NOTE SUR LE COMPORTEMENT EN L’INFINI D’UNE FONCTION INT´EGRABLE

NOTE SUR LE COMPORTEMENT EN L’INFINI D’UNE FONCTION INT´EGRABLE

EMMANUEL LESIGNE

R´esum´e. Nous d´emontrons qu’en un sens faible toute fonction int´egrable sur la droite r´eelle tend vers z´ero en l’infini ; en utilisant le th´eor`eme m´etrique d’approximation diophantienne de Khinchine, nous ´etablissons que cette convergence vers z´ero peut ˆetre arbitrairement lente.

On notexla variable r´eelle etnla variable enti`ere. La mesure de r´ef´erence sur la droite r´eelle R est la mesure de Lebesgue. Il est bien connu que la convergence d’une fonction vers z´ero en l’infini n’est une condition ni n´ecessaire, ni suffisante pour son int´egrabilit´e. On a toutefois le r´esultat suivant.

Proposition 1. Soit f une fonction int´egrable sur R. Pour presque tout x∈R, on a

(1) lim

n→∞f(nx) = 0.

Dans l’´enonc´e pr´ec´edent, qui concerne les fonctions int´egrables, cela n’a aucun sens de remplacer le presque tout x par tout x. Mais mˆeme si l’on ne consid`ere que des fonctions continues, le r´esultat reste du type “presque partout”. En effet un r´esultat classique, utilisant un argument de Baire, nous dit que si f est une fonction continue surR telle que

pour toutx non nul, lim

n→∞f(nx) = 0, alors

x→±∞lim f(x) = 0.

Ainsi, pour une fonction continue int´egrable qui ne tend pas vers z´ero en l’infini, la propri´et´e (1) est vraie pour presque toutx et non pour toutx.

La proposition suivante ´etablit une forme d’optimalit´e de la proposition pr´ec´edente.

1

Proposition 2. Soit (a_n) une suite r´eelle qui tend vers +∞.

Il existe une fonction f continue et int´egrable sur R telle que, pour presque tout nombre r´eel x,

lim sup

n→∞ a_nf(nx) = +∞.

Il existe une fonction f int´egrable surR telle que, pour tout nombre r´eel x, lim sup

n→∞

a_nf(nx) = +∞. Remarques

(R1) Si la suite (a_n) est croissante et v´erifie X

n

1 nan

< +∞, alors il existe une fonction f continue et int´egrable sur R telle que, pour tout nombre r´eelx,

lim sup

n→∞

a_nf(nx) = +∞.

(R2) On ne peut pas remplacer dans la proposition 2 l’hypoth`ese limnan= +∞ par lim sup_na_n = +∞. On a par exemple, pour toute fonction f int´egrable surR, et pour toutε >0,

n→∞lim n^1−εf(n²x) = 0 pour presque tout x.

Ainsi la conclusion de la proposition 2 est fausse pour la suite (a_n) d´efinie par

a_n=

(n^12−ε si nest un carr´e d’entier

0 sinon .

Dans la suite de cette note, nous donnons des d´emonstrations des deux propositions, suivies par des justifications des remarques pr´ec´edentes.

D´emonstration de la proposition 1. Fixons ε > 0 et notons E l’ensemble des points x ≥ 1 tels que |f(x)| ≥ ε. Nous savons que E est de mesure finie. Nous allons montrer que, pour presque toutx∈[0,1], l’ensemble des nombres entiers ntels quenx∈E est fini.

(On note|A|la mesure de Lebesgue d’un ensembleA⊂R.) Pour chaquen≥2, on noteE_n:=E∩[n−1, n]. On aP

n|E_n|<+∞. Fixonsa∈]0,1[, et notons

Fn:=



 [

m≥1

1 mEn





\[a,1[.

Pour m < n, on a _m¹E_n⊂[1,+∞[ ; pourm > n/aon a _m¹E_n⊂[0, a[. On a donc

F_n⊂

[n/a]

[

m=n

1 mE_n.

D’o`u

|F_n| ≤

[n/a]

X

m=n

1

m|E_n| ≤ |E_n|(ln(n/a)−ln(n−1))≤ |E_n|(1 +|lna|). On en d´eduit queP

n|F_n|<+∞.

Cela entraˆıne que presque toutx n’appartient qu’`a un nombre fini des Fn. (C’est le Lemme de Borel-Cantelli, qui se d´emontre d’une ligne :

P✶Fⁿ <+∞presque partout puisque Z

X✶Fⁿ(x) dx=XZ

✶Fⁿ(x)<+∞.)

Ainsi, pour presque toutx∈[a,1], il existen₀=n₀(x)>0 tel que sin≥n₀ alorsx /∈Fn. Dire quex n’est pas dansFn, c’est dire que, pour toutm≥1, mx /∈E_n.

De plus, pour toutn > n₀/x, on anx /∈ ∪ⁿn=2⁰ E_n. On peut conclure que, pour tout m > n₀/x,mx /∈E.

Ce fait s’applique `a presque tout x ∈ [a,1], donc en fait `a presque tout x∈[0,1].

Nous avons d´emontr´e que, pour toutε > 0, pour presque tout x∈[0,1], pour tout n assez grand, |f(nx)| ≤ ε. Puisqu’il suffit de consid´erer une famille d´enombrable deε, on peut intervertirpour toutε >0 etpour presque tout x∈[0,1], ce qui donne la conclusion attendue.

D´emonstration de la proposition 2. Nous utiliserons le th´eor`eme suivant, r´esultat fondamental de la th´eorie m´etrique de l’approximation diophanti- enne dˆu `a Khinchine¹.

Th´eor`eme. Soit (b_n) une suite de nombres r´eels positifs telle que la suite (nb_n) soit d´ecroissante et la s´erieP

nb_n diverge. Pour presque tout nombre r´eel x, il existe une infinit´e de nombres entiers n tels que dist(nx,Z)≤b_n. Nous utiliserons ´egalement le lemme suivant (dont une d´emonstration est donn´ee dans la suite).

Lemme 1. Soit(c_n)une suite de nombres r´eels qui tend vers z´ero. Il existe une suite de nombres r´eels positifs(b_n) telle que

la suite (nbn) est d´ecroissante, X

n

bn= +∞ et X

n

bncn<+∞. Venons en `a la d´emonstration de la proposition 2.

Quitte `a remplacer a<sub>n</sub> par inf<sub>k≥n</sub>a<sub>k</sub>, on peut supposer que la suite (a<sub>n</sub>) est croissante. En appliquant le lemme pr´ec´edent `a la suite c_n = 1/√a_n,

1Th´eor`eme 32 dans le livre : A.Ya. Khinichine, Continued Fractions, ´edition originale russe 1935, traduction anglaise publi´ee par University of Chicago Press en 1961, r´e´edit´e par Dover en 1997.

on obtient une suite (b_n) telle que la suite (nb_n) d´ecroisse, la s´erie P

nb_n diverge mais la s´erieP

nb_n/√a_n converge.

On consid`ere la fonction f1 d´efinie surR par f₁(x) =

(1/√a_n si|x−n| ≤min(b_n,¹₂), pour un entiern≥1

0 sinon

Cette fonction est int´egrable.

D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, pour presque tout nombre r´eel positif x, il existe des couples d’entiers positifs (n, k(n)), avecnarbitrairement grand, tels que

|nx−k(n)| ≤b_n.

Fixons un tel nombrexdans l’intervalle ]0,1[. On a lim_n→∞k(n) = +∞ et, pour toutnassez grand,k(n)≤n. Pour un tel n, on a

|nx−k(n)| ≤b_k(n) et donc f₁(nx) = 1

√a_k(n) . (On a utilis´e la d´ecroissance de la suite (b_n).)

Ainsi, pour des entiersn arbitrairement grands, on a a_nf₁(nx) = an

√a_k(n) ≥p a_k(n) . (On a utilis´e la croissance de la suite (a_n).)

Et on a bien lim sup_n→∞anf1(nx) = +∞.

Ce raisonnement s’applique `a presque tout nombrex entre 0 et 1.

Avec une construction similaire, pour chaque entier m >0, on peut con- struire une fonction f_m int´egrable (positive ou nulle, et localement en es- calier) surR telle que, pour presque toutx entre 0 etm, on ait

lim sup

n→∞ a_nf_m(nx) = +∞.

Il n’est pas difficile alors de construire une fonction f int´egrable et con- tinue sur Rtelle que, pour toutm >0, il existeA_m>0 tel que f ≥f_m sur [Am,+∞[. (On peut par exemple choisir une suite croissante (Am) telle que

X

m

Z _+∞

A^m

f₁(x) +f₂(x) +. . .+f_m(x) dx <∞,

puis poserg=f1+f2+. . .+fm sur l’intervalle [Am, Am+1[. Cette fonction int´egrableg est localement en escalier ; elle est domin´ee par une fonctionf int´egrable et continue.) On a alors, pour presque tout x≥0,

lim sup

n→∞ a_nf(nx) = +∞.

Un proc´ed´e de sym´etrisation ´evident ´etend la propri´et´e `a presque tout nom- bre r´eel.

La premi`ere partie de la proposition 2 est d´emontr´ee. La seconde partie en est une cons´equence directe : on consid`ere la fonction f construite ci- dessus, et on noteFl’ensemble desxtels que la suite (anf(nx)) soit major´ee.

L’ensemble {nx | x ∈ F, n ∈ N} est de mesure nulle, et on peut modifier la fonction f sur cet ensemble (en imposant par exemple la valeur 1) sans modifier l’int´egrabilit´e. On a alors, pour tout x,

lim sup

n→∞ a_nf(nx) = +∞.

D´emonstration du lemme 1. La suite (cn) est donn´ee, et elle tend vers z´ero.

Nous allons construire par r´ecurrence une suite croissante d’entiers (n_k) et une suite d´ecroissante de nombres positifs (d_k) et nous poserons b_n = d_k pour n_k−1 ≤n < n_k. n

Le nombresd_k sont choisis tels que

nk−1

X

i=nk

−1

b_i= 1 ; on pose donc

d_k:=





nk−1

X

i=nk

−1

1 i





−1

. Partons de n₀ = 1.

Choisissons n₁> n₀ tel que, pour tout n≥n₁,|c_n| ≤ ¹₂.

Choisissons n₂> n₁ tel que pour toutn≥n₂,|c_n| ≤ ¹₄ et tel que d₂ ≤d₁. Plus g´en´eralement, si n1, n2, . . . , n_k−1 sont construits, on choisit n_k > n_k−1

tel que pour toutn≥n_k,|c_n| ≤2^−k et tel qued_k≤d_k−1. (Cela est bien sr possible parce que limn→+∞

Pn i=nk−1

1 i

−1

= 0.)

La suite (b_n) ainsi d´efinie “par blocs” est telle que la suite (nb_n) d´ecroˆıt et elle v´erifie, pour toutk≥1,

nk−1

X

i=nk

−1

b_i= 1 et

nk−1

X

i=nk

−1

b_ic_i≤2^1−k.

Cela garantit le fait quebnest le terme g´en´eral d’une s´erie divergente, tandis queb_nc_n est le terme g´en´eral d’une s´erie convergente.

Justification de la remarque (R1). Le lemme de Dirichlet en approximation diophantienne concerne le cas particulier b_n = 1/n dans le th´eor`eme de Khinchine et il donne un r´esultat valable pour toutxet non seulement pour presque toutx.

Lemme 2 (Lemme de Dirichlet). Pour tout nombre r´eel x, il existe des nombres entiers narbitrairement grands tels que dist(nx,Z)≤ ¹_n .

Nous utiliserons aussi le lemme suivant (dont une d´emonstration est donn´ee dans la suite).

Lemme 3. Si(u_n) est une suite de nombres positifs telle queP

nu_n<+∞, alors il existe une suite(tn)tendant vers l’infini et telle queP

ntnun<+∞.

Justifions la remarque (R1). On consid`ere une suite croissante (a_n) de nombres r´eels positifs telle que

X

n

1

na_n <+∞.

D’apr`es le lemme 3, il existe une suite (b_n) de nombres r´eels positifs telle que

b_na_n→+∞ et Xb_n

n <+∞. On consid`ere la fonction f d´efinie surRpar

f(x) =

(b_k si|x−k| ≤1/k, k entier≥2 0 sinon

Cette fonction est int´egrable.

D’autre part, en utilisant le lemme de Dirichlet, on obtient, pour chaque x fix´e dans ]0,1[ :

il existe des couples d’entiers positifs (n, k(n)), avecnarbitrairement grand, tels que

|nx−k(n)| ≤ 1 n.

On a limn→∞k(n) = +∞ et, pour toutn assez grand, k(n) ≤n. Pour un tel n, on a

|nx−k(n)| ≤ 1

k(n) et donc f(nx) =b_k(n). Ainsi, pour des entiersn arbitrairement grands, on a

a_nf(nx) =a_nb_k(n)≥a_k(n)b_k(n). (On a utilis´e ici la croissance de la suite (an).)

Cela prouve bien que lim sup_n→∞a_nf(nx) = +∞. Ce r´esultat obtenu pour tous les nombresx entre 0 et 1 s’´etend `a tous les nombres r´eels de la mˆeme fa¸con que dans la d´emonstration de la proposition 2. On peut enfin rem- placer la fonction localement en escalier par une fonction continue comme

nous l’avons d´ej`a fait pr´ec´edemment.

D´emonstration du lemme 3. Pour toutk≥1, il existe n(k) tel que X

n≥n(k)

u_n≤ 1 k². On a

X

n

card{k|n(k)≤n}u_n=X

k≥1

X

n≥n(k)

u_n<+∞,

et il suffit de poser t_n= card{k|n(k)≤n}.

Justification de la remarque (R2). Soitfest une fonction positive int´egrable

surR. On a Z

R

f(n²x) dx=n⁻² Z

R

f(x) dx , d’o`u

X

n≥1

Z

R

n^1−εf(n²x) dx ,

et le th´eor`eme de convergence monotone nous assure alors que la fonction x7→ X

n≥1

n^1−εf(n²x)

est int´egrable, donc presque partout finie.

La proposition 1 r´epond `a une question pos´ee par Aris Danilidis. L’auteur remercie Christian Mauduit qui lui a rafraˆıchi la m´emoire `a propos du th´eor`eme de Khinchine.

Emmanuel Lesigne

Laboratoire de Math´ematiques et Physique Th´eorique Universit´e Fran¸cois-Rabelais Tours

F´ed´eration Denis Poisson - CNRS

Parc de Grandmont, 37200 Tours. France emmanuel.lesigne@lmpt.univ-tours.fr