Enfin, j'ai eu le grand plaisir de voir Dominique François présider le jury de ma soutenance de thèse, tant d'un point de vue intellectuel (je le remercie particulièrement pour nos échanges sur la mécanique de la rupture) que d'un point de vue personnel, c'était un ami et voisin d'un ingénieur métallurgiste du CEA qui se trouvait être mon grand-père. Cependant, au cours des dernières décennies, la croissance significative des capacités informatiques a permis de résoudre numériquement des problèmes de plus en plus complexes, tant du point de vue géométrique que du point de vue des régularités comportementales, qui se rapprochent de plus en plus des matériaux connus. Cette capacité à modéliser des systèmes mécaniques de plus en plus complexes avec une grande précision à l’aide de méthodes numériques a inévitablement contribué au déclin de l’intérêt pour les solutions analytiques.
Que l'on l'envisage du point de vue de la solution pratique des problèmes mécaniques ou du point de vue du mathématicien, la recherche de solutions analytiques peut sembler en déclin. En effet, les solutions analytiques permettent des temps de calcul très faibles et sont donc adaptées aux calculs temps réel. Mais force est de constater que jusqu'à présent peu de développements analytiques ont été réalisés dans le secteur des méthodes inverses pour l'industrie.
Les solutions analytiques dédiées aux problèmes inverses apportent une bonne robustesse aux problèmes mal posés et assurent des calculs très rapides. Cette thèse s'appuie sur une série d'articles que nous avons publiés entre 2011 et 2012. L'auteur espère que ces travaux de thèse convaincront le lecteur non seulement que la recherche de solutions analytiques offre l'opportunité d'établir de nouveaux résultats, mais aussi que ces résultats ne se limitent pas à leur élégance mathématique, mais qu'ils peuvent être exploités dans un contexte industriel où l'efficacité et la robustesse sont privilégiées.
INTRODUCTION
- Enjeux
- Le procédé de laminage
- Modélisation prédictive
- Contact mécanique
- Transfert thermique
- Capteurs et méthodes inverses
- Méthodes inverses appliquées à la métrologie en laminage
- Problèmes mal posés
- Plan
Un dernier cylindre appelé cylindre de planéité sert de support au produit avant son enroulement autour de l'enrouleur. Les recherches sont donc très abondantes dans le domaine de la simulation numérique du processus de laminage. Le produit étant beaucoup plus mou, il n'y a pas de point neutre où l'on observe le changement brusque de signe de la vitesse relative entre le cylindre de travail et le produit, mais une zone neutre ou zone collante (qui peut être discontinue), où le mouvement tangentiel la vitesse du cylindre est la même que celle du produit.
Le contact entre le produit et le cylindre de travail est soumis à une conduction thermique, les frottements importants et la déformation plastique du produit sont également des sources de chaleur dont il faut tenir compte. En raison de la loi d'action et de réaction, si les charges mécaniques et thermiques appliquées au cylindre de travail sont connues, les charges appliquées par le cylindre au produit sont également connues. L'idée est d'utiliser le rouleau de travail lui-même comme capteur mesurant le tenseur de contrainte et la température à l'intérieur de la masse du rouleau.
Cela a des conséquences importantes dans la prédiction, par des modèles numériques dédiés, de la durée de vie des rouleaux.
PRÉLIMINAIRES MATHÉMATIQUES
- Avertissement
- Mesures et développement en séries
- Mesures
- Analyse de Fourier
- Fonctions de Bessel
- Analyse de Fourier-Bessel
- Polynômes orthogonaux
- Fonctions harmoniques et bi-harmoniques
- Harmoniques sphériques
- Fonctions harmoniques en cylindrique
- Fonctions harmoniques et bi-harmoniques en deux dimensions
- Intégrales de frontière
Il est à noter que l’équation différentielle de Bessel (2.18) reste inchangée pour α, donc Jα est également une solution. Nous utilisons donc la définition suivante : Définition 5 La fonction de Bessel modifiée de première espèce est définie par. Il est facile de vérifier que les polynômes de Jacobi sont des solutions de l’équation différentielle du second ordre suivante.
Les polynômes de Jacobi permettent un développement de type Fourier (généralisé), on a le théorème suivant. Si if n'est qu'intégrable en carré, la convergence de la série des polynômes de Jacobi vers fpxq est vraie en norme L2. Il est clair que si le théorème 4 doit être utilisé avec des polynômes de Chebyshev du premier type alors nous avons : fn.
Cependant, les polynômes de Legendre jouent un rôle central dans l’analyse des fonctions harmoniques, il convient donc de les mentionner ici. L'équation différentielle (2.53) vérifiée par les polynômes de Legendre a une deuxième solution appelée fonction de Legendre. On a notamment en dimension 2 l'équation de Laplace écrite respectivement en coordonnées cartésiennes et cylindriques.
On a notamment en dimension 3 l'équation de Laplace écrite respectivement en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. De plus, il convient d'introduire le changement de variable xcospϕq, on suppose alors que la fonction inconnue fnpρ, xq doit vérifier l'équation différentielle. Il s’agit de l’équation de Legendre associée (2.59), dont les solutions sont connues et sont des fonctions de Legendre de première et seconde espèces.
Dans le cas particulier n 0, cette équation se réduit à l'équation de Legendre (2.53) et dont les solutions sont les polynômes et les fonctions de Legendre. L'équation étant linéaire, il est possible de sommer ces solutions afin que les exponentielles puissent être remplacées par des cosinus ou des sinus. De plus, en cherchant la solution de l’équation de Laplace sous la forme fprqgpzqexppinθq, on obtient facilement les solutions suivantes.
Il est clair que l'équation de Laplace peut être résolue en considérant des solutions du type fnprqexppinθq car l'équation se simplifie en.
P ART A
MÉTHODES INVERSES EN DEUX DIMENSIONS
THERMO-ELASTICITÉ BIDIMENSIONNELLE
- Résultat de Kolosov-Muskhelishvili
- Equation de Navier avec second membre
- Equation de la chaleur pour un solide tournant à vitesse constante
- Famille de solutions
- Conclusion
- Compléments
- Dans un domaine élastique simplement connexe
- Dans un domaine élastique connexe
Dans cette section nous proposons de présenter une forme générale de l’équation de la chaleur sans source. La plaque plastifiée produit en effet de la chaleur, qui se répartit dans le cylindre, mais elle ne produit pas elle-même de chaleur. Par conséquent, nous considérons l’équation sans terme source. La première loi de la thermodynamique et la loi de Fourier donnent un volume arbitraire Ω, défini comme une tranche cylindrique d'épaisseur infinitésimale et limite BΩ (normales).
Nous avons choisi Ω arbitrairement, cela nous permet d'écrire l'égalité précédente sans intégration sur le volume, obtenant ainsi l'équation de la chaleur dans le cas général. Dans le cas d'un mobile tournant avec une vitesse angulaire ω, on a la vitesse de la particule au rayon : vωreθ (notez que ω est supposé constant). Cette équation constitue l'équation complète de la chaleur écrite en polaire pour un corps 2D tournant autour de son origine avec une vitesse angulaire constante.
Dans les cas d'application au laminage d'acier, la variation des coefficients thermiques n'est pas suffisante pour que l'approximation de leur hypothèse indépendante de la température soit critique, ceci est vérifié au chapitre 5. Cependant, bien que cela ne soit pas abordé dans cette thèse, il est possible de linéariser l'équation de la chaleur même si les coefficients thermiques dépendent de la température, grâce au calcul asymptotique. On peut alors linéariser l’équation de la chaleur en écrivant la température sous la forme T T0 ǫ0T1.
Le gradient de température n'est rien d'autre que le flux thermique (au sein de la constante multiplicative qui sert de loi de comportement), tandis que le tenseur de contraintes n'est rien d'autre que la partie symétrique du gradient du vecteur déplacement (au sein de la constante multiplicative do qui est du quatrième ordre). tenseur qui est la loi de comportement). Nous présentons quelques concepts mathématiques bien connus qui sont au cœur de la démonstration du résultat de Muskhelishvili (1977). Nous énonçons le lemme de Poincaré, qui sera le point de départ de la démonstration, car il permet de justifier l'existence du potentiel d'Airy.
Nous introduisons l'outil le plus important pour résoudre les problèmes d'élasticité plane isotrope, la notion d'holomorphie. En dérivant uxparyetuyparx et en additionnant les deux équations, il en résulte que f11pyqf21pxqc0PR (il faut considérer la loi constitutive du terme de gauche 2µǫxyσxy, la définition du Potentiel de l'Air (3.36) et la deuxième équation de (3.53)).
ÉVALUATION DES CONTRAINTES DE CONTACT
- Introduction
- Principes
- Fibres optiques
- Approche mathématique
- Analyse inverse
- Précision et temps de calcul
- Erreur de reconstruction
- Critère de troncature
- Discussion sur le nombre de points d’interpolation
- Validation et comparaison
- Contraintes prescrites dans l’emprise
- Mesures simulées
- Résultats sans bruit de mesure
De plus, une approche par éléments finis ou toute autre approche basée sur l'inversion d'une grande matrice représentant la relation linéaire entre les déformations mesurées et les contraintes de contact serait imprécise, voire impossible. D'un point de vue technologique, insérer un capteur mesurant des contraintes à deux positions radiales différentes est beaucoup plus difficile à concevoir qu'un simple capteur. La solution est ensuite étendue par continuité vers la surface pour exhiber les contraintes de contact dans l'empreinte.
Ainsi, les mesures sur le rayon intérieur sont simulées par calcul direct (cette étape remplace les mesures réelles qui doivent être effectuées par les fibres optiques), et les tensions de contact sont dérivées par la méthode inverse. La comparaison entre les contraintes superficielles prescrites et l'estimation des contraintes reconstituée par la méthode inverse permet d'évaluer la qualité de la méthode. Ces simulations fournissent les contraintes de contact prescrites à la surface du cylindre, notées σp.
Un simple calcul élastique donne les contraintes sur le rayon Rm (notées σm.p.q), qui sont les données d'entrée de la méthode inverse. En les exploitant, nous reconstruisons les contraintes de contact dans l'empreinte, notées σp.qpRs, θq. Nous utilisons la distance relative (dans la norme 2) entre les contraintes reconstruites issues du calcul inverse et les contraintes de surface prescrites.
A l'aide de (4.10) il est possible pour chaque condition de laminage et pour chaque valeur de Nm de réaliser le graphique (en fonction de Nt) des erreurs entre les contraintes reconstruites par la méthode inverse et les contraintes initialement prescrites en surface. En utilisant l’erreur définie par (4.10) et les trois conditions de roulage tirées de Legrand et al. 2010), les contraintes sont reconstruites pour différentes valeurs de N (c'est-à-dire différentes qualités d'intégration). Il est possible de tracer l'erreur entre les contraintes reconstruites et les contraintes prescrites en fonction du nombre de points d'interpolation Ns pour chaque condition de roulage.
Les contraintes de contact pour les trois conditions de roulement sont données par un modèle numérique LAM3 initialement établi par Hacquin (1996). Un calcul élastique direct classique donne les contraintes dans le cylindre au rayon Rm (considérées comme des simulations des mesures à effectuer sur les fibres optiques).