HAL Id: jpa-00246446

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Submitted on 1 Jan 1991

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Sur la diffusion élastique par les surfaces de particules polarisées, en particulier sur celle des particules de spin

1/2

P. Croce

To cite this version:

P. Croce. Sur la diffusion élastique par les surfaces de particules polarisées, en particulier sur celle des particules de spin 1/2. Journal de Physique I, EDP Sciences, 1991, 1 (12), pp.1681-1693.

�10.1051/jp1:1991236�. �jpa-00246446�

J.

Phys.

I France1

(1991)

1681-1693 DtCEMBRE1991, PAGE 1681

Classification

Physics

Abstracts

28.20 61.12 61.14D

Sur la diffusion klastique _par les surfaces de particules

polariskes,

_en

particulier

_sur

celle des particules de spin 1/2

P. Croce

Institut

d'optique,

U-A- C-N-R-S-, n14, Centre universitaire

d'orsay,

Bit. 503, BP 147,

F-91403

Orsay

Cedex, France

(Repu ^{le 27} mars 1991, rdvisd le ii

juillet

1991, acceptk le 30 aeon 1991)

Rksumk. On

reprend l'ktude,

faire dans _un article

pr6ckdent,

_sur [es

syrnktries

_que pout

prksenter

le

phknomdne

de diffusion _par la surface et la _masse d'un

spdcimen.

On fait ressortir la structure des

symktries

_{ou groupes} de

symktdes possibles, dkji

^ktudiks pour [es

photons,

mais _en

imposant

ici moins de contraintes _aux

symktries statisfiques

_que doit

prksenter

le

spdcirnen

et en

apportant

quelques

corrections et

complkments. Cependant

l'essentiel du

pr6sent

article porte sur

l'ktablissement des relations _que ces

sym6tries

entrainent _pour [es coefficients de diffusion de

particules

de

spin

1/2,

plus

_ou moins bier

polariskes.

Abstract. This

study

builds _{up on} conclusions reached in _a

previous

article

conceming

the

symmetries

which may be found in

scattering

by the surface and the bulk of _any

specimen.

It underlines the structure of

possible symmetries

_{or groups} of

symmetries~ already

studied with respect to

photons,

by

reducing

the number of

hypotheses

and

including

_some corrections and additions. The present article bears

essentially

_on the establishment of the relations

resulting

from these

symmetries

connected with the

scattering

coefficients of

spin 1/2 particles polarized

to

various

degrees.

1. Introduction.

Dans _un article

prhcbdent [I],

_{on a} htudik (es relations linhaires _ou (es _cas de nullith

qui

peuvent ^exister pour (es

paramdtres caract6ristiques

de la diffusion

klastique

des ondes

hlectromagnhtiques,

_{comme ceux} de

Stokes,

_par des

sphcimens qui prhsentent

des

symktries frkquemment

rencontrkes _et dont la

surface,

_en

particulier

_ses

rugositks, joue

_un r61e _non

nhgligeable.

La surface moyenne sera

supposbe plane

et

dhsignke

_par fl

(elle

ktait

dhsignke

par P dans

[I]).

Accessoirement le

probldme

de la diffusion dans la _masse, c'est-I-dire

lorsque

[es surfaces

jouent

_un r01e

nhgligeable,

_se

prksente

_{comme un cas}

particulier.

Ainsi

qu'il

htait dit _en

conclusion,

cette ktude

pout

se transposer directement I d'autres

particules

que (es

photons,

notamment _aux

particules

de

spin 1/2 (klectrons, protons,

neutrons surtout,

), probldme auquel

_on s'intbressera

principalement

ici.

S'il

s'agit

de neutrons, les _{mesures en}

prksence

d'un

champ magnhtique

sont nombreuses et

importantes.

On _pourra dtre amenh I inshrer _un nouvel

hlkment,

_un

champ magnbtique H,

d'ampfitude

sutlisamment

grande

_pour avoir _un effet mesurable et

qu'on

_supposera

macroscopiquement

uniforme. Cette

adjonction

n'introduira

gudre

de

complications,

_car elle

ne peut que dbtruire kventuellement des

symktries prkexistantes

on conservera en fait la

prbsentation

des mdmes

sym6tries qu'en [I]

avec [es mdmes titres de

paragraphes,

mdme si

parfois

_ces titres _ne sont

plus

tout I fait

adaptks.

On passera ainsi facilement d'un article I l'autre. On affinera certains

points

et _on

rajoutera

_un

paragraphe

oublik _en

[1].

2.

Rappel

des

sylnkkies.

La

prhsence

de H dktruit

l'isotropie

_que

peuvent prhsenter

[es

spkcimens. Ainsi,

s'il reste

indispensable

_que [es

sp6cimens

soient

statistiquement homogdnes (invariance statistique

_par

rapport

^I toute translation

paralldle

I la

surface,

_ou toute translation

quelconque

si la diffusion _se fait

uniquement

dans la

masse),

il faut abandonner [es

propri6t6s d'isotropie statistique (invariance

_par

rotation) qui

leur btaient demandkes _en

[I].

II

sullira,

dans

chaque

cas, que le

sp6cimen (masse

et

surface)

soit

statistiquement

invariant par ^toutes [es

sym6tries g60mbtriques

de _{ce cas.} Par invariance

statistique

_on entend _que tout

sp6cimen

d'un ensemble de

spkcimens btudib,

soumis I l'une des

sym6tries qu'il prksente, redonne, approximativement

sinon exactement, un

spkcimen

de cet

ensemble,

le r6sultat de la _mesure 6tant la moyenne des r6sultats obtenus _pour l'ensemble des

sp6cimens.

Les

propriktks

moins

contraignantes

demandbes _aux

spkcimens

introduisent

quelques

nouveaux cas de

sym6trie.

Elles

permettent

^{aussi de mieux coordonner [es}

sym6tries

des

sp6cimens

_avec celles du

dispositif

_par

dispositif

_on entend le

montage exp6rimental

r6duit I

ses 616ments

g60mbtriques cssentids,

c'est-I-dire le

plan

fl _et [es directions des _vecteurs d'ondc _k~ et

k~

^{dcs faisceaux incident} et diffus6.

On _se limitera I la diffusion _vers le milieu incident. Los

sym6tries g60m6triques qui _peuvent

exister pour le

dispositif

doivent _conserver le

plan fl,

_{ne pas} intervertir le milieu diffusant et le milieu incident

(suppos6

lui _non

diffusant),

ce

qui

exclut (es centres de

sym6trie,

_et faire

coincider (es _{nouveaux vecteurs} d'onde incident et diffusk

k(

et

k] respectivement

soit _avec

k~ et

k~

^soit avec

k~

et

k, (le

transport sur

k~

et k~, ou sur

k;

et

k~

n'est pas

possible

_sans

interversion des

milieux).

Cela permet comme 616ments de

sym6trie

_{un axe}

A~

d'ordre2

perpendiculaire

I fl et deux

plans perpendiculaires

I fl:

P,, qui

amdne

k;

_sur

-k~;

P~, qui

laisse

k;

et

k~

en

place.

On constatera que dans tous [es _cas de

sym6trie qui

seront ktud16s _en d6tail

plus

loin le

dispositif

admet _au moins _un de _ces

plans

_pour

plan

de

sym6trie.

Le groupe des

sym6tries

de l'ensemble

exp6rimental (c'est-I-dire dispositif plus sp6cimen)

est formb par [es

symbtries qui

sont I la fois

sym6trie

du

dispositif

et

symbtrie statistique

du

spbcimen.

L'introduction d'un

champ

H

perturbe

[es

sp6cimens;

_on recherchera [es

k;

_I

Fig.

I.

Disposition

des

plans Pi, P~

et de l'axe A~.

[Disposition of the

planes Pi, P~

and of the axis A~.]

bt 12 DIFFUSION

#LASTIQUE

_{DE PARTICULES DE SPIN 1/2 1683}

compatibilitbs

entre _ce

champ

et les 616ments de

sym6trie possibles

de l'ensemble

exp6rimen-

tal. On dira

qu'une symktrie,

_ou

produit

de

sym6tries,

est

possible

_en

prksence

de H si (es

moments

cin6tiques

d'axe

paralldle

I H _nc

changent

_pas de _sens

aprds

_ces

sym6tries.

Cette

condition

peut

ne pas dtre

sullisante,

la discussion

gbnbrale

serait

trop longue,

il _sera

plus simple

de vkrifier directement _sur

chaque _type

de

spkcimens

_{que ces}

symktries

existent

effectivement.

La considkration des

symktries guide

dans le choix d'un

systdme

de coordonnkes. En

[I]

(es contraintes de transversalit6 du

rayonnement

lumineux

(ou

de

particules

de

spin

I _et de _masse

nulle) imposent plusieurs systdmes

d'axes. Pour _une

particule

de

spin 1/2

[es choses _se

simplifient

du fait _{que toutes} [es

polarisations

sont

permises,

donc

qu'on

_peut

choisir,

_pour [es faisceaux incident et

diffus6,

_un seul

systdme

d'axes afin de dbfinir [es stats de base de

spin.

Le

plus simple

est de

prendre

l'axe Oz

perpendiculaire

_au

plan fl,

de d6finir Ox _comme intersection de fl _et

Pi

si

Pi existe,

_ou

Oy

d'une

fapon

semblable si

P~ existe,

d'ofi le triddre

Oxyz qui _permettra,

_avec [es conventions

admises,

de d6finir (es stats de base des

spineurs

et [es

op6rateurs

de

spin

habituels

«x

iii iii

my -

i iii

«z

i iii

Les forces

qui jouent

_un r01e essentiel dans _ces Etudes sont

61ectromagnbtiques (et

fortes pour [es

neutrons),

elles

permettent

donc (es

sym6tries gbom6triques

_par

rapport

^I un

plan,

un axe ou un

point.

Elles

permettent

aussi l'inversion du

temps, appe16e

_par la suite

sym6trie temporelle T,

et

l'application

du th60rdme de

r6ciprocitb.

Les

sp6cimens prksentent

la

symbtrie temporelle,

mais celle-ci fait coincider

respectivement k/

et

k]

_avec

-k~

et

ki,

donc de toute

fapon (sauf

si

k;

et

k~

sont

superposks,

c'est-I-dire _en

rktrodiffusion,

_cas

qui

_sera examink

skparkment)

elle _ne

peut

pas exister

seule,

il faut lui

adjoindre

l'une des

symktries A~

ou

Pi qui

fait coincider [es vecteurs

kl'

et

kl'

associks _au

produit

des

symktries

avec k~ et

k~.

Ainsi l'ensemble

exp6rimental

_peut satisfaire _aux

sym6tries produits (ou globales) TA~

ou

TPI

mais _ne

peut

pas satisfaire

skparkment

I chacune d'elles

T,

A= ou

P,.

Le _cas

TA~

demande que la diffusion soit en

position

de rkflexion.

D'autre part ^la

symktrie temporelle

entraine l'inversion de _tous [es _moments

cinktiques,

elle

exige

le retournement de H si celui-ci _est

prksent.

II faudra alors lui associer _une

symktrie qui _permette

de rktablir le

champ magnktique

dans _sa direction

premidre

en

changeant

le _sens

des moments

cinbtiques

d'axe

paralldle

I H _: soit la

symktrie TA~

avec H nkcessairement

perpendiculaire

I l'axe

A~,

^{soit la}

symbtrie TPj

_avec H n6cessairement dans le

plan Pi (plan Oxz).

En

pr6sence

de

H,

et _sans utiliser la

sym6trie temporelle,

la mdme d6marche montre que le seul

plan

de

symhtrie possible

_pour l'ensemble

exphrimental

est le

plan P~,

H htant alors

n6cessairement

perpendiculaire

h

P2

donc

paralldle

h Ox. La

prbsence

d'un fort

champ 61ectrique

E entrainerait aussi la

disparition

d'une hventuelle

isotropie

des

spbcimens mais,

^I

l'opposb

de

H,

_{son sens ne} doit pas

changer

lors d'une

symktrie temporelle.

La

plupart

de _ces

considhrations _ne font _pas intervenir le

type

de

spin (I

_ou

1/2)

des

particules.

3. Transformations.

On _va examiner maintenant (es transformations des htats des

particules

de

spin 1/2

sous l'effet des diffhrentes

symktries

blhmentaires

T, A=, Pi, P~.

En fait _on

n'explicitera

[es coordonnkes de

spin

_{que pour} la

particule

diffuske et _on excluera toute

possibilith d'kchange.

On

commencera par une remarque sur ces transformations. On peut caracthriser la

position

angulaire

F d'un corps par [es rotations

qui

l'amdnent d'une

position

D

fixbe,

le

spineur

assoc16 I D 6tant fixk

kgalement,

I la

position

considkrke F. Ces rotations forment deux ensembles off dans chacun _on peut passer continfiment d'une rotation I l'autre et tels _que (es

spineurs

assoc16s I F diffdrent d'un facteur I. Cela semble apporter une

complication compar6

I la

repr6sentation

vectorielle utilisbe pour [es

spins

I. Mais d'une part ^(es

symbtries

temporelles

_{ou par}

_rapport

I _un

plan

_ne

peuvent

dtre r6duites _par continuit6 _au

d6placement nul,

et de l'autre la

symbtrie

d'axe d'ordre

2, qui

_{permet cette}

r6duction, peut

^{dtre effectu6e}

dans _{un sens ou} dans

l'autre,

_ce

qui correspond, quand change

le _sens de

rotation,

I _une

multiplication

des

spineurs

finaux par I. On _est donc libre de

multiplier

_{par +} I _ou

-I la transformation

spinorielle

_U~ associbe I la

sym6trie,

toutefois le mdme

signe

6videmment doit dtre utilis6 _pour (es transformations

appliqu6es

_aux deux orientations du

spin,

avant et

aprds

la diffusion de la

particule

celle-ci _sera caractbrisbe par

l'opbrateur

U~.

D'ailleurs, puisque

^{l'effet de} la

sym6trie

est de

changer

_{U~ en}

U~. U~. U/

_{~, on}

pourrait

mdme

multiplier

_{U~ par} tout nombre r6el _ou

complexe.

On 6tudiera d'abord l'effet _sur (es

spineurs

_{q~~, q~_} de la transformation discontinue _» T. La

sym6trie temporelle

entrine le th60rdme de

r6ciprocitk d'emploi

trds commode. Sa d6monstration _{se trouve} dans la

plupart

des livres

qui

traitent de la diffusion _{on trouvera en}

[2]

_une d6monstration moins

rigoureuse

_que d'autres mais

particulidrement simple

et

qui

montre bien la

g6n6ralit6

de _ce th60rdme et _sa relation _avec la

sym6trie temporelle;

cependant

_comme la

partie

relative _au

spin

_y est trait6e trds

rapidement

_{on va y} revenir.

On sait _que la

sym6trie temporelle peut s'exprimer,

_en

adoptant

les stats de base des

spins habituels,

_par

~°'

(1 ((

~ ~°'

(i

o

((' (

o

-1((

~ ~°'

(

o i

((' ⁽ⁱ

_o

⁽

^~~~

off K

d6signe

la

conjugaison complexe

et off la matrice

porte

sur [es ktats de

spin

de

chaque particule

de

spin 1/2.

On considdre

qu'en

subissant la diffusion _une

particule

_passe d'un canal d'entr6e dans _un canal de sortie. Donc contrairement I _une dkfinition

plus

courante off _un canal est assoc16 I _un type d'6volution de la

particule,

diffusion

blastique

_par

exemple,

la subdivision des _canaux est bien

augmentbe

ici _et leur nombre _est

beaucoup plus grand

_{: un}

canal _sera caractbrisb _{par a}

(bnergie, quantitb

de mouvement ou

direction,

mais de _sens

indbtermink,

_{ce sens} Etant fixk par le fait que le canal est d'entrke _ou de

sortie)

et par le nombre _«, celui-ci dkterminant l'btat de base de

spin

et

auquel

_on affectera la valeur

+ I _ou I suivant l'ktat

(avec

_{«_}

= «, «

employs quand

_ce nombre interviendra

comme un facteur dans _un

produit,

_{«_}

quand

il caract6risera _un

canal).

Les autres _canaux

qui

interviendront seront

d6sign6s

_par a'

«',

_a ^" _« ". On d6terminera

l'amplitude

_q~ assoc16e I _un canal I

partir

de la fonction d'onde _q~

(a

_{« exp}

(e

2

vikr~, ). (4

_vu

~,

)~

^~'~

rjj

_~P

~,, avec s =

I pour l'onde incidente et ₊ I pour l'onde

diffus6e,

off

~P~,

est la fonction d'onde

partielle

du

diffuseur,

_r~, la distance _au diffuseur de la

particule qui

diffuse _et u~, sa vitesse. La transformation

(I),

_sous la forme du deuxidme

membre,

fait passer d'un ktat

d'amplitude

_q~

(

_am

)

=

I _« arrivant _» par le canal

a « I _un stat

d'amplitude

_q~

(a

_{«_}

)

= «

dans le canal _{a«_ et « sortant»} du fait de la

conjugaison complexe (qui

ne

change

_pas

«, nombre

r6el).

Une onde

d'amplitude

I arrivant seule _par le canal _{a«_}

donnera,

_en

sortie,

une

composante

^not6e

S(a' ml,

_am dans

chaque

canal a' ml Par la

sym6trie temporelle,

_on

passe de

chaque

canal

a'ml

_en sortie I _un canal a' «' _en entr6e off _se trouve _{une source}

«' S*

(a' ml,

_am et du canal _en entr6e _{a «_} I _un seul canal _{am en} sortie off _se trouve

une onde diffuske

d'amplitude

_«. On

peut

^consid6rer que [es

amplitudes

« ou 0 dans [es

canaux en sortie a" «" _sont dues _{aux sources} «'.

S*,

donc

«.I~,,,«' S*(a'«',a«_).S(a"«",a'«')=8(a",a).8(«",«).

M 12 DIFFUSION

tLASTIQUE

_{DE PARTICULES DE SPIN}

_1/2

₁₆₈₅

En

appliquant, aprds

et avant

diffusion,

la conservation _{au cours} du

temps

^du

produit

scalaire de deux fonctions

d'onde,

_on obtient _:

I~,,,S*(a'«',a«_).S(a'«',a"«")=8(a",a).8(«",«)

I condition _que l'6mission _se fasse

pendant

_une dur6e

limit6e,

de telle sorte

qu'aux

deux instants _pour

lesquels

la conservation est

appliqude

les

particules soient, aprds diffusion, uniquement

dans des _canaux de sortie et, avant,

uniquement

dans des _canaux d'entr6e. Los

deux demidres relations conduisent

finalement,

_comme le

systdme

de fonctions de base

S est

complet,

I

l'expression

du th60rdme de

rkciprocitk

_pour les

particules

de

spin 1/2

:

S(a'«',a"«")=«'.«" S(a"«",a'«'). (2)

On _va studier maintenant la

fapon

de faire _se

correspondre

[es

spineurs

dans [es

symbtries gkombtriques.

II faut dbterminer des matrices U~ de

changement

d'« _{axes »} des

spineurs,

de telle

fapon

_que (es

expressions

_U~ des lois de l'bvolution du

spbcimen

et de la diffusion de la

particule

soient les mdmes

aprds

la

symbtrie

_avec (es _{nouveaux axes}

qu'avant

_avec [es _axes de

dbpart.

On _{commencera par} le _cas des

sym6tries A,

«continues _»,

puis

celui des

sym6tries

C par

rapport

^I un

point

_pour traiter le _cas des

sym6tries P, qu'on peut

^consid6rer comme des

produits

AC. Pour [es

sym6tries A,

d'ordre

deux,

il suffit de suivre l'6volution des

spineurs

dans _une rotation d'un demi-tour _autour de A _on sait que (es transformations U~~ sont

donn6es _par (es matrices 6crites _au

d6but,

I _un facteur ±I

prds.

Les

symbtries

C laissent invariants [es _moments

cinbtiques,

[es

champs

et

dip61es magnbtiques,

tandis

qu'elles changent

de

signe

[es

champs

et

dip61es blectriques

si _{on suppose que} [es

charges 61ectriques

restent

inchang6es,

_ce

qui

est normal. On peut

prendre

_pour

U~c

la matrice unitb _:

pour deux ktats

qui

_se

correspondent

_par

C,

_on

peut prendre

de mdme valeur [es

spineurs

d'une

particule

its kvolueront de la mdme

fapon

et resteront

kgaux

_{au cours} du

temps. (En

_ce

qui

_conceme [es

photons,

[es

amplitudes

relatives _a d6finies _page

517,

article

[Ii,

_ne

changent

pas

quand

_on effectue

C,

il _en est de mdme _pour [es coefficients de

diffusion).

On

appellera

assoc16es (es

symbtries

A et P

qui

_se

correspondent

_par

C,

_car elles sont assoc16es I la mdme matrice U~. D'une autre

fapon

on peut dire que [es

symbtries

P font

changer

de

signe

[es

moments

cinbtiques respectivement paralldles

I _ces

plans

et laissent

inchang6s

(es

perpendicu-

laires. Il taut

qu'il

_en soit de mdme pour [es

op6rateurs

de

spin correspondants.

Pour

Pi, qui

est

paralldle

I

Oxz,

_{comme «~} commute kvidemment _avec lui-mdme et anticommute

avec «~ ^et «~, ^on pourra

reprbsenter

l'effet de cette

symktrie

_par

l'opkrateur

_«~.

_U~~, ml

On _a donc pour

Pi

_un

opkrateur

U~~ et une transformation

~/

~/-1

^{0 -I} _~~

~~~,

,, ,,

,~

^{, ,,}

~~,,

,, ,

,j

_~~~

~ ⁼ ~ ⁼ b W_, ~Y W_ ₌ W W

~ a W

,

~Y W

' '

~l

0

puisque

ii _iii iii+ i _{ii+ - iii} ⁱ _iii ⁱ ii _ii

iii

(on distingue

_{par a} et b [es deux

positions

de la surface et des atomes dans la _masse du

sp6cimen,

avant et

aprds

_une

symktrie

_{par rapport} I _{un axe ou} I _un

plan).

On _a de mdme pour

P~ l'opbrateur

U~~ et la

transformation,

mais cette fois _sans la

permutation

a'

- a

",

du fait que (es directions de _k~ et

k~

ne sont pas

interchang6es

_:

Ill Ill

^et

Sb(«"«",«~«~)=Sa(«"«",«~«~). (4)

Pour la

sym6trie A~,

on a

l'op6rateur

_U~~ et la transformation _:

I('

°

(

et

Sb(a'«",a"«')=«',«" S~(a"«",a'«'). (5)

0 -1

II _est

simple

et

physique

de caractbriser [es

opbrateurs

_{U~ par} leur effet _sun [es moments

cin6tiques,

mais il serait

plus rigoureux

et

g60m6trique

de voir leur effet _sur [es rotations infinit6simales

d'angle _d@j, d'op6rateur

1+

I.1«~.

^do

j/2 (1

btant ici la matrice

unitb).

Cependant

_ces deux

points

de _vue sont trds voisins _: le moment

cin6tique

est lib I la variation de la fonction d'onde entrain6e _{par une} rotation infiniment

petite.

Pour _ce

qui

va suivre _on

prbcise

(es notations _: dans la

parenthdse

relative I S vient I droite le canal

d'entr6e,

I

gauche

celui de

sortie,

a' et _a ^" caractbrisent les directions

(et

_non le

sens)

des faisceaux _que le canal soit d'entr6e _ou de

sortie,

et seulement _ces

directions, puisqu'on

_ne s'intkresse

qu'aux

diffusions

blastiques

et

qu'on

_{ne conserve} donc

qu'une partie

des _canaux.

Pour suivre

plus

aiskment l'utilisation des relations

(2), (3), (4), (5)

entre [es termes

S,

_{on se} ^souviendra _que, dans _ces

relations,

[es

spins

^des voies d'entr6e _et de sortie

aprds sym6trie

sont d6terminbs

respectivement

_par [es

spins

des voies d'entr6e _et de sortie _avant

sym6trie

_pour les

sym6tries g60m6triques,

alors que pour les

sym6tries

faisant intervenir T its sont d6terminbs

respectivement

_par les

spins

des voies de sortie et d'entr6e.

Dans

l'application

de _ces transformations _{on se} limitera _aux moments d'ordre deux

(dont

on a

rappels l'importance

dans l'article

[I]),

c'est-I-dire _aux

quatre

^61bments (q~

(

_a I _q~*

(a j ) (avec

I,

j repr6sentant

_{+ ou}

) apparaissant

dans la matrice densit6 like

aux

spins, qu'on appellera paramdtres

et

qu'on

condensera _en

(q~,.

_q~

j*)

_pour la

particule

incidente _et

(q~).

_q~

j*)

pour la diffus6e. Les coefficients de diffusion sont [es termes de la matrice 4 _x 4

qui

lie (es 4

paramdtres (q~)

_q~

j *)

_aux 4

paramdtres _(q~,

_q~

j*)

_; ils sont de la forme

S(a

^" _« I', ^a' « S*

(a

^"

«I',

a'

«() qu'on

_pourra,

puisque

a' et _a ^"

gardent toujours

la mdme

place,

condenser _en

(«l'«() («I'«()*,

_par

exemple (+ ) (+

₊

)*

si

«I'=

«I'= «(

= + I et

«(

=

I.

Ce

qu'on recherche,

_ce sont [es relations

qu'il peut

_y avoir entre [es coefficients de

diffusion,

selon le groupe de

sym6tries auquel

satisfait l'ensemble

exp6rimental.

De mdme

qu'en klectromagnktisme

_ces coefficients sont au nombre de 16. De mdme _on peut

remplacer

[es quatre tenures de la matrice

densitk,

dont deux sont

complexes,

_par des combinaisons linkaires rbelles

qu'on appellera

_encore

paramdtres

de Stokes _:

I

=

iv~+ v~l>

₊

iv~-

_V~*>

M"

(iP+ iPi)

+

(iP- iPl)

c

=

jq7~, q7fj jq7_ q7*j

s=

((~P+

_w

*) l~P+,

~P

*I)li

Quand

cet S _{ne sera} pas

groupb

_avec

M,

C et I et

risquera

d'dtre confondu _avec [es S

prbcbdents,

_on

rappellera qu'il

est

paramdtre

de Stokes. Ces

paramdtres

sont

indbpendants

on peut ^{donc s'attendre h} ce

qu'il

_y ait 16 coefficients rbels

indbpendants

dans le _cas

gbnbral, quand

le

dispositif

et (es

spbcimens

ne

prbsentent

_pas de

symbtries (statistiques

_pour [es

sp6cimens)

_ou

quand

leurs

sym6tries

_ne s'accordent _{pas entre} elles. On _ne peut alors den _en

dire de

plus

et bien _que cette

possibilit6

_se

prbsentera

dans

chaque paragraphe

_on

n'y

reviendra pas.

Quant

_aux autres

possibilitbs,

_on [es 6tudiera _en [es caract6risant _par le _groupe des

symktries

_{communes au}

dispositif

et aux

spkcimens. Chaque

_groupe ^d6termine d'une

fapon univoque

des relations entre [es coefficients _; II peut se retrouver dans

plusieurs

paragraphes

mais _{ne sera}

d6tail16,

au

plus, qu'une

seule fois.

bt 12 DIFFUSION

#LASTIQUE

_DE PARTICULES DE SPIN 1/2 1687

Le passage des

paramdtres (q~,,

_q~

j*)

aux

paramdtres I, M, C,

S est essentiellement du

type

A

= u + u, B

= u u si

iii'ii

-

iii iii _iii11

on a

On effectuera cette transformation _sur [es 4 sous-matrices 2 _x 2 de la matrice 4 _x 4

dont,

de

plus,

la dernidre colonne _sera

multiplibe

_par I et la demidre

ligne

_par I, pour tenir compte du dknominateur du

paramdtre

de Stokes S.

On

peut

^{maintenant btablir [es}

relations,

selon [es _groupes de

symktries,

entre [es

coefficients.

4. DiRusion dans la direction de rkflexion

spkculaire.

Le

dispositif

admet toutes [es

sym6tries g60m6triques A~, P,

et

P~.

4.I MILIEU (ISOTROPE) SANS PLAN DE SYMtTRIE. Contrairement _au

titre, ici,

le milieu

diffusant,

c'est-I-dire celui du

sp6cimen,

n'a pas besoin d'dtre

isotrope statistiquement.

Les

symktries

contenant P sont

exclues;

la seule

symktrie statistique

I

laquelle

l'ensemble

exp6rimental

peut ^satisfaire est

TA~,

(es

spkcimens

devant admettre 6videmment la

symbtrie

A~. ^{On fait}

jouer

(es transformations

(2)

et

(5)

_en s6rie.

Aprds

ces

opkrations

:

Sb(a"«',a'«")=S~(a"«",a'«'); (6) mais,

_comme dans

[I],

cette distinction _{entre a et} b

disparaitra, aprds

la moyenne

statistique qu'il

faudra faire _sur [es

sp6cimens

_pour obtenir [es moments d'ordre deux

(S,. S?),

si

Sj

et S~* sont tous [es deux du

type

a ou du

type

^b.

D'aprds (6)

_{on a}

(«I'«() («I'«()*

=

(«(_ «I'_ ) («(_ «I'_ )*

Deux coefficients sont

bgaux quand

ils _se

correspondent

_par la

permutation

des btats de

spin

d'entrbe et de sortie suivie d'un

changement

d'un btat dans

l'autre,

I la fois dans

chaque parenthdse.

Tous [es coefficients

s'expriment

alors _en fonction des 4 coefficients r6els

(+

₊

(+

₊

)~

"

(~ ) (~ )~, (+

+

(~ )~

"

(~ (+

+

)~, (+ ) (+ )~,

(-

₊

(-

₊

)*

et des 3 coefficients

complexes (+ (-

₊

)*, (+

₊

) (+ )*

=

(- (+ )*, (+

₊

(-

₊

)*

=

(- ) (-

₊

)*

et de leurs

conjugu6s.

II y a donc

10

paramdtres

rkels

indkpendants.

On a donc pour

TA~.

et pour [es

paramdtres

de Stokes _:

I' ^~l

bj b2 b3

~

M'

hi

_a~

b~ b5

_M

C'

b~ -b4

_a~

_b~

C ~~'~

S' b~

-b5 b~

a~ S

4.2 MILIEU PR#SENTANT _{DES PLANS} DE SYMtTRIE. L'ensemble

expbrimental

_peut

prbsen-

ter [es

sym6tries _TA~ (cas qui

vient d'dtre

vu), TPI, P~ (cas

traitks

plus loin)

_ou la _somme de deux de _ces

symktries,

_ce

qui

entr#ne la troisidme: _en

effet,

_par

exemple, TA~,

TP

i ⁼

TTA~ Pi

=

P~ puisque symbtries temporelle

et

gkom6trique

sont

permutables

et que TT= I.

Donc,

_comme dans

[I],

_{on ne} traitera dans _ce

paragraphe

_que du groupe

TA~+P~.

Les relations

(4)

et

(6)

doivent dtre satisfaites et la matrice 4 x4 doit dtre invariante par la transformation

(4) qui

_permute tout ktat de

spins

_en l'autre ₊

-

Tous [es coefficients

s'expriment

alors _en fonction des 4 coefficients rkels

(+

₊

) (+

₊

)~

_"

(~ (~ )~, (+

+

) (~ )~

"

(~ ) (+

₊

)~, (+ ) (~

₊

)~

"

(-

₊

) (+ )*, (+ (+ )*

=

(-

₊

(-

₊

)*

et du coefficient

complexe

(+

₊

) (+ )*

=

(- (-

₊

)*

=

(- (+ )*

=

(+

₊

(-

₊

)*

et de _Son

Coniuguk.

II _{y a} donc 6

paramdtres

rkels

indbpendants.

On _a donc _pour

TA~

+

P~.

~~~ '~~l

(+

₊

)(+

+ )*

(+ )(+

_)*

(+

₊

)(+

_)*

(+ )(+

+ )*

~~+ '~~ l l~l ~?l

=

(+ )(+

)*

(+

+

)(+

_{+ )*}

(+ )(+

+ )*

(+

₊

)(+ )* If- Pt PI

_P

I*) (+

+

)(+

)*

(+ )(+

₊ )*

(+

+

)(-

_)*

(+ )(-

₊

_)*

_p+

pi

~g~

j~j ~j*j ^{(+ )(+}

^{+ )*}

⁽⁺

⁺

⁾⁽⁺

^)*

^{(+ )(-}

^{+ )*}

⁽⁺

⁺

^{)(- )*} j~_ ~j j

et pour [es

paramdtres

de Stokes

~, ai 0

b~

0

$ ^{~ ~ ~} ~~' $

~ _~~'~

S' 0

-b5

0 a~ S

4.3 RLTRODIFFUSION. On _{a vu}

qu'en

rbtrodiffusion l'ensemble

expbrimental prbsente

la

sym6trie

T seule _{; on} s'intkresse d'abord _{au cas}

off,

_en l'absence de

plans

de

sym6trie

_pour le

spbcimen,

cette

sym6trie

est la seule que

pr6sente

l'ensemble. l'incidence normale ayant 6tk 6tudike _en

[I]

et devant l'dtre _un peu

plus

loin pour (es

particules

de

spin 1/2,

_{on ne}

considbrera que l'incidence _non normale. Dans l'article

[Ii

on avait oublib _{ce cas}

gknkral qu'on

traite

rapidement

en note (~). ^Ce

qui

se passe dans le _cas T _a 6t6 trds 6tud16

[3-5]

d'abord pour [es Electrons

puis

_pour [es

photons

I _propos de la localisation faible. Le fait

int6ressant,

_pour la

diffusion,

est que l'indicatrice

pr6sente

_une

pointe plus

_ou moins

marqu6e

et

plus

_ou moins

large

dans la direction de la r6trodiffusion. En effet si _on

peut d6composer

la diffusion _en

trajets 616mentaires,

I

chaque trajet

_peut dtre assoc16 le mdme chemin

gbombtrique,

mais parcouru en sens

inverse,

_ces deux parcours ^sont

coh6rents,

leurs contributions

s'ajoutent

_en

amplitude

mdme _{pour un} milieu diffusant d6sordonn6. En rktrodiffusion a' et a" sont

confondus,

d'autre part ^{la surface} et la

position

des atomes

restent

inchangkes,

_par contre [es

spins

de _ces atomes sont inversks. Si [es

spins

de tous [es

(')

Pour (es ondes

61ectromagnbtiques,

_on

applique,

_comma dans [Ii 4.I, lc thbordme de

rdciprocitd

aux deux points

Oj

et

O(,

alors confondus, off l'on _met deux _sources E~ et E~ qui ^{crkent deux} composantes ^des

champs

diffusds

E(

et

Ej (rbponses respectives

h E~ ^et E~). Ces

rbponses,

si elles dtaient mesurdes par rapport au

systdme

d'axes associd _aux ondes incidentes donneraient a~ = a

~~

mais _en Ii

on doit

repdrer

[es

rbponses

_par rapport aux axes des ondes

diffus6es,

il _en rbsulte _un

changement

de signe de l'axe o'x' (ou

o'y')

et on a a~~ = a~~. ^{C'est la} mdme relation qu'en [1] ^4.I

qui

entraine

kgalement [es relations ill 4 (7) et (7') relatives, elles, _{au cas} TA~. Ainsi _en

61ectromagn6tisme

(es relations d'ordre 2 sort les mdmes pour ^{T et} TA~. Il _en est de mdme _pour T+ P2 et TA~ ₊ P2.

Pt 12 DIFFUSION

#LASTIQUE

_DE PARTICULES DE SPIN

1/2

1689

atomes du diffuseur sont

nuls,

ou

plus pr6cisbment

si le diffuseur est dans l'ktat fondamental

et que ^cot stat n'est pas

d6g6n6r6,

l'6tat du

sp6cimen

est

inchang6

_par la

sym6trie

T;

dans _ces

conditions,

_ou si l'effet de _ces

spins

est

n6gligeable

_sur la

diffusion,

_on

_peut

effectuer cette

sym6trie indbpendamment

sur [es deux diffusions 616mentaires assoc16es h

chaque parenthdse:

_pour ^[es

particules

de

spin 1/2,

la relation

(2)

montre que deux

coefficients sont lids s'ils _se

correspondent

_par la

permutation

des btats de

spin

suivie d'un

changement

de tout stat dans l'autre dans

chaque parenthdse s6par6ment,

donc

(+ )

=

(+ )

= 0

=

(-

₊

)

et

(+

₊

=

(- ).

Le

spin

de la

particule

diffus6e n'est alors _pas concemb _par cette diffusion. Mais _en

gbnhral

les atomes ont des

spins

_non

nuts,

les liaisons

qu'introduit

T n'existeront _que si la

permutation

et le

changement

sont faits dans (es deux

parenthdses

I la fois _: [es coefficients

qui

sont lids sont alors

bgaux

s'ils

correspondent

I _un

nombre total d'btats ₊

pair, opposbs

autrement. II y a donc 4 coefficients rbels

(+

₊

(+

₊

)*

~

(- (- )*, (+ (+ )*, (-

+

(-

+

)*, (- (+

₊

)*

~

(+

+

) (- )*

et 3

CompieXes (+ ) (-

₊

)*, (+

+

(+ )*

=

(- ) (+ )*,

(+

+

(-

+

)*

=

(- (-

₊

)*

et leurs

conjugu6s,

soit 10 coefficients r6els

ind6pen-

dants pour la

sym6trie

T et _{on a :}

et

~' ~l

~~l ~~2 ~~3

_~

$~ ^{) ~} ~ ~ $ _~~'~

S'

b~ b5 b~

_a~ ^S

En diffusion _non

normale,

si le milieu

prksente

des

plans

de

symktrie,

l'ensemble

expkrimental

peut

pr6senter

le groupe de

sym6tries

T ₊

P~,

pour

lequel,

outre la relation

(2),

la relation

(4)

doit dtre satisfaite. _{II y a} 4 coefficients r6els

(+

₊

) (+

₊ ^*

=

(- ) (- )*,

(+

₊

) (~ )~

"

(~ (+

₊

)~, (+ ) (+ )~

"

(~

₊

) (~

₊

)~, (+ (~

₊

)~

"

(-

₊

) (+ )*

et I coefficient

complexe (+

₊

(+ )*

=

(- ) (-

+

)*

=

(+

₊

) (-

₊

)

^*

=

(- (+

^* et _son

conjugu6,

soit 6 coefficients r6els

ind6pendants.

On _a donc pour T ₊

P~

et

~, at 0

b~

0

~

M, 0 a~ 0

b5

_M

,

c'

-b~

0 a~ 0 c

~~°~

S' 0

b5

0 a4 S

4.4 DIFFUSION vERs L'AVANT ou L'ARRItRE EN DIFFUSION NORMALE. L'introduction de la diffusion _vers l'avant est _en contradiction _avec la condition

restrictive, poske

_au

dbbut,

d'une diffusion _vers le milieu incident. Son Etude _est

cependant

n6cessaire si _{on veut} traiter le

cas de la diffusion dans la _{masse vers} l'avant. C'est l'occasion de revenir d'une

fapon g6n6rale

sur la diffusion dans la _masse. L'introduction de la

surface,

en interdisant l'interversion des

milieux,

_ne fait

qu'exclure

la

possibilit6

des

sym6tries g60m6triques qui

font coincider

k(

et

k] respectivement

_avec

k~

et

k;

_ou

-k;

et

k~

mais

celles-ci,

mdme suivies de la

sym6trie

T

qui

fait coincider alors

kl'

_et

kl' (correspondant

I la transformation

produit) respectivement

_avec

k;

et

k~

ou

k~

et

k,,

_{ne peuvent pas} redonner le

dispositif

de

dkpart,

sauf

quand k~

= k~

(en rejetant k~

₌

k;

=

0).

En _somme, sauf _en diffusion _vers

l'avant,

l'introduction de la surface _ne fait pas

disparaitre

de

symktries possibles

_pour le

dispositif.

On _se limite I l'incidence

normale,

_ce

qui

suffit pour l'ktude de _tous [es _cas de diffusion

dans la _{masse vers} l'avant. On regroupe diffusion _vers l'avant et rktrodiffusion _en incidence

normale parce que pour ces deux _cas, et pour eux

seuls, apparait

_un nouvel _axe de

symktrie qui

est un axe de r6volution _pour le

dispositif

et

qui _peut

dtre pour

l'ensemble,

selon (es

spkcimens,

_{un axe}

A~ d'ordre2,

_{un axe}

A~

d'ordre _n

(n

est diffbrent de

2),

un axe de

rkvolution A~.

Cependant

il faut traiter

spbcialement

la diffusion _vers l'avant. On _ne

peut

pas, par

exemple,

la consid6rer _{comme un cas} limite de _{cas vus} ici _en

effet,

_{pour que} la diffusion _vers l'avant _se fasse dans le milieu

incident,

faisceaux incident et diffus6 doivent dtre rasants, ^mais alors la surface

garde

_un r61e

essentiel,

et mdme elle annule le

rayonnement

^dans son

voisinage

et dans le milieu diffusant de

plus

dans _ces conditions le

dispositif

n'admettrait pas l'axe de rkvolution dont il vient d'dtre

question.

Le moddle I deux milieux occupant ^chacun

un

demi-espace, adoptb

dans cet

article,

n'est pas non

plus adaptk

I _ce

probldme

_: il

conduit,

dans

l'application

du thkordme de

rkciprocitk,

I

prendre

_un

point

dans chacun des

milieux,

_ce

qui

semble peu intbressant _pour 6tablir des relations entre [es coefficients et

n'apporte

_que des

inforrnations sur l'intbrieur du milieu

diffusant,

_non recherchbes ici.

Par contre on peut

prendre

un moddle

plus blabor6, qui

est souvent _une bonne

approximation

du

dispositif expbrimental

_pour l'btude de la diffusion dans la _{masse on} rbduit le milieu diffusant I _une tranche

M~ baignant

dans le milieu _non diffusant et limitke par deux

plans paralldles, perpendiculaires

aux vecteurs

k, (ou k~).

On

applique

le thbordme de

rkciprocitk

I deux

points

_se trouvant tous [es deux dans le milieu _non

diffusant,

situks de part et d'autre de

M~

et I

bgale

distance de _son

plan

mkdian. Cela revient I faire _une

symbtrie

T

aprds laquelle

il

faut,

_{comme on} l'a _vu

plus haut,

_que [es vecteurs finaux

kl'

et

k]

coincident _{avec k~} et

k~,

ce

qui

est

possible

si

M~

^admet _pour

plan

de

symbtrie statistique

son

plan

mkdian

P~

ou pour axe de

symktrie statistique

_une droite

A~

contenue dans _ce

plan.

En

rbsumb,

_en incidence norrnale, alors _{que pour} la diffusion _vers l'arridre l'ensemble

expbrimental

a

toujours

la

symktrie

T, _pour la diffusion _vers l'avant il

peut prbsenter,

mais pas

nbcessairement,

[es

symbtries TA~, TP~

et

TA~+ TP~, qui

sont

bquivalentes

I

TP, TA=

et

TA~

+ TP

(P reprbsentant

aussi bien

Pi

_que

P~, Equivalents

dans _ce

cas).

II _reste I introduire [es

symbtries gkomktriques

_:

A~, A~,

A~ et P. S'il _{y a}

plusieurs symbtries A~

telles que

l'angle

entre [es deux _axes soit _@, cela entraine _{un axe}

A~

^si

«lo

est un entier

p, un axe

A~

si

«lo

est _un rationnel

u/u (u

et u entiers

premiers

entre

eux)

et un axe

A~ ^s'il est irrationnel s'il _{y a}

plusieurs

_axes

A~,

_par

exemple

_A~~ et A~~, ^cela entraine l'existence d'un _axe A~~

unique

off n~ ^{est le}

plus plus petit

_corrtrrun

multiple

de nj ^et n~. Les relations entre coefficients

qu'entrainent

_ces

symbtries

sont [es mdmes _que la diffusion soit vers l'avant _{ou vers}

l'arridre,

_ce

qui

rbsulte du

systdme

d'axes

unique (l'axe

_oz

btant

paralldle

I

k;)

et n'est donc valable que pour [es

particules

^de

spin 1/2.

Les

paramdtres

(q~~. q~~*),

^{forrnant une base de}

reprbsentation

des rotations autour de _{oz, sont} trds bien

Pt 12 DIFFUSION

ELASTIQUE

DE PARTICULES DE SPIN 1/2 1691

adaptks

_{au cas}

prksent

ceux

qui

_se combinent entre _{eux sous} l'effet de la diffusion doivent

appartenir

I la mdme

reprksentation

irrkductible.

On va voir d'abord [es _cas off intervient _une seule

symktrie.

Les

symktries

T et

P seules sont btudibes ailleurs.

Si A~ est la seule

symktrie

de

l'ensemble,

(es relations

(((i

et

(12)

sont valables :

(v~l v~l*)

₌

(+

₊

(- )* (v~+, v~?)

(ll) (9~l 9~l*)=(--)(++)* _(~D- ~Dl)

l~Pl ~Pl*1

~

jj(+

⁺

⁽⁺

⁺

^{)* (+ (+ )* j}

l~P+ ~Pll

l~Pl ~Pl*1 (-+)(-+)* (--)(--)* _l~P~ ~P?I ~j~~

Quand

la

symbtrie

_A~ est

seule,

il lui

correspond

6 coefficients rkels

indkpendants.

La

sym6trie A~

^donne un rbsultat

identique

I

A~

^{aussi bien} pour [es

particules

de

spin 1/2

_que de

spin

I.

Par contre pour

A~, qui

est confondu _avec

A~

et seulement pour [es

particules

de

spin 1/2,

(q~~

_q~

?) engendre

la mdme

reprbsentation

irrbductible _que

(q~_

_q~

f) qui

est diff6rente de la

reprbsentation

unitb

qu'engendre _(q~~

_q~

i

_ou

(

_{q~_ q~}

? ), (I I')

et

(12)

sont valables

avec :

l~Pl ~Pl*1

~

jj(+

⁺

^{) (- )* (+ (-}

⁺

^{)* j}

l~P+

_~P

?I

~jj,~

j~pi ~pj*j ^(-

+

(+ )* (- (+

₊

)* j~p_ ~p11

C'est aussi _{ce que} donne la relation

(5). Quand

la

symbtrie _A~

est

seule,

il lui

correspond

8 coefficients r6els

indkpendants, puisque

dans la matrice des coefficients de

II')

[es terrnes des deux

diagonales

_sont

conjugu6s

l'un de l'autre

(2).

II faut maintenant combiner _ces

sym6tries.

Les

sym6tries

contenant P seront 6tud16es

plus

loin. La transformation T, _par ^[es relations

(2),

donne pour [es coefficients

apparaissant

dans

('i), (11'),

'2

(+

₊

(+

+

)~

"

(~ ) (~ )~

~~

(+

₊

(~ )~

"

(~ (+

₊

)~ qUi

devient donc rbel _; ii _en est de mdme pour la

sym6trie _TA~ puisque A~ n'apporte

_aucune information

supp16mentaire

_{sur ces} deux coefficients. En

rbtrodiffusion,

ii _ne reste

plus

_que

4 coefficients rkels

indkpendants

_pour T ₊

A~

ou T ₊

A~

et 6 pour T ₊

A~.

^{Pour la diffusion}

vers

l'avant,

outre

A~,

_A~~, A~, ⁱⁱ peut y avoir

TA~

^seule ou avec des

sym6tries

A et on a les mdmes relations que pour T: pour les groupes

TA~

+

A~, TA~

₊

A~

_{ii y} a 4

coefficients

ind6pendants

_et 6 pour

TA~

+

A~.

4.5 MILIEU PRtSENTANT DES PLANS DE SYMfiTRIE. Les

symbtries

off

apparait

P sont

nombreuses _:

P, TP, A~

+

P, A~

+ TP,

A~

₊

P,

_{A~ + P, A~ +} T ₊

P,

etc. on ne cherchera pas h les studier routes. La

symbtrie P, qui

_sera vue

plus

loin _avec

P~,

entraine (es relations

(

+ +

) (

+ +

)*

~

) ( ) *, (

_{+ +}

) ( )

*

~

( ) (

_{+ +}

) *, (

+

) (

+

)*

~

+

(

+

*,

+ + ^* =

(

+

) (

+

) *,

relations

plus

nombreuses que celles

assoc16es 1 T donn6es

plus haul, lesquelles

sont routes

comprises

dans cette dernidre lisle. On pourra donc btudier facilement

chaque

_cas

particulier.

Par

exemple

le nombre de coefficients

(2) Pour (es

photons

et pour ^cette

sym6trie

_{A~, comme} (es quatre

paramdtres

_ne

changent

_pas

aprds

une rotation de II autour de Oz, ils appartiennent I la mdme

reprbsentation

unitb, ce

qui

n'entraine

aucune relation

particulidre

entre les coefficients _et fait que, dans _ces conditions, la transformation

TA~ est la mdme que T. Cela permet ^de reprendre la discussion du

paragraphe

4.2.I de l'article [I] _sur des bases

plus

6tendues _en

adoptant

le dassement des

sym6tdes possibles

ktabli dans _ce

paragraphe.

JOURNAL DE PHYSIQUE T I, M12, DkCEMBRE 1991 67