Βασικές έννοιες – ορισμοί και οι κυρίαρχες εξισώσεις της Αεροδυναμικής

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Καβάλας Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών

Τμήμα Μηχανολογίας Τομέας Ενεργειακός

Πτυχιακή Εργασία

Βασικές έννοιες – ορισμοί και οι κυρίαρχες εξισώσεις της Αεροδυναμικής Basic Aerodynamic principles - definitions and fundamental equations

Κατσικίδης Σπύρος Α. Μ.: 4970

Επιβλέπων εκπαιδευτικός: Παναγιωτίδης Θεολόγος

Καβάλα, Οκτώβριος 2014

2

3

Περιεχόμενα

1 Γιατί μελετάται η αεροδυναμική; ... 5

1.1 Η ενεργειακή τεχνική –τεχνική ευχέρειας χειρισμών ... 5

1.1.1 Ειδική πλεονάζουσα ισχύς ... 9

1.1.2 Χρησιμοποιώντας την ειδική πλεονάζουσα ισχύς για να αλλάξει το ενεργειακό υψόμετρο 10 1.2 Λύνοντας ως προς τις αεροθερμοδυναμικές παραμέτρους ... 12

1.2.1 Η έννοια του ρευστού ... 13

1.2.2 Το ρευστό ως συνεχές μέσο ... 13

1.2.3 Οι ιδιότητες των ρευστών ... 15

1.2.4 Η διακύμανση της πίεσης σε ρευστό μέσο που βρίσκεται σε στατική κατάσταση ... 23

1.2.5 Η πρότυπη ατμόσφαιρα ... 30

1.3 Περίληψη ... 34

Προβλήματα ... 35

2 Θεμελιώδεις Αρχές της Μηχανικής Ρευστών ... 42

2.1 Εισαγωγή στη δυναμική των ρευστών ... 42

2.2 Διατήρηση της μάζας ... 45

2.3 Διατήρηση της γραμμικής ορμής... 49

2.4 Εφαρμογές σε ροές σταθερών ιδιοτήτων ... 55

2.5 Ο αριθμός Reynolds και ο αριθμός Mach ως παράμετροι ομοιότητας ... 63

2.6 Η έννοια του οριακού στρώματος ... 69

2.7 Διατήρηση της ενέργειας ... 72

2.8 Ο Πρώτος Νόμος της Θερμοδυναμικής ... 72

2.9 Παραγώγιση της εξίσωσης ενέργειας ... 74

2.9.1 Ολοκληρωτική μορφή της εξίσωσης της ενέργειας ... 78

2.9.2 Η ενέργεια του συστήματος ... 79

2.9.3 Έργο εξωθήσεως ... 80

2.9.4 Έργο διάτμησης ... 81

2.9.5 Αξονικό έργο ... 81

2.9.6 Εφαρμογή της Ολοκληρωτικής μορφής της εξίσωσης της ενέργειας ... 82

2.10 Περίληψη ... 84

4

Προβλήματα ... 85 Βιβλιογραφικές Αναφορές ... 100

5

1 Γιατί μελετάται η αεροδυναμική;

1.1 Η ενεργειακή τεχνική –τεχνική ευχέρειας χειρισμών

Στις αρχές του 1^ου Παγκόσμιου Πολέμου, οι πιλότοι πολεμικών αεροσκαφών (τουλάχιστον αυτοί που ήταν αρκετά καλοί ώστε να επιβιώσουν από τις πρώτες τους συμπλοκές με τον εχθρό) ανέπτυξαν γρήγορα τεχνικές οι οποίες επρόκειτο να τους εξυπηρετήσουν καθ’ όλη τη διάρκεια των χρόνων. Γερμανοί άσοι, όπως ο Oswald Boelcke και ο Max Immelman, συνειδητοποίησαν ότι αν ξεκινούσαν τις μάχες από ένα υψόμετρο μεγαλύτερο από του αντιπάλου τους, θα μπορούσαν να επιτεθούν βουτώντας κατά του αντιπάλου τους, ανταλλάσσοντας δυναμική ενέργεια (ύψος) με κινητική ενέργεια (ταχύτητα). Χρησιμοποιώντας μεγάλη ταχύτητα για να καλύψει τα νώτα του (δηλ. σε σχέση με τον στόχο του αεροσκάφους θέση λεγόμενη «6 η ώρα ακριβώς»), ο πιλότος του επιτεθειμένου αεροσκάφους είχε τη δυνατότητα να θέσει τις συνθήκες της αρχικής φάσης της εναέριας μάχης. Ξεκινώντας από το ανώτατο υψόμετρο και μετατρέποντας τη δυναμική ενέργεια σε κινητική, αυτός που επιτίθεται ίσως έχει την ικανότητα να καταστρέψει τον αντίπαλό του από το πρώτο πέρασμα. Αυτές οι τεχνικές πτήσης ήταν ιδιαίτερης ακρίβειας, από τη στιγμή που οι επιτυχημένοι άσοι μαχητές απέκτησαν καλύτερη κατανόηση των λεπτών διαφορών μεταξύ των αερομαχιών μέσω της οικοδόμησης μιας εμπειρικής βάσης δεδομένων από τις air-to-air¹ μονομαχίες. Ο όρος που δημιουργήθηκε για να κωδικοποιήσει αυτές τις τεχνικές είναι “έλεγξε τα νώτα σου” (check your six).

Η βάση δεδομένων των τεχνικών αυτών ενημερωνόταν από επιτυχημένες μάχες, οι οποίες παρείχαν μια εμπειρική κατανόηση των παραγόντων που είναι σημαντικοί για την αερομαχία.

Σαφώς, το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας (δηλ. η ολική ενέργεια) είναι ένας από τους παράγοντες αυτούς.

Παράδειγμα 1.1: Η ολική ενέργεια

Συγκρίνετε την ολική ενέργεια ενός Β-52, το οποίο ζυγίζει 450.000 λίβρες (pounds) και ίπταται με πραγματική ταχύτητα αέρα της τάξης των 250 κόμβων (knots) σε υψόμετρο 20.000 ποδιών (feet), με την ολική ενέργεια ενός F-5 που ζυγίζει 12.000 λίβρες (pounds) και ίπταται με πραγματική ταχύτητα αέρα της τάξης των 250 κόμβων (knots) σε υψόμετρο 20.000 ποδιών (feet). Η εξίσωση της ολικής ενέργειας είναι η εξής

1 Η air–to-air μονομαχία διαφέρει από μια απλή μονομαχία λόγω του ότι αποτελεί εναέρια συμπλοκή μεταξύ αεροσκαφών κατά την οποία ένα ή και περισσότερα αεροσκάφη προσπαθούν να καταστρέψουν ένα ή και περισσότερα αεροσκάφη. Στο Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο αποτελούσαν συχνή τακτική στις εναέριες συμπλοκές όπως επίσης και μεταγενέστερα στον Πόλεμο της Κορέας (http://en.wikipedia.org/wiki/Post%E2%80%93World_War_II_air-to- air_combat_losses).

6

𝛦 =

2

𝑚𝑉

+ 𝑚𝑔ℎ

Λύση: Για να έχουμε κοινές μονάδες μέτρησης, οι μονάδες της ταχύτητας πρέπει να είναι πόδια/δευτερόλεπτο (feet/sec) και όχι κόμβοι (knots). Ο ένας κόμβος είναι ένα ναυτικό μίλι ανά ώρα (ναυτικό μίλι / ώρα) και ισούται με 1,69 πόδια/δευτερόλεπτο (feet/sec).

Κατά συνέπεια, οι 250 κόμβοι ισούνται 422,5 πόδια/δευτερόλεπτο (feet/sec). Αφού η μάζα δίνεται από την εξίσωση,

𝑚 =

𝑔 (1.2)

Σημειώστε ότι οι μονάδες μέτρησης της μάζας θα μπορούσαν να είναι γραμμάρια (grams), χιλιογραμμάρια (kilograms), lbm, τεμάχια (slugs) ή lbf·s²/ft. Η επιλογή των μονάδων συχνά απεικονίζει τον τρόπο που η μάζα εμφανίζεται στην εφαρμογή. Η μάζα ενός Buff (δηλ. ενός Β-52) είναι 13.986 lbf·s²/ft ή 13.986 slugs (τεμάχια/ μονάδα μέτρησης μάζας), ενώ για το F-5 είναι 373 lbf·s²/ft. Έτσι, η ολική ενέργεια για το Β-52 είναι

𝐸 = 0,5 (13,986 𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠

𝑓𝑡 ) (422,5 𝑓𝑡 𝑠 )

2

+ (450,000𝑙𝑏𝑓)(20,000𝑓𝑡)

𝐸 = 1,0248 × 10

𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏𝑓

Ομοίως, η ολική ενέργεια του F-5 μαχητικού είναι,

𝐸 = 0,5 (373 𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠

𝑓𝑡 ) (422,5 𝑓𝑡 𝑠 )

2

+ (12,000𝑙𝑏𝑓)(20,000𝑓𝑡)

𝐸 = 2,7329 × 10

𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏𝑓

Η ολική ενέργεια του Β-52 είναι 37,5 φορές μεγαλύτερη από αυτήν του F-5. Παρά το γεγονός ότι η ολική ενέργεια του Β-52 είναι σαφώς μεγαλύτερη από αυτή του F-5, είναι απίθανο ένα Β-52 να έχει σημαντικό πλεονέκτημα σε μία (air-to-air) εναέρια μονομαχία με ένα F-5. Σημειώνεται ότι και τα δύο αεροσκάφη πετάνε με τις ίδιες συνθήκες πτήσης (συνδυασμός ταχύτητας υψομέτρου). Κατά συνέπεια η διαφορά στην ολική ενέργεια είναι ευθέως ανάλογη με τη διαφορά στο βάρος των δύο αεροσκαφών. Πιθανόν η ειδική ενέργεια (δηλ., η ενέργεια ανά μονάδα βάρους) αποτελεί μια πιο ρεαλιστική παράμετρος κατά την προσπάθεια να προβλεφθεί ποιό αεροσκάφος θα έχει πλεονέκτημα σε μία (air- to-air) εναέρια μονομαχία.

7 Παράδειγμα 1.2: Το ενεργειακό υψόμετρο

Δεδομένου ότι οι μονάδες μέτρησης της ειδικής βαρυτικής ενέργειας είναι οι ίδιες με αυτές του ύψους, η ειδική βαρυτική ενέργεια θα συμβολίζεται ως H_e και καλείται ενεργειακό υψόμετρο. Διαιρώντας τους όρους της εξίσωσης (1.1.) με το βάρος του αεροσκάφους (W = m g).

𝐻e =

=

+ ℎ

Συγκρίνετε το ενεργειακό υψόμετρο ενός Β-52 που πετάει με 250 κόμβους (knots) σε υψόμετρο 20.000 ποδιών (feet) και ενός F-5 που κινείται στο ίδιο υψόμετρο και με την ίδια ταχύτητα.

Λύση: Το ενεργειακό υψόμετρο ενός Β-52 είναι

𝐻𝑒 = 0,5 (422,5 𝑓𝑡 𝑠 )² 32,174 𝑓𝑡

𝑠²

+ 20000𝑓𝑡

𝐻𝑒 = 22774𝑓𝑡

Δεδομένου ότι το F-5 ταξιδεύει στο ίδιο υψόμετρο και με την ίδια πραγματική ταχύτητα αέρα όπως και το Β-52, το αεροσκάφος F-5 έχει το ίδιο ενεργειακό υψόμετρο (δηλ., την ίδια ειδική βαρυτική ενέργεια). Αν εξετάσουμε μόνο την ειδική βαρυτική ενέργεια, το Β- 52 και το F-5 είναι ισοδύναμα. Αυτό είναι προφανώς μια βελτίωση, πέρα από την προηγούμενη τιμή των 37.5, όπου το “Buff” πλεονεκτεί σε σχέση με το F-5 όσον αφορά την σύγκριση βάσει της ολικής ενέργειας. Εντούτοις, το γεγονός ότι το ενεργειακό υψόμετρο έχει την ίδια τιμή και για τα δύο υπό μελέτη αεροσκάφη, υποδεικνύει ότι απαιτείται περαιτέρω προσπάθεια για ρεαλιστικότερη σύγκριση όσον αφορά τις air-to-air μάχες.

Επομένως, πρέπει να υπάρχουν κάποιοι επιμέρους συντελεστές, οι οποίοι σχετίζονται όταν συγκρίνουμε μία προς μία τις δυνατότητες των δύο αεροσκαφών σε μία air-to-air μονομαχία. Ο κυβερνήτης Oswald Boelcke ανέπτυξε μια σειρά κανόνων που στηρίζονται στην προσωπική του εμπειρία από τις αερομαχίες στην σαραντάχρονη νικηφόρα πορεία του από τις 19 Οκτωβρίου του 1916. Ο Boelcke όρισε επτά κανόνες, ή αλλιώς «η Βίβλος» [Werner (2005)]. Οι πρώτοι πέντε, που πραγματεύονται διάφορες τακτικές κατά την πτήση, είναι οι εξής

1. Πάντα προσπαθήστε να ασφαλίσετε μια πλεονεκτική θέση πριν την επίθεση. Πάρτε ύψος πριν και κατά τη διάρκεια της προσέγγισης με σκοπό να αιφνιδιάσετε τον εχθρό από πάνω

8

και βουτήξτε απαλά προς την κατεύθυνσή του από τα νώτα του όταν η ώρα της επίθεσης είναι στα χέρια σας.

2. Προσπαθήστε να τοποθετηθείτε μεταξύ του ήλιου και του εχθρού. Με αυτόν τον τρόπο το έντονο φως του ηλίου θα είναι στα μάτια του εχθρού κι έτσι καθίσταται δύσκολο να υπάρχει οπτική επαφή όπως και να στοχεύσει με ακρίβεια.

3. Μην ενεργοποιείτε τα όπλα του αεροσκάφους μέχρις ότου ο εχθρός να βρίσκεται στην εμβέλεια σας (στην ακτίνα βολής) και να τον έχετε ξεκάθαρα στο οπτικό σας πεδίο.

4. Επιτεθείτε την στιγμή που ο εχθρός το αναμένει λιγότερο ή όταν είναι απασχολημένος με άλλα καθήκοντα, όπως παρατήρηση, φωτογράφιση ή βομβαρδισμό.

5. Ποτέ μην οπισθοχωρείτε και μην προσπαθήσετε να ξεφύγετε από ένα μαχητικό του εχθρού.

Στην περίπτωση που αιφνιδιαστείτε από μιαν επίθεση στα νώτα σας, κάντε αναστροφή (γυρίστε) και αντιμετωπίστε τον εχθρό με τα πυροβόλα όπλα σας.

Αν και οι νόμοι του Boelcke καθοδηγούσαν τους πιλότους για δεκαετίες, ήταν βασισμένοι σε εμπειρικούς κανόνες. Ο πρώτος κανόνας εξετάζει την ολική ενέργεια του αεροσκάφους, δηλαδή το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας. Από τα δύο πρώτα υπολογιστικά παραδείγματα μάθαμε ότι η πρόβλεψη του πιθανού νικητή σε μία αερομαχία ενός εναντίον ενός δεν είναι βασισμένη μόνο στην ενέργεια.

Σημειώνεται ότι ο πέμπτος κανόνας εξετάζει την ικανότητα της ευχέρειας χειρισμών ή ικανότητα διάπραξης ελιγμών. Ενέργεια ΚΑΙ Ικανότητα διάπραξης ελιγμών! Οι επικρατούσες εξισώσεις θα έπρεπε να περιλάβουν και την ικανότητα διάπραξης ελιγμών μαζί με την ειδική ενέργεια.

Δεν ήταν παραπάνω από μισό αιώνα αργότερα, όταν ο Αρχηγός της Πολεμικής Αεροπορίας των Η.Π.Α. έφερε το αναγκαίο συμπλήρωμα στην ομάδα πιλότων ταλέντων ούτως με σκοπό να φέρουν εις πέρας το παραπάνω πρόβλημα [Coram (2002)]. Ο Σμηναγός John R.Boyd ήταν ένας επιθετικός αλλά και ταλαντούχος πιλότος πολεμικών αεροσκαφών, ο οποίος είχε μια ακόρεστη περιέργεια ως προς την κατανόηση εκείνων των επιστημονικών εξισώσεων που αποτελούσαν τη βάση των "κανόνων του Boelcke". Ο John R.Boyd οδηγήθηκε στην κατανόηση της φυσικής, η οποία αποτελούσε ιδρυτικό κομμάτι όσον αφορά τη δημιουργία των οδηγιών, οι οποίες, μέχρι στιγμής, είχαν προκύψει από την εμπειρία των πιλότων πολεμικών αεροσκαφών που είχαν επιβιώσει από τις εναέριες συμπλοκές τους με τον εχθρό. Στο ρόλο του Boyd ως Επικεφαλής των Ακαδημαϊκών της Σχολής U.S. Fighter Weapons School, αυτή του η ενασχόληση δεν έγινε μόνο το πάθος του αλλά και η εργασία του.

Η αερομαχία αποτελεί δυναμικό συγχρονισμό κινήσεων όπως και αντισταθμιστικών κινήσεων, οι οποίες σημειώνονται κατά την πάροδο του χρόνου. Κατά συνέπεια, ο Boyd έθεσε ως αίτημα ότι ίσως τα χρονικά παράγωγα του ενεργειακού ύψους έχουν περισσότερο σχέση παρά το ενεργειακό ύψος αυτό καθαυτό. Πόσο γρήγορα μπορούμε, ενώ βρισκόμαστε στο

9

στοχευμένο αεροσκάφος με τον εχθρό να βρίσκεται στα νώτα μας, να ξεφορτωθούμε ενέργεια και να προσπεράσουμε τον εχθρό; Μόλις περάσει ο εχθρός, πόσο γρήγορα μπορούμε να αυξήσουμε το ενεργειακό ύψος του αεροσκάφους και να επιτεθούμε; Ο John R.Boyd δίδασκε τις συγκεκριμένες τεχνικές στη Σχολή Fighter Weapons School. Με αυτόν τον τρόπο παθιάστηκε με την πρόκληση βελτίωσης της επιστήμης των μαχητικών τεχνικών.

1.1.1 Ειδική πλεονάζουσα ισχύς

Αν ο πιλότος ενός αεροσκάφους F-5 12.000 lbf, το οποίο πετάει με ταχύτητα 250 κόμβων (knots) (422.5 ft/s) και σε υψόμετρο 12.000 ποδιών (feet) πρόκειται να έχει το πάνω χέρι σε μία εναέρια μονομαχία, το αεροσκάφος του πρέπει να έχει επαρκή δύναμη είτε να επιταχύνει είτε να ξεγλιστρήσει από τον αντίπαλό του. Εξετάζεται η περίπτωση όπου το F-5 ίπταται σε σταθερό υψόμετρο. Αν η μηχανή είναι σε θέση να παράγει περισσότερη ώθηση σε σχέση με την έλξη που ασκείται στο αεροσκάφος, η επιτάχυνση του αεροσκάφους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον Νόμο του Νεύτωνα,

𝛴𝐹 = 𝑚𝛼

ο οποίος για ένα αεροσκάφος που επιταχύνεται σε σταθερό υψόμετρο γίνεται ως εξής,

𝛵 − 𝐷 =

𝑔 𝑑𝑉

𝑑𝑡 (1.4)

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης με V και διαιρώντας με W προκύπτει, (𝑇−𝐷)𝑉

𝑊

=

𝑔 𝑑𝑉

𝑑𝑡 (1.5)

Παράδειγμα 1.3: Η ειδική πλεονάζουσα ισχύς και η επιτάχυνση

Το αριστερό μέλος της εξίσωσης (1.5) αφορά την ειδική πλεονάζουσα ισχύς ανά μονάδα βάρους, ή αλλιώς την ειδική πλεονάζουσα ισχύς, Ps. Χρησιμοποιείστε την εξίσωση (1.5) για να υπολογίσετε τη μέγιστη επιτάχυνση ενός αεροσκάφους F-5 12.000 lbf, το οποίο ίπταται με 250 κόμβους (knots) (422.5 ft/s) σε υψόμετρο 20.000 ποδιών (feet).

Λύση: Τα διαγράμματα απόδοσης ενός αεροσκάφους F-5, το πετά υπό αυτές τις συνθήκες δείχνουν ότι είναι σε θέση να παράγει 3550 lbf ώθηση (Τ) με τον μετακαυστήρα αναμμένο, ενώ η ολική έλξη (D) που ασκείται στο αεροσκάφος είναι ίση με 1750 lbf. Ωστόσο, η ειδική πλεονάζουσα ισχύς (Ps) είναι ίση με

𝑃𝑠 =

𝑊

=

12000𝑙𝑏𝑓

= 63,38𝑓𝑡/𝑠

10

Επαναπροσδιορίζοντας την εξίσωση (1.5) για να λύσουμε ως προς την επιτάχυνση προκύπτει

𝑑𝑉

𝑑𝑡 = 𝑃𝑠 𝑔

𝑉 = (63,38 𝑓𝑡/𝑠) 32,174 𝑓𝑡 𝑠

422,5 𝑓𝑡

𝑠

= 4,83 𝑓𝑡/𝑠²

1.1.2 Χρησιμοποιώντας την ειδική πλεονάζουσα ισχύς για να αλλάξει το ενεργειακό υψόμετρο

Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο και τα δύο μέλη της εξίσωσης (1.3), προκύπτει 𝑑𝐻𝑒

𝑑𝑡

=

+

Ο πρώτος όρος στο δεξί μέλος της εξίσωσης (1.6) αντιπροσωπεύει το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας (ανά μονάδα βάρους). Αποτελεί μια έκφραση του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας όπως τoν αντιλαμβάνεται ο πιλότος (dV/dt). Η σημασία του δεύτερου μέλους είναι εξίσου σημαντική. Εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας (ανά μονάδα βάρους). Αξιοσημείωτο ακόμα είναι ότι ο όρος (dh/dt) αποτελεί την κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας [δηλ., το ρυθμό ανάβασης (ROC)] όπως την αντιλαμβάνεται ο πιλότος με τον υψομετρητή του. Η ταχύτητα του αέρα και το υψόμετρο αποτελούν παραμέτρους, τις οποίες οι πιλότοι πολεμικών αεροσκαφών πρέπει να λαμβάνουν σοβαρά υπόψη τους.

Συνδυάζοντας τη λογική των εξισώσεων (1.5) και (1.6), οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι η ειδική πλεονάζουσα ισχύς ισούται με τον, ως προς το χρόνο, ρυθμό μεταβολής του ενεργειακού ύψους. Άρα,

𝑃𝑠 =

=

=

+

Λαμβάνοντας υπόψη την ειδική πλεονάζουσα ισχύς, η οποία υπολογίστηκε στο παράδειγμα 1.3, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση (1.7) στον υπολογισμό του μέγιστου ρυθμού ανάβασης (για σταθερή ταχύτητα) ενός αεροσκάφους F-5 12.000lbf καθώς διέρχεται σε ύψος 20.000 ποδιών (feet) με 250 κόμβους (knots).

𝑑ℎ

𝑑𝑡 = 𝑃𝑠 = 63,38𝑓𝑡/𝑠 = 3802,8 𝑓𝑡/𝑚𝑖𝑛

Είναι σαφές ότι, για να μπορούμε να λάβουμε θετικές τιμές από τους όρους της εξίσωσης (1.7), χρειαζόμαστε ένα αεροσκάφος με πλεονάζουσα ισχύ (δηλαδή, η ώθηση να υπερβαίνει την έλξη).

11

Το βάρος αποτελεί έναν άλλο σπουδαίο παράγοντα, αφού όσο πιο ελαφρύ είναι ένα αεροσκάφος τόσο μεγαλύτερα είναι τα πλεονεκτήματα από τη διαθέσιμη πλεονάζουσα ισχύ.

“Ο Boyd, ως πιλότος μαχητής στην Κορέα και σαν σύμβουλος τεχνικών πτήσης στην Nellis AFB στην έρημα Νεβάδα, παρατηρούσε, ανέλυε και αφομοίωνε τις σχετικές ενεργειακές καταστάσεις του αεροσκάφους του όπως και των αντίπαλων αεροσκαφών κατά τη διάρκεια εναέριων συμπλοκών. Επίσης, σημείωνε ότι, όταν βρίσκεται σε πλεονεκτική θέση, η ενέργεια του αεροσκάφους του είναι μεγαλύτερη από την ενέργεια του αντίπαλου αεροσκάφους, όπως επίσης ότι χάνει το πλεονέκτημα όταν επιτρέπει την ενέργεια του αεροσκάφους του να φθίνει γρηγορότερα σε σχέση με αυτήν του εχθρικού αεροσκάφους.”

“Γνώριζε ότι, επιστρέφοντας από σταθεροποιημένες συνθήκες πτήσης και κάτω από δοσμένη ισχύ, το αεροπλάνο θα μπορούσε είτε να μειώσει ταχύτητα, είτε να χάσει ύψος, είτε και τα δύο μαζί. Το αποτέλεσμα αυτό θα σήμαινε ότι χάνει ενέργεια (η έλξη υπερβαίνει τη διαθέσιμη από τη μηχανή ώθηση). Σύμφωνα με αυτές τις παρατηρήσεις, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το να κάνεις ελιγμούς για την κατάλληλη θέση αποτελεί βασικά ενεργειακό πρόβλημα. Η νίκη προϋποθέτει κατάλληλη διαχείριση της διαθέσιμης ενέργειας στις υπάρχουσες συνθήκες σε οποιοδήποτε σημείο κατά τη διάρκεια μαχητικής συμπλοκής.” [Hillaker (1997)]

Στα μέσα της δεκαετίας του '60, ο Boyd είχε συγκεντρώσει στοιχεία σχετικά με την ενέργεια και την ευχέρεια χειρισμών από τον κατάλογο των καταγεγραμμένων πολεμικών αεροσκαφών της Πολεμικής Αεροπορίας των ΗΠΑ καθώς και των αντιπάλων της. Επιδίωξε να κατανοήσει τις ιδιαιτερότητες μιας πτήσης με ελιγμούς. Τί θα υπήρχε όσο αφορά το αεροπλάνο που να μπορούσε να τον περιορίσει ή να τον εμποδίσει από το να κάνει αυτό που ήθελε να κάνει;

1.1.3. Ο Boyd γνωρίζει το Harry Hillaker

Η σχέση μεταξύ του John R. Boyd και του Harry Hillaker “χρονολογείται ένα βράδυ στα μέσα της δεκαετίας του '60, όταν ένας μηχανικός της General Dynamics ονόματι Harry Hillaker καθόταν στη Λέσχη Αξιωματικών στο Eglin AFB, της Florida και έπινε ένα ποτό μετά το γεύμα του. Ο οικοδεσπότης του Hillaker τον σύστησε σε έναν ψηλό, εξωστρεφή πιλότο που λεγόταν John R. Boyd, ο οποίος κατευθείαν εκτόξευσε μια μετωπική επίθεση σχετικά με ένα GD F-111 πολεμικό. Ο Hillaker ενοχλήθηκε, αλλά έφυγε αστειευόμενος. [Grier (2004)] Ο Hillaker αντέκρουσε ότι το F-111 ήταν προορισμένο για βομβαρδιστικό μαχητικό.

“Λίγες μέρες αργότερα, (o Hillaker) έλαβε μια κλήση – ο Boyd είχε εντυπωσιαστεί από την αρχική σύλληψη του προκαταρκτικού σχεδίου του αεροσκάφους τον Hillaker και ήθελε να γνωρίζει αν ο Hillaker ενδιαφερόταν για περισσότερο οργανωμένες συναντήσεις.”

“Έτσι δημιουργήθηκε μια ομάδα, την οποία ονομάτισαν οι άλλοι στην Πολεμική Αεροπορία 'η μαφία των μαχητών'.” Η βασική τους πεποίθηση ήταν ότι οι μαχητές δεν

12

χρειαζόταν να συντρίψουν τους αντιπάλους τους χρησιμοποιώντας την ταχύτητα και το μέγεθος.

Η εμπειρία στο Βιετνάμ ενάντια στα ευκίνητα σοβιετικά αεροσκάφη MiG τους είχε πείσει ότι η τεχνολογία δεν έχει ακόμα μετατρέψει τις αερομαχίες σε μεγάλης εμβέλειας μάχες με πυροβόλα.”[Grier (2004)]

Η μαφία των μαχητών γνώριζε ότι ένα μικρό αεροσκάφος θα μπορούσε να παραλάβει μεγαλύτερη ώθηση ως προς την αναλογία βάρους του. Τα μικρά σε μέγεθος αεροσκάφη έχουν μικρότερη έλξη. ”Το αρχικό σχέδιο του αεροσκάφους F-16 ήταν να ασκείται περίπου το ένα τρίτο της έλξης συγκριτικά με το αεροσκάφος F-4 σε οριζοντιωμένη πτήση, και αντίστοιχα το ένα δέκατο πέμπτο της έλξης του αεροσκάφους F-4, ενώ βρίσκεται σε μεγάλη γωνία προσβολής.”

1.2 Λύνοντας ως προς τις αεροθερμοδυναμικές παραμέτρους

Ένα θεμελιώδες πρόβλημα που έχει να αντιμετωπίσει ο επιστήμονας που ασχολείται με την αεροδυναμική είναι η πρόβλεψη των δυνάμεων και των ροπών της αεροδυναμικής καθώς και του ρυθμού μεταφοράς θερμότητας που ασκείται σε όχημα κατά την πτήση. Προκειμένου να υπολογιστούν οι αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές με την κατάλληλη ακρίβεια, είναι απαραίτητο να υπάρχει δυνατότητα περιγραφής του σχεδίου ροής γύρω από το όχημα. Το επακόλουθο σχέδιο ροής εξαρτάται από τη γεωμετρία του οχήματος, τον προσανατολισμό του ως προς την αδιατάρακτη ελεύθερη ροή όπως επίσης και από το υψόμετρο και την ταχύτητα με την οποία ταξιδεύει το όχημα. Αναλύοντας τα διάφορα είδη ροών τα οποία ένας ειδικός στην αεροδυναμική μπορεί να αντιμετωπίσει ως περιπτώσεις, μπορούν να προκύψουν διάφορες παραδοχές σχετικά με τις ιδιότητες των ρευστών. Σε μερικές εφαρμογές, οι μεταβολές της θερμοκρασίας είναι τόσο μικρές που δεν έχουν επιπτώσεις στην ταχύτητα. Επιπλέον για εκείνες τις εφαρμογές όπου οι μεταβολές της θερμοκρασίας έχουν αμελητέα επιρροή στον τομέα της ροής, συχνά θεωρείται ότι η πυκνότητα παραμένει ουσιαστικά σταθερή. Εντούτοις, αναλύοντας τις μεγάλης ταχύτητας ροές, οι μεταβολές της πυκνότητας δεν μπορούν να αγνοηθούν.

Δεδομένου ότι η πυκνότητα αποτελεί συνάρτηση της πίεσης και της θερμοκρασίας, μπορεί να εκφραστεί με όρους αυτών των δύο παραμέτρων. Για την ακρίβεια, για ένα αέριο που βρίσκεται σε θερμοδυναμική ισορροπία, οποιαδήποτε θερμοδυναμική ιδιότητα μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση δύο άλλων ανεξάρτητων θερμοδυναμικών ιδιοτήτων. Άρα, είναι δυνατό να διατυπωθούν οι κατευθυντήριες εξισώσεις που χρησιμοποιούν την ενθαλπία και την εντροπία ως ιδιότητες της ροής αντί της πίεσης και της θερμοκρασίας.

13 1.2.1 Η έννοια του ρευστού

Από την πλευρά της μηχανικής των ρευστών, η ύλη μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις δύο καταστάσεις της, είτε σε στερεή είτε σε ρευστή κατάσταση. Η τεχνική διάκριση μεταξύ των δύο αυτών καταστάσεων γίνεται αντιληπτή κατά την αντίδρασή τους στην εφαρμοσμένη ή εφαπτόμενη, τάση διάτμησης. Το στερεό μπορεί να προβάλλει αντίσταση στην τάση διάτμησης μέσω της στατικής παραμόρφωσης· ένα ρευστό δεν έχει αυτήν την ικανότητα. Το ρευστό είναι η ουσία, η οποία παραμορφώνεται συνεχώς στο πλαίσιο της δράσης των δυνάμεων διάτμησης.

Μια σημαντική φυσική συνέπεια αυτού του ορισμού είναι ότι δεν μπορεί να υπάρξει καμία διατμητική τάση που να ασκείται σε μόρια ρευστού, εάν δεν υπάρχει καμία σχετική κίνηση μέσα σε αυτό, τέτοια που τα σωματίδιά του να μην παραμορφώνονται. Συνεπώς, αν τα σωματίδια στο ρευστό βρίσκονται σε ηρεμία ή αν κινούνται όλα με την ίδια ταχύτητα, δεν υπάρχουν διατμητικές τάσεις μέσα σε αυτό. Αυτή η κατάσταση μηδενικής άσκησης διατμητικών τάσεων είναι γνωστή ως κατάσταση υδροστατικής τάσης.

Ένα ρευστό μπορεί να είναι είτε υγρό, είτε αέριο. Ένα υγρό αποτελείται από μόρια που είναι τοποθετημένα ιδιαίτερα κοντά με ισχυρές δυνάμεις συνοχής. Κατά συνέπεια, μια δεδομένη μάζα υγρού θα καταλάβει καθορισμένο όγκο στο χώρο. Εάν ένα υγρό χύνεται σε ένα εμπορευματοκιβώτιο, παίρνει τη μορφή του εμπορευματοκιβωτίου μέχρι τον όγκο που καταλαμβάνει και θα διαμορφώσει μια ελεύθερη επιφάνεια στο βαρυτικό πεδίο εάν δεν είναι περιορισμένο από επάνω. Η ανώτερη (ελεύθερη) επιφάνεια είναι επίπεδη και κάθετη στη διεύθυνση της βαρύτητας. Τα αέρια σωματίδια είναι λιγότερο πυκνά χωροθετημένα και συνδέονται με σχετικά μικρές συνεκτικές δυνάμεις. Επομένως, εάν ένα αέριο τοποθετηθεί σε ένα κλειστό εμπορευματοκιβώτιο, θα επεκταθεί (διασταλεί) έως ότου γεμίσει ολόκληρο τον όγκο του εμπορευματοκιβωτίου. Ένα αέριο δεν έχει καθορισμένο όγκο. Κατά συνέπεια, εάν δεν υπάρχει περιορισμός, διαμορφώνει μια ατμόσφαιρα που είναι ουσιαστικά υδροστατική.

1.2.2 Το ρευστό ως συνεχές μέσο

Κατά την ανάπτυξη των εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση ενός συστήματος ρευστών μορίων, κάποιο μπορεί είτε να καθορίσει την κίνηση κάθε μορίου ή κάποιο να καθορίσει τη μέση συμπεριφορά των μορίων μέσα σε ένα δεδομένο στοιχειώδη όγκο. Το μέγεθος του στοιχειώδη όγκου είναι σημαντικό, αλλά μόνο σε σχέση με τον αριθμό μορίων του ρευστού, που περιλαμβάνονται στον όγκο και στις φυσικές διαστάσεις του πεδίου ροής. Άρα, ο στοιχειώδης όγκος πρέπει να είναι μεγάλος έναντι του όγκου που καταλαμβάνεται από ένα μόνο μόριο, έτσι ώστε να περιλαμβάνει μεγάλο αριθμό μορίων οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

Επιπλέον, ο αριθμός των μορίων μέσα στον όγκο θα παραμείνει ουσιαστικά σταθερός ακόμα κι αν υπάρχει συνεχής ροή σωματιδίων. Εάν ο στοιχειώδης όγκος είναι πάρα πολύ μεγάλος, θα

14

μπορούσε να υπάρξει μια αξιοσημείωτη μεταβολή στις ιδιότητες του ρευστού οι οποίες καθορίστηκαν στατιστικά σε διάφορα σημεία μέσα στον όγκο.

Σχετικά με τα θέματα που προσέλκυσαν το ενδιαφέρον μέσα από το κείμενο, η αρχική ανησυχία μας δεν είναι πάνω στην κίνηση μεμονωμένων μορίων, αλλά στη γενική συμπεριφορά του ρευστού. Κατά συνέπεια, ενδιαφερόμαστε για την περιγραφή της κίνησης του ρευστού σε χώρους που είναι πολύ μεγαλύτεροι συγκριτικά με τις διαστάσεις του μορίου και επομένως περιέχουν μεγάλο αριθμό μορίων. Το ρευστό, λόγω των παραπάνω προβλημάτων μπορεί να θεωρείται συνεχές μέσο, του οποίου οι ιδιότητες μπορούν να καθοριστούν από τον στατιστικό μέσο όρο των συμπεριφορών και συνεπώς των ιδιοτήτων των μορίων στον όγκο αυτό, κάτι το οποίο αποτελεί μακροσκοπική αντιμετώπιση. Η παραδοχή της συνέχειας του ρευστού ισχύει όταν οι μέσοι όροι έχουν νόημα ακόμα και στον μικρότερο όγκο ρευστού, που περιέχει τόσα πολλά μόρια.

Ο αριθμός των μορίων σε ένα τετραγωνικό μέτρο αέρα, σε θερμοκρασία δωματίου και με ατμοσφαιρική πίεση στο επίπεδο της θάλασσας είναι περίπου 2,5 x 10²⁵. Άρα υπάρχουν 2,5 x 10²⁵μόρια σε ένα κύβο με πλευρά 0.01 χιλιοστών (mm). Η μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων στο επίπεδο της θάλασσας είναι 6,6 x 10^-8 μέτρα (m). Υπάρχουν επαρκή μόρια στο συγκεκριμένο όγκο ρευστού έτσι ώστε να θεωρηθεί συνεχές και οι ιδιότητες του ρευστού μπορούν να καθοριστούν από τους στατιστικούς μέσους. Ωστόσο, σε υψόμετρο 130 χιλιομέτρων (km), υπάρχουν μόνο 1,6 x10¹⁷ μόρια σε κύβο πλευράς ενός μέτρου. Η μέση ελεύθερη διαδρομή σε αυτό το υψόμετρο είναι 10,2 μέτρα (m). Κατά συνέπεια, σε αυτό το υψόμετρο, το ρευστό δεν μπορεί να θεωρηθεί συνεχές.

Μια παράμετρος που χρησιμοποιείται συνήθως για να προσδιορίσει την αρχή των αποτελεσμάτων για χαμηλής πυκνότητας ρευστά, είναι ο αριθμός Knudsen², ο οποίος εκφράζεται ως ο λόγος της μέσης ελεύθερης διαδρομής προς μια χαρακτηριστική διάσταση του σώματος. Αν και δεν υπάρχει κανένα συγκεκριμένο κριτήριο, το μοντέλο του συνεχούς μέσου αρχίζει να καταρρέει όταν ο αριθμός Knudsen είναι κατά προσέγγιση ίσος με 0,1.

2 Ο αριθμός Knudsen (Kn) παριστάνει την αναλογία της ελεύθερης διαδρομής προς την φυσική κλίμακα μήκους. Η

μαθηματική έκφραση του αριθμού Knudsen είναι η εξής: Kn=(λ/L)·β και για ιδανικά αέρια Kn=Kβ·T/√2·π·σ²·ρL, όπου Τ: η θερμοδυναμική θερμοκρασία για ιδανικά αέρια Κβ: σταθερά του Boltzmann σ: το σωματίδιο με σκληρή διάμετρος περιβλήματος p: η συνολική πίεση

Επιπλέον ο μαθηματικός τύπος του αριθμού Knudsen μπορεί να εκφραστεί και πιο απλοποιημένα ως εξής Κn=1/L, όπου το 1 εκφράζει την ελεύθερη διαδρομή και το L οποιαδήποτε μακροσκοπική διάσταση μας ενδιαφέρει.

(http://www.thermopedia.com/content/908/)

15 1.2.3 Οι ιδιότητες των ρευστών

Με την υιοθέτηση της έννοιας της συνέχειας, είμαστε σε θέση να περιγράψουμε τη τυχαία συμπεριφορά της κίνησης του ρευστού χρησιμοποιώντας διάφορες αισθητές, μακροσκοπικές ιδιότητες. Οι ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τη γενική κίνηση του ρευστού περιλαμβάνουν τη θερμοκρασία, την πίεση, την πυκνότητα, το ιξώδες και την ταχύτητα μετάδοσης του ήχου.

Θερμοκρασία. Εξοικειωνόμαστε όλοι με τη θερμοκρασία ως ποιοτικό όρο· δηλαδή αντιλαμβανόμαστε αν ένα αντικείμενο είναι καυτό (ή παγωμένο) με την αφή. Εντούτοις, λόγω της δυσκολίας στην ποσοτικοποίηση όσον αφορά τη θερμοκρασία, καθορίζουμε την ισότητα της θερμοκρασίας. Δύο σώματα έχουν ίση θερμοκρασία όταν δεν εμφανίζεται καμία αλλαγή σε οποιαδήποτε παρατηρούμενη ιδιότητα ενώ βρίσκονται σε θερμική επαφή. Περαιτέρω, δύο σώματα έχουν ίση θερμοκρασία σε σχέση με ένα τρίτο σώμα, τότε αντίστοιχα πρέπει να έχουν την ίδια θερμοκρασία όλα τα σώματα μεταξύ τους. Επίσης, μπορεί να δημιουργηθεί αυθαίρετη κλίμακα μέτρησης θερμοκρασίας σύμφωνα με την κατάλληλη ιδιότητα του συγκεκριμένου σώματος.

Πίεση. Τα μεμονωμένα μόρια σε ένα ρευστό, λόγω της τυχαίας κίνησής τους, που οφείλεται στη θερμική ενέργεια, θα μπορούσαν να προσκρούουν συνεχώς σε μια επιφάνεια που τοποθετείται μέσα στο ρευστό. Αυτές οι προσκρούσεις εμφανίζονται ακόμα και όταν η επιφάνεια βρίσκεται σε ηρεμία σε σχέση με την κίνηση του ρευστού. Σύμφωνα με το 2ο Νόμο του Νεύτωνα, μια δύναμη που ασκείται σε μια επιφάνεια ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ορμής (της ταχύτητας) των μορίων που κινούνται ως προς το χρόνο. Η πίεση είναι το μέγεθος αυτής της δύναμης ανά μονάδα εμβαδού επιφάνειας. Αφού το ρευστό που βρίσκεται σε ηρεμία δεν μπορεί να διατηρήσει τις εφαπτομενικές δυνάμεις, η δύναμη στην επιφάνεια πρέπει να δρα με διεύθυνση κατακόρυφη ως προς εκείνη την επιφάνεια.

16

Επιπλέον, η πίεση που ασκείται σε ένα σημείο του ρευστού ενώ βρίσκεται σε ηρεμία, είναι η ίδια ως προς όλες τις κατευθύνσεις.

Η ατμοσφαιρική πίεση στο επίπεδο της θάλασσας ορίζεται ως η πίεση που μπορεί να υποστηρίξει μια στήλη υδραργύρου μήκους 760 χιλιοστά (mm) όταν η πυκνότητα του υδραργύρου είναι 13,5951 g/cm³ και η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει σταθερή τιμή. Η ατμοσφαιρική πίεση στο επίπεδο της θάλασσας ισούται με 1,01325 x10⁵ Ν/m². Με το αγγλοσαξονικό σύστημα μονάδων, η ατμοσφαιρική πίεση στο επίπεδο της θάλασσας ισούται με 14.696 lbf/in² ή 2116.22 lb/ft².

Σε πολλές εφαρμογές της αεροδυναμικής, ενδιαφερόμαστε για τη διαφορά μεταξύ της απόλυτης τιμής της τοπικής πίεσης και της ατμοσφαιρικής πίεσης. Πολλοί μετρητές πίεσης δείχνουν τη διαφορά μεταξύ της απόλυτης πίεσης και της ατμοσφαιρικής πίεσης που υπάρχει στην ένδειξη ενός μετρητή. Αυτή η διαφορά, η οποία αναφέρεται και ως σχετική πίεση φαίνεται σχηματικά στην Σχήμα 1.1.

Πυκνότητα. Η πυκνότητα του ρευστού σε ένα σημείο στο χώρο, είναι η μάζα του ρευστού ανά μονάδα όγκου που περιβάλλει το σημείο αυτό. Όπως συμβαίνει κατά την αξιολόγηση άλλων ιδιοτήτων των ρευστών, ο αυξητικός όγκος πρέπει να συγκριθεί σύμφωνα με τις μοριακές διαστάσεις, οι οποίες είναι ακόμα πολύ μικρές συγκριτικά με τις διαστάσεις ενός οχήματος, το πεδίο ροής του οποίου επιδιώκουμε να αναλύσουμε. Άρα, δεδομένου ότι το ρευστό μπορεί να θεωρείται συνεχές μέσο, η πυκνότητα σε ένα σημείο ορίζεται ως εξής,

𝜌 = lim

𝛿(𝑣𝑜𝑙)

(1.8)

Σχήμα 1.1.: Όροι που χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς της πίεσης

17 Το μέγεθος της πυκνότητας είναι (μάζα)/(μήκος)³.

Γενικά, η πυκνότητα ενός αερίου αποτελεί συνάρτηση της σύστασης του αερίου, της θερμοκρασίας του και της πίεσης του δηλαδή. Η σχέση

ρ (σύσταση, Τ, p) (1.9)

είναι γνωστή ως καταστατική εξίσωση. Για ένα ιδανικό θερμικά αέριο, η καταστατική εξίσωση είναι

𝜌 =

(1.10)

Η σταθερά του αερίου R έχει συγκεκριμένη τιμή για κάθε συνιστώσα. Η σταθερά του αερίου για τον αέρα έχει τιμή 287,05 Ν · m/kg · Κ στο σύστημα μονάδων SI και 53,34 ft · lbf/lbm · °R ή 1716,16 ft²/s^R·°R στο αγγλοσαξονικό σύστημα μονάδων. Η εξίσωση της θερμοκρασίας (1.10) πρέπει να είναι σε απόλυτες μονάδες. Κατά συνέπεια, η θερμοκρασία είναι είτε σε K ή σε °R, αλλά ποτέ σε °C ή σε °F.

Παράδειγμα 1.4: Η πυκνότητα σε μονάδες στο SI

Υπολογίστε την πυκνότητα του αέρα όταν η πίεση είναι 1,01325 X 10⁵N/m² και η θερμοκρασία είναι 288,15 K. Δεδομένου ότι ο αέρας σε αυτή την πίεση και τη θερμοκρασία συμπεριφέρεται ως ιδανικό αέριο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση (1.10).

Λύση:

𝜌 = 1,01325 × 10

𝛮/𝑚²

(287,05 𝑁 ∙ 𝑚/𝑘𝑔 ∙ 𝐾)(288,15 𝐾) = 1,2250 𝑘𝑔/𝑚

Παράδειγμα 1.5: Η πυκνότητα σε μονάδες του αγγλοσαξονικού συστήματος

Υπολογίστε την πυκνότητα του αέρα όταν η πίεση είναι 2116,22 lbf/ft² και η θερμοκρασία είναι 518,67 °R. Δεδομένου ότι ο αέρας σε αυτή την πίεση και τη θερμοκρασία συμπεριφέρεται ως ιδανικό αέριο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση (1.10). Σημειώστε ότι καθ' όλη την έκταση του υπόλοιπου βιβλίου, ο αέρας θα υποτίθεται ότι συμπεριφέρεται ως ιδανικό αέριο, εκτός αν κάπου συγκεκριμένα είναι δηλωμένο ειδάλλως.

18 Λύση:

𝜌 =

2116,22 𝑙𝑏𝑓 𝑓𝑡² (53,34 𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏𝑓

𝑙𝑏𝑚 ∙ °𝑅 )(518,67°𝑅)

= 0,07649 𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡³ Εναλλακτικά,

𝜌 =

2116,22 𝑙𝑏𝑓 𝑓𝑡² (1716,16 𝑓𝑡²

𝑠² ∙ °𝑅 )(518,67°𝑅)

= 0,002377 𝑙𝑏𝑓 ∙ 𝑠² 𝑓𝑡⁴

Η μονάδα lbf·s²/ft⁴ συχνά γράφεται και ως lbf·s²/ft⁴ , όπου τα τεμάχια (slugs) αποτελούν εναλλακτικές μονάδες μέτρησης της μάζας στο αγγλοσαξονικό σύστημα. Ένα τεμάχιο ισοδυναμεί με 32,174 lbm.

Εξετάζοντας τα οχήματα που ταξιδεύουν περίπου με 100m/s (330ft/s), ή λιγότερο, η πυκνότητα του αέρα γύρω από το αεροσκάφος θεωρείται σταθερή κατά την εύρεση λύσης σχετικά με το πεδίο ροής. Μια αυστηρή εφαρμογή της εξίσωσης (1.10) θα απαιτούσε την πίεση και τη θερμοκρασία να παρέμειναν σταθερές (ή να άλλαζαν αναλογικά) με σκοπό η πυκνότητα να παραμείνει σταθερή σε όλη την έκταση του πεδίου ροής. Γνωρίζουμε ότι η πίεση γύρω από το αεροσκάφος δεν είναι σταθερή, μιας και οι αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές για τις οποίες ενδιαφερόμαστε αποτελούν το αποτέλεσμα των μεταβολών της πίεσης που συνδέονται με το σχέδιο ροής. Εντούτοις, η υπόθεση της σταθερής πυκνότητας για ταχύτητες κάτω από 100m/s αποτελεί έγκυρη προσέγγιση επειδή οι αλλαγές πίεσης που εμφανίζονται από το ένα σημείο στο άλλο μέσα στο πεδίο ροής είναι μικρές σχετικά με ην απόλυτη τιμή της πίεσης.

Ιξώδες. Σε όλα τα ρευστά, η διατμητική παραμόρφωση συνοδεύεται από τη διατμητική τάση. Τα ρευστά που αναφέρονται σε αυτό το κείμενο, είναι νευτώνειας φύσης· δηλαδή η διατμητική τάση είναι ανάλογη ως προς το ρυθμό διατμητικής παραμόρφωσης. Η σταθερά της αναλογικότητας καλείται συντελεστής ιξώδους, μ. Κατά συνέπεια,

διατμητική τάση = μ X εγκάρσια συνιστώσα της ταχύτητας

(1.11)

Υπάρχουν πολλά προβλήματα που προκαλούν το ενδιαφέρον μας, όπου τα αποτελέσματα του ιξώδους μπορούν τα παραλειφθούν. Σε τέτοια προβλήματα, το μέγεθος του συντελεστή του ιξώδους στο ρευστό και των κλίσεων της ταχύτητας στο πεδίο ροής είναι τέτοιο που το προϊόν τους είναι αμελητέο συγκριτικά με την αδράνεια των μορίων του ρευστού και με τις δυνάμεις πίεσης που ασκούνται πάνω τους. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον όρο ατριβής ή μη-συνεκτική ροή σε αυτές τις περιπτώσεις για να δώσουμε έμφαση στο γεγονός ότι είναι ο χαρακτήρας και του πεδίου ροής και του ρευστού πράγμα που μας επιτρέπει να παραλείψουμε τα αποτελέσματα του ιξώδους. Κανένα ρευστό στη φύση δεν έχει μηδενικό συντελεστή ιξώδους.

19

Το ιξώδες ενός ρευστού σχετίζεται με τη μεταφορά ορμής στην κατεύθυνση της κλίσης της ταχύτητας (αλλά υπό την έννοια του αντιθέτου). Επομένως, το ιξώδες αποτελεί ιδιότητα (χαρακτηριστικό) που εμφανίζεται κατά την μεταφορά. Γενικά, ο συντελεστής του ιξώδους αποτελεί συνάρτηση της σύστασης του αερίου, της θερμοκρασίας του και της πίεσής του. Για θερμοκρασίες κάτω των 3000Κ, το ιξώδες του αέρα είναι ανεξάρτητο της πίεσης. Σε αυτή τη διακύμανση της θερμοκρασίας, μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση του Sutherland για να υπολογίσουμε τον συντελεστή ιξώδους:

𝜇 = 1,458 × 10

(1.12a)

Όπου Τ είναι η θερμοκρασία σε Κ (Κέλβιν) και οι μονάδες του μ είναι kg/s · m.

Παράδειγμα 1.6: Το ιξώδες σε μονάδες στο SI

Υπολογίστε το ιξώδες του αέρα όταν η θερμοκρασία είναι 288.15 K.

Λύση:

𝜇 = 1,458 × 10

(288,15)

288,15 + 110,4

= 1,7894 × 10

𝑘𝑔/𝑠 ∙ 𝑚

Για θερμοκρασίες κάτω των 5400°R, το ιξώδες του αέρα είναι ανεξάρτητο της πίεσης. Σε αυτή τη διακύμανση της θερμοκρασίας, η εξίσωση του Sutherland για το ιξώδες του αέρα σύμφωνα με το αγγλοσαξονικό σύστημα γίνεται ως εξής,

𝜇 = 2,27 × 10

(1.12b)

όπου Τ είναι η θερμοκρασία σε °R και οι μονάδες μέτρησης του μ είναι lbf · s/ft².

Παράδειγμα 1.7: Το ιξώδες σε μονάδες του αγγλοσαξονικού συστήματος Υπολογίστε το ιξώδες του αέρα όταν η θερμοκρασία είναι 59,0°F.

Λύση: Αρχικά, μετατρέπουμε τη θερμοκρασία σε απόλυτη κλίμακα για τις αγγλοσαξονικές μονάδες μέτρησης °R, 59,0°F + 459,67 = 518,67°R.

𝜇 = 2,27 × 10

(518,67)

518,67 + 198,6

= 3,7383 × 10

20

Οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό του συντελεστή ιξώδους εξαρτώνται από το μοντέλο που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των ενδομοριακών δυνάμεων μεταξύ των μορίων αέρα, έτσι ώστε να είναι απαραίτητο να καθοριστεί η δυναμική ενέργεια της αλληλεπίδρασης των συγκρουόμενων μορίων. O Svehla (1962) σημείωσε ότι η δυναμική ενέργεια του μοντέλου Sutherland περιγράφεται φυσικά ως μία άκαμπτη, αδιαπέραστη σφαίρα η οποία περιβάλλεται από μία ελκτική δύναμη αντίστροφης ισχύς. Το μοντέλο αυτό είναι ποιοτικά σωστό, δεδομένου ότι τα μόρια προσελκύουν το ένα το άλλο όταν είναι μακριά και ασκούν ισχυρές απωθητικές δυνάμεις όταν βρίσκονται κοντά το ένα με το άλλο.

Οι Chapman και Cowling (1960) παρατήρησαν ότι οι εξισώσεις (1.12a) και (1.12b) αντικατοπτρίζουν τη διακύμανση του μ σε σχέση με τη θερμοκρασία μέσα από ένα “αρκετά”

ευρύ φάσμα θερμοκρασιών. Προειδοποιούν, εντούτοις ότι η επιτυχία της εξίσωσης Sutherland στο να παρουσιάζει τη διακύμανση του μ με τη θερμοκρασία για διάφορα αέρια δεν καθορίζει την εγκυρότητα του μοριακού μοντέλου-προτύπου του Sutherland για αυτά τα αέρια. ”Γενικά δεν επαρκεί να θεωρήσεις τον πυρήνα ενός μορίου σαν μία άκαμπτη σφαίρα, ή να ληφθεί υπόψη η μοριακή έλξη μόνο σε πρώτο στάδιο. Η μεγάλη ταχύτητα αύξησης του μ καθώς μεγαλώνει η θερμοκρασία Τ, όπως συγκρίνεται με αυτό για πυρήνες σαν άκαμπτες χωρίς ελκτικές δυνάμεις σφαίρες, εξηγείται εν μέρει λόγω της “απαλότητας” του πεδίου των απωθητικών δυνάμεων στις κοντινές αποστάσεις, και εν μέρει λόγω των ελκτικών δυνάμεων οι οποίες έχουν συνέπειες και σε δεύτερο στάδιο. Η κύρια αξία της εξίσωσης Sutherland φαίνεται να είναι ο απλός τύπος παρεμβολής μέσα σε περιορισμένο φάσμα θερμοκρασιών.”

Το μοντέλο των Lennard-Jones για τη δυναμική ενέργεια μιας αλληλεπίδρασης, η οποία υπολογίζει και την απαλότητα των μορίων και την μεταξύ τους έλξη σε μακρινές αποστάσεις, χρησιμοποιήθηκε από τον Svehla (1962) για να υπολογίσει το ιξώδες καθώς και τη θερμική αγωγιμότητα των αερίων σε υψηλές θερμοκρασίες. Οι συντελεστές του ιξώδους για τον αέρα όπως συνοψίζονται και παρουσιάζονται σε πίνακα από το Svehla συγκρίνονται με τις τιμές που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1.12a) στον Πίνακα 1.1. Αυτά τα σχόλια γίνονται για να υπογραμμίσουν το γεγονός ότι ακόμη και οι βασικές ιδιότητες των ρευστών μπορούν να περιλάβουν κατά προσέγγιση πρότυπα, των οποίων οι δυνατότητες εφαρμογής μπορεί να είναι περιορισμένες.

21

Πίνακας 1.1. Σύγκριση των Συντελεστών του Ιξώδους για τον Αέρα καθώς συγκεντρώνονται από τον Svehla (1962) και καθώς Υπολογίζονται σύμφωνα με την εξίσωση Sutherland [Εξίσωση (1.12)]

Κινηματικό ιξώδες. Ο επιστήμονας που ασχολείται με την αεροδυναμική μπορεί να αντιμετωπίσει πολλές εφαρμογές όπου ο λόγος μ/ρ έχει αντικατασταθεί από μία μόνο παράμετρο. Επειδή ο λόγος αυτός εμφανίζεται συχνά, έχει δοθεί ένα ειδικό όνομα, το κινηματικό ιξώδες. Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για να εκφράσει το κινηματικό ιξώδες είναι το ν: