Modélisation par la méthode des éléments discrets du comportement élastique de milieux continus hétérogènes

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Modélisation par la méthode des éléments discrets du comportement élastique de milieux continus hétérogènes

Hamza Haddad, Willy Leclerc, Mohamed Guessasma, Nabil Ferguen, Christine Pelegris, Emmanuel Bellenger

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Hamza Haddad, Willy Leclerc, Mohamed Guessasma, Nabil Ferguen, Christine Pelegris, et al..

Modélisation par la méthode des éléments discrets du comportement élastique de milieux continus hétérogènes. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. �hal- 01517277�

CSMA 2015

12e Colloque National en Calcul des Structures 18-22 Mai 2015, Presqu’île de Giens (Var)

Modélisation par la méthode des éléments discrets du comportement élastique de milieux continus hétérogènes

H. Haddad¹, W. Leclerc², M. Guessasma², N. Ferguen², C. Pélegris², E. Bellenger²

1LAMFA, Université de Picardie Jules Verne, hamza.haddad@u-picardie.fr

2LTI, Université de Picardie Jules Verne, {willy.leclerc,mohamed.guessasma,nabil.ferguen,christine.pelegris, emmanuel.bellenger}@u-picardie.fr

Résumé — La méthode des éléments discrets s’avère une approche adaptée pour la simulation du comportement mécanique de milieux continus homogènes pour lesquels des phénomènes locaux tels que l’endommagement et la fissuration interviennent. Dans cette communication, nous nous intéressons aux milieux continus hétérogènes pour lequel un travail important de validation reste encore à réaliser.

Nous nous limitons au domaine de l’élasticité linéaire en 2D et considérons le cadre des éléments discrets cohésifs qui couple le modèle particulaire à un modèlelattice de type poutre. Des tests de validation sont réalisés et des comparaisons effectuées avec des méthodes classiques d’homogénéisation pour différentes configurations et contrastes de propriétés.

Mots clés— Méthode des éléments discrets, matériaux composites, propriétés élastiques, homogénéisa- tion.

1 Introduction

Le comportement thermomécanique des matériaux homogènes ou hétérogènes est usuellement simulé à l’aide de méthodes basées sur la mécanique des milieux continus. Les phénomènes intervenant au sein du matériau comme la fissuration ou l’endommagement nécessitent une prise en compte naturelle des discontinuités induises par des interfaces de forme géométrique souvent complexe. Les modèles discrets se révèlent donc mieux adaptés pour simuler ce type de phénomène. Afin de modéliser un domaine continu à l’aide d’éléments discrets, une méthodologie consiste à associer au modèle particulaire un modèlelattice [5] permettant de simuler la cohésion entre les élements discrets, généralement de forme sphérique en 3D, ou cylindrique en 2D. La liaison peut être réalisée à l’aide d’éléments de typeressort mais il a été montré que le modèlepoutre permet une meilleure simulation des géométries de fissuration [7]. Ainsi, André et al. [1] ont récemment utilisé cette approche afin de modéliser le comportement mécanique au sein d’un milieu continu homogène, et Haddad et al. [4] l’ont couplé avec la méthode des éléments finis pour simuler le transfert thermique par conduction. Notre objectif est d’adapter et valider le modèle hybride particulaire-lattice pour les matériaux continus hétérogènes. Dans le cadre de cet article, nous nous limitons au domaine de l’élasticité linéaire avec des liaisons parfaites aux interfaces.

Deux configurations 2D sont étudiées, le cas d’une inclusion circulaire noyée au sein d’une matrice, et celui d’un composite particulaire. Des tests de validation sont réalisés et des comparaisons effectuées en termes de propriétés et de contraintes avec d’autres approches numériques et analytiques.

2 Cas d’un milieu continu homogène

2.1 Modèle de poutre 2D

Nous considérons le modèle hybrideparticulaire-lattice pour lequel les particules sont représentées par des cylindres droits parallèles et les intéractions entre particules par des poutres de longueurLµ, de mo- dule de Young E_µ, de section droite A_µ et de moment d’inertie I_µ. Nous supposons un contact entre particules cohésif sans critère de rupture. Le modèle de poutre considéré ainsi que les intéractions asso- ciées entre deux particules i et j sont décrits ci-dessous :

E , I , r

µ µ

R

Rj i

e

µ µ

L

h

i j

FIGURE1 – Modèle de poutre 2D





 F_n^i→j F_t^i→j M_i^int_→j





=







EµAµ

Lµ 0 0 0

0 ^12E_L3^µIµ µ

6EµIµ

L²_µ

6EµIµ

L²_µ

0 ^6E_L^µ2^Iµ µ

4EµIµ

Lµ

2EµIµ

Lµ











 uⁱ_n−un^j

u_tⁱ−u_t^j θi

θj







où Fn^i→j,F_t^i→j etM_i^int_→j sont respectivement les efforts d’intéraction normal et tangentiel, et le moment d’intéraction de la particuleisur j.θi,j,u^i,n^jetu^i,_t ^jreprésentent respectivement la rotation et les déplace- ments normal et tangentiel. La section droiteA_µest rectangulaire de côtéeeth, oùhdépend des rayons des particules en intéractionRietRj et d’un paramètre strictement positifrµ=_R^2h

i+Rj. 2.2 Calibration et validation

Les paramètres macroscopiques du milieu continu homogène sont déduits des paramètres microsco- piquesEµ etrµ à l’aide d’un test de traction quasi-statique lequel mène à la détermination du module de Young macroscopique EM et du coefficient de Poisson νM. Des abaques ont été construits afin de déterminer le comportement local à partir des paramètres macroscopiques. Les tests effectués ont été réalisés à l’aide d’empilements granulaires aléatoires générés par la méthode de compression isotropique des parois au sein d’un domaine rectangulaire d’élancement 4,78. Nous avons opté pour des systèmes discrets polydisperses lesquels sont moins sujets aux effets d’anisotropie. La fraction surfacique occupée par les cylindres est proche de 87% avec un nombre de coordination proche de 4,5 ce qui correspond à un random close packing en 2D [3]. Afin d’assurer l’isotropie du système, le nombre de particules a été fixé à 15000 après étude de la distribution des angles de contact. Les Figures 2 et 3 décrivent une évolution

FIGURE2 – Evolution deE_Men fonction der_µ FIGURE3 – Evolution deνMen fonction der_µ quadratique des paramètres macroscopiquesEM etνM en fonction derµ. Les résultats sont similaires à ceux de André et al. [1] obtenus dans le cadre de particules sphériques en 3D. Afin de valider la méthode de calibration, des essais quasi-statiques de traction ont été menés à la fois sur les modèles discret et continu de type éléments finis. Les Figures 4 et 5 illustrent l’évolution au cours du temps de la réac- tion sur le bord encastré et du déplacement sur le bord sollicité pour un milieu homogène de paramètres EM=65GPaetνM=0,247.

FIGURE4 – Réaction en fonction du temps FIGURE5 – Déplacement en fonction du temps

3 Modèle hétérogène à une inclusion

3.1 Hypothèses et conservation de masse

Nous nous intéressons au cas d’un milieu continu hétérogène constitué d’une inclusion unique noyée dans une matrice. Nous considérons un motif représentatif carré pour lequel l’inclusion circulaire est centrée et a un rayon égal à 0,25 fois la longueur du motif.E_µà l’interface entre une particuleide masse m_iau sein de la matrice et une particule jde massem_j au sein de l’inclusion est déterminé comme suit :

E_µ=m_iE_µⁱ+m_jEµ^j

mi+mj

(1) Le nombre de particules à générer doit être au minimum de 3000 afin de respecter la densité de particules considérée dans le cas homogène. Nous avons vérifié que ce nombre suffit pour respecter la masse et le volume de l’inclusion après discrétisation. Cependant, à des fins de précision, le calcul de contraintes nécessite un nombre total plus important estimé à 7000 particules.

3.2 Etudes et comparaisons

Les contraintes sont estimées à l’aide de la formule de Love-Weber sans terme inertiel via un pavage du domaine discret en 332 volumes élémentaires triangulaires [2,6]. Nous avons estimé qu’un minimum de 20 particules doit être considéré dans chaque volume élementaire, soit donc le total avancé de 7000 particules. Des tests quasi-statiques de traction et de cisaillement simple avec conditions aux limites de symétrie et d’antisymétrie respectivement sont réalisés sur le motif représentatif. Le module de Young E^m de la matrice est fixé à 65 GPa et différents modules de YoungEⁱ sont considérés pour l’inclusion.

Ainsi, le contraste de propriétés c_r=Eⁱ/E^m est varié de 0,02 à 50. Les Figures 6 et 7 décrivent le

FIGURE 6 – Contraintes de Von-Mises (MED - cas de l’inclusion seule)

FIGURE7 – Contraintes de Von-Mises (MEF - cas de l’inclusion seule)

champ de contraintes de Von-Mises obtenu dans le cas du test de traction avec la MED et la MEF. Nous considérons ici les propriétés d’un composite BaTiO₃/époxy avec E^m=65GPa etEⁱ=2,9GPa. Les résultats sont qualitativement très proches avec un maximum cependant supérieur (15,5 MPa contre 11,1 MPa) dans le cas de la MEF du fait d’une discrétisation plus fine (720000 éléments triangulaires à trois noeuds). Les modules de Young E et de cisaillement G effectifs du motif élémentaire sont estimés à partir des tests quasi-statiques puis adimensionnés par rapport aux propriétés de la matrice (E^a=E/E^m, G^a=G/G^m). Des comparaisons sont réalisées avec la MEF dans la même configuration : la MEF avec conditions aux limites périodiques (2EMEF), la méthode de Transformée de Fourier Rapide (TFR) et le modèle de Mori-Tanaka (MT). Les Figures 8 et 9 décrivent l’influence de cr sur E^a. Les résultats montrent une bonne adéquation entre les différents modèles quel que soit le contraste considéré. Des résultats similaires ont été obtenus pourG^a

4 Modèle de composite particulaire

Nous considérons un modèle de composite particulaire composé d’inclusions monodisperses en contact ponctuel avec une fraction surfacique d’inclusions fixée à 85%±0,5. Un nombre de 40 inclusions est retenu afin d’assurer la représentativité du milieu. Le nombre d’éléments discrets au sein du système granulaire est fixé à 65000 particules selon l’étude réalisée sur l’inclusion seule. Les contraintes de Von-Mises sont estimées selon la même méthodologie que celle décrite pour l’inclusion seule. Nous

FIGURE8 – E^avsc_r(E^a>1) FIGURE9 – E^avsc_r(E^a<1)

considérons un pavage triangulaire du domaine composé de 3300 éléments de sorte que chaque élément contienne en moyenne 20 particules. Des tests quasi-statiques de traction et de cisaillement sont réalisés de façon identique au cas de l’inclusion seule mais nous nous limitons ici aux propriétés du composite BaTiO₃/époxy. Les Figures 10 et 11 illustrent les contraintes de Von-Mises obtenues au sein du milieu hétérogène pour le test de traction avec la MED et la MEF. La contrainte maximale est de 6,37 MPa dans le cas de la MEF contre 8,04 MPa dans le cas de la MED. Cette différence s’explique par la présence aux interfaces des inclusions d’élements triangulaires contenant parfois moins de 5 particules. Les modules

FIGURE10 – Contraintes de Von-Mises (MED - cas du composite)

FIGURE 11 – Contraintes de Von-Mises (MEF - cas du composite)

de YoungE et de cisaillementGeffectifs sont estimés à l’aide de la MED et les prédictions sont compa- rées avec la MEF, la 2EMEF et la TFR. La Table 1 montre que les coefficients élastiques obtenus avec la MED sont en accord avec ceux obtenus avec ces différentes approches.

MEF 2EMEF TFR MED

E(GPa) 4,30 4,47 4,20 4,31 G(GPa) 1,64 1,56 1,63 1,66

TABLE1 – Prédictions numériques deEetGpour le modèle de composite Références

[1] D. André, I. Iordanoff, JC. Charles, J. NeauportDiscrete element method to simulate continuous material by using the cohesive beam model, Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 213, 113- 128, 2012.

[2] G. De Saxcé, J. Fortin, O. MilletAbout the numerical simulation of the dynamics of granular media and the definition of the mean stress tensor, Mechanics of Materials, 36(12), 1175-1184, 2004.

[3] A. Donev, I. Cissé, D. Sachs, EA. Variano, FH. Stillinger, R. Connelly et al.Improving the density of jammed disordered packings using ellipsoids, Science, 303, 990-993, 2004.

[4] H. Haddad, M. Guessasma, J. FortinHeat transfer by conduction using DEM-FEM coupling method, Compu- tational Materials Science, 81, 339-347, 2013.

[5] A. Ibrahimbegovic, A. DelaplaceMicroscale and mesoscale discrete models for dynamic fractures of struc- tures built of brittle material, Computers and Structures, 81(21), 1225-1265, 2003.

[6] F. Nicot, N. Hadda, M. Guessasma, J. Fortin, O. MilletOn the definition of the stress tensor in granular media, International Journal of Solids and Structures, 50(14-15), 2508-2517, 2013.

[7] E. Schlangen, E.J. GarbocziNew method for simulating fracture using an elasticity uniform random geometry lattice, International Journal of Engineering Science, 34(10), 1131-1144, 1996.