ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΚΑΒΑΛΑ 2013
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΘΕΜΑ:ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΑΣΕΩΝ
ΣΕ ΖΕΥΚΤΟ ΣΤΕΓΗΣ
1 Αφιερωμένη στην πολυαγαπημένη μου αδερφή Έφη,
που με βοήθησε και με στήριξε, που μας αγάπησε πολύ και έκανε όνειρα για μας πριν φύγει από τη ζωή και η απουσία της στιγμάτισε τη ζωή μου.
2
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ
Η παρούσα πτυχιακή μελέτη εκπονήθηκε από το φοιτητή Χαράλαμπο Λαβίδα του τμήματος μηχανολογίας στο Τ.Ε.Ι της Καβάλας.
Η εργασία έγινε κατά το ακαδημαϊκό έτος 2012-2013 κάτω από την επίβλεψη του καθηγητή του τμήματος Γεώργιου Τσακατάρα.
Στον κύριο Τσακατάρα οφείλω τις θερμές ευχαριστίες για την καθοδήγηση και την υποστήριξη του καθ’όλη τη διάρκεια διεκπεραίωσης της παρούσας πτυχιακής.
Ευχαριστώ επίσης το παππού και τη γιαγιά μου που με στήριξαν όλο αυτό τον καιρό που σπούδασα στο τμήμα της μηχανολογίας.
Τέλος,ευχαριστώ από καρδιάς τη μητέρα μου και τα αδέρφια μου,
για τη συνεχή συμπαράσταση, την αγάπη και την κατανόηση που
έδειξαν όλο αυτό τον καιρό.
3
Π ΡΟΛΟΓΟΣ
Η εργασία αυτή αποτελείται από ένα θεωρητικό μέρος πάνω στα δικτυώματα και μία διερεύνηση τάσεων σε ένα ζευκτό στέγης.Η
διερεύνηση γίνεται σε ένα δικτύωμα στέγης το οποίο αποτελείται από 13 ράμβους και στηρίζεται σε μια άρθρωση και μία κύλιση.
Το ζευκτό αυτό δέχεται ένα φορτίο στον έναν από τους 8 κόμβους του με διάφορες κλίσεις.Σε αυτές τις τιμές θα εξεταστούν οι δυνάμεις που δέχεται η κάθε ράβδος σε εφελκύστηκες καιθλιπτικές.
P ROLOGUE
This work consists of a theoretical part on the grid and an exploration of trends in a roof truss. I investigations done in a roof truss which
consists of 13 rods and relies on a hinge, and a scroll.
The truss shall accept a load on one of the 8 nodes with various
gradients. For these prices will examine the forces that accepts each rod
in tensile and compressive.
4
Π ΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Δικτύωματα………...6
1.1.Ορισμός Δικτυώματος.………...6
1.2.Απλά δικτυώματα………8
1.3.Ισοστατικότητα - Στερεότητα...10
1.4.Επίλυση δικτυωτού φορέα………..12
1.5.Mέθοδος των κόμβων...14
1. 6.Μέθοδος των τομών Ritter...16
1.7.MέθοδοςBow - Cremona ...18
1. 8.Μέθοδος μητρώων...20
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Διερεύνηση τάσεων σε ζευκτό στέγης………...21
2.1.Πάρουσιαση του ζευκτού μας………...21
2.2.Υπολογισμός τάσεων ………...22
2.3.Υπολογισμός τάσεων σε σχέση της γωνίας θ , φορτίου w και μήκος L………..59
2.4.Διαγράμματα τάσεων...63
2.5.Χρωματική απεικόνιση τάσεων στο δικτύωμα...66
2.6Συμπεράσματα...70
Βιβλιογραφία……….71
5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ
1.1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ
Το δικτύωμα είναι ένας από τους κυριώτερους τύπους μηχανοτεχνικώνδομημάτων. Αποτελεί πρακτική και οικονομική λύση σε πολλές μηχανοτεχνικές ανάγκες, ειδικά στο σχεδιασμό γεφυρών και κτιρίων . Κάθε δικτύωμα αποτελείται από ευθύγραμμα μέλη τα οποία συνδέονται σε κόμβους.
Τα μέλη του δικτυώματος συνδέονται μόνο στα άκρα τους . 'Ετσι , κανένα μέλος δεν συνεχίζεται μέσα από τον κόμβο . Οι περισσότερες πραγματικές κατασκευές αποτελούνται από πολλά δικτυώματα που αλληλοσυνδέονται και σχηματίζουν ένα χωροδικτύωμα .
Κάθε δικτύωμα σχεδιάζεται για να φέρει εκείνα τα φορτία που ενεργούν μέσα στο επίπεδό του και επομένως μπορεί να θεωρηθεί ως δισδιάστατο δόμημα .
Σχ.1
Σχ.2
6 Γενικά , τα μέλη κάθε δικτυώματος είναι λεπτά και μπορούν να φέρουν μόνο πολύ μικρά πλευρικά φορτία . Επομένως , όλα τα φορτία θα πρέπει να ενεργούν στους διάφορους κόμβους , και όχι πάνω στα μέλη αυτά καθ' αυτά . 'Οταν πρέπει ένα συγκεντρωμένο φορτίο να ασκηθεί μεταξύ δύο κόμβων, ή όταν ένα κατανεμημένο φορτίο πρέπει να το φέρει το δικτύωμα , όπως στην περίπτωση δικτυώματος γέφυρας , πρέπει να υπάρχει ένα επιδαπέδιο σύστημα το οποίο με χρήση μηκίδων και διαδοκίδων να μεταφέρει τα φορτία στους κόμβους. (Βλέπε σχ.1)
Δικτυώματα Στεγών
Δικτυώματα Γεφυρών
Άλλα Είδη Δικτυωμάτων Σχ.3
Τα βάρη των μελών του δικτυώματος υποθέτουμε ότι ασκούνται στους κόμβους και μάλιστα το μισό σε κάθε κόμβο που βρίσκεται στα άκρα του μέλους .
Παρότι τα μέλη στην πραγματικότητα συνδέονται με ήλους ή συγκολλήσεις, συνήθως υποθέτουμε ότι συνδέονται με πείρους . Επομένως, οι δυνάμεις που ενεργούν σε κάθε άκρο ενός μέλους ανάγονται μόνο σε μία δύναμη και δεν υπάρχει ζεύγος .Έτσι , οι μόνες δυνάμεις που υποθέτουμε ότι ενεργούν σε μέλος δικτυώματος είναι από μία δύναμη στο κάθε άκρο του μέλους .
7 Κάθε μέλος μπορεί τότε να θεωρηθεί ως μέλος δύο δυνάμεων, και όλο το δικτύωμα ως ομάδα πείρων και μελών δύο δυνάμεων. Κάθε αυτοτελές μέλος μπορεί να θεωρηθεί ότι καταπονείται με ένα από τους δύο τρόπους που φαίνονται στο σχ.2.
Στην πρώτη περίπτωση , οι δυνάμεις τείνουν να επιμηκύνουν το μέλος , και το μέλος εφελκύεται , ενώ στη δεύτερη περίπτωση , οι δυνάμεις τείνουν να συμπιέσουν το μέλος , το οποίο θλίβεται. Διάφορα είδη δικτυωμάτων βλέπετε στο σχ.3.
1.2. ΑΠΛΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ
Ας θεωρήσουμε το δικτύωμα του Σχ. 4α, το οποίο αποτελείται από τέσσερα μέλη που συνδέονται με πείρους στα Α , Β , C και D . Αν και στο Β ενεργήσει ένα φορτίο , το δικτύωμα θα παραμορφωθεί πολύ και θα χάσει τελείως την αρχική του μορφή. Εξάλλου , το δικτύωμα του Σχ.4b, το οποίο αποτελείται υπό τρία μέλη συνδεμένα με πείρους στα Α , Β , και C , θα π α ρ α μ ορφ ω θε ί μ ό ν ο ε λ αφ ρύ ε ξ αι τ ί ας ε ν ός φ ο ρτ ί ου π ου ε ν ε ργ ε ί στ ο Β .Η μ ό ν η δ υ ν ατ ή παραμόρφωση γι αυτό το δικτύωμα είναι εκείνη που περιλαμβάνει μικρές μεταβολές των μηκών των μελών του . Λέμε ότι το δικτύωμα του Σχ. 4b είναι στερεό δικτύωμα , όπου ο όρος στερεό (rigid) χρησιμοποιείται εδώ για να δηλώσει ότι το δικτύωμα δεν θα καταρρεύσει.
(a) (b)
Σχ.4 (c) (d)
8 Όπως φαίνεται στο Σχ.4c, ένα πιο μεγάλο στερεό δικτύωμα μπορεί να προκύψει αν προστεθούν δύο μέλη BD και CD στο βασικό τριγωνικό δικτύωμα του Σχ.4b η διαδικασία αυτή μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές θέλουμε, και το δικτύωμα που θα προκύπτει θα είναι στερεό αν κάθε φορά προσθέτουμε δύο νέα μέλη σε ξεχωριστούς υπάρχοντες κόμβους και τα συνδέουμε σ’ ένα νέο κόμβο* . Κάθε δικτύωμα που θα κατασκευάζεται με τον τρόπο αυτό ονομάζεται απλό δικτύωμα.
*Οι τρεις κόμβοι δεν πρέπει να είναι συνευθειακοί .
Πρέπει να τονίσούμε ότι κάθε απλό δικτύωμα δεν αποτελείται αναγκαστικά μόνο από τρίγωνα. Το δικτύωμα του Σχ.4d, για παράδειγμα, είναι ένα απλό δικτύωμα το οποίο δομήθηκε υπό το τ ρ ί γ ω ν ο Α Β μ ε τ η δ ι α δ ο χ ι κ ή π ρ ο σ θ ή κ η τ ω ν κ ό μ β ω ν D , Ε , Γ , κ α ι G . Ε ξ ά λ λ ο υ , σ τ ε ρ ε ά δικτυώματα δεν είναι πάντα τα απλά δικτυώματα , ακόμα και αν φαίνεται να αποτελούνται από τρίγωνα. Τα δικτυώματα τύπου Fink και Baltimore που βλέπετε στο Σχ. 3, λόγου χάρη, δεν είναι απλά δικτυώματα, επειδή δεν είναι δυνατό να δομηθούν υπό ένα τρίγωνο με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω.Όλα τα άλλα δικτυώματα του Σχ. 3 είναι απλά δικτυώματα, όπως μπορείτε να διαπιστώσετε εύκολα (για το δικτύωμα τύπου Κ, αρχίστε με ένα από τα κεντρικά τ ρίγ ω ν α) .
Γυρίζοντας στο βασικό τριγωνικό δικτύωμα του Σχ. 4b , παρατηρούμε ότι αυτό το δικτύωμα έχει τρία μέλη και τρεις κόμβους. Το δικτύωμα του Σχ.4c έχει δύο επιπλέον μέλη και ένα επιπλέον κόμβο, δηλαδή συνολικά πέντε μέλη και τέσσερις κόμβους. Παρατηρώντας ότι κάθε φορά που προσθέτουμε δύο νέα μέλη, ο αριθμός των κόμβων αυξάνει κατά ένα, βρίσκουμε ότι σε κάθε απλό δικτύωμα ο συνολικός αριθμός των μελών είναι b=2n-3, όπου b είναι ο συνολικός αριθμός κόμβων.
ι
9
1.3. Ισοστατικότητα - Στερεότητα
Με τον όρο δικτύωμα, εννοούμε ένα σύστημα δεσμικών ράβδων που είναι κατάλληλα συνδεμένες στα άκρα τους, έτσι ώστε να αποτελούν στερεό σχηματισμό.
Στερεός είναι γενικά εκείνος ο φορέας, που τα μέλη του συνδέονται μεταξύ τους, με τέτοιο σχηματισμό, ώστε κάτω από την επίδραση οποιασδήποτε εξωτερικής φόρτισης (μέσα στα όρια της αντοχής) ο σχηματισμός να μην αλλάζει μορφή.
Οι δεσμικές ράβδοι λέγονται και απλά ράβδοιτου δικτυώματος. Στα άκρα τους έχουν αρθρώσεις, ενώ δεν φορτίζονται ενδιάμεσα. Οι αρθρώσεις αυτές ονομάζονταικόμβοι. Τέτοιοι είναι οι Α. Β, Γ. Δ. ενώ ράβδοι είναι οι, 1, 2, 3, 4, 5 (Σχ.5a).
Γενικά διακρίνουμε τα δικτυώματα σε επίπεδα και χωρικά.
Επίπεδα καλούνται τα δικτυώματα στα οποία όλες οι ράβδοι και η φόρτισή τους, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
Ωστόσο, η μελέτη και ανάλυση των δικτυωμάτων στο επίπεδο γίνεται για διευκόλυνσηστην επίλυση των προβλημάτων που αυτά παρουσιάζονται.
Στηνπραγματικότητα όμως, όλα τα δικτυώματα λειτουργούν στο χώρο.
Έστω ράβδος ΑΒ (Σχ. 5b), που στα άκρα της έχει αρθρώσεις, ενώ δεν φορτίζεται ενδιάμεσα. Από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας της προκύπτει:
Βχ = Αχ, Αy= Βy = 0
Συμπερασματικά λοιπόν ‘’αν μια ράβδος φέρει αρθρώσεις στα άκρα της και ενδιάμεσα είναι αφόρτιστη (όπως η ράβδος του δικτυώματος), καταπονείται μόνον από σταθερή αξονική δύναμη Αχσεόλο τομήκος της’’. Αυτό σημαίνει ότι μια ράβδος μπορεί ισοδύναμα να αντικατασταθεί από μια δύναμη αγνώστου μεν μέτρου αλλα γνωστής διεύθυνσης, τη διεύθυνση της ράβδου.
10 (a) (b)
Σχ.5 Δικτύωμα (a) και ράβδος με άρθρωση στα άκρα της (b)
Γενικεύοντας, ράβδοςονομάζεται κάθε στερεός φορέας που μπορεί να δεχτεί μόνον αξονικά φορτία. Τα φορτία αυτά δεχόμαστε ότι διέρχονται από το κέντρο βάρους της διατομής της. Τα υπόλοιπα εντατικά μεγέθη Q(x), Μ(χ)είναι μηδέν.
Συνοπτικά λοιπόν, κατά τη μελέτη ενός δικτυώματος πρέπει να γνωρίζουμε ότι:
i. Οι κόμβοι στους οποίους συνδέονται οι ράβδοι που συνιστούν το δικτύωμα λειτουργούν σαν αρθρώσεις.
ii. Τα φορτία ασκούνται μόνον στους κόμβους του δικτυώματος.
Επομένως ένα δικτύωμα δεν μπορεί να στηρίζεται σε πάκτωση, αφού τότε Θα είχαμε σαν φόρτιση και ροπή ζεύγους.
iii. Το 'ίδιο βάρος" της κάθε μεμονωμένης ράβδου, Θεωρείται αμελητέο.
ίν. Η κύλιση είναι δυνατόν να αντικατασταθεί από μία δεσμική ράβδο, η δε άρθρωσηαπό δύο.
Οι παραπάνω παρατηρήσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι δυνάμεις που μεταφέρει το κάβε στοιχείο τον δικτυώματος έχουν τη διεύθυνση του άξονατου στοιχείου αυτού και επομένως καλύπτεται η απαίτηση του ορισμού τον δικτυώματος, κατά τον οποίο αυτό είναι ένα σύστημα δεσμικών ράβδων.
Η δύναμη που μεταφέρεται τώρα από κάθε ράβδο του δικτυώματος έχει επικρατήσει να λέγεται και τάσητης ράβδου αυτής. Αν απομακρύνεται από τον κόμβο τείνει να εφελκύσει τη ράβδο ("εφελκυστική τάση"), οπότε συμβατικά τη θεωρούμε θετική. Αντίθετα αν κατευθύνεται προς τον κόμβο, τείνει να συνθλίψει τη ράβδο ("θλιπτικήτάση"), οπότε αντίστοιχα τη θεωρούμε αρνητική.
11 Το δικτύωμα που είναι απαλλαγμένο από τις στηρίξεις του με το έδαφος λέγεται εσωτερικόή ελεύθερο,ενώ εκείνο στο οποίο έχουν προστεθεί και οι στηρίξεις του, λέγεται δικτυωτός φορέας.
Ακόμα τα δικτυώματα, διακρίνονται σε απλά και σύνθετα.
-Απλό δικτύωμαλέγεται εκείνο, το οποίο αν το αποσυναρμολογήσουμε καταργώντας κάθε φορά έναν κόμβο και δύο ράβδους, Θα καταλήξουμε στο Βασικό τριγωνικό δίσκο.
- Σύνθετο δικτύωμαείναι εκείνο που σχηματίζεται από τη σύνθεση δύο ή και περισσοτέρων απλών δικτυωμάτων.
1.4.Επύλυση Δικτυωτού Φορέα
Λέγοντας "επίλυση δικτυωτού" φορέα εννοούμε την εύρεση των τάσεων των ράβδων από τις οποίες αποτελείται το δικτύωμα, στο οποίο αναφερόμαστε. Ακολουθούμε, τα εξής τέσσερα γενικά στάδια εργασίας:
i. Απόδειξη της ισοστατικότητας του φορέα.
ii. Απόδειξη της στερεότητας του σχηματισμού του φορέα.
iii. Εύρεσπ των αντιδράσεων στήριξης του φορέα με το έδαφος.
iv. Υπολογισμός των τάσεων των ράβδων του δικτυώματος.
Σημειώνουμε ότι τα εξωτερικά φορτία Θα πρέπει να δρούνπάνταστους κόμβους (επικόμβια φόρτιση).
Ισοστατικότητα: Ένας διχτυωτός φορέας καλείται ισοστατικός όταν το άθροισμα του αριθμού των ράβδων του φορέα και του αριθμού των ράβδων στήριξής του, είναι ίσο με τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταξύ τους εξισώσεων στατικής ισορροπίας του.
Ως γνωστόν όμως, ο αριθμός των εξισώσεων ισορροπίας ενός δικτυώματος είναι διπλάσιος του αριθμού των κόμβων του, γιατί στον καθένα από αυτούς έχουμε ένα σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων για το οποίο έχουμε τη δυνατότητα να γράψουμε δύο το πολύ εξισώσεις στατικής ισορροπίας.
Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκειμένου ένα δικτύωμα να είναι ισοστατικό πρέπει να ισχύει η σχέση:
ρ εξ.+ ρ εσ.=2k
όπου ρεξο αριθμός των ράβδων του δικτυώματος,ρεσ.ο αριθμός των ράβδων στήριξης του δικτυώματος στο έδαφος (δηλ. ο αριθμός των αγνώστων αντιδράσεων), ενώ k ο αριθμός των κόμβων του.
12 Αν τώρα ρεξ + ρεσ.> 2k ο δικτυωτός φορέας είναι (ρεξ+ Ρεσ -2k) φορές·υπερστατικός, ενώ αν pεξ +pεσ< 2k ο δικτυωτός φορέας είναι [2k-(ρεξ + ρεσ.)] φορές υποστατικόςκαι λέγεται μηχανισμός.
(a) (b)
(c) (d) Σχ. 6 Στοιχειώδεις στερεοί σχηματισμοί
Στερεότητα: Προφανώς κάθε ράβδος αποτελεί ένα στερεό.
Στοιχειώδης σχηματισμός καλείται αυτός που αποτελείται από 3 ράβδους που συντρέχουν σε 3 κόμβους (τρίγωνο) (Σχ. 6a).
Είναι όμως δυνατόν ένας συνδυασμός ράβδων να είναι στερεός ή χαλαρός. Για τον έλεγχο της στερεότητας ενός δικτυώματος χρησιμοποιούμε ένα από τα παρακάτω κριτήρια:
Κριτήριο Ι: Αν ένα δικτύωμα είναι απλή παράθεση τριγώνων, τότε αυτό είναι στερεό (Σχ. 6b).
Κριτήριο ΙΙ: Αν δύο δίσκοι (η γενικότερα δύο στερεά) συνδέονται μεταξύ τούς με τρεις ράβδους που οι διευθύνσεις τους δεν συντρέχουν, τότε τοσύνολα είναι στερεό (Σχ. 6c).
Κριτήριο ΙΙΙ: Αν τρεις δίσκοι (ή γενικότερα τρία στερεά) συνδέονται ανά δύο με ράβδους που τέμνονται σε σημεία μη συνευθειακά, Τότε το σύνολο είναι
13 στερεό (Σχ. 6d), όπου τα Α, Β, Γ είναι σημεία μη συνευθειακά (κριτήριο τριών δίσκων).
Υπ ο λ ο γισ μό ς Αν τιδ ράσ εων
Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. του δικτυώματος, αντικαθιστώντας τις στηρίξεις του με τις ανάλογες αντιδράσεις. Αυτές υπολογίζονται ως γνωστόν από τις 3 Ε.Σ.Ι., ανάλογες των (5.1 ή 5.1' ή 5.1"), στο Δ.Ε.Σ. του δικτυώματος.
Υπολογισμός των τάσεων
Για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός δικτυώματος, χρησιμοποιούμε μία από τις παρακάτω μεθόδους:
ί. Μέθοδος των κό μβων. ii. Μέθοδος των τομών Ritter.
i i i. Μ έ θ ο δ ο ς B o w - C r e m o n a. iv. Μέθοδος Μητρώων.
Αν το δικτύωμα είναι απλό καταφεύγουμε στην μέθοδο των κόμβων ή των μητρώων. Αν το δικτύωμα είναι πιο σύνθετο, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο τομών Ritte r ή τη γ ραφική μέ θοδο Cremon a.
Οι μέθοδοι αυτοί αναλύονται συνοπτικά παρακάτω.
1.5.Μέθοδος των Κόμβων
Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται συνήθως σε απλά δικτυώματα. Είναι υπολογιστική και συνίσταται στην εξέταση των κόμβων του δικτυώματος.
Συγκεκριμένα, απομονώνουμε έναν προς έναν όλους τούς κόμβους του δικτυώματος και γράφουμε για τον καθένα τις δύο εξισώσεις ισορροπίας τον συστήματος των συντρεχουσών δυνάμεων πού ενεργούν σε αυτόν.
Ακολουθούμε δε τα εξής βήματα εργασίας:
i.Αφού έχουμε ήδη υπολογίσει τις αντιδράσεις στα σημεία στήριξης, επιλέγουμε έναν κόμβο, στον οποίο να συντρέχουν το πολύ δύο ράβδοι άγνωστων τάσεων, όσες δηλαδή και οι εξισώσεις ισορροπίας του κόμβου.
ii. Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. του κόμβου αυτού, τοποθετώντας σε αυτόν τις τυχόν εξωτερικές δυνάμεις που του ασκούνται, ενώ αντικαθιστούμε και τις ράβδους που συντρέχουν σε αυτόν με τις τάσεις τους (Σχ.7). Επειδή όμ ως δε γνωρίζουμε τις φορές των τάσεων αυτών, τις θεωρούμε συμβατικά ότι είναι τέτοιες, ώστε να απομακρύνονται από τον κόμβο.Τις θεωρούμε δηλ. αρχικά όλες εφελκυστικές(θετικές). Αν τώρα κατά τη διαδικασία της επίλυσης,
14 κάποια τάση προκύψει αρνητική, αυτό σημαίνει ότι θα έχει φορά αντίθετη από αυτήν που εμείς θεωρήσαμε, θα είναι δηλ. θλιπτική.
Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε είτε να χρησιμοποιήσουμε, αν χρειαστεί στην συνέχεια, τη συγκεκριμένη τάση με το αρνητικό της πρόσημο, χωρίς να αλλάξουμε τη φορά της στο Δ.Ε.Σ. του κόμβου, είτε να την αλλάξουμε, οπότε και Θα τη χρησιμοποιούμε στη συνέχεια με θετικό πρόσημο.
iii. Για το σύστημα των συντρεχουσών δυνάμεων στον υπόψη κόμβο, γράφουμε τις δύο εξισώσεις ισορροπίας του:
∑ 𝑭𝝌 = 𝟎 , ∑ 𝑭𝒚 = 𝟎
Αυτό επιτυγχάνεται με την προβολή όλων των δυνάμεων που ενεργούν στον κόμβο, πάνω σε ένα κατάλληλα επιλεγμένο ορθογώνιο σύστημα αξόνων O x y .
Έχουμε έτσι, ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, το οποίο επιλυμένο μας δίνει τις τάσεις των ζητούμενων ράβδων.
Σημειώνουμε ότι, αν σε έναν κόμβο συντρέχουν δύο μη συνευθειακές ράβδοι κατ δεν ασκούνται εξωτερικά φορτία (σε αυτόν), οι τάσεις τους είναι μηδέν.
ίν.Προχωρούμε στην συνέχεια σε άλλον κόμβο, προσέχοντας πάντα να μη σ υ ν τ ρ έ χ ο υ ν σ ε α υ τ ό ν π α ρ α π ά ν ω α π ό δ υ ο ρ ά β δ ο ι ά γ ν ω σ τ ων τ ά σ ε ω ν .
Κόμβος Α Κόμβος Γ (a) (b) (c) Σχ.7 Δ ι κ τ ύ ω μ α ( a ) κ α ι δ υ ν ά μ ε ι ς σ τ ο υ ς κ ό μ β ο υ ς Α κ α ι Γ
15 Ακολουθώντας τα Βήματα ii.iii. σε κάθε κόμβο, βρίσκουμε όλες τις τάσεις των ράβδων, ενώ στο τέλος περισσεύουν 3 εξισώσεις για γενική επαλήθευση, (εφόσον Βέβαια έχουν υπολογιστεί εκ των προτέρων οι αντιδράσεις).
Σ ημε ιών ουμε ότι στ η γενική μορφή, ακόμη κι αν δεν μ πορούσαμε ν α απομ ον ώσου με έναν κόμβο με δύο ράβδους για να ξεκινήσουμε, μπορούμε να γράψουμε τις "2k" εξισώσεις για όλους τους κόμβους ("k" στο πλήθος) και να επιλύσουμε το σύστημα 2k εξισώσεων με 2k αγνώστους που θα προκύψει, κάτι όμως που είναι αρκετά επίπονο.
1.6.Μέθοδος των τομών Ritter
Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται είτε για τον υπολογισμό των τάσεων των ράβδων ενός σύνθετουδικτυώματος (όπου δεν μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος των κόμβων), είτε για την ταχύτερη εύρεση της δύναμης μίας ράβδου.
Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην πραγματοποίηση μίας ή περισσοτέρων τομών, καθεμιά από τις οποίες τέμνει το μικρότερο δυνατό αριθμό ράβδων, ενώ διαχωρίζει το δικτύωμα σε δύο ανεξάρτητα τμήματα, η ισορροπία των οποίων διατηρείται, αν στις Θέσεις πού η τομή συναντά τις ράβδους εφαρμοστούν οι αντίστοιχες αξονικές δυνάμεις των ράβδων (τάσεις) (Σχ.8).
Σημειώνεται ότι η τομή Ritterδεν Θα πρέπει σε καμία περίπτωση να διέρχεται από κόμβο.
Τα δε τμήματα που προκύπτουν από την τομή, πρέπει απαραίτητα να είναι δίσκοι (στερεά), πράγμα που σε συνδυασμό με τις ζητούμενες τάσεις, αποτελούν κριτήριογια τη Θέση που Θα πραγματοποιηθεί η τομή.
16 Ακόμη, δεν θα πρέπει σε καμία περίπτωση να απομονώνεται ένας μόνον κόμβος, διότι τότε η μέθοδος Ritteτταυτίζεται με αυτή των κόμβων.
Για κάθε ένα από τα δύο ανεξάρτητα τμήματα πού προκύπτουν από την τομή του (Σχ.8), ισχύουν οι 3 εξισώσεις στατικής ισορροπίας των ασκού - μενων εξωτερικών δυνάμεων, δηλαδή των γνωστών αντιδράσεων του τμήματ ος, τ ω ν ε ξωτ ε ρικ ών φ ορτ ίων κ αι τ ων ά γ ν ωστ ων τ άσε ων τ ων ράβ δ ων που τέμνονται από την τομή. Εξετάζουμε πάντα ένα από τα δύο τμήματα (συνήθως το απλούστερο), ενώ Θεωρούμε τις τάσεις των ράβδων που τέμνονται από την τομή με φορά προς τα έξω του εξεταζόμενου τμήματος.
Εφόσον τώρα, η τομή Ritterσυναντά 3 μόνον ράβδους του δικτυώματος, οι 3 εξισώσεις στατικής ισορροπίας αρκούν για τον προσδιορισμό των τάσεων των ράβδων αυτών. Θεωρούμε ισορροπία ροπών ως προς το σημείο τομής των φορέων των δύο αγνώστων τάσεων (οπότε η ροπή τους είναι μηδέν) και έτσι υπολογίζουμε (ευκολότερα) την τρίτη άγνωστη δύναμη (τάση).
Αν το δικτύωμα είναι αρκετά σύνθετο, όπως π.χ. να αποτελείται από τρεις δίσκους που συνδέονται μεταξύ τους με δύο ράβδους που τα σημεία τομής τους δεν είναι συνευθειακά, πραγματοποιούμε δύο τομές απομονώνοντας κάθε φορά από έναν δίσκο του δικτυώματος και κόβοντας δύο ζεύγη συνδετήριων ράβδων, δηλαδή τέσσερις ράβδους, με mν κάθε τομή. 'Ετσι είναι προφανές ότι υπάρχει ένα κοινό ζεύγος συνδετήριων ράβδων που κόβονται και από τις δύο τομές (Σχ. 9).
Στην συνέχεια και αφού εφαρμόσουμε κατάλληλα τις εξισώσεις ισορροπίας, επιλύουμε το σύστημα που προκύπτει ως προς τις τάσεις των κοινών συνδετήριων ράβδων. Συγκεκριμένα, ενώ με τις δύο τομές προκύπτούν αρχικά 8 άγνωστες τάσεις, παρατηρούμε ότι οι 2 είναι κοινές. Εφαρμόζοντας έτσι τις 3 εξισώσεις στατικής ισορροπίας για κάθε τμήμα χωριστά, μπορούμε να υπολογίσουμε τις 6 άγνωστες τάσεις.
Στη μέθοδο Ritterεπαληθεύουμε συνήθως παίρνοντας ισορροπία ροπών ως προς σημεϊο, που βρίσκεται εκτός του τμήματος που εξετάσαμε. Είναι δε πιθανόν σ ένα όχι πολύ σύνθετο δικτύωμα, μετά από την πραγματοποίηση μίας τομής Ritterνα μπορούμε να συνεχίσουμε μετη μέθοδο των κόμβων.
ι
17 Μέθοδος διπλής τομής Rίtter
Σχ. 9
1.7.ΜΕΘΟΔΟΣ BOW–CREMONA
Η μέθοδος αυτή είναι γραφική και βασίζεται στην αρχή ότι σε κάθε σύστημα δυνάμεων που ισορροπεί, πρέπει το δυναμοπολύγωνο να είναι κλειστό.
Στην εφαρμογή της μεθόδου αυτής ακολουθούμε τα εξής στάδια:
i. Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. του δικτυώματος. Προσδιορίζουμε τις αντιδράσεις στήριξης. Εν συνεχεία χωρίζουμε το επίπεδο του δικτυώματος σε περιοχές. Κάθε περιοχή στην οποία χωρίζεται ο εξωτερικός χώρος του δικτυώματος έχει σαν όριο το φορέα δύο εξωτερικών δυνάμεων, ενώ κάθε περιοχή στην οποία χωρίζεται ο εσωτερικός χώρος έχει σαν όριο της ράβδούς του. Ονομάζουμε τις περιοχές αυτές με μικρά γράμματα του αλφαβήτου και επιλέγουμε μία φορά διαγραφής, συνήθως την ωρολογιακή. Κάθε ράβδο θα την συμβολίζουμε με τα γράμματα των περιοχών, ανάμεσα στις οποίες βρίσκεται.
ii. Θεωρούμε έναν κόμβο στον οποίο να έχουμε το πολύ δύο αγνώστους.
Εκλέγουμε κάποια κλίμακα και σχεδιάζουμε διαδοχικά τα διανύσματα των γνωστών δυνάμεων που ασκούνται στον κόμβο. Για το συμβολισμό της αρχής και του πέρατος μίας δύναμης ακολουθούμε τον εξής κανόνα:
Κινούμενοι ωρολογιακά περί τον κόμβο, συμβολίζουμε την αρχή του διανύσματος της δύναμης με το γράμμα της περιοχής που συναντάμε πριν περάσούμε το φορέα της δύναμης.
Το πέρας της δύναμης το συμβολίζουμε με το γράμμα της περιοχής που συναντάμε, αφού περάσουμε το φορέα της. Εφόσον στον κόμβο έχουμε 2 ράβδους αγνώστων τάσεων, το δυναμοπολύγωνο αυτού θα έχει μόνον ένα άγνωστο σημείο, που προσδιορίζεται αν από τα γνωστά σημεία και ανάλογα το συμβολισμό των ζητούμενων τάσεων, φέρουμε παράλληλες προς τις 2αυτές ράβδους.
18 'Ετσι κατασκευάζεται το δυναμοπολύγωνο του κόμβου, από το οποίο προσδιορίζονται τα μέτρα των τάσεων των ράβδων αφού μετρηθούν με την κλίμακα.
Αναφορικά τέλος με το αν μία τάση είναι θετική ή αρνητική, αν το διάνυσμα που την αντιπροσωπεύει δίνει κατεύθυνση που απομακρύνεται από τον κόμβο, της τάση της ράβδου είναι εφελκυστική, αλλιώς είναι θλιπτική.
iii. Προχωρούμε από κόμβο σε κόμβο, σύμφωνα με την παραπάνω μεθοδολογία, μέχρι που να φθάσουμε στον προτελευταίο κόμβο, όπου έχουμε μόνο μία ράβδο άγνωστης τάσης. 'Ετσι στο αντίστοιχο δυναμοπολύγωνο του κόμβου αυτού, όλα τα σημεία είναι καθορισμένα και για να σχηματιστεί το κλειστό δυναμοπολύγωνολείπει μόνο μία ευθεία, την οποία και παίρνουμε. Αν η ευθεία αυτή είναι παράλληλη προς τη ράβδο άγνωστης τάσης που έχουμε, τότε το δυναμοδιάγραμμα που κατασκευάσαμε "κλείνει'', δηλαδή η κατασκευή μας είναι ακριβής και έτσι γίνεται ο έλεγχος των αποτελεσμάτων μας.
Παρατήρηση: Στη μέθοδο Bow- Cremona πρέπει να είναι πάντα μονοσήμαντος ο διαχωρισμός του δικτυώματος σε περιοχές.
Μονοσήμαντο διαχωρισμό δεν μπορούμε να έχουμε:
α') 'Οταν οι εξωτερικές δυνάμεις δρουν σε εσωτερικούς κόμβους του δικτυώματος και
β') 'Οταν οι ράβδοι του δικτυώματος διασταυρώνονται (χωρίς κόμβο).
(a) (b) Σήμανση δικτυώματος για τη μεθοδοBow-cremona Σχ.10
19
1.8.ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΗΤΡΩΩΝ
Είναι και αυτή μία υπολογιστική μέθοδος, αποτελεί δε παραλλαγή της μεθόδου των κόμβων. Εξετάζουμε έναν προς έναν όλους τους κόμβους του δικτυώματος, ενώ στο τέλος μένει ένας κόμβος και μία εξίσωση από προηγούμενο για γενική επαλήθευση (εφόσον έχουμε υπολογίσει τις αντιδράσεις).
Στη συγκεκριμένη μέθοδο, η ισορροπία κάθε κόμβου εκφράζεται μέσω μιας εξίσωσης πινάκων.
Συγκεκριμένα, ένας πίνακας-στήλη που περιέχει τις τάσεις των ράβδων που συντρέχουν στον κόμβο, πολλαπλασιάζεται με έναν πίνακα 2 γραμμών που έχει για στοιχεία του τα συνημίτονα και ημίτονα των γωνιών που σχηματίζουν τα διανύσματα των τάσεων με το θετικό ημιάξονα Οχ.
Στον πίνακα-γινόμενο προστίθεται ένας πίνακας δύο γραμμών που περιέχει τις συνιστώσες των εξωτερικών δυνάμεων που άρουν στον κόμβο κατά τον άξονα χ και κατά τον άξονα y. Το άθροισμα των δύο πινάκων εξισώνεται με ένα μηδενικό πίνακα.
Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία σε όλους τους κόμβους, λύνουμε το σύστημα.
20
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΕ ΖΕΥΚΤΟ ΣΤΕΓΗΣ
Σε αυτό το κεφάλαιο θα επιλύσουμε το δικτύωμα με την μέθοδο των κόμβων με 5 διαφορετικές κλίσεις στο φορτίο W.
2.1. Το δικτύωμα μας
Σχ.11
Το δικτύωμα μας αποτελείται από 13 ράβδους και στηρίζεται σε μια
άρθρωση και μια κύλιση όπως φαίνεται στο Σχ.11.Εχει 8 κόμβους και
είναι ισοστατικό αφού ισχύει η σχέση ρ=2Κ-3 δηλαδή 13=2*8-3.Στον
κόμβο Δ δέχεται ένα εξωτερικό φορτίο σε ένα φάσμα 90 μοιρών.
21
2.2ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ
Σε αυτό το κεφάλαιο θα γίνει επίλυση του δικτυώματος με τη μέθοδο των κόμβων για 5 διαφορετικές κλίσεις του φορτίου W.Μετά τους υπολογισμούς θα προκύψουν 5 πίνακες που θα φαίνονται οι τιμές των τάσεων για κάθε ράβδο και το είδος φόρτισης που δέχονται.
Οι τιμές της γωνίας Θ θα είναι για 0 μοίρες για 30,45,60 και τέλος για
κάθετο φορτίο 90 μοίρες.
22
23
Κόμβος Α
0 2 1*cos 30 0 2 1* 3 0 1 2
1 1
0 1*sin 30 0 1* 0 * 1 1
4 2 2 4 2
3 3 3
1 2 1 2 * 2
2 2 2 4
Fx s s s s
w W W
Fy Ay s s s s
s s s W s W
Kόμβος Θ
0 4 2 0 4 2 4 3
4
0 3 0
Fx s s s s s W
Fy s
24
Kόμβος Β
0 5* cos 30 6 * cos 30 s1* cos 30 0 s 5* 3
2
Fx s s
3
6 * 2
s 3
1* 2
s 5 6
2 0 6 *sin 30 5*sin 30 3
s s W
Fy s s s
1*sin 30 0
6 1 2
s s
1
5 2
s 1
1 2
s 5 6
2 5
s s W
s
6 2
5 s W s
6
2
2 6 6
2
5 6 5
2 2
s W
s W s W
W W
s s s
2
W s 5 0
25
Κόμβος Γ
0 8*cos 30 6*cos 30 0 s 8* 3
Fx s s 2
3
6 * 2
s 8
2
1 1
0 8*sin 30 7 6*sin 30 7 8 6
2 2
1 1
7 * * 7
2 2 2 2 2
s W
Fy s s s s s s
W W W
s s
Κόμβος Η
0 10 9 * cos 30 5* cos 30
Fx s s s
4 0
3 3 3
10 9 * 4 10 9 1
2 2 4
0 9 *sin 30 7 5* cos 30 s
s s s s s W
Fy s s s
9 1 7
2
9 1 9
2 2
3 3 3 3
1 10 10
4 2 4
s s
s W s W
s W W s W
26
Κόμβος Ζ
0 12 10 0 12 10 12 3 3
4
0 11 0
Fx s s s s s W
Fy s
Κόμβος Δ
0 13* cos 30 s 8* cos 30 s 9 * cos 30 0 s13* 3
2
Fx s
3
8* 2
s 3
9 * 2
s 3
13 13
2 2
0 13*sin 30 11
W W
s W s
Fy W s s
9 *sin 30 8*sin 30 0
3 1 1 1
( ) 0
2 2 2 2 2
3 0 0 0
4 2 4
s s
W W
W W
W W W
W
27
Κόμβος Ε
3 3 3 3
0 12 13cos 30 0 * 0 0 0
4 2 2
3 3 1
0 13*sin 30 0 * 0 0 0
4 2 2
Fx s s W W
Fy Ey s W W OK
28
ΠΙΝΑΚΑΣ 1
α/α Ράβδος(ταση) Φόρτιο Καταπόνηση
1 S1
2
W
Θλίψη
2 S2
34 W
Εφελκυσμός
3 S3 0 -
4 S4
34 W
Εφελκυσμός
5 S5 0 -
6 S6
2
W
Θλίψη
7 S7
2
W
Εφελκυσμός
8 S8
2
W
Θλίψη
9 S9
WΘλίψη
10 S10
3 34 W
Εφελκυσμός
11 S11 0 -
12 S12
3 34 W
Εφελκυσμός
13 S13
32W
Θλίψη
29
Φορτίο W με γωνία 60 μοίρες
* cos 60 1 2
*sin 60 3
2
3 3
30 4 3 4 12
Wx W W
Wy W W
L L
L
30
Αντιδράσεις στήριξης
0 0 1
2
0 0 3 1
2
3 3
0 0
4 12
Fx Ax Wx Ax Wx Ax W
Fy Ay Ey Wy Ax Ey Wy Ay Ey W
Wy L Wx L EyL Ey L
3 3
2 W 4 L
1 3
2 W 12 L
3 3
3 3 3 3
1 2 2 3 6
Ey W
Ay W Ey Ay W W Ay W
Κόμβος Α
3 1
0 2 1* cos 30 0 2 1 1
2 2
3 1 1 3
0 1*sin 30 0 1 0 1
6 2 2 6
1 3
3
1 3 1 3 3
1 2 1 2 2 0
2 2 2 3 2
Fx s Ax s s s W
Fy Ay s W s s W
s W
s W s s W W s
31
Κόμβος Θ
0 4 2 0 4 2 4 0
0 3 0
Fx s s s s s
Fy s
Κόμβος Β
0 5* cos 30 6 * cos 30 1* cos 30 0 5 3
2
Fx s s s
s
3
6 2
s 3
1 2
s 3
5 6
3 0 6 *sin 30 5*sin 30 3
s s W
Fy s s s
1*sin 30 0
61 2
s s
51 s 2
1
12
s 3
5 6
s s 3 W
5
s 3
6 3
5
s W
s
6 3
3
2 3 3
2 6 6
3 3
3 3 3
5 6 5 0
3 3 3
s W
s W s W
s W s W W s
32
Κόμβος Γ
0 8* cos 30 6 * cos 30 0 8 3
Fx s s s 2
3
6 2
s 3
8 3
1 1
0 8*sin 30 7 6 *sin 30 0 7 8 6
2 2
3 1 3 1 3
7 7
3 2 3 2 3
s W
Fy s s s s s s
s W W s W
Κόμβος Η
0 10 9 * cos 30 5* cos 30
Fx s s s
s 4 0 10 9 3 0 1
2 0 9 *sin 30 7 5*sin 30
s s
Fy s s s
0 9 1 7
2
1 3 2 3
9 9
2 3 3
3 2 3 3
1 10 9 10 10
2 3 2
s s
s W s W
s s s W s W
33
Κόμβος Ζ
0 12 10 0 12 10 12
0 11 0
Fx s s s s s W
Fy s
Κόμβος Δ
0 13*cos 30 s8*cos 30 s 9*cos 30 0
3 3 3 3 1 3 3 2 3 3
s13 8 9 s13
2 2 2 2 2 3 2 3 2
3 2 3
13 13
2 3
Fx Wx s
Wx s s W W W
s W s W
0 13*sin 30 11
Fy Wy s s
9*sin 30 8*sin 30 0
3 2 3 1 2 3 1 3 1
2 3 2 3 2 3 2 0
3 2 3 2 3 3
0 0 0
2 6 6 6
s s
W W W W
W W W W
34
Κόμβος Ε
2 3 3
0 12 13*cos 30 0 0 0 0
3 2
3 2 3 1
0 13*sin 30 0 0 0 0
3 3 2
Fx s s W W
Fy Ey s W W OK
35
ΠΙΝΑΚΑΣ 2
α/α Ράβδος(ταση) Φόρτιο Καταπόνηση
1 S1
33 W
Θλίψη
2 S2 0 Εφελκυσμός
3 S3 0 -
4 S4 0 -
5 S5 0 -
6 S6
33 W
Θλίψη
7 S7
33 W
Εφελκυσμός
8 S8
33 W
Θλίψη
9 S9
2 33 W
Θλίψη
10 S10 W Εφελκυσμός
11 S11 0 -
12 S12 W Εφελκυσμός
13 S13
2 33 W
Θλίψη
36
Φορτίο W με γωνία 45 μοίρες
*cos 45 *sin 45 2 2
3 3
30 *
4 3 4 12
Wx Wy W W W
L L
L
Aντιδράσεις στήριξης
0 0 2
2
0 0 2 1
2
3 3
0 * * * 0
4 12
*
Fx Ax Wx Ax Wx Ax W
Fy Ay Ey Wy Ay Ey Wy Ay Ey W
Wy L Wx L Ey L
Ey L
2 3
2 W * * 4 L
2 3
* *
2 W 12 L
9 2 6
24
2 2 9 2 6 3 2 6
1 2 2 24 24
Ey W
Ay W Ey Ay W W Ay W
37
Κόμβος Α
3 2
0 2 1* cos 30 0 2 1 1
2 2
3 2 6 1
0 1*sin 30 0 1* 0
24 2
1 3 2 6 3 2 6
1 1
2 24 12
2 3 2 3 2 6 3
1 2 1 2 *
2 2 2 12 2
3 2 6
2 8
Fx s Ax s s s W
Fy Ay s W s
s W s W
s W s s W W
s W
Κόμβος Θ
3 2 6
0 4 2 0 4 2 4
8
0 3 0
Fx s s s s s W
Fy s
38
Κόμβος Β
0 5* cos 30 6 * cos 30 1* cos 30 0 5* 3
2
Fx s s s
s
3
6 * 2
s3
1* 2
s3 2 6
5 6
12 0 6 *sin 30 5*sin 30 3
s s
Fy s s s
1*sin 30 0
6 1 2
s s
5 1
s2
1
1 2
s
3 2 6 5 6
12 3 2 6
5 6
12 3 2 6 5 6
12
3 2 6 3 2 6
2 6 6
6 12
3 2 6 3 2 6
5 6 5
12 12
s s W
s s W
s s W
s W S W
s W s s W
3 2 6
12
W
s5 0
39
Κόμβος Γ
0 8* cos 30 6 * cos 30 0 s 8 3
Fx s s 2
3
6 2 s 3 2 6
8 12
1 1
0 8*sin 30 7 6 *sin 30 0 7 8 6
2 2
3 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6
7 7
12 2 12 2 12
s W
Fy s s s s s s
s W W s W
Κόμβος Η
0 10 9 * cos 30 5* cos 30
Fx s s s
4 0 10 9 3 3 2 6
12 8
0 9 *sin 30 7 5*sin 30
s s s W
Fy s s s
1 1 3 2 6
0 9 7 9
2 2 12
3 2 6
9 6
3 2 6 3 2 6 3 3 6 2
1 10 10
8 6 2 8
s s s W
s W
s W W s W
40
Κόμβος Ζ
3 6 2
0 12 10 0 12 10 12
8
0 11 0
Fx s s s s s W
Fy s
Κόμβος Δ
0 13* cos 30 8* cos 30 9 * cos 30 0
3 3 3 3 2 3 2 6 3 3 2 6 3
13 8 9 13
2 2 2 2 2 12 2 6 2
3 3 6 2 9 2 6
13 13
2 8 12
0 13*sin 30 11
Fx Wx s s s
s Wx s s s W W W
s W s W
Fy Wy s s
9 *sin 30 8*sin 30 0
2 9 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6 1
2 12 2 6 2 12 2 0
2 9 2 6 3 2 6 3 2 6
0 0 0
2 24 12 24
s s
W W W
W W W W
41
Κόμβος Ε
3 6 2 9 2 6 3
0 12 13* cos 30 0 0
8 12 2
0 0
9 2 6 9 2 6 1
0 13*sin 30 0 0
24 12 2
Fx s s W W
Fy Ey s W W
o o OK
42
ΠΙΝΑΚΑΣ 3
α/α Ράβδος(τάση) Φορτίο Kαταπόνηση
1 S1
3 2 612 W
Θλίψη
2 S2
3 2 68 W
Θλίψη
3 S3 0 -
4 S4
3 2 68 W
Θλίψη
5 S5 0 -
6 S6
3 2 612 W
Θλίψη
7 S7
3 2 612 W
Εφελκυσμός
8 S8
3 2 612 W
Θλίψη
9 S9
3 2 66 W
Θλίψη
10 S10
3 6 28 W
Εφελκυσμός
11 S11 0 -
12 S12
3 6 28 W
Εφελκυσμός
13 S13
9 2 612 W
Θλίψη
43
φορτίο W με γωνία 30 μοίρες
* cos 30 3 2
*sin 30 1 2
3 3
30 4 3 4 12
Wx W W
Wy W W
L L
L
Αντιδράσεις στήριξης
0 0 3
2
0 0 1 1
2
3 3
0 * * * 0
4 12
*
Fx Ax Wx Ax Wx Ax W
Fy Ay Ey Wy Ay Ey Wy Ay Ey W
Wy L Wx L Ey L Ey L
1 3 2
W4
L 3 3
2
W12
L
1 4
1 1 1 1
1 2 2 4 4
Ey W
Ay W Ey Ay W W Ay W
44
Κόμβος Α
3 3
0 2 1* cos 30 0 2 1 1
2 2
1 1 1 1
0 1*sin 30 0 1 0 1
4 2 2 4
1 1 2
3 3 3 1 3 3
1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 4
Fx s Ax s s s W
Fy Ay s W s s W
s W
s W s s W W s W
Κόμβος Θ
0 4 2 0 4 2 4 3
4
0 3 0
Fx s s s s s W
Fy s
45
Κόμβος Β
0 5* cos 30 6 * cos 30 1* cos 30 0 5 3
2
Fx s s s
s
3
6 2
s 3
1 2
s 1
5 6 2 0 6 *sin 30 5*sin 30 3
s s W
Fy s s s
1*sin 30 0
6 1 2
s s
1
5 2
s 1
1 2
s 1
5 6 2 5
s s W
s
6 1
2 5
s W
s
6 1
2
2 6 6 1
2
1 1
5 6 5
4 2
s W
s W s W
s W s s W
1
5 0
2 W s
46
Κόμβος Γ
0 8*cos 30 6*cos 30 0 8 3
Fx s s s
2