Un point fondamental de la géométrie tissulaire est l’existence de résultats algébriques sur les tissus de rang maximal. Nous discuterons des liens entre chacun de ces domaines et l’émergence de la géométrie tissulaire. Nous avons noté plus haut les liens entre la naissance de la théorie tissulaire et la géométrie différentielle projective.
La deuxième partie de la thèse porte en fait sur la géométrie des tissus et reprend la plupart de nos résultats.
Equations fonctionnelles ab´ ´ eliennes
- Introduction et notations
- Quelques r´esultats sur les solutions d’une ´equation fonctionnelle ab´elienne
Sur la d´ etermination des solutions d’une ´ equation fonctionnelle ab´ elienne
- La m´ethode d’Abel
- La m´ethode de monodromie a priori
R´ esolution explicite de deux ´ equations fonctionnelles ab´ eliennes
- Notations
- L’´equation de Spence-Kummer g´en´eralis´ee
- Une ´equation d´ependant d’un param`etre
G´ eom´ etrie des tissus
La g´ eom´ etrie des tissus de Blaschke et Bol
- Tissus : g´en´eralit´es et premi`eres d´efinitions
- Quelques exemples de tissus
- Relation ab´elienne, rang et tissus alg´ebriques
- Alg´ebrisation des tissus de rang maximal et tissus exceptionnels
Ce chapitre est une présentation de la théorie classique des tissus planaires et peut être lu indépendamment du reste de la thèse. Il ne contient pas de résultats nouveaux et accorde une part importante aux notions de relations abéliennes, de classement, de tissus algébriques et de tissus exceptionnels. Il donne les définitions et résultats de base concernant les tissus planaires, ainsi que les notations qui seront utilisées dans les chapitres suivants.
La seule originalité est la section 4.2, qui consiste en une description de plusieurs exemples de tissus (classiques ou non) recueillis là à titre d'illustrations, et la section 4.4, où nous discutons et argumentons pour l'étude de tissus exceptionnels.
Sur l’´ etude du rang d’un tissu
- Caract´erisation des tissus plans de rang maximal (d’apr`es A. Pantazi)
- Application de la m´ethode d’Abel `a la caract´erisation des tissus de rang maximal
Une famille ` a un param` etre de 5-tissus exceptionnels
Introduction
L'intérêt de ces réseaux était que l'on pouvait les utiliser pour « lire » certaines caractéristiques de surface. Les cercles épais définissent des parties qui peuvent être lues indépendamment de tout le reste. Proposition 5.2.3 : nous donnons une formule simple pour calculer la courbure de Blaschke d'une 3 fabrique W(U1, U2, U3) en fonction de Ui.
Théorème 5.2.6 : on caractérise les 5-tissusW(x, y, x+y, x+a y, U) de rang maximal par des équations différentielles explicites sur U. Nous introduisons ensuite la notion de matériau exceptionnel, que nous illustrons par la exemple classique de la substance 5 de Bol. On peut facilement imaginer des généralisations de la notion de tissu telle que définie ci-dessus.
En considérant les courbes intégrales associées, on obtient un 3-tissu S, que nous définirons comme le 3-tissu Darboux de S. La dimension de l'espace des relations abéliennes dans un tissu donné est localement constante, et donc constante si le tissu vit sur une surface limitée, ce que nous supposerons désormais. Donnons une définition finale des invariants liés aux tissus, qui sera souvent pratique à considérer.
Résumé de la preuve : En supposant que le théorème inverse d'Abel soit connu, la preuve l'est. Parce que nous disposons d’une base explicite pour les relations abéliennes de B, nous pouvons déterminer son armure. Démonstration : il s'agit essentiellement d'une reformulation des relations (1), (2) et (3i) satisfaites par ν∈ A[] : les relations (a) correspondent aux relations (1) et (2) dans le système. S[] (dont les solutions sont les éléments de A[] par définition), tandis que les relations (bk) correspondent aux relations qui peuvent être dérivées en dérivant les relations (3i ).
En fait, cette condition est également suffisante, puisque nous montrerons en 5.2 que la substance suivante est bien de rang 6. Une condition nécessaire sur U1, ., Un pour qu'il existe U tel que W[U] soit de rang maximal est qu'on obtienne M ≥γ(n,. Une substance au sens où nous venons de la décrire , est dite algébrique.
Le groupe Sym (W0) de transformations projectives préservant la substance W0 est généré par les dilatations de C2 et du groupe D8. De plus, si φ est un difféomorphisme local préservant la fabrique W0, alors φ est le noyau d'un élément de Sym (W0). Démonstration : une transformation projective φ qui préserve la substance T0 préserve la famille {p1, p2, p3, p4} des sommets des tranches paires de W0.
Puisque les points p1, p2, p3, p4 forment une division harmonique, si l'on permute ces points, le rapport croisé peut prendre trois valeurs, qui sont −1, 2 et 1/2. Nous concluons que les 8 permutations ci-dessus sont réalisables avec des éléments de D8. On revient donc au cas où φ préserve tout feuilletage de W0 : φ est une dilatation selon le lemme précédent.
Rappelons que si u est une fonction définie au voisinage de (x0, y0) et satisfait la condition (de transversalité). Si u(x, y) et u0(x, y) sont deux germes de fonctions satisfaisant (7) et si φ est un difféomorphisme local qui oriente W[u] vers W[u0], alors φ est une transformation projective. De plus, si F(u) n’est pas un fibré de droites parallèles, alors φ est un élément de Sym (W0).
On en déduit qu'il existe une transformation affine ψ telle que ψ◦φ préserve ces trois disques. Si F(u) n’est pas un fibré de droites parallèles, φ préserve nécessairement le sous-fabriqué W0 ; LE.
Fonctions thˆeta et tissus exceptionnels
La deuxième partie de l'énoncé, que nous démontrerons à la fin de cette section, a la signification suivante : si τ et τ0 ∈ H sont des modules congrus du groupe G, les tissus associés sont équivalents à un élément du groupe Sym ( W0); de plus (c'est une conséquence des propriétés précédentes et du Lemme 3), si les microbes tissulaires connectés à τ, τ0 ∈ H, aux points où la condition (7) est vérifiée, sont équivalents, alors τ et τ0 sont des G-modules congrus . Les limites suivantes montrent que nous pouvons considérer les tissus (C), (D) et (E) comme des limites de séquence de tissus, toutes équivalentes au tissu (B). Ce faisant, nous obtenons que W[u] est exceptionnel comme conséquence immédiate du lemme 4.
Pour construire une fonction de définition uσ de la forme (8) ou (9) du réseau σ(W[u]), en fait modulo une dilatation, on écrit une relation abélienne de la sous-matière W(x +y, x −y, u(x , y)), et on le transforme avec σ. Elle est étudiée par exemple dans Chandrasekharan [7], ouvrage auquel nous nous référons pour plus de détails, notamment sur les relations entre le paramètre τ et le module, dont nous ne parlerons pas. Compte tenu du lemme 4 et des propriétés de la fonction (14), que nous retrouverons dans [7], la deuxième partie du théorème 3 est une conséquence de la proposition suivante.
Compte tenu du lemme 3, cette proposition règle également la question de l'équivalence chez les bactéries. Pour éviter d'écrire des formules précises pour la théorie des fonctions elliptiques, il convient de le noter. Il nous faut la version plus précise de la première formule : il existe T ∈ C qui ne dépend que de k tel que.
Du lemme 5, du commentaire qui suit et des équivalences ci-dessus, il résulte que le tissu W[ snlx snly] par dilatation est équivalent à l'image du tissu W[snkx snky] par la symétrie σ. Un système différentiel associé aux tissus de la section précédenteDans cette section nous prouvons le résultat suivant.
Un syst`eme diff´erentiel associ´e aux tissus de la section pr´ec´edente
Sur les tissus polylogarithmiques
- G´en´eralit´es sur les tissus polylogarithmiques
- Tissus et configurations de points
Après avoir présenté les équations de Kummer K(4) et K(5) du tétra- et du pentalogarithme, nous précisons la notion de « tissu polylogarithmique » et expliquons pourquoi ce sont de bons candidats pour être des substances exceptionnelles. A l'aide des résultats obtenus en 5.1, nous pouvons commencer l'étude des deux tissus liés au. En scannant tous leurs sous-tissus, fourche fixée, à l'aide d'un ordinateur et en utilisant un critère simple essentiel pour qu'un tissu ait un rang maximum, nous montrons que chacun de ces deux tissus admet de nouveaux sous-tissus exceptionnels.
Dans la troisième section du chapitre, nous déduisons des résultats de 3.3 plusieurs nouvelles familles de substances k exceptionnelles, fork = 6 et k = 8.
Tissus exceptionnels et g´ eom´ etrie diff´ erentielle projective
- Notations et introduction historico-math´ematique
- G´eom´etrie diff´erentielle projective des surfaces et tissu de Segre
- G´eom´etrisation des 5-tissus exceptionnels
- Surfaces de Blaschke et tissus de Segre
- Exemples
Il permet de définir un 5-tissage canonique sur la surface CP5 qui satisfait certaines hypothèses génériquement vérifiées. Sa particularité intéressante est qu'elle nous permet de trouver la classe d'équivalence analytique de l'extraordinaire W à 5 tissus à partir de sa surface de Blaschke. Cela réduit ainsi l'étude des 5-tissus exceptionnels, équivalence analytique modulo, à l'étude de leur surface de Blaschke, équivalence projective modulo.
Ainsi, en faisant des considérations géométriques élémentaires sur leur surface de Blaschke, nous montrons que la plupart de ces substances ne sont pas équivalentes.
Sur la notion de tissu alg´ ebrique
- Introduction
- Quelques rappels sur les courbes alg´ebriques
- Une g´en´eralisation de la notion de tissu alg´ebrique
- Exemples de tissus exceptionnels G-alg´ebriques
- En guise de conclusion
Théorème 7.2.2 : Nous montrons que la substance Spence-Kummer WSK est exceptionnelle et nous décrivons toutes ses substances exceptionnelles. Notons que l’on peut montrer que la mesurabilité des Fi implique leur continuité en supposant uniquement les Ui de classe C2. C'est Abel qui en a fait une « méthode générale » et c'est pour cette raison qu'elle est appelée « méthode d'Abel ».
Par dérivation successive il est clair qu'au final nous devrons arriver à l'une des situations suivantes. La construction de cet opérateur différentiel montre que nous avons la notation P=PnPn−1. Mais nous vérifierons cela dans des cas plus précis, que nous étudierons ci-dessous.
Nous nous intéresserons principalement aux équations à deux variables, puisque c'est à ces équations que l'on peut associer un tissu. La nature de cette restriction ressort clairement de l’exemple suivant : supposons que nous ayons une équation ΣN1 aiLn(Ui) = cte. Puisqu’une substance Bol est hexagonale, on en déduit que l’on connaît toutes les substances sub-5 de WSK qui sont des substances Bol : ce sont les trois que nous venons de considérer.
Cette substance n'est pas linéarisée.(2) En revanche, elle est de rang maximal puisqu'on vérifie sans difficulté que la liste suivante est bien une famille libre à 6 éléments de relations abéliennes pour W. On commence par motiver l'étude de substances pouvant être connectées à des configurations ponctuelles. Du fait que nous connaissons une base explicite pour les relations abéliennes de Wa pour tout a ∈ A, nous.
C'est grâce à elle que l'on peut entreprendre l'étude des 5-tissus extraordinaires par des méthodes géométriques. Notez que nous pouvons construire un paramétrage explicite de la surface de Blascke une fois que nous avons une base claire pour l'espace des relations abéliennes. Si Z est un vecteur non nul de C6, il définit un point de CP5 que l'on note encore Z.
Algorithmes pour l’´ etude effective du rang et des relations ab´ eliennes
- La m´ethode d’Abel
- Calcul de la courbure et des coefficients de Pantazi
