HAL Id: jpa-00230382
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00230382
Submitted on 1 Jan 1990
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
INFLUENCE DES CONDITIONS D’INTERFACE SOLIDE-SOLIDE SUR LES ONDES DE STONELEY
H. Franklin, M Rousseau, P. Gatignol
To cite this version:
H. Franklin, M Rousseau, P. Gatignol. INFLUENCE DES CONDITIONS D’INTERFACE SOLIDE-
SOLIDE SUR LES ONDES DE STONELEY. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-
431-C2-434. �10.1051/jphyscol:19902102�. �jpa-00230382�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n°2, Tome 51, Février 1990 C2-431 1er Congrès Français d'Acoustique 1990
INFLUENCE DES CONDITIONS D'INTERFACE SOLIDE-SOLIDE SUR LES ONDES DE STONELEY
H. FRANKLIN, M. ROUSSEAU et P. GATIGNOL
Laboratoire de Modélisation en Mécanique (URA 229), Université Pierre et Marie Curie, 4, Place Jussleu, Tour 66, F-75252 Paris Cedex 05, France
Résumé - Les zones d'existence des ondes de Stoneley sont modifiées lorsque l'on considère différentes conditions de passage à l'interface de deux solides élasti ques. Des exemples sont donnés dans le cas où les conditions de passage forment une relation linéaire entre contrainte normale et discontinuité des déplacements.
I - INTRODUCTION
Le but de cette étude est de montrer l'influence de conditions aux limites moins restri- ctives que celles utilisées traditionnellement (encastrement ou glissement le long d'in- terfaces solide-solide élastiques) sur les ondes de type Stoneley se propageant à une interface solide-solide ou fluide-solide d'un milieu plan stratifié. En effet,les condi- tions d'encastrement et de glissement sont des conditions idéales, limites, ne tenant pas compte des processus entrant réellement en jeu lorsque deux structures planes sont collées à l'aide d'un matériau formant une couche intermédiaire d'épaisseur négligeable (ou non) devant la longueur d'onde de l'onde incidente. Dans le cas où l'épaisseur de colle est très petite devant la longueur d'onde, on peut considérer d'un point de vue acoustique, que le collage est caractérisé par une surface limite où un saut intervient pour les impédances caractéristiques des deux milieux semi-infinis [1].
Nous présentons une étude théorique du domaine d'existence des ondes de Stoneley pour deux milieux semi-infinis collés entre eux, et des vitesses de phase correspondantes.
Nous considérons ensuite le problème d'un milieu plan stratifié simple constitué d'un fluide FI, d'une couche solide élastique S2 et d'un solide élastique semi-infini S3- Les imperfections à l'interface entre les deux solides sont prises en compte par application du modèle précédent. Les courbes de dispersion obtenues montrent dans le cas de la tran- sition continue du glissement vers l'encastrement, que les vitesses de phase de l'onde de Stoneley à l'interface fluide-solide sont en général comprises entre ces cas extrêmes.
n - CAS DES MILIEUX SEMI-INFINIS EN CONTACT
Dans le cas de deux solides en contact d'encastrement, Scholte [2] a montré l'existence de régions où les ondes de Stoneley sont possibles. Dans le cas du contact de glisse- ment, des régions similaires existent, englobant celles de l'encastrement [3].
Supposons que l'interface de deux milieux semi-infinis élastiques et isotropes en con- tact permet un déplacement fini des structures. Supposons ensuite qu'une relation matri- cielle linéaire simple existe entre le vecteur contrainte normale T et la discontinuité lui du vecteur déplacement, transmettant instantanément les vibrations d'un milieu à un autre. On peut écrire la relation [1,4] :
Abstract - The range of existence of Stoneley waves are modified by considering different boundary conditions at a solid-solid interface. Examples are given when the boundary conditions constitute a linear equation between the normal stress vector and the displacement discontinuity vector.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902102
COLLOQUE DE PHYSIQUE
K est la matrice de rigidité, dans le cas de déplacements plans et.dtondes incidentes longitudinales L ou transversales polarisées verticalement T, sur l'interface.
Ce mod&le bidimensionnel pour des conditions dites intermédiaires peut être considéré comme deux solides séparés par une couche de nature isotrope, très mince en comparaison des longueurs d'ondes entrant en jeu, avec les coefficients de Lamé A et W . Ainsi. les coefficients de la matrice 3d s'écrivent :
où d est l'épaisseur de la couche. Les conditions de passage d'un milieu à un autre, compte-tenu de la continuité du vecteur contrainte normale et de la relation (1) sont :
Les vecteurs contrainte et déplacement dans chaque milieu s'expriment en fonction des potentiels décrivant des ondes planes monochromatiques et évanescentes. Dans chaque mi- lieu les vecteurs d'ondes ont pour composantes :
Les équations
(4)
conduisent à un système de 4 équations à 4 inconnues. Nous recherchons les ondes de Stoneley parmi les solutions de B O , où O est le déterminant du système.On a les différents cas suivants :
(a) si KT -r O et KN + w , or P = O et O = @lissement (b) si KT + m et KN + a , or = O P = O et 8) = Ykncastrement
(c) si KT -r O et KN + , -or = oo P = m pas de contact entre les milieux.
Dans cette étude nous nous bornons au passage de KT
-
O vers KT infini.
KN étant suppo- sé toujours infini. Les valeurs extrémales des coefficients v 2 et v 3 sont O et 0.5. Surt''id3 ,Zones des ondes de StoneLey
- --
...
...
... " k g l i s s e n e n t
0.0 1.0 2.0 e 3.0 4.0 1.0
F i g u r e 1: ZONE DES ONDES DE STDNELEY POUR e - 1 0 0 ; v 2 = v 3 = 1 / 3 .
F i g u r e 3: VITESSES DES ONDES DE STONELEY POUR O= O ; v 2 = v 3 = 1 / 3
2- V ~ t e s s e s de Stoneley
i,
0.0 1.0 2.0 3.0 3.0 5.0
'k1.d
Figure 5: VITESSES DES ONDES DE STONELEY DANS LE CAS ' L M D I N G ' P W R LE W L T I C W C H E .
F i g u r e 2: ZONE DES ONDES DE STONELEY POUR a= 1000; v 2 = v 3 = 1 / 3
O 7 -
0 n-
X,
F i g u r e 4:VITESSES DES ONDES DE STONELEY POUR a= 1 ; v > = " ~ = 1 / 3
Zones des ondes de SLoneLey
n,
. a
* <
i !
,
. . .
, ,,
. .
<.
,. . . .
, * , e
. .
,a
.
,. .
. . .
,. .
,a
.
.,
.
, m
,
.
, *
, a
,
.
. .
; ; ,
.
, ,
.
,, ,
.
,, ,
C
O = 5 0
d - V ~ t e s s e s de StoneLey
0 -
a,
0.0 ,.O 2.0 3.0
k l x d
.
,. .
8 .
z.,;,' ;'
a Cr-
2-
F i g u r e 6: VITESSES DES ONDES DE STONELEY DAMS LE CAS 'STIFFENING'.
O = I D 0 0
...
... ... J ...
.-. '.iC g l i s s e m e n t
. . . . ...
, .
... ...
..'... K...
-
C g l i s s e m e n t::,,-
0.0 1.0 2.0 i . 0 4.0 5.0
s.0
COLLOQUE DE PHYSIQUE
les figures 1 et 2.les courbes d'existence des ondes de Stoneley sont représentées pour les cas (a) et (b) pour des valeurs v=v,=v3=1/3, cx = 100 et 1000
.
f3 étant toujours nul.Pour ces valeurs de a le domaine d'existence est strictement compris dans celui du glis- sement et quand a devient petit. le domaine d'existence se confond avec celui de l'encastrement.
Les vitesses de ces ondes sont représentées sur les figures 3 et
4.
pour des valeurs fi- xées de 8 égales à O et à l et pour différentes valeurs de a. Au-delà de la limite Cx=l, les vitesses deviennent complexes. Il existe bien des ondes de surface pour des condi- tions intermédiaires dont les vitesses de phase. dans le cas étudié ici sont comprises entre les deux vitesses limites de l'encastrement et du glissement.Ill
-
APPLICATION AU CAS D'UN MULTICOUCHENous considérons le problème d'un milieu stratifié simple constitué d'un fluide FI.
d'une couche élastique S2 et d'un milieu élastique semi-infini S3. Les imperfections à l'interface entre les deux solides sont prises en compte par application du modèle pré- cédent. 11 y a trois équations supplémentaires dues au conditions de passage à l'inter- face FI-S2. L'étude de l'équation de dispersion du multicouche permet d'appréhender la manière dont les ondes de Stoneley à l'interface principale FI-S2 évoluent en fonction des paramètres de rigidité de la relation matricielle. Deux types de combinaison sont envisagés pour les matériaux constituant le multicouche. Dans le premier type, la vi- tesse de phase diminue lorsque la fréquence augmente : c'est le cas dit 'loading'. il- lustré sur la figure 5 pour une combinaison eau-bismuth-polystyrène. Dans le second ty- pe. contraire du premier. la vitesse de phase augmente avec la fréquence. C'est le cas dit 'stiffening', illustré sur la figure 6 pour une combinaison eau-polystyrène-bismuth.
La courbe des conditions intermédiaires est comprise entre celles de l'encastrement et du glissement.
IL!
-
CONCLUSIONDans le cas de conditions intermédiaires simulant un collage ou des imperfections à l'interface de solides élastiques, des ondes de Stoneley peuvent se propager. Dans le cas particulier envisagé ici. les vitesses de phase des ondes sont comprises entre les cas extrêmes de l'encastrement et du glissement.
Références bibliographiques
[l] Shoenberg. J. Acoust. Soc. Am. @
(5)
(Nov. 1980).[2] Scholte , Proc. Acad. Sci. Amst.
.
(1947)[3] Achenbach
