opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστικ... | Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Θεωρία Πιθανοτήτων &

Στατιστική

Ενότητα 4 ^η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τίτλος Μαθήματος Τμήμα

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Άδειες Χρήσης

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Χρηματοδότηση

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Χαρακτηριστικά Τυχαίων

Μεταβλητών.

1. Μέση Τιμή.

2. Διακύμανση.

3. Τυπική Τυχαία Μεταβλητή.

4. Ανισότητα Chebyshev.

5. p-Ποσοστιαίο Σημείο, Διάμεσος, Επικρατέστερη Τιμή.

6. Άλλες Παράμετροι και Ροπές.

Περιεχόμενα ενότητας

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τίτλος Μαθήματος Τμήμα

7 ^η Διάλεξη

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Χ, f(X)

Χαρακτηριστικά Τυχαίας Μεταβλητής Χ 1. Μέση Τιμή

2. Διακύμανση

3. Διάμεσος 4. Επικρατέστερη Τιμή

Αν γνωρίζουμε τα χαρακτηριστικά έχουμε χρήσιμες πληροφορίες για το πεδίο τιμών της μεταβλητής

( ) ( )

x

P X x f u du



  

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τίτλος Μαθήματος Τμήμα

Μαθηματική Ελπίδα - Μέση Τιμή

Ορισμός

Παράδειγμα 1

Η μέση λειτουργία του εξαρτήματος:

( )

(

) ( )

i

E X  x P X x

Xf X dX



     

0

0 0

( )

[

]

1

E X X  e ^ dX X e ^ e ^ dX



 

   

         

1



Η μέση τιμή στην εκθετική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι το αντίστροφο της παραμέτρου,

( ) ^X

f X    e ^{ }

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Παράδειγμα 2 Η ρίψη ζαριού:

6

1

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

( ) ( ) 1

6

( ) 1 3, 5

6

i i

i

X

f x P X x

E X i





  

   

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τίτλος Μαθήματος Τμήμα

Ιδιότητες

Έστω Χ τυχαία μεταβλητή, Η ποσότητα είναι επίσης τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή,

Γενικά για μία συνάρτηση g της Χ ισχύει,

( ) E X

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

E  X 

 X  f X dX 

X f X dX 

f X dX  E X   E X 

  

                 

 X  

.

( )

( ) ( )

Y g X f g Y f Y dY





    

( ) ( ( )) ( ) ( ) E Y E g X g X f X dX





   

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Παράδειγμα

Έστω η τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει ισοπίθανα τιμές από 0 μέχρι 1.

( ) ? E X 

2

( ) ( 2 ) ? Y X

E Y E X



 

1 1

0 0

( ) 1 0,5

E X   c XdX     XdX  ^{2 1 2 3 1}

0 0

( ) 1 1

3 3

E X X dx  X 

      

 



Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τίτλος Μαθήματος Τμήμα

Διασπορά-Διακύμανση

Παράδειγμα

Έστω δύο τυχαίες μεταβλητές Χ, Υ που ακολουθούν ομοιόμορφες κατανομές με πεδίο τιμών

Έτσι η πληροφορία της μέσης τιμής δεν είναι αρκετή. Άρα θα χρειαστούμε ένα μέτρο της διασποράς των τιμών της Χ από την μέση τιμή της μ.

[ 1,1]

[ 1000,1000]

[ ] 0 [ ] 0 X

Y E X E Y

 

 





( ) 0

E X    E (    )

2 2

( ) [( ) ]

Var X  E X     _

Τυπική απόκλιση: ²

X X

  

Διακύμανση:

Απόκλιση

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Διακύμανση .

Ιδιότητες

Παράδειγμα

2 2

( ) [( ) ] ( ) ( )

VAR X E X 

X  f X dX



     

2 2 2

( ) [( ( )) ] ( ) 0

VAR  X    E  X            VAR X 

2

X X

  

Τυπική απόκλιση (φυσικές μονάδες)

: ( ) ^X

X f X    e ^{ }

2 2 2 2 2

( ) [( ) ] ( 2 )] ... ( )

VAR X  E X    E X   X     E X  

X _{( )}

VAR X  

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τίτλος Μαθήματος Τμήμα

Τυποποιημένη Τυχαία Μεταβλητή

Παραδείγματος χάριν, για να συγκρίνουμε τις τιμές δύο διαφορετικών

πληθυσμών, έστω το εισόδημα Χ, Υ των πολιτών δύο χωρών αντίστοιχα, κάνουμε τυποποίηση,

* X

X

X X 



 

Y

Y Y 



 

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

p-ποσοστιαίο σημείο X _p

Διάμεσος

( _p )

P X  x  p

0,5

( ) ( )

x M

P X M P X M



  

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Τίτλος Μαθήματος Τμήμα

Επικρατέστερη Τιμή Τ

Εκεί όπου η f(Χ) μεγιστοποιείται: f(T)=μέγιστη Πιο αντιπροσωπευτική του δείγματος.

Παράδειγμα: το ύψος που έχουν οι περισσότεροι φοιτητές.

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Άσκηση

Έστω η διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

της οποίας η συνάρτηση συνάρτηση μάζας πιθανότητας είναι

Να βρεθεί η επικρατέστερη τιμή, η διάμεσος, και η μέση τιμή.

{1, 2,3,...}

X 

( ) 1

2

i x

f x 

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Τέλος Ενότητας

Επεξεργασία: Καρανάσιος Αναστάσιος- Νικόλαος

Θεσσαλονίκη, Εαρινό Εξάμηνο 2013-2014