Nous allons maintenant expliquer formellement comment résoudre ce problème en étudiant la compacité d'une séquence finie de solutions faibles renormalisées à l'énergie finie des équations (1)-(2). Comme dans le cas non stationnaire, cette limitation est liée au problème mathématique de la validité de l'équation de continuité renormalisée (8) lorsque la densité ρ 6∈ L2( Ω).
Le probl` eme de Neumann associ´ e au laplacien
Equation de continuit´ e discr´ etis´ ee en temps perturb´ ee par une dissipation artificielle
Conformément aux inégalités de Hölder et Young, ce qui suit suit. L’inégalité de Poincaré-Wirtinger appliquée à (ρ−h) donne alors une estimation de la norme Lp(Ω) de ρ, ce qui, ajoutée à (2.7), implique ceci.
Syst` eme elliptique de Lam´ e
Il est facile de vérifier que la conclusion du lemme 1.9 est un cas particulier de l’énoncé plus général. Les résultats de cette section sont absolument essentiels aux preuves de l'existence de solutions faibles des équations de Navier-Stokes données dans les chapitres 2 et 3.
Approximation n o 1 (Etape n o 4)
Dans la suite de cette section, nous décrivons chaque approximation qui constitue une étape de la preuve et montrons brièvement comment les utiliser pour construire une solution renormalisée bornée aux énergies faibles du problème et (1.6). Nous appellerons une telle paire de fonctions (ρδ,uδ) une solution renormalisée faible avec une énergie limitée du problème.
Approximation n o 2 (Etape n o 3)
Nous considérerons ce système d'équations dans un cadre plus général dans la section 5 où nous prouverons la proposition inverse. Nous montrerons ensuite qu'il existe une sous-suite faiblement convergente de cette suite dont la limite faible (ρδ,uδ) a les propriétés (δ-1)-(δ-6).
Approximation n o 3 (Etape n o 2)
Ceci est essentiellement dû au fait que nous ne savons pas comment vérifier la constante qui apparaît dans le lemme B.1 concernant l’inverse de Bogovski˘ı de l’opérateur div lorsque G= Ωn. Il est assez facile de se convaincre, du moins formellement, que cette difficulté disparaît lorsqu'on considère l'équation (2.19) avec la fonction hn définie en (2.23).
Approximation n o 4 (Etape n o 1)
Existence d’une solution
Par la suite, les théorèmes d'injection de Sobolev prouvent que l'opérateur Tt, t ∈ [0,1], est convenablement défini. Alors, d'après le lemme 1.7, complété par les injections de Sobolev, nous pouvons le vérifier.
In´ egalit´ e d’´ energie, bornes uniformes
Construction d’une solution (cadre g´ en´ eral)
Ainsi, notant que l’équation (2.24) reste vraie pour toute fonction test dans l’espace H01(G), nous la déduisons. En revanche, la faible semi-continuité inférieure de la norme L1(G) permet de l’affirmer. Les inégalités ρs ≤ ρs et ρθ ≤ ρθ qui proviennent respectivement de la convexité de la fonction t ∈ R+ 7→ts et de la concavité de la fonction t ∈ R+ 7→ tθ permettent alors de conclure que ρs =ρs p.p.
In´ egalit´ e d’´ energie (cadre g´ en´ eral)
Bornes uniformes (cas particulier)
Construction d’une solution
Comme dans la section précédente, la distinction entre une fonction définie sur un domaine O ⊂R3 et son extension par zéro en dehors de Ω ne sera pas faite. L'extension de l'équation de continuité (5.5) dans D0(R3) est une application directe du lemme 1.1 dans laquelle ρ,u et f sont remplacés par ρα,uα etα(h−ρα). Conformément à l’estimation (2.30), après extractions éventuelles de sous-séquences, on peut supposer cela.
In´ egalit´ e d’´ energie, bornes uniformes
Suivant une approche similaire à celle adoptée dans les sections précédentes, nous utilisons la proposition 2.2 pour construire un couple de fonctions (ρδ,uδ) satisfaisant les propriétés (δ-1)-(δ-4).
Construction d’une solution
Comme dans les sections précédentes, cette preuve sera divisée en plusieurs lemmes intermédiaires. Notons que dans la situation présente, cette identité est analogue à (4.36) et qu'il suffit donc d'adapter les arguments présentés dans la preuve du lemme 2.4 de .
In´ egalit´ e d’´ energie, bornes uniformes
Cette section est la dernière étape de la preuve du théorème 2.1, qui consiste à :
Construction d’une solution
Flux effectif visqueux
Une fonction de coupure bien utile
En utilisant des arguments tout à fait analogues, nous pouvons facilement le vérifier. 7.19) Pour conclure ce paragraphe, nous démontrons l'analogue de l'observation décisive de Feireisl [16] qui remplacera l'information manquante ρ ∈ L2(Ω) dans la théorie du transport de DiPerna et P.L.Lions [12].
Equation de continuit´ e et solutions renormalis´ ees
Convergence forte de la densit´ e
Par le théorème A.40, on sait qu'il existe des opérateurs linéaires. De plus, le théorème A.40 garantit également la validité des formules de Stokes suivantes. Nous terminerons la preuve du théorème en construisant une solution faible d’énergie bornée du problème original comme limite faible de la suite {(ρδn,uδn)}n∈N∗.
Approximation et localisation du probl` eme
Comme annoncé, cette section vise à démontrer l’existence de solutions faibles et à énergie limitée au problème. Pour ce faire, nous introduisons d’abord un nouveau problème qui, conformément aux résultats obtenus au chapitre 2, donne lieu à une série de solutions approchées. Solutions du système à pression artificielle 77 (ii) L'équation de continuité (3.1) est satisfaite au sens des distributions dans R3.
Estimations ind´ ependantes des param` etres
Alors les propriétés (3.5) de la fonction h, les anciennes inégalités H¨ et Sobolev et l'estimation (3.15) le garantissent. Finalement, en utilisant à nouveau les inégalités de H¨older et Sobolev (3.15), nous trouvons cela. Solutions du système à pression artificielle 83 Les résultats suivants sont issus des deux dernières inéquations.
Introduction des flux dans l’in´ egalit´ e d’´ energie
Construction d’une solution
De plus, si ψ affecte une fonction de D(R3) telle que ψ ≥ 0, l'ancienne inégalité H¨ le garantit. Solutions pour les systèmes de pression artificielle 89 Ainsi, en décomposant hs en (hs −ρsδ) +ρsδ puis en utilisant les estimations et l'inégalité de Young, il s'ensuit que. Pour ce faire, notons d’abord que l’inégalité inverse est une conséquence directe de l’inégalité énergétique (3.33).
Bornes uniformes par rapport au param` etre introduit lors de l’ajout de la pression artificielle
Solutions du système original 91 Premièrement, étant donné les inégalités de Holder, Sobolev et Young, nous pouvons facilement vérifier que pour ζ >0 cela est vrai. De plus, d’après la formule (3.52) et encore d’après les inégalités de Holder, Sobolev et Young, nous trouvons cela. Les propriétés (3.5) de la fonction h, complétées par les inégalités de H¨older, de Sobolev et l'estimation (4.4), le garantissent.
Elimination de la pression artificielle et conclusion
Suite au théorème 3.2, une première conjecture assez naturelle est que cela est toujours vrai pour les domaines ayant des sorties contenant un cône, à condition que l'on puisse prouver des résultats similaires aux lemmes B.8 et B.9. Le lemme I.5 donne les hypothèses de sommation que la densité et la vitesse doivent satisfaire pour que l'équation (2.2) soit satisfaite et donc que la masse soit conservée. En particulier, il est important de noter que l’hypothèse p≥2 du lemme I.5 est essentielle.
Le probl` eme de Neumann associ´ e au Laplacien
Dissipation artificielle dans l’equation de continuit´ e
Ecoulement visqueux effectif (cas non stationnaire) 121 Corollaire I.2 Considérons les hypothèses du théorème I.2. Différentes conditions apparaîtront dans la preuve du théorème II.1. Cette section vise à expliquer brièvement le déroulement de la preuve du théorème II.1.
Approximation n o 3 (Etape n o 1)
Pour ce faire, nous allons réintroduire plusieurs paramètres tout en modifiant le système original et ainsi obtenir un schéma d'approximations successives. Le schéma que nous présentons ici est inspiré de celui proposé par Feireisl, Novotn'y et Petzeltov'a dans [18]. Il existe alors une paire de fonctions satisfaisante (ρn,un). iv) au sens des distributions dans (0, T), l'inégalité énergétique sous forme différentielle d.
Approximation n o 2 (Etape n o 2)
Il est facile de vérifier que toute fonctionϕ∈L2(0, T;W1,. ii) est l'équation de continuité avec dissipation. iv) au sens des distributions dans (0, T) l'inégalité énergétique sous forme différentielle d. v) limites uniformes par rapport à ε : sup ess.
Approximation n o 1 (Etape n o 3)
A ce stade de la preuve, nous allons introduire une région U ⊂V telle que Γ⊂∂U et prouver que si la condition initiale ρ0 est modifiée telle que ρ0 =ρ∞ dans U, alors il existe une région Σ(T )⊂ U, de sorte que Γ ⊂∂Σ(T) dans lequel. La dernière et dernière étape de la preuve consistera à éliminer le terme de pression artificiel en passant à la limite δ → 0+, tout en assouplissant les hypothèses (2.4) et (2.5) sur les conditions initiales, de sorte que l'hypothèse 0 < ρ ≤ ρ ∞ ≤ ρ <. Dans cette section, nous considérons les hypothèses de la proposition II.1 pour le prouver.
Approximation de Faedo-Galerkin
Cela prouve l'injectivité de l'opérateur Mϕ(t) et donc sa bijectivité puisque Xm est de dimension finie, ainsi que l'inégalité. Avec ces quelques notions à l’esprit, nous pouvons énoncer le résultat suivant, dont la démonstration fait l’objet de la suite et de la fin de cette sous-section. ii) (ρm,um) est solution de l'équation de continuité avec dissipation. iv) (ρm,um) satisfait l'inégalité d'énergie sous forme différentielle d. Grâce à cette nouvelle information, issue de (3.25), il est possible de l'écrire. 3.35) Les formules suivantes se justifient facilement compte tenu de la régularité des fonctions ρ etu.
Existence de solutions
L'intégration de cette identité sur l'intervalle de temps (0, T) et l'inégalité de Holder induisent l'estimation suivante. Ajoutée aux propriétés (3.1) de l'opérateur de projection Pm, cette information implique que. De plus, comme nous l'avons souligné dans la note II.3, il est clair que le couple (ρn,un) satisfait également les inégalités d'énergie modifiées obtenues en remplaçant Pδ(·) par Πδ(·) dans (2.7) et (2.8).
Bornes uniformes
A partir d'une suite de couples {(ρn,un)}n∈N∗, dérivée du théorème II.1, nous prouvons le théorème II.2. Comme le lecteur peut le constater, les informations sur la séquence {(ρn,un)}n sont très proches de celles que nous avions sur la séquence {(ρm,um)}m au début de la sous-section 3.2. Par conséquent, un certain nombre d'arguments peuvent être calqués sur ceux présentés à la sous-section 3.2 pour démontrer la partie « existence » de la proposition II.2.
Existence de solutions
Par contre, nous verrons que plus de travail sera demandé pour la partie « estimations » que dans la sous-section 3.3. fois l'inégalité de H¨older, on trouve que Z. Par conséquent, si on redéfinit uε sur la série des instants de mesure zéro en utilisant le lemme I. 11, on conclut que. 4.5) Ainsi, nous venons de montrer l'analogie de (3.65), avec la différence notable que nous ne pouvons le faire que sur Ω et non sur V. Pour les mêmes raisons, la transition ` dans la limite n→ ∞ est dans l'inégalité d'énergie modifiée obtenue en remplaçant Pδ(·) par Πδ(·) dans (2.7) et (2.8), induit des inégalités analogues au niveau ε.
Bornes uniformes
Laissons maintenant au lecteur le soin de vérifier qu'à l'aide des informations recueillies dans cette sous-section, le passage à la limite n → ∞ dans la restriction à D0 ((0, T)×Ω) de l'équation du mouvement (2.2 ) fait cela est possible. nous pouvons conclure que l’équation (2.20) est valide. 4.8) où B = (B1,B2,B3) désigne l’opérateur de Bogovski˘ı introduit dans le lemme B.1 où l’on considère G = Ω0 (Ω0 est un domaine borné sur le bord Lipschitzien), un lemme qui nous donne notamment pour confirmer que p.p.t. D'après les injections de Sobolev, l'inégalité de Poincaré et le lemme B.1, on trouve cela. 4.13) Après relecture de la note II.6, puisque β >4, il apparaît que ϕ est une fonction test admissible de l'équation du mouvement (2.20). Pour ce faire, nous faisons tendance ε→0+ à éliminer le terme de dissipation artificielle présent dans l'équation (2.19), ainsi que les quantités de coefficient ε présentes dans l'équation (2.20).
Existence de solutions
Ce n'est que dans tout sous-groupe compact K de Ω, c'est-à-dire 5.9) Cela est dû au fait que l'estimation améliorée (2.28) est uniquement locale et non globale en Ω. On se retrouve dans la configuration du lemme I.7 qui assure la validité du point (iii) de la proposition II.3 par rapport à l'équation de continuité renormalisée. La prise en compte de cette inégalité dans (5.18) implique que. 5.19) Bien entendu, étant donné les propriétés de régularité de (ρε, uε) énumérées au point (i) de la proposition II.2, cette inégalité n'est pas seulement vraie au sens des distributions, mais.
In´ egalit´ e d’´ energie
Comportement de la densit´ e et cons´ equences
En particulier, cela montre que Z. Pour cela on commence par noter que, par le lemme I.7 et la remarque I.2, on a d. Avec ces notations en tête, en utilisant la formule classique de Stokes, on peut calculer R 5.32). Pour des raisons évidentes, il n’est pas difficile de se convaincre que vous aussi le pouvez. Il est alors clair que (5.34), les propriétés du corps U∞ et la formule classique de Stokes justifient le calcul inverse.
Bornes uniformes
Puis, conformément au lemme B.1, l'inégalité de Holder, l'inégalité de Sobolev, l'inégalité de Young sur la convolution et la définition de la fonction bk, b(s) =sθ, p.p.t. Dans chaque incrément, nous utiliserons systématiquement une combinaison des arguments suivants : l'inégalité de H¨older, l'inégalité de Sobolev, (5.39), l'inégalité de Young par convolution, la définition de la fonction bk, b(s) =sθ et enfin les estimations . Pour conclure que l'estimation (2.41) est valide, il suffit d'utiliser l'inégalité classique d'Unge, puis le lemme de Fatou pour passer à la limite k→.
Relaxation des conditions initiales
Preuve : Conclusion (Etude du problème initial) 179 Il faut maintenant noter que la Proposition II.4 est vraie si l'on remplace ρ0, q0 et ρ∞ par ρ0,δ,q0,δ et ρ ∞,δ. Pour le reste, l’étude de l’expression Eδ(ρ0,δ,q0,δ), qui apparaîtra dans l’inégalité énergétique (2.35), adaptée à la situation actuelle, semble indispensable.
Construction d’une solution du probl` eme d’origine
Pour cette raison, pour démontrer que ρδ →ρ dans Lp((0, T)×K), p∈[1, γ+θ), quand δ→0+, nous utiliserons l'approximation due à Feireisl , une utilisation d'approximation qui nous l'avons déjà adapté au chapitre 2 de la partie stationnaire.
Flux effectif visqueux
Mesure de l’amplitude des oscillations