opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Ι... | Ειδικές Περιπτώσεις Γραμμών Μεταφοράς

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ

Ενότητα 6: Ειδικές Περιπτώσεις Γραμμών Μεταφοράς

Λαμπρίδης Δημήτρης Ανδρέου Γεώργιος,

Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η

άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Ειδικές Περιπτώσεις Γραμμών

Μεταφοράς

Περιεχόμενα ενότητας

1. Γραμμή χωρίς απώλειες, εν κενώ

2. Γραμμή χωρίς απώλειες με βραχυκυκλωμένο άκρο 3. Φόρτιση γραμμής χωρίς απώλειες με καταναλωτή

ίσο με την κυματική αντίσταση

4. Γραμμή χωρίς απώλειες φορτιζόμενη με ωμικό φορτίο

5. Γραμμή χωρίς απώλειες με οποιοδήποτε φορτίο

Γραμμές Μεταφοράς Χωρίς Απώλειες (ΓΜΧΑ) (1/2)

• Γενικές σχέσεις:

Αν

και

0 0

, 2 0

0

ω π

γ j β β ω L΄C΄

R΄ c λ

G΄ L΄

Z Ζ

C΄

   

   

   

     

     

sinh sinh sin

cosh cosh cos

γx jβx j βx

γx jβx βx

 

 

Γραμμές Μεταφοράς Χωρίς Απώλειες (ΓΜΧΑ) (2/2)

Εξισώσεις τάσεων και ρευμάτων μακριάς ομοιογενούς ΓΜΧΑ στο άκρο αποστολής S:

και στο άκρο παραλαβής R:

και

ΓΝΩΣΤΑ

και

ΓΝΩΣΤΑ

ΓΜΧΑ, Ανοικτό κύκλωμα στο άκρο R (1/4)

Θα είναι , οπότε :

και:

Για ένα κρίσιμο μήκος l_κ μιας ΓΜΧΑ για το οποίο ισχύει:

προκύπτουν:

R 0 I 

cos ( )

S R

V V

 β

2 2 2 2 4

κ κ

π π π λ λ

β β π

 

          0

R S

V Z

  

 



• Για τη συχνότητα των 50 Hz,

– Σε εναέριες γραμμές είναι: , ενώ – Σε καλώδια είναι:

• Στην τρίτη αρμονική (150 Hz) είναι αντίστοιχα:

– Σε εναέριες γραμμές:

– Σε καλώδια:

• Μια ΓΜΧΑ που λειτουργεί χωρίς φορτίο (η με πολύ μικρό φορτίο)

παρουσιάζει στο άκρο παραλαβής R μια υπέρταση που εξαρτάται από τη συχνότητα f.

• Όσοι καταναλωτές βρίσκονται στο άκρο παραλαβής R μπορεί να έχουν τάση υψηλότερη από την τάση του άκρου αποστολής S.

1500 km lk 

750 950 km lk  

500 km lk 

250 317 km lk  

ΓΜΧΑ, Ανοικτό κύκλωμα στο άκρο R

(2/4)

• Επειδή η υπέρταση εξαρτάται από τη συχνότητα, στο άκρο παραλαβής R έχουμε μεγάλη

ανύψωση του ποσοστού των αρμονικών που περιέχονται στη τάση (τάση κακής ποιότητας).

• Το φαινόμενο ονομάστηκε φαινόμενο Ferranti γιατί παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από τον Sebastian Ziani de Ferranti, τoν Οκτώβριο του 1890, στο Λονδίνο.

ΓΜΧΑ, Ανοικτό κύκλωμα στο άκρο R

(3/4)

• Για το ρεύμα στην αρχή της γραμμής ισχύει:

• Αν λοιπόν , τότε το είναι χωρητικό , δηλαδή , όπου

• Αυτό ισχύει για ΓΜΧΑ μήκους: δηλαδή ισχύει πάντα για συχνότητα 50 Hz.

0

sin( )

S R C R

I j β V j Y V

 Z 

sin 0

2

β   π (β ) 

I

S C R

I   j Y V

0

sin( )

C

Ζ

Y  Cω  β

2 2 2 4

,

π π λ λ

β π

   

ΓΜΧΑ, Ανοικτό κύκλωμα στο άκρο R

(4/4)

ΓΜΧΑ, Ανοικτό κύκλωμα στο άκρο R – προσεγγιστικές σχέσεις

Αν:

οπότε είναι:

Τέλος :

Δηλαδή:

0 0 0 sin

2

β β (β ) β

λ   π     

0 0

β β ω L΄C΄

Cω C C΄

Ζ ω Ζ ω L΄ C΄

    

0 0

R

sin

S R

V V

Ι (β ) β V C΄ω

Z Z

  

I

  

Παράδειγμα

•

Δίνεται τριφασικό καλώδιο, που λειτουργεί χωρίς φορτίο στο άκρο

με στοιχεία:

και μήκος l = 40 km. Ζητείται το μέτρο του ρεύματος I

αποστολής της ισχύος S.

400 kV 231 kV/ph

3

R

R R

U   V  U 

0

3 o

0 2 mH/km 30 Ω

0 222 μF/km 2,093 10 rad/km

0,12 / km Z L΄

L΄ , C΄

C΄ , β ω L΄C΄

 

 

 

     



Λύση

α) Ακριβής σχέση:

β) Προσεγγιστική σχέση:

3

3 0

sin( ) sin(2,093 10 40)

231 10 644 Α/ph

S R

30

I β V

Z





    

3 6

231 10 0 222 10 100 40 644 Α/ph

S R

Ι  V C΄ω    , 

 π 



ΓΜΧΑ, Βραχυκύκλωμα στο άκρο R (1/2)

Θα είναι , οπότε :

Για το κρίσιμο μήκος l_κ μιας ΓΜΧΑ για το οποίο ισχύει:

προκύπτουν:

•Μια ΓΜΧΑ που λειτουργεί βραχυκυκλωμένη και έχει μήκος ίσο με το κρίσιμο μήκος l_κ δεν αντιδρά στο άκρο αποστολής S στο βραχυκύκλωμα.

R 0 V 

2 2 2 2 4

κ κ

π π π λ λ

β β π

 

         

S

0

S

I Z

 

  



ΓΜΧΑ, Βραχυκύκλωμα στο άκρο R (2/2)

• Για έχουμε ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΓΡΑΜΜΗΣ.

• Για έχουμε ΧΩΡΗΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΓΡΑΜΜΗΣ.

• Άρα λοιπόν, μια ΓΜΧΑ που βρίσκεται σε κατάσταση σφάλματος βραχυκύκλωσης έχει σχεδόν πάντα στην πράξη επαγωγική

συμπεριφορά.

0

tan 0

κ

2

β π Ζ (β )

     

0

tan 0

κ

2

β π Ζ (β )

     

ΓΜ με προσαρμοσμένο καταναλωτή στο άκρο R

• Προσαρμογή στο άκρο R έχουμε όταν:

• Θα είναι:

οπότε για τις τάσεις και τα ρεύματα σε οποιοδήποτε σημείο x της γραμμής θα είναι:

0

ZR  Z

0 0

R R R

R R

R

V Z I

V Z I

Z Z

 

 

  

     

     

   

cosh sinh

sinh cosh

γx

R R R

γx

R R R

γx αx jβx

R R

γx αx jβx

R R

V x γ x V γ x V V e

I x γ x I γ x I I e

V x V e V e e I x I e I e e

   

 

   

 

 

ΓΜΧΑ με προσαρμοσμένο καταναλωτή στο άκρο R (1/5)

• Στην ΓΜΧΑ έχουμε επιπλέον ότι: και

• Σε αυτή την περίπτωση θα είναι:

οπότε για οποιοδήποτε σημείο x θα είναι:

Και στο άκρο S θα είναι:

α 0

0 0

Z  Z

   

cos sin

sin cos

jβx

R R R

jβx

R R R

V x (β x)V j (β x)V V e I x j (β x) I (β x) I I e

  

  

0

cos sin

sin cos

Z ^{S R}

jβ

S R R R

jβ S

S

R R R

V (β )V j (β )V V e

I j (

V V

I Z

β ) I (

I

β ) I I e

   

 

 





 



0

0 0

R R

R

R R

R

V Z I

V Z I

Z Z Z

 

 

  

• Σε μια ΓΜΧΑ που λειτουργεί με ωμικό φορτίο ίσο με την κυματική της αντίσταση υπάρχει μόνο ένα κύμα που οδεύει προς τα ελαττούμενα x.



Δεν υπάρχει επιστρέφον κύμα.

• Τάση και ρεύμα μένουν αμετάβλητα ως προς το μέτρο τους κατά την όδευση τους.



Η πτώση τάσης είναι μηδενική.

ΓΜΧΑ με προσαρμοσμένο

καταναλωτή στο άκρο R (2/5)

• τάση και ρεύμα στρέφονται ταυτόχρονα κατά την όδευση τους, με γωνία στροφής ίση με βx.



η συνολική τους στροφή είναι ίση με βl.

V_S = V_R I_S = I_R (ανεξάρτητα του μήκους l της γραμμής)

Τάση και ρεύμα αλλάζουν μόνο τη φάση τους

με γωνία ίση με β rad/km (=0,06/km για εναέριες ΓΜΧΑ)

ΓΜΧΑ με προσαρμοσμένο

καταναλωτή στο άκρο R (3/5)

• Η μιγαδική ισχύς του καταναλωτή στο άκρο παραλαβής R θα είναι :

• Σε μια ΓΜΧΑ θα είναι όμως , οπότε:

• Η P_N ονομάζεται φυσική ισχύς ΓΜΧΑ. Αν μια ΓΜΧΑ μεταφέρει:

• Άρα μία προσαρμοσμένη ΓΜΧΑ δε χρειάζεται αντιστάθμιση.

2 2

* *

0 0 0

3 3 3

*

* R R R

R R R R *

V V U

S V I V

Z Z Z

      

0 0

Z  Z

2 2

0 0

R N

R N

U

S U P

Z Z

  

0 0

R N

S R

R

P P

V V Q

  

  

  

 

ΓΜΧΑ με προσαρμοσμένο

καταναλωτή στο άκρο R (4/5)

• Εξήγηση:

Στο τυχόν σημείο x μιας προσαρμοσμένης ΓΜΧΑ η L΄ της γραμμής καταναλίσκει:

η C΄ της γραμμής παράγει:

Αλλά:

Άρα μια προσαρμοσμένη ΓΜΧΑ ζητά μηδενική άεργη ισχύ.

2

VAr / km

L΄x x

Q  I L΄ω

2

VAr / km

C΄x x

Q   V C΄ω

2 2

0

x R

x x

x R

V V L΄

Z Ι L΄ V C΄

I  I   C΄   

L΄x C΄x

0 Q  Q 

ΓΜΧΑ με προσαρμοσμένο

καταναλωτή στο άκρο R (5/5)

• Συνδυάζοντας τις σχέσεις που έχουμε δει μέχρι τώρα, προκύπτει με τη βοήθεια της φυσικής ισχύος της ΓΜΧΑ ότι:

• Για μικρά μήκη l όμως, οπότε και γα μικρές γωνίες βl ισχύουν οι σχέσεις:

• Αυτή η προσέγγιση ισχύει πρακτικά για γωνίες <30˚, δηλ. πρακτικά για όλες σχεδόν τις εναέριες ΓΜ, αφού:

2

 

2

1

1 sin

S R

N

V V P β

P

 

    

 

2

2 2

2

0 0 sin( ) sin ( ) ( ) π

β β β β β

λ λ

 

         

 

360 360

30 500 km

12 12 12

β λ

β

 

      

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο ωμικό

καταναλωτή στο άκρο R (1/6)

• Προκύπτει έτσι μια πρώτη προσέγγιση για την V_S :

• Επίσης, για -1 < z ≤ 1 ισχύει κατά Newton:

• Στη δική μας περίπτωση, και για η σχέση -1 < z ≤ 1 ισχύει πάντα για:

2 2 2

1

1 2

S R

N

P π

V V

P λ

  

          

 ¹ 

^{1 1 1}

¹

2 8 16

z

z z z ...

     

λ  0,

2 2 2

1 2

P

π

z P λ

  

         

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο ωμικό

καταναλωτή στο άκρο R (2/6)

•

Χρησιμοποιώντας λοιπόν το ανάπτυγμα κατά Newton, και

παραλείποντας τους ανώτερους όρους, προκύπτει μια δεύτερη προσέγγιση για την V

οπότε η πτώση τάσης θα είναι ίση με:

2 2 2

2 2

1

1 2

S R

N

P π

V V

P λ

   

      

 

 

2 2

2

1 19 74

S R R

R N

V V P

V P , λ

 

        

   

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο ωμικό

καταναλωτή στο άκρο R (3/6)

• Προκύπτουν λοιπόν τα εξής συμπεράσματα:

– Σε μια ΓΜΧΑ που τροφοδοτεί ωμικό φορτίο Z

≠ Z

μεταφέροντας ενεργή ισχύ μεγαλύτερη της φυσικής της ισχύος P

προκαλείται πτώση τάσης.

– Σε μια ΓΜΧΑ που τροφοδοτεί ωμικό φορτίο Z

≠ Z

μεταφέροντας ενεργή ισχύ μικρότερη της φυσικής της ισχύος P

προκαλείται ανύψωση τάσης.

– Τόσο η πτώση όσο και η ανύψωση τάσης είναι

ανάλογες του τετραγώνου του μήκους l της γραμμής.

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο ωμικό

καταναλωτή στο άκρο R (4/6)

•

Με ανάλογη ανάλυση προκύπτει για το άκρο S η εξής προσεγγιστική σχέση για την Q

:

•

Άρα λοιπόν:

–

Μια ΓΜΧΑ που τροφοδοτεί ωμικό φορτίο Z

≠ Z

μεταφέροντας ενεργή ισχύ μεγαλύτερη της φυσικής της ισχύος P

καταναλώνει άεργη ισχύ.

–

Μια ΓΜΧΑ που τροφοδοτεί ωμικό φορτίο Z

≠ Z

μεταφέροντας ενεργή ισχύ μικρότερη της φυσικής της ισχύος P

παράγει

άεργη ισχύ.

2 2

2

1 2

1

R R

S N N

N N

P P

Q P β π P ~

P λ P

   

       

   

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο ωμικό

καταναλωτή στο άκρο R (5/6)

• Όπως θα περιμέναμε, στα καλώδια :

– Η κυματική αντίσταση Z

είναι μικρότερη, – Η φυσική ισχύς P

είναι μεγαλύτερη,

– Συνήθως η φυσική ισχύς είναι πολύ μεγαλύτερη του φορτίου P

.

– Άρα λοιπόν έχουμε συνήθως ανύψωση τάσης, και χωρητική συμπεριφορά, οπότε και

χρειαζόμαστε επαγωγική αντιστάθμιση.

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο ωμικό

καταναλωτή στο άκρο R (6/6)

• Προκύπτει ότι:

• Για V

, V

, l σταθερά, θα έχουμε P

όταν:

με

   

cot

0

cot

N

β Q Q P β

 P    

 

sin

S N

R MAX

R

V P

P  V β

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο σύνθετο

καταναλωτή στο άκρο R (1/4)

• Το P

είναι ένα μέγιστο με θεωρητικό χαρακτήρα.

• Υπάρχουν άλλες λειτουργικές συνθήκες που περιορίζουν αισθητά τη μεταφερόμενη ισχύ:

– Όριο ευστάθειας.

– Όριο πτώσης τάσης.

– Θερμικά όρια.

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο σύνθετο

καταναλωτή στο άκρο R (2/4)

•

Από την ίδια σχέση:

προκύπτει η πτώση τάσης:

Αν:

 

 

cot sin 1

S R R R

R N N

V V Q P

β β

V P P

   

        

   

0 & 0

0 0

R R N S R

Q P P V V

Q P P V V

    

 

 

 

       

 

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο σύνθετο

καταναλωτή στο άκρο R (3/4)

•

Για:

προκύπτει τελικά η προσεγγιστική σχέση για την πτώση τάσης:

   

2

2

0 0 sin π

β β β

λ λ

 

         

2 2

2

19 74 ^R 1 ^R 6 28 ^R 2

N N N

P Q Q

, , ~

λ P P λ P

    

   

            

ΓΜΧΑ με μη προσαρμοσμένο σύνθετο

καταναλωτή στο άκρο R (4/4)

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Λαμπρίδης Δημήτρης, Ανδρέου Γεώργιος. «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙΙ, Ειδικές

Περιπτώσεις Γραμμών Μεταφοράς». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2015 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

http://opencourses.auth.gr/eclass_courses.

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση.

Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο

«Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:

• που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο

• που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο

• που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Σημείωμα Αδειοδότησης

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Τέλος ενότητας

Επεξεργασία: Σβάρνα Κωνσταντίνα

Θεσσαλονίκη, Χειμερινό εξάμηνο 2014-2015