam

^et

Suryanarayana [2]

déduisent de méthodes

dynamiques (vibrations ultrasonores),

^un

jeu

^de constantes

élastiques

^à

20 °C différent du

précédent

^{d’environ 10}

%.

Prince et Wooster en 1951

[3]

^obtiennent

d’autres valeurs

par

diffusion des rayons ^{X au}

voisinage

^des réflexions sélectives. Leurs résultats s’écartent des

précédents

d’environ 10

% pour Cxx

et

C12,

^de

plus

^{de 15}

%

pour

C44.

^Ils

opèrent égale-

ment à la

température

^ordinaire.

La

dispersion

^{de ces résultats rend hasardeux}

les efforts

entrepris

pour relier les

grandeurs

^élas-

tiques

^{à d’autres} constantes

physiques

^{de la blende}

(notamment

la chaleur

spécifique

^{et la}

tempé-

rature de

Debye).

Par suite du

grand

intérêt que

présente

^ce

cristal,

d’autres auteurs

(Forsterling [4],

^Martin

[5])

^ont

cependant poursuivi

^ces

efforts,

^{sans connaître} toutefois la

valeur,

nécessaire à leurs

calculs,

^des

constantes

élastiques

^{à 0 OK.}

Pour lever ces

incertitudes,

nous nous sommes

proposé

^de déterminer les constantes

élastiques

^de

la blende de

façon plus précise,

^{et d’étudier}

la

variation de ces

grandeurs

^{avec la}

température,

pour ^{en connaître la} valeur

extrapolée

^{au zéro}

absolu.

2.

Description

^des échantillons. ^- La blende

appartient

à l’hémiédrie

tétraédrique

^du

système

cubique (43 m).

^.

Nous

disposons

^de trois échantillons de blende naturelle

provenant

de Pico de

Europa.

^{Nous les}

désignerons

par

1, 2,3 (1).

- L’échantillon n° 1 a été taillé en forme de

parallélépipède rectangle

^{de dimensions}

16 X 9 X 5 mm. Les

grandes faces,

^{les faces}

moyennes ^et les

petites

^{faces sont}

respectivement parallèles

^aux

plans (110), (110), (001).

^L’orien-

tation des faces par

rapport

^{aux axes cristallo-}

graphiques

^a été vérifiée aux rayons X. Elle est correcte à mieux de 10.

- L’échantillon ^no 2 se

présente

^{sous la forme}

d’une lame dont

l’épaisseur

^{est faible}

(3 mm)

^ce

qui

^{nuit à la}

précision

^{des mesures.}

- L’échantillon no 3 est un

parallélépipède

^rec-

tangle

^de dimensions 10 X 10 X 19 mm. L’orien- tation des faces est la même que pour l’échan- tillon no 1.

3. Mesures à

température

^ordinaire

(20 oC).

^--

Nous avons déterminé la vitesse de

propagation

d’ondes ultra-sonores

planes

^se

propageant

^dans

nos échantillons.

(1) Les échantillons ont été

mis;aimablement

^{à notre dis-}

position

par ^MM. les Professeurs J. P. Mathieu et H. Curien.

Les échantillons 1 et 2 ont déjà ^{servi à} des études

optiques

[6], [7], [8].

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196300240120109700

1098

Trois méthodes

optiques indépendantes

^{ont été}

mises en oeuvre : la méthode de

résonance,

^la

méthode de

visualisation,

^{la méthode de diffrac-}

tion de la lumière. Ces méthodes ^sont

rappelées

dans un article de

Meyer

^{et Hiedemann}

[9] ;

^nous

en limiterons

l’exposé

^aux

particularités

propres ^à notre étude.

3.1. MÉTHODE ^DE RÉSONANCE. - Des ondes

élastiques planes, engendrées

par ^un

quartz piézo- électrique

^{forment entre} deux faces

planes

^et

paral-

lèles du monocristal un

système

d’ondes station- naires.

On sait

[10] qu’un

^tel

système peut

diffracter ^la lumière comme le ferait un réseàu _{de pas} À

(À désignant

^la

longueur

^d’onde

élastique).

L’intensité de la

figure

^de diffraction est maxi- male

quand

^{le solide entre en}

résonance,

^c’est-à-

dire

quand

L : distance des faces

parallèles,

k : nombre

entier,

ou encore

N :

fréquence

^de

résonance,

V :

vitesse

^de

propagation

^{des ondes}

élastiques.

Le cristal est

posé

^{sur un}

quartz piézo-électrique.

On excite ce

quartz

^{à l’aide d’un}

générateur

^dont

on

peut

faire varier la

fréquence

^de

façon

^continue

depuis

⁵

méga-cycle jusqu’à

³⁰

méga-cycle.

La résonance du cristal est décelée par l’obser- vation visuelle

d’un

maximum de l’intensité’de la

figure

^de diffraction. On note la suite des fré- quences de

résonance ;

^{de cette mesure et de celle}

de

L,

^{on déduit y’}

d’après l’équation [2].

On

augmente

notablement le contraste de la

figure

^de diffraction en

plaçant

l’échantillon

en vibration entre

polariseur

^et

analyseur

^croi-

sés. Si les directions de

polarisation

^{sont à 450}

de la direction de

propagation

^des

ultra-sons,

on observe les

résonances âues

^{aux ondes}

longitu-

dinales.

Si les directions de

polarisation

^{sont à 0 et 900}

de la direction de

propagation

^des

ultra-sons,

^on

observe les résonances dues ^aux ondes transver- sales.

Nous avons pu ainsi observer à différentes fré- quences les

figures

de diffraction de la lumière dues aux ondes

planes, stationnaires, longitu-

dinales et

transversales, parallèles

^aux

plans (001)

et

(110).

On relie la vitesse de ces ondes ^aux constantes

élastiques CIl’ C12, C44

^{à l’aide} du tableau de

correspondance

ci-contre :

TABLEAU 1

(un

^vecteur d’onde de cosinus directeurs

[1,

m,

n], pilote

^{une vibration}

longitudinale

de vitesse

Vi

^et

deux vibrations transversales de vitesse

Y2

^et

’V3).

(p désigne

^la’masse

spécifique

^du

cristal.) ,Cette

méthode est

précise.

^{Nous avons} pu, par

exemple,

^{observer toutes} les résonances des ondes

longitudinales

^se

propageant

suivant la direc- tion

[110], depuis l’harmonique

²⁵

jusqu’à

^l’har-

monique

^175.

3.2. MÉTHODE DE VISUALISATION. ^- Un solide

Îransparent, siège

^d’un

système

d’ondes station- naires ultrasonores ^est en

première approximation,

du

point

^{de vue de}

l’optique,

^un

objet

^de

phase.

On

peut donc,

par différents

procédés (strioscopie,

contraste de

phase),

visualiser les ondes ultra-

sonores à l’intérieur de ce solide.

Un autre

procédé

^de visualisation est

applicable

dans le cas d’un milieu

isotrope

^ou d’un cristal

cubique.

^{Aux ventres de tension}

élastique

^{se mani-}

feste une

biréfringence

accidentelle

qui

^n’existe

pas ^aux noeuds. L’observation du solide en vibra-

tion, placé

^entre

polariseur

^et

analyseur

^croisés

à 450 de la direction de

propagation

des ondes élas-

Fm. 1. ^- Ondes

longitudinales

dans un

parallélépipède

^{de verre.}

tiques,

révèle des raies sombres aux noeuds de tension et

des

^zones claires aux ventres de tension

(exemple fig. 1).

Nous avons

photographié

les échantillons de blende dans

lesquels

^{les ondes} ultrasonores étaient visualisées. La

figure

²

représente

l’échantillon 1

siège

^d’un

système

d’ondes stationnaires

longi-

tudinales. ^-

Fie. 2a. ^- Ondes

longitudinales

stationnaires dans la blende. Direction de

propagation[001].

Fie. 2&.

^- Ondes

longitudinales

stationnaires dans la blende.

Direction,

^de

propagation

[110]. ^,

En a la direction de

propagation

^est

[001].

En b la direction de

propagation

^est

[110]..

La distance de 2 noeuds est

égale

^{à la demi-}

longueur d’onde, xi j2

^en a,

Xg/2

^{en b. Le}

rapport

des

longueurs

^d’onde

À1

^et

À2

relatives à deux

fréquences

V1

et v2

que l’on ^mesure

exactement,

nous donne une relation entre les constantes élas-

tiques,

^sans

qu’il

soit nécessaire de connaître le

grandissement

^du

système photographique.

3.3. MÉTHODE DE DIFFRACTION DE LA LUMIÈRE

(Franges

^de

Lucas-Biquard).

On

photographie

^la

figure

^de diffraction donnée par le

systèmes

^d’ondes stationnaires décrit ^au

paragraphe

^3.1.

La distance du réseau ultrasonore à la

plaque

photographique

^{n’est pas} connue avec

précision.

Pour éliminer cette

inconnue,

nous avons

photo- graphié

^les

figures

de diffraction données simul- tanément par les ondes

longitudinales

^{et trans-}

versales.

La

figure

³

représente

^{une telle}

figure

^{de dif-}

fraction due aux ondes transversales et

longitu-

dinales se

propageant

suivant la direction

[1, 1, 0].

Le

rapport

des distances

d1

^et

d2

^des

franges

^du

premier

^{ordre est mesurable sur le cliché.}

FIG. 3. ^- Diffraction de la lumière par deux systèmes simultanés d’ondes stationnaires dans un cristal de blende.

V1 et V2 désignant

les vitesses de

propagation

^de

ces deux

types

^d’ondes.

Cette mesure donne une relation

supplémentaire

entre constantes

élastiques.

3.4.

RÉSULTATS.

Discussiorr. ^- Pour

chaque

échantillon de

blende,

la méthode de résonance fournit

quatre équations

^où

figurent

^{les constantes}

élastiques.

^Cette méthode suffit donc pour déter- miner les trois constantes. Les deux autres mé-

1100

thodes ont été utilisées pour améliorer la

précision

des résultats. On en déduit :

Ces résultats sont obtenus avec pour valeur mesurée de la masse

spécifique

Les résultats

précédemment publiés

^{sont re-}

portés

^{dans le tableau 2.}

TABLEAU 2

Les constantes de Wooster ^et Price étant déter- minées avec une erreur relative de 5

%,

^{la diver-}

gence ^{avec nos} résultats reste dans des valeurs admissibles

pour Cl1

^et

C128

^Par

ailleurs,

^on

remarque que la constante

C44

^est

beaucoup plus

faible

d’après

^{ces auteurs} que

d’après

^{les autres.}

Il est

plus

^{difficile de} comparer ^nos résultats avec ceux de

Bhagavantam

^et

Suryanarayana qui

^ne

communiquent

pas la

précision

^{de leurs mesures.}

On notera

toutefois

_que

C44

^est déterminé par ^ces auteurs de

façon statique

c’est-à-dire moins

pré-

cise. Si l’on

reporte

^dans leurs calculs notre valeur de

C44,

^{on trouve} pour

C12

^{un résultat}

proche

^du

nôtre.

4. Mesures à basse

température.

^{- Nous avons}

mesuré.par

la méthode de résonance les constantes

élastiques

de la blende

depuis

^{20 OC}

jusqu’au

^voisi-

nage de la

température d’ébullition

de l’azote

liquide (- 180 °C).

4.1. DESCRIPTION DU MONTAGE. ^- Le cristal

posé

^{sur le}

quartz piézoélectrique

^est

logé

^{à l’inté-}

rieur d’un bloc de laiton de

grande capacité

^calo-

rifique.

Le refroidissement du bloc est assuré par ^une circulation ^d’azote

liquide

^le

long

^{de tubulures}

percées

^{dans sa masse.} L’ensemble est

placé

^dans

un vase Dewar où l’on a

ménagé

^{deux fenêtres}

optiques permettant

le passage de la lumière et

l’observation des

figures

de diffraction.

La commande du circuit de pompage ^{de l’azote}

est asservie à la

température

de l’enceinte par l’intermédiaire d’un thermomètre à gaz ^ou d’un thermomètre à résistance de

platine.

^{Dans les deux}

cas, la

température

^au niveau du cristal est main- tenue constante

à +

^{1°C. Ce}

montage

^est

inspiré

de celui décrit par Kahane

[11].

Discussion. ^-- La relation

(2), qui

^nous

permet

de calculer la vitesse de

propagation

^des

ultrasons,

n’est

applicable

que si le

couplage

^entre

quartz

^et

cristal,

assuré par ^une couche de

liaison,

^{est suffi-}

samment lâche pour que l’on

puisse

considérer le cristal _comme libre.

Suivant

la température

nous avons utilisé dif- f érents a liants »

répondant

^{à cette} condition : huile de

paraffine, décahydronaphtalène, méthylcyclo- hexane, méthyl

^{2 butane.}

4.2. RÉSULTATS. ^- Le calcul des constantes

élastiques

^à différentes

températures

nécessite la connaissance du coefficient de dilatation de la blende en fonction de la

température.

^{Nous avons}

emprunté

les résultats à Adenstedt

[12].

Les courbes

1,

^{2 et 3}

(fig. 4) représentent

^les

variations des constantes

élastiques CI,, C12,

^et

FIG. 4.

C44

^{en fonction de la}

température depuis

^20°C

jusqu’à -

¹⁸⁰

^°C,

^Ces

^courbes

^sont

^d’allure

^presque

rectiligne,

^{avec une}

légère

convexité tournée ^vers l’axe des

Cu croissants,

^{à basse}

température.

^Les

pentes

des courbes sont toutefois très faibles com-

parées

^aux courbes relatives à des cristauX

ioniques.

4.3. CONSTANTES

ÉLASTIQUES

^{A 0 OK. - Les} courbes

1,

^{2 et 3 nous ont}

permis

d’évaluer par

extrapolation

^les constantes

élastiques C,1, C12.

et

C44

^{au zéro absolu. On}

peut extrapoler graphe

quement

^en

prolongeant

^{les courbes}

1,

^{2 et 3}

jusqu’à

^{0 OK de}

façon

^{à ce} que

è)Cu jôT

⁼ 0 pour T = 0.

On

peut également,

^{suivant une méthode em-}

ployée

par Durand

[13],

écrire que :

( Cu) 0 désignant

^la valeur de Cn à 0

OK ;

u ⁼

T ¡aD

^{avec T}

t’empérature

^en

degré Kelvin ;

OD

température

^de

Debye ;

Fii(u)

^{est une fonction de u}

qui

^ne

dépend

pas de la substance

étudiée ;

^{Ais une constante carac-}

téristique

^{de la} substance étudiée.

L’utilisation de ces deux méthodes est concor-

dante et nous conduit aux résultats suivants :

5. Utilisation des résultats. ^- 5.1.

ÉVALUATION

DE LA COMPRESSIBILITÉ ISOTHERME DE LA BLENDE.

- De nombreux auteurs ont mesuré à la

tempé-

rature

ordinaire,

^la

compressibilité

^{isotherme de}

la blende

xT [14, 15].

Cette

grandeur peut

^{être calculée à}

partir

^{de nos}

résultats

puisque

C i, CT2 désignant

^les constantes

élastiques

^iso-

thermes- de la

blende.

La méthode

dynamique

que

nous utilisons nous donne les coefficients

élastiques adiabatiques Cfl’ C 2,

^{reliés aux}

précédents

^par

les relations

(6)

^et

(7)

oc : coefficient de dilatation

linéaire,

p : ^masse

spécifique,

Cv : chaleur

spécifique

^{à volume constant.}

Le terme

9T(X2/pCv XT

^{est un terme} correctif dont 1 a valeur est :

0,03 .1011.

^{Il vient :}

Ce résultat est en excellent accord avec les valeurs

publiées [14, 15].

obtenues par ^mesure

statique

^{de la}

compressibilité

5.2. TEMPÉRATURE DE DEBYE DE LA BLENDE. -

5.2.1.

Rappel

^{des résultats}

précédents.

^{- La théorie}

de

Debye

des chaleurs

spécifiques

^{relie la}

tempé- .

rature

caractéristique ^OD

^aux constantes

élastiques

par la relation :

Notations de Blackmann [16]

Cm,

la vitesse moyenne de

propagation

^{des ondes}

élastiques

^dans le cristal est définie _par la relation :

où

V1, V 2, V3 désignent

les vitesses de propa-

gation

des ondes

longitudinales

^et transversales relatives à une

même direction ; l’intégration porte

sur toutes les directions de

l’espace.

La

comparaison

^{de aD} ainsi calculé

(nous

^note-

rons

6D élastique)

^{à la valeur}

6D(y)

^évaluée

d’après

les mesures de chaleur

spécifique,

^est

particuliè-

rement intéressante dans le cas de la

blende.

En

effet,

^{ce cristal est un}

semi-conducteur,

^{dont le}

« gap » ^est élevé

(La

résistivité à

température

ambiante est

supérieure

^{à 1012}

ohm/cm).

^{Il en}

résulte _que la contribution

électronique

^{à la cha-}

leur

spécifique

^est

négligeable

^{devant la contri-}

bution du réseau.

Comparaison

^de

OD(T)

^et

OD)(élastique).

-

Forsterling [4]

^{a calculé}

^Sa (élastique)

^{et Cm}

d’après

^les constantes

élastiques

^de

Voigt ;

^il

trouve :

- Clusius et Harteck

[17]

^{ont mesuré la chaleur}

spécifique

^{de la blende entre 19 OK et 200 OK. De}

leurs mesures ils déduisent.

On constate donc que

03B8D( T) OD (élastique).

D’après

^les

prévisions

de Blackmann

[16],

^la

mesure des chaleurs

spécifiques

^{à des}

températures

inférieures à 19 OK était

susceptible

de réduire l’écart entre

OD(T)

^et

OD(élastique).

^{En effet}

Martin

[5]

^a étudié la blende de ce

point

^{de vue}

entre 19 OK et 4 OK. La courbe de variation de OD

en fonction de la

température

^s’élève

quand

^la

température diminue,

pour atteindre la valeur

. OD ⁼ 315 OK à 8 OK. Martin réduit encore l’écart entre OD

(élastique)

^et

8n(T)

^{en calculant OD}

(élas- tique) d’après

^{les valeurs de Wooster}

[3].

^{Ce calcul}

toutefois

appelle

^deux remarques : ^- les cons- tantes

élastiques

^{de Wooster sont}

imprécises ;

^{- la}

méthode de calcul

qu’utilise

^Martin

(Bhatia

^et

Tauber

[18])

^se

justifie

pour ^un cristal tel _que

2C441C11

^-

C12 =

1. Cette relation n’est pas véri- fiée pour la blende.

1102

5.2.2. Calcul de CD

(élastique).

^{- Nous avons}

évalué OD

(élastique)

de la blende en utilisant nos

valeurs à 0 OK de

C11, C,2

^et

C44.

^{La méthode de}

Hopf

^{et Lechner} modifiée par Durand

[13]

^n’est

pas

précise

^car

C44 (C11- C44)

varie dans un do- maine

trop

étendu pour des directions de propa-

gation

d’onde différentes.

Nous avons évalué Cm _par

intégration graphique.

En raison de la

symétrie cubique,

il suffit de cal- culer la ^{somme s =}

-V1-3

+

Y2 3

+

Y3 3

pour les directions dont les cosinus

directeurs l,

m, n,

répon-

dent aux

inégalités 1 > m > n >

^{0. Dans cette}

région

^de

l’espace

nous avons évalué la somme s

dans de nombreux

plans

de coupe

puis

^déterminé

graphiquement

^une valeur moyenne. Nous obte-

nons :

On note que l’écart ^entre

8D( T)

^{et OD}

(élastique)

est de nouveau bien

supérieur

aux erreurs

expéri-

mentales.

6. Conclusion. ^-

Nous avons

mesuré par trois mé- thodes

optiques indépendantes

^les constantes élas-

tiques

d’échantillons naturels de blende à

tempé-

rature ordinaire. Les résultats sont en excellent

, accord

^{avec les mesures de}

compressibilité

^{de la}

blende. Nous avons étudié la variation des cons-

tantes

élastiques

^{de 20°C à - 180°C afin de}

déduire la valeur de ces constantes à 0 OK.

Ces données nous ont

permis

de calculer la tem-

pérature

^de

Debye

^{de la} blende. Le résultat sou-

ligne

^{à nouveau} le désaccord entre

OD (élastique)

^et

6D( T).

Ces recherches ont été faites au Laboratoire des Recherches

Physiques

^{de la}

Sorbonne,

^{sous la}

direction de MM. les Professeurs Lucas et Mathieu.

Nous tenons à leur

exprimer

^{ici notre}

profonde gratitude.

Les échantillons de blende ont été taillés et

polis

par Mme Devaux-Morin ^et Mlle Chabaud. Nous les

en remercions bien vivement.

Manuscrit reçu le 26

juillet

^1963.

BIBLIOGRAPHIE [1] ^VOIGT (W.), Gôttinger Nachr., 1918, ^424.

[2] BHAGAVANTAM (S.) et SURYANARAYANA

(J.),

^Proc.

Indian Acad. Sc., 1944, ^A 20, ^304-309.

[3] ^PRINCE

(E.)

et WOOSTER

(W.

A.), ^Acta Cryst., 1951, 4,

191.

[4] FÖRSTERLING (K.), ^Z.

Physik,

^{1922, 8, 251-256.}

[5] ^MARTIN (D. L.), ^Phil. Mag., 1955, 46, 751-758.

[6] MATHIEU (J. P.) ^et COUTURE-MATHIEU (L.), ^{C. R.}

Acad. Sc., 1951, 233, ^32-35.

[7] ^MATHIEU (J. P.) ^et COUTURE-MATHIEU

(L.),

^{C. R.}

Adad. Sc., 1953, 236, ^371-373.

[8] ^KARA (R.), ^MATHIEU (J. P.) ^{et POULET}

(H.),

^J. Phy-

sique Rad., 1954, 15,

^60-61.

[9] ^MAYER

(W.

G.) ^{et HIEDEMANN}

(E.

A.), ^{J. Acoust.}

Soc. Amer., 1958, 30, ^756-760.

[10] ^LUCAS (R.) ^{et BIQUARD} (P.), ^J. Physique Rad., 1932, 3,464-477.

[11] ^KAHANE (A.), Thèse, Paris, ^1962.

[12] ^ADENSTEDT (H.), ^Ann. Physik, 1936, 26, ^69-96.

[13] ^DURAND (M. A.), Phys. Rev., 1936, 50, ^449-455.

[14] ^MADELUNG (E.) ^{et FUCHS} (R.), ^Ann. Physik

(Dtsch),

1921, 65, ^289-309.

[15] ^BRIDGMANN (P.

W.),

^{Amer. J.} Sc., 1925, 10, ^483-498.

[16] ^BLACKMANN (M.), ^Hand. Physik, 1955, 7, ^325.

[17] ^CLUSIUS (K.) ^{et HARTECK}

(P.),

^Z. Phys. Chem., 1928, 134, ^243-263.

[18] ^BHATIA (A. B.) ^{et TAUBER}

(G. E.),

^Phil. Mag., ^1954, 45, 1211-1213.