opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου | Εφαρμογές του Λογισμού Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ενότητα 9: Εφαρμογές του Λογισμού των Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο

Νίκος Καραμπετάκης

Τμήμα Μαθηματικών

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται

ρητώς.

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

• Επίλυση προβλήματος Bolza.

• Ορισμός και χρήση της Χαμιλτονιανής συνάρτησης για τον

καθορισμό των αναγκαίων και ικανών συνθηκών ύπαρξης

ακρότατου καθώς και για τις συνθήκες εγκαρσιότητας.

• Επίλυση προβλήματος Bolza με χρήση Χαμιλτονιανής συνάρτησης.

• Διατύπωση ικανών και αναγκαίων συνθηκών καθώς και των συνθηκών εγκαρσιότητας μέσω της Χαμιλτονιανής

συνάρτησης.

• Η είσοδος στο παραπάνω πρόβλημα δεν είναι φραγμένη.

Πρόβλημα: Δίνεται το συναρτησιακό

𝐽 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

που το 𝑥(𝑡) ικανοποιεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 𝑡 = 𝑎(𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡)

Ζητούμε να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες ώστε το 𝐽(𝑢) να έχει σχετικό ακρότατο.

Ορίζουμε 𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑎 𝑥, 𝑢, 𝑡 − 𝑥 και

θα έχουμε:

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑝 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑥 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑢 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑢 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

Αν όμως ορίσουμε (Χαμιλτονιανή)

𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑎(𝑥, 𝑢, 𝑡) τότε

𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑎 𝑥, 𝑢, 𝑡 − 𝑥

↓

𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑝 ^𝑇 𝑥 και άρα

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑝 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑝 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

𝜕𝐻

𝜕𝑝 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑥 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝜕𝐻

𝜕𝑝 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡

𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑝 ^𝑇 𝑥

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑥 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

𝜕𝐻

𝜕𝑥 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 −𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = − 𝜕𝐻

𝜕𝑥 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡

costate-equations

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑢 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑢 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

𝜕𝐻

𝜕𝑢 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 0 = 0 ⇒ 𝜕𝐻

𝜕𝑢 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑝 ^𝑇 𝑥

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡

𝑇

𝑥 𝑡 _𝑓 𝛿𝑡 _𝑓 = 0 ⇒

−𝑝 𝑡 _𝑓 ^𝑇 𝛿𝑥 _𝑓

+ 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑝 𝑡 _𝑓 ^𝑇 𝑥 𝑡 _𝑓 − (− 𝑝 𝑡 _𝑓 ^𝑇 𝑥 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

⇒

−𝑝 𝑡 _𝑓 ^𝑇 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

𝑥 = 𝜕𝐻

𝜕𝑝 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 𝑝 = − 𝜕𝐻

𝜕𝑥 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡

𝜕𝐻

𝜕𝑢 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 0

−𝑝 𝑡 _𝑓 ^𝑇 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡

∗𝑡 _𝑓 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

Άσκηση: Δίνεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ = 𝑥 ₂ (1a)

𝑥 ₂ = −𝑥 ₂ + 𝑢 (1b)

το οποίο θέλουμε να ελέγξουμε με κατάλληλη είσοδο 𝑢(𝑡), ελαχιστοποιώντας την είσοδο που θα χρησιμοποιήσουμε

𝐽 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 1

2 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 Ορίζουμε

𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 1

2 𝑢 ² 𝑡 + 𝑝 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑝 ₂ (𝑡) −𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑢(𝑡)

𝑝 1 ∗ = − 𝜕𝐻

𝜕𝑥 ₁ = 0, 𝑝 ₂ ^∗ = − 𝜕𝐻

𝜕𝑥 ₂ = −𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 + 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 , 0 = 𝜕𝐻

𝜕𝑢 = 𝑢 ^∗ 𝑡 + 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₁ + 𝑐 ₂ 1 − 𝑒 ^−𝑡 + 𝑐 ₃ −𝑡 − 1

2 𝑒 ^−𝑡 + 1

2 𝑒 ^𝑡 + +𝑐 ₄ (1 − 1

2 𝑒 ^−𝑡 − 1

2 𝑒 ^−𝑡 ) 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₂ 𝑒 ^−𝑡 + 𝑐 ₃ −1 + 1

2 𝑒 ^−𝑡 + 1

2 𝑒 ^𝑡 + 𝑐 ₄ ( 1

2 𝑒 ^−𝑡 − 1

2 𝑒 ^𝑡 ) 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃ 1 − 𝑒 ^𝑡 + 𝑐 ₄ 𝑒 ^𝑡

Πρόβλημα (Bolza problem): Δίνεται το συναρτησιακό 𝐽 𝑢 = ℎ 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 +

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

όπου το 𝑥(𝑡) ικανοποιεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 𝑡 = 𝑎(𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡)

Ζητούμε να βρεθούν οι αναγκαίες συνθήκες ώστε το 𝐽(𝑢) να έχει σχετικό ακρότατο.

Δύο περιπτώσεις

Η είσοδος δεν είναι φραγμένη Η είσοδος είναι φραγμένη

Υπόθεση: 𝑥 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀ , 𝑡 ₀ γνωστά

ℎ 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 𝑑

𝑑𝑡 ℎ 𝑥 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + ℎ 𝑥 𝑡 ₀ , 𝑡 ₀ 𝐽(𝑢) = ℎ 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 +

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡

⇓ 𝐽 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 + 𝑑

𝑑𝑡 ℎ 𝑥 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 +

Σχετικό ακρότατο?

ℎ 𝑥 𝑡 ₀ , 𝑡 ₀

𝛾𝜈𝜔𝜎𝜏ό

Συνεπώς αντί να μελετήσουμε το σχετικό ακρότατο της 𝐽(𝑢) μελετάμε το σχετικό ακρότατο της 𝐽′(𝑢)

𝐽 ^′ 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 + 𝑑

𝑑𝑡 ℎ 𝑥 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 =

=

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 + 𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 𝑡 , 𝑡

𝑇

𝑥 𝑡 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 𝑡 , 𝑡

𝐹 ^′ (𝑥 𝑡 ,𝑢 𝑡 ,𝑡)

𝑑𝑡

και 𝑥 𝑡 = 𝑎(𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡)

𝜋𝜀𝜌𝜄𝜊𝜌𝜄𝜎𝜇𝜊𝜄

𝐽 _𝑎 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 𝑑𝑡 𝐹 _𝑎 𝑥, 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝐹 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑎 𝑥, 𝑢, 𝑡 − 𝑥 + 𝜕ℎ

𝑥, 𝑡

𝑇

𝑥 + 𝜕ℎ

(𝑥, 𝑡)

𝛿𝐽

_𝑎

𝑢

^∗

= 0

= 𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑥 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑡

_𝑓

𝑇

𝛿𝑥

_𝑓

+ 𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑢 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑡

_𝑓

𝑇

𝛿𝑢

_𝑓

+ 𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑝 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑡

_𝑓

𝑇

𝛿𝑝

_𝑓

+ {𝐹

_𝑎

𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑡

_𝑓

− 𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑥 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑡

_𝑓

𝑇

𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

− 𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑢 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑡

_𝑓

𝑇

𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

− 𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑢 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑥

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑢

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

, 𝑡

_𝑓

𝑇

𝑝

^∗

𝑡

_𝑓

}𝛿𝑡

_𝑓

+ +

𝑡₀

𝑡_𝑓

𝜕𝐹

_𝑎

𝜕𝑥

𝑇

− 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑥

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 + 𝜕𝐹

_𝑎

𝜕𝑢

𝑇

− 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

_𝑎

𝜕 𝑢

𝑇

𝛿𝑢(𝑡)

Από 𝛿𝐽 _𝑎 𝑢 ^∗ συγκεντρώνουμε όλους τους όρους που περιέχουν το ℎ(𝑡) και βρίσκονται μέσα στο ολοκλήρωμα.

𝜕

𝜕𝑥

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑡

𝑇

𝑥 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ , 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹

𝜕 𝑥

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑡

𝑇

𝑥 ^∗ 𝑡 =

= 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑥 ² 𝑥 ^∗ , 𝑡 𝑥 + 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑥𝜕𝑡 𝑥 ^∗ , 𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑡 =

= 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑥 ² 𝑥 ^∗ , 𝑡

𝑇

𝑥 + 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑥𝜕𝑡 𝑥 ^∗ , 𝑡 − 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑥 ² 𝑥 ^∗ , 𝑡

𝑇

𝑥 − 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑡𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑡 =

= 𝜇𝜀𝜌. 𝛿𝜀𝜐𝜏. 𝜋𝛼𝜌𝛼𝛾. 𝜏𝜊𝜐 ℎ 𝜎𝜐𝜈𝜀𝜒𝜀𝜄𝜍 ⇒ 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑥𝜕𝑡 = 𝜕 ² ℎ

𝜕𝑡𝜕𝑥 = 0

Τι μένει λοιπόν στο ολοκλήρωμα ?

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓

𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡

𝑇

+ 𝑝 ^∗ 𝑡 ^𝑇 𝜕𝑎

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 − 𝑑

𝑑𝑡 −𝑝 ^∗ 𝑡 ^𝑇 𝛿𝑥 𝑡 + 𝜕𝐹

𝜕𝑢 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡

𝑇

+ 𝑝 ^∗ 𝑡 ^𝑇 𝜕𝑎

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 𝛿𝑢(𝑡) + 𝑎 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 − 𝑥 ^∗

𝜂 𝛿.𝜀.=0 ∀𝑥 ^∗ ,𝜇 ^∗

𝑇 𝛿𝑝(𝑡)

𝑑𝑡

Διαλέγουμε 𝑝 ^∗ τ.ω. να μηδενίζει τους συντελεστές του 𝛿𝑥 𝑡 :

Ανάστροφος

𝑝 ^∗ 𝑡 = − 𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 − 𝜕𝑎

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡

𝑇

𝑝 ^∗ (𝑡) 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

Οι συντελεστές του 𝛿𝑢(𝑡) θα πρέπει να είναι μηδέν (𝑢(𝑡) γραμ.

ανεξ. Ενώ 𝑥 δεν ήταν, για αυτό και μηδενίσαμε τους συντελεστές του 𝛿𝑥 με κατάλληλο 𝑝 ^∗ )

Για έλεγχο 𝑢 μη φραγμ. μόνο αυτή θα αλλάξει 0 = 𝜕𝐹

𝜕𝑢 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 + 𝜕𝑎

𝜕𝑢 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡

𝑇

𝑝 ^∗ 𝑡

Τι γίνεται όμως έξω από το ολοκλήρωμα?

𝑥 𝑡 ₀ = 𝑡 ₀ η αρχ. συνθήκη

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑡 _𝑓 − 𝑝

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓

+ 𝐹 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝑝 ^∗ 𝑡 ^𝑇 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥, 𝑡 _𝑓 𝛿𝑡 _𝑓

↓ 𝑥 𝑡 _𝑓 = 𝑎 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑢 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

= 𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑡 _𝑓 − 𝑝

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓

+ 𝐹 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝑝 ^∗ 𝑡 ^𝑇 𝑎 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑢 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥, 𝑡 _𝑓 𝛿𝑡 _𝑓

Ορίζουμε την Hamiltonian:

𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 ≜ 𝐹 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝑎(𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝑥 ^∗ = 𝜕𝐻

𝜕𝑝 (𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡) 𝑝 ^∗ 𝑡 = − 𝜕𝐻

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 0 = 𝜕𝐻

𝜕𝑢 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡

Ορίζουμε την Hamiltonian:

𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 ≜ 𝐹 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝑝 ^𝑇 𝑡 𝑎(𝑥, 𝑢, 𝑡)

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ , 𝑡 _𝑓 − 𝑝

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓

+ 𝐹 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝑝 ^∗ 𝑡 ^𝑇 𝑎 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑢 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥, 𝑡 _𝑓 𝛿𝑡 _𝑓

= ^𝜕ℎ _𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 ^𝑇 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 +

Συνοριακές Συνθήκες

Συγκεκριμένος Τελικός Χρόνος 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

↙ ↓ ↘

𝐴 Συγκ. Τελ. Κατ.

𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝑥 _𝑓

⇓

𝛿𝑥 _𝑓 = 0

Β Ελευθ. Τελ. Κατ.

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 _𝑓 ^∗ , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 0

Γ 𝛼𝜈𝜂𝜅𝜀𝜄 𝜎𝜏𝜂𝜈 𝑚 𝑥 𝑡 _𝑓 = 0

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

(Γ) π.χ.

𝑚 𝑥 𝑡 = 𝑥 ₁ 𝑡 − 3 ² + 𝑥 ₂ 𝑡 − 4 ² − 4 = 0

⇓

𝜕𝑚(𝑥(𝑡 _𝑓 ))

𝜕𝑥

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 _𝑓 = 0 ⇒

2 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 − 3 𝛿𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 + 2 𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 − 4 𝛿𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 = 0 ⇒ 𝛿𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 = 2 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 − 3

2 𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 − 4 𝛿𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

Και άρα (Γ1)

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

1

− 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 − 3 𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 − 4

𝛿𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 = 0

(Γ2) 𝑚 𝑥 𝑡 _𝑓 = 0

Δίνεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ = 𝑥 ₂ (1𝑎)

𝑥 ₂ = 𝑢 (1𝑏)

Το οποίο θέλουμε να ελέγξουμε με κατάλληλη είσοδο 𝑢(𝑡), ελαχιστοποιώντας την είσοδο που θα χρησιμοποιήσουμε

𝐽 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 1

2 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 = 1

2 , 𝑥 2 = 1 0 Ορίζουμε

𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 1

2 𝑢 ² 𝑡 + 𝑝 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑝 ₂ 𝑡 𝑢(𝑡)

𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 1

2 𝑢 ² 𝑡 + 𝑝 ₁ 𝑡 𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑝 ₂ 𝑡 𝑢(𝑡) 𝑝 1 ∗ = − 𝜕𝐻

𝜕𝑥 ₁ = 0 𝑝 ₂ ^∗ = 𝜕𝐻

𝜕𝑥 ₁ = 𝑝 ₁ ^∗ (𝑡) 0 = 𝜕𝐻

𝜕𝑢 = 𝑢 ^∗ 𝑡 + 𝑝 ₂ ^∗ (𝑡)

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

6 𝑡 ³ − 𝑐 ₄

2 𝑡 ² + 𝑐 ₂ 𝑡 + 𝑐 ₁ 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

2 𝑡 ² − 𝑐 ₄ 𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = −𝑐 ₃ 𝑡 + 𝑐 ₄

𝑢 ^∗ 𝑡 = −𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃ 𝑡 − 𝑐 ₄

⇒

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 0,5𝑡 ³ − 2𝑡 ² + 2𝑡 + 1 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 1.5𝑡 ² − 4𝑡 + 2

𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 3 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = −3𝑡 + 4

𝑢 ^∗ 𝑡 = −𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 3𝑡 − 4

Δίνεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ = 𝑥 ₂ (1𝑎)

𝑥 ₂ = 𝑢 (1𝑏)

Το οποίο θέλουμε να ελέγξουμε με κατάλληλη είσοδο 𝑢(𝑡), ελαχιστοποιώντας την είσοδο που θα χρησιμοποιήσουμε

𝐽 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 1

2 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 = 1

2 , 𝑥 ₁ 2 = 0, 𝑥 ₂ 2 𝑓𝑟𝑒𝑒.

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

6 𝑡 ³ − 𝑐 ₄

2 𝑡 ² + 𝑐 ₂ 𝑡 + 𝑐 ₁ 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

2 𝑡 ² − 𝑐 ₄ 𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = −𝑐 ₃ 𝑡 + 𝑐 ₄

𝑢 ^∗ 𝑡 = −𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃ 𝑡 − 𝑐 ₄ 1 𝑥 ₁ 0 = 1,

2 𝑥 ₂ 0 = 2, 3 𝑥 ₁ 2 = 0, 4 𝜕ℎ(𝑥 2 , 2)

𝜕𝑥 ₂ = 𝑝 ₂ 2 ⇒ 𝑝 ₂ 2 = 0

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 5

16 𝑡 ³ − 15

8 𝑡 ² + 2𝑡 + 1 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 15

16 𝑡 ² − 15

4 𝑡 + 2 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 15

8 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = − 15

8 𝑡 + 15 4 𝑢 ^∗ 𝑡 = −𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 15

8 𝑡 − 15

4

Γενική Περίπτωση

𝑚 𝑥 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) = 0

⇓

𝜕𝑚

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿𝑥 𝑡 _𝑓 = 0 Επίσης

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓 = 0 Άρα ∃𝑑 ∈ ℝ ^𝑘 :

𝜕ℎ 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) = 𝑑 ^𝑇 𝜕𝑚

𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓

Συνοριακές Συνθήκες

Προβλήματα με ελεύθερο τελικό χρόνο Περίπτωση 1: Συγκεκριμένη τιμή τελικής κατάστασης

𝛿𝑥 _𝑓 = 0, 𝛿𝑡 _𝑓 αυθαίρετο

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

1 ^η εξίσωση: 𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + ^𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

2 ^η εξίσωση: 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝑥 _𝑓 , 𝑥 ^∗ 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀

Συνοριακές Συνθήκες

Προβλήματα με ελεύθερο τελικό χρόνο

Περίπτωση 2: Μη συγκεκριμένη τιμή της τελικής κατάστασης 2α) 𝛿𝑥 _𝑓 , 𝛿𝑡 _𝑓 ανεξάρτητα

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 0

𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

Συνοριακές Συνθήκες

Προβλήματα με ελεύθερο τελικό χρόνο

Περίπτωση 2: Μη συγκεκριμένη τιμή της τελικής κατάστασης 2β) 𝑥(𝑡 _𝑓 ) κινείται πάνω στην θ(t),

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0 𝛿𝑥 _𝑓 ≜ ^{𝑑𝜃 𝑡 𝑓}

𝑑𝑡 𝛿𝑡 _𝑓 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝜃 𝑡 _𝑓

⇓ 1 ^η εξίσωση

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑇 𝑑𝜃 𝑡 _𝑓

𝑑𝑡 + 𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

Συνοριακές Συνθήκες

Προβλήματα με ελεύθερο τελικό χρόνο

Περίπτωση 2: Μη συγκεκριμένη τιμή της τελικής κατάστασης 2γ) 𝑥(𝑡 _𝑓 )ικανοποιεί την 𝑚 𝑥 𝑡 _𝑓 = 0

1) 𝑥 ^∗ 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀ 2) 𝑚 𝑥 𝑡 _𝑓 = 0

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

𝑚 𝑥 𝑡 _𝑓 = 0 ⇒ 𝜕𝑚

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ (𝑡 _𝑓 )

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓 = 0,

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓 = 0 3) ^𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝑑 ^𝑇 ∙ ^𝜕𝑚

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 4) 𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + ^𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

Συνοριακές Συνθήκες

Προβλήματα με ελεύθερο τελικό χρόνο

Περίπτωση 2: Μη συγκεκριμένη τιμή της τελικής κατάστασης 2δ) 𝑥(𝑡 _𝑓 )ικανοποιεί την 𝑚 𝑥 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0

1) 𝑥 ^∗ 𝑡 ₀ = 𝑥 ₀ , 𝑛 εξισώσεις

2) 𝑚 𝑥 𝑡 _𝑓 = 0 , 𝑘 εξισώσεις

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓 + 𝐻 𝑥 ^∗ , 𝑢 ^∗ , 𝑝 ^∗ , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 (𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 ) 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

𝜕𝑚

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

𝑇

𝛿𝑥 _𝑓 + 𝜕𝑚

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 𝛿𝑡 _𝑓 = 0

𝜕𝑚

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

𝑇 𝜕𝑚

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓

𝛿𝑡 _𝑓 = 0

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓

𝑇

𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 𝛿𝑥 _𝑓

𝛿𝑡 _𝑓 = 0

⇓ ∃𝑑 ∈ ℝ ^𝑘

𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

= 𝑑 ^𝑇

𝜕𝑚

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

𝜕𝑚

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

⇓ 𝑛 εξισώσεις

3) ^𝜕ℎ

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 − 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝑑 ^{𝑇 𝜕𝑚}

𝜕𝑥 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 1 ^η εξίσωση:

4) 𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + ^𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 𝑑 ^{𝑇 𝜕𝑚}

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓

Δίνεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ = 𝑥 ₂ (1𝑎)

𝑥 ₂ = 𝑢 (1𝑏)

το οποίο θέλουμε να ελέγξουμε με κατάλληλη είσοδο 𝑢(𝑡), ελαχιστοποιώντας την είσοδο που θα χρησιμοποιήσουμε

𝐽 𝑢 =

𝑡 ₀ 𝑡 _𝑓 1

2 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 = 1

2 , 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 = 3, 𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 𝑓𝑟𝑒𝑒.

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

6 𝑡 ³ − 𝑐 ₄

2 𝑡 ² + 𝑐 ₂ 𝑡 + 𝑐 ₁ 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

2 𝑡 ² − 𝑐 ₄ 𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = −𝑐 ₃ 𝑡 + 𝑐 ₄

𝑢 ^∗ 𝑡 = −𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃ 𝑡 − 𝑐 ₄ 1 𝑥 ₁ 0 = 1,

2 𝑥 ₂ 0 = 2,

3 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 = 3.

𝐻 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑢 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 + 𝜕ℎ

𝜕𝑡 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 0 ⇒ (4) ¹

2 𝑢 ^∗2 𝑡 _𝑓 + 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 + 𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑢 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) = 0 ^𝑢

∗ 𝑡 _𝑓 =−𝑝 ₂ ^∗ (𝑡 _𝑓 )

𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 _𝑓 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 _𝑓 − 1

2 𝑝 ₂ ^∗2 𝑡 _𝑓 = 0

(5) ^𝜕ℎ

𝜕𝑥 ₂ 𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 , 𝑡 _𝑓 = 𝑝 ₂ 𝑡 _𝑓 ⇒ 𝑝 ₂ 𝑡 _𝑓 = 0 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

𝑐 ₁ = 1, 𝑐 ₂ = 2, 𝑐 ₃ = 4

9 , 𝑐 ₄ = 4

3 , 𝑡 _𝑓 = 3

Δίνεται το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ = 𝑥 ₂ (1𝑎)

𝑥 ₂ = 𝑢 (1𝑏)

το οποίο θέλουμε να ελέγξουμε με κατάλληλη είσοδο 𝑢(𝑡), ελαχιστοποιώντας την είσοδο που θα χρησιμοποιήσουμε

𝐽 𝑢 = 1

2 𝑥 ₁ 2 − 4 ² + 1

2 𝑥 ₂ 2 − 2 ² +

0 2 1

2 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 = 1

2 , 𝑥 2 𝑓𝑟𝑒𝑒.

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

6 𝑡 ³ − 𝑐 ₄

2 𝑡 ² + 𝑐 ₂ 𝑡 + 𝑐 ₁ 𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

2 𝑡 ² − 𝑐 ₄ 𝑡 + 𝑐 ₂ 𝑝 ₁ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃

𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = −𝑐 ₃ 𝑡 + 𝑐 ₄

𝑢 ^∗ 𝑡 = −𝑝 ₂ ^∗ 𝑡 = 𝑐 ₃ 𝑡 − 𝑐 ₄ 1 𝑥 ₁ 0 = 1 ,

2 𝑥 ₂ 0 = 2 .

ℎ 𝑥 𝑡 , 𝑡 = 1

2 𝑥 ₁ 𝑡 − 4 ² + 1

2 𝑥 ₂ 𝑡 − 2 ² ⇒

𝜕ℎ

𝜕𝑥 ₁ = 𝑥 ₁ 𝑡 − 4

𝜕ℎ

𝜕𝑥 ₂ = 𝑥 ₂ 𝑡 − 2 3) ^{𝜕ℎ 𝑥 2 ,2}

𝜕𝑥 ₁ = 𝑝 ₁ 2 ⇒ 𝑝 ₁ 2 = 𝑥 ₁ 2 − 4 5) ^{𝜕ℎ 𝑥 2 ,2}

𝜕𝑥 ₂ = 𝑝 ₂ 2 ⇒ 𝑝 ₂ 2 = 𝑥 ₂ 2 −2 Συμπέρασμα:

𝑐 ₁ = 1, 𝑐 ₂ = 2, 𝑐 ₃ = 3

7 , 𝑐 ₄ = 4/7

Έστω το σύστημα

𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ 𝑡

𝑥 ₂ 𝑡 = −𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑢 𝑡 και

𝐽 𝑢 = 1

2 𝑥 ₁ 2 − 5 ² + 1

2 𝑥 ₂ 2 − 2 ² + 1 2 ₀

2

𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 = 0, 𝑥 2 =άγνωστο.

Η αλλαγή της 𝐽 𝑢 επηρεάζει μόνο τις συνοριακές συνθήκες.

Συνεπώς

1) 𝑥 ₁ 0 = 0.

2) 𝑥 0 = 0.

𝜕ℎ 𝑥 ^∗ 2 ,2

𝜕𝑥 ₁ − 𝑝 ₁ ^∗ 2 = 0 ⇒ 𝑥 ₁ ^∗ 2 − 5 = 𝑝 ₁ ^∗ 2 (3)

𝜕ℎ 𝑥 ^∗ 2 ,2

𝜕𝑥 ₂ − 𝑝 ₂ ^∗ 2 = 0 ⇒ 𝑥 ₂ ^∗ 2 − 2 = 𝑝 ₂ ^∗ 2 (4)

Αντικατάσταση στις λύσεις που υπολογίσαμε και επίλυση των εξισώσεων δίνει:

𝑐 ₁ = 𝑐 ₂ = 0, 𝑐 ₃ = −2.697, 𝑐 ₄ = −2.422

𝑥 ₁ ^∗ 𝑡 = 2.697𝑡 − 2.422 + 2.560𝑒 ^−𝑡 − 0.137𝑒 ^𝑡

𝑥 ₂ ^∗ 𝑡 = 2.697 − 2.560𝑒 ^−𝑡 − 0.137𝑒 ^𝑡

Άσκηση 1: Έστω το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ 𝑡

𝑥 ₂ 𝑡 = −𝑥 ₂ 𝑡 + 𝑢 𝑡

και θέλουμε το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού 𝐽 𝑢 =

0 2 1

2 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡

αν 𝑥 0 = 0 και θέλουμε για 𝑡 _𝑓 = 2 το σύστημα να οδηγηθεί

στην 𝑥 ₁ ² 𝑡 + 𝑥 ₂ ² 𝑡 = 1.

Άσκηση 2: Να βρεθεί ο βέλτιστος έλεγχος του συστήματος 𝑥 𝑡 = 𝑎𝑥 𝑡 + 𝑢(𝑡)

που ελαχιστοποιεί τον δείκτη απόδοσης 𝐽 𝑢 = 1

2 𝐻𝑥 ² 𝑇 +

0 𝑇 1

4 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡

𝑇 είναι γνωστό, 𝐻 > 0, 𝑥(𝑇) είναι ελεύθερο.

Άσκηση 3: Έστω το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ 𝑡

𝑥 ₂ 𝑡 = −2𝑥 ₁ 𝑡 + 3𝑢 𝑡

Να βρεθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού 𝐽 𝑢 = 1

2 𝑥 ₁ ² 𝜋

2 + 1 2 ₀

𝜋/2

𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡

αν 𝑥 0 = 0 1 ^𝑇 και 𝑥(𝑡 _𝑓 ) ελεύθερο.

Άσκηση 4: Έστω το σύστημα διαφορικών εξισώσεων 𝑥 ₁ 𝑡 = 𝑥 ₂ 𝑡

𝑥 ₂ 𝑡 = −2𝑥 ₁ 𝑡 + 3𝑢 𝑡

Να βρεθεί το σχετικό ακρότατο του συναρτησιακού 𝐽 𝑢

= 1

2 𝐹 ₁₁ 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 − 4 ² + 1

2 𝐹 ₂₂ 𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 − 2 ² + 1

2 ₀

𝑡 _𝑓

𝑥 ₁ ² 𝑡 + 2𝑥 ₂ ² 𝑡 + 4𝑢 ² (𝑡) 𝑑𝑡

αν 𝑥 0 = 0 1 ^𝑇 και

a) 𝐹 ₁₁ = 0, 𝐹 ₂₂ = 0, 𝑡 _𝑓 = 2, 𝑥 2 = 4 6 ^𝑇 . b) 𝐹 ₁₁ = 3, 𝐹 ₂₂ = 5, 𝑥 𝑡 _𝑓 = 4 6 ^𝑇 , 𝑡 _𝑓 𝑓𝑟𝑒𝑒.

c) 𝐹 ₁₁ = 0, 𝐹 ₂₂ = 0, 𝑥 ₁ 2 = 𝑓𝑟𝑒𝑒, 𝑥 ₂ 2 = 6.

d) 𝐹 ₁₁ = 3, 𝐹 ₂₂ = 5, 𝑥 ₁ 𝑡 _𝑓 = 4, 𝑥 ₂ 𝑡 _𝑓 ανήκει στην καμπύλη

𝜃 𝑡 = −5𝑡 + 15.

Σύστημα διαφορικών εξισώσεων: 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑢 Συναρτησιακό:

𝐽 𝑢 = 1

2 𝐻𝑥 ² 𝑇 +

0 𝑇 1

4 𝑢 ² 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 είναι γνωστό, 𝐻 > 0, 𝑥(𝑇) είναι ελεύθερο.

𝐻 𝑥, 𝑢 = 1

4 𝑢 ² 𝑡 + 𝑝(𝑡) 𝑎𝑥 𝑡 + 𝑢 𝑡 𝑥 = 𝜕𝐻

𝜕𝑝 ⇒ 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑢 𝑝 = − 𝜕𝐻

𝜕𝑥 ⇒ 𝑝 = −𝑎𝑝

𝜕𝐻 2𝑢

𝑥 𝑝

𝜔(𝑡)

= 𝑎 −2 0 −𝑎

𝐴

𝑥 𝑝

𝜔(𝑡)

𝑇 𝛾𝜈𝜔𝜎𝜏ό ⇒ 𝛿𝑡 _𝑓 = 0 𝑥 𝑇 𝑓𝑟𝑒𝑒 ⇒ 𝜕ℎ

𝜕𝑥 − 𝑝 ^∗ = 0 1

2 ∗ 2𝐻𝑥 ^∗ 𝑇 − 𝑝 ^∗ 𝑇 = 0 ⇒ 𝑝 ^∗ 𝑇 = 𝐻𝑥 ^∗ (𝑇) 𝜔 𝑡 _𝑓 = 𝑒 ^{𝐴𝑡 𝑓} 𝜔 0 ⇒ 𝜔 0 = 𝑒 ^{−𝐴𝑡 𝑓} 𝜔 𝑡 _𝑓

𝜔 𝑡 = 𝑒 ^𝐴𝑡 𝜔 0 = 𝑒 ^𝐴𝑡 𝑒 ^{−𝐴𝑡 𝑓} 𝜔 𝑡 _𝑓 = 𝑒 ^{𝐴(𝑡−𝑡 𝑓 )} 𝜔 𝑡 _𝑓

𝜔 𝑡 _𝑓 = 𝑥 ^∗ (𝑡 _𝑓 )

𝑝 ^∗ (𝑡 _𝑓 ) = 𝑒 ^{𝐴(𝑡 𝑓 −𝑡)} 𝜔 𝑡

= 𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 1

𝑎 𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} − 𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 0 𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡}

𝑥 ^∗ (𝑡) 𝑝 ^∗ (𝑡) 𝑝 ^∗ 𝑡 _𝑓 = 𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝐻𝑥 ^∗ 𝑡 _𝑓 ⇒

𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝐻 𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 𝑥 ^∗ 𝑡 + 1

𝑎 𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} − 𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 𝑝 ^∗ (𝑡)

⇒

𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} − 𝐻

𝑎 𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} + 𝐻

𝑎 𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝐻𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 𝑥 ^∗ 𝑡

⇒

𝑝 ^∗ 𝑡 = 𝐻𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 1 − 𝐻

𝑎 𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} + 𝐻

𝑎 𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡}

𝑥 ^∗ (𝑡)

𝑢 ^∗ 𝑡 = −2𝑝 ^∗ 𝑡 = − 2𝐻𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} 1 − 𝐻

𝑎 𝑒 ^{−𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡} + 𝐻

𝑎 𝑒 ^{𝑎 𝑡 𝑓 −𝑡}

𝑥 ^∗ (𝑡)

Επίλυση Άσκησης 2 (Homework) (5)

Έστω

𝐸 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 𝐽 𝑥, 𝑢 = 1

2 _𝑡

0

𝑡 _𝑓

𝑥 ^𝑇 𝑄𝑥 + 𝑢 ^𝑇 𝑅𝑢 𝑑𝑡 𝑄 ≥ 0, 𝑅 > 0.

𝐹 _𝑎 ≔ 1

2 𝑥 ^𝑇 𝑄𝑥 + 1

2 𝑢 ^𝑇 𝑅𝑢 + 𝜆 ^𝑇 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 − 𝐸 𝑥

𝜕𝐹

𝜕𝑥 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑥 = 0 = 𝑄𝑥 + 𝐴 ^𝑇 𝜆 + 𝑑

𝑑𝑡 𝐸 ^𝑇 𝜆 ⇒

⇒ 𝐸 ^𝑇 𝜆 = −𝑄𝑥 − 𝐴 ^𝑇 𝜆

𝐹 _𝑎 ≔ 1

2 𝑥 ^𝑇 𝑄𝑥 + 1

2 𝑢 ^𝑇 𝑅𝑢 + 𝜆 ^𝑇 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 − 𝐸 𝑥

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕𝑢 − 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝐹 _𝑎

𝜕 𝑢 = 0 = 𝑅𝑢 + 𝐵 ^𝑇 𝜆 ⇒

⇒ 𝑢 = −𝑅 ⁻¹ 𝐵 ^𝑇 𝜆 Άρα

Ε 0

0 Ε ^Τ

𝑥(𝑡)

𝜆(𝑡) = Α −𝐵𝑅 ⁻¹ 𝐵 ^𝑇

−𝑄 −𝐴 ^𝑇

𝑥(𝑡)

𝜆(𝑡)

Αν 𝜆 𝑡 = 𝑆𝐸𝑥(𝑡) τότε

𝜆 𝑡 = 𝑆𝐸 𝑥 𝑡 = 𝑆 𝐴𝑥 𝑡 − 𝐵𝑅 ⁻¹ 𝐵 ^𝑇 𝜆(𝑡) =

= 𝑆𝐴 − 𝐵𝑅 ⁻¹ 𝐵 ^𝑇 𝑆𝐸 𝑥(𝑡)

𝐸 ^𝑇 𝜆 𝑡 = −𝑄𝑥 − 𝐴 ^𝑇 𝜆 = −𝑄𝑥 − 𝐴 ^𝑇 𝑆𝐸𝑥 = −𝑄 − 𝐴 ^𝑇 𝑆𝐸 𝑥(𝑡) 𝐸 𝑆𝐴 − 𝐵𝑅 ⁻¹ 𝐵 ^𝑇 𝑆𝐸 = −𝑄 − 𝐴 ^𝑇 𝑆𝐸

𝐸 ^𝑇 𝑆𝐴 + 𝐴 ^𝑇 𝑆𝐸 − 𝐸 ^𝑇 𝐵𝑅 ⁻¹ 𝐵 ^𝑇 𝑆𝐸 + 𝑄 = 0

• Νικόλαος Καραμπετάκης, 2009, Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων, Εκδόσεις Ζήτη.

• D.E. Kirk, 1970, Optimal Control Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

• D. S. Naidu, 2002, Optimal Control Systems, CRC Press LLC.

• M. Athans and P. Falb, 1966 (καθώς και 1994 και 2007), Optimal Control : An Introduction to the Theory and its Applications, McGraw Hill Book Company, New York, NY.

• D. G. Hull, 2003, Optimal Control Theory for Applications,

Mechanical Engineering Series, Springer.

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Νικόλαος

Καραμπετάκης. «Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Ενότητα 9: Εφαρμογές του

Λογισμού των Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014.

Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

http://eclass.auth.gr/courses/OCRS288/

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες,

διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία

αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

 το Σημείωμα Αναφοράς

 το Σημείωμα Αδειοδότησης

 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου

Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 2013-2014