ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ:
«ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
«ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ»
ΝΙΚΟΛΑΟΣ Γ. ΠΑΠΑΓΓΕΛΗΣ
Α΄ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΚΑΡΑΧΑΛΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Β΄ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΣΙΤΣΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2021
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Στην εργασία αυτή, αρχικά, ορίζονται και μελετώνται θεμελιώδεις έννοιες της κλασσι- κής μηχανικής με βάση τον φορμαλισμό των Hamilton και Lagrange.
Διατυπώνονται η αρχή της ελάχιστης δράσης και οι εξισώσεις Euler-Lagrange και περιγράφεται η σύνδεσή τους με τις σύγχρονες θεωρίες της μη-γραμμικής δυναμικής μέσω της έννοιας της ροής και των θεωρημάτων Liouville και Poincar´e.
Δίνεται έμφαση στην χρήση των δυνατοτήτων που παρέχει το επιστημονικό λογισμικό, όχι μόνο στο επίπεδο συμβολικών και αριθμητικών υπολογισμών για την μελέτη συγκε- κριμένων παραδειγμάτων, αλλά και στις δυνατότητες που παρέχει για την διδακτική του αντικειμένου.
Μελετώνται, ως παραδείγματα, το απλό εκκρεμές, το πρόβλημα των δύο σωμάτων και το δυναμικό Henon Helion.
Τέλος στο παράρτημα γίνεται αναφορά στις βασικές έννοιες του διανυσματικού λογι- σμού και των διανυσματικών συναρτήσεων.
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ
Με την παράδοση της εργασίας αυτής ολοκληρώνεται ένα όμορφο ταξίδι γνώσης στα ανώτερα Μαθηματικά.
Ευχαριστώ θερμά τους καθηγητές των θεματικών ενοτήτων μου κ. Μιχάλη Ανούση, κ. Ιωάννη Στρατή, κ. Νικόλαο Καραχάλιο και κ. Χρήστο Νικολόπουλο. Ιδιαίτερες ευχα- ριστίες εκφράζω στον κ. Νικόλαο Καραχάλιο, που ήταν ο καθοδηγητής μου στην διπλω- ματική αυτή εργασία μου. Ευχαριστώ θερμά, επίσης και τον συνεπιβλέποντα κ. Νικόλαο Τσίτσα.
Ευχαριστώ τη διοίκηση και το προσωπικό του Ε.Α.Π. για την άψογη διοικητική υπο- στήριξη.
Ευχαριστώ τους συναδέλφους μου, συνοδοιπόρους στο ταδίδι αυτό, Παντελή Δέτσιο, Μάνο Δημητρακάκο και Στράτο Κονδύλη, για την συνεργασία τους και τη φιλία τους.
Ευχαριστώ τη σύζυγό μου Πόπη και τη κόρη μου Αναστασία που με ανέχτηκαν και με στήριξαν και στα χρόνια των σπουδών μου.
Τέλος ευχαριστώ τους γιους μου Γιώργο και Μάριο, με τους οποίους έτυχε να σπου- δάζουμε την ίδια χρονική περίοδο, για την επιστημονική υποστήριξη που μου παρείχαν στα θέματα πληροφορικής και προγραμματισμού.
I ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 11
1 Λογισμός των μεταβολών 13
1.1 Μεταβολικά προβλήματα . . . 13
1.2 Συναρτησοειδή . . . 13
1.3 Ακρότατα συναρτησοειδούς . . . 19
1.3.1 Το απλούστατο πρόβλημα . . . 19
1.3.2 Γενικεύσεις . . . 26
2 Οι εξισώσεις Euler-Lagrange και Hamilton 33 2.1 Γενικευμένες συντεταγμένες . . . 33
2.2 Η αρχή τουHamilton . . . 36
2.3 Παραγωγή των εξισώσεων τουLagrange . . . 37
2.3.1 Παραδείγματα . . . 39
2.4 Η Ενσωματωμένη Ενέργεια . . . 42
2.5 Η γενικευμένη ορμή . . . 42
2.6 Οι γενικευμένες δυνάμεις . . . 43
2.7 Οι εξισώσειςHamilton . . . 43
2.7.1 Παραδείγματα . . . 44
3 Το θεώρημα του Liouville Η έννοια της ροής 47 3.1 Τα διανυσματικά πεδία και οι γραμμές ροής . . . 47
3.1.1 Παραδείγματα . . . 48
3.2 Ροές διανυσματικών πεδίων . . . 58
3.3 Στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου . . . 60
3.3.1 Παραδείγματα . . . 60
3.3.2 Παραδείγματα . . . 64
3.4 Ο τελεστής της απόκλισης . . . 68
3.4.1 Παραδείγματα . . . 68
3.5 Μεταβολή των όγκων κατά τη ροή . . . 69
3.6 Η φυσική ερμηνεία της απόκλισης . . . 72
3.7 Το θεώρημα του Liouville. . . 73
3.8 Η ρευστότητα του χώρου φάσεων . . . 75
3.9 Το θεώρημαGibbs - Liouville . . . 76
II ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 77
4 Δυναμικά συστήματα 79
4.1 Ιστορική τεκμηρίωση - Βασικές έννοιες . . . 79
4.1.1 Η Παρατήρηση του Edward N. Lorenz . . . 80
4.1.2 Ο ορισμός του Δυναμικού Συστήματος . . . 81
4.1.3 Χώρος Φάσεων (Phase-Space) . . . 82
4.1.4 Σημεία Ισορροπίας (Fixed Points) . . . 83
4.1.5 Ελκυστές (Attractors) . . . 83
4.1.6 ΑπεικονίσειςPoincar´e (Poincar´e Maps) . . . 84
4.2 Γραμμικά συστήματα . . . 85
4.2.1 Παραδείγματα . . . 87
4.3 Μη γραμμικά συστήματα . . . 90
III ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 93
5 Το απλό εκκρεμές 95 5.1 Το απλό εκκρεμές, περιγραφή . . . 955.2 Σημεία ισορροπίας - Φασικό διάγραμμα . . . 97
5.3 Προσέγγιση με σειράTaylor . . . 101
5.4 Η αναλυτική λύση του εκκρεμούς . . . 102
5.5 Αρμονική ταλάντωση. Μια ειδική περίπτωση . . . 105
6 Το πρόβλημα των δύο σωμάτων 109 6.1 Γενική περιγραφή . . . 109
6.2 Οι νόμοι τουKepler . . . 110
6.3 Σύστημα συντεταγμένων . . . 110
6.4 Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας . . . 111
6.5 Διατήρηση της στροφορμής . . . 111
6.6 Πολικές συντεταγμένες στο επίπεδο κίνησης . . . 112
6.7 Τροχιά . . . 114
6.8 Ο τρίτος νόμος του Kepler . . . 117
6.9 Προσεγγίσεις με το λογισμικόMathematica . . . 119
7 Το δυναμικό Henon-Heiles 123 7.1 Γενική περιγραφή . . . 123
7.2 Οι εξισώσεις της κίνησης . . . 123
IV ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 133
8 Διανυσματικός Λογισμός 135 8.1 Διανύσματα . . . 1358.1.1 Περιστροφή κατά γωνίαϕ . . . 135
8.1.2 Γινόμενο βαθμωτού επί διάνυσμα . . . 135
8.1.3 Βαθμωτό (εσωτερικό) γινόμενο . . . 135
8.1.4 Διανυσματικό (εξωτερικό) γινόμενο . . . 135
8.1.5 Ταυτότητες . . . 136
8.1.6 Παραγώγιση διανυσμάτων . . . 136
8.1.7 Ολοκλήρωση διανυσμάτων . . . 137
8.2 Διανυσματικές συναρτήσεις . . . 137
8.2.1 Βαθμωτά πεδία . . . 137
8.2.2 Διανυσματικά πεδία . . . 137
8.2.3 Κλίση ή βαθμίδα βαθμωτού πεδίουφ,(∇φ) . . . 138
8.2.4 Απόκλιση διανυσματικού πεδίουΑ,(∇ ·Α) . . . 139
8.2.5 Στροβιλισμός διανυσματικού πεδίουΑ,(∇ ×Α) . . . 140
8.3 Ταυτότητες . . . 140
V ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 143
1.1 Συναρτησοειδές J :A→R . . . 14
1.2 Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων . . . 15
1.3 Το πρόβλημα του βραχυστόχρονου . . . 17
1.4 Το Λήμμα Lagrange . . . 21
1.5 Αποδεκτή επιφάνειαu=u(x, y)με σύνοροΓπου ορίζεται πάνω από χωρίοR 30 2.1 Το διπλό εκκρεμές . . . 34
2.2 Σύστημα ανολόνομου δεσμού . . . 35
2.3 Γραφική παράσταση συστήματος ανολόνομου δεσμού . . . 35
2.4 Το απλό εκκρεμές . . . 40
3.1 Το διανυσματικό πεδίοF(x, y, z) = (x, y, z) . . . 49
3.2 Το διανυσματικό πεδίοF(x, y, z) = (x2, y2, xyz) . . . 50
3.3 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλεςf(x, y) = (y,−x) . . . 51
3.4 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλεςf(x, y) = (y,−x) . . . 52
3.5 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλεςf(x, y) = (y,−sinx) . . . 53
3.6 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλεςf(x, y) = (y,−sinx) . . . 54
3.7 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλεςf(x, y) = (sin x,−cos y) . . . . 55
3.8 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλεςf(x, y) = (sin x,−cos y) . . . . 56
3.9 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλεςf(x, y) = (y sin x,−x cos y) . . 57
3.10 Το διανυσμ. πεδίο και οι ολοκλ. καμπύλες f(x, y) = (y sin x,−x cos y) . . 58
3.11 Η ερμηνεία του τελεστή τεξτλατινςυρλ . . . 63
3.12 Μη αστρόβιλο πεδίο . . . 65
3.13 Αστρόβιλο πεδίο . . . 67
3.14 Μη αστρόβιλο πεδίο . . . 68
3.15 Αστρόβιλο πεδίο . . . 68
3.16 Ακτινικό προς τα έξω πεδίο . . . 70
3.17 Οι δυνατές περιπτώσεις μεταβολής των όγκων κατά τη ροή . . . 71
3.18 Μεταφορά των όγκων κατά τη ροή . . . 73
4.1 Διαφοροποίηση ταλαντώσεων με αλλαγή της παραμέτρου . . . 81
4.2 Χρονοσειρές και τροχιές . . . 84
4.3 Σχηματοποιημένα αποτελέσματα . . . 86
4.4 Γραφική αναπαράσταση γραμμικού συστήματος . . . 90
5.1 Το απλό εκκρεμές . . . 95
5.2 Οι τροχιές, το δυναμικό και τα σημεία ισορροπίας . . . 97
5.3 Οι τροχιές . . . 98
5.4 Οι περιοχές του φασικού διαγράμματος . . . 99
5.5 Διαγράμματα προσεγγιστικών λύσεων και αντίστοιχου δυναμικού . . . 102
5.6 Μεταβολή τουl, με g = 9,81 και θ(0) = 0,01 . . . 106
5.7 Μεταβολή τουg, με l = 4 και θ(0) = 0,01 . . . 107
5.8 Μεταβολή τουθ0, με l = 4 και g = 9,81 . . . 107
6.1 Οι δύο πλανήτες . . . 110
6.2 Σύστημα πολικών συντεταγμένων . . . 112
6.3 ΄Ισα εμβαδά σε ίσους χρόνους . . . 114
6.4 Η ελλειπτική τροχιά της Γης . . . 116
6.5 Οι τροχιές για τις διάφορες τιμές του e . . . 119
6.6 Οι ελλειπτικές τροχιές για τις διάφορες τιμές του e . . . 120
6.7 Οι ελλειπτικές τροχιές για τις διάφορες τιμές του d . . . 121
7.1 Γράφημα του Henon-Heiles . . . 125
7.2 Οι ισοϋψείς τουHenon-Heiles. . . 125
7.3 Το διανυσματικό πεδίο του Henon-Heiles. . . 126
7.4 Οι τροχιές του Henon-Heiles . . . 126
7.5 Οι ισοϋψείς, οι τροχιές και τα σημεία ισορροπίας του Henon-Heiles . . . 127
7.6 Η παραμετρική καμπύλη τουHenon-Heiles . . . 128
7.7 Οι καμπύλες γενικευμένων συντεταγμένων του Henon-Heiles . . . 129
7.8 Οι καμπύλες του Henon-Heilesγια διαφορετικές τιμές της παραμέτρου . . . 130
7.9 Διαγράμματα του Henon-Heiles . . . 131
7.10 Το διάγραμμα του δυναμικού Henon-Heiles . . . 131
7.11 Απεικόνιση Poincare τουHenon-Heiles. . . 132
7.12 Απεικονίσεις Poincare του Henon-Heilesγια διάφορες τιμές του e . . . 132
ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ
Λογισμός των μεταβολών
1.1 Μεταβολικά προβλήματα
Κάνοντας μία επισκόπηση του απειροστικού λογισμού μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ένα από τα βασικά του προβλήματα είναι η εύρεση ακροτάτων μίας δεδομένης πραγματικής συνάρτησης μιας μεταβλητής. Π.χ., μία συνάρτηση μίας μεταβλητής f(x) έχει ελάχιστο στη θέση x0 αν ισχύει f(x) ≥ f(x0) για κάθε x στο πεδίο ορισμού της. Αν η f είναι διαφορίσιμη τότε είναι αναγκαία η συνθήκη
f0(x0) = df(x) dx
x=x0
= 0 (1.1)
Ο Λογισμός των Μεταβολών είναι το επιστημονικό πεδίο που ασχολείται με τα μεταβο- λικά προβλήματα. Δηλαδή τις γενικεύσεις του παραπάνω προβλήματος του απειροστικού λογισμού. Αντί λοιπόν για την εύρεση συνθηκών υπό τις οποίες κάποιες συναρτήσεις έχουν ακρότατα, ο Λογισμός των Μεταβολών ασχολείται με την ακροτατοποίηση (ελαχι- στοποίηση ή μεγιστοποίηση) γενικότερων ποσοτήτων που ονομάζονται συναρτησοειδή ή συναρτησιακά.
1.2 Συναρτησοειδή
΄Ενα συναρτησοειδές είναι μια διαδικασία (κανόνας) που σε κάθε συνάρτησηY(t) μιας καλώς ορισμένης κλάσης, αντιστοιχίζει έναν πραγματικό αριθμό. ΄Οπως μια συνάρτηση, έτσι και ένα συναρτησοειδές είναι μια διαδικασία (κανόνας), μια αντιστοίχιση, με το πεδίο ορισμού της να είναι ένα σύνολο συναρτήσεων.
ΟΡΙΣΜΟΣ: ΄Εστω A ένα σύνολο συναρτήσεων. ΄Ενα συναρτησοειδές J επί του A είναι μια διαδικασία (κανόνας) που αντιστοιχίζει σε κάθε συνάρτηση y έναν πραγματικό αριθμό που συμβολίζεται με J(y). Γράφουμε J : A → R . Στο Σχήμα 1.1, βλέπουμε σχηματικά αυτήν την έννοια που ορίσαμε ως συναρτησοειδές.
΄Ενα θεμελιώδες πρόβλημα του λογισμού των μεταβολών:
Δίνεται ένα συναρτησοειδές J και ένα καλώς ορισμένο σύνολο συναρτήσεων Α. Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις του A που ελαχιστοποιούν (ή μεγιστοποιούν) το J. Το καλώς ορισμένο σύνολο A λέγεται σύνολο των αποδεκτών συναρτήσεων, δηλαδή εκείνων
Σχήμα 1.1: Συναρτησοειδές J :A→R
των συναρτήσεων που «ανταγωνίζονται» για να ελαχιστοποιήσουν ή να μεγιστοποιήσουν το συναρτησοειδές J.
Το πρόβλημα της μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης ενός συναρτησοειδούς J επί του συνόλουAλέγεται μεταβολικό πρόβλημα και είναι ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα εισαγωγής στον ΛΟΓΙΣΜΟ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ. Ως έναν βαθμό, ο Λογισμός των Μεταβολών, θα μπορούσε να χαρακτηριστεί και ως ο Λογισμός των Συναρτησοειδών.
Εφαρμογές του Λογισμού των Μεταβολών συναντά κανείς στην γεωμετρία, τη φυσική, τη βιολογία, τα οικονομικά, τις επιστήμες μηχανικού και τη θεωρία βέλτιστου ελέγχου.
Μια πρώτη γνωριμία με τις ιδέες και τα προβλήματα του Λογισμού των μεταβολών θα γίνει με την αναφορά σε δυο κλασσικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1. Αφορά την ελαχιστοποίηση του συναρτησοειδούς του μήκους τόξου.
Ποιά είναι η συντομότερη δυνατή διαδρομή μεταξύ δύο σημείων του επιπέδου;
Προφανώς και γνωρίζουμε ήδη την απάντηση, αλλά η μεθοδολογία που θα χρησιμοποι- ήσουμε για να τη βρούμε μπορεί κάλλιστα να χρησιμοποιηθεί και σε λιγότερο τετριμμένα παραδείγματα. ΄Οπως π.χ. για να βρούμε τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια ή γενικότερα πάνω σε μια καμπύλη επιφάνεια.
΄Εστω λοιπόν τα σημεία A(x1, y1) και B(x2, y2). Κάθε καμπύλη που τα συνδέει παρι- στάνεται από μια εξίσωση της μορφής y=y(x), που είναι τέτοια, ώστε η συνάρτηση y να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες:
y(x1) = y1, y(x2) =y2 (1.2) Θεωρούμε δύο γειτονικά σημεία πάνω σ΄ αυτή την καμπύλη. Η μεταξύ τους απόσταση dl
δίνεται από την
dl =p
dx2+dy2 = v u u
tdx2 1 + dy
dx 2!
=p
1 + (y0)2 dx
όπου y0 = dy
dx. ΄Ετσι το συνολικό μήκος της καμπύλης είναι l =
Z x2
x1
p1 + (y0)2 dx (1.3)
Το πρόβλημα λοιπόν είναι να βρεθεί εκείνη η συνάρτησηy(x)που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες (1.2) και ελαχιστοποιεί το ολοκλήρωμα (1.3).
Αυτό το πρόβλημα διαφέρει πολύ από τα γνωστά μας προβλήματα ακροτατοποίησης (με- γιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης). Εδώ δεν έχουμε τη μεταβολή μιας ή και περισσότερων μεταβλητών, αλλά μιας συνάρτησης, της y(x). ΄Ομως το ίδιο κριτήριο μπορεί να εφαρμο- στεί κι εδώ. ΄Οταν το ολοκλήρωμα έχει ελάχιστο, πρέπει σε πρώτη προσέγγιση να μένει αμετάβλητο για μικρές μεταβολές στη συνάρτηση y(x). Γενικότερα λοιπόν μας ενδιαφέρει να βρούμε τις στάσιμες τιμές ενός ολοκληρώματος της μορφής
I = Z x2
x1
f(y, y0)dx (1.4)
όπου f(y, y0) είναι μια καθορισμένη συνάρτηση της συνάρτησης y και της πρώτης παρα- γώγου της y0. Θα λύσουμε το γενικό αυτό πρόβλημα και στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε το αποτέλεσμα στο ολοκλήρωμα (1.3).
Θεωρούμε μια μικρή μεταβολήδy(x)της συνάρτησηςy(x), που υπόκειται στη συνθήκη οι τιμές τουy στα ακραία σημεία να μην μεταβάλλονται. (Σχήμα 1.2)
Σχήμα 1.2: Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων
Ισχύουν λοιπόν οι σχέσεις
δy(x1) = 0, δy(x2) = 0 (1.5)
Σε προσέγγιση πρώτης τάξης η μεταβολή της συνάρτησης f(y, y0) είναι δf = ∂f
∂yδy+ ∂f
∂y0δy0, µε δy0 = d(δy) dx Επομένως η μεταβολή του ολοκληρώματος είναι
δI = Z x2
x1
∂f
∂yδy+ ∂f
∂y0 d(δy)
dx
dx.
Στο δεύτερο όρο ολοκληρώνουμε κατά μέρη. Ο όρος που ολοκληρώθηκε, δηλαδή ο ∂f
∂y0δy x2
x1
, μηδενίζεται λόγω των συνθηκών (1.5). ΄Ετσι παίρνουμε
δI = Z x2
x1
∂f
∂y − d dx
∂f)
∂y0
δy(x)dx. (1.6)
Τώρα, για να είναι το I στάσιμο, θα πρέπει αυτή η μεταβολή δI να μηδενίζεται για οποια- δήποτε μικρή μεταβολή δy(x) η οποία υπόκειται στις συνοριακές συνθήκες (1.5). Αυτό είναι δυνατό μόνο αν η ολοκληρωτέα συνάρτηση μηδενίζεται ταυτοτικά. Απαιτούμε λοιπόν
∂f
∂y − d dx
∂f
∂y0
= 0. (1.7)
Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ωςεξίσωση Euler-Lagrange. Είναι εν γένει μια διαφορι- κή εξίσωση δευτέρου βαθμού για την άγνωστη συνάρτησηy(x), της οποίας η λύση περιέχει δύο αυθαίρετες σταθερές που μπορούν να προσδιοριστούν από τις συνοριακές συνθήκες.
Επιστρέφοντας τώρα στο αρχικό μας πρόβλημα, προσπαθούμε να βρούμε τις καμπύλες του επιπέδου με το μικρότερο δυνατό μήκος μεταξύ δύο σημείων, οι οποίες ονομάζονται γαιωδεσιακές και μεταξύ αυτών να βρούμε τη συντομότερη δυνατή διαδρομή μεταξύ των σημείων A(x1, y1)και B(x2, y2).
Συγκρίνοντας την (1.3) με την (1.4), πρέπει να επιλέξουμε f(y, y0) = p
1 + (y0)2 και έτσι έχουμε
∂f
∂y = 0, ∂f
∂y0 = y0 p1 + (y0)2.
΄Ετσι η εξίσωση Euler-Lagrange (1.7) για το πρόβλημα αυτό γίνεται d
dx
y0 p1 + (y0)2
!
= 0.
Η εξίσωση αυτή δηλώνει ότι η έκφραση
y0
p1 + (y0)2 είναι σταθερή και επομένως η y0(x) είναι σταθερή. Οι λύσεις της λοιπόν είναι οι ευθείες
y =αx+b (α, bσταθερές).
Οι σταθερές α, b καθορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες (1.2) και αποδείξαμε ότι η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων του επιπέδου είναι η ευθύγραμμη, που είναι γνωστό από την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Ενεργοποιώντας τον παρακάτω υπερσύνδεσμο έχουμε διαδραστική αναπαράσταση της λύσης με το λογισμικόGeogebra.
Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων
Παράδειγμα 2. Είναι το περίφημο πρόβλημα του βραχυστόχρονου. Το πρόβλημα αυτό διατυπώνεται ως εξής:
Ας θεωρήσουμε μια σφαίρα μάζαςmη οποία αφήνεται να ολισθήσει με αρχική ταχύτητα μηδέν και χωρίς τριβή,υπό την επίδραση της βαρύτητας g από ένα σημείο A(x1, y1)σε ένα σημείο B(x2, y2) μεx1 < x2 και y1 > y2,κατά μήκος ενός σύρματος που ορίζεται από μια καμπύληy =y(x)στο κατακόρυφο επίπεδοO(x, y), (Σχήμα1.3). Ποια καμπύλη δίνει τον ταχύτερο χρόνο καθόδου;
Σχ ΄ημα 1.3: Το πρόβλημα του βραχυστόχρονου
Το πρόβλημα διατυπώθηκε από τον Johann Bernoulli το 1696 και πολλοί γνωστοί μαθηματικοί της εποχής πρότειναν διάφορες λύσεις. Η λύση τουEulerοδήγησε σε γενικές μεθόδους που αποδείχθηκαν χρήσιμες στην επίλυσης μιας ποικιλίας τέτοιων προβλημάτων και έθεσαν τις βάσεις για την ανάπτυξη του λογισμού των μεταβολών. Η καμπύλη που δίνει την λύση είναι ένα τόξο του κυκλοειδούς, δηλαδή της καμπύλης που περιγράφεται από την κίνηση ενός σημείου πάνω στην της περιφέρεια ενός κυλιόμενου τροχού.
Ας προχωρήσουμε τώρα σε μια πιο αναλυτική προσέγγιση του προβλήματος. Θα ξε- κινήσουμε υπολογίζοντας το χρόνο καθόδου T, για μια δεδομένη καμπύλη y = y(x) που συνδέει τα σημεία A(x1, y1) και B(x1, y1), όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.3. ΄Εστω s το μήκος του τόξου της καμπύλης, που μετριέται από το σημείο εκκίνησης A(x1, y1), S το ολικό μήκος τόξου της καμπύλης, από το A(x1, y1) στο B(x1, y1) και u η ταχύτητα της
σφαίρας. ΄Ετσι έχουμε:
T = Z T
0
dt= Z S
0
dt dsds=
Z S 0
1 uds και επειδή
ds=p
1 + (y0(x))2 dx έχουμε τελικά
T = Z x2
x1
p1 + (y0(x))2
u dx (1.8)
Θα εκφράσουμε τώρα την ταχύτητα u ως συνάρτηση της y , χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σύμφωνα με την οποία το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας διατηρείται σταθερό σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. ΄Ετσι έχουμε:
Eκιν+Eδυν|t=0 =Eκιν +Eδυν|t=T που στην περίπτωσή μας γίνεται:
1
2mu2+mgy(x) = mgy1 ⇔u2 = 2gy1−2gy(x)⇔u=p
2g(y1−y(x)) (1.9) Από τις σχέσεις(1.8)και(1.9)βρίσκουμε ότι ο χρόνος καθόδουT δίνεται από το παρακάτω συναρτησοειδές:
T(y) = Z x2
x1
s
1 + (y0(x))2
2g(y1−y(x)) dx (1.10)
O τύπος του συναρτησοειδούς (1.10), δηλώνει σαφέστατα την εξάρτηση του χρόνου καθόδου T της σφαίρας, κατά μήκος της καμπύλης y, από την εξίσωση της καμπύλης y = y(x). Από τη μορφή του τύπου (1.10) και την εξάρτησή του από τη συνάρτηση y=y(x),επιβάλλεται το σύνολο A των αποδεκτών συναρτήσεων να είναι το σύνολο των συνεχώς διαφορίσιμων συναρτήσεωνyπου ορίζονται στο διάστημα[x1, x2]. Oι συνοριακές συνθήκες ορίζονται από τις σχέσεις
y(x1) = y1, y(x2) =y2 (1.11) και
y ≤y1,
Z x2
x1
1
py1−y(x)dx <+∞ (1.12) Το πρόβλημα λοιπόν του βραχυστoχρόνου έχει τη διατύπωση ενός μεταβολικού προβλήματος το οποίο συνίσταται στην ελαχιστοποίηση του συναρτησοειδούς (1.10) με τις συνοριακές συνθήκες (1.11) και (1.12). Δηλαδή στην εύρεση εκείνης της καμπύλης y ∈ A, που ελαχιστοποιεί το χρόνο T(y). Λόγω των συγκεκριμένων συνοριακών συν- θηκών, αυτό το πρόβλημα λέγεται πρόβλημα συγκεκριμένων (σταθερών) άκρων. Επίσης και το πρώτο παράδειγμα ελαχιστοποίησης του συναρτησοειδούς μήκους τόξου είναι ένα πρόβλημα συγκεκριμένων άκρων.
1.3 Ακρότατα συναρτησοειδούς
1.3.1 Το απλούστατο πρόβλημα
Η εξίσωση του Euler
Με τον όρο απλούστατο πρόβλημα του Λογισμού των Μεταβολών, συνήθως εννοούμε την εύρεση ενός τοπικού ελαχίστου του συναρτησοειδούς
J(y) = Z b
α
L(x , y , y0)dx (1.13)
όπου y∈C2[α , b], y(α) =y0, y(b) =y1 και Lμια συγκεκριμένη και δύο φορές παραγω- γίσιμη συνάρτηση στο σύνολο [α , b]×R.
Αναζητούμε μια αναγκαία συνθήκη γι’ αυτό. Θα υπολογίσουμε μια στοιχειώδη μετα- βολή του J. ΄Εστω y τοπικό ελάχιστο καιh δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση, με
h(α) = h(b) = 0.
Τότε η y+εh είναι αποδεκτή συνάρτηση και J(y+εh) =
Z b α
L(x , y+εh , y0+εh0)dx.
΄Ετσι έχουμε d
dεJ(y+εh) = Z b
α
∂
∂εL(x , y+εh , y0+εh0)dx=
= Z b
α
[Ly(x , y+εh , y0+εh0)h+Ly0(x , y+εh , y0+εh0)h0]dx
όπου Ly = ∂L
∂y και Ly0 = ∂L
∂y0. ΄Ετσι έχουμε δJ(y , h) = d
dεJ(y+εh) ε=0
=
= Z b
α
[Ly(x , y , y0)h+Ly0(x , y , y0)h0]dx.
΄Ετσι λοιπόν, μια αναγκαία συνθήκη για να είναι η συνάρτηση y(x) τοπικό ελάχιστο είναι η:
Z b α
[Ly(x , y , y0)h+Ly0(x , y , y0)h0]dx= 0 (1.14) για κάθε h∈C2[α , b] με h(α) =h(b) = 0.
Στην παραπάνω μορφή η συνθήκη (1.14) δεν είναι χρήσιμη για τον προσδιορισμό της συνάρτησηςy(x). Χρησιμοποιώντας όμως το γεγονός ότι ισχύει για κάθεh,μπορούμε να
απαλείψουμε τοh και έτσι να πάρουμε μια συνθήκη μόνο ως προς y. Ολοκληρώνουμε τον δεύτερο όρο του αθροίσματος στο ολοκλήρωμα της (1.14) και έχουμε
Z b α
Ly(x , y , y0)− d
dxLy0(x , y , y0)
h dx+ Ly0(x , y , y0)h|x=bx=α = 0 (1.15) Επειδή h(α) =h(b) = 0, οι συνοριακοί όροι μηδενίζονται και η αναγκαία συνθήκη γίνεται
Z b α
Ly(x , y , y0)− d
dxLy0(x , y , y0)
h dx= 0 (1.16)
για κάθε h∈C2[α , b]με h(α) =h(b) = 0.
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε το Θεμελιώδες Λήμμα του λογισμού των μεταβολών. Λήμμα (Lagrange)
Aν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο [α , b] και ισχύει Z b
α
f(x)h(x)dx= 0 (1.17)
για κάθε δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτησηh με h(α) =h(b) = 0, τότε f(x) = 0 για κάθεx∈[α , b].
Απόδειξη
΄Εστω ότι δεν ισχύει f(x) = 0για κάθε x∈[α , b].
Τότε υπάρχειx0 ∈(α , b)τέτοιος,ώστε να ισχύειf(x0)>0. Επειδή ηf(x)είναι συνεχής, υπάρχει διάστημα της μορφής (x1, x2) τέτοιο, ώστε x0 ∈(x1, x2) και f(x)>0 για κάθε x∈(x1, x2). Ως h(x) επιλέγουμε την συνάρτηση:
h(x) =
(x−x1)3(x2−x)3 , αν x∈[x1, x2]
0 , αν x∈[a , x1)∪(x2, b]
Η h προφανώς ομαλοποιείται στα x1 και x2 και συνεπώς είναι κλάσης C2 στο διάστημα [α , b], όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.4
΄Ετσι έχουμε
Z b α
f(x)h(x)dx= Z x2
x1
f(x)(x−x1)3(x2−x)3dx >0, επειδή έχουμε f(x)>0 για κάθε x∈(x1, x2).
Αυτό όμως είναι άτοπο, επειδή ισχύει Rb
αf(x)h(x)dx= 0.
΄Αρα f(x) = 0 για κάθεx∈[α , b].
Εφαρμόζοντας το Λήμμα (Lagrange) στην 1.17, θεωρώντας f(x) =Ly(x , y , y0)− d
dxLy0(x , y , y0)
που είναι συνεχής, γιατί η L είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, παίρνουμε το παρακάτω θε- ώρημα:
Σχ ΄ημα 1.4: Το Λήμμα Lagrange Θεώρημα
Αν η συνάρτησηf είναι σημείο όπου το συναρτησοειδές J(y) =
Z b α
L(x , y , y0)dx λαμβάνει τοπικό ελάχιστο,όπου y∈C2[α, b] και
y(α) =y0, y(b) =y1, τότε ηy ικανοποιεί την εξίσωση:
Ly(x , y , y0)− d
dxLy0(x , y , y0) = 0 (1.18) Η εξίσωση (1.18) λέγεται εξίσωση Euler-Lagrange (Δες και εξίσωση (1.7)). Είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που γενικά είναι μη γραμμική. Παρέχει μια αναγκαία συνθήκη για τοπικό ελάχιστο και είναι ανάλογη με τη συνθήκη μηδενισμού της παραγώγου f0(x) = 0 του διαφορικού λογισμού. Συνεπώς οι λύσεις της δεν είναι αναγκαστικά τοπικά ελάχιστα. Γενικά οι λύσεις της (1.18) λέγονται (τοπικά) ακρότατα.
Αν το y είναι ακρότατο, τότε ισχύει δJ(y , h) = 0 για κάθε h και λέμε ότι το J είναι στάσιμο στο y. ΄Ενα ακρότατο y λέγεται μερικές φορές και στάσιμη συνάρτηση για το συναρτησοειδέςJ. Αν πάρουμε την παράγωγο ως προςx στον δεύτερο όρο της (1.18),η εξίσωσηEuler γίνεται:
Ly−Ly0x(x , y , y0)−Ly0y(x , y , y0)y0−Ly0y0(x , y , y0)y00 = 0 (1.19) Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι η εξίσωσηEulerείναι δεύτερης τάξης,με την προϋπόθεση βέβαια ότι ισχύει Ly0y0 6= 0.
Παραδείγματα Παράδειγμα 1.
Να βρεθούν τα ακρότατα του συναρτησοειδούς:
J(y) = Z 1
0
((y0)2+ 3y+ 2x)dx , y(0) = 0, y(1) = 1.
Λύση
Η Λαγκρανζιανή είναιL= (y0)2+ 3y+ 2x,οπότε Ly = 3, Ly0 = 2y0 και η εξίσωση Euler γίνεται:
3− d
dx(2y0) = 0 ⇔y00= 3 2. Ολοκληρώνοντας διαδοχικά βρίσκουμε τα ακρότατα:
y0 = 3
2x+C1 και y= 3
4x2 +C1x+C2. Eφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε:
C2 = 0 και C1 = 1 4.
Επομένως το ακρότατο του J που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες είναι η συνάρτηση: y= 3
4x2+ 1 4x .
Λύση με τη Mathematica E ικόνα Math 1
Παράδειγμα 2.
Nα βρεθούν τα ακρότατα του συναρτησοειδούς του μήκους τόξου J(y) =
Z b α
p1 + (y0)2dx , y(α) = y0, y(b) =y1. Λύση
Η Λαγκρανζιανή είναι L= p
1 + (y0)2, οπότε Ly = 0, Ly0 = y0
p1 + (y0)2 και η εξίσωση Euler γίνεται:
d dx
y0 p1 + (y0)2
!
= 0⇔ y0
p1 + (y0)2 =C ⇒y0 = s
C2
1−C2 =K, μεC , K σταθερές. Ολοκληρώνοντας έχουμεy =Kx+M, μεM σταθερά.
Προφανώς λοιπόν τα ακρότατα είναι ευθείες και εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες βρίσκουμε
K = y1 −y0
b−α και M = by0−αy1 b−α . Συνεπώς το μοναδικό ακρότατο είναι η συνάρτηση:
y= y1−y0
b−α x+by0−αy1 b−α .
Λύση με τη Mathematica E ικόνα Math 2
Παρατήρηση: Πρώτα ολοκληρώματα
Η εξίσωση Εuler είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης και συνεπώς η λύση της θα περιέχει δύο αυθαίρετες σταθερές. Σε ειδικές περιπτώσεις, όταν η Λα- γκρανζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από μία από τις μεταβλητές x , y και y0, είναι δυνατόν να απλοποιήσουμε αμέσως την εξίσωσηEuler. Θεωρούμε λοιπόν τις εξής τρείς περιπτώσεις: 1. Aν L = L(x, y), τότε η εξίσωση Euler είναι η συνθήκη Ly(x, y) = 0, η οποία προφανώς είναι αλγεβρική εξίσωση.
2. Aν L=L(x, y0),τότε η εξίσωση Euler είναι της μορφής
L0y(x, y0) =C, (1.20)
όπου C σταθερά.
3. Aν L=L(y, y0), τότε η εξίσωση Euler είναι της μορφής
L(y, y0)−y0Ly0(y, y0) =C, (1.21) όπου C σταθερά.
Οι περιπτώσεις 1και 2 είναι προφανείς. Θα αποδείξουμε την περίπτωση3.
΄Εχουμε:
d
dx(L−y0Ly0) =dL
dx −y0 d
dxL0y−Ly0y00 =
=Lyy0+Ly0y00−y0 d
dxLy0 −Ly0y00 =
=y0
Ly− d dxLy0
=
=0, επομένως έπεται η (1.21).
Oι εξισώσεις (1.20) και (1.21) είναι πρώτα ολοκληρώματα της εξίσωσης Euler. ΄Ενα πρώτο ολοκλήρωμα μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης F(x, y, y0, y00) = 0 είναι μια συνάρτηση της μορφήςg(x, y, y0),που περιλαμβάνει παράγωγο χαμηλότερης τάξης,η οποία είναι σταθερή όταν ηy είναι λύση της αρχικής εξίσωσης F(x, y, y0, y00) = 0. Συνεπώς, η
g(x, y, y0) =C
όπου C σταθερά, συνιστά ολοκλήρωση της εξίσωσης δεύτερης τάξης. Στο Λογισμό των Μεταβολών, αν ηLείναι ανεξάρτητη του x,τότε ηL−y0Ly0 είναι ένα πρώτο ολοκλήρωμα της εξίσωσηςEuler. Λέμε ότι η L−y0Ly0 είναι σταθερά επί των ακροτάτων.
Παράδειγμα 3
Nα βρεθούν τα ακρότατα του συναρτησοειδούς του προβλήματος του βραχυστόχρονου J(y) =
Z x2
x1
p1 + (y0)2
p2g(y1−y)dx , y(x1) = y1, y(x2) =y2. Λύση
Η Λαγκρανζιανή είναι L=
p1 + (y0)2
p2g(y1−y) και είναι ανεξάρτητη του x.
Συνεπώς η (1.21) δίνει ένα πρώτο ολοκλήρωμα της εξίσωσης Euler. ΄Ετσι έχουμε:
p1 + (y0)2
√y1−y −(y0)2
1 p1 + (y0)2
√y1−y =C η οποία γίνεται
dy dx
2
= 1−C2(y1−y) C2(y1−y) . Αποτετραγωνίζοντας και επειδή
dy
dx <0 έχουμε: dy
dx =− s
1−C2(y1−y)
C2(y1−y) ⇔dx=−
√y1−y r 1
C2 −(y1−y) .
Θέτοντας 1
C2 =C1, παίρνουμε:
dx=−
√y1−y
pC1−(y1−y) (1.22)
Για την επίλυση της(1.22) κάνουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση:
y1−y=C1sin2φ
2 ⇔y=y1−C1sin2φ
2 (1.23)
και παίρνουμε την εξίσωση:
dx=C1sin2φ
2dφ⇔dx= C1
2 (1−cos φ)dφ οπότε ολοκληρώνοντας έχουμε:
x= C1
2 (φ−sin φ) +C2 (1.24)
Οι εξισώσεις (1.23)και (1.24)είναι οι παραμετρικές εξισώσεις της κυκλοειδούς καμπύλης. Ενεργοποιώντας τον παρακάτω υπερσύνδεσμο έχουμε διαδραστική αναπαράσταση της κυ- κλοειδούς καμπύλης με το λογισμικό Geogebra.
Βραχυστόχρονο
1.3.2 Γενικεύσεις
Μετά την εισαγωγή στις θεμελιώδεις έννοιες του λογισμού των μεταβολών που πραγμα- τοποιήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο,σε αυτή την ενότητα θα αναφερθούμε σε ορισμένες γενικεύσεις της θεωρίας καθώς και σε ορισμένα επιπλέον παραδείγματα που παρουσιάζουν ενδιαφέρον και από φυσικής πλευράς. Οι γενικεύσεις αφορούν τη θεώρηση μεταβολικών προβλημάτων για συναρτησοειδή μεγαλύτερης τάξης και συναρτησοειδή πολλών μεταβλη- τών.
Παράγωγοι ανώτερης τάξης
Σε προηγούμενη παράγραφο μελετήσαμε το απλούστατο μεταβολικό πρόβλημα στο οποίο η Λαγκρανζιανή εξαρτιόταν μόνον από την ανεξάρτητη μεταβλήτή, x τη συνάρτηση y και την παράγωγο της y0. Μια πρώτη γενίκευση είναι να εξαρτάται η Λαγκρανζιανή και από παραγώγους υψηλότερης τάξης, όπως για παράδειγμα από την y. Θα θεωρήσουμε λοιπόν το πρόβλημα δεύτερης τάξης
J(y) = Z b
α
L(x , y , y0, y00)dx , y ∈A , (1.25) όπου Α το σύνολο τωνC4[α , b] συναρτήσεων, που πληρούν τις συνοριακές συνθήκες:
y(α) = A1, y0(α) =A2, y(b) = B1, y0(b) = B2, (1.26) Υποθετουμε ότι η συνάρτησηL είναι συνεχώς δύο φορές παραγωγίσιμη ως προς κάθε ένα από τα ορίσματά της.
Αναζητούμε πάλι αναγκαία συνθήκη τέτοια,ώστε το συναρτησοειδές (1.25) να παρου- σιάζει ελάχιστο. ΄Εστω λοιπόνy∈Aένα στοιχείο για το οποίο τοJ έχει τοπικό ελάχιστο ως προς κάποια νόρμα του C4[α , b]και επιλέγουμε h∈C4[α , b]τέτοια, ώστε:
h(α) = h0(α) = h(b) =h0(b) = 0. (1.27) Για να υπολογίσουμε την πρώτη μεταβολή, σχηματίζουμε τη συνάρτησηJ(y+εh). Τότε- έχουμε:
δJ(y , h) = d
dεJ(y+εh) ε=0
=
= d dε
Z b α
L(x , y+εh , y0 +εh0, y00+εh00)dx|ε=0 =
= Z b
α
[Lyh+Ly0h0+Ly00h00]dx ,
όπου οι Ly, Ly0, Ly00 υπολογίζονται στο (x, y, y0, y00). Στη συνέχεια κάνουμε δύο παρα- γοντικές ολοκληρώσεις. ΄Ετσι έχουμε:
Ly0h0 = d
dx(Ly0h)−h d dxLy0
και
Ly00h00 =h d2
dx2Ly00+ d dx
Ly00h0− d dxLy00h
, οπότε
δJ(y , h) = Z b
α
Ly− d
dxLy0 + d2 dx2Ly00
h dx+
Ly00h0− d
dxLy00h+hLy0 x=b
x=α
. (1.28) Με βάση την(1.27)μηδενίζεται ο δεύτερος όρος του αθροίσματος. Επειδή τοyαντιστοιχεί σε τοπικό ελάχιστο του J έχουμε:
Z b α
Ly− d
dxLy0 + d2 dx2Ly00
h dx= 0 (1.29)
για κάθεh4[α , b]που ικανοποιεί την(1.27). Για τη συμπλήρωση της διαδικασίας θα χρησι- μοποιήσουμε μια άλλη εκδοχή του θεμελιώδους λήμματοςLagrange,η οποία αποδεικνύεται με ανάλογο τρόπο.
Λήμμα
Aν η συνάρτησηf είναι συνεχής στο [α , b] και ισχύει Z b
α
f(x)h(x)dx= 0 για κάθε h∈C4[α , b] που ικανοποιεί την (1.27),τότε
f(x)≡0για κάθεx∈[α , b].
Εφαρμόζοντας το Λήμμα στην (1.29), συμπεραίνουμε ότι μια αναγκαία συνθήκη για να είναι τοy τοπικό ελάχιστο είναι η:
Ly − d
dxLy0 + d2
dx2Ly00 = 0, α≤x≤b , (1.30) η οποία είναι η εξίσωση Euler για το πρόβλημα δεύτερης τάξης που ορίζεται από την (1.25). Η εξίσωση (1.30) είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση τέταρτης τάξης ως προς y. Η γενική λύση της περιλαμβάνει τέσσερις αυθαίρετες σταθερές,που υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες.
Αντίστοιχα το μεταβολικό πρόβλημα τάξης n ορίζεται από το συναρτησοειδές J(y) =
Z b α
L(x , y , y0, y00)dx , y∈, A
όπουAείναι το σύνολο των συναρτήσεων τουC4[α , b]που ικανοποιούν τις2nσυνοριακές συνθήκες:
y(α) = A1, y0(α) =A2, ... , y(n−1)(α) =An
y(b) =B1, y0(b) =B2, ... , y(n−1)(b) = Bn Ανάλογα αποδεικνύεται ότι η εξίσωσηEuler είναι η:
Ly− d
dxLy0+ d2
dx2Ly00− d3
dx3Ly000+...+ (−1)ν dν
dxνLy(ν) = 0, α ≤x≤b , που είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση τάξης 2n.
Πολλές συναρτήσεις
Μια γενίκευση σε διαφορετική κατεύθυνση,είναι να θεωρήσουμε ότι το συναρτησοειδές J εξαρτάται από πολλές συναρτήσειςy1, y2 , ... , yn. Θα ξεκινήσουμε από την απλόυστερη περίπτωση,θεωρώντας την περίπτωσηn = 2,δηλαδή ένα συναρτησοειδές δυο μεταβλητών, το
J(y1, y2) = Z b
α
L(x , y1, y2, y10 , y20)dx , (1.31) όπου y1, y2 ∈C2[α , b]με συνοριακές συνθήκες:
y1(α) =A1, y2(α) =A2, y1(b) =B1, y2(b) = B2. (1.32) Υποθέτουμε ότι οι y1 και y2 ελαχιστοποιούν τοπικά το J. Δηλαδή ένα ελάχιστο αποτε- λείται από ένα ζεύγος συναρτήσεων. Μεταβάλλουμε κάθε μία ανεξάρτητα από την άλλη, επιλέγοντας h1, h2 ∈C2[α , b] που ικανοποιούν τις συνθήκες
h1(α) = h2(α) =h1(b) =h2(b) = 0 (1.33) οπότε παίρνουμε ένα μονοπαραμετρικό αποδεκτό ζεύγος συναρτήσεωνy1+εh1καιy2+εh2.
΄Εχουμε λοιπόν:
J(ε) = Z b
α
L(x , y1+εh1, y2+εh2, y10 +εh01, y20 +εh02)dx και ότι ηJ έχει τοπικό ελάχιστο στο ε= 0. Τώρα λοιπόν έχουμε
J0(0) = Z b
α
(Ly1h1+Ly2h2+Ly0
1h01+Ly0
2h02)dx . Ολοκληρώνοντας κατά μέρη τους δύο τελευταίους όρους έχουμε:
J0(0) = Z b
α
Ly1− d dxLy0
1
h1+
Ly2 − d dxLy0
2
h2
dx+ (Ly0
1h1+Ly0
2h2)
x=b
x=α
(1.34) Με βάση την (1.33)οι συνοριακοί όροι της (1.34) μηδενίζονται και καταλήγουμε ότι
Z b α
Ly1 − d dxLy0
1
h1 +
Ly2 − d dxLy0
2
h2
dx= 0 (1.35)
για κάθε h1, h2 ∈C2[α , b]. Επιλέγοντας τώρα h2 = 0 για κάθε x∈[α , b]παίρνουμε Z b
α
Ly1 − d dxLy01
h1dx= 0 για κάθε h1 ∈C2[α , b]. Από το θεμελιώδες λήμμα έχουμε:
Ly1 − d dxLy0
1 = 0 (1.36)
Τώρα επιλέγουμε h1 = 0 για κάθε x∈[α , b] στην (1.35)και παίρνουμε Z b
α
Ly2 − d dxLy0
2
h2dx= 0
για κάθε h2 ∈C2[α , b]. Εφαρμόζοντας και πάλι το λήμμα, έχουμε: Ly2 − d
dxLy0
2 = 0 (1.37)
Συνεπώς, αν το ζεύγος y1, y2 αντιστοιχεί σε τοπικό ελάχιστο του J, Τότε οι y1 και y2 πρέπει να ικανοποιούν το σύστημα των δύο συνήθων διαφορικών εξισώσεων (1.36) και (1.37). Οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις Euler του προβλήματος (1.31)− (1.32)). Οι τέσσερις αυθαίρετες σταθερές που εμφανίζονται στη γενική λύση μπορούν να προσδιοριστούν από τα συνοριακά δεδομένα(1.32).
Γενικά αν το συναρτησοειδές J εξαρτάται από από n συναρτήσεις, αν δηλαδή έχει τη μορφή
J(y1, y2, ... , yn) = Z b
α
L(x , y1, y2, ... , yn , y10 , y20 , ... , yn0)dx , (1.38) όπου yi ∈C2[α , b] και
yi(α) = Ai, yi(b) = Bi, i= 1,2, ..., n,
τότε μια αναγκαία συνθήκη για να έχουμε στο y1, y2, ..., yn τοπικό ελάχιστο του J είναι να ικανοποιείται το σύστημα των n συνήθων διαφορικών εξισώσεων
Lyi− d dxLy0
i = 0, i= 1,2, ..., n, (1.39) που είναι γνωστές ως εξισώσεις Euler του μεταβολικού προβλήματος (1.38). Αν η Λα- γκρανζιανή Lτης (1.38) δεν εξαρτάται άμεσα από τοx, δηλαδή αν Lx= 0, τότε
L−
n
X
i=1
yi0Ly0
i =C, όπου C σταθερά, είναι ένα πρώτο ολοκλήρωμα της (1.39).
Προβλήματα πολλών ολοκληρωμάτων
Μια πολύ σημαντική γενίκευση είναι αυτή της θεώρησης μεταβολικών προβλημάτων στα οποία τα συναρτησοειδή ορίζονται σε σύνολο αποδεκτών συναρτήσεων του οποίου τα στοιχεία είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Θα ξεκινήσουμε μελετώντας πρώτα την περίπτωση συναρτήσεων δυο μεταβλητών.
΄Εστω R ένα κλειστο χωρίο στο επίπεδο Oxy. Με C2(R) συμβολίζουμε το σύνολο των συνεχών συναρτήσεωνu=u(x, y)που ορίζονται στο R και έχουν συνεχείς δεύτερες μερικές παραγώγους στο εσωτερικό του R. Γεωμετρικά η συνάρτηση u = u(x, y) παρι- στάνει μια λεία επιφάνεια πάνω από το χωρίο R. Ως σύνολο αποδεκτών συναρτήσεων A παίρνουμε το σύνολο των συναρτήσεων του C2(R) των οποίων οι τιμές είναι δεδομένες επί της καμπύλης C που αποτελεί το σύνορο του χωρίου R στο επίπεδο Oxy. Συνεπώς, u∈A αν u∈C2(R) και
u(x, y) = f(x, y), (x, y)επί τηςC, (1.40) όπου f(x, y) δεδομένη συνάρτηση που ορίζεται πάνω στην C και που οι τιμές της σχη- ματίζουν μια συγκεκριμένη καμπύλη Γ, που αποτελεί το σύνορο της επιφάνειας u, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα 1.5.
Σχ ΄ημα1.5: Αποδεκτή επιφάνεια u=u(x, y) με σύνοροΓ που ορίζεται πάνω από χωρίο R Το μεταβολικό πρόβλημα συνίσταται στην ελαχιστοποίηση του συναρτησοειδούς
J(u) = Z Z
R
L(x, y, u(x, y), ux(x, y), uy(x, y))dx dy, (1.41) όπου u ∈ A. ΄Οπως και προηγουμένως, αναζητούμε μια αναγκαία συνθήκη για παρουσία ελαχίστου. ΄Εστω ότι η u(x, y) δίνει τοπικό ελάχιστο στο συναρτησοειδές J. Θεωρούμε την οικογένεια των αποδεκτών συναρτήσεων
u(x, y) +ε h(x, y), όπου h∈C2(R) και h(x, y) = 0 για κάθε (x, y)∈C. Τότε: δJ(u, h) = d
dεJ(u+εh)|ε=0 =
= d dε
Z Z
R
L(x, y, u+εh, ux+εhx, uy +εhy)dx dy|ε=0 =
= Z Z
R
(Luh+Luxhx+Luyhy)dx dy=
= Z Z
R
Lu− ∂
∂xL