HAL Id: jpa-00208709

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Submitted on 1 Jan 1977

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Influence des collisions élastiques sur les propriétés énergétiques d’ions confinés dans une trappe

électrodynamique

J. Andre, F. Vedel

To cite this version:

J. Andre, F. Vedel. Influence des collisions élastiques sur les propriétés énergétiques d’ions con- finés dans une trappe électrodynamique. Journal de Physique, 1977, 38 (11), pp.1381-1398.

�10.1051/jphys:0197700380110138100�. �jpa-00208709�

INFLUENCE DES COLLISIONS ÉLASTIQUES

SUR LES PROPRIÉTÉS ÉNERGÉTIQUES ^{D’IONS CONFINÉS}

DANS UNE TRAPPE ÉLECTRODYNAMIQUE

J. ANDRE et F. VEDEL

Interactions

Ioniques,

Université de

Provence,

Centre de St

Jérôme,

13397 Marseille Cedex

4,

^France

(Reçu

^{le 23 décenlbre}

1976,

^{révisé le}

13 juillet

1977,

accepté

^le

27 juillet 1977)

Résumé. ^- Nous avons précédemment établi des

équations spécifiques qui

^{ont été}

appliquées

^à

un modèle de collision à une dimension. Ces

équations

^sont utilisées, ici, ^avec différents modèles plus

réalistes. Une

partie

^{de cet article est} consacrée à

l’exposé

d’un modèle tridimensionnel et à la recher- che des modèles s’en approchant. ^Ceux-ci permettent d’évaluer la

perturbation

des collisions élasti- ques ^sur la

répartition énergétique

^des ions confinés. Certains paramètres, très utiles en

spectroscopie

sont

plus

spécialement ^{étudiés :}

dispersion

des vitesses ioniques, paramètres de forme de la distri- bution des vitesses et température des ions. L’étude numérique

précise

l’incidence de la nature du _gaz collisionnel sur ces paramètres. ^{Elle montre en}

particulier,

^{que la}

température

ionique ^{croît avec la}

masse

atomique

^{du gaz et}

qu’il

^est

possible

de remédier à cet effet par l’introduction d’un gaz tampon

léger.

Abstract. ²⁰¹⁴

Specific equations

^were

previously

established and were

applied

^{to a} one-dimensional collisional model. These equations ^{are now used} with various more realistic models, ^{such as three-} dimensional or

equivalent

^ones. They ^{are used to} study ^the effects of elastic collisions on the

energetic properties

of stored ions. Some of the parameters ^{which are} usefull for spectroscopy ^{are more}

specially

studied : standard deviations of ions velocities, shape parameters ^{of the}

velocity

distribution and ion temperatures.

Computations specify

the influence of the colliding gas ^nature. Particularly, ^it

is shown that ion temperature ^increases with the gas atomic

weight

and that it is

possible

^{to avoid}

this effect by ^the introduction of a

light

^buffer gas.

Classification Physics ^Abstracts

07.75 ^- 05.40

A.

MÉTHODES D’ÉTUDES

1. Introduction. ^- Le confinement d’ions dans un

champ quadrupolaire radiofréquence [1, 2]

^{a d’abord}

été utilisé _pour la

spectrométrie

^{de masse}

[3, 4, 5], puis

^{dans des}

expériences

^de

physique atomique [6, 7, 8, 9],

^{et de}

spectroscopie

^{en vue}

d’applications métrologiques [10].

Cette méthode

présente

^{en effet}

plusieurs propriétés

intéressantes _pour ces deux derniers

types d’application :

^les

populations

^ioni-

ques

peuvent

^être confinées durant de

longs

^inter-

valles de

temps

^{sans collision avec les}

parois

^{de la}

trappe (appelée trappe électrodynamique),

^{et sans}

champ magnétique

^{externe. La} détection des ions confinés est très sensible

[7]. Enfin,

^{des travaux théo-}

riques [11, 12]

^{ont montré} que dans le cas de la _spec-

troscopie R.F.,

^le

spectre

^de

fréquence

dû à l’effet

Doppler

^du

premier

^{ordre est discret. La} raie centrale n’est _pas

élargie

par l’effet

Doppler

^du

premier

^ordre.

Le

déplacement

^des

raies,

dû à l’effet

Doppler

^du

second ordre doit _par contre être considéré en spec-

troscopie

à ultra haute résolution.

Il est

cependant

nécessaire _pour ces utilisations de connaître les

propriétés énergétiques

des ions. Ceux-ci

ont, lors de leur

création,

^{une certaine}

énergie

^{et leur}

évolution,

^en

présence

^{du seul}

champ électrodyna- mique,

^a été étudiée

[13, 14, 15, 16]. Quand

^{ils sont}

confinés avec

d’importantes

^{durées de}

^vie, l’énergie

est modifiée _par les collisions avec le _gaz résiduel ou

tampon [9],

^et leur état

dynamique

^évolue

jusqu’à

atteindre une loi de distribution

asymptotique

^dont

l’étude permet ^de

préciser

^les

qualités

^{de la}

trappe

comme source d’ions.

Dans ce

but,

^nous étudions les

propriétés énergéti-

ques d’une

population ionique

^{diluée en}

présence

^de

gaz ^{et nous} supposons que les interactions se réduisent

aux seuls chocs

élastiques (en particulier,

^la

charge d’espace

^est

supposée négligeable).

^Ce travail fait suite à un article

[17] qui présentait

^un modèle uni- dimensionnel. Il

comporte

^deux

parties;

^{dans la}

première,

^nous exposons les méthodes de calcul dans

un modèle tridimensionnel

(paragraphes

^{2 et}

3)

et la recherche de modèles

simplifiés (paragraphe 4).

Nous utilisons sans démonstration les résultats _pro- venant de

techniques qui

^{sont de}

simples générali-

sations de celles utilisées dans la référence

[17].

^Dans

la seconde

partie,

^nous exposons les résultats

(théori-

ques ^ou

numériques)

concernant les

propriétés

^éner-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0197700380110138100

gétiques

^et

spatiales (paragraphe 5),

^la

température

des ions

(paragraphe ^6),

^{et nous nous} intéressons à leur évolution

lorsqu’on

introduit dans la

trappe

^un

gaz

tampon (paragraphe 7).

2. Etude du processus

régissant

^le confinement. ^- 2.1 CHOIX DES PARAMÈTRES CARACTÉRISANT L’ÉTAT

DE L’ION. ^- Dans les trappes couramment

utilisées,

telles _que celles décrites dans

[2],

^les

équations

^du

mouvement des

ions,

^{dans un}

système

de coordon- nées cartésiennes fixe

(Oz, Ox, Oy)

^se

séparent

^{et ont}

la forme

d’équations

de Mathieu caractérisées _par les

paramètres :

où

VAc, VDc, Q

caractérisent le

champ radiofréquence appliqué

^et ro ^et

zo la

^{taille de la}

trappe (On

a ro ⁼ zo

J2).

Pour certaines valeurs de a et q, le mouvement d’un ion est stable

[18].

^{Il est décrit} par

l’équation :

Dans cette

expression,

Coi, ak,

Pk

^sont

uniquement

fonctions de a

et q ;

^les

constantes ;

^et (pi

dépendent

de la

façon

dont les ions sont créés et caractérisent le mouvement.

Nous choisissons a

pratiquement

^nul

et q

^très

petit (comme

^cela est souvent le cas dans les

appli-

cations à la

physique atomique)

^ce

qui simplifie

les

expressions

^sans nuire à la

généralité

de la méthode.

La loi du mouvement est alors donnée _par la relation suivante :

Remarque.

^-

L’état . IRécanique

^{de l’ion est à}

chaque

instant caractérisé _par les six

paramètres {

;, lpi

}.

L’existence de l’axe de

symétrie

^{Oz semble}

indiquer

que le

système

^{le mieux}

adapté

^{au traite-}

ment du

problème

^{est le}

système

de coordonnées

cyclindrique [19] (Oz, Or, 0).

^{Dans un tel}

système, l’équation

décrivant l’évolution de la variable r

est difficile à

intégrer.

^Nous conservons donc une

représentation cartésienne,

^{mais en} choisissant les

axes

perpendiculaires

^{à Oz de}

façon plus précise.

En

effets,

^une étude de la

projection

^{du mouvement}

dans le

plan (Ox, Oy) (Fig. 1)

^montre l’existence de directions _propres,

orthogonales

^{entre elles et immo-}

biles. On note

Oxp ^(resp. Oyp)

^le

premier (resp.

second)

^axe

principal.

^En

repérant

l’état de l’ion dans le

système (Oz, Oxp, Oyp),

^on obtient le

système d’équations :

Posons : Les

paramètres : (u,

ip,

0, Sgn)

caractérisent à

chaque

instant l’état

mécanique

de l’ion. Ce sont ces para- mètres

qui

^nous

paraissent

^les

plus intéressants,

FIG. 1. ^- Projection ^{du mouvement} d’un ion dans le plan (ox, Oy).

[Projection of the ionic motion on the (Ox, Oy) plane.]

les dimensions de la trappe s’introduisent _par les valeurs maximales _que

peut prendre

^le

paramètre

Uo. :

(Moz.

Uor,

uor)

^{avec :}

Le

paramètre

uoZ

(exprimé

^{en m .}

s - 1) désigne

^{dans la}

suite la dimension de la

trappe.

L’ion touche la

paroi

de la

trappe

^{si et} seulement si l’une au moins des deux conditions :

u,- >,

u,,, ^ou

u., >

uo, ^est réalisée.

2.2 DÉFINITION DU PROCESSUS. ^- L’étude faite dans ce

paragraphe

^ainsi que dans le suivant est une

généralisation

de l’étude effectuée sur le modèle unidimensionnel

[17] ;

^certaines

hypothèses

^{et résul-}

tats,

classiques,

concernant l’évolution des _para- mètres sous l’effet des collisions sont énoncés sans

démonstration. De

plus,

^la dilution des

populations ioniques

^{nous amène à}

négliger

les interactions ions- ions devant l’effet du

champ

^{extérieur et} les interac- tions ions-atomes.

Ainsi,

^nous déduisons des _pro-

priétés statistiques

^{à un} seul ion celles relatives à la

population

^{entière. Soit}

Dans le cas réaliste où l’ion considéré subit de

temps

en

temps

^{une collision}

élastique

^avec des molécules

ou atomes de _gaz, nous associons à ces interactions les deux

temps caractéristiques

suivants :

b ti,

^{durée de}

l’interaction

ion-atome; At,,

intervalle de temps moyen ^entre deux collisions. Les conditions

expéri-

mentales

impliquent

que les

inégalités

^{suivantes sont}

toujours respectées :

Nous affectons de l’indice 1

(resp. 2)

^les

grandeurs

attachées à l’ion

(resp.

^{atome ou}

molécule).

^Le gaz neutre de densité moyenne, p2, ^{est en}

équilibre thermodynamique

^{à la}

température T2.

^{La densité}

de

probabilité

maxwellienne de la vitesse de

chaque particule

^de gaz

s’exprime,

^en fonction de celle d’une loi de Gauss centrée réduite

fo

par :

Ces

particules

^se distribuent dans

l’espace

^des

phases

^{suivant un} processus de Poisson de densité P2

IX2(x2) ^[20].

Nous supposons que la section efficace moyenne de collisions

élastiques s

^{entre l’ion et le}

gaz est constante dans le domaine des

énergies

^consi-

dérées

(modèle

boules de

billard) [20].

Sous l’effet des

chocs,

^les

paramètres

^{du mouve-}

ment

(u,

(p,

0, Sgn)

évoluent de

façon

^{aléatoire et}

suivent un processus de Markov-Poisson. En raison des

symétries

^du

problème,

^{0 est, à}

chaque

^instant

équiréparti

^sur

(0,

²

7r) indépendamment

de la valeur des autres

paramètres,

^et

Sgn peut prendre

^de

façon équiprobable

les deux valeurs

(+)

^ou

(-).

^Nous

faisons

également l’hypothèse

^de

l’équirépartition

des

phases

(p

indépendamment

des valeurs des autres

paramètres [17].

^La densité de

probabilité

^de (p est donc :

Ainsi,

^{seules restent} à étudier les

propriétés

^statis-

tiques

d’une fonction aléatoire

U(t),

dont les valeurs sont u ⁼

(uz,

uxp,

uyp)

^{et dont nous} devons déterminer les

probabilités

^de transition. L’évolution de

U(t)

est

régie

par les collisions. Son

temps caractéristique (Tc)

^{est donc}

supérieur

^ou

égal

^à

At,.

^Les

inégalités (13)

montrent que ^{nous ne}

perdons pratiquement

^aucune

information sur

Û(t)

^{en ne} s’intéressant

qu’aux instants tk

⁼

kT., k

⁼

^{0, 1, 2,}

^{..., oo.}

En raison de

l’équirépartition

^de cp, les

probabilités

de transitions de

U(t)

^{entre deux}

instants tk

^successifs

ne

dépendent

pas de k ^{et nous ne} considérons dans la suite _que ces

instants;

^nous

remplaçons

^le processus permanent

inhomogéne U(t)

par ^une chaîne de Markov discrète et

homogène.

^{Si à un instant} ta, ^{un choc donne}

à l’un des deux

paramètres

Uz ou ux ^une valeur

supé-

rieure _{à Moz} ou uor, dans un délai inférieur à

Ts,

^il

touche une

paroi,

^{se désionise et} n’intervient

plus.

Comme

Ts

^est faible devant

Tc,

^{tout état du}

type (U-, 1>

uoZ, ux,

uy)

^ou

(uz, U,, 1>

UOr,

uy) ^peut

être consi- déré comme un état instantanément absorbant et

ta assimilé à

l’instant tk

immédiatement

supérieur (Fig. 2).

^{Dans cette}

étude,

^tous les états de ce

type

sont

équivalents

^{et nous les}

remplaçons

par ^un seul état discret : _uo. Nous

symbolisons

par

Uo(t)

^la

chaîne discrète

homogène

à valeurs dans :

FIG. 2. ^- Schéma d’évolution d’un ion dans la trappe. ^{Le vecteur u}

est conventionnellement remplacé par le réel Uz ; ta : instant du choc ; t f : instant où l’ion touche l’une des parois ^{de la} trappe; tk - 1,

tk : ^instants correspondant ^{à la} phase ^{zéro du} champ ^R.F.

[Schema of the ionic evolution in a trap. ^{Vector u is} conventionally replaced by the number u. ta : impact ^{time with} a gas atom. t f : impact ^{time with a} wall of the trap. tk-l, tk correspond ^{to a zero}

phase of the R.F. field.]

2.3 ETUDE DES PROBABILITÉS DE TRANSITIONS. ^-

Deux

paramètres

^sont nécessaires pour décrire les collisions. Les

hypothèses précédentes

^montrent que dans le

système

^{du centre de masse, la}

direction prise

par l’ion

après

^{le choc est}

isotrope [21].

^{Nous choisis-}

sons pour

paramètres

^les

angles il et’ô, longitude

^et

colatitude du vecteur unitaire définissant la direc- tion

prise

par l’ion à l’issue du choc dans le

système

du centre de masse

repéré

par les directions fixes

(Ocz, Ocxp, OcYp),

^où

Ocxp

^et

0,,,yp

^sont

^parallèles

aux directions _propres du mouvement de l’ion avant le choc. La densité de

probabilité

^du

couple (q, b)

est :

Les axes propres du mouvement

(Oxp, Oyp)

^{avant le}

choc ne le restent

généralement

pas

après.

^Nous

repérons toujours

les états u dans le

système

propre associé au mouvement..Le choc entraîne donc une

rotation de ce

système

^autour de l’axe Oz dont nous

devons tenir

compte.

Notons

(v,

u,

t)

l’événement réalisé si l’ion se trouve

sur un état inférieur à v ⁼

(vz, vx, vy)

^{à l’instant}

t + dt

après

avoir subi un choc durant

dt,

^sachant

qu’il

^{se trouvait sur un état u =}

(uz,

uxp,

uyp)

^{à l’ins-}

tant t. v, ^u et t étant

fixés,

^cet événement peut ^être réalisé de

multiples façons qui dépendent

^{de la}

valeur de _cp, de

X2

^{et de}

(il, ô). Supposons

ip ^et

X2

connus à des infiniment

petits près ;

pour que ^cet événement se

réalise,

^{il faut}

qu’il

y ait un choc

(évé-

nement de

probabilité P2 S 1 :i2 - Xl dt),

^{et que les}

paramètres ( 5) appartiennent

^{à un domaine}

D(v,

u, t, cp,

X2),

^domaine

qui peut

éventuellement se

réduire _pour certaines valeurs de

ses _arguments

à l’ensemble vide. La

probabilité

de l’événement 8 est alors donnée _{par :}

Puisque

gp ^et

X2

^{ne sont} pas connus, il faut considérer la somme de toutes les valeurs

possibles

^{de ces} para- mètres en les

pondérant

par leur

probabilité

^{de réalisa-}

tion.

Enfin,

la rareté des chocs

(à t,

^»

Tm)

^{rend très}

improbable

^{le fait}

qu’il

^se

produise plus

d’une inter- action durant

Tm.

Nous supposons donc

incompatibles

les événements

9(v,

u,

t) correspondant

à des inter- valles de temps

disjoints

^et

engendrant T..

^Posons

alors

La

probabilité

pour que l’ion se trouve sur un état inférieur à v à l’instant

kTm après

avoir subi un choc durant l’intervalle de temps

((k - 1) T., kTm),

^sachant

qu’il

^{se trouvait sur un état u} à l’instant

(k - 1) T.

ne

dépend

pas de k

(chaîne homogène)

^et

s’exprime

par la relation :

De la même

façon

que dans l’étude unidimension- nelle

[17],

^cette

expression

permet ^de calculer la densité d’interaction totale :

la densité d’interaction absorbante :

et la densité de

transition

élémentaire :

2.4 MÉTHODE DE CALCUL DES PROBABILITÉS DE TRANSITION. ^- La

complexité

de la formule

(19)

rend difficile le calcul

numérique

par ^une méthode

classique

^car

est inconnu. Par contre, ^une méthode de Monte Carlo est bien

adaptée.

Effectuons sur les trois _para- mètres

(t,

qJz,

qJp)

^le

changement

^de variable suivant :

Lors de ce

changement,

^le

parallélépipède rectangle d’intégration (0, Tm; 0,2

n ;

0,2 n)

^{se déforme. Toute-}

fois,

les nouvelles variables ne sont définies

qu’à

^{2 n}

près

^et

grâce

à des translations nous pouvons ^nous

ramener à un domaine

d’intégration

^défini par le cube d’arête

(0,2 n).

^{La fonction}

fT fi

^{se transforme}

en :

f,(I)

^{définie par :}

qui

^est la densité de

probabilité

d’une loi uniforme

sur le cube

précédent.

Effectuons

également

^{le chan-}

gement

de variables

et soit

x(v,

^u,

h)

la fonction

caractéristique

^{du domaine}

Alors :

Fo(v, u) représente l’espérance mathématique

^d’une

fonction d’un ensemble de huit variables aléatoires

indépendantes

^où

désigne

^{le vecteur} aléatoire dont les valeurs sont h.

La loi de H est donnée _par la densité de

probabilité Ib (h) :

Cette

expression

^{est estimée en tirant au hasard n}

échantillons

hj

^{de H} suivant la loi définie _par

Ih(h)

et en calculant la _moyenne

arithmétique

associée à

l’espérance mathématique.

^Ces échantillons sont

don-

nés _par les méthodes habituelles

[22].

^{La valeur de}

x(v,

u,

hj)

^est obtenue ainsi : à un état de

départ

^u

et à l’échantillon

hj correspond

^un état final aj =

(azj,

axj,

ayj) représentant

^un échantillon d’un vecteur aléatoire A. La nature du

problème

^{est telle}

que

x(v,

^u,

h)

^{vaut 1 ou 0 selon} que aj ^{v ou non.}

Il suffit donc de

remplacer

^dans

l’expression (33) x(v,

^u,

h)

par

K(v - a/u, h)),

^{où K est} la fonction de Heaviside.

Fo(v, u)

^{est estimé à}

partir

des échantil- lons du vecteur aléatoire H et des relations du tableau

I,

en accord avec la formule :

3. Méthodes d’études des

grandeurs

caractérisant la nature du confinement. ^- 3. 1 DÉFINITION DES

PARAMÈTRES. - Une étude fine du confinement demande

l’exploitation

^d’un

trop grand

^{nombre de}

résultats. Il est nécessaire de définir certains

paramètres

donnant une information moins étendue mais _pou- vant être

plus

facilement visualisés et

comparés.

^On

définit ainsi trois familles de

paramètres.

3.1.1

Temps caractéristiques.

^{- Une}

population

créée à l’instant initial dans ^une

trappe

de dimension finie tend à

disparaître,

c’est-à-dire à se

placer

^tout

entière dans l’état absorbant _uo

qui

^est le seul état stable. Cette évolution vers

l’équilibre peut

^se

préciser

à l’aide d’un temps de relaxation r

(constante

^de

temps

de la décroissance

asymptotiquement exponentielle

de la

population).

^Nous pouvons facilement montrer que ^{r est} inversement

proportionnel

^à P2 ^s. Nous utilisons _par la suite le

paramètre

^{réduit :}

Si un choc n’exclut _pas l’ion de la

trappe,

^{il tend à} le mettre sur un ensemble d’états u suivant une densité de

probabilité 1ta(u) [17]

définissant une loi de distri-

bution

asymptotique.

^La

rapidité

^de convergence ^vers cette loi limite est

repérée

par ^un

temps

^de

réorganisa-

tion :

r’(u).

^Il

indique

l’intervalle de

temps

^nécessaire

pour que le _processus de confinement ^{ne se} souvienne

plus

des conditions initiales. r’ est inversement _pro-

portionnel

^{à P2 s. Dans la}

^suite,

^nous utilisons le

paramètre

^réduit

T’O(U)

⁼

’r’(U)

P2 s de même dimen- sion _{que ro.}

3.1.2 Paramètres

énergétiques.

^{- Nous étudions}

les

propriétés énergétiques

^{de la}

population ionique quand

^le temps ^de

réorganisation

^est

dépassé.

^A

partir

de la fonction

n,,(u),

^nous

exprimons

^les

premiers

moments de la loi de la vitesse d’un ion dans la direc- tion Oz ou

n’importe quelle

direction du

plan (Ox, Oy).

Ceux-ci

permettent

de définir :

- Les vitesses _moyennes dans chacune des direc- tions. Elles sont nulles.

- Les

dispersions

de la loi des vitesses dans

chaque

^direction

(a,,, u,).

^_

- La vitesse

quadratique

moyenne d’un ion : W.

Elle

s’exprime

par

- Les

paramètres

de forme de la loi des vitesses

g,).

^L’étude

qui

^{suit montre} que la loi de la vitesse d’un ion est assez

proche

^d’une

gaussienne

^centrée.

Dans ce cas, le

rapport

de la racine carrée du moment du 4e ordre et du moment du 2e ordre est un nombre

sans dimension

égal

^à

.J3.

^Le

^rapport

^des

^quantités

analogues

relatives à la vraie loi des vitesses définit gz et gr. La

comparaison

^entre la valeur de ces para- mètres et

.J3

^{donne une} idée de l’écart à la loi de Gauss. Une valeur

supérieure

^à

.J3 ^indique

^une

importance

^{accrue des}

pieds

^{de la}

répartition.

- La

température

^d’ions

(T).

^{Dans le cas de}

l’équilibre thermodynamique,

la loi des vitesses est

isotrope

^et

gaussienne.

^La

température

^{T se définit}

alors à

partir

^{de la}

dispersion

^J par la relation

quoique

^{nous ne} soyons pas exactement dans le cas

précédent,

^nous définissons une

température

^d’ions

T¡

par la relation :

Ce

paramètre, qui

^a été introduit

expérimentalement

par H. G. Dehmelt

[13]

^{donne une} indication immé- diatement utilisable _par le

physicien.

Les

paramètres énergétiques

utilisés ici sont indé-

pendants

^du

produit

P2 ^s.

3 .1. 3 Paramètres

spatiaux.

^{- Les mêmes méthodes}

qui permettent

de définir les

paramètres énergétiques

dans la

région asymptotique peuvent

être utilisées à l’étude des

paramètres spatiaux.

^{Ils sont}

simplement

liés aux

premiers.

^{Nous avons choisi :}

- La

position

moyenne dans chacune des direc- tions. Elle est nulle.

- Les

dispersions

de la loi de la

position

^suivant

l’axe Oz et

chaque

direction du

plan (Ox, Oy) : (Jsz’ (sr)’

- Les

paramètres

d’écart à une

gaussienne

^cen-

trée

(gsz, gsr)’

Ces

paramètres

^{sont aussi}

indépendants

^du pro- duit _P2 s.

3.2 ETUDE DES

ÉQUATIONS

GÉNÉRATRICES. ^- Les

paramètres

utilisés ici sont obtenus à

partir

^d’un

ensemble de

grandeurs

fonctionnelles ou scalaires dont la

plupart

^ont

déjà

été étudiées dans le modèle unidimensiônnel

[l’7].

^La

généralisation

^{de leurs}

propriétés

^{au modèle} tridimensionnel est évidente.

Ces

paramètres

sont, ^{outre r et}

1ta(u) qui

^{ont été}

précédemment

^{définies :}

0

mk(u) :

^moments d’ordre k de la loi de la durée de vie d’un ion créé dans l’état u. mk ^est inversement

proportionnelle

^à

(p2 s)k.

^Nous utilisons les moments réduits :

e

f,(u, t)

densité de

probabilité

^{de la loi}

précédente.

A

fi(t)

^{nous associons une} fonction réduite _par la relation :

£(u, t)

peut ^{se mettre sous la forme :}

où

Co(u)

^est

indépendant

^{de t et de}

P2 s et D(u, t), proportionnelle

^à p2 s, tend vers 0

quand t

^croît.

Nous _posons

D(u, t)

⁼ P2 s

Do(u,

P2

st).

^,

Nous _pouvons aussi écrire :

To(u)

^{est défini à}

partir

^{de cette} dernière relation.

En

effet,

Do(u, t)

^est pour ^{tout u une} fonction inconnue mais dont le module décroît

rapidement lorsque t

^croît.

On associe à

Do(u, t)

^un

temps caractéristique : ïo(u)

^{de la}

façon

suivante :

To(")

^{est la}

largeur

^du

rectangle ayant

pour hauteur le module de la valeur initiale de

Do(u, t) : Do(u, 0),

^et dont l’aire est

égale

Quoique

^la

façon

de définir

r§(u)

^{ne soit} pas

unique,

nous utilisons cette formule de

préférence

^{à toute}

autre, celle-ci donnant les résultats les

plus

^stables.

Il faut aussi noter que si

Do(u, t)

^{était une fonction}

exponentielle, T’(u)

^{en serait la constante de}

temps.

Les

grandeurs (ro, na(u), { JLk(U) }, Co(u))

^{sont solu-}

tions

d’équations intégrales

^{ou aux valeurs propres}

et

respectent

^certaines

règles

^de normalisations.

Posons :

les

équations qu’on peut

^{utiliser sont :}

Les

équations

^ci-dessus

(1) permettent

le calculs des

paramètres

par deux méthodes différentes.

La

première

consiste à résoudre le

système d’équa-

tions

(41)

par discrétisation des

opérateurs intégraux jusqu’à

^{un ordre maximal}

kmax

^tel que le

rapport J1kmax(U)/ J1kmax- 1 (u)

^ne

dépende plus (à

^la

précision souhaitée)

^{de u et constitue une}

approximation

^de

(48).

Nous obtenons alors

Co(u)

^en utilisant la relation

(49) puis ïo(")

par

l’éq. (40)

^et

enfin, 1ta(u)

^{au moyen de}

l’éq. (41) (Fig. 3a).

La seconde méthode utilise

uniquement

^des

procédés itératifs, na(u)

^et io ^sont calculés simultanément en

intégrant l’éq. (42)

^{et en}

imposant qu’à chaque étape

les

éq. (44)

^et

(45)

soient vérifiées.

Co(u)

^{est ensuite}

déterminée en utilisant

l’éq. (43), l’éq. (47)

^devant

être

respectée.

Nous déduisons enfin

zô(u)

^de

l’éq. (40) (Fig. 3b).

FiG. 3. ^- Organigrammes représentant les méthodes de calculs utilisables.

[Schema of numerical methods which can be used.]

Les deux méthodes ont été testées sur le modèle unidimensionnel et l’accord excellent des résultats permet d’utiliser l’une ou l’autre et la seconde a été choisie _pour des raisons de

techniques numériques.

(1) L’éq. (45) fait le lien entre les propriétés énergétiques ^et temporelles. ^{Elle montre} qu’un élargissement ^de Hju), ^{donc une} augmentation des valeurs moyennes énergétiques, ^{entraîne une}

diminution de io.

4. Utilisation de modèles

approchés.

^{- 4.1 COM-}

PARAISON AVEC LE MODÈLE DU PUITS DE POTENTIEL HARMONIQUE. ^- Les

éq. (4), (6), (7)

^montrent que le mouvement d’un ion est

pratiquement (à ql4,

^ou

q/2 près)

^celui

qu’il

aurait dans un

puits

^de

potentiel harmonique d’équation :

Cette notion est couramment utilisée _pour caractériser

l’aptitude

^{de la} trappe ^au confinement

[13];

^{le terme}

profondeur

^de trappe

désigne,

^en

général,

^la

profondeur

maximale

Epm

^de

Ep

^le

^long

^{de l’axe}

^Oz,

^{reliée à uo_,}

par :

Malgré

la différence entre la loi réelle de la vitesse

(donnée

^{par les}

éq. (5), (8), (9))

^{et celle}

qu’aurait

^une

particule ayant

^{les mêmes}

paramètres

^{du mouvement}

et confinée _par le

potentiel U(x,

y,

z),

la méthode de Monte Carlo montre

simplement qu’on peut

^utiliser le

pseudopotentiel

pour le calcul de certains

paramètres lorsque q

^est voisin de zéro et la masse

atomique

^du gaz neutre faible devant celle de l’ion. On doit _pour

cela,

vérifier _que les

probabilités

^de transitions sont voisines dans les deux modèles.

En

effet,

la suite des

expressions permettant

^d’obte- nir des échantillons du vecteur aléatoire

A,

^décrite dans le tableau

I,

^reste valable dans le modèle du

puits

de

potentiel

à condition de _{poser :}

Dans ce cas, les

grandeurs analogues

^{sont faciles à}

calculer et sont affectées du

signe -.

Supposons q pratiquement nul,

^nous pouvons

facilement ^{exprimer Xp (resp. p, z)}

^en fonction de

xp (resp. ÿp, ^{1) (voir}

le détail des relations dans le tableau

II).

(J 2 est inversement

proportionnel

^{à la}

racine carrée de _M2.

Lorsque

^celle-ci

décroît,

les valeurs des échantillons tirés au hasard

(xo2, 02, Z02)

donnent des valeurs

(x2, 2, Z2) (cf.

^eq.

(28))

^de

plus

^en

plus grandes

^donc

(à partir

d’une certaine valeur de

m2) plus grandes

que

(xp, p, ^z)

^ou

(jp, yp, ⁱ⁾

^sauf

^peut-être

^{pour un ensemble}

d’échantillons dont la

probabilité

^de

tirage

^{tend vers 0}

avec M2. Nous écrivons donc :

TABLEAU II

Ainsi l’écart entre

Wo

^et

Wo

⁼

t5Wo,

^donné par la relation :

est faible devant

Wo

^ou

Wo.

Enfin dans toutes les relations du

tableau,

^m2 intervient _par les

puissances

successives de

Jm2’

^Nous pouvons donc effectuer pour

chaque

relation de ce

tableau

^un

développement

limité au

premier

^ordre

en J m2 et

comparer pas à _pas les relations liant les

grandeurs

^{relatives au modèle}

réel et au modèle du

puits

^de

potentiel harmonique.

A ne diffère de

À

_que d’une

quantité

^du

premier

^ordre

en

Jm2. ^Fo

^et

^Fo

^{ont même limite}

^lorsque

^{m2 tend}

vers 0. Il en est de même pour : yo ^et

o,

ao ^et

ôi,, 30

et

Jo

intervenant dans les

équations

^du

paragraphe ^3-2,

et pour les

grandeurs

résultant de ces

équations : (10, 1ta(u), /Àk(U), Co(u))

^et

(io, na(u), i4(u), Co(u))

^ainsi

que pour les

paramètres temporels

^et

spatiaux qui

^s’en

déduisent. Par contre,

puisque

les vitesses sont dis- tinctes dans ces deux

modèles,

^les

paramètres

^éner-

gétiques

^{sont eux} différents.

4.2 UTILISATION ^DES MODÈLES UNI ET BIDIMENSION- NELS. ^- Le modèle tridimensionnel

exige d’impor-

tants moyens

informatiques.

^Aussi avons-nous envi-

sagé

^la

possibilité

d’utiliser des modèles

simplifiés (tel

^{le modèle}

précédent).

^Le modèle unidimension- nel

[17]

^{est obtenu}

quand

^on considère les

paramètres

associés au seul axe Oz et

quand

^on suppose que seules

se

produisent

^les collisions frontales. Nous avons

également

^{étudié un modèle} bidimensionnel où nous

considérons les

paramètres

^{associés au}

plan (Ox, Oy)

et supposons que les collisions sont telles _que l’ion reste dans le

plan.

L’emploi conjoint

des modèles unidimensionnel et bidimensionnel

(au

lieu du modèle

réel)

^{nous amène}

à

remplacer

chacune des

éq. (41)-(49)

^{et les}

intégrales triples

^associées par deux

équations

^{contenant l’une}

une

intégrale simple,

^{l’autre une}

intégrale ^double,

et conduit à un

important gain

^de

temps.

^{Nous allons}

en

préciser

^{sa validité.}

4.2.1 Etude des

paramètres énergétiques

^et

spatiaux.

- Considérons d’abord ^une

trappe

^de

grande

^dimen-

sion contenant un gaz

léger.

^Soit

n,,(u) (resp. naz(uz), n.,(u,»,

la loi de

répartition

^{d’un ion sur les états}

u

(resp.

uz,

u,)

^{et soit}

na(U) (resp. naz(uz), nar(ur))

^la

même loi dans le modèle du

puits

^de

potentiel

^associé.

Nous _pouvons écrire _na sous la forme :

Une étude semblable à celle

développée précédemment

montre

qu’il

y ^a identité entre 1taz et

naz,

^ainsi

qu’entre

1tar ^et

îî.,.

^{Nous en déduisons}

l’équation approchée

suivante :

Lorsque

^{la relation}

précédente

^est

vérifiée,

^nous

pouvons utiliser le modèle

simplifié :

Uz, gz, esz ^et gsz sont calculés à

partir

^{du modèle}

unidimensionnel,

Ur, grg esr5 g sr’ du modèle bidimensionnel et W

de U z

et Ur,

Quant

^à

T,

^{elle est obtenue à}

partir de Uz ^(modèle unidimensionnel). Quand

^le

rapport M2/Ml

^croît

ou

quand

^la

profondeur

^{de la}

trappe diminue, l’égalité précédente

^{est moins bien}

théoriquement

^établie.

Nous testons sa validité _par un calcul

numérique

^dans

le cas suivant : ions Cs+ en

présence

^de gaz ^rares

(He, Ne, Xe,

^en

équilibre thermodynamique

^{à 300}

K).

Nous avons utilisé la méthode de Monte Carlo avec

10 000 échantillons _pour le modèle unidimensionnel et 2 000 _pour les autres.

La

figure

^{4 décrit} l’évolution de

az(uoz)

^et

U,(UOr) correspondant

^{à une}

phase particulière (Zéro)

^du

champ

^{R.F. Les résultats sont}

représentés

par les

courbes,

dans le modèle

simplifié

^et par les

symboles,

dans le modèle tridimensionnel. Dans le cas du

couple Cs+-He,

^les

points expérimentaux

convergent bien vers la valeur estimée à

partir

du modèle de

puits

de

potentiel.

^La

figure

^{5 montre} l’évolution de

Yz(uoz)

et

Yr(UO,)

dans les mêmes conditions. Nous constatons, dans ces deux

figures,

^le bon accord entre les deux modèles.

4.2.2 Etude des

paramètres temporels.

^{- Les}

calculs

numériques

concernant le modèle tridimen- sionnel

indiquent

que la fonction

ao(uz, Ur) peut grossièrement

^{se mettre sous} la forme :

Fie. 4. ^- Comparaison des valeurs de Qoz et Qor calculées dans les différents modèles. Les cercles clairs (resp. noirs) représentent

les valeurs de _Ooz (resp. (J’Or) calculées dans le modèle tridimen- sionnel. Les courbes en traits pleins représentent les valeurs calculées dans le modèle simplifié (dimension ^{1 et dimension} 2). ^{Les droites}

en traits discontinus représentent les valeurs asymptotiques ^de Ooz et ao, dans le modèle du puits ^de potentiel.

[Comparison of numerical values of _Qoz and _ao, which

result,

from dînèrent models. Open ^circles represent Qaz in the three- dimensional model and black ones represent Qo, in the same model.

Solid line curves represent ^the simplified model. Broken right ^lines represent ^the asymptotical ^{values of} uo,, and _60, resulting ^{from the}

potential ^well model.]

FiG. 5. ^- Comparaison ^des valeurs g., ^et gr calculées dans les différentes modèles. Mêmes légendes que dans la figure ^4.

[Comparison of calculated values of gz ^and gr. Symbols ^are explained

in the previous figure.]

où ao2 ^et aor ^sont les

grandeurs analogues

des modèles unidimensionnel et bidimensionnel. En admettant que la relation

(53)

^est

vérifiée, l’équation (45)

^montre

que les

temps

de relaxations dans les trois modèles

(notés ro,

ïoz?

1:or)

doivent être

approximativement

^liés

par la relation :

D’après

^l’étude

numérique (Fig. 6),

^{cette relation est}

sensiblement

respectée.

Fic. 6. ^- Comparaison des valeurs des durées de vie réduites calculées dans les différents modèles. Les cercles représentent ^les points calculés dans le modèle tridimensionnel. Les courbes sont

obtenues à partir ^{du modèle} simplifié.

[Comparison of calculated values of _io in different models. circles represent ^the threedimensional model and curves the simplified

one.] ]

Le calcul de

T’(u)

par la relation

(40)

^est difficilement réalisable car les

grandeurs

intervenant doivent être

connues avec une

grande précision.

^Toutefois

-r’(u)

intervient seulement _pour donner une indication sur

le

temps

de mémoire des conditions initiales. Le bon accord

qualitatif

^entre le modèle unidimensionnel et le modèle réel nous a conduit à

remplacer r’(u)

par la valeur

analogue

^{dans le}

premier

^modèle.

4.2.3 Conclusions. ^- Bien _que le modèle unidi- mensionnel donne dans de nombreux cas des indi- cations intéressantes sur l’évolution des

grandeurs

caractéristiques,

^{une étude}

quantitative

^{nécessite sou-}

vent de faire

appel

^au modèle réel. Malheureusement

ce modèle

impose

des moyens

trop importants

pour être effectivement utilisé. La

superposition

^{du modèle}

unidimensionnel et du modèle

bidimensionnel,

^modèle

simplifié

mais néanmoins

réaliste,

^est donc essentielle pour ^toute étude

théorique

^du fonctionnement de ce

type

^de

trappe

^ainsi que de ses

applications

^fonda-

mentales et c’est dans ce cadre

qu’est

réalisée l’étude

qui

^suit.

B.

ÉTUDE NUMÉRIQUE

5. Influence des conditions

expérimentales.

^{- Les}

paramètres

que ^nous étudions ont été définis en 3. 1.

La

température

^{des ions est traitée à}

part

^{en 6. Ces}

paramètres dépendent a priori

des variables _{ml, m2,}

T2, uo_, et

éventuellement de u et du

temps.

^Cette

dépendance

^est

quelquefois

suffisamment

simple

pour

apparaître analytiquement (5-1, 5-2).

^On

peut déjà

noter que mi, m2,

T2

interviennent _par l’intermédiaire

de rm

^{= 2}

M2/(Ml

⁺

m2)

^et Q2

(eqs. (40-49)).

5. 1 INFLUENCE DU TEMPS. ^- Les

paramètres

tempo- rels se mettent sous la forme

(eqs. (41), (48), (40)) :

Les

paramètres énergétiques

^et

spatiaux

^{se calculent}

à

partir

de la loi des variables aléatoires

X, Z, X, ^Z

(X et

^X

correspondant

^{à une direction}

quelconque

^fixe

(Ox, Oy)).

^Leurs

expressions

s’obtiennent facilement à l’aide des moments du vecteur aléatoire

U,

^déduits de

na,

fonction de _{rm, Qr et uo,,}

(eq. (41)).

Soit

Mk( Ui)

^le

^k°

^moment de la variable

aléatoire U,

et

M2,2(Ux, Uy)

^{le moment} mixte d’ordre

quatre

^du

couple (Ux, Uy).

^{Les relations}

^(4)-(11)

^dans

^lesquelles

les

grandeurs classiques

^sont

remplacées

par les variables aléatoires associées

permettent

^{de relier}

ces moments aux

paramètres

^{choisis :}

Seules les

dispersions

de la loi des vitesses

dépendent

^{nettement du}

temps.

5.2 INFLUENCE DE r., p2 et UOz, ^-

D’après

^les relations du tableau I, ^{W et A s’écrivent}

Les relations

(34), (20), (21)

^montrent que

Posons : r

chacune des relations

(41), (47) s’exprime

^en fonction des

grandeurs

^{réduites. La forme de}

l’éq. (41) impose :

et celle de la relation

(48) :

L’éq. (42)

^{montre alors} que

na s’exprime

^{de la}

façon

^{suivante :}

où ç

^{est une fonction}

inconnue,

déterminée en

imposant

^à

l’intégrale

^de

H§

^{la valeur 1}

(condition

de normalisation

analogue

^{à celle}

exprimée

par

l’éq. (44)) :

^,