RencontresduGDR3MF—Nantes12juin2014 Inria–LaboratoireJeanKuntzmann GillesDaviet SimulationparélémentsdiscretsdefibresflexiblesavecfrottementdeCoulomb

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

Simulation par éléments discrets de fibres flexibles avec frottement de Coulomb

Gilles Daviet

Inria – Laboratoire Jean Kuntzmann Avec Florence Bertails-Descoubes

Rencontres du GDR 3MF — Nantes 12 juin 2014

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

M

:

I Loisir numérique (cinéma d’animation, effets spéciaux)

Final Fantasy (2000) The Incredibles (2005) Avatar (2009) Tangled (2010) Brave (2012)

I Prototypage virtuel en cosmétologie

c L’Oréal

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

M

:

I Loisir numérique (cinéma d’animation, effets spéciaux)

Final Fantasy (2000) The Incredibles (2005) Avatar (2009) Tangled (2010) Brave (2012)

I Prototypage virtuel en cosmétologie

c L’Oréal

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

E

I Simulationdynamique (et non quasi-statique)

I Fibres longues maisinextensibles

I Flexibles

(en courbureeten torsion)

I Frisure naturelle

I Frottement statique ( présence d’unseuil)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

E

I Simulationdynamique (et non quasi-statique)

I Fibres longues maisinextensibles

I Flexibles

(en courbureeten torsion)

I Frisure naturelle

I Frottement statique ( présence d’unseuil)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

E

I Simulationdynamique (et non quasi-statique)

I Fibres longues maisinextensibles

I Flexibles

(en courbureeten torsion)

I Frisure naturelle

I Frottement statique ( présence d’unseuil)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

’

TIGES MÉCANIQUES

MODÈLE DE CONTACT

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE

RÉSULTATS

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

’

TIGES MÉCANIQUES

MODÈLE DE CONTACT

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE

RÉSULTATS

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

T

K

I Ligne moyenner(s)

I Repère matériel

{t(s) =n0(s),n1(s),n2(s)}

I Hypothèses de Kirchhoff :

I Tige sans cisaillement

I Tigeinextensible

I Inertie en torsion négligeable

I Degrés de liberté :

I torsionτ(s)

I courburesκ₁(s),κ₂(s)

I Grands déplacements mais petites déformations :

→Loi de comportement élastique

M(s) =K

κ(s)−κ⁰(s)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

T

K

I Ligne moyenner(s)

I Repère matériel

{t(s) =n0(s),n1(s),n2(s)}

I Hypothèses de Kirchhoff :

I Tige sans cisaillement

I Tigeinextensible

I Inertie en torsion négligeable

I Degrés de liberté :

I torsionτ(s)

I courburesκ₁(s),κ₂(s)

I Grands déplacements mais petites déformations :

→Loi de comportement élastique

M(s) =K

κ(s)−κ⁰(s)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

T

K

I Ligne moyenner(s)

I Repère matériel

{t(s) =n0(s),n1(s),n2(s)}

I Hypothèses de Kirchhoff :

I Tige sans cisaillement

I Tigeinextensible

I Inertie en torsion négligeable

I Degrés de liberté :

I torsionτ(s)

I courburesκ₁(s),κ₂(s)

I Grands déplacements mais petites déformations :

→Loi de comportement élastique

M(s) =K

κ(s)−κ⁰(s)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

T

K

I Ligne moyenner(s)

I Repère matériel

{t(s) =n0(s),n1(s),n2(s)}

I Hypothèses de Kirchhoff :

I Tige sans cisaillement

I Tigeinextensible

I Inertie en torsion négligeable

I Degrés de liberté :

I torsionτ(s)

I courburesκ₁(s),κ₂(s)

I Grands déplacements mais petites déformations :

→Loi de comportement élastique

M(s) =K

κ(s)−κ⁰(s)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ1(s), κ2(s)constantes p. morceaux

I Intégration en temps

Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ1(s), κ2(s)constantes p. morceaux

I Intégration en temps

Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ1(s), κ2(s)constantes p. morceaux

I Intégration en temps

Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

ILLUSTRATION

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

’

TIGES MÉCANIQUES

MODÈLE DE CONTACT

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE

RÉSULTATS

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

C

Hypothèses

1. Le contact concerne toujours au plus deux objets,AetB 2. Surface de contact assez lisse pour définir une normalee

→On peut définir unrepère localet

I la vitesse relativeuA/B

I la force de contactrB→A

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

C

Hypothèses

1. Le contact concerne toujours au plus deux objets,AetB 2. Surface de contact assez lisse pour définir une normalee

→On peut définir unrepère localet

I la vitesse relativeuA/B

I la force de contactrB→A

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

L

C

:

Soitµ≥0 lecoefficient de frottement.

On définit lecône du second-ordreKµ, Kµ={krTk ≤µrN} ⊂R³

Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈1780)

(u,r)∈C(e, µ) ⇐⇒











soitdécollage r=0etuN >0 soitadhérence r∈Kµetu=0 soitglissement r∈∂Kµ\0,uN=0

et∃α≥0,uT =−αrT

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

L

C

:

Soitµ≥0 lecoefficient de frottement.

On définit lecône du second-ordreKµ, Kµ={krTk ≤µrN} ⊂R³

Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈1780)

(u,r)∈C(e, µ) ⇐⇒











soitdécollage r=0etuN >0 soitadhérence r∈Kµetu=0 soitglissement r∈∂Kµ\0,uN=0

et∃α≥0,uT =−αrT

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

L

C

:

Soitµ≥0 lecoefficient de frottement.

On définit lecône du second-ordreKµ, Kµ={krTk ≤µrN} ⊂R³

Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈1780)

(u,r)∈C(e, µ) ⇐⇒











soitdécollage r=0etuN >0

soitadhérence r∈Kµetu=0 soitglissement r∈∂Kµ\0,uN=0

et∃α≥0,uT =−αrT

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

L

C

:

Soitµ≥0 lecoefficient de frottement.

On définit lecône du second-ordreKµ, Kµ={krTk ≤µrN} ⊂R³

Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈1780)

(u,r)∈C(e, µ) ⇐⇒











soitdécollage r=0etuN >0 soitadhérence r∈Kµetu=0

soitglissement r∈∂Kµ\0,uN=0 et∃α≥0,uT =−αrT

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

L

C

:

Soitµ≥0 lecoefficient de frottement.

On définit lecône du second-ordreKµ, Kµ={krTk ≤µrN} ⊂R³

Contact frottant avec la loi de Coulomb (≈1780)

(u,r)∈C(e, µ) ⇐⇒











soitdécollage r=0etuN >0 soitadhérence r∈Kµetu=0 soitglissement r∈∂Kµ\0,uN=0

et∃α≥0,uT =−αrT

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

A

Ajout d’une force de pénalitér=rNe+rT

I rN:=η(d) +νv^k−1_N ,ddistance de pénétration

I rT:=−µr_nkv^k−1_T k

I Explicite,peu stable

I rT>0 =⇒ uT >0 ,pas de seuil

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

A

Ajout d’une force de pénalitér=rNe+rT

I rN:=η(d) +νv^k−_N ¹,ddistance de pénétration

I rT:=−µr_nkv^k−1_T k

I Explicite,peu stable

I rT>0 =⇒ uT >0 ,pas de seuil

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

A

Ajout d’une force de pénalitér=rNe+rT

I rN:=η(d) +νv^k−_N ¹,ddistance de pénétration

I rT:=−µr_nkv^k−1_T k

I Explicite,peu stable

I rT>0 =⇒ uT >0 ,pas de seuil

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

F

I Système global (sans interactions) : Mv+f=0

→inconnues :q=κκκ_t+dtetv

I Système global (aveccontact frottant) :







Mv+f = H^>r

u = Hv+w

(u,r) vérifie la loi de Coulomb

(1)

→Inconnues :q,v,uetr

→Non-lisse, non linéaire, pas de garantie d’existence

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

F

I Système global (sans interactions) : Mv+f=0

→inconnues :q=κκκ_t+dtetv

I Système global (aveccontact frottant) :







Mv+f = H^>r

u = Hv+w

(u,r) vérifie la loi de Coulomb

(1)

→Inconnues :q,v,uetr

→Non-lisse, non linéaire, pas de garantie d’existence

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

F

I Système global (sans interactions) : Mv+f=0

→inconnues :q=κκκ_t+dtetv

I Système global (aveccontact frottant) :







Mv+f = H^>r

u = Hv+w

(u,r) vérifie la loi de Coulomb

(1)

→Inconnues :q,v,uetr

→Non-lisse, non linéaire, pas de garantie d’existence

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

’

TIGES MÉCANIQUES

MODÈLE DE CONTACT

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE

RÉSULTATS

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

n

MÉTHODE CHOISIE

Méthode de Gauss-Seidel projeté

I Trèsstable

I ConvergenceO(logk)

I ... mais erreur suffisamment faibletrès rapidement

Idée

I Tant que la convergence n’est pas atteinte

I Pour chaque contact

I Résoudre le contact de manière isolée

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

n

MÉTHODE CHOISIE

Méthode de Gauss-Seidel projeté

I Trèsstable

I ConvergenceO(logk)

I ... mais erreur suffisamment faibletrès rapidement

Idée

I Tant que la convergence n’est pas atteinte

I Pour chaque contact

I Résoudre le contact de manière isolée

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

n

MÉTHODE CHOISIE

Méthode de Gauss-Seidel projeté

I Trèsstable

I ConvergenceO(logk)

I ... mais erreur suffisamment faibletrès rapidement

Idée

I Tant que la convergence n’est pas atteinte

I Pour chaque contact

I Résoudre le contact de manière isolée

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

n

MÉTHODE CHOISIE

Méthode de Gauss-Seidel projeté

I Trèsstable

I ConvergenceO(logk)

I ... mais erreur suffisamment faibletrès rapidement

Idée

I Tant que la convergence n’est pas atteinte

I Pour chaque contact

I Résoudre le contact de manière isolée

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

n

MÉTHODE CHOISIE

Méthode de Gauss-Seidel projeté

I Trèsstable

I ConvergenceO(logk)

I ... mais erreur suffisamment faibletrès rapidement

Idée

I Tant que la convergence n’est pas atteinte

I Pour chaque contact

I Résoudre le contact de manière isolée

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

R

Rappel de la formulation primale en (v,uetr) :







Mv+f = H^>r

u = Hv+w

(u,r) vérifie la loi de Coulomb

Formulation duale compacte en (u,r) : u = Wr+b

(u,r) vérifie la loi de Coulomb oùW=H M⁻¹H^>∈ M_3n(R)est l’opérateur de Delassus

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

R

Rappel de la formulation primale en (v,uetr) :







Mv+f = H^>r

u = Hv+w

(u,r) vérifie la loi de Coulomb Formulation duale compacte en (u,r) :

u = Wr+b

(u,r) vérifie la loi de Coulomb oùW=H M⁻¹H^>∈ M_3n(R)est l’opérateur de Delassus

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

G

-S

ILLUSTRATION POUR4CONTACTS

I Découper la matriceWen blocs3×3

→Chaque ligne de blocscorrespond àun unique contact

I Puis pourk:=1. . .N_itermaxitérer sur ces lignes :

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

G

-S

ILLUSTRATION POUR4CONTACTS

→Résoudre leproblème à un contact

(u^k+1₁ ,r^k+1₁ )∈ C(µ) avecr^k₂,r^k₃,r^k₄fixés,u^k+1₁ linéaire enr^k+1₁

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

G

-S

ILLUSTRATION POUR4CONTACTS

→Résoudre leproblème à un contact

(u^k+1₂ ,r^k+1₂ )∈ C(µ) avecr^k+1₁ ,r^k₃,r^k₄fixés,u^k+1₂ linéaire enr^k+1₂

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

G

-S

ILLUSTRATION POUR4CONTACTS

→Résoudre leproblème à un contact

(u^k+1₃ ,r^k+1₃ )∈ C(µ) avecr^k+1₁ ,r^k+1₂ ,r^k₄fixés,u^k+1₃ linéaire enr^k+1₃

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

G

-S

ILLUSTRATION POUR4CONTACTS

→Résoudre leproblème à un contact

(u^k+1₄ ,r^k+1₄ )∈ C(µ) avecr^k+1₁ ,r^k+1₂ ,r^k+1₃ fixés,u^k+1₄ linéaire enr^k+1₄

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

G

-S

ILLUSTRATION POUR4CONTACTS

→Recommencer la boucle aveck:=k+1

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

RÉSOLUTION DE(ui,ri)∈ C(µ)

I Linéarisation

I Cône polygonal (pyramide)

I Problème linéaire

I ... maisplus de variables

I ... etartefacts visables

I Formulation fonctionellef(u,r) =0

I Formulation énumérative

I Méthode hybride

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

RÉSOLUTION DE(ui,ri)∈ C(µ)

I Linéarisation

I Formulation fonctionellef(u,r) =0

I Alart-Curnier(1992)

I MFB(2011) : Fischer-Burmeister sur cône du second ordre

→Newton, point-fixe...

→Non-convexe,pas de convergence globale

I Formulation énumérative

I Méthode hybride

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

RÉSOLUTION DE(ui,ri)∈ C(µ)

I Linéarisation

I Formulation fonctionellef(u,r) =0

I Formulation énumérative

I Test successif de chaque cas cas

( décollage→adhérence→glissement )

I Glissement :polynôme de degré 4

I Formule exacte

→Nombreux tests, lent

I ... ou valeurs propres matrice compagnon

→Possiblement mal conditionnée

I Si non-existence,pas de solution approchée

I Méthode hybride

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

RÉSOLUTION DE(ui,ri)∈ C(µ)

I Linéarisation

I Formulation fonctionellef(u,r) =0

I Formulation énumérative

I Méthode hybride

I Cas simple ou glissement grossier par énumératif

I Raffinement par Newton

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

P

’

TIGES MÉCANIQUES

MODÈLE DE CONTACT

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE

RÉSULTATS

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

R

≈2000SUPER-HÉLICES

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

C

SUR306PROBLÈMES INCRÉMENTAUX

Solveur local Taux d’échec (%) GS Iters Time (ms)

Linéarisé 0 575 6497

PAC 19.3 163 1265

DAC 0.33 60 874

MFB 4.9 72 484

Enum 1 67 1044

MFB + Enum 0 41 312

I Le solveur hybride améliore à la fois larobustesseet l’efficacité en temps de calcul

I Le solveur linéarisé résout bien le problème approché, maisrequiert plus d’itérations de Gauss–Seidel pour converger→performance globale moindre

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

C

SUR306PROBLÈMES INCRÉMENTAUX

Solveur local Taux d’échec (%) GS Iters Time (ms)

Linéarisé 0 575 6497

PAC 19.3 163 1265

DAC 0.33 60 874

MFB 4.9 72 484

Enum 1 67 1044

MFB + Enum 0 41 312

I Le solveur hybride améliore à la fois larobustesseet l’efficacité en temps de calcul

I Le solveur linéarisé résout bien le problème approché, maisrequiert plus d’itérations de Gauss–Seidel pour converger→performance globale moindre

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

C

I Modèles visuellement réalistes

I Solveur stable

I Coût du calcul enO(n²)

I naugmente super-linéairement avec le nombre de fibres

I →limité à des systèmes de taille moyenne

Perspectives

I Validation plus précise

I Raffinement du modèle de contact :anisotropie,adhésion

I Interactions avec l’air

I Modèlemacroscopique(passage à l’échelle)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

C

I Modèles visuellement réalistes

I Solveur stable

I Coût du calcul enO(n²)

I naugmente super-linéairement avec le nombre de fibres

I →limité à des systèmes de taille moyenne

Perspectives

I Validation plus précise

I Raffinement du modèle de contact :anisotropie,adhésion

I Interactions avec l’air

I Modèlemacroscopique(passage à l’échelle)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

C

I Modèles visuellement réalistes

I Solveur stable

I Coût du calcul enO(n²)

I naugmente super-linéairement avec le nombre de fibres

I →limité à des systèmes de taille moyenne

Perspectives

I Validation plus précise

I Raffinement du modèle de contact :anisotropie,adhésion

I Interactions avec l’air

I Modèlemacroscopique(passage à l’échelle)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

M

Code disponible :

http://gdaviet.fr/code/bogus

http://bipop.inrialpes.fr/~bertails/Papiers/Code

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ₁(s), κ₂(s)constantes p. morceaux

I Éléments raccordés de manièreC¹

→Courbe lisse enhélices par morceaux

I Équation dynamique :

M(κκκ,t)κκκ¨+νKκκκ˙+Kκκκ=F(κκκ,κκκ,˙ t)

Mdense non-linéaire,Kdiagonale cste

I Intégration en tempsstable Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ₁(s), κ₂(s)constantes p. morceaux

I Éléments raccordés de manièreC¹

→Courbe lisse enhélices par morceaux

I Équation dynamique :

M(κκκ,t)κκκ¨+νKκκκ˙+Kκκκ=F(κκκ,κκκ,˙ t)

Mdense non-linéaire,Kdiagonale cste

I Intégration en tempsstable Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ₁(s), κ₂(s)constantes p. morceaux

I Éléments raccordés de manièreC¹

→Courbe lisse enhélices par morceaux

I Équation dynamique :

M(κκκ,t)κκκ¨+νKκκκ˙+Kκκκ=F(κκκ,κκκ,˙ t)

Mdense non-linéaire,Kdiagonale cste

I Intégration en tempsstable Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ₁(s), κ₂(s)constantes p. morceaux

I Éléments raccordés de manièreC¹

→Courbe lisse enhélices par morceaux

I Équation dynamique :

M(κκκ,t)κκκ¨+νKκκκ˙+Kκκκ=F(κκκ,κκκ,˙ t)

Mdense non-linéaire,Kdiagonale cste

I Intégration en tempsstable Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ₁(s), κ₂(s)constantes p. morceaux

I Éléments raccordés de manièreC¹

→Courbe lisse enhélices par morceaux

I Équation dynamique :

M(κκκ,t)κκκ¨+νKκκκ˙+Kκκκ=F(κκκ,κκκ,˙ t)

Mdense non-linéaire,Kdiagonale cste

I Intégration en tempsstable Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

U

:

S

-H

BERTAILSet al.2006

I Découpage de la tige enNéléments τ(s), κ₁(s), κ₂(s)constantes p. morceaux

I Éléments raccordés de manièreC¹

→Courbe lisse enhélices par morceaux

I Équation dynamique :

M(κκκ,t)κκκ¨+νKκκκ˙+Kκκκ=F(κκκ,κκκ,˙ t)

Mdense non-linéaire,Kdiagonale cste

I Intégration en tempsstable Mv+f =0,v= ˙κκκ_t+dt

I Extension :κlinéaire p. morceaux Super-Clothoides (Casatiet al.2013)

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

A

: D

E

R

BERGOUet al.2008, 2010

I Coordonnées maximales(squelette explicite) :

I N+1 nœuds ( points 3D )rrri I Ntorsions matériellesθ_i

→4N+3 degrés de libertés

I Inextensibilité non-intrinsèque

→Ressortsoucontraintes dures

I Intégration implicite

I Forcesnon-linéaires→Newton

I Matricecreuse par bandes

I ... mais pas forcément positive

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

A

: D

E

R

BERGOUet al.2008, 2010

I Coordonnées maximales(squelette explicite) :

I N+1 nœuds ( points 3D )rrri I Ntorsions matériellesθ_i

→4N+3 degrés de libertés

I Inextensibilité non-intrinsèque

→Ressortsoucontraintes dures

I Intégration implicite

I Forcesnon-linéaires→Newton

I Matricecreuse par bandes

I ... mais pas forcément positive

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

A

: D

E

R

BERGOUet al.2008, 2010

I Coordonnées maximales(squelette explicite) :

I N+1 nœuds ( points 3D )rrri I Ntorsions matériellesθ_i

→4N+3 degrés de libertés

I Inextensibilité non-intrinsèque

→Ressortsoucontraintes dures

I Intégration implicite

I Forcesnon-linéaires→Newton

I Matricecreuse par bandes

I ... mais pas forcément positive

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

A

: D

E

R

BERGOUet al.2008, 2010

I Coordonnées maximales(squelette explicite) :

I N+1 nœuds ( points 3D )rrri I Ntorsions matériellesθ_i

→4N+3 degrés de libertés

I Inextensibilité non-intrinsèque

→Ressortsoucontraintes dures

I Intégration implicite

I Forcesnon-linéaires→Newton

I Matricecreuse par bandes

I ... mais pas forcément positive

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

D

I Approximation linéaire par morceaux de r(s)(indépendantede la résolution de la tige)

I Cylindres englobantsde rayon

I Détection du contact par le calcul de distance minimaleentre les axes des cylindres :

→sid<2, un contact estactivé

I Sortie :

I Positionss^A_i ets^B_i du point de contacti pour chaque corpsA,B

I Normaleeiau contacti

I Méthodes d’accélération

I Partitionnementdes contraintes

I Table dehachageen espace

Avantage : simple et rapide (∼1 % du temps total de calcul) Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

D

I Approximation linéaire par morceaux de r(s)(indépendantede la résolution de la tige)

I Cylindres englobantsde rayon

I Détection du contact par le calcul de distance minimaleentre les axes des cylindres :

→sid<2, un contact estactivé

I Sortie :

I Positionss^A_i ets^B_i du point de contacti pour chaque corpsA,B

I Normaleeiau contacti

I Méthodes d’accélération

I Partitionnementdes contraintes

I Table dehachageen espace

Avantage : simple et rapide (∼1 % du temps total de calcul) Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

D

I Approximation linéaire par morceaux de r(s)(indépendantede la résolution de la tige)

I Cylindres englobantsde rayon

I Détection du contact par le calcul de distance minimaleentre les axes des cylindres :

→sid<2, un contact estactivé

I Sortie :

I Positionss^A_i ets^B_i du point de contacti pour chaque corpsA,B

I Normaleeiau contacti

I Méthodes d’accélération

I Partitionnementdes contraintes

I Table dehachageen espace

Avantage : simple et rapide (∼1 % du temps total de calcul) Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

D

I Approximation linéaire par morceaux de r(s)(indépendantede la résolution de la tige)

I Cylindres englobantsde rayon

I Détection du contact par le calcul de distance minimaleentre les axes des cylindres :

→sid<2, un contact estactivé

I Sortie :

I Positionss^A_i ets^B_i du point de contacti pour chaque corpsA,B

I Normaleeiau contacti

I Méthodes d’accélération

I Partitionnementdes contraintes

I Table dehachageen espace

Avantage : simple et rapide (∼1 % du temps total de calcul) Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps

INTRODUCTION TIGES MÉCANIQUES MODÈLE DE CONTACT RÉSOLUTION NUMÉRIQUE RÉSULTATS

D

I Approximation linéaire par morceaux de r(s)(indépendantede la résolution de la tige)

I Cylindres englobantsde rayon

I Détection du contact par le calcul de distance minimaleentre les axes des cylindres :

→sid<2, un contact estactivé

I Sortie :

I Positionss^A_i ets^B_i du point de contacti pour chaque corpsA,B

I Normaleeiau contacti

I Méthodes d’accélération

I Partitionnementdes contraintes

I Table dehachageen espace

Avantage : simple et rapide (∼1 % du temps total de calcul) Inconvénient : peut nécessiter de petits pas de temps