La modélisation des matériaux
La dynamique moléculaire
La première limite concerne le fait que l’on est encore loin des simulations incluant le nombre d’atomes dans un échantillon macroscopique. En considérant que nous souhaitons stocker 3 champs de données tridimensionnelles avec une double précision, nous obtenons une taille d'environ 6,5 Téraoctets par pas de temps.
La mécanique des milieux continus
L'approche linéaire de la mécanique des milieux continus consiste à dire que le tenseur de déformation et le tenseur de contrainte sont connexes. Dans l'annexe A.4.2, nous montrons que la formule du tenseur des contraintes dérivée de la loi de Cauchy-Born concerne le potentiel de Lennard-Jones.
Les méthodes de couplage Multi-échelles
Approche sans couture
Les atomes de la zone P sont des atomes fictifs, qui sont les nœuds du réseau situés aux sites atomiques. Le calcul de la contribution de l'atome aux forces exercées sur les atomes de la zone B est le suivant.
Approche par recouvrement
Pour parfaire la séparation d'échelle, la méthode suppose que l'on peut utiliser l'approximation du régime linéaire dans la région de jonction (c'est-à-dire que la figure 1.15 illustre le comptage pour des indices proches de la région où l'on veut retirer les atomes contenus dans les éléments, c'est-à-dire
Les techniques de couplage de codes
Approche de couplage par échange de messages
En utilisant le paradigme de communication [53][54], nous ajouterons explicitement l'échange de données nécessaire au couplage lors de la simulation. Le principal avantage de cette approche est le coût relativement faible du développement de l’embrayage.
Approche de couplage par composants
PALM [61] est un autre environnement de liaison qui garantit que les données liées peuvent évoluer de manière dynamique, en intégrant de véritables processus d'assimilation de données. Par exemple, dans [64] une approche pour redistribuer les données entre deux applications parallèles sous un formalisme de composants est présentée.
Les environnements de développement et de production concernant les simulations des matériaux multi-éc
Les tâches d'initialisation du couplage séquentiel sont illustrées dans le diagramme de la figure 3.13. Cette dernière dépend de l’évaluation de la fonction de contrainte aux différents pas de temps.
Modèle et structures informatiques pour un couplage multi-échelle de matériaux
Étude des propagations d’ondes et dispersions
Dans le contexte de la dynamique du réseau cristallin, on parle alors d’approximation harmonique de l’énergie. À la fin de la région de la figure se trouvent la longueur d’onde r0 et le nombre d’onde π/r0. Dans ce cas, plus on se rapproche de la fin de la zone Brillouin, plus la vitesse des vagues observée sera proche d’une onde stationnaire.
En effet, sur la figure 2.8 on voit que la valeur maximale de la fréquence diminue avec l'augmentation du pas h choisi pour les éléments finis. Fig.2.8 – Représentation de la relation de dispersion dans la zone de Brillouin pour un milieu discrétisé par éléments finis.
Analyse du mouvement couplé
- Oscillateur harmonique de couplage et modes propres
- Étude de la condensation de la matrice de contrainte
La description de la méthode originale ([48]) recommande d'utiliser une version modifiée de la matrice de contraintes pour accélérer les calculs des multiplicateurs de Lagrange. Pour étudier la compression de la matrice de contraintes, il faut considérer les solutions obtenues par le schéma discret avec le pas de temps ∆tt, qui est enregistré par u∆t(t) et d∆t(t) pour tout le temps t. Une première remarque sur ce résultat est que la limite de temps dépend de l’estimation de la différence entre la force de liaison et la force atomique, quantifiée par ˜F∆t à chaque pas de temps.
On notera la matrice suivante par ˜S:. 2.39) Ce que nous avons montré est très important car nous affirmons que la force ajoutée au DOF du système est proportionnelle à la valeur de la contrainte. Dans ce chapitre, nous décrirons l’algorithme de simulation tel que nous l’avons conçu.
Les structures de données
- Association entre les atomes et les éléments
- Interpolation rapide - Shape matrix
- Calcul de la matrice de contrainte condensée
- Tâches de l’initialisation
La figure 5.9 montre le spectre obtenu dans ce cas en calculant les valeurs propres de la matrice S.
Les différentes tâches du couplage
Composants logiciels d’une simulation couplée de matériaux
- Gestion des sous ensembles d’atomes
- Composant de couplage
Dans ce cas, nous devons sélectionner les atomes de la région superposée dans le composant joint : nous construisons une liste de références génériques pour accéder et corriger les DOF sélectionnés. Nous définissons maintenant un composant de couplage qui fournit le service de correction des inconnues. Le composant d'épissage extraira les DOF de la zone d'épissage et placera leurs références dans les conteneurs de référence.
Notre logiciel divise les représentations du côté droit des deux modèles au sein du composant de couplage. Les autres composantes de notre environnement, comme la composante visualisation, seront décrites en annexe A.5.
Stratégie de parallélisation
- Décomposition de domaine
- Problématique du couplage parallèle
La méthode cut ne permet pas l’équilibrage de charge pour ce scénario. C'est la méthode la plus utilisée [1], et peu de codes utilisent la décomposition de domaine irrégulière pour le parallélisme. Il est donc nécessaire d’équilibrer les deux parties en minimisant le coût de découpe.
Nous voulons diviser les domaines de calcul des deux codes. relié à tous les processeurs pour minimiser le temps total de simulation. Du fait de l’évolutivité des codes, il est en effet possible qu’il existe un entier borné tel que pour tout n satisfaisant n′ ≤n < N on observe T(SCn)≃T(ScN).
Analyse des dépendances entre les composants
On voit les accès au réseau pour la construction de la matrice de contraintes et du deuxième membre. Grâce à la condensation de la matrice de contraintes, nous pouvons réduire les échanges entre implémentations de composants. Le système de contraintes est bien entendu plus compliqué du fait que la distribution parallèle du système de contraintes est différente sur les groupes de processeurs MD et FE.
Ensuite la tâche TcR(3) est réalisée pour « synchroniser » les deux représentations du deuxième membre du système de contraintes. De même, la construction de la matrice de contraintes peut être divisée en contribution atomique et contribution continue.
Protocole de communication
- Identification des intersections
- Tâches de l’initialisation parallèle
- Redistribution
Dans ce qui suit, nous présentons les objets informatiques nécessaires à la connexion des communications et à la gestion de la distribution/traçage des DDL. Cela se fait en suivant le protocole d’identification des intersections défini dans la section suivante. En fait, le test géométrique de cette étape est effectué par le même algorithme que celui de la version séquentielle, c'est-à-dire que nous utilisons le.
On veut redistribuer le contenu de la représentation atomique au contenu des éléments finis de V, autrement dit de la distribution des processeurs (Pi) à la distribution des processeurs (Qj). Cette opération est définie statiquement et on pourrait utiliser un seul bloc par processeur adjacent, mais les migrations atomiques qui se produisent au fur et à mesure de l'évolution de la simulation provoquent la migration des atomes d'un processeur à l'autre.
Gestion des migrations des atomes
- Mise a jour des sous ensembles de références
- Mise a jour du schéma de redistribution
A droite, nous présentons le vecteur distribué de la structure conteneur, où l'on déplace l'indice de l'atome de P1 (ombré) vers la fin du conteneur de P2 (en bleu). De plus, sur la figure 5.13 nous présentons la puissance d'émission en fonction de la fréquence pour les différents paramètres. 5.17 – Fraction d'énergie contenue dans la zone atomique après 20000 pas de temps selon la taille de la couverture choisie.
5.18 – Fraction d'énergie contenue dans la région atomique après 20 000 pas de temps, selon la taille des éléments sélectionnés. Ceci est représenté sur la figure 5.17, où nous montrons le taux d’énergie cinétique réfléchi dans la zone atomique en fonction de la taille du chevauchement.
Réalisations et validations 107
Étude des modes de l’oscillateur pour une matrice de contrainte non condensée (H )111
Et nous analysons les valeurs propres de la matrice S présentée en 2.26 dans le cas d'une matrice de contraintes non condensée. Fig.5.3 – Coefficients de réflexion mesurés pour le passage d'un train d'ondes local de la forme (5.1) en fonction de la longueur d'onde. Cela permet de caractériser la zone fréquentielle où les réflexions seront importantes, c'est à dire proche de la fréquence de résonance du modèle éléments finis.
Fig.5.8 – Réflexion mesurée pour le passage d'un train d'ondes local de la forme (5.1), en fonction de la longueur d'onde. Ceci explique pourquoi la condensation de la matrice de contraintes permet d'absorber les hautes fréquences et ainsi d'éviter les réflexions.
Étude de la pondération du premier élément du couplage
La figure (a) présente la partie imaginaire en fonction de la partie réelle des modes et donc du pouvoir absorbant de ces derniers. Fig.5.12 – Les valeurs propres maximales et minimales de la matrice Q en fonction du poids du premier nœud du chevauchement. Le tableau 5.12 présente les valeurs propres maximales et minimales (en module) obtenues pour différentes valeurs du poids du premier nœud du maillage.
Le tableau 5.12 montre une dépendance directe entre la valeur propre maximale et la valeur de poids du premier nœud du maillage. Nous avons vérifié que l'approche de condensation de la matrice de contraintes fournissait des forces avec une prise en compte variable de l'historique en fonction du poids du premier nœud du chevauchement.
Propagation d’ondes
- Cas d’un cristal d’argon en dimension 2
- Cas d’un cristal de cuivre en dimension 3
Ensuite, une relaxation a lieu (après environ 20 000 pas de temps) et la propagation des fissures commence. La répartition de charge n’est donc pas correctement équilibrée sur les processeurs dédiés aux éléments finis. Nous avons néanmoins pu limiter l’effet de cette approche avec une durée qui dépend de l’ampleur du chevauchement.
Un simulateur de matériaux HPC en couplant la dynamique moléculaire aux éléments finis. Pour cela, il faut calculer la taille de la cellule élémentaire pour le potentiel sélectionné.
Propagation d’une fissure
- Cas du cristal d’argon en dimension 2
- Cas d’un cristal de cuivre en dimension 3
Performance et scalabilité
- Étude de performances sur le cas 2D de propagation de fissures
- Étude de performances sur le cas 3D de propagation d’ondes
- Amélioration proposée pour un meilleur partitionnement
C’est pourquoi on observe que la courbe des tâches de dynamique moléculaire TSA diminue avec le nombre de processeurs. Cela nous indique que le temps requis pour le TCR dépend réellement de l'utilisation de ShapeMatrix. Nous pouvons également développer une redistribution de ShapeMatrix afin que les processeurs dédiés à la dynamique moléculaire puissent également effectuer des interpolations.
Nous supposons que la conformation du réseau a la forme hexagonale suivante, illustrée à la Figure A.4. Nous donnons ici un algorithme pour construire la contribution atomique à la matrice de contraintes diagonales.
Conditions initiales : impulsions harmoniques
Inversibilité de la matrice de contrainte
À propos de la Cauchy-Born
- minimisation énergétique
- Linéarisation de la loi de Cauchy-Born
- Cristal d’argon 2D
Nous essayons donc de déterminer l’énergie totale du système (voir Figure A.2), que nous appelons potentiel de chaîne. Contrairement au cas présenté par le calcul précédent, qui suppose une chaîne infinie d’atomes, dans un cas fini, les bords de la chaîne ne seront pas en équilibre. A.3 – Pour calculer la règle de Cauchy-Born, on calcule la variation de potentiel selon un étirement uniforme.
Dans le cadre de l'approximation de la règle de Cauchy-Born, nous calculerons l'énergie « locale » de chaque élément en points de quadrature. Concrètement, les vecteurs directeurs du réseau cristallin se déforment selon un gradient de déformation F donné.
L’environnement de couplage LibMultiScale
Algorithmique
The Integrated Atom Method: Derivation and Application to Impurities, Surfaces, and Other Defects in Metals. Simulating the failure of materials using up to a billion atoms and the world's fastest computer: Brittle Fracture. Efficient three-dimensional delaunay triangulation with automatic point creation and imposed boundary constraints. International Journal of Numerical Methods in Engineering, p.
Aspects of ductile fracture and adaptive mesh refinement in damaged elasto-plastic materials. International Journal of Numerical Methods in Engineering. Dynamic Fracture of Silicon: Simultaneous Simulation of Quantum Electrons, Classical Atoms, and the Continuum Solid.
Expression de la matrice de masse condensée