Ce document est consacré à ce dernier modèle, qui traite donc de la mécanique des structures élancées. Cette propriété est essentielle pour démontrer l’unicité de la solution à un problème d’élasticité.
Éléments théoriques
Outre l'unicité de la solution, dans le sens de déplacement défini précédemment, le théorème suivant découle de la formulation variationnelle sur le déplacement. Parmi tous les champs AC, le champ de déplacement de solution minimise l'énergie potentielle de déplacement définie par W−Φ.
Résolution des problèmes d’élasticité
Le champ de contraintes doit vérifier les conditions aux limites associées aux contraintes et aux équations d'équilibre. Ωu = ∅, lorsque le champ de contraintes proposé satisfait les conditions aux limites sur les contraintes, les équations d'équilibre et les équations de Beltrami-Michell, c'est la solution contrainte du problème.
Principe de Saint-Venant
Proposer un candidat pour résoudre un problème est alors une étape délicate et il faut utiliser toutes les informations disponibles. Elles peuvent en effet conduire à la recherche d'une solution indépendante d'une ou plusieurs variables spatiales, ou à la vérification de propriétés de symétrie.
Chapitre
Problème de Saint-Venant
Il s’ensuit que les conditions aux limites ne peuvent pas être définies sous la forme classique. Il autorise donc une infinité de solutions car il est possible de définir une infinité de conditions aux limites statiques sur S.
Solutions élémentaires
La déformation de la ligne des centres de la surface est donc très bien approximée par un cercle de rayon /κ. Le cas de l'extension autour de l'axe e – cas de charge n° – est traité de manière analogue et il suffit de transposer les résultats précédents pour obtenir. Ainsi, pour une section circulaire de rayon
Il existe donc une analogie avec une réponse exionique pure, où les sections déformées restent droites et perpendiculaires à la déformation médiane. Ainsi, dans le cas d'une poutre élancée, l'action de la résultante des efforts par rapport à e et e est négligeable devant les effets d'étirement.
Dé nitions
Le problème de Saint-Venant, bien que simple dans sa géométrie et ses conditions aux limites, ces dernières étant définies par une rotation des forces sur les sections extrêmes, donne lieu à des calculs fastidieux avec une approche tridimensionnelle. Ce chapitre suit un schéma classique dans le cadre de la Mécanique des Continus, où le but est de mettre en place les différents éléments de la théorie des poutres, conduisant à la formulation d'un problème aux limites. L'exposé portera donc successivement sur la description de la cinématique, des déformations, des efforts internes et des équations locales qui les gouvernent, de la loi de comportement et enfin des conditions aux limites.
Transversalement à celle-ci sont définies les sections du faisceau dont le centre de la surface appartient à la ligne moyenne. Dans ce chapitre la présentation se limite aux barres dont la ligne moyenne est une droite, semblable à celle de la figure.
Hypothèses cinématiques
F .– Le maintien de l'angle droit entre la section et la ligne médiane est lié au déplacement de la ligne médiane. La comparaison de ce champ avec la solution élastique tridimensionnelle du problème de Saint-Venant révèle une approximation, conséquence de l'hypothèse du mouvement d'un corps rigide en section : les changements de sa forme sont négligés. Celles-ci peuvent être divisées en deux parties : celles dans le plan de la coupe et celles à l'extérieur de celui-ci et correspondant à la distorsion.
Notons enfin que pour ces deux requêtes, la cinématique (,) permet d'obtenir les déplacements et rotations totaux de la section. En comparant le champ de cisaillement précédent avec la solution du problème de torsion de Saint-Venant, on voit que la rotation de la section S est bien récupérée.
Déformations
Contraintes intégrées et efforts internes
De même, lorsque la normale externe −⃗e est considérée, le couple d'effort interne est noté [T→], et par le principe action-réaction [T→] = − [T →] si aucune tension n'est appliqué à la partie S. Le torse[T→]est désormais noté[Tint(x,⃗e)], où la notation(x,⃗e) désigne explicitement la dépendance indiquée de ce torse par rapport à l'abscisse de la coupe et l'orientation de l'extranormal. Le torse des efforts internes se décompose en un résultant⃗Rint(x,⃗e) et un moment résultant au centre de la surface M⃗int(x,⃗e).
La projection de la résultante et du moment résultant sur la normale à la section et dans le plan de la section conduit aux définitions suivantes ( := indique une définition). En effet, une fois la poutre divisée en deux sections, une répartition surfacique des efforts apparaît sur la section qui correspond par définition au vecteur contrainte σ·⃗n =⃗T(M, ⃗n) où⃗n est la normale externe.
Équations locales
F .– Conséquences du principe d'action de réaction sur le résultat des efforts internes, pour deux sections opposées. La résultante est notée ⃗q(x) et le moment résultant au centre de la surface de la section est m(x⃗).Cette section de la poutre, qui a été isolée de l'environnement d'origine, agit sur ses sections extrêmes de cohésion efforts, qui correspondent à des efforts internes.
Ceci est représenté schématiquement sur la figure ., où les forces et les moments agissant sur la section sont représentés séparément. En effet, dans D il existe des actions de couplage associées à ⃗uD = ⃗, qui génèrent donc une discontinuité dans le résultat des efforts internes.
Loi de comportement généralisée
Cette expression est en contradiction avec le résultat N = E|S|u, qui provient de la solution du problème de Saint-Venant pour le cas de l'attraction pure. Ceci vient du fait que les contraintes sont calculées à partir de l'expression des déformations issues de l'hypothèse de Navier-Bernoulli, qui néglige les déformations de la section dans son plan. Ils expriment l'effet Poisson, comme le montre l'expression (,) et comme l'illustre la figure.
En effet, une analyse des résultats du problème de Saint-Venant posé au chapitre montre que l'état de contrainte, quelle que soit la contrainte considérée (effort de traction, étirement pur ou simple, torsion) contre le plan, c'est-à-dire dites le formulaire. Ces relations sont identiques à celles obtenues en résolvant le problème tridimensionnel de Saint-Venant, en traction-compression (,) et exion.
Conditions aux limites
Ces conditions aux limites s'écrivent de manière générale : Conditions aux limites d'une poutre Navier-Bernoulli. Dans ces équations,⃗FdetM⃗représente la résultante et le moment résultant des efforts externes imposés sur les sections extrêmes, enn = ⃗n·⃗e où⃗est la normale externe à la section extrême. Toutes les conditions aux limites sont de type cinématique avec un deuxième membre nul.
Toutes les conditions aux limites sont de type force et moment imposé, avec n=− en et n = en ℓ, cf. Poutre supportée — dans le cas d'un problème dans le plan (⃗e,⃗e), il n'y a que trois conditions aux limites de chaque côté ( figure .), en supposant que la.
Bilan
Comme cela sera illustré plus loin, la résolution du problème (,) par la méthode de l'effort interne est généralement privilégiée. Par conséquent, les éléments théoriques suivants se limitent à une approche contraignante dans un repère tridimensionnel, c'est-à-dire, dans le cas d'une poutre, dans l'ensemble des efforts internes. L'ensemble des efforts internes étant unique, est le même pour les déformations généralisées⃗ε·⃗e et⃗κ.
La solution de déplacement est généralement unique à moins que les données cinématiques homogènes du problème – sur les conditions aux limites et les équations de discontinuité – permettent un déplacement total de la structure. Dans ce cas, comme dans l'élasticité tridimensionnelle, décrite dans la section .., le problème ne permet qu'une seule solution à condition que le couple des efforts extérieurs vérifie les équations d'équilibre global.
Résolution du problème
Les constantes d'intégration sont alors fixées par les conditions aux limites et les équations de discontinuité. Une fois qu'il y a discontinuités, ces équations doivent en effet être intégrées sur des intervalles sans discontinuités, puis relier les solutions obtenues en écrivant les équations de discontinuité du problème, ainsi que la continuité de toutes les variables cinématiques aux points de discontinuité. En intégrant les équations d'équilibre, ⃗Rint et M⃗int sont en fait définis comme un vecteur constant, sur chacun des intervalles ];xC[]xC;xD[ et]xD;ℓ[ .
Ceci s'applique également à ]xC;xD[ en utilisant les résultats sur ]xD;ℓ[ et les équations statiques de discontinuité dans D, qui donnent la valeur de ⃗Rint et M⃗int dans D−. Une fois l'enveloppe des efforts internes connue, toutes les équations (,) représentant les équations statiques du problème (,) sont satisfaites.
Dimensionnement
SσdS, dès qu'une composante de cisaillement n'est pas nulle, il en résulte une répartition de la contrainte de cisaillement sur la section. Cependant, il est important de souligner que les contraintes de cisaillement sont généralement négligeables par rapport à la contrainte normale, et ce d'autant plus que l'élancement de la poutre est important.
Introduction
Équations du problème
Ces constantes sont ensuite obtenues en utilisant les conditions aux limites en et ℓ, et les équations de discontinuité. Dans ce cas, deux grandeurs sont connues parmi RA, RB, ΓA et ΓB, les deux autres sont des actions de liaison liées aux deux autres conditions aux limites, qui sont cinématiques. P(ℓ−x) (,) Remarque— Étant donné que les deux conditions aux limites d'effort ou de couple dans cet exemple se situent en ℓ, il serait préférable de calculer l'équilibre global de la section de poutre[x] pour être pris en considération. ;ℓ]à partir des équations (,) et (,), qui donnent directement V et M à partir de RB=P et ΓB=.
Le système est donc hyperstatique, de degré h = (respectivement h = ), si l'on n'a pas (respectivement une) condition aux limites statique. Après que M ait été déterminé, la flèche est obtenue en intégrant deux fois la relation M = EIv,, et en tenant compte des deux conditions aux limites cinématiques qui n'étaient pas utilisées jusque-là.
Dé nition
Mise en équations
D'après les équations (.), les efforts exercés sur la poutre sont bien ceux de la figure. F .– Prise en compte de l'équilibre de la poutre Si N>, la poutre est en traction et sinon en compression. Le couple des efforts internes dans la tige est donc réduit uniquement à l'effort normal.
En revanche, la force normale est constante sur la barre, conformément à l'équation d'équilibre local (,), puisque⃗q=⃗ en l'absence d'efforts répartis sur la barre. D'après ce qui précède, les états de contrainte et de déformation dans une barre sont régis par la seule valeur de la force normale, qui est constante dans la barre.
Résolution d’un problème de treillis
Il faut donc ajouter des tirets ou des connexions pour revenir à l'un des deux cas précédents.
Exemple
Puisque le problème est dans le plan et que les trois équations (.) sont liées aux deux composantes de ⃗u, cela conduit à une relation dont la compatibilité géométrique est N+N =N, puisque le les barres inclinées sont a. Ensuite, grâce aux équations d'équilibre du nœud , N et N s'expriment en fonction de N et de la force extérieure F.
