T.E.I. ANATOΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ & ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΚΑΙ Φ.Α.–
ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΘΕΜΑ: Δυναμική ανάλυση ταλαντώσεων οχημάτων και αποσβέσεων αυτών
ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ: ΚΩΝ/ΝΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ Α.Ε.Μ. 4903 ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Α.Ε.Μ. 4912
ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΙΩΑΝΝΗΣ Θ. ΑΡΑΜΠΑΤΖΗΣ
ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2014
Περιεχόμενα.
Περιεχόμενα...1
Πρόλογος...2
1.Εισαγωγή....3
2.Δόνηση και εφαρμοσμένες ταλαντώσεις. ...3
3.Στοιχεία μηχανικών δονήσεων και ταλαντώσεων. ...4
4.Δόνηση...8
4.1.Τύποιδονήσεων...8
4.2.Δοκιμήδόνησης...9
4.3.Ανάλυσηδόνησης...9
4.4.Γενίκευση σε Συστήματα Πολλών Βαθμών Ελευθερίας...9
4.5.Ελεύθερη ταλάντωση συστήματος δίχως απόσβεση. ... 10
4.6.Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Συστήματος χωρίς Απόσβεση... 12
4.6.1. Μέθοδος Ανάλυσης Ιδιομορφών ...12
4.7.Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Συστήματος με Απόσβεση ... ... 14
4.8.Τι προκαλεί το σύστημα να δονείται: Από άποψης της αρχής διατήρησης της ενέργειας……….15
4.9.Τι προκαλεί το συντονισμό;...16
5.Δονήσεις οχημάτων....17
5.1.Η Μέθοδος Lagrange ………..……… 17
5.2.Παραδείγματα... 17
5.2.1.Παράδειγμα 1: Χαρακτηριστικά των ελεύθερων συστημάτων. ...17
5.2.2.Παράδειγμα 2: Η σημασία των ελεύθερων συστημάτων...17
5.3.Περίληψη. ... 18
5.4.Πότε έχουμε πρόβλημα δόνησης; ... 18
5.5.Από πού προέρχονται οι δονήσεις σε ένα όχημα;...19
5.5.1.Τι προκαλεί ένα αυτοκίνητο να δονείται σε κατάσταση αναμονής;20
6.Επιδράσεις των δονήσεων στην υγεία. ...216.1.Επαγγελματικές ασθένειες που οφείλονται στις δονήσεις από χρήση οχημάτων……….21
6.1.1.Οριακές τιμές σε έκθεση δόνησης. ...21
6.2 Μέτρα πρόληψης και αντιμετώπισης. ...22
7.Οι αναρτήσεις γενικά ………..………25
7.1 Άκαμπτος άξονας. ………..……..25
7.2 Ημιάκαμπτος άξονας (τύπου «γέφυρας») ………..25
7.3 Ελατήρια ………..25
7.3.1 Ημιελλειπτικά ελατήρια ……….26
7.3.2 Ελικοειδή ελατήρια ………..26
7.4 Στρεπτική ράβδος ………..27
7.5 Αντιστρεπτική ράβδος ………..……….27
7.6 Τύποι αναρτήσεων ………..29
7.6.1 Ανάρτηση με γόνατα Μακ-Φέρσον («Mac-Pherson») ………..29
7.6.2 Ανάρτηση με διπλά ψαλίδια ………30
7.6.3 Υστερούντες και ημιυστερούντες βραχίονες ………..31
8. Αναρτήσεις πίσω τροχών………...35
8.1 Άκαμπτοι – ημιάκαμπτοι άξονες ………35
8.1.1 Άξονας Ντε-Ντιόν ………35
8.1.2 Ημιάκαμπτοι άξονες ……….36
8.2 Ημιυστερούντες βραχίονες ……….37
8.3 Οι γεννήτριες θέσης και όδευσης ………..38
8.4 Ανάρτηση πολλαπλών συνδέσμων («Multi-link suspension») ………..41
9.Γεωμετρία ανάρτησης ……….44
9.1 Κέντρα περιστροφής ………44
9.2 Τα Κ.Π. σε διάφορους τύπους αναρτήσεων ………46
10.Ενεργητικές αναρτήσεις ………..………..53
10.1 Ηλεκτρονικά ελεγχόμενες αναρτήσεις ……….53
11. Αποσβεστήρες κραδασμών ή μειωτήρες ταλαντώσεων (αμορτισέρ) ……..……55
11.1 Αποσβεστήρας ταλαντώσεων (Αμορτισέρ) ………..………56
11.1.1 Υδραυλικός τηλεσκοπικός αποσβεστήρας ………56
12. Υδραυλικός αποσβεστήρας ………..……….58
13. Ρυθμιζόμενα αμορτισέρ ………..…….61
14. Μαγνητοροϊκά αμορτισέρ ………..………61
15. Σινεμπλόκ («Silent block») ………..61
16. Ώθηση και αντίδραση ……….62
16.1 Ο κεντρικός σωλήνας ωθήσεως ………..62
16.2 Το τρίγωνο ωθήσεως ………..………63
16.3 Οι βραχίονες συγκράτησης ……….63
Βιβλιογραφία ………..………….64
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Η παρούσα εργασία σκοπό έχει να δώσει στον αναγνώστη τη γνώση εκείνη σχετικά με τις δονήσεις ενός οχήματος, τις χρησιμοποιούμενες σήμερα αναρτήσεις και τους αποσβεστήρες (αμορτισέρ) για τις αποσβέσεις αυτών. Παράλληλα δίνει μια ξεκάθαρη εικόνα της δόνησης και των αιτιών που τη προκαλεί τόσο σε ένα όχημα όσο και στον υπόλοιπο υλικό κόσμο. Απλουστευμένα παραδείγματα επεξηγούνται με σκοπό να προσδοθεί στην εργασία αυτή το α ν ά λ ο γ ο επιστημονικό υπόβαθρο.
Τ ο π ρ ώ τ ο μ έ ρ ο ς αποτελείται από έξι (6) παραγράφους με τις υποενότητες αυτών.
Αναφορικά, στη πρώτη παράγραφο γίνεται μια μικρή εισαγωγή, στη δεύτερη αναφέρονται η δόνηση και εφαρμοσμένες δονήσεις, στη τρίτη αναφέρονται μερικά στοιχεία μηχανικών δονήσεων και ταλαντώσεων, στη τέταρτη (παρ. 4) γίνεται μια εκτενής αναφορά στη δόνηση όπου συμπεριλαμβάνονται εννέα υποενότητες όπως: α) τύποι δονήσεων, β) δοκιμή δόνησης, γ) ανάλυση δόνησης, δ) ελεύθερη ταλάντωση συστήματος δίχως απόσβεση κ.ο.κ. Στη παράγραφο πέντε γίνεται αναφορά στις δονήσεις οχημάτων (καθώς είναι και το θέμα της εργασίας αυτής) και τέλος, στην έκτη και τελευταία παράγραφο αναφέρονται οι επιδράσεις στην υγεία του ανθρώπου καθώς και τα μέτρα πρόληψης και καταπολέμησης της δόνησης.
Στο δεύτερο μέρος αναφέρονται οι χρησιμοποιούμενες αναρτήσεις των οχημάτων, ενώ στο τελευταίο μέρος γίνεται λόγος και παρουσιάζονται όλοι οι τύποι αποσβεστήρων ταλαντώσεων (αμορτισέρ).
Στο σημείο αυτό επιθυμία μας είναι να απευθύνουμε τις πιο θερμές μας ευχαριστίες στον καθηγητή μας κ. Ιωάννη Αραμπατζή για την αμέριστο συμπαράσταση και βοήθεια, τις πολύτιμες συμβουλές του και την άριστη καθοδήγηση και διόρθωση της εργασίας μας.
Κων/νος Κωνσταντινίδης
Απόστολος Παπαδόπουλος
1. Εισαγωγή.
Τα πάντα στο σύμπαν βρίσκονται σε μία συνεχή κατάσταση δόνησης. Τα πάντα είτε είναι στερεά, υγρά ή αέρια είναι δημιουργημένα από ενέργεια και όλες οι μορφές της ενέργειας συνεχώς κινούνται και δονούνται. Ένας βράχος, ένας άνθρωπος ή ένα αυτοκίνητο μπορεί να φαίνεται ότι είναι ακίνητο, αλλά στην πραγματικότητα δονείται αργά στο υπο ‐ ατομικό επίπεδο.
Άλλες μορφές ενέργειας όπως η θερμότητα, το φώς και ο ήχος επίσης δονούνται, αλλά πολύ γρηγορότερα από αντικείμενα που "εμφανίζονται" ως στερεά.
Άς ξεκινήσουμε λοιπόν, με κάποιες βασικές απλές ερωτήσεις, οι οποίες θα μας δώσουν να καταλάβουμε την έννοια της δόνησης καθώς και μερικά άλλα στοιχεία απαραίτητα για την εμπέδωση του φαινομένου της δόνησης.
o
Τι είναι δονήσεις: είναι μηχανικές ταλαντώσεις που μεταφέρονται μέσω στερεώνσωμάτων.
o
Βασικά χαρακτηριστικά δονήσεων: μετατόπιση, συχνότητα (Hz), ταχύτητα,επιτάχυνση, κατεύθυνση κίνησης (άξονες Χ,Υ,Z).
o
Μονάδα μέτρησης: επιτάχυνση (m/s2).2. Δόνηση και εφαρμοσμένες ταλαντώσεις.
Η δόνηση είναι ένα σημαντικό φαινόμενο στη δυναμική των οχημάτων, το οποίο όμως μάλιστα μπορεί να αποφευχθεί. Σε αυτή τη παράγραφο, θα αναφερθούν οι βασικές αρχές των δονήσεων και των ταλαντώσεων, οι εφαρμογές τους καθώς και κάποιες αναλυτικές μέθοδοι (παραδειγματικά δίχως περεταίρω ανάλυση, καθώς δεν είναι σκοπός αυτής της αναφοράς).
Εικόνα 2.1: Μοντέλο ταλάντωσης αυτοκινήτου
3. Στοιχεία μηχανικών δονήσεων και ταλαντώσεων.
Μία μηχανική δόνηση είναι το αποτέλεσμα της συνεχούς μετατροπής της κινητικής ενέργειας K σε δυναμική V, και αντίστροφα. Όταν η δυναμική ενέργεια βρίσκεται στη μέγιστη τιμή της, η κινητική ενέργεια είναι μηδέν, και αντίστροφα. Επειδή η περιοδική διακύμανση της κινητικής ενέργειας εμφανίζεται ως περιοδική κίνηση ενός σώματος (μάζας), καλείται ως μετασχηματισμός μηχανικής ταλάντωσης.
Εικόνα 3.1.: Μάζα m, ελατήριο k, and αποσβεστήρας c.
Το στοιχείο εκείνο που αποθηκεύει τη κινητική ενέργεια ονομάζεται μάζα (mass) και το στοιχείο εκείνο που αποθηκεύει τη δυναμική ενέργεια καλείται ελατήριο (spring). Εάν η συνολική τιμή της μηχανικής ενέργειας E = K + V ελαττώνεται κατά τη διάρκεια μιας δόνησης, υπάρχει ένα μηχανικό στοιχείο το οποίο διασκορπίζει την ενέργεια. Το στοιχείο αυτό ονομάζεται αποσβεστήρας. Μια μάζα, ένα ελατήριο και ένας αποσβεστήρας απεικονίζονται στην εικόνα 3.1.
Το ποσό της αποθηκευμένης κινητικής ενέργειας σε μία μάζα m είναι ανάλογο με το τετράγωνο της ταχύτητάς του, U2. Η ταχύτητα U ≡ ẋ μπορεί να είναι μια συνάρτηση θέσης και χρόνου.
( )
Η απαιτούμενη δύναμη fm για τη κίνηση της μάζας m είναι ανάλογη της επιτάχυνσης a ≡ ẋ.
( )
Ένα ελατήριο χαρακτηρίζεται από τη στιβαρότητά του (stiffness) k. Η δύναμη f που απαιτείται για να παραμορφωθεί το ελατήριο είναι ανάλογη της μετατόπισης των άκρων του. Η στιβαρότητα k μπορεί να είναι και εδώ, μια συνάρτηση θέσης και χρόνου.
( ) ( )
Εάν το k είναι σταθερό τότε, το ποσό της αποθηκευμένης δυναμικής ενέργειας είναι ίσο με το έργο που παράχθηκε από τη δύναμη f του ελατηρίου κατά τη μετατόπιση (συσπείρωση ή επιμήκυνση) του ελατηρίου.
∫ ∫ ( )
Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι συνάρτηση της μετατόπισης. Εάν η στιβαρότητα ενός ελατηρίου, k, δεν είναι συνάρτηση της μετατόπισης, τότε το ελατήριο ονομάζεται γραμμικό ελατήριο.
Τότε, Η δυναμική ενέργεια είναι:
( )
Η απόσβεση ενός αποσβεστήρα μετράται από την τιμή της μηχανικής απώλειας ενέργειας σε ένα κύκλο. Αντιστοίχως, η απόσβεση μπορεί να οριστεί από ο ποσό της απαιτούμενης δύναμης, fc, που απαιτείται ώστε να δημιουργηθεί μια ταλάντωση. Εάν η δύναμη fc είναι ανάλογη της σχετικής ταχύτητας στα άκρα του ελατηρίου, πρόκειται για γραμμικό αποσβεστήρα με σταθερή απόσβεση c.
̇ ( ̇ ̇) ( )
Εικόνα 3.2: Τρία ελατήρια συνδεμένα σε σειρά.
Όταν δεν ασκείται καμία εξωτερική δύναμη ή διέγερση σε ένα δονούμενο σύστημα, τότε οποιαδήποτε πιθανή κίνηση του συστήματος καλείται ελεύθερη ταλάντωση. Όταν μια οποιαδήποτε κατάσταση κίνησης ̇ ̈ δεν είναι μηδενική, τότε μόνο το ελεύθερο δονούμενο σύστημα θα ταλαντώνεται (δονείται). Εάν εφαρμόσουμε κάποια εξωτερική δύναμη ή διέγερση σε ένα σύστημα, τότε η πιθανή κίνηση του συστήματος ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση. Υπάρχουν τέσσερα είδη διεγέρσεων που εφαρμόζονται, τα οποία είναι: αρμονικές, περιοδικές, παροδικές και τυχαίες. Οι αρμονικές και παροδικές είναι οι πιο κοινές και οι πιο προβλέψιμες από τις περιοδικές και τυχαίες. Όταν η διέγερση είναι ημιτονοειδής σε συνάρτηση με το χρόνο, τότε ονομάζεται αρμονική διέγερση και όταν η διέγερση εξαφανίζεται μετά από λίγο ή παραμένει σταθερή, τότε ονομάζεται παροδική διέγερση.
Παράδειγμα 3.1 Ελατήρια και αποσβεστήρες συνδεδεμένα σε σειρά.
Τα ελατήρια που είναι συνδεμένα σε σειρά έχουν την ίδια δύναμη, και η προκύπτουσα μετατόπιση είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους μετατοπίσεων. Στην εικόνα 3.2 απεικονίζονται τρία ελατήρια σε σειρά τα οποία είναι συνδεμένα σε μία μηδενική μάζα (massless), από τη μία μεριά, και στο έδαφος από την άλλην.
Η θέση ισορροπίας των ελατηρίων είναι η διάταξη στην εικόνα 3.2(a). Εφαρμόζοντας μια μετατόπιση x όπως φαίνεται στην εικόνα 3.2(b) και έχουμε το ελεύθερο διάγραμμα σώματος, όπως φαίνεται στην εικόνα 3.2(c). Κάθε ελατήριο παράγει δύναμη όπου είναι το μήκος (ή μετατόπιση) που προσδίδεται στο ελατήριο. Η ολική μετατόπιση των ελατηρίων ,x, είναι το συνολικό άθροισμα των μεμονωμένων μετατοπίσεων για το κάθε ελατήριο ξεχωριστά, ∑ i.
∑ ( )
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε, για παράδειγμα, τρία ελατήρια με ένα ίδιας στιβαρότητας το οποίο παράγει την ίδια μετατόπιση keq, και την ίδια δύναμη fk.
( ) Αντικαθιστώντας την (3.8) στην (3.7) έχουμε:
( )
Όπου μας δείχνει το αντίστροφο της αντίστοιχης σκληρότητας των ελατηρίων που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ⁄ , όπου είναι το άθροισμα, ⁄ .
( )
Άς υποθέσουμε ότι η ταχύτητα x δεν έχει επίδραση στη δύναμη f ενός γραμμικού ελατηρίου.
Οι εν σειρά αποσβεστήρες έχουν την ίδια δύναμη, fc, και η προκύπτουσα ταχύτητα x ισούται με το άθροισμα των επιμέρους ταχυτήτων, ∑ . Μπορούμε να αντικαταστήσουμε σε σειρά αποσβεστήρες με έναν ισοδύναμης αποσβεστικής ικανότητας ceqο οποίος προσδίδει την ίδια ταχύτητα x υπό την ίδια δύναμη fc. Για τους τρείς παράλληλους αποσβεστήρες, η ταχύτητα και η συνισταμένη δύναμη
̇ ̇ ̇ ̇ ( ) ̇
̇ ̇
̇ ( ) Μας δείχνει την ισοδύναμη απόσβεση
( )
Άς υποθέσουμε πως η μετατόπιση x δεν έχει επίδραση στη δύναμη f ενός γραμμικού αποσβεστήρα.
Εικόνα 3.4: Τρία ελατήρια συνδεμένα παράλληλα.
Παράδειγμα 3.2 Ελατήρια και αποσβεστήρες συνδεδεμένα παράλληλα.
Ελατήρια που είναι συνδεμένα παράλληλα δίδουν την ίδια μετατόπιση x, με μία προκύπτουσα δύναμη, fk, ίση με το άθροισμα των ελατηρίων ξεχωριστά, ∑ . Στην εικόνα 3.4 απεικονίζονται τρία ελατήρια συνδεμένα παράλληλα τα οποία βρίσκονται ανάμεσα στο έδαφος και σε μία μάζα. Η θέση ισορροπίας των ελατηρίων είναι η διάταξη στην εικόνα 3.4(a). Εφαρμόζοντας μια μετατόπιση x σε όλα τα ελατήρια όπως φαίνεται στην εικόνα 3.4(b) και έχουμε το ελεύθερο διάγραμμα σώματος, όπως φαίνεται στην εικόνα 3.4(c). Κάθε ελατήριο παράγει μια δύναμη −kx αντίθετη της κατεύθυνσης της μετατόπισης.
Η παραγόμενη δύναμη των ελατηρίων είναι:
( )
Μπορούμε να αντικαταστήσουμε, και εδώ, αντί των τριών ελατηρίων ένα ίδιας στιβαρότητας (με τα τρία μαζι), keq το ποίο παράγει την ίδια δύναμη fk υπό την ίδια μετατόπιση.
( )
Επομένως, η συνολική στιβαρότητα είναι ίση με το άθροισμα των ελατηρίων.
( )
Παρομοίως, το ίδιο ισχύει και για τους αποσβεστήρες. Θεωρείστε τρεις παράλληλους αποσβεστήρες, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.5.
Η συνισταμένη δύναμη και απόσβεση θα είναι:
̇ ̇ ̇ ( ) ̇ ( )
̇ ( )
Εικόνα 3.5 Τρείς (3) αποσβεστήρες συνδεδεμένοι παράλληλα.
4. Δόνηση.
Η δόνηση καθ’ αυτού (ή οι δονήσεις) είναι ένα σημαντικό θέμα προς μελέτη στη μηχανολογία. Η ανάπτυξη της βιομηχανίας των οχημάτων, ώθησε τους κατασκευαστές στη περεταίρω έρευνά της, και την έχει καταστήσει ένα σημαντικό θέμα προς μελέτη καθώς και την εύρεση τρόπους αντιμετώπισής της ή και εκμετάλλευσης της σε κάποιες περιπτώσεις. Γεγονός αναμφισβήτητο είναι πως στις ημέρες μας κάθε οικογένεια έχει και τουλάχιστον από ένα όχημα (αυτοκίνητο). Συνεπώς, καθίσταται αναγκαίο να μελετηθεί το φαινόμενο των δονήσεων των οχημάτων και των επιπτώσεων αυτής.
H δόνηση, είναι ένα μηχανικό φαινόμενο, κατά το οποίο εμφανίζονται ταλαντώσεις έως ότου το δονούμενο σώμα έρθει σε κατάσταση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις δύναται να είναι περιοδικές όπως η κίνηση ενός εκκρεμούς, ή τυχαίες όπως η κίνηση ενός τροχού (μετά του ελαστικού του) επάνω σε ένα δρόμο με λακκούβες ή σε ένα χωματόδρομο.
Όπως έχει προαναφερθεί οι δονήσεις είναι ενίοτε επιθυμητές και άλλοτε όχι. Παραδείγματος χάριν η κίνηση του διαπασών, σε όργανα μουσικής1 λ.χ πνευστά και έγχορδα, ή κινητά τηλέφωνα ή στο κώνος ενός μεγαφώνου είναι επιθυμητή η δόνηση, η οποία απαιτείται για τη σωστή λειτουργία των συσκευών που προαναφέρθηκαν νωρίτερα.
Στις περισσότερες των περιπτώσεων η δόνηση είναι ανεπιθύμητη γιατί καταναλώνεται περισσότερη ενέργεια από αυτή που απαιτείται (σε ορισμένα συστήματα) και παράγονται ήχοι και θόρυβοι οι οποίοι δεν πρέπει να υφίστανται. Για παράδειγμα, δεν είναι επιθυμητή κατά τη παλμική κίνηση μηχανών εσωτερικής καύσης (π.χ κινητήρες οχημάτων, αεροσκαφών κ.α), τη περιστροφική κίνηση των ηλεκτροκινητήρων, ή σε οποιαδήποτε μηχανική διάταξη που βρίσκεται σε λειτουργία. Τέτοιου είδους ταλαντώσεις μπορούν να προκληθούν από ανισορροπίες σε περιστρεφόμενα εξαρτήματα, από άνιση τριβή, κατά τη σύμπλεξη οδοντωτών τροχών, κλπ. Για την εξάλειψη ή ελαχιστοποίηση του φαινόμενου αυτού θα πρέπει να γίνεται προσεκτικότερος αρχικός σχεδιασμός των κατασκευών.
Παρομοίως σχετική είναι και η μελέτη της επίδρασης του ήχου. Ουσιαστικά πρόκειται για κύματα πίεσης (pressure waves) τα οποία δημιουργούνται κατά τη παλμική κίνηση τμημάτων των επιμέρους κατασκευών (λ.χ κίνηση μιας χορδής). Ωστόσο αυτά τα κύματα πίεσης μπορούν να προκαλέσουν δονήσεις στις κατασκευές (τέτοιες δονήσεις είναι υπαίτιες και για τη κίνηση του ακουστικού τυμπάνου).
Έτσι, για τη καταπολέμηση του θορύβου ζητείται η μείωση αυτών των δονήσεων που τον προκαλούν.
4.1. Τύποι δονήσεων.
Η ελεύθερη ταλάντωση υφίσταται κατά τη διέγερση μιας μηχανική διάταξης (ή ενός μηχανικού συστήματος) με μία αρχική εφαρμογή κάποιας δύναμης και μετέπειτα να αφεθεί να “δονείται ελεύθερα”. Παραδείγματα αυτού του είδους ταλάντωσης είναι η κίνηση ενός εκκρεμούς ή δόνηση του διαπασών, όπου εφαρμόζεται μια αρχική δύναμη και το σύστημα δονείται λαμβάνοντας τιμές μεγαλύτερες από αυτή της φυσικής συχνότητας του, και μετέπειτα έρχεται σε ηρεμία.
1 Βλέπε παρακάτω, στη τελευταία παράγραφο της ενότητας “Παρομοίως σχετική είναι και η μελέτη της επίδρασης του ήχου….”
Η εξαναγκασμένη δόνηση υφίσταται όταν μια εναλλασσόμενη δύναμη ή κίνηση εφαρμόζεται σε ένα μηχανικό σύστημα. Παραδείγματα αυτού του είδους ταλάντωσης είναι η κίνηση ενός πλυντηρίου ρούχων όπου κατά τη περιστροφή του κάδου πλύσης και κατά τη μη ομοαξονική κατανομή του φορτίου (τα διάφορα ρούχα που βρίσκονται μέσα στο κάδο), δηλ. υφίσταται μια ανισσοροπία στην εφαρμογή του φορτίου, ή επίσης κατά τους κραδασμούς που οφείλονται είτε στο κινητήρα ενός οχήματος είτε στη μη ομαλότητα του δρόμου κτλ, άλλο ένα παράδειγμα είναι και οι δονήσεις σε ένα κτήριο που οφείλονται σε ένα σεισμό.
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα της δόνησης είναι η συχνότητα της εφαρμοζόμενης δύναμης (ή κίνησης), με τη τάξη μεγέθους, της συχνότητας, να εξαρτάται από τη μηχανική διάταξη (ή σύστημα).
4.2. Δοκιμή δόνησης.
Η δοκιμή (μιας διάταξης ή δοκιμίου) σε δόνηση πραγματοποιείται με την εφαρμογή μιας εξαναγκασμένης δύναμης επάνω σε αυτήν, συνήθως με μία συσκευή δόνησης (shaker). Εναλλακτικά, το δοκίμιο τοποθετείται επάνω στο τραπέζι της συσκευής δόνησης. Για εφαρμογή δυνάμεων, σχετικά, μικρών συχνοτήτων, χρησιμοποιούνται σερβοϋδραβλικοί (servohydraulic) ή ηλεκτρουδραυλικοί
(electrohydraulic) δονητές. Για υψηλότερες συχνότητες, χρησιμοποιούνται ηλεκτροδυναμικοί
(electrodynamic) δονητές.
Γενικότερα, ένα ή περισσότερα σημεία ελέγχου (ή απόκρισης) βρίσκονται στη συσκευή συγκράτησης του δοκιμίου. Οι συσκευές αυτές που βρίσκονται στα σημεία ελέγχου ονομάζονται επιταχυνσιόμετρα.
Ενώ περισσότερα σημεία ελέγχου βοηθούν για τις μετρήσεις του ελάχιστου επιπέδου δόνησης (συντονισμού/resonance) ή του μέγιστου. (αντί-συντονισμού/anti-resonance).
Τυπικά υπάρχουν δύο είδη δοκιμών που εκτελούνται, η μία είναι η δοκιμή δόνησης με τυχαία εφαρμογή και η ημιτονοειδές δοκιμή. Η ημιτονοειδής (μία συχνότητα τη φορά) δοκιμασία πραγματοποιείται για διερευνηθεί η δομική ανταπόκριση της υπό δοκιμή διατάξεως (ή δοκιμίου). Κατά τη τυχαία (όλες οι συχνότητες μαζί) η οποία είναι και πιο αντιπροσωπευτική της πραγματικότητας, εφαρμόζονται και προσομοιάζονται καταστάσεις πχ όπως ένα όχημα το οποίο κινείται σε ένα ανώμαλο δρόμο.
Στις περισσότερες δοκιμασίες που διενεργούνται σε δοκίμια, λαμβάνεται υπόψη μόνο ένας άξονας (X,Y,Z) π.χ μόνο στον Χ ή μονο στον Υ ή μόνο στον Ζ, παρόλο που στη πραγματικότητα οι δονήσεις υφίστανται σε περισσότερο από ένα άξονα.
4.3. Ανάλυση δόνησης.
Οι βασικές αρχές της ανάλυσης των δονήσεων μπορούν να γίνουν κατανοητές, μελετώντας ένα απλό μοντέλο μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα. Συγκεκριμένα, ακόμη και μια πιο περίπλοκη δομή, όπως ένα αμάξωμα ενός αυτοκινήτου, μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένα απλουστευμένο "σύνολο", μοντέλου μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα. Το μοντέλο μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα, είναι ένα παράδειγμα μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης.
Να σημειωθεί ότι, σε αυτή την αναφορά θα αναφερθούν οι βασικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται σε μία ανάλυση δόνησης (vibration analysis).
4.4. Γενίκευση σε Συστήματα Πολλών Βαθμών Ελευθερίας
Έστω x t( )Rn το διάνυσμα μετατόπισης ενός συστήματος διακριτών μαζών n βαθμών ελευθερίας.
Για μια μεγάλη κατηγορία μηχανικών συστημάτων, οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης
( )
Mx Cx KxF t (0.1)
όπου MRn n , CRn n και KRn n είναι τα μητρώα μάζας, απόσβεσης και ακαμψίας, αντίστοιχα, και F t( )Rn είναι το διάνυσμα των διεγέρσεων που αν αντιστοιχούν στους βαθμούς
ελευθερίας του συστήματος. Η λύση της (0.1) θα πρέπει να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες για τη μετατόπιση και την ταχύτητα των μαζών στον αρχικό χρόνο t0. Οι αρχικές αυτές συνθήκες δίνονται στην διανυσματική μορφή
0 0x x (0.2)
0 v0x (0.3)
όπου x0Rn και v0Rn είναι γνωστά διανύσματα.
Για μια αρκετά μεγάλη κατηγορία μηχανικών συστημάτων, τα μητρώα μάζας, και ακαμψίας είναι συμμετρικά, δηλαδή ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις συμμετρίας
M MT (0.4)
K KT (0.5)
Επίσης, τα μητρώα μάζας M και ακαμψίας K είναι μη αρνητικά ορισμένα (ή ισοδύναμα ημι-θετικά ορισμένα). Με βάση τον ορισμό, ένα μητρώο ARn n καλείται μη-αρνητικά ορισμένο και συμβολίζεται με A0, όταν για κάθε διάνυσμα yRn με y0 ισχύει ότι y AyT 0. Επίσης, ένα μητρώο A είναι θετικά ορισμένο και συμβολίζεται με A0 όταν ισχύει y AyT 0. Για τα μητρώα μάζας και ακαμψίας, η ιδιότητα αυτή μαθηματικά δηλώνει ότι για κάθε διάνυσμα yRn με y0 ισχύει ότι:
T 0
y My (0.6)
και
T 0
y Ky (0.7)
Για μια μεγάλη κατηγορία γραμμικών μηχανικών συστημάτων τα μητρώα ακαμψίας και μάζας είναι συμμετρικά και ημι-θετικά ορισμένα. Στην κατηγορία αυτή συμπεριλαμβάνονται κατασκευές οι οποίες δεν περιέχουν περιστρεφόμενα μέλη. Για παράδειγμα, η μελέτη των ταλαντώσεων αεροσκάφους, σκάφους οχημάτων, κατασκευών πολιτικού μηχανικού (κτήρια, γέφυρες, θαλάσσιες κατασκευές) οδηγεί σε συμμετρικά και ημι-θετικά ή θετικά ορισμένα μητρώα μάζας και ακαμψίας.
4.5. Ελεύθερη ταλάντωση συστήματος δίχως απόσβεση.
Ελεύθερη ταλάντωση θεωρείται η ταλάντωση η οποία οφείλεται σε μη- μηδενικές αρχικές συνθήκες, ενώ οι διεγέρσεις θεωρούνται μηδενικές. Για μηχανικά συστήματα χωρίς απόσβεση ο όρος Cx της απόσβεσης δεν συνεισφέρει στο σύστημα των εξισώσεων (0.1) Αντικαθιστώντας στην (0.1) το
0
C και F t( )0 προκύπτει το ομογενές σύστημα n γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης
0
MxKx (0.8)
το οποίο περιγράφει την απόκριση του μηχανικού συστήματος σε μη-μηδενικές αρχικές συνθήκες (0.2) και (0.3).
Με βάση την θεωρία γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, η μη-μηδενική λύση του ομογενούς συστήματος (0.8) έχει τη μορφή
ˆ ( ) i t
x t xe (0.9)
όπου xˆ και
είναι σταθερές οι οποίες υπολογίζονται έτσι ώστε η (0.9) να ικανοποιεί το σύστημα (0.8). Αντικαθιστώντας την (0.9) στην (0.8) προκύπτει η εξίσωση για το xˆ και
στην μορφή2 ˆ
(K
M xe) i t 0Επειδή η παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να ισχύει για κάθε τιμή του t, θα πρέπει να ισχύει:
2 ˆ
(K
M x) 0 (0.10)Η εξίσωση (0.10) αποτελεί ιδιοπρόβλημα με το άγνωστο ζευγάρι ( , )
xˆ να είναι η λύση του ιδιοπροβλήματος. Είναι γνωστό ότι το ιδιοπρόβλημα έχει n λύσεις (
1, )xˆ1 , ,(
n,xˆn). Οι τιμές2 2
1, , n
καλούνται ιδιοτιμές, οι
1, ,
n καλούνται ιδιοσυχνότητες ενώ τα αντίστοιχα διανύσματαˆ1, ,ˆn
x x καλούνται ιδιομορφές ή ιδιοδιανύσματα.
Η επίλυση του ιδιοπροβλήματος για την εύρεση των ιδιοσυχνοτήτων και των ιδιομορφών επιτυγχάνεται με βάση γνωστές θεωρίες από τη γραμμική άλγεβρα. Συγκεκριμένα, για να έχει το ομογενές γραμμικό αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων (0.10), με άγνωστες τα στοιχεία του xˆ1, ,xˆn, μη- μηδενική λύση θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων να είναι μηδέν, δηλαδή
det(K
2M)0 (0.11)Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί την χαρακτηριστική εξίσωση για τον προσδιορισμό των ιδιοσυχνοτήτων
1, ,
n. Η εξίσωση αυτή, μετά το ανάπτυγμα της ορίζουσας, δίνει ένα πολυώνυμο βαθμού n ως προς τις άγνωστες ιδιοτιμές
12, ,
n2. Για βαθμό μέχρι και n3, η επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης γίνεται αναλυτικά. Για βαθμό μεγαλύτερο του n3, η επίλυση στις περισσότερες περιπτώσεις γίνεται μόνο αριθμητικά. Αποτελεσματικές αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης έχουν αναπτυχθεί για τον προσδιορισμό των ιδιοσυχνοτήτων αλλά και των ιδιομορφών του ιδιοπροβλήματος (0.10).Η ιδιομορφή xˆr η οποία αντιστοιχεί σε μία ιδιοσυχνότητα2 r προκύπτει από την επίλυση του ομογενούς γραμμικού αλγεβρικού συστήματος (0.10) με r και xˆr να αντικαθιστούν τα
και xˆ, αντίστοιχα. Επειδή η det(K
r2M)0 οι εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες. Επομένως ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων είναι μικρότερος του αριθμού των αγνώστων n στο ιδιοδιάνυσμα xˆr. Έστω mn είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων, τότε τα p n m στοιχεία του xˆr παίρνουν αυθαίρετες τιμές και τα υπόλοιπα m στοιχεία προσδιορίζονται από την επίλυση των m ανεξαρτήτων εξισώσεων συναρτήσει των αυθαίρετων σταθερών.Παράδειγμα: Να βρεθούν οι ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές του μηχανικού συστήματος δύο μαζών για m1m2 m και c1c2 c.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι το σύστημα (0.8) είναι γραμμικό και ότι με βάση την (0.9) οι εκφράσεις ˆr i rt
x e και x eˆr irt, r1, ,n, αποτελούν n λύσεις του συστήματος, η γενική λύση του συστήματος μπορεί να γραφεί ως υπέρθεση των λύσεων x eˆr irt ως εξής
1
ˆ ˆ
( ) r r
n
i t i t
r r r r
r
x t A x e B x e
όπου Ar και Br, r1, ,n, είναι σταθερές οι οποίες προσδιορίζονται έτσι ώστε η λύση (0.9) του συστήματος (0.8) να ικανοποιεί και τις αρχικές συνθήκες (0.2) και (0.3). Ο προσδιορισμός των σταθερών Ar από τις αρχικές συνθήκες αφήνεται για αργότερα όταν θα έχουν αναπτυχθεί κατάλληλες ιδιότητες των ιδιομορφών.
2 Ιδιοσυχνότητα ενός ταλαντωτή ονομάζεται η συχνότητα που πρέπει να ταλαντώνεται ο ταλαντωτής έτσι ώστε να παρουσιάζει την ελάχιστη απόσβεση κατά την εξαναγκασμένη ταλάντωση.
4.6. Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Συστήματος χωρίς Απόσβεση
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης το διάνυσμα της διέγερσης F t( ) είναι μη- μηδενικό. Για μηδενικό μητρώο απόσβεσης, το σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει την ταλάντωση του μηχανικού συστήματος προκύπτει από το (0.1) για C0 στη μορφή
( )
MxKxF t (0.12)
με αρχικές συνθήκες τις x
0 x0 και x
0 v0. Η επίλυση του συστήματος επιτυγχάνεται με τη μέθοδο ανάλυσης ιδιομορφών η οποία περιγράφεται παρακάτω.4.6.1. Μέθοδος Ανάλυσης Ιδιομορφών
Η απόκριση x t
η οποία ικανοποιεί το σύστημα εξισώσεων (0.12) στη χρονική στιγμή t είναι διάνυσμα διάστασης n. Επομένως, με βάση την Πρόταση 3, η απόκριση x t
δέχεται το ανάπτυγμα
1 n
r r
r
x t
t
(0.13)όπου
r( )t , r1, ,n, είναι συντελεστές που εξαρτώνται από την χρονική στιγμή t. Η σχέση (0.13) αποτελεί έναν μετασχηματισμό μεταξύ των φυσικών συντεταγμένων x t
του μηχανικού συστήματος στις συντεταγμένες
r( )t , r1, ,n, οι οποίες καλούνται κύριες συντεταγμένες. Με την μέθοδο ανάλυσης ιδιομορφών προσδιορίζονται και λύνονται οι εξισώσεις για τις κύριες συντεταγμένες
r( )t ,1, ,
r n, και μετά χρησιμοποιείται ο μετασχηματισμός (0.13) για να προσδιορισθούν οι φυσικές συντεταγμένες x t
. Για τον προσδιορισμό των εξισώσεων για τις κύριες συντεταγμένες, εισάγεται το διάνυσμα
1( )
n( ) t t
t
με συνιστώσες τις κύριες συντεταγμένες
r( )t , r1, ,n. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα ιδιομορφών
1 2
n, ο μετασχηματισμός (0.13) μεταξύ των φυσικών και των κύριων συντεταγμένων γράφεται στη μητρωική μορφή:
x t t (0.14)
Παραγωγίζοντας δύο φορές την (0.14), εισάγοντας τον μετασχηματισμό (0.14) για την x t
και τηνδεύτερη παράγωγο x t
t στην (0.12) και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της προκύπτουσας εξίσωσης με T από αριστερά, προκύπτει:
( )T T T
M t K t F t
Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορθογωνικότητας
Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε. και Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε., η εξίσωση απλοποιείται ως εξής:
t
t TF t( ) (0.15)
Η τελευταία εξίσωση αποτελεί το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων για το διάνυσμα των κύριων συντεταγμένων. Η σημαντική διαφορά μεταξύ του συστήματος διαφορικών εξισώσεων για τις φυσικές συντεταγμένες και του συστήματος διαφορικών εξισώσεων για τις κύριες συντεταγμένες είναι ότι το σύστημα (0.15) είναι αποσυζευγμένο. Δηλαδή η r εξίσωση γράφεται στη μορφή:
( ) 2 ( ) T
r t r r t r F t
(0.16)
και εμπεριέχει μόνο την r κύρια συντεταγμένη
r( )t . Οπότε η κάθε εξίσωση στο σύστημα (0.15) λύνεται ανεξάρτητα από τις άλλες. Οι εξισώσεις (0.16) για τις κύριες ή ιδιομορφικές συντεταγμένεςr( )t
, r1, ,n, καλούνται κύριες ή ιδιομορφικές εξισώσεις.Για την επίλυση των εξισώσεων (0.16) για r1, ,n απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες
r(0) καιr(0)
. Οι αρχικές αυτές συνθήκες προκύπτουν εύκολα από τις αρχικές συνθήκες (0.2) και (0.3) για τις φυσικές συντεταγμένες και το ανάπτυγμα (0.13). Συγκεκριμένα, θέτοντας t0 στο ανάπτυγμα και χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη (0.2) προκύπτει η εξίσωση
0
1
0 0
n
r r
r
x x
η οποία δίνει το αρχικό διάνυσμα x0 των μετατοπίσεων ως ένα ανάπτυγμα των ιδιομορφών με συντελεστές τα r
0 , r 1, ,n. Με βάση την Πρόταση 3, οι συντελεστές r
0 δίνονται από τη σχέση
0 T 0r r Mx
(0.17)
Παρομοίως, παραγωγίζοντας την (0.13) μια φορά ως προς τον χρόνο, θέτοντας t0 στο ανάπτυγμα που προκύπτει, και χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη (0.3) προκύπτει η εξίσωση
0
1
v 0 0
n
r r
r
x
η οποία δίνει το αρχικό διάνυσμα v0 των ταχυτήτων ως ένα ανάπτυγμα των ιδιομορφών με συντελεστές τα r
0 , r 1, ,n. Με βάση την Πρόταση 3, οι συντελεστές r
0 δίνονται από τη σχέση
0 T v0r r M
(0.18)
Οι σχέσεις (0.17) και (0.18) αποτελούν τις αρχικές συνθήκες για την επίλυση των βαθμωτών διαφορικών εξισώσεων (0.16).
Παρατήρηση: Η σχέση (0.13) δείχνει ότι η απόκριση μηχανικών συστημάτων n βαθμών ελευθερίας είναι επαλληλία αποκρίσεων από n μονοβάθμιους ταλαντωτές. Συγκεκριμένα, το διάνυσμα της απόκρισης είναι επαλληλία των n ιδιομορφών με τη συμμετοχή κάθε ιδιομορφής σε κάθε χρονική στιγμή να εξαρτάται από την τιμή της κύριας συντεταγμένης
r
t στην αντιστοιχεί χρονική στιγμή. Η κύρια συντεταγμένη
r
t προκύπτει ως απόκριση ταλαντωτή με ιδιοσυχνότητα r και διέγερση
1 n T
r kr k
k
F t F t
, όπου kr δηλώνει την συμμετοχή της k συνιστώσας F tk
του διανύσματος διέγερσης F t
στην συνολική διέγερση της r ιδιομορφικής εξίσωσης. Η r
t r στο ανάπτυγμα (0.13), η οποία εκφράζει την απόκριση του συστήματος λόγω της συνεισφοράς από την r ιδιομορφή, διατηρεί τη μορφή της αλλά όχι το μέγεθος της το οποίο εξαρτάται από την χρονική μεταβολή της κύριας συντεταγμένης
r
t .4.7. Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Συστήματος με Απόσβεση
Στην περίπτωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με απόσβεση, οι όροι απόσβεσης Cx συνεισφέρουν στην συμπεριφορά του συστήματος και επομένως το
σύστημα που περιγράφει την ταλάντωση του μηχανικού συστήματος δίνεται από την εξίσωση (0.1). Υπό προϋποθέσεις που αναφέρονται στο μητρώο απόσβεσης, η επίλυση του συστήματος επιτυγχάνεται επίσης με τη μέθοδο ανάλυσης ιδιομορφών που ήδη αναπτύχθηκε για να περιγράψει την απόκριση συστημάτων χωρίς απόσβεση. Οι προϋποθέσεις αυτές διευκρινίζονται παρακάτω με την εφαρμογή της μεθόδου ανάλυσης των ιδιομορφών για την επίλυση της (0.1).
Θεωρούμε λύση της μορφής (0.13) ή ισοδύναμα (0.14) και
αναπτύσσουμε τις εξισώσεις για τις κύριες συντεταγμένες αντικαθιστώντας τον μετασχηματισμό (0.14) στην (0.1). Εισάγοντας στην (0.1) τον μετασχηματισμό (0.14) για την x t
, την πρώτη παράγωγο
x t t και την δεύτερη παράγωγο x t
t , και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της προκύπτουσας εξίσωσης με T από αριστερά, προκύπτει διαδοχικά:
*
T T T T
I C
M C K F t
M C K F t
Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορθογωνικότητας
Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε. και Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε., η εξίσωση απλοποιείται ως εξής:
* T
C F t
(0.19)
όπου το μητρώο C* δίνεται από τη σχέση:
*
TC C
(0.20)
Στην γενική περίπτωση, το παραπάνω σύστημα γραμμικών διαφορικών για τις κύριες συντεταγμένες είναι συζευγμένο μέσω του μη-διαγώνιου μητρώου C*.
Για την ειδική περίπτωση για την οποία το μητρώο C* είναι διαγώνιο μητρώο το σύστημα των εξισώσεων είναι αποσυζευγμένο. Η περίπτωση αυτή είναι σημαντική και μελετάται με λεπτομέρεια στην συνέχεια. Η σημαντικότητά της προκύπτει από το γεγονός ότι οι μηχανισμοί απόσβεσης στα συστήματα είναι συνήθως άγνωστοι ή δύσκολο να προσομοιωθούν με απλοποιημένα μαθηματικά μοντέλα. Ο γραμμικός όρος της απόσβεσης Cx εισάγεται συνήθως ως απλοποιημένο μαθηματικό μοντέλο για να περιγράψει την απόσβεση που παρατηρείται σε πρακτικές εφαρμογές. Η πλήρη περιγραφή του όρου απαιτεί την επιλογή των στοιχείων του C η οποία γίνεται είτε πειραματικά, αναγνωρίζοντας τα στοιχεία του C, ή αναλυτικά υποθέτοντας κάποιες τιμές για τα στοιχεία αυτά με βάση της εμπειρία από παρόμοια συστήματα. Μια ειδική περίπτωση του παραπάνω μαθηματικού μοντέλου αποτελεί η περιγραφή του μητρώου C συναρτήσει του μητρώου C* μέσω της (0.20) με την επιλογή μηδενικών τιμών για τα μη διαγώνια στοιχεία του C*. Το μαθηματικό αυτό μοντέλο διευκολύνει την ανάλυση αφού το σύστημα εξισώσεων (0.19) που προκύπτει για τις κύριες συντεταγμένες είναι αποσυζευγμένο. Αυτό ελαττώνει τον αριθμό των άγνωστων παραμέτρων, για την περιγραφή του μητρώου απόσβεσης, σε n που απαιτούνται να περιγράψουν το C* αντί για n2 που απαιτούνται να περιγράψουν το C. Το μαθηματικό μοντέλο απόσβεσης θεωρείται ικανοποιητικό με βάση τις μεγάλες αβεβαιότητες που υπεισέρχονται στην περιγραφή του μηχανισμού απόσβεσης και την επιθυμία αντικατάστασή της από γραμμικό όρο απόσβεσης.
Για την περίπτωση που το μητρώο απόσβεσης C διαγωνιοποιείται μέσω του μετασχηματισμού (0.20), το διαγώνιο μητρώο C* γράφεται στη μορφή
*
1 1 1
*
*
0 2 0
0 n 0 2 n n
c C
c
(0.21)
όπου c*r ή, ισοδύναμα,
r c*r /(2
r) είναι τα άγνωστα διαγώνια στοιχεία. Οι παράμετρες r καλούνται συντελεστές απόσβεσης και οι τιμές τους προσδιορίζονται από πειραματικές δυναμικές μετρήσεις.Να σημειωθεί ότι χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, η σχέση (0.20) οδηγεί στην περιγραφή του μητρώου απόσβεσης C ως προς το διαγώνιο μητρώο C*. Συγκεκριμένα, πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (0.20) από αριστερά με M και από δεξιά με MT και
χρησιμοποιώντας την συνθήκη ορθογωνικότητας
Σφάλμα! Το αρχείο προέλευσης της αναφοράς δεν βρέθηκε., εύκολα προκύπτει η σχέση
* T
C MC M (0.22)
Στην περίπτωση που το μητρώο απόσβεσης C διαγωνιοποιείται και περιγράφεται από την (0.21), η r εξίσωση του αποσυζευγμένου συστήματος εξισώσεων (0.19) για τις κύριες συντεταγμένες r
t παίρνει τη μορφή:
2 2 T , 1, ,
r r r r r r r F t r n
(0.23)Η εξίσωση αυτή καλείται ιδιομορφική εξίσωση (modal equation) και είναι γενίκευση της (0.16) για την περίπτωση της μη-μηδενικής απόσβεσης.
Oι κύριες (μορφικές) συντεταγμένες
r( )t , r1, ,n, υπολογίζονται επιλύνοντας την (0.23) και οι φυσικές συντεταγμένες x t( ) από το μετασχηματισμό (0.13). Στην επίλυση απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες
i
0
i
0 οι οποίες προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες για τις φυσικές συντεταγμένες, x
0 x0 x
0 v0. Οι σχέσεις μεταξύ τους είναι οι (0.17) και (0.18) που προκύπτουν μέσω του μετασχηματισμού (0.13), όπως περιγράφηκε στην περίπτωση του συστήματος χωρίς απόσβεση στην προηγούμενη παράγραφο.Παρατήρηση: Συχνά μόνο μερικές από τις μορφικές (κύριες) συντεταγμένες r
t , κυρίως αυτές που αντιστοιχούν στις χαμηλότερες μορφές, απαιτούνται στην (0.13) για να δώσει ακριβή αποτελέσματα, δηλαδή η απόκριση του συστήματος δίνεται από τη σχέση
1
,
m r r r
x t
t ό
m n
(0.24)Οι συνθήκες κάτω από τις οποίες μια ιδιομορφή συνεισφέρει στο ανάπτυγμα μελετώνται σε επόμενο κεφάλαιο. Οι συνθήκες αυτές εξαρτώνται από την χρονική μεταβολή και την χωρική κατανομή των διεγέρσεων, όπως επίσης από τα ιδιο-μορφικά χαρακτηριστικά (ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές) του μηχανικού συστήματος.
4.8. Τι προκαλεί το σύστημα να δονείται: Από άποψης της αρχής διατήρησης της ενέργειας.
Η δόνηση ως πηγή κίνησης θα μπορούσε να γίνει κατανοητή ως προς την αρχή της διατήρησης της ενέργειας. Παραδειγματικά, εάν τραβήξουμε ένα ελατήριο κατά μια τιμή (μήκους) x, τότε έχουμε ταυτόχρονα αποθηκεύσει και δυναμική ενέργεια σε αυτό. Ότ