Sur les tuyaux sonores M. Brillouin

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Submitted on 1 Jan 1887

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Sur les tuyaux sonores

M. Brillouin

To cite this version:

M. Brillouin. Sur les tuyaux sonores. J. Phys. Theor. Appl., 1887, 6 (1), pp.205-222.

�10.1051/jphystap:018870060020500�. �jpa-00238716�

205

SUR LES TUYAUX SONORES;

PAR M. M. BRILLOUIN (1).

1.

.l~cc~~pet

^des

équations f ojzdczrne~z ~celes

^de

l’llydroclyna- mique.

^Les

équations

^{aux dérivées}

partielles

du mouvement continu d’un fluide sont

en

appelant x,

^{~y·, ~} les coordonnées d’un

point

^{fixe de}

l’espace,

~ la

pression,

p la

densité,

tc, v, ^0:) les

composantes

de la vitesse du gaz ^{en ce}

point

^au

temps

^t.

A ces trois

équations s’ajoute

^{celle de continuité}

exprimant

^la conservation de la madère.

2.

Hypothèses. -

Nous supposerons :

10 Les mouvements très

petits,

^ce

qui permettra

^de

négliger

^les

carrés et

produits

^{deux à deux}

de ii, v, v, ÓP’ bp;

2° Les variations lentes dans le

temps

^et

l’espace,

c’est-à-dire,

~M ~M t ~

d ^~

du, ~u,

^{x 6 ~ ~ , du même ordre de}

grandeur

^{que u, v, ev.}

Cela

permet

^de

regarder

maintenant _{u, v,} 0/ comme les vitesses d’une

petite

^masse

qui

^se

déplace

^en s’écartant peu de ^sa

position d’équilibre;

si po ^est la densité moyenne ^constante

qui correspond

à

l’équilibre,

^les

équations

^{du mouvement de la masse fluide se}

( 1) Exposition élémentaire des théories de Helmhoitz et de Rayleigh, rédigées

par ~I. U. Lala, d’après ^les leçons de 1B1. Brillouin.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018870060020500

206

réduisent ^à

et

l’équation

^de continuité devient

La force vive est alors de la forme

3. Potentiel des vitesses. ^-

Supposons

que dans l’air le frot-

tement soit assez

petit

pour ^être

négligé

^{dans une}

première approximation.

^{Il existe alors un}

potentiel

^des

vitesse,

^c’est-

à-dire une

fonction W (x,

y,

~~,

telle que

et les

équations (1)

^{se réduisent}

uniquement à

à une fonction arbitraire du

temps près,

^fonction

qu’il

^{est inutile}

d’introduire,

^{car elle ne}

joue

^{aucun rôle dans les}

phénomènes

^à

étudier.

4. Équation fondamentale unique

^{du mouvement vibratoire}

de la masse g’a::;euse. - Le fluide ^étant

supposé

gazeux, il est

régi

par les lois de Mariette ^et de

Gay-Lussac

^{et de}

plus,

^{si son}

mouvement s’effectue sans

échange

^de

chaleur,

^{sa loi de} compres- sibilité est celle de Poisson ou de détente

adiabatique.

Si l’on

appelle

^{lî le}

rapport

^{des deux chaleurs}

spécifiques

C’’ .- j , 4

^{environ et si l’on} pose C~

207

R étant la constance de la loi de Mariotte pour

l’air,

à la densité du gaz par

rapport

^à

l’air,

^et

To

^la

température

^absolue

d’équi-

libre, l’équation (i)

^devient

l’élimination _{de p} entre cette

équation

^et celle de continuité

(II)

donne

équation unique

^{du mouvement} vibratoire de la masse gazeuse admettant ^un

potentiel

des vitesses ~.

5. Solutions

particulières

^de

l’équation (3 ~.

^{- On voit}

aisément que

est une solution de

(3) :

^{des ondes}

planes perpendiculaires

^{à l’axe}

des ~ et distribuées

périodiquement

^le

long

^{de cet axe se} propa-

gent

^{soit dans un sens,} soit dans l’autre avec une vitesse

V, qui

est celle du _son, donnée par

l’équation ( ~ ) lorsque F amplitude

est uniforme.

De

même,

^{une seconde} solution de

(3)

^est

en

représentant

par ^r la distance du

point observé x,

..,Y, z à ^un

point

^fixe

quelconque.

^{Cette solution}

correspond

^{à une onde}

sphérique isotrope, ayant

^même

amplitude

^{de mouvement dans}

tous les sens autour du

point

^{ébranlé et se}

propageant

^{avec une} vitesse constante

V,

de manière que le rayon croisse ^avec le

temps.

Une autre solution

correspondrait

^{au cas} d’une onde

sphérique

^venant d’une très

grande

^{distance et}

ayant

^{un mouvement inverse du}

précédent.

6. Ilouvemet-il d’une

~Zasse fluide

^{dans le}

voisinage

^{de l’oit-}

rerture d’un

tuyau. -

^{Nous nous} occuperons

uniquement

^du

208

cas suivant : dans l’intérieur du

tuyau,

^{à une distance suffisam-}

ment

grande,

^{les ondes sont}

planes

^et

régies par la première

^forme

de (D et à

l’extérieur,

^à

partir

^d’une distance convenable de l’ouver- ture, les ondes deviennent

sphériques

^et

isotropes,

^et correspon- dent à la seconde forme de (D.

Il faut relier ces

deux

^formes de 1> en étudiant l’influence de l’ouverture du

tuyau.

^{Si nous} prenons la forme la

plus générale

pour ^{une onde}

s’éloignant

^du

tuyau,

^nous pouvons ^écrire pour ^le

potentiel

^extérieur

1B1 et

1~I~

^{étant deux} constantes à déterminer et la distance ^{r se}

comptant

^à

partir

^{du milieu 0 du}

plan

^de l’ouverture. A l’intérieur du

tuyau,

^le

potentiel (D,

^{f sera de la forme}

en faisant

disparaître

^{le second terme en sin m V t} par ^un choix

arbitraire,

^mais convenable de

l’origine

^du

temps.

^{Le terme}

prin- cipal de ~D,

^f

qui

subsisterait sùul dans la théorie de Bernoulli est

A. sin mx cos nt V t.

Le

problème

^{consiste à} rafoeorder

,D,

valable dans le tube à

gauche

^d’un

plan

^{Il à}

P2

^{valable à} l’extérieur à droite d’une

sphère

1 en déterminant les termes de correction

lkI, M~ B

^{et D en}

fonction du terme

principal

^A.

Dans ce

but,

^nous ferons les

hypothèses

^suivante

i° Les distances de 0 au

plan

^{Il et à la}

sphère 1

^sont

grandes

relativement à la dimension transversale de l’ouverture et par suite les

rapports

^{de la racine carrée de la surface S} de l’ouverture à ces distances x ou r sont

négligeables.

2° La

région perturbée comprise

^{entre II eu 1 est} extrêmement

petite

par

rapport

^{à la}

longueur

^{d’onde du son}

produit.

^Par

suite,

les

rapports

^{inx, ~Zh des distances .x ou r à la}

longueur

^d’onde

sont

négligeables.

La théorie ne

s’appliquera

^donc

qu’à

^des

tuyaux longs

^{et étroits}

donnant ^{un son} de

grande longueur

d’onde relativement aux

dimensions transversales du

tuyau.

209 7. 3° Dans ^ces

conditions,

^la correction à faire à la théorie de Bernoulli est très

petite;

^au lieu d’être

rigoureusement

^invariable

à F extrémité d u

tuyau

^y la densité du gaz subit des variations

périodiques,

^dont

l’amplitude

^{a ’Ka} valeur minimum dans une

partie

^de

l’espace

^{II~ très} voisine de l’extrémité 0 du

tuyau.

^Dans

l’éduation

de conservation de la

matière,

^on

peut négliger

^{les dif-}

férences de densité dans

l’espace

¹¹¹

(qui

^{sont du second}

ordre)

^et

écrire que le volume 1 de gaz

qui

^{entre en II est}

égal

^{au volume}

qui

^{sort en ~}

4°

^{Mais il n’est}

plus permis

^dé

négliger

^ces variations dans l’évaluation du travail moteur; les forces motrices _sont, en

effets,

les excès de

pression

^en

chaque point ;

^{elles sont}

petites

du pre- mier

ordre,

^{et des} variations

abîolues, petites

du second ordre dans ces excès de

pression,

^sont des variations relatives du pre- mier ordre. Le travail des

pressions

^{sur la masse II~}

compté posi-

tivement dans le sens des croissants est

Quant

^à la variation

d’énergie

^du gaz, ^{comme les} variations rela-- tives de la densité

n’y

^sont que du second

ordre,

^{elle se réduit a}

la variation de force vive. Les vite’s’ses sont, ^en

chaque point,

pro-

portionnelles

^{au flux uniforme}

I’,

^et la force vive

(2)

^{est de la}

forme po RI2^{RI2, en}

appelant

^{R un} coefncient

qui dépend

de la forme

a

du

tuyau

^au

voisinage

^de

l’ouvertu~re,

^{et dont la}

partie importante,

^y

x 1

pour des valeurs de x ^et de ^r un .p-eu ^.

grandes,

^est

Ro ’-, x S --

^{S 2~tr~2r}

La

comparaison

^{des lois de}

l’éco-.--ulement permanent

^{d’un fluide} de densité uniforme po ^avec

celles

^{des courants}

électriques

^dans

un conducteur de résistance

spécifique po

^montre que R ^est la résistance

électrique

^d’un

pareil conducteur, occupant

^tour

l’espace fIS,

pourvu que les

parois

^soient

remplacées

par ^un isolant

parfait,

^et que ^le

plan

^{II et la}

sphère 1

soient des surfaces de niveau. D’un ensemble de recherches

théoriques

^{de lord}

Rayleigh,

il

paraît

^résulter que le ^terme

1)0

^ne -diffère pas d’une manière

210

appréciable

^de

°-~ ~6

^tant que la forme de la section droite du tube

ilÉ

ne

s’éloiggne

pas

trop

de la forme circulaire.

L’écluation

^de la conservation de

l’énergie

^{est alors}

qui, intégrée

par

rapport

^au

temps,

^devient

Si l’on examine attentivement les

hypothèses

^{3 et}

/,

^{on reconnaît}

qu’elles

^sont

identiques

^{à celles}

qui permettent

^de passer ^des

équations générales dru 9 1

^aux

équations

^des

petits

^mouvements

(§ 2).

La seule différence est que ^ces

hypothèses

^sont

applicables

non

plus

^{seulement à un élément de}

volume,

^{mais à un volume}

étendu par

rapport

^à la section

droite, lorsque

^{dans ce volume}

toutes les

variables,

^{vitesses et}

densités,

ont, ^à

chaque instant,

^des

valeurs maximum ou minimum par

rapport

^aux

régions voisines,

en

particulier

^à l’ouverture où se trouve un ventre

(’ ).

8. Dans

l’équation (6) qui

^doit avoir lieu

quel

que

soit t,

^rem-

plaçons (D,

^{f et}

1>2

par leurs valeurs

( /~ ), (5)

^et

développons ;

^{il vient}

Ne conservons que les termes

principaux

^{et laissons} de côté les

termes

petits,

tels que

B n&ce, D/?2.y,

...,

IVlmr2,

^@

MI rn2 j~~,

@ ^.... La seconde

équation

^donne

e la

~rer~ére

d’où résulte

(1) ^{Les mêmes} hypothèses permettraient l’étude de l’influence d’un changement

de forme du tuyau bouché dans le voisinage ^du fond, ^ou de l’élasticité de la paroi

dans cette région, lorsque la hauteur du ^son est telle qu’il y ait ^un noeud près

de cette paroi.

211

L’équation (5) peut

^s’écrire

et

donne,

^{en écrivant}

quelle

^est satisfaite

quel

^que

soit t,

^deux

conditions

qui,

^{à notre}

degré d’approximation,

^{se réduisent à}

Supprimons

^{les termes} communs aux deux

membres,

^{et lais-}

sons de côté les termes

négligeables,

^{il reste}

Par

conséquent,

en

posant

ou

9.

~’z~,~~au indéfini

^{dans un sens, mais s’ouvrant dans l’es-}

pace par ^une extrémité limitée par ^un

plan indéfini (fig. 1).

Ventres. l’l~ceztds. ^- Examinons

si,

_pour ^{un son de}

longueur

d’onde À déterminée et, par

suite,

pour ^{une valeur de 111 déter-}

minée,

^il

peut

^exister des noeuds et des ventres

fixes,

^en

appelant toujours

noeuds les

régions

^où

l’amplitude

^{de la}

pression

^est

maximum et ventres celles où

l’amplitude

de la vitesse est

maximum.

Occupons-nous

^{d’abord des ventres. Pour}

cela,

considérons

l’équation

--

où l’on a

posé

212

de sorte que la fonction J de x

représente l’amplitude

de la vitesse

et 77zVï la

phase.

Les maxima de J donnent les ventres.

On ^{aura une} détermination

approchée

^{de ces maxima en} pre-

nant seulement le

premier

^{terme de}

J‘-’,

^{car x est une très}

petite

fraction de ~. Donc ~~ sera maximum pour

Fig. ~.

et, ^{comme doit être}

négatif (le tuyau

^étant du côte des x né-

~at,ifs~,

^{il en résulte} que les ventres sont donnés par

k étant un nombre

entier. Ainsi,

^dans l’intérieur du

tuyau.,

^il existe des ventres

équidistants,

distants l’un de l’autre

de,

^{et t}

2

dont le

premier

^{est situé à cette}

distance -

^d’un

point placé

^{à la}

distance ^d en avant de

l’ouverture, point

^à

partir duquel

^les

ventres sont distribués comme ils le sont dans la théorie de Ber- noulli à

partir

^de l’ouverture même. On voit que cela revient à supposer ^le

tuyau allongé

^{de la}

petite quantité

^{cc = o,}

46VS

pour que ^la

position

^{des ventres} donnée par ^la théorie éJémentaire de Bernoulli

s’applique

^au

tuyau corrigé.

La valeur

correspondante

^{de la}

phase T

^{est donnée} sensiblement

213

par d’où

en

appelant

^{T la}

période

d’oscillation définie par

Donc, à partir

^{de notre}

origine

^du

temps

arbitraire

(6) laphase

T est sensiblement la même pour ^tous les ventres et

égale

^{à la}

moitié de la

période

^T.

T-~ ~ ~1 ^{1 t ~ ’} ÔP,

En

opérant

^{~- sur}

dt ,

^{d t} comme nous venons de le faire sur

r) x,0 n

^r

trouve que les noeuds ^sont donnés par

c’est-à--dire

équidistants

^{entre eux}

de 2

^{et situés} exactement ^au

~ 2

milieu de chacune des distances

séparant

^{deux ventres} consécutifs.

La

phase

^{z’ en}

chaque

^{noeud est}

intermédiaire entre celle de deux ventres.

Remarquons qu’aux

^{ven tres} il y ^a

simplement

rnininlunl des variations de

pression

^{et aux} n0153uds minimum des variations de vitesse.

~10.

Propag’ation

^{du son dans le}

tuyaux. -

Pour étudier la

propagation

^et la loi de distribution des vitesses à une

époque

^dé-

. ,

l, , ^.. d a,pi

P ^,

terminée,

reprenons

l’équation qui

^donne

àx.

^{r our une}

époque

¹

très voisine de z construisons la courbe des

amplitudes

des vitesses J : elle est sinusoïdale et les

points

d’ordonnée maximum sont t ceux où

l’amplitude

^du mouvement est maximum. Pour une telle

époque

^{t très voisine}

der, ax

^{se réduit} sensiblement à x

214

&3 E

215 maximum pour ^{sin m x = i, ou}

Donc t variant de T ^onc t varIant e ’t

- T

^- -E-- ~ à ~

-f- T -

e, ^tant que E ^n’est pas 4 + ^{ê a ’t} +

4

- ê, ^tant que ^{ê n est} pas très

pe ti t,

les maximum

d’amplitude

^{de vi tesse ont lieu aux}

points

^{où sont les ventres} pour ^se

transporter

subitement aux

o.

d, l d ^T

ventres voisins dès

que t

^se

rapproche

^{de z}

;- T

₂ ^en

passant

T ^..

aux noeuds intermédiaires à

l’époque z + 2013?

mais le maximum 4

correspondant

^{au noeud est} extrêmement

petit.

^{C’est ce} que ^nous

avons

essayé

^de

représenter

^{dans la}

fig.

^{2 où les courbes}

repré-

sentent la distribution des vitesses dans le

tuyau

^aux

époques

T 2T T

T T -~- ^{2013 ?} T -p 20132013 ? ’ " ? T -~- - ’

~’ ~ ~

, ’r

^-i- % ’ ° ° ^{i ~ --l-}

~ -

"

,

20 20 4

Par

suite,

^le

tuyau présente

^une succession d’états station- naires

pendant

presque ^{toute une}

demi-période,

^{mais ces états se}

propagent

par saccades d’un ^{ventre au} suivant à

chaque

^demi-

période.

^{Le mouvement} vibratoire dans le

tuyau

^se

transporte

avec une lenteur extrême durant la

plus grande partie

^de

chaque demi-période

^{et, à} la fin de chacune de ces

demi-périodes,

^il

passe

brusquement

^{d’un ventre au} suivant. Par

suite,

^dans

chaque demi-période,

le chemin parcouru

est -;’

c’est-à--dire le même que celui

qui

^serait parcouru dans l’air libre par le ^son T avec

la vitesse constante V.

Cette

propagation

saccadée dans l’intérieur du

tuyau

^{se continue}

à l’air libre en

devenant,

^{dans le}

voisinage

^de

l’ouverture,

^de

moins en moins

brusque,

^{de sorte}

qu’à

l’extérieur le mouvement se propage uniformément avec la vitesse du son.

On arrive ^aux mêmes conclusions en examinant ce

qui

^se passe pour les noeuds. Les maxima de

pression

^se maintiennent ^aux noeuds

pendant

presque ^{toute la durée} de

chaque demi-période,

pour, ^à la fin de ces

demi-périodes,

^se

transporter brusquement

d’ d d.., ’1 d. ^x 1 1.

d’un noeud ^au noeud suivant situé à la distance ~

plus

^loin.

, 2 ^’-

216

Tuyaux ^limités.

11.

Énoncé

dit

problème yénérczl. -

^On

peut

^se proposer

d’appliquer

^{les notions}

précédentes

^au

problème

^{suivant :}

On donne une cavité ouverte dans l’air extérieur ^et une source

de son

placée

soit dans l’air

extérieur,

^un peu

loin,

^{soit sur une}

paroi

^{de la}

cavité,

^{et l’on} demande de trouver la relation

qui

^doit

exister entre les dimensions de la cavité et la

période

^{du son} pour que

l’amplitude

^{du mouvement}

qui

^se

produit

^dans l’air soit maximum et que l’intensité du renforcement de ce son par la cavité

soit,

par

suite,

^la

plus grande possible.

^{Nous étudierons}

successivement les

tuyaux

^{et les} résonateurs.

12.

Tuyau

^{ouvert à une}

extrémité, fermé

^à l’azctoe extrémités par ^zcn

piston

mobile osczllcznt avec une

période

^{et une}

ampli-

tude déterminée. - Soit

la vitesse au

temps t

^du

piston qui

^{oscille autour de la}

position

s = - 1 avec

l’amplitude

^{G et la}

période

Nous

appelons

^{0 une constante}

correspondant

^{à la}

phase

^{à dé-}

terminer.

Le

piston

^et la tranche d’air

qui

^{le touche devant avoir la même}

vitesse,

, ,,~ ,

d’où

L’air du

tuyau

^{est mis en}

vibration, quelle

que ^soit la hauteur du son T

on % ;

_{în-B[ ;} ^{mais m} l’intensité du son renforcé

dépend

^{de la}

relation entre la

longueur

^{d’onde et les} dimensions du

tuyau.

^La valeur de A est 111aX1I11L1111

lorsque J-1 (équation 10~

^est

minimum,

217

~’est-à-dire, quand

^le

piston

^{est à un noeud. On a alors}

Pour une valeur déterminée de

G,

l’intensité du son extérieur

est

indépendante

de la section du

tube ;

^{elle est}

proportionnelle

^à

la

puissance 3

^{de la}

longueur

^d’onde. _1B. l’intérieur du

tube,

^l’in-

tensité varie ^en raison inverse du carré de la

section,

^et propor- tionnellement à la

puissance 1

^{de la}

longueur

d’onde. Dans le cas

particulier

^du renforcement

maximum,

^{le travail} moyen nécessaire pour maintenir le ^mouvement du

piston, malgré

^la

pression

^va-

riable de

l’air,

^a pour valeur

Il est à peu

près indépendant

de la section du

tuyau,

^et propor- tionnel à la

puissance )

^{de la}

longueur

d’onde. Il serait moindre si le

piston

^était

placé partout

^ailleurs

qu’en

^un

n0153ud,

^{et mini-}

mum s’il

occupait

^{un ventre. Ce}

problème correspond

^{au cas des}

tuyaux

^{à anche}

parfaitement élastique,

^{dont la}

période

propre ^est sensiblement

indépendante

^{des réactions du}

tuyau;

^{ce cas est à} peu

près

réalisé dans

les jeux d’orga e (cornet,

cromorne,

etc.)

^à

anche

métallique.

13. Dans les instruments à anche de bois

(clarinette, hautbois),

la hauteur du son est déterminée _{par la}

longueur

^du

tuyau.

L’amortissement des vibrations propres d’une larme de bois ^est très

rapide;

^on

peut

^le considérer comme dû exclusivement aux

frottements internes.

Quand

^{l’anche est écartée de sa}

position d’équilibre,

^{le son} propre ^très élevé et vite éteint donne

l’impression

d’un son

articulé;

pour le ^son

permanent, beaucoup plus

grave, l’élasticité propre de l’anche est à

chaque

^instant

compensée

par- tiellement par l’excès de la

pression

^{de l’air sur le} frottement in- terne. Le maximum de résonance se

produit, d’après

^{von Helm-}

holtz, lorsque

les variations de débit de

l’air,

^{à travers l’anche}

fonctionnant comme soupape,

atteignent

leur valeur maximum.

C’est ce

qui

^arrive

quand

^l’anche occupe ^{un noeud du}

tuyau

218

sonore;

l’amplitude

^{du mouvement} de l’anche est alors

rnaximum,

et

l’époque

du maximum de vitesse de l’air est la même que celle du maximum d’ouverture de

l’anche ; l’époque

^{du maximum de}

pression,

différente de

T ,

^{coïncide avec}

l’époque

du maximum de

4

vitesse de l’anche et par

conséquent

du maximum de frottement interne.

Ainsi,

^la

clarinette,

dont le tube est

cylindrique,

^{un tube de}

verre muni d’une embouchure à bocal et

joué

^{comme un cor}

donnent les

harmoniques impairs

^des

tuyaux

^{fermés à un bout.}

S’il en est autrement pour le

hautbois,

^le cor, les

trompettes,

^c’est que ^ces instruments sont

coniques ;

^{l’anche ou} les lèvres

occupent

sensiblement le sommet du

cône,

^et la théorie des

tuyaux coniques

montre que ^tous les

harmoniques

^du

tuyau

^{ouvert de même}

longueur

^{ont un noeud au sommet. En}

forçant

^le

souffle,

^le

hautbois

octavie,

tandis que la clarinette

quintoie. Lorsque

^le

tuyau conique

^ne s’étend pas

jusqu’au

sommet, les ^{sons suc-} cessifs ne sont pas ^en

général

^des

harmoniques justes (1).

14. Source sonore e.xténiezcre

éloignée. -

^La source sonore est

supposée

^assez

éloignée

pour que les ondes arrivant à l’ouverture du

tuyau (faite

^{dans un}

plan indéfini)

^soient

planes.

Le

potentiel

^{total à} l’intérieur

où,

^{à une distance assez}

grande,

le son se propage par ondes

planes

^{normales à la}

longueur

^du

tube,

se compose ^de et de

car le mouvement

produit

résulte de la source et de son

image

^re-

lativement à la

paroi plane.

^Nous

représentons

par I-I ^{une con-}

stante

déterminée,

ainsi que

rr~~T,

par la ^source. Dans ’If il

n’y

^a

pas de ^{terme en}

sinmx,

^{car la} vitesse normale à l’orifice est nulle dans le

plan

^de l’ouverture

(x

^---.-_

o).

^Le

potentiel

^{total à} l’intérieur du

tuyau

^{est donc}

(1) HELMHOLTZ, ~b7a., ^Bd. I, p. 3g3.

219

2’zcyuzc ferlné

^{il x = - 1. - La vitesse le}

long

^{de la}

paroi

~~ ==2013 C est constamment nulle : donc

quel

que

soit t,

^ce

qui

^donne

et

La

phase

^{0 est donc}

égale

^{à celle -~-1}

correspondant

^{au fond du}

tube et

dépend

ainsi de la

longueur

^du

tuyau

^{et le maximum}

de résonance a lieu

quand

1

c’est-à-dire

quand

^la

paroi

^{fixe est située en un} n0153ud du son de

,. -, r

période "2_~ ~ période

^{’ 20132013 ’}21:

.’l’ûy’az~

^{ouvert à x =- ~. - Pour} l’extrémiié

-£ (x - o)

tournée vers la _source, le

potentiel

^est encore (D, + W.

Mais,

^{du côté}

B (x ---_ - 1),

^{où la source} n’existe pas, le po- tentiel

W§

^{se déduit de (b en}

changeant

^{x en}

1 - r, -X

^{et a en}

eu or.’

identiques

^ou différents de A et oc suivant que les formes des ouvertures sont

identiques

^ou différentes.

On détermine A et -X’ en fonction de H par les

équations

(1) ^{Il en} résulte que, ^sans changer notablement la hauteur du son produit par les vibrations d’un diapason, ^on peut ^en changer considérablement la phase ^en

faisant varier de quelques dixièmes de niillimètire la longueur ^du tuyau.

220

qui

^{ont lieu dans tout le}

tuyau, à

^toute

époques,

^et

qui exigent

que les trois

phases qui

interviennent soient ^une même fonction de x.

Il reste alors entre les

amplitudes

deux relations déterminant com-

plètement

^{A et A’.}

On trouve ainsi

qu’un tuyau

^{ouvert aux deux} bouts fonction-

nant comme résonateur sous l’influence d’une source extérieure donne le maximum de résonance pour

~, étant la

longueur

^{d’onde du son de la source et Il un nombre}

entier.

Fig. l.

Quant

^à l’influence évidemment considérable de l’embouchure de flûte dans ^un

tuyau d’orgue,

^{il n’est méme} pas

possible

^d’en

soupçonner la théorie. 1~~. von Helmholtz admet que l’embouchure

ne

produit qu’un

^bruit

confus,

^un

frôlement

^dans

lequel

^le

tuyau d’orgue

choisit les sons

qu’il renforce,

^{et noie tous les}

autres.

Pourtant,

les soins

particuliers du’exige

^{l’accord de l’em-}

boucharde

(1),

les essais que l’on

peut

^{faire avec} l’embouchure

isolée,

^{à biseau}

mobile,

^semblent

indiquer

que l’embouchure est

par elle-méme

capable

^de

produire

^{un son}

musical,

^et que de l’accord de ce son avec le son propre ^du

tuyau dépend

^{la beau té}

du son de l’ensemble. C’est

peut-être

^à l’insuffisance de ce

réglage

dans les

tuyaux

^des cabinets de

Physique qu’il

faut attribuer l’instabilité du son

signalée

par ^tous les

expérimentateurs.

(1) ^DoM BEDOS, ^Facteurs cl’oJ:gues. ^Réédition Roret, ^t. II, Chap. ^X.

221

~1 ~.

Expériences. -

Cavaillé-Coll a déterminé la différence

entre la

longueur

^d’un

tuyau

^à embouchure de

flûte,

^{ouvert ou}

fermé,

^{et la fraction}

correspondante

^{de la}

longueur

^{d’onde du son}

qu’il donne,

^{en mesurant la hauteur du son au} moyen de la

sirène;

il a trouvé ainsi _que, pour transformer le

tuyau

^{réel en}

tuyau

^de

Bernoulli,

^{il faut}

ajouter

^{à sa}

longueur

vraie le double de la prao-

fondeur)

distance du biseau à la

paroi opposée

^{dans une section}

droite. Cette

correction,

suffisante pour les besoins de la facture

d’orgue,

^{ne donne aucun}

renseignement

^sur l’influence de l’extré- mité ouverte,

qui, d’après

^la

théorie,

^est

quatre

^ou

cinq

^fois

moindre.

Wertheim a

essayé

^de

séparer

^{les deux} corrections à l’embou- chure et à l’extrémité ouverte. Il déterminait la hauteur du son

produit

^{sous une}

pression

^d’air constante, dans ^un

tuyau

^ouvert d’abord

seul, puis

additionné d’un tube ouvert d’environ une

demi-longueur d’onde,

^{ou d’un} tube fermé d’environ un

quart

^de

longueur

^{d’onde. C’est la}

comparaison

^des trois hauteurs de son

déterminées ^au moyen du ^sonomètre

qui

^{fournit les deux correc-}

tions,

^{en même}

temps

que la vitesse du son. Comme ces hauteurs

sont déterminées à

510 près,

^{il est évident} que la correction ^à l’ex- trémité ouverte est mal déterminée. L’examen des nombres de Wertheim montre, ^en

effet,

que même la correction totale n’est _pas déterminée à 1 cm

près.

^Ces

expériences

^sont antérieures au Mé- moire d’Helmhol tz.

Ce n’est que ^tout récemment que M.

Blaikley

^a

entrepris

^de

déterminer la correction à l’extrémité ouverte d’un tube

cylin- drique,

^{ouvert à l’air}

libre,

^sans

plan

additionnel. Un tube de laiton de 5l- de diamètre

plonge

verticalement dans une

longue éprouvette

^{d’eau et} forme ainsi un

tuyau

fermé dont on

peut

^faire varier la

longueur d’une

manière continue en élevant ou abaissant le

tube,

^sur

lequel

^{se trouve une division en} millimètres. On _ap-

proche

^un

diapason

^de l’extrémité ouverte et l’on cherche les lon- gueurs successives

if, l2, qui

donnent le maximum de résonance.

Elles

correspondent

^à deux noeuds

consécutif s ;

^donc

Avec

cinq diapasons différents,

^M.

Blaikley

^a

toujours

^trouvé

222

une correction oscillant entre

u, 5~

^et

0,60

du rayon du

tube, indépendante

^{de la}

longueur

^{vibrante du}

tuyau

^{et de la}

longueur

d’onde du son

( ~ ~.

Une ^autre série

d’expériences, d’après

^{une méthode}

analogue

^à

celle de

Wertheiin,

mais débarrassée de ses causes

d’erreur,

^a donné le même résultat.

Cette correction est

comprise

^entre

les 3

^et

les (

^{de celle}

qu’in- dique

^{la théorie} pour ^un

tuyau

muni d’un rebord

plan

^indéfini.

Lord

Rayleigh (2~

^{cite une}

expérience

^de

battements, répétée

par M.

Bosanquet,

^{d’où il}

paraît

résulter que la difl’érence ^{entre une} extrémité onverte librement et une extrémité munie d’ un rebord

est environ _{o, 2 à}

’o, 25

du rayon, ^ce

qui

rétablirait l’accord entre

l’évaluation

expérimentale

^et l’évaluation

théorique.

RÉSONATEURS;

PAR M. M. BRILLOUIN

(3).

1. Les

résonateurs, employés

par ^von Helmholtz _pour l’étude des sons

complexes,

^{sont des cavités} d’une forme

quelconque

limitées par des

parois rigides, polies, présentant

^{une ouverture}

de dimensions convenables dans la

paroi.

^{Parmi les sons} que

peut

produire

^le

résonateur,

^{il en est un} excessivement _grave

(eu égard

aux

dimensions)

^et

correspondant

^{à un mouvement} vibratoire par- ticulièrement

simple. Si,

^{dans le}

voisinage

^d’un

r ésonateur,

^on

produit

^{un ensemble de sons, le} résonateur ne

renforcera,

^en

général,

que ^{le son le}

plus

grave

qu’il

^est

susceptible

de fournir.

Nous n’étudierons ici que ^{le cas}

simple

de la théorie des réso- nateurs oii l’on ne tient pas

compte

^{de la}

propagation

^{du motive-}

ment à l’ extérieur.

( 1 ) ^La présence ^du diapason ^à l’extrémité du tube équivaut ^{à un} petit ^allon- gement qui, ^déterminé par ^une expérience de battements entre un tube auxiliaire et le tube d’abord ouvert librement, puis légèrement obstrué par le diapason, ^a

été trouvé de 0,00’7 du rayon.

( 2 ) Sound, ^t. II, p. 188.

(3) Leçons ^{de 1B1.} Brillouin, d’après les théories de Helmholtz et de lord Ray- leigh, rédigées par ^{31. U.} Lala (’Voir p. 205 la théorie des tuyaux sonores ).