opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου | Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων

Νίκος Καραμπετάκης

Τμήμα Μαθηματικών

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται

ρητώς.

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

• Διατύπωση ικανών (Legendre - Jacobi) και αναγκαίων (Euler - Lagrange) συνθηκών για την εύρεση τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού το οποίο εξαρτάται από μια

διανυσματική συνάρτηση μιας μεταβλητής και την παράγωγο της π.χ. J(t,x(t),x’(t)).

• Συνθήκες εγκαρσιότητας που πρέπει να πληρούνται από τις αρχικές και τις τελικές συνθήκες της συνάρτησης x(t) ώστε να έχει ακρότατο το συναρτησιακό J(t,x(t),x’(t)).

• Επίλυση του βραχυστόχρονου προβλήματος

(brachistochrone problem) και του προβλήματος της

αλυσίδας (hanging chain or catenary problem).

• Διατύπωση αναγκαίων συνθηκών Euler-Lagrance για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού.

• Διατύπωση ικανών συνθηκών Legendre-Jacobi για την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού.

• Τερματική συνθήκη/ες ή συνθήκη/ες εγκαρσιότητας και

μελέτη ειδικών περιπτώσεων.

Έστω

𝐽 𝑥 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 όπου

𝑥 𝑡 =

𝑥 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡

⋮ 𝑥 _𝑛 𝑡

, 𝑥 𝑡 =

𝑥 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡

⋮ 𝑥 _𝑛 𝑡

, 𝑥 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀ , 𝑥 𝑡 _𝑓 = 𝑥 _𝑓 .

∆𝐽 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 + 𝛿𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 + 𝛿 𝑥 𝑡 , 𝑡

𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟

− 𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 +

+

𝑡 ₀

𝑡 _𝑓 𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑡

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 + 𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑡

𝑇

𝛿 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

+

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

ό𝜌𝜊𝜄 𝜐𝜓𝜂𝜆ό𝜏𝜀𝜌𝜂𝜍 𝜏𝛼𝜉𝜂𝜍 𝛿𝑥 𝑡 , 𝛿 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

0 = 𝛿𝐽 𝑥, 𝛿𝑥 =

= 𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 _𝑓 − 𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 ₀

+

𝑡 ₀

𝑡 _𝑓 𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑡

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑡 = 0

𝐽 𝑥 =

0 𝜋/4

𝑥 ₁ ² 𝑡 + 𝑥 ₂ ² 𝑡 + 𝑥 ₁ (𝑡) 𝑥 ₂ 𝑡

𝐹 𝑥, 𝑥

𝑑𝑡

𝑥 0 = 𝑥 ₁ (0)

𝑥 ₂ (0) = 0

1 , 𝑥 𝜋

4 =

𝑥 ₁ ( 𝜋 4 ) 𝑥 ₂ ( 𝜋

4 )

= 0 1

𝜕𝐹

𝜕𝑥 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 = 0 ⇒

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₁

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₂

− 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₁

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₂

= 0 ⇒

2𝑥 ₁ 𝑡

2𝑥 ₂ 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝑥 ₂ 𝑡

𝑥 ₁ 𝑡 = 0 ⟹ 𝑥 ₂ 𝑡 = 2𝑥 ₁ 𝑡

𝑥 ₁ 𝑡 = 2𝑥 ₂ 𝑡 ⇒ 𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ 𝑡 2

𝑥 ₂ ⁽⁴⁾ − 4𝑥 ₂ 𝑡 = 0

𝑝 ⁴ −4=0

𝑥 ₂ 𝑡 = 𝑐 ₁ 𝑒 ^2𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑒 ^{− 2𝑡} + 𝑐 ₃ cos 2𝑡 + 𝑐 ₄ sin( 2𝑡) 𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ 𝑡

2 = ⋯ .

Τα 𝑐 ₁ , 𝑐 ₂ , 𝑐 ₃ , 𝑐 ₄ υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

1. Συνθήκη Legendre

• Σχετικό Ελάχιστο:

𝑅 =

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₁ ^∗2

𝐷 ₁

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₁ ^∗ 𝜕 𝑥 ₂ ^∗

𝐷 ₂

…

.. 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₁ ^∗ 𝜕 𝑥 _𝑛 ^∗

𝐷 _𝑛

⋮ ⋮ … ⋮

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 _𝑛 ^∗ 𝜕 𝑥 ₁ ^∗

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 _𝑛 ^∗ 𝜕 𝑥 ₂ ^∗ … 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 _𝑛 ^∗2

> 0

ή 𝐷 ₁ > 0, 𝐷 ₂ > 0, … , 𝐷 _𝑛 > 0

• Σχετικό Μέγιστο: 𝑅 < 0 𝜂 𝐷 ₁ < 0, 𝐷 ₂ > 0, … , −1 ^𝑛 𝐷 _𝑛 < 0.

2. Συνθήκη Jacobi

𝑆 _𝑗𝑖 𝑥 ^∗ = 𝜕 ² 𝐹

𝜕𝑥 _𝑗 𝜕𝑥 _𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 _𝑗 𝜕 𝑥 _𝑖 , i, j = 1, … , n 𝑅 _𝑖𝑗 𝑥 ^∗ = 𝑅 _𝑗𝑖 = 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 _𝑗 𝜕 𝑥 _𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛 1

2 𝑗=1 𝑛

𝑆 _𝑗𝑖 + 𝑆 _𝑖𝑗 𝑢 _𝑗 − 𝑑

𝑑𝑡 𝑗=1 𝑛

𝑅 _𝑗𝑖 𝑢 _𝑗 = 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛

Έστω 𝑢 _𝑘1 𝑡 , 𝑢 _𝑘2 𝑡 ,…, 𝑢 _𝑘𝑛 𝑡 𝑘 = 1,2, . . , 𝑛 οι λύσεις 𝑢 _𝑘𝑠 𝑡 ₀ =

0 ∀𝑘, 𝑠 𝑎𝑛𝑑 𝑢 _𝑘𝑘 𝑡 ₀ = 1, 𝑢 _𝑘𝑠 𝑡 ₀ = 0, 𝑘 ≠ 𝑠

𝐽 𝑥 =

0 𝜋/4

𝑥 ₁ ² 𝑡 + 𝑥 ₂ ² 𝑡 + 𝑥 ₁ (𝑡) 𝑥 ₂ 𝑡

𝐹 𝑥, 𝑥

𝑑𝑡

• Συνθήκη Legendre

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₁ = 𝑥 ₂ 𝑡 ⇒

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₁ ² = 0 = 𝑅 ₁₁

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₂ 𝜕 𝑥 ₁ = 1 = 𝑅 ₂₁

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 = 𝑥 ₁ 𝑡 ⇒

𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₂ ² = 0 = 𝑅 ₂₂

𝜕 ² 𝐹

𝑅 = 0 1 1 0 Ούτε > 0 ούτε < 0 Ιδιοτιμές -1, +1.

• Συνθήκη Jacobi

𝜕𝐹

𝜕𝑥 ₁ = 2𝑥 ₁ ⇒

𝜕 ² 𝐹

𝜕𝑥 ₁ ² = 2 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₁ 𝜕𝑥 ₁ = 0

𝜕 ² 𝐹

𝜕𝑥 ₂ 𝜕𝑥 ₁ = 0 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₂ 𝜕𝑥 ₁ = 0

𝜕𝐹

𝜕𝑥 = 2𝑥 ₂ ⇒

𝜕 ² 𝐹

𝜕𝑥 ₂ ² = 2 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₂ 𝜕𝑥 ₂ = 0

𝜕 ² 𝐹 𝜕 ² 𝐹

𝑆 ₁₁ = 2, 𝑆 ₁₂ = 0, 𝑆 ₂₁ = 0, 𝑆 ₂₂ = 2 𝑅 ₁₁ = 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₁ ² = 0 𝑅 ₁₂ = 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₁ 𝜕 𝑥 ₂ = 1 = 𝑅 ₂₁ 𝑅 ₂₂ = 𝜕 ² 𝐹

𝜕 𝑥 ₂ ² = 0 𝑖 = 1 1

2 4𝑢 ₁ + 0𝑢 ₂ − 𝑑

𝑑𝑡 𝑢 ₂ = 0 ⇒ 2𝑢 ₁ − 𝑢 ₂ = 0 𝑖 = 2 1

2 0𝑢 ₁ + 4𝑢 ₂ − 𝑑

𝑑𝑡 𝑢 ₁ = 0 ⇒ 2𝑢 ₂ − 𝑢 ₁ = 0

𝑢 ₁ = 1 2 𝑢 ₂ 2𝑢 ₂ − 1

2 𝑢 ₂ ⁴ = 0

⇒ 𝑢 ₁ = 1 2 𝑢 ₂ 𝑢 ₂ ⁴ − 4𝑢 ₂ = 0

⇒

𝑢 ₂ = 𝑐 ₁ 𝑒 ^2𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑒 ^{− 2𝑡} + 𝑐 ₃ cos 2𝑡 + 𝑐 ₄ sin( 2𝑡) 𝑢 ₁ 0 = 0 𝑢′ ₁ 0 = 1

𝑢 ₂ 0 = 0 𝑢′ ₂ 0 = 0 → 𝑢 ₁₁ 𝑡 = 𝑢 ₁ 𝑡 𝑢 ₁₂ 𝑡 = 𝑢 ₂ 𝑡 𝑢 ₁ 0 = 0 𝑢′ ₁ 0 = 0

𝑢 ₂ 0 = 0 𝑢′ ₂ 0 = 1 → 𝑢 ₂₁ 𝑡 = 𝑢 ₁ 𝑡 𝑢 ₂₂ 𝑡 = 𝑢 ₂ 𝑡

𝑢 𝑡 𝑢 𝑡 𝜋

Όμοια με πρόβλημα 4:

𝛿𝐽 𝑥, 𝛿𝑥 = 0 = 𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓 + + 𝐹 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

𝑇

𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑡 _𝑓 +

𝑡 ₀

𝑡 _𝑓 𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑥 ^∗ 𝑡 , 𝑡

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 𝑑𝑡

Παρατήρηση: Για την κάθε κατάσταση 𝑥 _𝑖 𝑡 μπορεί να έχω ένα

από τα προβλήματα 1-4 και συνεπώς θα εφαρμόζω τις ανάλογες

συνθήκες!!

Π.χ. για τις πρώτες 𝑟 καταστάσεις ξέρω τις τελικές τιμές στο 𝑡 _𝑓 (Πρόβλημα 1)

𝑥(𝑡 _𝑓 ) = 𝑥 _𝑓

αλλά για τις επόμενες 𝑛 − 𝑟 ξέρω μόνο τον χρόνο 𝑡 _𝑓 (Πρόβλημα 2)

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 _𝑖 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0 𝑖 = 𝑟 + 1, … , 𝑛

𝐽 𝑥 =

0 𝜋/4

𝑥 ₁ ² 𝑡 + 𝑥 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑥 ₂ ² 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 ₁ 0 = 1 𝑥 ₁ 𝜋

4 = 2 ← Πρόβλημα 1 𝑥 ₂ 0 = 3

2 𝑥 ₂ 𝜋

4 𝜀𝜆𝜀ύ𝜃𝜀𝜌𝜊 ← Πρόβλημα 2 Δ.Ε. Euler-Lagrange:

𝜕𝐹

𝜕𝑥 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 = 0 ⇒ 2𝑥 ₁ 𝑡

0 − 𝑑

𝑑𝑡

𝑥 ₂ 𝑡

𝑥 ₁ 𝑡 + 2 𝑥 ₂ 𝑡 = 0 ⇒

𝑥 ₂ 𝑡 = 2𝑥 ₁ 𝑡

2 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑥 ₁ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑥 ₂ 𝑡 = 2𝑥 ₁ 𝑡

4𝑥 ₁ 𝑡 + 𝑥 ₁ 𝑡 = 0 ⇒ 𝑥 ₂ 𝑡 = 2𝑐 ₁ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 2𝑐 ₂ 𝑠𝑖𝑛2𝑡

𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑐 ₁ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑠𝑖𝑛2𝑡 Άρα

𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑐 ₁ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑠𝑖𝑛2𝑡 και

𝑥 ₂ 𝑡 = −𝑐 ₁

2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 − 𝑐 ₂

2 𝑠𝑖𝑛2𝑡 + 𝑐 ₃ 𝑡 + 𝑐 ₄

𝑥 ₁ 0 = 1 = 𝑐 ₁ ∗ 1 + 𝑐 ₂ ∗ 0 𝑥 ₂ 0 = 3

2 = −𝑐 ₁

2 ∗ 1 − 𝑐 ₂

2 ∗ 0 + 𝑐 ₃ ∗ 0 + 𝑐 ₄ 𝑥 ₁ 𝜋

4 = 2 = 𝑐 ₁ ∗ 0 + 𝑐 ₂ ∗ 1

𝜕𝐹

𝜕 𝑥 ₂ 𝑥 ^∗ 𝜋

4 , 𝑥 ^∗ 𝜋

4 = 0 = 𝑥 ₁ ^∗ 𝜋

4 + 2 𝑥 ₂ ^∗ 𝜋

4 = 0 = 2𝑐 ₃

𝑐 ₁ = 1, 𝑐 ₂ = 2, 𝑐 ₃ = 0, 𝑐 ₄ = 2

• Νικόλαος Καραμπετάκης, 2009, Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, Εκδόσεις Ζήτη.

• D.E. Kirk, 1970, Optimal Control Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

• D. S. Naidu, 2002, Optimal Control Systems, CRC Press LLC.

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Νικόλαος Καραμπετάκης. «Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Ενότητα 6: Ακρότατα

συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων ». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014.

Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

http://eclass.auth.gr/courses/OCRS288/

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες,

διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία

αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να

χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

 το Σημείωμα Αναφοράς

 το Σημείωμα Αδειοδότησης

 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου

Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 2013-2014