Un modèle pour la relaxation ferromagnétique critique J. Villain

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Submitted on 1 Jan 1968

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Un modèle pour la relaxation ferromagnétique critique

J. Villain

To cite this version:

J. Villain. Un modèle pour la relaxation ferromagnétique critique. Journal de Physique, 1968, 29 (4),

pp.321-328. �10.1051/jphys:01968002904032100�. �jpa-00206654�

UN

MODÈLE POUR

LA

RELAXATION FERROMAGNÉTIQUE CRITIQUE

Par

J. VILLAIN,

Service de Physique ^{du Solide et} de Résonance

Magnétique,

^{Centre d’Études} Nucléaires de Saclay

B.P. n° 2, 91-Gif-sur-Yvette.

(Reçu

^{le 14 octobye}

1967. )

Résumé. 2014 On propose ^un modèle

physique simple

pour ^rendre

compte

^de la relaxation

ferromagnétique

^au

point

^{de Curie}

Tc

^{et au}

voisinage supérieur

^de

Tc.

^{On trouve}

pour k ~

^{0 une}

loi de la forme :

~k(t) ~ S-k . Sk(t) > = ~k(0) F(tk5/2, ~/k)

qui

^{est en accord avec} d’autres résultats

théoriques [3,

4] .

Cependant,

les formes

plus précises

de notre modèle donnent une loi de relaxation non oscillante à toute

température

^{T ~}

Tc,

contrairement au résultat de Résibois

[4].

^{Nos résultats ne} semblent pas ^en très bon accord

avec les résultats

expérimentaux [6, 7].

^{On montre} que le modèle ^de diffusion ne

s’applique, pour k petit,

^que pour x ~ k, ^et aussi dans un espace de dimension ^03BD > 6.

Abstract. ²⁰¹⁴ A

simple physical

^{model is}

proposed

^to describe the

ferromagnetic

^relaxation

processes ^at the Curie

temperature Tc

^{and in the}

vicinity

^above

Tc.

^A law of the form :

~k(t) ~ S-k - Sk(t) > = ~k(0) F(tk5/2, ~/k)

is found for k ~ 0, ⁱⁿ

agreement

with other theoretical results

[3, 4].

^{x is Van Hove’s}

reciprocal

correlation

length.

However, ^further refinement of our model

yields

^a

non-oscillatory

^relaxation

law for k ~ 0 at any

temperature

T ~

Tc,

ⁱⁿ contradiction with Résibois

[4].

Our results do not seem to agree very well with

experiment [6, 7].

The diffusion model

[1, 2]

^{is shown}

to

apply only

^for x ~ k, ^{and also in a} space of dimension 03BD > 6.

I. Introduction. ^- Nous consid6rons _pour fixer les id6es un

syst6me ferromagnétique

^de

spins SR

^de

module s localises aux n0153uds R d’un reseau de Bra- vais. On d6finit la

composante

de Fourier :

ou N est Ie nombre de

spins.

^Nous voulons etudier ^en fonction du

temps t

la fonction de correlation :

pour T

sup6rieur

^ou

egal a

^la

temperature

^{de Curie}

Tc

et

pour k petit

^par rapport ^aux dimensions de la zone

de Brillouin.

Nous supposerons essentiellement

qu’il

^{existe un}

hamiltonien de

spins

^invariant par rotation de 1’en- semble de

spins,

^et pour

simplifier

^nous

postulerons

^un

hamiltonien de

Heisenberg :

Les

premiers

^auteurs

qui

^{ont abord6 le}

probl6me

ont

suppose [1, 2] que k (t)

^{est modifi6} par des ^tran- sitions successives des

Sk ind6pendantes

^entre

elles,

c’est-a-dire

qu’ils

consid6raient la relaxation de

Sk

comme un processus de Markov. Dans ^ce

mod6le, Yk(t)

^d6croit

exponentiellement pour t sup6rieur

^{a un}

«

temps

^de

f lip-f lop »

de l’ordre de

hljs.

La validite de ce modele au

voisinage

^de

T,

^{a 6t6}

mise en doute r6cemment

[3, 4, 5]

^{a la suite}

d’expé-

riences de diffusion

in6lastique

^{des neutrons}

[6, 7].

Nous nous proposons de donner ici une

interpretation physique simple

^des

phénomènes qui

^se

produisent

dans la

region critique.

¹¹

apparait

^{alors des mouve-}

ments collectifs de

spins qui peuvent

^{etre mis en} evidence par 1’artifice suivant :

Nous diviserons le cristal en cellules

ri

^{dont le}

cote I sera determine

ultérieurement,

^{et nous}

prendrons

comme variables les aimantations

Mi

^{de ces cellules.}

Soient rz le ^centre de

r;, N

⁼

lV Iv

le nombre de

spins

par cellule. v ⁼ 3 est le nombre de dimensions de

1’espace, v est

le volume de la maille vraie. Dans le

cas d’un cristal

cubique, auquel

^{nous nous limiterons}

ici,

^on definit aussi une «

pseudo-maille » cubique

de cote a et de volume

aV;

^{av = v} pour ^un reseau

cubique simple,

2v pour ^un reseau centre et 4v _pour

un reseau a faces centr6es.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002904032100

322

Pour

kl 1,

^on peut

écrire,

^{si N est le nombre} de

spins :

Nous voulons determiner les valeurs _moyennes

Mi(t)

des aimantations des

cellules,

^en fonction de t et des valeurs initiales

M;.

^Pour

cela,

^{nous allons chercher}

une

equation

d’evolution _pour les

Mi(t).

II.

Liquation

devolution du

syst6me.

^-

L’6qua-

tion la

plus simple qu’on puisse imaginer

^{est une}

equation

de diffusion :

où Kij

^{= 0 parce que} l’hamiltonien ^commute avec j

le

spin

^total.

L’6quation

^{de diffusion est vérifiée par}

exemple

dans les

syst6mes d’Ising

^{que sont les}

alliages

^bi-

naires

[8].

Elle 1’est aussi dans un

systeme

^{de Heisen-}

berg

^a

temperature

^infinie

pour t Z hj Js [2].

^Comme

elle n’est pas v6rifi6e

pour t hljs,

^on peut ^rem-

placer (5)

par :

ou :

L’équation (6)

^est satisfaisante _pour

Mi(t) petit quand

^les

Mi

^sont des scalaires. Pour des variables

vectorielles,

^{elle a} 1’inconvenient de ne pas tenir compte des rotations

possibles

^de

Mi(t).

Nous

ajouterons

^{donc a}

(6)

^{un terme destine a tenir}

compte

^{de ces} rotations. Ce terme

peut

^{etre mis en} evidence de la maniere suivante : on a dans le mod6le de

Heisenberg :

d’oii :

Nous allons faire ici une s6rie

d’approximations :

d’abord nous

remplaçons :

soit :

Ensuite,

^nous admettons que, pour R ^E

ri,

^{R E}

rj,

^les

deux valeurs

moyennes SR (t) > et ( SR, (t )

^-

SR (t) >

peuvent ^etre

exprim6es simplement

^en fonction de

M;(t)

^et

Mj(t)

^{de la}

faCon

^{suivante :}

Avec ces

approximations, 1’6quation (9)

^{s’6crit :}

où :

et ou : gij ^{= 1 si}

ri

^et

rj

^sont

adjacentes;

gij ⁼ 0

autrement.

Le coefficient z

pourrait

^{etre calcule}

directement,

mais il est

preferable

d’utiliser un artifice : nous

supposerons que deux

composantes

de Fourier seule-

ment sont non nulles :

et nous calculerons la valeur de

Sk+q;

^celle-ci peut

se

calculer,

^{soit a}

partir

^de

(4) (on

suppose

kl, ql 1)

et de

(10),

soit directement. On trouve que le coeffi- cient z est d6fini _{par :}

Pour des interactions entre

premiers voisins,

^{z est}

le nombre de voisins. z ⁼ _{2v pour} un reseau

cubique simple.

^{A titre de}

vérifications,

remarquons que, pour des interactions entre

premiers

^{voisins et I = a,}

1’6quation (10)

^{coincide avec}

1’6quation

du mouvement

vraie,

^et que d’autre

part,

^{si on}

remplace

^{les cellules}

par des cellules

plus grandes

^{de cote}

l’,

^on peut ^refaire le meme raisonnement en

remplaqant

^a par

/, JRR,

par gij, etc., ^{et on retrouve le resultat}

(10) qui

^est

donc coherent.

Nous verrons

cependant

que

1’6quation (10)

^sous-

estime la relaxation pour les

temps

courts, ^et par suite il est necessaire de combiner les

equations (6)

^et

(10),

ce

qui

^{donne :}

ou :

Les fonctions

K, (t, I, t)

^seront d6termin6es de

faqon

« self-consistante » par le fait que, pour

kl 1, Yk(t) peut

^etre d6termin6e a

partir

^de

(4)

^et

(13)

^et

doit itre

independante

^{de l.}

Evidemment,

la determination de

y,(t)

^necessite

aussi celle de

Yk(0),

donc celle des fonctions de corr6-

lation ( Mi Mj ).

^{Nous allons}

proc6der

^{a cette d6ter-}

mination,

^en

élargissant

^un peu ^le

probl6me

^{en vue}

de nos besoins ult6rieurs.

L’équation (13)

^est

1’6quation

fondamentale de notre

modele. 11 faut remarquer que le

premier

^{terme du}

second membre

depend

^de

façon critique

^{de la}

temp6-

rature

(freinage thermodynamique [1]),

^alors que le

premier

^{terme n’en}

depend

pas; la raison en est que, si l’on consid6re un

syst6me

^{de deux}

cellules,

^le

premier

^{terme ne} provoque

qu’une precession qui

^ne

modifie pas l’entropie

^du

système

des deux cellules.

III. Ddtermination des fonctions de corrdlation des

Mz.

^- Nous admettrons que :

mais les r6sultats obtenus seront vrais

pour t

^{= 0}

.

independamment

^{de cette}

hypoth6se,

^{si on fait :}

Dans

F approximation

^du

champ moléculaire,

^{on a :}

avec :

et on deduit de

(15) :

d’ou on tire sans difficulty :

Les diverses

fonctions f

^{sont sans dimension.}

En

particulier,

^{on trouve sans} difficult6 _que la

quantité : est definie par :

avec :

On a en

particulier

pour v ⁼ 3 :

Pour determiner les fonctions de correlation à

plus

de deux

Mü

^nous utiliserons

l’approximation

^des

phases aleatoires,

^dans

laquelle

^{on a} par

exemple :

On ^a utilise

(20).

D’une

façon g6n6rale,

^toute fonction de correlation comportant ^{2n variables}

Mi

^est

6gale

^a

(D212+*,)n multipli6

par ^une fonction de xl.

Tous ces résultats sont valables _{pour I} >> ^{a. Les} formules

(15)

^à

(20)

^{sont valables}

pour t

^{== 0 ou}

pour

t » hj Js.

Intéressons-nous

particulièrement

^{à la} fonction de corrélation entre cellules

premi6res

voisines. On a :

soit,

^{dans un} espace a trois dimensions :

ATe, l’angle

moyen ^entre

Mi

^et

M,

^est

independant

de I et vaut environ 660.

Dans ^un espace A v

dimensions,

^on

peut

^{obtenir un} ordre de

grandeur

^de

Mi . Mj

^{en 6crivant :}

et en donnant

a ( (Mi

⁺

M )2 ) la valeur,

visiblement

surestim6e, M2(21/v l).

^{On trouve :}

IV.

Propridtds

dimensionnelles de la relaxation

ferromagnétique critique.

^- Faisons les

changements

de variables :

et posons :

L’équation (13)

^{s’6crit :}

La solution est de la forme :

D’ou :

On deduit de

(28)

^et

(24)

que, si

Hij

⁼

Hij (0, xl)

ne

depend

que de

0,

^{de xl et de}

(ui

^-

u,) (ou

ui ⁼

ri/1),

^{mais non}

explicitement

^de

l,

^les expres- sions

(29)

^et

(30)

^ne

dependent

pas ^non

plus

^{de l.}

De

(30)

^et

(4),

^{on deduit :}

F ne doit 6videmment

d6pendre

ⁿⁱ

de l,

^{ni de kl.}

La

premiere

^{condition est} v6rifi6e si

Hij

^ne

depend

que de

6,

^{kl et}

(ui

^-

uj).

^{Les fonctions}

Hij(0, kl)

devront etre telles

que F

^ne

d6pende

^{pas non}

plus

^{de kl.}

La formule

pr6c6dente

s’ecrit alors :

324

En

particulier,

^au

point

^{de Curie et pour v = 3 :}

Le

temps

^de relaxation est inversement propor- tionnel a k5/2. Les r6sultats

(31)

^et

(31 bis)

^{sont en}

accord avec ceux des references

[3, 4]

^{dont nous avons}

donc donne ^une

interpretation physique simple.

^Ils

ne sont corrects que

pour k >> 1/ a

^{et t )}

a5/2/ rJ..b D,

parce que nous avons utilise les formules du para-

graphe IV,

valables pour 1 » a

(1).

La transform6e de Fourier :

est de la forme :

REMARQUE

SUR LE ROLE DE LA DIMENSION DE L’ES-

PACE. ^- Les r6sultats

precedents

^{ne sont valables} que

lorsque

les processus collectifs decrits par le

premier

membre de

(28) produisent

^une relaxation

plus rapide

que les _processus al6atoires

expliqu6s

dans les r6f6-

rences

[1]

^et

[2].

^A

Tc,

^les

temps

de relaxation dus

aux processus collectifs ^{et aux} processus aleatoires

sont

respectivement proportionnels

^{a k-I-v/2 et a k-4.}

Les formules

(31)

^a

(32)

^{ne sont donc correctes} que si 1 +

vj2 4,

^{donc si :}

Pour v > 6,

le second terme de

(28)

^{sera le seul}

important

pour I suffisamment

grand,

^et d6crira des processus

purement

al6atoires.

Cependant,

^le temps de relaxation pourra etre

quantitativement plus

^court

que celui

indique

dans la reference

[2].

Ces considerations ne sont pas ^sans intérêt en raison de 1’existence de methodes

qui

deviennent

rigoureuses

a la limite v --->- oo

(cf. [4]).

Tous les r6sultats de ce

paragraphe peuvent

^etre v6rifi6s par des m6thodes

approchees,

mais donnant des r6sultats

plus

concrets, ^comme celle que ^nous allons exposer maintenant.

V. Une solution

appr0Ch£e.

^-

Remarquons

^tout

d’abord que, si ^on

neglige

^le

premier

^{terme de}

(13),

on trouve :

(1)

^{A la}

temperature

^Tc, pour v ⁼ 3 et dans

l’approxi-

mation du

champ

moléculaire, 1’6tat

d’équilibre

^{est d6fini}

pour des

spins classiques par :

B,

On obtient

l’équation (19), qui

^{s’écrit ici :}

en

n6gligeant

^{le second terme} du second membre de

(a).

Cette

approximation

^est

justifi6e

^{a 10}

% pres

^{si on}

prend SRIs - lIV6,

^soit,

d’apr6s (b), R >

^3a.

ou :

APPROXIMATION I. ^- Pour

kl 1,

^{on admettra}

la validite du

d6veloppement

^de

Taylor :

ce

qui

suppose que la

port6e

^des

Kij

^est

finie;

^c’est

une

approximation

contestable a

Tc,

^{mais usuelle.}

On a alors :

Cette relation est valable si on

n6glige

^le

premier

terme de

(13). Inversement,

^{si on}

n6glige

^{le second}

terme, ^on

peut, pour t petit, prendre

^une loi de relaxa- tion

gaussienne :

traitant ainsi

1’6quation (10)

^{comme Mori et Kawasaki}

ont traite

1’6quation

^{du mouvement} vraie. Utilisant

1’6quation (17)

^et

évaluant S-k. Sk >

^au moyen de

(10)

^{et de}

(25)

^dans

l’approximation

^des

phases aleatoires,

^{on met}

1’6quation pr6c6dente

^{sous la forme :}

Cette

expression

^{est valable}

jusqu’au temps :

qui

^{est le}

temps

n6cessaire pour que les

Mi

^tournent

d’un

angle appreciable ;

c’est aussi le

temps

^n6cessaire pour que devienne

appreciable

^{le terme du}

quatri6me

ordre dans le

d6veloppement

^de

Taylor

^de

Yk(t)’

Ce temps ^est 6videmment

1’analogue

^du

temps

^de

flip-flop hljs

mentionné dans

[2]. YJ

^{devrait 6tre de}

l’ordre

de 1 (2) pour v = 3.

4

(2)

p

APPROXIMATION II. ^- Pour t

Ti(/),

^{nous admet-}

trons que le

rapport Yk(t)/Yk(0) est egal au produit

des valeurs

(33)

^et

(34)

^{obtenues en}

n6gligeant

respec- tivement le

premier

^{et le second terme du second}

membre de

(13) :

pour

(2)

La valeur moyenne du vecteur E gij

Mj, qui

^inter-

j

vient dans

(10),

est, ^{si on}

n6glige

les corrélations :

M;

^aura donc tourne en moyenne de

n/6

^{dans un}

temps

de l’ordre de :

Comme le second membre doit etre

independant del,ona:

Les second membres sont des fonctions a determiner.

On _a,

d’apres (36)

^et

(37) :

11 est maintenant n6cessaire d’examiner la

signi-

fication

physique

^{des deux termes} du second membre de

(13).

^Le

premier

^terme decrit des processus collec-

tifs,

^{et nous} pouvons supposer

qu’il

^{contient tout}

l’aspect

collectif de la

relaxation,

^{de sorte} que le second terme decrit des processus

purement

^marko- viens. Cela

signifie qu’au-dela

^d’un

temps To(l, x)

^les

d6riv6es par

rapport

^au

temps Àl(t, x)

^et

fJ-l(t, x)

^sont

ind6pendantes

^{de t comme dans le} modele marko- vien

[2],

^l’ecart par

rapport

^au modele markovien 6tant contenu

uniquement

^{dans le}

premier

^{terme du}

second membre de

(13).

L’ordre de

grandeur

^de

To(l, x)

^{sera le}

temps

n6cessaire pour que les

Mi

^tour-

nent d’un

angle appreciable,

c’est-a-dire

Tl(l) ;

^et

pour

pouvoir appliquer

la formule

(38),

nous sommes

amenes a supposer

70(l, x) 5 rl(l).

^Nous

énonçons

donc

I’hypoth6se :

HYPOTHESE I. ^- Les d6riv6es secondes _par

rapport

au

temps ii(I, x)

^et

filet, x)

s’annulent au bout d’un

temps ’ro(l, x) 5 rl(l).

On deduit alors du

syst6me (37) :

Les conditions initiales sont :

et on deduit donc de

(39)

^et

(37)

les relations :

qui expriment

^{dans la}

pr6sente

theorie le

freinage thermodynamique [1].

11 nous suffit donc de connaitre

[L(t, x) ;

pour I

» a,

on trouve, ^en faisant t ⁼

rl(l)

^dans

1’equation (39 b)

et en utilisant

(22)

^et

(35),

que

V,(t, x)

^{est d6fini} par le

système

differentiel :

où 10

^{est d6fini} par

(23).

^La seconde de ces

equations

permet

^en

principe d’exprimer

^{xl comme fonction}

de ocb

DtxI + V/2/YJ,

^{de sorte que le}

systeme precedent

^se

reduit a

1’6quation :

ou la fonction

ro

^a pour formes

asymptotiques :

Laissant au lecteur le soin de verifier pour v > 6 les

previsions

^du

paragraphe VI,

^nous ferons d6sor- mais v ⁼

3,

^{4 ou} 5. D’autre part, pour la clart6 de

1’expos6,

^nous n’examinerons _que les cas limites :

6tant entendu que ka ^{et xa restent}

toujours

^tres

inferieurs a 1. Pour k N _x, on pourra utiliser des formules

d’interpolation.

VI. Relaxation

pour k

^{x. - Il est alors}

possible

de choisir I de

faqon

que :

xl »

^1. Consid6rons des

temps

tels que :

Dans ces

conditions,

^les

premiers

membres de

(39)

sont

n6gligeables d’apr6s (22)

^et

(23),

^{, et} les seconds membres le sont

6galement d’apr6s (43)

^et

(44).

L’hypoth6se

^{I est} alors v6rifi6e sur un

grand

^intervalle

de

temps :

^on

peut prendre

pour

To (l, x)

^une

quantite

de l’ordre de

X-1-1112 lb

^{D. La} solution de

1’6quation (43)

est, pour les temps consideres :

ou on a

n6glig6

^{une constante}

d’intégration. L’6qua-

tion

(38) s’6crit, compte

^{tenu de}

(40) :

avec :

La raison

physique

^{de cette forme}

exponentielle

^est

claire : tout

I’aspect

collectif de la relaxation

apparait

si on

prend

^I

6gal

^{a la}

longueur

de correlation

-rclx,

et la relaxation devient markovienne

pour t >

Tl

(rc/x).

Pour cette

raison, l’équation (45)

^{doit etre consideree}

comme valable

quel

que

soit t x-l-v/2Ib D,

^{et non}

pas seulement

pour t ’r 1 ( l) .

La formule

(46)

^{est en accord avec les r6sultats}

de Kawasaki

[3], qui pr6voit

^{une constante de diffu-}

sion

proportionnelle

^a

ilx

pour v ⁼ 3.

Il est

important

de remarquer que ^nos

approxima-

tions et nos

hypotheses

^sont

particulièrement justifi6es

dans le cas considere ici : nous venons de voir que

l’hypothèse

^I

possède

^{une base}

physique

^tres

solide;

l’approximation

^II

se justifie

par le fait que les expres-

326

sions

(33)

^et

(34)

^{sont tres} voisines de

1; enfin,1’ap- proximation

^{I ne fait}

qu’une

^avec

l’approximation

famili6re

(17),

^{comme le montrent les formules}

(36)

et

(37).

VII. Relaxation pour x k. ^- C’est

toujours

^le

cas pour ^{T =}

T,. Compte

^{tenu de}

(44 a),

la solution de

(43)

^est pour I » ^{a et v} 6 :

Utilisant

(40)

^et

(38),

^on peut ^{en d6duire}

C?k(t)

pour t

il(l).

^{On a} donc interet a choisir L le

plus grand possible. Malheureusement,

^{il est} 6videmment

impos-

sible de choisir I >

7tlk,

^car

1’6quation (4)

deviendrait totalement

incorrecte;

remarquons

qu’elle

^{reste cor-}

recte

pour k

⁼

Tcll,

^en

multipliant

le second membre par ^un coefficient

appropri6.

L’équation (47)

^nous

permet

^{donc de connaitre}

C?k(t)

pour

t;S ’r1(7tlk).

^{Pour t}

== ’r1(7tlk),

^les

Mi

auront

appréciablement

^{tourne et on} peut ^considerer que le

syst6me

devient markovien.

HYPOTHESE II. ^- La relaxation

ferromagnétique critique

^devient

exponentielle

pour :

L’emploi

^d’un

parametre YJ’ -# YJ

^se

justifie

par le fait _que les formules

(33)

^a

(37)

^{doivent etre}

quanti-

tativement

corrig6es lorsque kl

^devient de l’ordre de 7t.

YJ’ devra

^{donc etre un} peu inferieur _{a YJ.}

L’hypoth6se

^{II se}

justifie

^{par le fait} que

1’angle

moyen ^entre les aimantations de deux cellules voisines

est considerable

(cf. § III).

^{Elle est surement incorrecte}

pour

T Tc (cf. § VIII).

L’hypothèse

^{II est} totalement

incompatible

^{avec les}

r6sultats de R6sibois

[4].

Compte

^{tenu de}

(47), (40), (38)

^{et de}

l’hypothèse II,

on a :

Le facteur

0,58 correspond

^{au cas v = 3. Les}

param6tres

^{u et Tk se} determinent en 6crivant la conti- nuit6 de

cpk(t)

^{et de}

cpk(t) :

Une

quantite importante

^{est le}

rapport :

qui,

^{si on}

prend 71’ ;:: -

^~

1/4,

^est de l’ordre de 1’unite.

Si on ne s’int6resse

qu’a

^la relaxation

pour t grand,

c’est-a-dire a sa

partie exponentielle,

^on

peut

regrouper les formules

(45)

^et

(48 b)

^{en 6crivant :}

ou u varie de 1

(pour xlk = oo )

^{a la valeur}

(50), qui

est de l’ordrc de

2,

pour

x/k

⁼ 0. Les valeurs extremes de

T(k, x)

^{et de}

r,,(k, x)

^{sont donn6es par} le tableau suivant :

Pour les valeurs intermédiaires de

xlk,

^on peut proposer ^les

interpolations

suivantes :

oil a, b, a’,

^{b’ sont} des nombres.

La transform6e de Fourier de

(52)

^sera essentielle-

ment une lorentzienne

tronqu6e :

ou la

frequence

de coupure

CiJc(k, x)

^{sera en gros}

inversement

proportionnelle

^a

T, (k, x).

Remarque.

^{- Revenons sur}

l’approximation

^{II. Elle}

n’est 6videmment raisonnable _que si la fonction de correlation :

varie peu dans l’intervalle

[0, Ti(/)].

Nous allons voir

qu’il

^{en est bien}

ainsi,

^{meme en tenant}

compte

^du second terme du second membre de

(13).

Posant

f(tql+"12)

⁼

y,(t)/y,(O),

^{on a :}

On peut ^tres

grossi6rement

^{assimiler la fraction à}

une fonction cr6neau valant

2013 1/3 quand I’argument

est inferieur a

37r/4

^{et 0}

au-dela ;

^{la valeur}

3n/4

^est

telle que la valeur obtenue soit ^correcte

pour t

^{= 0.}

Dans cette

approximation,

^{on a :}

La valeur maximale de

I’argument

^{est :}

Donc, compte

^{tenu de}

(48),

³

l’intégrant f

^n’est pas inferieur a : : exp ^-

0,58 1J2 a;2(27t2 a;2)4. L’exposant

est de l’ordre de ^-

1, mais,

^{comme il varie} avec q

proportionnellement

^a

q4,

^on

peut

considerer

1’ap- proximation

^{II comme}

qualitativement

satisfaisante.

COMPARAISON ^AVEC L’EXPERIENCE. ^- On peut ^etre tent6 de conclure imm6diatement de la formule

(49)

FiG.l.

Relaxation

f erromagnetique

^a

Tc

^{dans la}

presente

^th6orie.

que l’accord de la theorie ^avec

l’expérience

^{est satis-}

faisant,

^{dans la mesure ou} le facteur kl + v/2 ⁼ k5/2

peut

etre confondu avec un facteur k2. 11 faut

cependant

etre tres

prudent,

^car

l’expérimentateur

^{ne mesure}

que

1’elargissement

par diffusion d’un spectre ^incident

qui

^est

large

par

rapport

^{a son}

élargissement.

^La

presente

^{theorie ne semble}

pouvoir expliquer

^les

r6sultats

expérimentaux qui

^{si on attribue}

a ’yj

^une

valeur tres

petite,

^ce

qui

^ne

parait gu6re justifi6.

^Nous

reviendrons sur cette

question

^{dans un} article ult6rieur.

TEMPERATURES INTERMEDIATES. ^- Les

temp6ra-

tures

trop

^6lev6es pour que la formule

(45)

^{de Kawa-}

saki soit

applicable,

^et

trop

faibles pour que la theorie markovienne

[1, 2]

^soit

valable,

^{ne sont} pas essentiel- lement hors de

port6e

^{de la}

presente th6orie,

^{mais les}

r6sultats du

paragraphe

^{III ne} peuvent ^etre

appliques,

de ^sorte

qu’on

^ne

peut

obtenir de formules

analytiques simples.

VIII. Possibilite d’une relaxation oscillante. ^{- Nous}

avons

indique

^au

paragraphe

VI que la valeur 6lev6e de

1’angle

moyen ^entre les aimantations

Mi

^et

Mj

^de

deux cellules voisines semble

permettre

^d’6carter 1’eventualite d’une relaxation oscillante au

point

^de

Curie

pour k petit;

^a

1’appui

^{de cette}

hypothèse,

^on

peut indiquer

que

1’angle (M;, Mj)

^{augmente avec v}

(il

^vaut

Tc/2

pour

v = oc)

^et

qu’en

effet la relaxation n’est surement pas oscillante pour v >

6,

^ainsi

qu’il

resulte du

paragraphe IV,

^et aussi des formules

(38)

et

(43),

^comme le lecteur _pourra le verifier.

Par contre, si ^nous faisons T

T c,

^les

spins

s’orientent suivant une certaine direction

Oz,

^avec

SR >

^{= S. Pour T} peu inferieur a

Tc,

^on

peut

^utiliser les r6sultats du

paragraphe III,

^{et on trouve :}

d’où :

Si on

prend

des cellules de cote 1 ⁼

-rrlk,

^{et si on}

admet que la relaxation devient oscillante des que

1’angle (Mi. Mj)

devient inferieur a une certaine

valeur,

^on voit que la relaxation deviendra oscillante au-dessous de

T c

^{si k est inferieur a une} certaine valeur

qui

^{est dans}

l’approximation

^du

champ

mol6culaire :

Si on

admet,

conformément semble-t-il aux r6sultats

expérimentaux [9, 10],

que la relaxation

peut

^etre oscillante a

T, pour k grand,

il faut admettre que la fonction

k osc (T)

devient une fonction croissante de T

pour k grand;

^{ceci est} d’ailleurs en accord avec des

previsions

^{basees sur} la consideration du

d6veloppe-

ment de

Taylor

^de

({)k(t) [11].

Ceci nous amene a considerer comme vraisemblable le

comportement

de la fonction

kosc indique

^{sur la}

FIG. 2. ^-

Region

^de relaxation oscillante dans le

plan (T, k).

^{On a utilise la}

presente

^th6orie

pour k petit,

et,

pour k grand,

^{les donnees}

experimentales

^et

theoriques

des references

[9,

^10,

11].

328

l c

^T

FIG. 3. ^-

Region

de relaxation oscillante dans le

plan ( T, k )

^{dans la} theorie de Resibois

(r6sultats qualitatifs).

figure

^{2 et}

qu’on peut comparer a

^la

figure 3, qu’on

deduit de la theorie de Resibois

[4].

Remarquons

^une difference

importante

^{entre les}

oscillations collectives de

spin

^observ6es

pour k petit,

les fluctuations de

Mi

^sont

petites

par rapport ^{a leur} valeur moyenne, ^et le

systeme

^des

Mi

^{est tres}

analogue

a un

syst6me

^de

Heisenberg

^{a tres basse}

temperature ;

on peut ^donc

parler

d’ondes de

spin;

^le

temps

^de

relaxation de

?k(t) depend

essentiellement du

temps

de vie des ondes de

spin

^{de vecteur d’onde}

k ;

^{les oscil-}

lations se

poursuivent jusqu’a

^{t == 00, et la courbe}

(Dk(W)

^se compose de deux lorentziennes.

Au

contraire, pour k grand

^{dans la}

region critique,

les oscillations ne naissent que de l’ordre ^{a courte}

distance;

^au bout d’un certain

temps,

les oscillations de

?k (t)

cessent et on

peut

^montrer que

Dk(ú))

^se

compose de deux

gaussiennes [12].

’

Remerciements. ^-

Je

^{remercie MM.}

Jacrot,

^Cri-

bier,

Konstantinovic et

particulierement

^{M. Parette}

pour 1’aide

qu’ils

^m’ont

apport6e.

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