opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Αυτόματος Έλεγχος | Δυναμικά Χαρακτηριστικά Τυπικών Συστημάτων – Ευστάθεια Δυναμικών Συστημάτων

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Αυτόματος Έλεγχος

Ενότητα 3

: Δυναμικά Χαρακτηριστικά Τυπικών Συστημάτων – Ευστάθεια Δυναμικών

Συστημάτων

Παναγιώτης Σεφερλής

Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Στόχοι του κεφαλαίου

• Χαρακτηριστικά μεγέθη απόκρισης δυναμικών συστημάτων 1

, 2

και ανώτερης τάξης, με καθυστέρηση χρόνου και με θετικά μηδενικά.

• Εμπειρική αναγνώριση συστημάτων.

• Προσδιορισμός και κατανόηση ευστάθειας δυναμικών γραμμικών συστημάτων.

• Εκτίμηση ευστάθειας δυναμικών συστημάτων.

Δυναμικά χαρακτηριστικά τυπικών συστημάτων Ευστάθεια δυναμικών συστημάτων

4

• Προσεγγιστικός υπολογισμός τυπικών μεγεθών συστημάτων.

• Προσδιορισμός μοντέλων από δυναμικά δεδομένα.

• Ορισμός ευστάθειας δυναμικών συστημάτων.

• Κριτήριο ευστάθειας Rοuth-Hurwitz.

• Ευστάθεια σε σύστημα κλειστού βρόχου.

Δυναμικά χαρακτηριστικά τυπικών συστημάτων Ευστάθεια δυναμικών συστημάτων

Περίληψη του κεφαλαίου

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Δυναμικά χαρακτηριστικά συστημάτων

Γενικευμένη μορφή συνάρτησης μεταφοράς.

G s

( )

(

) (

)

(

)

s- p₁

( ) (

)

(

)

Με το σύστημα αυτόματου ελέγχου επιδιώκεται η μεταβολή των πόλων του συστήματος ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή δυναμική συμπεριφορά.

Μηδενικά συστήματος.

Πόλοι (ρίζες) συστήματος.

6

Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς

   

   

 

1 2 2

0 1 2 0 1 2

1 2

p

q

α t α t α t

α t

Y t A A e A e ... B B t B t ... e ... C cos ωt C sin ωt e ...

        

  

Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα μερικών κλασμάτων η συνάρτηση μεταφοράς φέρεται στην ακόλουθη μορφή.

Έστω a_i οι ρίζες του παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς, p(s) = 0.

Πραγματικά, διακριτά a_i Πραγματικά,

επαναλαμβανόμενα a_p Μιγαδικά a_i

a_q είναι Re{a_i}

     

      ^{ }

^

^

^

^

Y s G s X s  q s p s X s  C s α C s α  ...

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Ποιοτική ανάλυση δυναμικής συμπεριφοράς

1. Αν όλοι οι πόλοι a_i έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε όλοι οι εκθετικοί όροι τείνουν στο μηδέν με το χρόνο και η Υ(t) συγκλίνει σε πεπερασμένη τιμή.

Αν έστω ένας πόλος a_i που έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε ο αντίστοιχος όρος απειρίζεται με το χρόνο και συνεπώς και η Y(t).

2. Αν όλοι οι πόλοι a_i είναι πραγματικοί, τότε η Y(t) δεν ταλαντώνεται.

Αν έστω υπάρχει ένα ζεύγος πόλων a_i που είναι μιγαδικοί, τότε η Y(t) ταλαντώνεται περιοδικά.

   

   

 

1 2 2

0 1 2 0 1 2

1 2

p

q

α t α t α t

α t

Y t A A e A e ... B B t B t ... e ... C cos ωt C sin ωt e ...

        

  

8

Χαρακτηριστικά συστημάτων

Οι πόλοι της χαρακτηριστικής εξίσωσης καθορίζουν τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1 0 1 2 3 4 5 6

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

0 2 4 6 8 10 12

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

0 1 2 3 4 5 6 7

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

-20 0 20 40 60 80 100

Impulse Response

Amplitude

0 2 4 6 8 10 12

0 0.5 1 1.5 2

2.5 Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Step Response

Amplitude

Βηματική μεταβολή

Κρουστική μεταβολή

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων

Ορισμός ευσταθούς συστήματος.

Για φραγμένη (πεπερασμένη) είσοδο → Η έξοδος είναι φραγμένη

• Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν όλοι οι πόλοι του έχουν

αρνητικά πραγματικά μέρη (οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο).

• Αν έστω κι ένας πόλος έχει θετικό πραγματικό μέρος τότε το σύστημα είναι ασταθές.

• Συστήματα με πόλο στο μιγαδικό άξονα χαρακτηρίζονται ως οριακά ευσταθή.

10

Ευστάθεια δυναμικών συστημάτων

   

    

3 2

2

7 5 1 4

G s s

s s s s .

 

   

Να προσδιοριστεί η ευστάθεια των ακόλουθων συστημάτων.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.5 0 0.5 1

u(t) G(s) y(t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 5 10 15 20 25 30 35 40

u(t) G(s) y(t)

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Σχεδιασμός ελεγκτή για ευστάθεια

   

 

     









1 1 1 1

c p c

c p c

K G s K K τ s

Y s

R s K G s H s τ s τ s τ s K K

  

    

Η ευστάθεια του κλειστού βρόχου ορίζεται αποκλειστικά από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Αυτές επηρεάζονται από την τιμή της παραμέτρου του ελεγκτή Κ_c. Ζητείται λοιπόν το εύρος τιμών της Κ_c για τις οποίες το σύστημα καθίσταται ευσταθές.

   ₁ 1 ₂ 1

p

G s K

τ s τ s

  

R(s) Y(s)

-

+ ^E(s) Kc ^M(s)

   ₃ ^{1 1}

H s  τ s



12

Κριτήριο ευστάθειας Rοuth-Hurwitz

Ένα σύστημα είναι ευσταθές όταν και μόνο όταν όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης του πίνακα Routh είναι θετικά.

sⁿ 1 a₂ a₄ a₆

s^n-1 a₁ a₃ a₅ a₇ s^n-2 b₁ b₂ b₃

s^n-3 c₁ c₂ c₃ :

1 y₁ y₂

0 z₁ 0 0 0

2 1 3

1 3 1 2

1 1

1 1

4 1 5

1 5 1 3

2 2

1 1

6 1 7

1 7 1 4

3 3

1 1

1

1

1

a a a

det det

a a b b

b c

a b

a a a

det det

a a b b

b c

a b

a a a

det det

a a b b

b c

a b

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

f s  s a s ^ a s ^ a _ s a

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Χαρακτηριστικά συστήματος 1ης τάξης

       

       

1 1

1 1

c c

c

Y s K

G s πόλος s / τ

R s τs

Y s K K

G s πόλος s KK / τ

R s τs KK

   



    

 

  



p

G s K

 τs



R(s) Y(s)

–

+ E(s) Kc M(s)

Ανοικτός βρόχος

Κλειστός βρόχος

Υπάρχει μετακίνηση του πόλου προς τα αριστερά στο μιγαδικό επίπεδο για Κ_c>0. Επομένως η ταχύτητα απόκρισης του συστήματος

κλειστού βρόχου αυξάνεται. ¹⁴

Χαρακτηριστικά ολοκληρωτή

Ο ολοκληρωτής υποδηλώνει συσσώρευση μάζας, φορτίου ή ενέργειας.

Πόλος στην αρχή των αξόνων.

Μονότονα αύξουσα συμπεριφορά σε βηματική μεταβολή.

 

G s  s

   

1 1

v idt V s I s

C Cs





0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Step Response

Time (sec)

Amplitude

Τάση, v, στα άκρα πυκνωτή που διαρρέεται από ρεύμα έντασης, i.

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

Ρίζες χαρακτηριστικού πολυωνύμου ζ<1:

   

2

2 2

2

n

n n

G s ω

s ζω s ω

  

2

2

1

1

n n

n d n

s ζω iω ζ

σ ζω , ω ω ζ

   

   

Εξαναγκασμένη δυναμική απόκριση σε βηματική μεταβολή:

   

2

1 1

2

1 1

1

1

ζω tn

x t e cos ω t θd

ζ

θ tan ζ sin ζ

ζ



 

 

   

  

 

 

   

  

 

16

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

Πόλοι συστήματος 2ης τάξης.

Για ζ=0 ο πόλος κείται στο μιγαδικό άξονα (ταλαντώσεις χωρίς απόσβεση). Για ζ=1 ο πόλος κείται στον πραγματικό άξονα.

sin ζ^1

1 2

ωn ζ

ζωn

ωn

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

a: γωνία προσβολής, v: ταχύτητα διαμήκους άξονα, θ: γωνία πρόνευσης (pitch) δ: γωνία πτερυγίου ανύψωσης.

      

  

     

    

      

  

2 2

2 2 2

2 2

0 0005 70 0 5 0 005 0 006 1 4

0 02 80 0 0065 0 006 0 005 0 006 1 4

1 4 0 02 0 4 0 005 0 006 1 4

v s δ s . s s . s . s . s s .

a s δ s . s s . s . s . s . s s .

θ s δ s . s . s . s . s . s s .

 

         

 

          

       

κατακόρυφος άξονας

πτερύγιο ανύψωσης δ(t)

Διαμήκης άξονας αεροσκάφους

Διεύθυνση Σχετικής ροής αέρα

Οριζόντιο επίπεδο

Πλευρικός άξονας (yaw) αεροσκάφους

Ταχύτητα διαμήκους άξονα, v(t) θ(t)

a(t)

Δυο υποσυστήματα 2^ης τάξης ¹⁸

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

(s²+0.005s+0.006)

αργά δυναμικά χαρακτηριστικά – χαμηλή απόσβεση

Ιδιοτιμές ζ ω_n(rad/s) -2.50e-03 + 0.0774i 0.0323 0.0775 -2.50e-03 – 0.0774i 0.0323 0.0775

(s²+s+1.4)

γρήγορα δυναμικά – μεσαία απόσβεση

Ιδιοτιμές ζ ω_n

-0.5 + 1.07i 0.4226 1.1832 -0.5 - 1.07i 0.4226 1.1832

Step Response

Amplitude

0 2 4 6 8 10 12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

System: untitled1 Rise Time (sec): 1.27

System: untitled1 Settling Time (sec): 7.1

Step Response

Amplitude

0 500 1000 1500 2000 2500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

System: untitled1

Settling Time (sec): 1.55e+003 System: untitled1

Rise Time (sec): 13.6

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

v(t) a(t)

θ(t)

a: γωνία προσβολής, v: ταχύτητα διαμήκους άξονα, θ: γωνία πρόνευσης, δ: γωνία πτερυγίου ανύψωσης.

Στην απόκριση του συστήματος κυριαρχούν τα αργά δυναμικά χαρακτηριστικά.

20

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

1.4 System: g

Peak amplitude: 1.13 Overshoot (%): 12.6 At time (sec): 0.371

Step response of a 2nd order system

Time (sec)

Amplitude

Ποσοστό υπερύψωσης

(percentage overshoot):

 

100 ^{ζπ ζ} PO  e^{ }

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Damping coefficient, z

Overshoot, %

Μεταβολή μέγιστου ποσοστού υπερύψωσης για συστήματα 2^ης τάξης σε σχέση με το συντελεστή απόσβεσης.

22

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

Χρόνος αποκατάστασης (<2% τελικής τιμής): t_s=4/(ζω_n).

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Χαρακτηριστικά συστήματος 2ης τάξης

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

System: g

Rise Time (sec): 0.174

Step response of a 2nd order system

Time (sec)

Amplitude

Χρόνος ανόδου (10%→90%): t_r=(2.16ζ+0.6)/ω_n για ζ=0.5 t_r=1.8/ω_n.

24

Επίδραση μηδενικού στη δυναμική απόκριση

 

12 100 G s s

s s

 

 

 

12 100 G s  s s

 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

System: g

Settling Time (sec): 0.594 System: g Time (sec): 0.857 Amplitude: 0.993

Step Response

Time (sec)

Amplitude

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Αντίστροφη απόκριση

Εξατμιστήρας Υπερθερμαντήρας

Δοχείο διαχωρισμού

Τροφοδοσία νερού

Ελεγκτής στάθμης δοχείου

Αύξηση της τροφοδοσίας νερού προκαλεί προσωρινά μείωση της στάθμης του δοχείου λόγω πτώσης της θερμοκρασίας του ατμού (μειώνεται η θερμοκρασία του νερού και συνεπώς

αυξάνεται η πυκνότητά του με αποτέλεσμα να μειωθεί ο όγκος του νερού στο δοχείο διαστολής) προτού η στάθμη ανέβει πέρα από το σημείο εκείνο προ της επιβολής της διαταραχής.

26

Αντίστροφη απόκριση

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Step Response

Drum level, cm

1 s





+

- Y(s)

U(s)

1 s

^{0 1. s0 5.1}

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Αντίστροφη απόκριση

0 2 4 6 8 10 12

-5 0 5 10

Inverse Response

Amplitude

Να εξηγηθεί πώς αυτή η δυναμική συμπεριφορά

μπορεί να επιφέρει σημαντικές δυσκολίες

σε ένα σύστημα ελέγχου ανάδρασης.

  





G s . s s

  

 

Μηδενικό με θετικό πραγματικό μέρος.









+

- Y(s)

U(s)

28

Συστήματα με καθυστέρηση χρόνου

Ας θεωρήσουμε εμβολική ροή (plug flow) μέσα σε σωλήνα.

Θεωρείται ότι δεν υπάρχει ανάμειξη κατά μήκος του οριζόντιου άξονα του σωλήνα.

Ποια είναι η δυναμική απόκριση της ιδιότητας του ρευστού στην έξοδο (π.χ. συγκέντρωση, θερμοκρασία) σε μια βηματική μεταβολή της ιδιότητας του ρευστού στην είσοδο;

Έννοια καθυστέρησης χρόνου

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Συστήματα με καθυστέρηση χρόνου

θ: καθυστέρηση χρόνου ή νεκρός χρόνος.

χρόνος

Υ_in Υ_out

θ

Υ_in Υ_out

30

Συστήματα με καθυστέρηση χρόνου

Το δυναμικό μοντέλο του νεκρού χρόνου είναι:

   

out in

Y t  Y t θ 

Ο μετασχηματισμός Laplace για μια μεταβλητή με καθυστέρηση χρόνου είναι:

Σημαντικό στοιχείο

σε διεργασίες με κυκλοφορία ρευστών, διάδοση σήματος σε

μεγάλη απόσταση και σε

κυκλοφοριακά μοντέλα οχημάτων.

Υ_in Υ_out

L Y { }

( ) t ^{= L Y} {

^{( ) t - J} } ^{= e}

^Y

^{( ) s}

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Αναγνώριση δυναμικών συστημάτων

Η αναγνώριση των δυναμικών χαρακτηριστικών των συστημάτων γίνεται με την επιβολή μιας εξαναγκασμένης διέγερσης του συστήματος (π.χ. βηματική μεταβολή, παλμός

στις μεταβλητές εισόδου, τυχαία διέγερση) με ταυτόχρονη καταγραφή της συμπεριφοράς των μεταβλητών εξόδου.

32

Εμπειρική αναγνώριση μοντέλων συστημάτων

Διαδικασία αναγνώρισης προτύπων

Σχεδιασμός πειραμάτων

Εκτέλεση πειραμάτων στη διεργασία Καθορισμός δομής μοντέλου

Εκτίμηση παραμέτρων Αξιολόγηση αποτελεσμάτων

Επαλήθευση μοντέλου

Εκκίνηση

Άλλα

δεδομένα

Πρωταρχική γνώση

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης

• Τίθεται το σύστημα σε χειροκίνητο έλεγχο (ανοικτός βρόχος).

• Εφαρμόζεται μια βηματική μεταβολή στο σήμα του ενεργοποιητή, αρκετά μεγάλη ώστε να γίνει αισθητή στην έξοδο του συστήματος, αλλά όχι να προκαλέσει την εμφάνιση μη γραμμικών φαινομένων.

• Καταγράφεται η καμπύλη απόκρισης της μεταβλητής εξόδου.

• Προσεγγίζεται η καμπύλη απόκρισης, αν ομοιάζει με σιγμοειδή καμπύλη, με συνάρτηση μεταφοράς 1^ης τάξης με νεκρό χρόνο.

G_d(s) G_P(s) G_v(s)

G_C(s)

G_S(s)

D(s)

Y(s) Y_m(s)

R(s) E(s) U(s) ₊

+ +

-

34

Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης

• Φέρουμε την εφαπτόμενη από το σημείο μέγιστης κλίσης της σιγμοειδούς καμπύλης απόκρισης.

• Η τομή της εφαπτομένης με τον άξονα του χρόνου προσδιορίζει προσεγγιστικά το νεκρό χρόνο, θ.

• Η ασύμπτωτος στην καμπύλη απόκρισης για t→∞ χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του κέρδους Κ=ΔΥ_m/ΔU.

• Προσεγγίζουμε τη σταθερά χρόνου από το χρόνο που η απόκριση χρειάζεται για να φθάσει το 63.2% της τελικής τιμής (αφαιρούμε την καθυστέρηση χρόνου).

  





 



. Ke θs

G s s s s τs

  

   

   

0 8 7 2

54 3 1

. s A

G s . e

. s

 



   

0 8 7 2

37 1 1

. s B

G s . e

. s

 



0 50 100 150

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Step Response

Time (sec)

Amplitude

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Μέθοδος Καμπύλης Απόκρισης

  





 



. Ke θs

G s s s s τs

  

   

   

0 8 7 2

54 3 1

. s A

G s . e

. s

 



   

0 8 7 2

37 1 1

. s B

G s . e

. s

 



0 50 100 150

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Step Response

Time (sec)

Amplitude

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 50 100 150 200 250 300 350

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

36

Παράδειγμα

0 5 10 15 20 25 30 35 40

165 170 175 180 185 190 195 200 205

Time, min

Pressure, kPa

Δυναμική απόκριση της πίεσης σε ένα δοχείο που υπόκειται σε βηματική μεταβολή της θέσης της βάνας διαφυγής κατά 5% τη χρονική στιγμή 5 min.

Nα προσδιορισθούν το κέρδος, η σταθερά χρόνου και η πιθανή καθυστέρηση χρόνου του δυναμικού συστήματος.

Αριστοτέλειο Αυτόματος Έλεγχος

Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να:

• Εξαγάγει τα πλήρη χαρακτηριστικά της δυναμικής

απόκρισης ενός συστήματος 1

, 2

και ανώτερης τάξης χωρίς επίλυση στο πεδίο του χρόνου.

• Εκτιμά τα χαρακτηριστικά της δυναμικής απόκρισης

συστημάτων με καθυστέρηση χρόνου και μηδενικό στο δεξί μιγαδικό ημι-επίπεδο (μηδενικό με θετικό

πραγματικό μέρος).

• Εκτιμά την ευστάθεια ενός δυναμικού συστήματος.

Επίτευξη μαθησιακών στόχων

38

Στο τέλος αυτής της ενότητας ο/η εκπαιδευόμενος/η θα πρέπει να μπορεί να:

• Υπολογίζει το εύρος τιμών παραμέτρων του συστήματος για την εξασφάλιση ευσταθούς συμπεριφοράς με το

κριτήριο Routh-Hurwitz.

• Αναγνωρίζει την τάξη ενός συστήματος από πειραματικά δεδομένα.

• Προσεγγίζει τη δυναμική συμπεριφορά ενός

συστήματος με μοντέλο 1

τάξης με καθυστέρηση χρόνου με χρήση πειραματικών δεδομένων.

Επίτευξη μαθησιακών στόχων

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Τέλος ενότητας

Επεξεργασία: Δρ Αθανάσιος Ι. Παπαδόπουλος

Δρ Αγγελική Μονέδα

Θεσσαλονίκη, Μάιος 2014