Le principe de la méthode développée dans cette thèse consiste à injecter directement les conditions aux limites à base d'ondelettes. Des méthodes de calcul de la décomposition de Helmholtz-Hodge utilisant des ondelettes à divergence nulle ont été introduites par E.
Bases d’ondelettes
Nous traçons également la fonction d'échelle biorthogonale la plus courte associée à N1 correspondant à m˜0(ξ) = 1+e−iξ. Dans ce qui suit, les analyses multirésolution discutées seront biorthogonales, et leurs échelles et fonctions d’onde auront un support compact (sauf indication contraire).
À ces espaces, nous connectons des fonctions d'échelle conjuguées (Φ,Φ)˜ et des ondelettes conjuguées (Ψω,Ψ˜ω), qui ont un support compact. Sur la figure 1.4 nous traçons les isosurfaces de ces fonctions dans le cas où ϕ est la fonction d'échelle de Daubechies [36], qui a une capacité de reproduction polynomiale jusqu'au degré = 3.
Espaces fonctionnels et ondelettes
De même, pour une série de valses, on peut définir le critère de son appartenance à Besov. Alors l'ensemble des valences f appartient à l'espace BesovBp,qs (R) si et seulement si la séquence {2j(s+12−p1)kQj(f)kLp(R))}j∈Z appartient à lq( Z ) .
Approximation linéaire et non-linéaire
Dans ce cas on rappelle que L2(Rn) est caractérisé par 2n−1 ondelettes, et la décomposition de f ∈L2(Rn) en une série d’ondelettes s’écrit. Nous définissons maintenant l'approximation non linéaire sur une base de forme d'onde arbitraire de Lp(Rn) notée {ΨωI}ω∈Ω∗,I∈I,1< p <+∞.
Construction d’ondelettes à divergence nulle ou à rotationnel nul sur R n
Ondelettes à divergence nulle isotropes
En utilisant le théorème 1.4.1, nous construisons une analyse multirésolution qui préserve la propriété (1.4.1) de divergence nulle sur les projecteurs multi-échelles. Nous avons ainsi construit une analyse multirésolution de (L2(Rn))n qui préserve la propriété de divergence nulle.
Ondelettes à divergence et ondelettes à rotationnel nul anisotropes
À titre d’exemple, nous traçons les champs vectoriels de la fonction d’échelle de divergence nulle rot[ϕ1⊗ϕ1] et la rotation des ondelettes associée[ψ1⊗ψ1], avec φ1 B-Spline de degré 3. FIGURE 1.10 – Champs vectoriels de fonction d’échelle de spins nuls ∇[ϕ1⊗ϕ1](à gauche) et ondes associées ∇[ψ1 ⊗ψ1](à droite), construites à partir de lignes biorthogonales à trois moments nuls.
Algorithmes rapides de décomposition et de reconstruction
Pour calculer les coefficients [ddivj,k], on utilise le fait qui appartient à l'analyse multi-résolution de (L2(R2))2 formé par les espaces V~j = (Vj1⊗Vj0)×(Vj0⊗Vj1) et le ondelette basée sur cette analyse multi-résolution, ses composants sont écrits ici. Pouru∈L2rot(R2), on note[d1j,k]et[d2j,k]les coefficients de décomposition de ses composantes respectives u1 etu2 dans la base d'ondelettes connectée à V~j.
Approximation non-linéaire sur base d’ondelettes à divergence nulle
Fonction d’échelle sur R +
Cette propriété de reproduction polynomiale au bord 0 sera conservée dans Vj(R+) grâce aux nouvelles fonctions de mise à l'échelle des bords que nous définirons. De par leur construction, les fonctions d'échelle de bord Φℓ conservent la propriété de reproduction polynomiale et ont la même régularité que les fonctions de départ ϕksurR. 2 L'un des avantages de cette construction est que les fonctions d'échelle de bord vérifient une relation matricielle à deux échelles facile à exprimer.
Biorthogonalisation des fonctions d’échelle de bord
La nouvelle famille de fonctions de mise à l'échelle des bords orthogonaux, également notée Φℓ pour simplifier la notation, est obtenue en considérant les fonctions . Si cette matrice est inversible, la manière la plus générale de représenter les fonctions d'échelle de Vjb(R+) et V˜jb(R+). Dans les figures 2.2 et 2.3, nous traçons les fonctions d'échelle biorthogonales internes ε et ϕ˜ et les six fonctions de bord dans le cas de générateurs biorthogonaux B-Spline (3,3).
Base d’ondelettes sur R +
Par construction on voit que les ondelettes de bord de W0b(R+) sont biorthogonales par rapport aux autres fonctions d'échelle internes de V˜0(R+), mais on ne peut garantir leur biorthogonalité par rapport aux autres ondelettes internes de W˜ 0(R+ ) . Pour rendre les ondes de bord de W0b(R+) et W˜0b(R+) biorthogonales, il est possible de procéder comme pour les fonctions d'échelle. Ces calculs justifieront également le choix de la deuxième définition 2.1.4 pour la construction des ondes de bord.
Passage à l’intervalle [0, 1]
Prise en compte des conditions aux limites
De plus, les ondes limites de Wj(k)([0,1]) et W˜j(k)([0,1]) sont conformes aux conditions aux limites en termes de construction. Comme exemple de fonctions d'échelle et d'ondelettes avec des conditions aux limites, nous utilisons celui du générateur orthogonal de Daubechies présenté précédemment r = 3. Dans la figure 2.8, nous traçons les fonctions d'échelle et dans la figure 2.9, nous traçons les ondelettes, qui satisfont aux conditions aux limites de Dirichlet homogènes. en0 et en1.
Ondelettes à divergence nulle et ondelettes à rotationnel nul sur [0, 1] n
Analyse multirésolution et commutation des projecteurs multi-échelles avec
Le fait qu'on impose une condition de Dirichlet sur V˜j0([0,1]) signifie qu'on est dans le cas des analyses multirésolution biorthogonales de [72], ce qui permet de trouver (iii) et (iv ) . Une fois biorthogonalisées les ondelettesψ1j,ketψ˜j,k1, les ondelettesψ0j,k etψ˜j,k0 ainsi construites sont directement biorthogonales. Dans cet exemple, nous utilisons les générateurs biorthogonaux B-Spline avec trois moments nuls de l'exemple 2.1.1, désignant ϕ1, ϕ˜1, ψ1 et ψ˜1.
Ondelettes à divergence nulle sur [0, 1] n
Par définition, les fonctions d'échelle et les ondelettes à divergence nulle sont dans (L2([0,1]2))2 et ont une moyenne nulle. En imposant la condition de non-pénétration sur le domaine, nous construisons trois fonctions d'échelle à divergence nulle sur . On précise que ces fonctions d'échelle sont liées entre elles, propriété analogue à celle des fonctions d'échelle à divergence nulle sur R3.
Ondelettes à rotationnel nul sur [0, 1] n
2.3.23) Nous précisons que ces fonctions de mise à l'échelle sont liées les unes aux autres, propriété similaire à celle des fonctions de mise à l'échelle à divergence nulle sur R3. Néanmoins, la dérivation de la relation de la proposition 2.3.2 garantit que V∇j ⊂(Vj0⊗Vj1)×(Vj1⊗Vj0) à partir de laquelle nous pouvons facilement calculer les coefficients d'ondelettes sur cette base. A titre d'exemple, nous traçons un champ vectoriel de fonctions d'échelle et d'ondelettes de bord au coin (0,0), construit à partir de la rotation ou du gradient des fonctions d'échelle ou des ondelettes de bord de VjDtensorial lui-même.
Algorithme de décomposition et de reconstruction
Dans ce cas, nous traçons la carte des coefficients de décomposition à l'échelle de divergence nulle et des fonctions d'onde du champ résultant de la simulation numérique. La résolution maximale est J = 8, les coefficients d'ondelettes ont été renormalisés à 2J pour être observés sur la même échelle de couleurs, pour jmin ≤j1, j2≤J−1.
Approximation non-linéaire
FIGURE2.22 – Erreur d'approximation non linéaire en fonction des plus grands coefficients d'ondelettes de divergence nulle retenus, suru1(gauche) et suru2(droite) : échelle logarithmique. FIGURE 2.23 – Résidus de la solution reconstruits avec des coefficients d'ondelettes de 22% à divergence nulle : suru1 à gauche et suru2 à droite. Les bases d'ondelettes construites dans les deux chapitres précédents sont destinées à être utilisées pour la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles (EDP).
Fomules de quadrature
Sur la figure 3.1 on compare les valeurs aux points de la projection desin(4πx) inV13 obtenues par quadrature, dans le cas périodique. Sur la figure 3.2 nous comparons les valeurs aux points de la projection desin(2πx) sin(50x) en V13 obtenues par quadrature, dans le cas non périodique. Sur la figure 3.3 on compare les valeurs aux points de la projection desin(2πx) sin(50x) en V13, avec des conditions aux limites de Dirichlet homogènes, puis on trace l'erreur d'interpolation obtenue en V8.
Calcul des termes de la matrice de masse et de la matrice de rigidité
Pour calculer les termes de la matrice M, on utilise essentiellement la relation à deux échelles satisfaite par la fonction d'échelle ϕ. Pour calculer les termes de la matrice de rigidité, nous devons utiliser la proposition suivante [6] : Énoncé 3.2.2 [6]. FIGURE 3.5 – Matrice de masse des fonctions d'échelle avec divergence nulle (à gauche) et ondelettes (à droite).
Résolution de l’équation de la chaleur
Factorisation du noyau de la chaleur en dimension deux et trois
La discrétisation temporelle avec le schéma d'Euler implicite dans les différences finies de l'équation (3.3.1) donne :. 1−νδt∆)un+1=un+δtf (3.3.2) La technique de factorisation consiste à remplacer le diagramme (3.3.2) par un diagramme unidimensionnel de même type dans chaque direction. Pour plus de détails sur les calculs et l'étude de complexité des schémas précédents, vous pouvez vous référer à [14]. Sur la figure 3.6, nous présentons la normeℓ2 du résidu en fonction du pas de temps δt.
Une discrétisation variationnelle multi-échelles
Dans cet exemple, nous montrons l’efficacité de la méthode multi-échelle dans le cas 1D sur la solution exacte u(x, t) = e−tsin(16πx). FIGURE 3.7 – Erreur relative ℓ2 en fonction du pourcentage de coefficients non nuls dans la matrice de L, méthode standard (à gauche), erreur relative ℓ2 en fonction de j0 dans la méthode multiéchelle : ǫ= 10−5max |A| . L'extension de la méthode multi-échelles à la dimension deux est présentée avec quelques modifications.
Décomposition de Helmholtz-Hodge par ondelettes
Quelques généralités sur la décomposition de Helmholtz-Hodge
En revenant aux variables spatiales, on obtient la décomposition ci-dessous, qui est sa décomposition de Helmholtz-Hodge. Sur un domaine Rn "bon" borné Ω-connecté, nous calculons généralement la désintégration de Helmholtz-Hodge deu∈(L2(Ω))n en résolvant le problème de Poisson. Afin de fournir une justification rigoureuse de la décomposition de Helmholtz-Hodge sur Ω, nous nous appuyons sur les résultats fondamentaux de [29, 57].
Calcul pratique par ondelettes de la décomposition de Helmholtz-Hodge
La matrice de ce système est une matrice d'ondelettes de Gram à divergence nulle définie symétriquement. De plus, il s'agit d'une matrice de Gram de valses à rotation nulle dont les termes sont les formes. Compte tenu de la structure tensorielle des bases, les termes généraux de la matrice GramMdiv confirment cette équation.
Résolution du problème de Stokes
- Les approches classiques
- Méthode variationnelle dans H div (Ω)
- Méthode de Gauge
- Conditions aux limites
Nous avons vu dans la section 3.4 que la matrice que nous inversons dans le calcul de P(m) est équivalente à la matrice d'un Laplacien scalaire sur une base d'onde standard, c'est-à-dire cette base. En dimension deux, nous chercherons chaque composante de la solution approchée sous la forme. Dans ce cas, nous inversons la matrice de l’opérateur thermique une fois sur une base unidimensionnelle et nous l’utilisons selon les directions.
Rappels sur des résultats d’existence et unicité des solutions pour les équations de
Pour un fluide visqueux homogène, les équations sont Navier-Stokes (N S), qui seront discutées ci-dessous. La théorie des solutions faibles des équations de Navier-Stokes a débuté avec les travaux de J. Le problème de l'unicité et de la régularité des solutions faibles de Leray du théorème 4.2.1 reste encore ouvert.
Généralités sur la simulation numérique de la turbulence
Pour décrire ce mécanisme, nous nous placerons dans le cadre de la théorie A. Un autre avantage de la formulation (5.1.1) est que nous ne sommes pas limités dans le choix d'une méthode de résolution du problème de diffusion (équation de la chaleur) ou convection (équation de transport). Le calcul de la vitesse dans ce cas est résolu en résolvant le problème de Poisson.
Rappels sur deux méthodes classiques
Pour le deuxième point (ii), nous utiliserons la méthode de résolution du problème thermique par factorisation à noyau décrite dans la section 3.3. Des analyses multirésolution classiques seront appliquées à l'intervalle avec reproduction polynomiale, les conditions aux limites seront incluses directement dans la base d'ondelettes utilisée pour la discrétisation. On peut imposer une autre analogie avec les équations de Stokes, on reste libre de choisir les conditions aux limites pour les variables aetχ.
Nouveaux schémas par ondelettes
Schémas périodiques
Pour remédier à cela, on procède souvent à l'extrapolation de la valeur ∂χ∂~nτ+1 entre les deux étapes précédentes, ce qui réduit la précision de cette méthode. Le coût de cette étape est O(cN2), compte tenu du nombre d’éléments par ligne de la matrice de rigidité de base des ondelettes 1D. À moins que la flexibilité ne soit efficacement prise en compte (c'est-à-dire des coefficients de roulement négligeables de la solution), cette complexité reste inchangée, que ce soit uniquement les changements constants basés sur les fonctions de roulement ou de mise à l'échelle.
Méthode de projection modifiée par ondelettes
On précise que le coût d'une transformée en ondelettes en dimension deux est de l'ordre O(2rN2), où r est la largeur maximale des filtres utilisés, celui de la transformée de Fourier rapide est de l'ordre O(N2log (NOT)). Cela signifie qu'avec les schémas précédents nous effectuons au moins des opérations O(N2log(N)) en Fourier, ce qui est plus coûteux qu'en ondelettes pour de grandes valeurs de N. Dans le calcul du projecteur P nous n'utilisons pas de relèvements, car si vous êtes dans H01(Ω), alors P(u)∈H01(Ω), pareil avec la condition de glissement (~ν·u= 0) car on sait construire la base.
Méthode de Gauge modifiée par ondelettes
Expériences numériques
- Étude de l’erreur dans le cas périodique
- Interaction de trois tourbillons (conditions aux limites périodiques)
- Cavité entraînée
- Cavité entraînée à grand Reynolds
- Reconnection de tubes de vortex en dimension trois (cas périodiques)
Nous regardons ensuite l'évolution des coefficients d'onde anisotropes de divergence nulle de la solution au-dessus de certains seuils. Pour la méthode Gauge, une étude a déjà été réalisée dans la section 3.5. En pratique cette valeur est obtenue par extrapolation entre χn et χn−1, c'est un inconvénient de la méthode Gauge.
Méthode variationnelle multi-échelle
Pour la discrétisation multi-échelles de l’équation de la chaleur, il suffit d’appliquer les techniques décrites dans la section 3.3.2 composante par composante. Pour calculer la décomposition de Helmholtz-Hodge, nous avons vu dans la section 3.4 qu'il fallait inverser la matrice de Gram de la base d'ondelettes avec une divergence nulle ou une rotation nulle. A une résolution j donnée, l'intérêt de cette méthode est alors dans le fait qu'on résout deux systèmes couplés de petite taille (la taille dépend de j0< j), au lieu de résoudre le grand système donné dans la section 3.4.
