[PENDING] (1)ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής (2)Άδειες Χρήσης • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

(1)

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι

Ενότητα 11: Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος

Τμήμα Φυσικής

(2)

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η

άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

(3)

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

(4)

Ακολουθίες Και Σειρές

  





   

 

 



1 1

1 ,..., 1

4 , 1 3 , 1 2 , 1 1

n n n

a n

n

(5)

Ακολουθίες Και Σειρές: Σύγκλιση

L a n

n 



lim 

Λέμε ότι μια ακολουθία συγκλίνει, όταν:

Δηλαδή, όταν η σειρά έχει πεπερασμένο όριο.

(6)

Ακολουθίες Και Σειρές: Παράδειγμα 1

Να μελετηθεί η σύγκλιση της παρακάτω ακολουθίας:







 



 

 

1 2

1 1 )

1 (

n n

n

(7)







 



 

 

1 2

1 1 )

1 (

n n

n

Η παραπάνω ακολουθία συγκλίνει στο μηδέν, αφού

καθώς μεγαλώνει το n κυριαρχεί ο δεύτερος όρος.

(8)



 

 

 



1

!

n

n n

n

(9)



 

 

 



1

!

n

n n

n

n n

n

n n

... 1 3

2 0 1

...

3 2 1

!

1

 



 



 



 



 



 



 



 



 

 



 

 



 

 



! 0 lim 

 n   n n

n

(10)

Μονότονες Ακολουθίες

a n

a a

a 1  2  3  ... 

Αυστηρά Αύξουσα:

Αύξουσα: a 1  a 2  a 3  ...  a n

Αυστηρά Φθίνουσα: a 1  a 2  a 3  ...  a n

Φθίνουσα: a 1  a 2  a 3  ...  a n

(11)

Μονότονες Ακολουθίες: Κριτήρια

n

n a

a 1 

1. Υπολογίζουμε τη διαφορά:

Εφαρμογή:



 

 

 



 

1 n 1

n n

a n

   

 1 2  1  2  2 1  1  0

1 2

1 



 





 

 



 

 

n n

n n n

a n

a n n

(12)

n n

a a  1

2. Υπολογίζουμε το λόγο:

Εφαρμογή:



 

 

 



 

2 1

3 n

n n

a n

5 0 3

2 5

3

2 2

1 



 



n n

a a

n

(13)

3. Υπολογίζουμε την παράγωγο:

Εφαρμογή:



 

 

 



 

1 1

2 3

n

n n

a n

 2 3  1  2  0

 n dn

da

(14)

Ακολουθίες: Εφαρμογή

Μελετήστε την μονοτονία της ακολουθίας εξετάζοντας το λόγο δύο διαδοχικών όρων:



 

 

 



! 1

10

n n

n

(15)

Ακολουθίες: Εφαρμογή

Μελετήστε την μονοτονία της ακολουθίας εξετάζοντας το λόγο δύο διαδοχικών όρων:



 

 

 



! 1

10

n n

n

 





1

1 10 n a

a

n

n Για n>9, η ακολουθία είναι φθίνουσα.

Συμπέρασμα: Η σύγκλιση μιας ακολουθίας χαρακτηρίζεται

από τους μεγάλους όρους.

(16)

Σειρές

Ο n-οστός όρος μιας σειράς είναι το άθροισμα όλων των προηγούμενων όρων μέχρι και τον όρο που εξετάζουμε.

 



 

 



 

 





 







1 2

1

n

S n 0  1

S

2 1 1

1  

S

4 1 2

1 1

2   

S

(17)

Σειρές: Σύγκλιση

Εξετάζουμε τη συμπεριφορά της σειράς καθώς το n τείνει στο άπειρο:

n n n

n

n S S

S 2

2 1 2

1 1 2

1 1





 



 



 





 n S n

S  lim  

2 2 2 1

lim

0

 



 



 



  

 

 n

n

n S n

(18)

Γεωμετρική Σειρά

r r

n

 

 

 1

1

0

1 1  

 r

για

(19)

Εφαρμογή 1

 



  0

5 1

3



Να υπολογίσετε το άθροισμα της σειράς 

(20)

Εφαρμογή 1

 



  0

5 1

3



Να υπολογίσετε το άθροισμα της σειράς 



 







 



  



 



 







0 0

0

1

2 25 5

5 3 5

5 3



(21)

Εφαρμογή 2

Να υπολογίσετε το άθροισμα της σειράς  

0 4 5

 

(22)

Εφαρμογή 2

 

0 4 5

 

Να υπολογίσετε το άθροισμα της σειράς

3 5 4

5 1 4

5

0 0

 



 



  

 





 



 

(23)

Γεωμετρική Σειρά: Απόδειξη

 

0 n

r n

0 1

0  r  S

r r

S 1  1  1 

2 1

2 r 1 r r

S    

r r r

r r

S

n n

n 

 



 

1 ... 1

1

2

(24)

Γεωμετρική Σειρά: Απόδειξη

 

0 n

r n

0 1

0  r  S

r r

S 1  1  1 

2 1

2 r 1 r r

S    

r r r

r S

n n

n 

 



 1 

...

1

1 2

r r

n

 

 





 







 

 1

1

0

(25)

Τηλεσκοπική Σειρά

 



 

 





 

1 1

  

(26)

 



 

 





 

1 1

  

2 1 1

1

1  

S

 

 

  

 



 

  

 3

1 2

1 1

1 S 2

 

  



 

 

 

 

 

 

 1 1

1 ...

1 1

S 1

(27)

 



 

 





 

1 1

  

1 1 1

1 1 ... 1

3 1 2

1 2

1 1

1

 

 



 





 



 



 

  

 



 

  

 n n n

S n

1 lim 

   n

n S

(28)

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Λουκάς Βλάχος.

«Γενικά Μαθηματικά Ι». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη 2014. Διαθέσιμο από τη

δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.auth.gr/eclass_courses.

(29)

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες,

διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία

αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

Σημείωμα Αδειοδότησης

(30)

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Τέλος ενότητας

Επεξεργασία: Νικόλαος Τρυφωνίδης

Θεσσαλονίκη, 2015

(31)

ΣΗΜΕΙΏΜΑΤΑ

(32)

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

 το Σημείωμα Αναφοράς

 το Σημείωμα Αδειοδότησης

 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.