Dans le chapitre trois, nous présentons le principe et les outils de la méthode multicentrique. Dans ce chapitre nous présentons les principaux outils utiles au développement de la méthode hybride que nous proposons.
Contexte d’étude et problème modèle
Contexte général et objectifs
C'est notamment la stratégie que nous adopterions avec CIVA pour calculer l'interaction entre la grande faille D1 et le conglomérat de failles D2 sur la configuration du diagramme 1.1. Pour développer et tester cette méthode, nous nous sommes placés dans un cadre de travail simplifié que nous décrivons maintenant.
Le problème modèle
Cette approche fréquentielle s'appuie sur la transformée de Fourier en temps des champs incident et diffracté, que l'on exprime (ces fonctions sont causales) par Ainsi, pour résoudre le problème non stationnaire (1.1), nous résolvons le problème (1.10) en régime fréquentiel et trouvons la solution temporelle uT =ui+u en utilisant la transformée de Fourier inverse (1.8).
État de l’art sur les méthodes de propagation en milieu complexe
Les méthodes numériques
La section suivante présente un état de l’art des méthodes pour résoudre le problème Thierry (2011)], DG (méthode des éléments finis Galerkin discontinue) Cohen (2013), Pietro et Ern (2010), Chung et Engquist (2006)) – constituent les méthodes de référence pour résoudre un problème physique modélisé par une EDP lorsque l'on ne peut pas accéder à la forme analytique de la solution exacte. Nous présentons dans le paragraphe suivant un ensemble de méthodes mieux adaptées à la simulation de la propagation haute fréquence.
Méthode de propagation approchées en milieu inhomogène
Elle étend donc l'approximation de Born, mais n'est pas valable pour prédire les effets de rétrodiffusion des ondes. Nous expliquons brièvement ici comment obtenir le champ dispersé dans une inhomogénéité par l'approximation de Rytov.
Une méthode asymptotique : la méthode des rayons
Le calcul de l'amplitude le long des rayons n'est pas si simple pour des milieux inhomogènes. Le premier inconvénient de la méthode des rayons est dû à la non-linéarité de l’équation eiconale.
Etat de l’art sur la modélisation de l’interaction d’un faisceau incident par un défaut
Les méthodes numériques
Enfin, l'approximation WKB suppose une régularité suffisamment forte de l'état initial de l'équation des ondes instationnaires afin de garantir une régularité suffisante de la phase et de l'amplitude du développement et donc de sa convergence (Rauch (2012)). Lorsque le milieu est stratifié (constitué d'une juxtaposition de milieux homogènes d'indices différents) ou présente une structure complexe avec des interfaces, l'interaction des ondes avec les interfaces est prise en compte par les matrices d'évolution des tubes à rayons traversant l'interface (Cerveny (2000 ) , Gengembre et Lhémery (2000)).
Les modèles d’interaction haute fréquence
Cependant, contrairement à la solution d’optique géométrique, indépendante de la fréquence, son coût de calcul augmente avec la fréquence. La théorie géométrique de la diffraction (GTD) est une généralisation de l'optique géométrique développée par J.B.
L’approximation de Born
Ainsi, trouver le champ marginal défini comme la différence des asymptotiques de la solution exacte et de la solution d'approximation de Kirchhoff revient à calculer un coefficient de diffraction de frange Df comme la différence des coefficients de diffraction GTD et Kirchhoff, . En pratique, l'approximation haute fréquence des champs ne permet pas de simuler des ondes rampantes.
La méthode des équations intégrales
- La fonction de Green
- L’identité de réciprocité
- Formule de représentation intégrale, potentiels et formules de trace
- Construction des équations intégrales
- La résolution numérique des équations intégrales
- Conclusions sur les équations intégrales
L'expression et la nature de l'équation intégrale dépendent donc de la condition aux limites appliquée au problème interne. Cela signifie trouver la solution de l’équation intégrale en chaque point de la surface sous la forme ρ=.
Le principe de réciprocité dans CIVA
La méthode des équations intégrales, très adaptée à la résolution de problèmes de diffraction en milieu infini, résout un problème de surface équivalent au problème initial. Deux méthodes de résolution numérique ont été présentées : la méthode Nystrom et la méthode Galerkin.
Stratégie du couplage BEM-Rayons : principe
D'autre part, les phénomènes de diffraction sont calculés par la méthode des équations intégrales pour décrire précisément la physique de la diffraction. L'approximation par rayons du champ incident sur le défaut est alors réduite à l'approximation par ondes planes du faisceau émis depuis la source vers le barycentre de l'obstacle.
Méthode de couplage barycentrique pour l’équation des ondes en milieu infini
- Les approximations des noyaux en 2D et cadre de validité de l’hypothèse de champ
- Approximation rayon des noyaux
- Approximation rayon du champ incident
- Construction du coefficient de diffraction pour la méthode barycentrique
En particulier, nous extrayons de cette étude des paramètres permettant de contrôler l’erreur relative d’approximation. Mais pour le moment nous utilisons ces résultats pour donner une augmentation du rayon d’erreur d’approximation du noyauK.
- Cadre de validité de la linéarisation de la phase du développement asymptotique
- Cadre de validité de la linéarisation de l’amplitude sur H ν,lin (1)
- Contrôle de l’erreur d’approximation des noyaux par leur approximation rayon
- Conclusion
FIGURE 2.10 – Evolution de l'erreur d'approximation du produit scalaire erps (en norme infinie) en fonction de ded. FIGURE 2.11 – Evolution de l'erreur d'approximation du rayon relatif de Kd (rouge), de H11 (pointillé noir) et du produit scalaire erps (bleu) en fonction de β.
Expérience numérique : calcul de la diffraction 2D par la méthode barycentrique
Validation de l’approximation haute fréquence du champ diffracté par la méthode
FIGURE 2.14 - Effet de l'erreur d'approximation du champ incident sur la précision de la solution du problème de surface. L'influence de l'erreur d'approximation du champ incident sur la précision de la solution du problème de surface.
Conclusion du chapitre
- Partitionnement
- Approximation du champ incident
- Résolution de l’équation de Helmholtz par équation intégrale
- Propagation du champ diffracté vers le récepteur
Sous couvert d'introduire un revêtement suffisamment fin, la méthode multicentrique découple le traitement des phénomènes de propagation et de diffraction. En effet, l'introduction de la partition de l'unité permet de décrire le champ incident comme la somme des contributions du champ incident à chaque sous-domaine.
Méthode hybride multi-centres pour l’équation des ondes en milieu infini
Les approximations des noyaux en 2D et cadre de validité de l’hypothèse de champ
FIGURE 3.7 – Evolution de l’erreur globale d’approximation multi-faisceaux de H0,dv1 par H0,lin1 en fonction de la fréquence et évolution de∑. FIGURE3.8 – Erreur relative locale d'approximation de H0,lin(1)pbyH0,radius(1)sur chaque sous-domaine en fonction de la fréquence f.
Approximation rayon des noyaux
Quant à la méthode barycentrique, nous augmentons l’erreur d’approximation du potentiel double couche de . Quant au deuxième terme, le développement entraîne (3.35). 3.38) Par conséquent, nous augmentons l’erreur d’approximation du noyau du potentiel double couche comme suit.
Construction de l’opérateur de diffraction
Nous avons vu au chapitre 2 que la précision de l'approximation en champ lointain du champ courbé est directement liée à la précision de K avec ˜K, qu'il est donc utile d'estimer a priori. Cette erreur est contrôlée en fonction de l'inégalité. Jusqu'à présent, nous avons étudié les approximations nécessaires à l'approximation en champ lointain de l'onde incidente cylindrique et des noyaux des potentiels à simple et double couche.
Expérience numérique : calcul de la diffraction 2D par la méthode multi-centres
Validation de la méthode dans le cadre de la mise en défaut de la méthode barycen-
Il y a une amélioration globale de la précision de l'approximation multifaisceaux du champ courbé en champ proche à mesure qu'il augmente. FIGURE 3.15 – Evolution du maximum et du minimum de l’erreur d’approximation multifaisceaux du champ courbé en fonction de P.
Méthode multi-centres et géométrie non strictement convexe : cas du cerf-volant
FIGURE 3.19 – Evolution de l'erreur d'approximation du champ incident en fonction de θ dans le cerf-volant pour P=8, P=16, P=40. FIGURE 3.22 – Evolution de l'erreur relative d'approximation de la solution de l'équation intégrale dans le cerf-volant.
Conclusion de chapitre
Reformulation matricielle du calcul du champ diffracté et complexité numérique
Chaque composante de la matrice Db nécessite donc la solution d'un problème d'intégrale de surface et l'évaluation d'une intégrale. Nous rassemblons dans le tableau 4.1 les résultats de l'étude de la complexité du calcul numérique du champ diffracté (4.9).
Approximation de rang faible et interpolation pour le calcul de la matrice de diffraction 123
Nous nous intéressons maintenant à la complexité computationnelle de la méthode barycentrique accélérée par la procédure en ligne-hors ligne. TABLEAU 4.2 – Détails de la complexité informatique des étapes hors ligne de la méthode barycentrique accélérée par la procédure en ligne-hors ligne.
Illustration de l’accélération de la méthode barycentrique et choix des paramètres
L’accélération
TABLEAU4.4 – Tableau des temps de calcul du champ diffracté (rΓ=λ), calculé avec la méthode barycentrique accélérée et non accélérée selon la méthode en ligne-hors ligne. A partir de ces résultats on remarque également que le temps de calcul de la méthode accélérée augmente avec n.
La précision de l’interpolation online-offline
L’approximation de rang faible
Accélération online-offline pour la méthode hybride multi-centres
- Reformulation matricielle du calcul du champ diffracté par la méthode multi-centres
- Calcul du champ diffracté et complexité pour N s sources et N r récepteurs
- Approximation de la matrice de diffraction par SVD et interpolation
- Algorithme de résolution par la méthode multi-centres accélérée par la procédure
TABLEAU 4.8 – Détails de la complexité du calcul du champ de diffraction ((4.35)) avec la méthode multicentrique. Choix du recouvrement et nombre de sous-champs : calcul de la position des centres de chaque sous-champ de recouvrement et de la division de l'unité (ηp)p=[1,P]dans laquelle on rejoint la matrice Eta.
Illustration de l’accélération de la méthode multi-centres et choix des paramètres
L’accélération
FIGURE 4.2 – Evolution du temps de calcul du champ de déflexion avec la méthode multicentrique, accélérée ou non, en fonction du nombre de directions d'âme. FIGURE 4.3 - Evolution du temps de calcul du champ de déflexion avec la méthode multicentrique, accélérée ou non, en fonction du nombre de directions d'âme.
La précision de l’interpolation
TABLEAU 4.11 – Tableau indiquant la précision de l'interpolation dans la méthode en ligne-hors ligne (multicentrique) en fonction du nombre de directions hors ligne n, lorsque P=5. TABLEAU 4.12 – Tableau indiquant la précision de l'interpolation dans la méthode en ligne-hors ligne (multicentrique) en fonction de la tanière, lorsque P=10.
L’approximation de rang faible
TABLEAU4.13 – Tableau indicatif de la précision de l'interpolation dans la méthode en ligne-hors ligne (multicentrique) en fonction de den, lorsque P=20. TABLEAU 4.15 – Evolution du temps de calcul et de la précision de l'interpolation lorsque le SVD est tronqué par un nombre décroissant de termes : multi-centresP=10.
Conclusion
- Approximation champ lointain du noyau de Green 3D et de sa dérivée normale
- Méthode barycentrique en 3D
- Modification des fonctions de partition
- Illustrations
Nous commençons par décrire l’extension de la méthode hybride dans le contexte de l’acoustique 3D. En particulier, nous détaillons l'approximation en champ lointain du noyau vert en 3D ainsi que la construction de l'opérateur de diffraction pour la version barycentrique de la méthode.
Description de la méthode hybride dans le cadre de l’élastodynamique 3D
- La propagation des ondes dans un milieu solide élastique 3D
- Représentation intégrale de la solution et problème de frontière
- Principe de la méthode barycentrique pour l’élasticité 3D
- Interaction des ondes élastiques avec des interfaces et conversion de modes
Selon [Alves et Kress (2002), p.4], la solution fondamentale de l'espace libre est exprimée en termes de solution fondamentale de l'équation de Helmholtz, G(k,x):= 1. Selon Dassios et Rigou ( 1997), est l'approximation en champ lointain de la solution fondamentale mobile écrite.
Conclusion
Le choix du couplage temporel BEM-rayons
La stratégie de jonction de rayons BEM en environnement confiné repose sur la résolution du problème de diffraction en régime temporel, afin de réduire le coût de calcul des rayons dans l'environnement. Dans le cadre de la méthode barycentrique hybride, l'approximation haute fréquence étudie la solution du problème de diffraction dans un milieu homogène infini, de bleuté, en régime harmonique.
La stratégie pour un obstacle à cœur
La première contribution est calculée selon les lois de l'optique géométrique en utilisant la méthode des rayons. La deuxième contribution est calculée comme la somme des rayons diffusés qui ont atteint les points d'observation pendant l'intervalle de temps.
La stratégie pour un défaut proche du bord
Et nous résolvons l'équation intégrale liée au problème de diffraction de l'obstacle Γ en étroite interaction avec Σ1, puis nous propageons le champ courbé sous forme de rayons en appliquant l'approximation en champ lointain de (6.7). Du point de vue de la propagation du champ courbé, cela revient à la propagation de la contribution de Σ1 sous forme de rayons.
Perspectives d’adaptation de la méthode hybride aux milieux inhomogènes
Discussion
Il est donc théoriquement possible, à partir de (6.17), de reformuler le problème de diffraction en régime harmonique pour un milieu de propagation inhomogène infini sous la forme d'un problème intégral de surface. Cependant, sa résolution est non seulement difficile à mettre en œuvre, mais aussi très coûteuse car le noyau de Green doit être obtenu numériquement en résolvant l’équation intégrale de volume (6.16).
Application de la méthode hybride pour la simulation de la diffraction par une fissure
Par conséquent, la méthode des équations intégrales est très médiocre pour résoudre des problèmes dans un environnement inhomogène. Dans la suite nous nous intéressons aux perspectives d’applications de la méthode hybride en milieux inhomogènes.
Deux types de milieux inhomogènes adaptés à l’application de la méthode hybride . 174
Nous présentons maintenant un exemple d'utilisation de la méthode hybride pour simuler la diffraction dans un milieu borné stratifié. Nous présentons ici une application de la méthode hybride dans le cas d'une configuration de diffraction au niveau d'un défaut de coeur dans un milieu homogène par morceaux, représentée sur la Figure 6.6.
Conclusion
Dans le chapitre trois, nous avons présenté le principe et les outils de la méthode multicentrique. D'autre part, nous avons discuté des perspectives d'applications de la méthode hybride pour résoudre la diffraction en milieux inhomogènes.
Fonctions de Bessel et de Hankel
- Fonctions de Bessel de première espèce
- Fonctions de Bessel de deuxième espèce
- Fonctions de Hankel
- Propriétés élémentaires
- Forme de la solution de l’équation de Helmholtz en domaine circulaire
Les deux familles génératrices de solutions pour l'équation de Helmholtz (A.1), Jp(kr) et Yp(kr) constituent une base de solutions pour cette équation. On obtient ainsi la forme générale de la solution à variables divisées de l'équation de Helmholtz homogène sur un disque, ou son complément R2\Ω¯.
Solution explicite du problème de diffraction
Champ incident de type onde plane
Onde incidente cylindrique
Le noyau vert 2D de l'équation de Helmholtz pour un domaine circulaire, de rayon, appliqué au couple (x,ξ) = (r,θ;ρ,θ′) est donné par Le noyau vert 2D de l'équation de Helmholtz dans le domaine circulaire, de rayon, appliqué au couple (x,ξ) = (r,θ;ρ,θ′) est donné par.
Noyau de Green du demi-espace
Il est possible d'utiliser d'autres règles de quadrature que (C.17) et (C.18), obtenues par d'autres approximations de l'intégrande. Dans cette annexe nous décrivons la construction de la partition de l'unité choisie pour l'implémentation numérique de la méthode multicentrique.
Construction de la fonction mère
Dans cette annexe nous nous intéressons aux propriétés de l'opérateur de diffraction R défini en fonction de S×S,. Deux étapes sont nécessaires pour cela, nous justifions d'abord que la solution Ψ de l'équation intégrale est L2(Γ) en utilisant les propriétés cartographiques conventionnelles, puis par Cauchy-Schwarz nous montrons que R est L2(S×S).