HAL Id: jpa-00236746

HAL Id: jpa-00236746

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00236746

Submitted on 1 Jan 1963

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire

HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

L’élasticité du milieu cristallin et l’élasticité des cristaux métalliques de symétrie cubique

Jean Laval

To cite this version:

Jean Laval. L’élasticité du milieu cristallin et l’élasticité des cristaux métalliques de symétrie cubique.

J. Phys. Radium, 1963, 24 (1), pp.1-13. �10.1051/jphysrad:019630024010100�. �jpa-00236746�

1

LE JOURNAL DE PHYSIQUE

ET

LE RADIUM

L’ÉLASTICITÉ

DU MILIEU CRISTALLIN

ET

L’ÉLASTICITÉ

DES CRISTAUX

MÉTALLIQUES

^DE

SYMÉTRIE CUBIQUE

Par JEAN

LAVAL,

Collège ^{de France.}

Résumé. ²⁰¹⁴ Une première partie ^{de cet article est consacrée à un examen} critique des théories qui ^ont pour sujet l’élasticité du milieu cristallin. La ^seconde partie porte ^sur l’élasticité des cris- taux métalliques ^de symétrie cubique. La théorie de cette élasticité fait fond sur les travaux de

Fuchs ; ^{elle est} développée ^{selon la} méthode de Max Born. On trouve que les coefficients d’élas- ticité statique ^{ont trois} composantes : ^{l’une est due au réseau} formé par les ions positifs, ^l’autre

à la compressibilité ^du milieu formé par les électrons de conductibilité, la troisième à la tension

thermique. ^En outre, la théorie est étendue à la dynamique ^{des ondes} élastiques. On définit des forces de

rappel

pressantes qui s’exercent sur les atomes. Elles ont pour origine ^la compressibilité

du milieu formé par les électrons de conductibilité. Chacune d’elles prend ^une intensité propor- tionnelle à l’élongation de l’oscillation qui ^la développe, ^au carré du nombre d’onde de la même

oscillation, ^{et à un} coefficient de réduction (inférieure ^à l’unité) qui ^décroît quand ^{le nombre}

d’onde augmente.

Abstract. ²⁰¹⁴ The first part of this article is devoted to a critical study of the theories of the

elasticity ^{of the}

crystalline

medium. The second part ^{deals with the} elasticity of the metallic

crystals ^{of cubic} symmetry. ^The theory ^{of this} elasticity is based upon Fuch’s works ; ^{it is deve-} oped according ^to Max Born’s method. We find that the elastic constants have three compo- nents : one is due to the lattice formed by ^the positive ^{ions, another to the} compressibility ^{of the}

medium formed by ^the conductivity electrons, ^{the third one to} the thermal tension. In addition the theory is extended to the dynamics of elastic waves. We define

the "compression"

^inter-

atomic forces ^which are exerted upon the ^atoms. Their origin ^{is the} compressibility of the medium formed by ^the conductibility electrons. Each one takes an intensity proportional ^{to the}

displace-

ment of the oscillation which develops it, ^to the square of the wave-number of the ^same oscillation and to the réduction coefficient (less ^than unity) ^which decreases when the wave-number ^increases.

Tome 24 N° ¹ JANVIER

1963

1

Théories de l’élasticité du milieu cristallin A. Théorie de

Cauchy.

^{- La}

première

^théorie

consacrée à l’élasticité du milieu .cristallin ^est due à

Cauchy [1].

^Le

grand géomètre envisage

^{un réseau}

de

particules identiques,

unies par

des

^{forces de}

cohésion

dirigées

^{suivant les : B}

droiteil qui

^les

joignent,

entièrement déterminées par leurs dis-

tances, qui

décroissent vite

quand

^{ces distances}

augmentent

^et s’annulent dès

qu’elles

^deviennent

plus grandes qu’un

^rayon d’action sensible. Les forces de cohésion

qui répondent

^{à cette définition}

sont dites ^« centrales ^».

B. Théorie

classique (Voigt).

^{- Au début de ce}

siècle, Voigt

^est revenu sur l’élasticité du milieu cristallin

[2].

^{Il tient un}

compte rigoureux

^{de la}

symétrie

^{et de}

l’anisotropie caractéristiques

^{de ce}

milieu.

Mais,

^à l’encontre de

Cauchy, Voigt

^{ne se}

réfère

plus

^{à la structure} réticulaire. Il invente les tenseurs

et,

par le calcul

tensoriel,

^{il étend lâ}

théorie

classique

^de l’élasticité au milieu cristallin.

Cette théorie fait état d’un milieu absolument

homogène,

^{où toute} déformation se

répète

^dans

tout élément si

petit

^{soit-il. Elle définit les défor-}

mations par la variation des distances entre les

points matériels,

^et suppose

qu’en

^tout

point

^les

tensions

sont intégralement

déterminées _{par la dé-} formation

ponctuelle

^{localisée à ce même}

point.

C’est admettre _{que les}

points

^{matériels sont unis}

par des forces de cohésion

centrales,

^et que ^ces forces ne s’exercent

qu’entre

^des

points

^infiniment

voisins,

c’est-à-dire s’annulent à distance infini-

tésimale [3], [4].

Donc, Voigt

suppose que le milieu cristallin est

homogène

^{à toute échelle}

et,

par

suite,

^il

prend

^en

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019630024010100

compte

^des déformations TaY accordées à ^cette

homogénéité, lesquelles

^{forment un tenseur}

symé- trique (03C403B103B3) :

^{si u est le}

déplacement

^d’un

point

^en

position d’équilibre

^x

(1),

Les coefficients d’élasticité

dXYt(38,

^définis

d’après

ces

principes,

conservent le même module sous les

permutations

^{de oc} et y,

de B

^et

8,

^{et de} ocy et

BdB,

En

conséquence,

^leurs

grandeurs

distinctes s’élèvent

au nombre 21 pour ^un cristal

triclinique

^{et tombent’}

au nombre de 3 pour ^un cristal

cubique holoédrique.

Voigt

^ne traite pas

spécialement

des ondes élas-

tiques.

^{Mais tous les}

physiciens qui

^{ont abordé ce}

,

sujet reprennent

^{aussi les}

conceptions

^{et les mé-}

thodes de l’élasticité

classique [3], [4]. Et,

^{à la}

légère

correction

près, qui

^tient

compte

de la diffé-

rence entre une déformation isotherme et une défor- mation

adiabatique,

^ils

rapportent

directement la

dynamique

^{des ondes}

élastiques

^aux coefficients d’élasticité

statique Cocy, (38,

tels que

Voigt

^{les a}

définis

[2].

C. Théorie fondée sur la structure

atomique (Max Born).

^-

Cependant,

^en

1913,

la réflexion sélective des rayons X révélait la ^{structure ato-}

mique

^{du milieu}

cristallin et,

par

conséquent,

^que

ce milieu est

hétérogène

^{à toute} échelle moindre que

l’angstrôm

^et

qu’il

n’a donc pas

l’homogénéité

absolue que lui attribue

Voigt.

^{Dès lors il conve-}

nait de

reprendre

la théorie de son élasticité. Max Born le fit aussitôt.

De

prime abord,

^{Max Born}

rapporte l’énergie potentielle

d’un cristal à sa structure

atomique ;

et,

^{de cette}

énergie,

^{il déduit la}

dynamique, puis

l’élasticité du milieu cristallin

[5], [6].

^{Pour définir}

simplement l’énergie potentielle

d’un cristal en

fonction de sa structure

atomique et,

^{du même}

coup, ^en fonction de sa structure

réticulaire,

^il

convient de

prendre

pour

origine

des coordonnées

un noeud du réseau

cristallin, puis,

^à

partir

^{de cette}

origine,

de définir la

position

^d’un

atome,

par ^une translation

triple

^m

+ j + ujl,

résultante d’une translation ^m propre ^au réseau

cristallin,

^d’une

translation j

^{contenue dans la maille}

élémentaire,

et d’une

élongation uj,

^celle de l’oscillation ther-

mique

faite par l’atome à

partir

^{de sa}

position

moyenne ^m

-i- j.

^De

même,

^la

position

d’un second

atome

^sera définie par ^une

triple

translation p

+ k + uPk,

celle d’une

troisième

par ^une

triple

translation _q

+

¹ +

uf, etc...,

^et p, q, ^...

étant, cjijlme

^m, des translations propres ^au réseau cris-

tallin ; k,

^{1 ... comme}

j,

^des translations contenues

.

(1),

Précisément, ^si y diffère de oc, Voigt prend ^en compte

les

déformation

_Tay

OUGC oUy

^{mais faire état}

^ici

^des

, uxy uxoc

déformations

ainsi définies entraînerait des confusions.

dans la maillé

élémentaire,

^et

uP, u",

^{... comme}

ul!l

des

élongations.

^Cela

posé,

^{Max Born}

exprime l’énergie potentielle

d’un cristal en état stable

(2),

et à

température

⁰ constante et uniforme :

’illo(0) est,

^{à la}

température

^absolue

0, l’énergie potentielle

^du

cristal,

^{libre de toute}

contrainte,

exercée par le milieu

extérieur,

^{les atomes au} repos

sur leurs

positions

moyennes ; ^et

rz â, ul) uly,

^...

étant les

composantes

cartésiennes des

élongations um, ul, u1q

^{... on a :}

Et la

différence, ’UB0)

^-

’ID0(0h

^mesure

l’énergie potentielle

^de

l’agitation thermique.

D’autre

part, quand

le cristal est déformé _par des tensions

appliquées

^{sur ses}

faces,

si l’on fait abstraction de

l’agitation’ thermique,

^{et si l’on}

représente

par

Lilil, Uui uf,

^{... les}

déplacements accomplis

par les

positions

moyennes des ^atomes à

partir

^des

points

^m

+ j, p

+

k,

q

+ 1 ...

^{où elles}

se

trouvaient

dans le milieu cristallin libre de toute

contrainte,

la différence

’ID(0)

^-

’ID 0(O)

^me-

sure, ^{en ce} second cas,

l’énergie

reçue par le cristal

au cours de la déformation.

Ainsi,

^{selon Max}

Born, l’énergie potentielle

^de

l’agitation thermique,

^et

l’énergie prise

par ^une

déformation,

^{sont l’une et}

l’autre entièrement déterminée par les

dépla-

cements

uT, up, uq

^{... des atomes à}

partir

^{de leurs}

positions moyenne’s.

Le tenseur

symétrique (Tay), pris

^en

compte

par

Voigt,

^{est une} donnée insuffisante

(3)

pour définir les

déplacements communiqués

^aux

positions

moyennes des ^atomes lors d’une’ déformation du milieu cristallin. Afin de définir entièrement ces

déplacements

^{il est} nécessaire de

prendre,

^comme

(2) ^{Le milieu} cristallin, supposé stable, les dérivées pre- mières de son énergie potentielle, par rapport ^aux compo- santes (m + /)o: ; (p ⁺

k)(3, .... des translations

^{qui trans-}

portent l’origine des coordonnées sur les positions moyennes des atomes, sont toutes nulles.

(3) La déformation oey (y #

oc)

^ne

dépend

point ^du rapport ^entre les deux dérivées OUa/OXY ^et

Zuy JZx3,

^tandis

que les déplacements

um, uk ...

^{varient avec ces dérivées} et, par conséquent, ^{avec leur} rapport

lorsque

^{la défor-}

mation TaY (y # ex) reste constante.

Max Born l’a fait le

premier,

^{un tenseur des défor-}

mations

(tay) à

^neuf

composantes :

Mais ce tenseur

adopté,

^{Max Born}

suppose

^les

atomes du milieu cristallin unis par des forces de cohésion centrales

[6],; et,

par ^cette

hypothèse,

^il

retrouve les coefficients d’élasticité définis par

Voigt,

^{sauf si}

chaque

^{atome se situe sur un centre}

de

symétrie,

^ce

qui

^a lieu seulement dans des cris- taux

cubiques holoédriques. Lorsque

^le milieu cris- tallin a cette

structure,

^les atomes sont distribués

comme les

particules identiques qu’envisage Cauchy.

^{Et lVlax} Born faisant état de forces de cohésion

centrales,

retombe nécessairement sur les coefficients d’élasticité

qui

satisfont les relations de

Cauchy, lesquels

conservent le même module

sous toutes les

permutations

^des

quatre

^{indices (x,}

91

Yi

8,

^{et ne}

prennent donc,

pour des cristaux

cubiques holoédriques

que deux valeurs distinctes : c««,«« et

cococ,(3(3

^‘

cOE5,’%5,

^tandis

qu’en

^{accord avec}

toutes les observations et toutes les données des

expériences, Voigt

^{leur en} attribue trois

(4) : c«a,aa ; ^caoc.(3(3

^{et coc(3,a(3}

(cococ.(3(3 = cocf3.oc(3).

^.

Considérer les atomes du milieu cristallin unis par des forces de cohésion centrales c’est supposer

qu’ils

^{ont une}

symétrie spMrique.

^{Si ces atomes}

sont

tels,

^{toutes leurs}

propriétés,

^en

particulier

^leur

densité

électronique

^{et leur}

champ

^de

forces,

^se

répètent identiquement

^{suivant tous} leurs rayons, donc il suffit de se donner les coordonnées de leurs centres de

gravité

pour définir entièrement la ^struc- ture du milieu cristallin

(5).

Or les théoriciens de l’élasticité

classique envisagent,

^{ce milieu à très}

grande

échelle par

rapport

^aux rayons des

atomes, et,

^{de ce}

point

^{de vue, les atomes se confondent}

avec des

points

matériels. D’autre

part,

^{les forces}

de cohésion que les atomes exercent les uns sur les autres ont un rayon d’action sensible

plus grand

que leurs

diamètres,

^mais

qui

^{reste borné.}

Et,

comme une déformation

élastique (6)

n’altère pas sensiblement la

symétrie primitive

^des

atomes,

c’est-à-dire leur

symétrie

dans le cristal libre de toute

contrainte,

^elle

peut-être définie,

^{sans inter-}

détermination

sensible,

par la variation des dis- tances

interatomiques.

^{Telles sont} les raisons de l’accord

entre

les théories de

Voigt

^{et de Max}

Born. De

fait,

^les

énergies

^de déformation et les tensions

prises

^en

compte

par Max Born ne varient

point

^{avec les} déformations de cisaillement tocy ^et tya

(y # oc) prises individuellement ;

^{elles sont} (4) ^En symbole ^de Voigt ^à deux indices : les coefficients de modules distincts, satisfaisant les relations de Cauchy,

sont Cil et c12 ⁼ c44, ^tandis que Voigt ^{trouve c12 # c44.}

(5) La structure des atomes étant supposée ^connue.

(6) Une déformation élastique ^{est celle} qui

développe

des tensions sensiblement conformes à la loi de Hooke.

G’est ^donc toujours ^une déformation légère.

fonctions

uniquement

de leurs sommes, donc des déformations

classiques :

D.

Propriétés

des atomes

engagés

dans le milieu cristallin. ^-

Depuis

que la

mécanique quantique

^a

pris

corps, les théoriciens l’ont mise ^en oeuvre sans cesse pour déceler la ^structure

électronique

^du

milieu cristallin et le

champ

^{de forces dont il est le}

siège.

^{De toutes} leurs études se

dégagent

^{des con-}

clusions en accord sur deux

points.

1)

Sauf dans les cristaux

cubiques

formés par les

métaux,

^{les atomes}

engagés

dans le milieu cris- tallin sont dénués de la

symétrie sphérique.

^Leur

corps central ^conserve bien cette

symétrie,

^mais

leurs électrons faiblement liés

(en particulier

^les

électrons de

valence)

^sont distribués ^{avec une} den- sité

qui

^{ne l’admet}

plus,

^{donc leur}

champ

^{de forces}

est de même.

Prenons les coordonnées

polaires

r,

0,

cp, et fixons leur

origine

^{sur le centre de}

gravité

^d’un

atome

qui appartient

^au milieu cristallin. Si cet atome avait une

symétrie sphérique,

^{sa densité}

électronique,

^son

champ

^de

forces,

seraient fonc- tions de la variable r

seule ;

^{mais cet atome}

n’ayant

pas ^une

symétrie sphérique,

^{sa densité}

électronique,

son

champ

^{de forces ne}

peuvent

être définis que par des fonctions des trois coordonnées r,

0,

cp. Et

ces fonctions sont

changées

par ^toute rotation

accomplie

par

l’atome,

^{autour de son centre de}

gravité

^et

qui

^{ne le ramène pas sur lui-même}

^(7).

Ainsi,

^{dans tout}

système

^de

référence,

^en

particulier

dans celui

qui

^est

adopté

^{par les}

cristallographes,

les atomes

qui

forment le milieu cristallin ont une

orientation, laquelle

^est déterminée par les fonc- tions

qui expriment,

^{dans ce}

système

^de

référence,

leur densité

électronique,

^leur

champ

^de

forces,

^et

toutes leurs autres

propriétés.

^En

conséquence,

pour ^connaitre la structure du milieu cristallin à l’échelle

atomique,

^{outre les}

positions

^moyennes,

il est encore nécessaire de se donner les orientations des atomes

(8).

Les déformations

élastiques

^{du milieu cristallin}

sont

d’amplitude

minime. Et il est admis que,

parmi elles,

les déformations de cisaillement tocy

(y

⁼

x) n’impriment

pas des variations considé- rables à la densité

électronique

^des

atomes ;

^seules

modifient considérablement cette densité les con-

tractions ou dilatations toca. Et la modification n’affecte pas le corps central des

atomes ;

^{elle est} restreinte à leur assise

périphérique,

^{là où leur}

(1) Si l’atome se trouve (en position

moyenne)

^{sur un}

axe de symétrie, ^{il revient sur} lui-même par des rotations de 21t ln, n ⁼ 2, 3, 4, 6 ; ^{s’il se trouve sur un centre de} symétrie il est ramené sur lui-même par ^une inversion

prise ^par rapport ^{au centre.}

(8) La structure électronique ^{des atomes étant}

supposée

connue.

densité

électronique

^{est la}

plus faible,

à peu

près

réduite aux électrons de valence. Donc les défor- mations du milieu cristallin consistent essentiel- lement en un

déplacement

^des

atomes

^{les uns} par

rapport

^{aux autres. Ces}

déplacements

^relatifs

um

^-

up

^sont déterminés par les neuf compo- santes

tay (3)

de la déformation :

Supposons

^les déformations TaY constantes : Cette condition

remplie,

^toute variation des _rap-

ports trxy ¡tyoc

^{entre les} déformations de cisaillement

(y =A oc)

^{entraine un}

déplacement

^{des atomes les uns}

par

rapport

^{aux autres}

(9).

^{Et comme les atomes du}

milieu cristallin sont dénués de la

symétrie sphé- rique,

^{et ont} par

conséquent

^une

orientation,

^cette

variation modifie la densité

électronique

^{du milieu}

cristallin alentour de

chaque atome, supposé

^immo-

bile

(1°) ;

^{donc elle modifie} la déformation

imprimée

au cristal et fait de la sorte croître ou diminuer les tensions

qu’elle développe

^et

l’énergie

^nécessaire

pour la ^créer

(11). Mais,

pour

parvenir

^{à cette con-}

clusion, j’admets

que les déformations de cisail- lement n’altèrent pas sensiblement la densité élec-

tronique

^{des atomes}

engagés

^{dans le} milieu cris- tallin. Il n’est pas

prouvé

^{que cette} densité ait exactement cette

propriété.

^{Et l’on}

peut

^concevoir

qu’elle subit,

^à déformations _-r..

constantes,

^une modification notable

lorsque

^les

rapports taYyjtya varient ;

^et que ^cette modification compense celle

qui

^est

apportée

^{à la densité}

électronique

^{du milieu}

cristallin

par les déplacements

^{relatifs de ses atomes.}

Mais la

probabilité

^d’une

compensation exacte

^est

(9j

La déformation ay Supposée constante, ^si tay ^croft de

8,y,.

^les

déplacements relatifs

des atomes ont pour

expression :

^_

(1°)

^En

particulier

^la variation du rapport

tay /ty0153,

^{à défor-}

mation Tay constante, modifie la pénétration ^{mutuelle des}

atomes

(voir

^la suite).

(11)

Selon la théorie

classique

^de l’élasticité [3], [4], ^toute déformation rotationnelle ^- telle que tyoe diffère de tory

(Y = oc)

^-

peut

être résolue en trois rotations

May ⁼ t0153y ^- tya.

et en une déformation pure ^- telle que tya. ⁼ t«Y ^{- Ce}

théorème n’est pas valable ^en élasticité du

milieu

cris-

tallin ; ^car les déformations de ce milieu, ^{les tensions}

qu’elles développent,

^les énergies

qu’elles exigent,

sont, ^à déformations _T«Y constantes, fonctions des rapports

toey Jtyoe.

D’autre

part,

^{quand ce} théorème est valable, c’est-à-dire

lorsque le ^{milieu déformé} peut ^{être confondu avec un}

milieu absolument homogène, seules sont définies les défor- mations T«Y

qui

^{forment un tenseur}

symétrique.

Donc, ^en

ce cas, toute résolution d’une déformation -ry

(y # ex)

en deux composantes toey ^et tyoe ^est arbitraire, ^en

particulier

la

décomposition

^{en deux} composantes

égales

tya. ⁼ t«y.

infime,

sinon nulle. Car une telle

compensation impliquerait

que les ^atomes du milieu cristallin se

comportent,

contrairement aux

faits,

^{comme des}

atomes unis par des forces de cohésion centrales.

2)

^{Selon les} théoriciens de l’état solide les atomes du milieu cristallin se

pénètrent mutuellement,

c’est-à-dire : les fonctions d’onde des électrons fai- blement liés

qui appartiennent

^{à des atomes voi-}

sins,

s’étendent dans un même espace ^où elles con-

servent des

amplitudes

^{notables. En}

conséquence, l’énergie potentielle

^d’un cristal n’est _pas

analy-

sable en

énergies biatomiques exprimant

^{les éner-}

gies potentielles

^{mutuelles des atomes deux à}

deux,

l’un dans le

champ

^{de forces de}

l’autre ;

^{elle com-}

prend

^{au moins des}

énergies triatomiques (portant

sur trois

atomes) qui

^{ne sont} pas

négligeables [7], [8].

z

E. Nouvelle théorie fondée sur la structure

atomique.

^- J’ai fait récemment des études sur

l’élasticité du milieu cristallin

[9].

^{Comme Max,}

Born, je

^{fais fond sur la structure}

atomique

^{de ce}

milieu, et je prends

^{comme donnée son}

énergie potentielle

^telle

qu’elle

^est

exprimée

par ^Max Born

[6].

^Mais pour les raisons que

je

^{viens de}

rappeler j’écarte l’hypothèse

^selon

laquelle

^les

atomes du milieu cristallin sont unis par des forces de cohésion centrales

et,

^en faisant état

d’énergies potentielles triatomiques [8], je prends

^en

compte

la

pénétration

^{mutuelle des atomes.} Les coefficients d’élasticité _que

je définis,

^à

partir

^{de ces}

données,

sont de deux sortes. Les uns,

xcxy.a8,

^se

rapportent

aux déformations

statiques,

^les

autres, Dydab,

^{à la}

dynamique

^{des ondes}

élastiques.

^{Pour un cristal}

triclinique

^les

premiers qui

conservent seulement le même module sous la

permutation

^{de ocy, et}

de

8d, prennent quarante-cinq grandeurs distinctes,

les seconds dont le module

reste,

^en

outre, inchangé

^{sous les}

permutations

^{de oc et de}

3,

^et

de _{y et} de

8,

^en

prennent

trente-six. Je ne retombe donc pas ^sur les coefficients d’élasticité définis par

Voigt.

F. L’élasticité des cristaux

cubiques

^où

chaque

atome occupe ^un centre de

symétrie.

^{- Pourtant}

je

^{reste en accord avec ce}

physicien

^{sur un}

point.

Pour un cristal

cubique

^dans

lequel chaque

^atome

se

trouve,

^en

position

^{moyenne, sur un centre de}

symétrie,

les coefficients d’élasticité

statique, N’zy.ga , et

les coefficient d’élasticité

dynamique,

DydaB,

^que

j’obtiens,

^se confondent dans un

repère orthonormé,

^{et leurs}

grandeurs

distinctes

tombent,

comme en élasticité

classique,

^au nombre de trois :

Mais,

^en

élasticité classique

^les

rapports ^de

5

grandeur

^entre les coefficients

d’élasticité,

propres

aux mêmes

cristaux,

^{à savoir :}

diffèrent de ceux

que je prévois :

Et de ces différences en découlent de nouvelles dans les

expressions

^{des tensions Ta.y}

(12),

^{et dans}

les

équations

^{relatives à la}

dynamique

^{des ondes}

élastiques.

Pour les voir

clairement,

posons :

Il vient

(13) :

On _{sait que} dans tout milieu cristallin

peuvent

se propager ^{suivant toute}

direction

^{q - de cosinus}

directeurs ql, q2, q3 ^-

trois

oscillations

rectilignes orthogonales.

^{La vitesse} F des ondes

élastiques

^et

la direction u de l’oscillation

transportée

^{sont dé-}

terminées par ^trois

équations

^{linéaires et homo-}

gènes :

’

où

p ^est la masse

spécifique

^{du milieu}

cristallin,

^et

câ vs

^sont les coefficients d’élasticité

adiabatique

définis _par

Voigt (lesquels

^sont

remplacés

^{par les}

coefficients

N03C303B103B3.03B203B4 = DJ

^{si l’on se} réfère à la structure

atomique) [9]. Et,

pour les cristaux

cubiques envisagés,

^dans

lesquels chaque

^{atome est}

situé sur un centre de

symétrie,

^{on trouve} que les coefficients

Alle (oc, p

⁼

1, 2, 3)

forment deux matrices distinctes :

et

La

comparaison

^{de ces} deux matrices donne les relations suivantes

(valables

^{seulement en élasticité}

dynamique) :

mais

Donc si l’on

prend

^en

compte les

coefficients d’élasticité

isotherme,

^{calculés à}

partir

^{des coef-}

ficients d’élasticité

adiabatique,

eux-mêmes déter- minés par les vitesses mesurées des ondes élas-

tiques (4),

^{on obtient} les coefficients de compres- sibilité isotherme calculés : _,

et

~

(12)

^T03B103B3 est la tension dirigée ^{suivant Oxa. et} s’exerçant

dans le plan normal à OxY

(13) ^{Si elles sont} produites par les tensions symétriques (TYOE ⁼ T«Y),

qu’implique l’équilibre

^{du milieu} cristallin, les déformations des cristaux cubiques holoédriques ^sont

telles que tya. ⁼ toey ⁼ ’r0153y.

D’autre

part,

^les coefficients de

compressibilité

isotherme sont directement

mesurables,

^{en exer-}

çant

^sur les cristaux des

pressions

^uniformes.

Bridgman

^{en a} fait ainsi de nombreuses me- sures

[10]. Or,

^{si l’on se réfère aux cristaux}

métal- liques

^de

symétrie cubique,

^et si l’on compare

leurs

coefficients de

compressibilité

^{calculés au} moyen des formules

(8)

^et

(8 bis)

à leurs coefficients de

compressibilité mesurés,

la confrontation est nette- ment en faveur de la théorie

classique (14).

^C’est

que les cristaux

métalliques

^{ont une} structure ato-

mique

^{tout à fait à}

part. Appliquée

^{à ces cristaux}

la formule de

l’énergie potentielle (2), posée

par Max

Born,

^{ne fait état} que des

déplacements

(14)

^Au contraire, la matrices!.* (6) ^{s’accorde avec l’élas-}

ticité des cristaux ioniques qui ^ont la même structure

atomique que le sel gemme. En

particulier,

déterminé par cette matrice, ^et compte tenu de la tension thermique, ^le

coefficient d’élasticité c12 du sel gemme diminue quand ^la température s’élève ; tandis que déterminé par la matrice

classique

(5)

le même coefficient augmenterait ^{ou tout au}

moins resterait constant, ^à

température

croissante, ^ce qui

est anormale et n’a pas reçu d’explication ^{à ce} jour.

(RosE (F. C.), Phys. Rev., 1936, 49, ^{50 et DURAND}

(M.

A.), Phys. Rev.,1936, 50, 449.)

La même remarque

s’applique

^à l’élasticité de la sylvine (MoRwooD

(M.

H.) et BRISCOL

(C. V.),

Phys. Reo., 1958, 112,

45).

uT ue,

^{... des ions}

positifs.

^{Ainsi est}

négligée

^une

partie

de la contribution que les électrons de ^con- ductibilité

apportent

^à

l’énergie potentielle.

^En

outre,

^{les ions ont une}

symétrie qui,

si elle n’est pas exactement

sphérique,

^{reste très}

proche

^{de cette}

symétrie. Donc,

^{entre ces}

ions,

les forces de cohé- sion sont sensiblement centrales. En

conséquence,

au

regard

des cristaux

métalliques,

les données que

j’adopte

pour définir l’élasticité du milieu cris- tallin

comportent

^{deux erreurs : l’une}

porte

^sur

l’énergie potentielle (2)

^{l’autre sur la}

symétrie

^des

ions

positifs.

Il

Élasticité

des cristaux

métalliques

de

symétrie cubique.

A.

L’énergie potentielle.

^{- Selon}

Fuchs,

^les

électrons de conductibilité constituent un milieu

qui

a, ^{comme un}

fluide,

^une

compressibilité

pure

[11]

’

J’entends par là que

l’énergie potentielle

^{d’un cris-}

tal

métallique comprend

^une

composante

^{due aux}

électrons de

conductibilité, laquelle

^{est f onction}

exclusivement de la condensation x

(15) :

De sorte que

l’énergie potentielle

^{- à la}

tempé-

rature absolue 0 - d’un cristal

métallique, ayant

la

symétrie cubique (16)

^et

qui

^{est le}

siège

^d’une

déformation

statique,

^a pour

expression,

^{la tension}

thermique négligée :

(15) Soient vo le volume du milieu cristallinlibre de toute

’

contrainte, ^{et v} le volume du mème milieu sous contrainte.

En toute rigueur, ^{on a : -}

et en posant,

il vient

et

Une oscillation harmonique du milieu cristallin ne pro- duit qu’une condensation très faible. En conséquence, ^{on a}

sensiblement :

-

u étant l’élongation.

(16) J’écarte les cristaux métalliques ^de symétrie ^hexa- gonale (formés par deux réseaux d’atomes).

(17) Le milieu cristallin est supposé stable ; ^donc l’énergie

uma., uqB, ... ,

^{sont les}

composantes

cartésiennes des

déplacements ^{um, up,}

^...,

que

^{les ions}

positifs

^ont

accomplis

^à

partir

^{de leurs}

positions

^moyennes

dans le cristal libre de toute contrainte. Ces ions étant

sphériques

^sont unis par des forces de cohé- sion centrales. En

conséquence,

^{toutes les forces}

qui

^{leur sont}

appliquées,

les forces de

cohésion,

^et

les forces de

rappel développées

par leurs

dépla- cements,

^dérivent

d’énergies potentielles

^élémen-

taires, wmq, portant

^{sur deux atomes et}

qui

^sont

uniquement

fonction de la distance r

= m - Pl, qui sépare

^leurs

positions

moyennes ^{m et} p.

Enfin les

intégrales

s’étendent dans le

volume, cU,

^du

cristal,

^et

Fuchs

rapporte l’énergie potentielle des

cristaux

cubiques

formés par les métaux à leur ^structure

atomique. Puis,

^à

partir

^{de cette}

expression,

^il

évalue les coefficients d’élasticité isotherme

[11].

Mais,

à l’encontre de Max Born

[5], [6], ^{il! ne} rapporte

pas directement ces coefficients à la struc- ture

atomique. Simplement,

^il

prend

^en

compte

une déformation

homogène et,

de même que les théoriciens de l’élasticité

classique,

^{il déduit les}

coefficients d’élasticité de

l’énergie globale qui

^est

nécessaire pour la

produire.

^{Fuchs ne} traite pas des ondes

élastiques qui

^se

propagent

^{dans les}

cristaux

métalliques.

^{C’est le}

sujet

de deux études

‘LU(0)

^ne compte pas de ^terme du

premier

degré par rapport

aux

déplacements

^um uP, ^{.., et} par rapport ^{à la conden-}

sation x.

D’autre part, ^{les termes du 3e} degré par rapport ^aux

déplacements u â Mg,

^{..., forment} une somme qui ^est

encore donnée _par l’expression

laquelle ^est symétrique ^{en m} et p.

et

remarquables

^dues

respectivement

^{à E. Bauer}

[12]

et à Jules de

Launay [13] (19). Cependant

MM. E. Bauer et Jules de

Launay,

pour

alléger

leurs

calculs,

^{ne font état} que des forces de

rappel

entre les ions

positifs premiers

^et seconds voisins.

Je reviens ici sur l’élasticité propre ^aux cristaux

métalliques

^de

symétrie cubique,

^{afin de}

rapporter

cette élasticité à la structure

atomique,

^{selon la}

méthode de Max

Born,

^{et sans faire nulle}

hypo-

thèse sur la décroissance

qui

^affecte les forces de

rappel quand

la distance entre les ions

grandit,

admettant seulement _{que la}

portée

^{de ces forces}

est sensiblement limitée _par un rayon d’action

sensible (Cauchy).

B. L’élastieité

statique.

^{--- Pour}

imprimer

^{à un}

cristal

métallique, cubique,

^une déformation

(tory) élastique, isotherme, homogène,

il faut fournir à ce

cristal une

énergie qui, d’après

^{la formule}

(9), prend

par volume

unitaire,

^{une densité}

[9] :

v est le volume de la maille élémentaire.

Rapporté

à l’arête 21 de la maille

cubique,

^{ce volume est :}

En

posant

il. vient :

Par

conséquent, pour

^{un cristal}

métallique

^de-

symétrie cubique,

les coefficients d’élasticité ont pour

expression :

et

(19) Iaa théorie de Jules de Launay ^{a été}

développée

par

Dayal ^{et Sharan} [14], ^et par Dayal ^{et S. P.} Singer [15].

En outre, ^{A. B. Mathia a} repris ^{le même} sujet [16].

ou, ^en

symboles

^de

Voigt

à deux indices

(2°)

Comme les forces de cohésion ^entre les ions

peuvent

^{être tenues} pour centrales

donc

Je retombe sur les coefficients d’élasticité définis par

Fuchs,

que l’on ^{retrouve encore}

si,

^{au lieu}

d’évaluer

l’énergie

nécessaire _pour

produire

^une

déformation,

^on calcule directement les tensions

qu’elle développe

selon la méthode

que j’ai

^{mise en}

oeuvre

[9].

Aux tensions

produites

par les

dépla-

cements relatifs des ions

s’ajoute

^la tension iso-

trope (8-9 ter) :

Et la

compressibilité C2 s’incorpore

^{ainsi dans}

les coefficients d’élasticité CIl et c12

(11), (11 bis).

Cependant

la formule

(9)

^ne tient pas

compte

de la tension

thermique isotrope, T@, qui

^{a lieu}

dans les cristaux

métalliques cubiques [17], [18].

En

fait,

^leurs coefficients d’élasticité

’eflectifs (ou apparents)

^{sont :}

-

Et, compte

^{tenu de la relation}

(13)

Les tableaux

suivants

donnent les coefficients d’élasticité isotherme

c’ll, c’12, c’44,

^{et la somme}

C2 + T 9 =

^{C’12 -}

c’44,

pour

quelques

^cristaux

métalliques

^de

symétrie cubique.

(2oj Selon la loi de correspondance

(21)

^B. Dayal ^{et B. B.}

Tripathi

^{tiennent la relation}

pour inexacte [19]. ^Je

réponds

^{à cette}

objection

^{dans un}

appendice.

^,

(22) Pour les cristaux

de

_cuivrer

(290

IDK) ^{= 2,1 X} 1 0 1°,

Cs(290

^{OK) = 4,38 x} 1011. Pour les cristaux d’aluminium et d’or la tension, T©(290 OK) ^est

probablement

^{du même}

ordre de grandeur que dans les cristaux de cuivre, ^donc

petite

par rapport ^au coefficient de

compressibilité

^C2-

(23) ^{J. R.} Neighbours ^et G. A. Alers ont mesuré de

nouveau les coefficients d’élasticité de l’or [30] ; leurs résul- tats sont en bon accord avec ceux qui ^{avaient été} précé-

demment obtenus par Goens [22]1.

8

RÉSEAUX DE CUBES A FACES CENTRÉES

RÉSEAUX DE CUBES CENTRÉS

C. La

dynamique

^{des ondes}

élastiques.

^{- Selon}

Wigner

^{et Seitz}

[25], [26]

les électrons de conduc- tivité ont une densité ^- mesurée par le carré du module de leur fonction d’onde ^-

qui,

^{sauf dans}

le corps central des ions

positifs,

^{reste sensi-}

blement constante dans tout

l’espace occupé

par

un

atome,

^et

qui

^se

répète identiquement

^{dans tous}

les atomes sans la moindre discontinuité aux fron- tières entre l’un et l’autre. Cette densité est celle d’un milieu

continu,

que

forment,

^en

quelque sorte,

les électrons de conductibilité. Je

supposerai

d’abord que les oscillations

harmoniques

faites par les ions

positifs

^se

propagent

^{dans ce milieu et} que leur

propagation

y ^est uniforme. En

outre,

^comme

Wigner

^et

Seitz, je

substituerai aux atomes en

forme de

polyèdres

^{des atomes}

sphériques, qui

^ont

le même

volume,

^{et dont le} rayon,

rapporté

^à

l’arête 2l de la maille

cubique,

^{est :}

Cela

posé,

^une oscillation

harmonique

^des

atomes

(24)

^,

laquelle,

^en

posant : peut

^{encore être}

exprimée,

excite dans le milieu formé par les électrons de

(24)

Par oscillation harmonique ^des atomes, j’entends l’ensemble des oscillations, pilotées par le même vecteur d’onde S, ayant ^{la même} fréquence v, faites par tous les atomes du cristal.

conductibilité,

^{en un}

point

^m

+

x, ^une oscillation : et une condensation

q1, q2, q3,

^sont les cosinus directeurs du vecteur d’onde fondamental 8

(25) ;

^{6 =}

27tISI :

^{c’est le}

nombre d’ondes dans la

longueur 27t ;

c’est la

projection orthogonale,

^{sur le vecteur}

d’onde

8,

^{du vecteur}

A, dirigé

^suivant

l’élongation

et. de module

égal

^à

l’amplitude

^A.

Cependant

il n’est pas

possible

de définir la

compressibilité

^et la condensation dans un espace

compris

dans le corps d’un atome

(26),

^et

qui

occupe donc un volume

plus petit

que celui-ci.

Car,

^en

moyenne dans le

temps,

^cet espace ^ne renferme pas ^tous les électrons de conductibilité

(27)

^inclus

dans

chaque

^atome. Mais à leurs différences de

masses

près,

^{tous les}

atomes qui

constituent un

même métal de

symétrie cubique,

^{ont la même}

compressibilité qui

^{est celle du cristal}

^entier.

^Et

c’est à cette

compressibilité

moyenne

et,

par consé-

quent,

^à la condensation _moyenne dans

l’espace

(25) Les vecteurs d’onde qui pilotent les oscillations har-

moniques

^{des atomes ne sont définis qu’à une} translation

près ^{du réseau}

polaire.

^Ceux qui ^{ont les} plus petits ^modules

sont appelés ^vecteurs d’ondes fondamentaux.

(26) L’atome dont il s’agit est l’atome défini par Wigner

et Seitz ; ^{il est} compris ^{dans un} polyèdre [25], [26].

(27) ^Pour les métaux monovalents l’espace envisagé ^ren-

fermerait en moyenne dans le temps moins d’un électron de conductibilité.