«Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά»
Διπλωματική Εργασία
«ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ»
«Μαθηματική Λογική και Απόδειξη»
Σταμάτιος Κόνιαρης
Επιβλέπων καθηγητής Α: Βασίλειος Παπαδόπουλος,Καθηγητής Δ.Π.Θ.
Επιβλέπων καθηγητής Β: Ανδρέας Μπούκας,Επιστημονικός συνεργάτης Ε.Μ.Π
Πάτρα, Απρίλιος 2021
Η παρούσα εργασία αποτελεί πνευματική ιδιοκτησία του φοιτητή («συγγραφέας/δημιουργός») που την εκπόνησε. Στο πλαίσιο της πολιτικής ανοικτής πρόσβασης ο συγγραφέας/δημιουργός εκχωρεί στο ΕΑΠ, μη αποκλειστική άδεια χρήσης του δικαιώματος αναπαραγωγής, προσαρμογής, δημόσιου δανεισμού, παρουσίασης στο κοινό και ψηφιακής διάχυσής τους διεθνώς, σε ηλεκτρονική μορφή και σε οποιοδήποτε μέσο, για διδακτικούς και ερευνητικούς σκοπούς, άνευ ανταλλάγματος και για όλο το χρόνο διάρκειας των δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας. Η ανοικτή πρόσβαση στο πλήρες κείμενο για μελέτη και ανάγνωση δεν σημαίνει καθ’ οιονδήποτε τρόπο παραχώρηση δικαιωμάτων διανοητικής ιδιοκτησίας του συγγραφέα/δημιουργού ούτε επιτρέπει την αναπαραγωγή,
αναδημοσίευση, αντιγραφή, αποθήκευση, πώληση, εμπορική χρήση, μετάδοση, διανομή, έκδοση, εκτέλεση, «μεταφόρτωση» (downloading), «ανάρτηση» (uploading), μετάφραση, τροποποίηση με οποιονδήποτε τρόπο, τμηματικά ή περιληπτικά της εργασίας, χωρίς τη ρητή προηγούμενη έγγραφη συναίνεση του συγγραφέα/δημιουργού. Ο συγγραφέας/δημιουργός διατηρεί το σύνολο των ηθικών και περιουσιακών του δικαιωμάτων.
Ευχαριστίες
Για την παρούσα εργασία επιθυμώ να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κύριο Βασίλη Παπαδόπουλο για την σημαντική καθοδήγηση, την υπομονή και για τον χρόνο τον οποίο κατανάλωσε ούτως ώστε να έρθει εις πέρας η διπλωματική αυτή εργασία. Επιπροσθέτως, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσοι με το παράδειγμά τους και την στάση τους εμπνέουν μια δημιουργική πορεία.
«Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου»
Ludwig Wittgenstein
Περίληψη
Ο σκοπός της εκπόνησης της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η εις βάθος μελέτη της μαθηματικής λογικής και της μαθηματικής απόδειξης και η ανάδειξη της σημασίας τους στα μαθηματικά και σε άλλες επιστήμες γενικότερα. Η μελέτη ξεκινά κάνοντας μια ιστορική ανασκόπηση των κυριότερων περιόδων εξέλιξης της
μαθηματικής λογικής και την αναφορά στους μαθηματικούς- φιλοσόφους που συνέδραμαν καταλυτικά στην θεμελίωση και την εξέλιξη των εν λόγω εννοιών, ενώ γίνεται αναφορά στη συσχέτιση μεταξύ των διαφόρων φιλοσοφικών ρευμάτων και της εξέλιξης της μαθηματικής λογικής. Εν συνεχεία περιγράφεται η έννοια της κατηγορικής λογικής και γίνεται μια παράθεση των βασικών ποσοδεικτικών κανόνων συμπεράσματος καθώς και μία περιγραφή των συστημάτων Gentzen. Στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια παρουσίαση της μαθηματικής απόδειξης κάνοντας μια ιστορική ανασκόπηση αρχικά και στην πορεία αναφορά στις έννοιες της ευθείας απόδειξης και της εις άτοπον απαγωγής. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναλύονται διεξοδικά οι μέθοδοι της μαθηματικής απόδειξης δίνοντας πρώτα τους απαραίτητους ορισμούς των βασικών εννοιών και αναφορά στη σημασία τους. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται
συνοπτικά το σύστημα του Hilbert καθώς και κάποιες βασικές έννοιες οι οποίες είναι αναγκαίες για την αναφορά μας στο δοκίμιο του εν λόγω μαθηματικού για την Λογική Θεμελίωση των Μαθηματικών. Στο έκτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στις μελέτες του Gödel, την αριθμητική Robinson, καθώς και η παρουσίαση των θεωρημάτων μη πληρότητας.
Λέξεις – Κλειδιά Μαθηματική απόδειξη, μαθηματική λογική, σύστημα Hilbert, αξιώματα μη πληρότητας, αρχαίοι Έλληνες, Hilbert, Gödel.
Summary
The purpose of this dissertation is to study mathematical logic and mathematical proof in depth and to highlight their importance in mathematics and other sciences in
general. The study begins with a historical review of the main periods of evolution of mathematical logic and the reference to the mathematician-philosophers who played a crucial role to the foundation and evolution of these concepts, while referring to the correlation between the various philosophical currents and the evolution of
mathematics. The concept of categorical logic is then described and the basic quantitative rules of inference are given, as well as a description of the Gentzen systems. In the third chapter a presentation of the mathematical proof is made by making a historical review first and after that a reference is made to the concepts of the direct proof and the abduction. In the fourth chapter the methods of mathematical proof are analyzed in detail, by giving firstly the necessary definitions of the basic concepts and by referring to their meaning. The fifth chapter summarizes the Hilbert system as well as some basic concepts which are necessary to make a reference in the essay of this mathematician’s work, the Logical Foundation of Mathematics. The sixth chapter refers to Gödel's studies, Robinson’s arithmetic, and the presentation of the theorems of incompleteness.
Keywords Mathematical proof, mathematical logic, Hilbert system, axioms of incompleteness, ancient Greeks, Hilbert, Gödel.
Περιεχόμενα
Περίληψη... 5
Summary... 6
ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΤΗΣ MAΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ. 14 1.1 Η μαθηματική απόδειξη στον αιγυπτιακό και τον βαβυλωνιακό πολιτισμό14 1.2 Η μαθηματική απόδειξη στην αρχαία Ελλάδα... 18
1.3 H μαθηματική λογική από τον Μεσαίωνα έως τα σύγχρονα χρόνια... 24
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ... 25
2.1. Προτασιακός λογισμός... 25
2.1 Κατηγορικός λογισμός... 34
2.3 Συστήματα Gentzen... 35
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ... 40
4.1 Πρωταρχικές έννοιες... 40
4.2 Είδη απόδειξης... 41
4.2.1 Eπαγωγική απόδειξη... 41
4.2.2 Η διαισθητική απόδειξη... 45
4.2.3 Ανάλυση της ευθείας απόδειξης... 46
4.2.4 Ανάλυση της εις άτοπον απαγωγής... 47
4.2.5 Η κατασκευαστική απόδειξη... 50
4.2.8. Η χρήση αντιπαραδείγματος... 52
4.2.9 Η απόδειξη με εξάντληση... 55
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5... 56
5.1 To τυπικό αξιωματικό σύστημα... 56
5.2 Βασικές έννοιες θεμελιωμένες από τον Hilbert... 59
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6... 60
6.1 H Αριθμητική Robinson... 63
6.2 H συνέπεια και η ω-συνέπεια... 65
6.3 To πρώτο θεώρημα της μη-πληρότητας... 67
6.4 Το δεύτερο θεώρημα της μη πληρότητας... 68
6.5 Οι συνέπειες των μελετών του Gödel... 69
Συμπεράσματα... 71
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 72
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Τα μαθηματικά αποτελούν μια επιστήμη η οποία εξελίχθηκε σταδιακά με την πάροδο των αιώνων και είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την εξέλιξη του ανθρώπου ως έλλογο ον. Παρόλο που η χρήση της απλής αριθμητικής ξεκινά από τα προϊστορικά ακόμη χρόνια, δεν μπορεί κανείς να πει ότι τα μαθηματικά είχαν θεμελιωθεί ως επιστήμη πριν από την θεμελίωση της μαθηματικής λογικής και της μαθηματικής απόδειξης. Οι έννοιες αυτές έφεραν την επανάσταση στα μαθηματικά, καθώς έως την δημιουργία τους, δεν μπορούσαν να γενικευτούν αξιώσεις και προτάσεις των
μαθηματικών για ένα σύνολο αντικειμένων ή αριθμών. Η δυνατότητα αυτής της γενίκευσης, έδωσε το έναυσμα για να ανοιχτούν νέοι ορίζοντες τόσο στον τομέα της μαθηματικής μελέτης όσο και σε άλλες επιστήμες στις οποίες εφαρμόστηκε η λογική και η απόδειξη. Δύο τέτοια χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι η φιλοσοφία και η νομική, κλάδοι οι οποίοι χρησιμοποιούν κατά κόρον την έννοια της απόδειξης και της λογικής και χωρίς τα μαθηματικά η εξέλιξή τους θα ήταν αδύνατη.
Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν ότι η λογική αποτελεί ένα αναδυόμενο πεδίο το οποίο εξελίσσεται μέσα από τις φιλοσοφικές απόψεις και εφαρμόζεται σε διάφορες επιστήμες και πεδία για να υπάρξουν καλύτερα παραγωγικά αποτελέσματα.
Οι θεωρίες και τα αξιώματα της λογικής έχουν τροποποιηθεί ανά τους αιώνες, καθώς οι μαθηματικοί και οι φιλόσοφοι ανέλυαν συνεχώς τις αρχές της και τα
επιχειρήματα που χρησιμοποιούνταν. Η αρχαία λογική και η σύγχρονη λογική διαφέρουν σε διάφορα σημεία και για να αντιληφθούμε καλύτερα πως θεμελιώθηκαν
οι σύγχρονες αρχές της λογικής, πρέπει να μελετήσουμε την εξέλιξή της ανά τους αιώνες.
Ο Παρμενίδης μπορούμε να πούμε ότι είναι ο πρώτος ο οποίος εφηύρε τις αρχικές έννοιες της λογικής και δημιούργησε ένα σύνολο καλά καθορισμένων κανόνων που την διέπουν. Αν και ο Παρμενίδης δεν θεωρείται ο θεμελιωτής της λογικής, ήταν ωστόσο ο πρώτος φιλόσοφος που δεν πρότεινε απλώς μια απεικόνιση της πραγματικότητας, αλλά εισήγαγε και την χρήση του επιχειρήματος,
επηρεαζόμενος από την παράδοση των Πυθαγορείων. Ωστόσο όμως, δεν διατύπωσε συστηματικά τις αρχές της επιχειρηματολογίας και την χρήση των επιχειρημάτων. Η
«λογική σκέψη» σχετίζεται με τη χρήση ενός σωστού επιχειρήματος ή ενός ορθού συλλογισμού και ουσιαστική η μελέτη της λογικής ξεκινά με τις προσπάθειες διαμόρφωσης των αρχών που διασφαλίζουν τέτοια ορθότητα. Η δημιουργία αυτών των αρχών και των κανόνων, καθώς και οι τρόποι επαλήθευσης τους, παρατηρούνται πρώτη φορά στον Αριστοτέλη τον 5ο αιώνα π.Χ. Η έννοια της λογικής επομένως θεμελιώνεται με αυτόν τον μεγάλο αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο ο οποίος ανέλυσε την εκμάθηση της επιχειρηματολογίας και της συλλογιστικής. Τα έξι κύρια έργα του Αριστοτέλη που σχετίζονται με τη λογική ονομάζονται «Όργανον» και αποτελούν τα πρώτα επίσημα επιτεύγματα στον τομέα της λογικής σε όλη την ανθρώπινη ιστορία.
Ο κύριος στόχος της λογικής του Αριστοτέλη ήταν να διερευνήσει τη
συμπερασματολογία αποσκοπώντας στο να παρέχει μεθόδους επιχειρηματολογίας. Η φιλοσοφική προσέγγιση στην πορεία ωστόσο στον κλάδο της λογικής
διαφοροποιήθηκε. Μερικοί φιλόσοφοι θεωρούσαν ότι η λογική είναι πύλη προς την πραγματικότητα, ενώ άλλοι θεωρούν ότι η μελέτη της λογικής είναι απαραίτητη στην ανθρώπινη προσπάθεια για την εύρεση της αλήθειας.
Έτσι, αντιλαμβανόμαστε πως η λογική προσεγγίζεται από διαφορετικούς φιλοσόφους υπό διαφορετικό πρίσμα, είναι αποδεκτό όμως από άπαντες ότι οφείλει της απαρχές της στην επιχειρηματολογία και την συλλογιστική. Σύμφωνα με τον George Hayward Joyce, η λογική δεν είναι καθαρά συλλογιστική, αλλά την ορίζει ως την «επιστήμη που κατευθύνει τις νοητικές λειτουργίες αποσκοπώντας στην επίτευξη της αλήθειας». Ο Friedrich Ludwig Gottlob Frege ο ιδρυτής της σύγχρονης λογικής,
την ορίζει ως «η επιστήμη των γενικών νόμων της αλήθειας». Ο Frege στην μελέτη του, αναγάγει τη λογική σε επιστήμη που διέπεται από κοινούς κανονισμούς, με αποτέλεσμα να μην την θεωρεί ως μια απόλυτη επιστήμη αλλά ως έναν κλάδο ο οποίος επιδέχεται βελτιώσεων και συνεχώς εξελίσσεται. Σύμφωνα με τον Frege, η λογική είναι αναμφίβολα ένας τρόπος επίλυσης προβλημάτων, αλλά η ανθρώπινη νοημοσύνη είναι αυτή η οποία μπορεί μπορεί να κατανοήσει ένα συγκεκριμένο πρόβλημα και να χρησιμοποιήσει μια έγκυρη λογική λύση για αυτό.
Αντιλαμβανόμαστε επομένως την πολυπλοκότητα της έννοιάς της, καθώς η
ανθρώπινη νοημοσύνη η οποία υπεισέρχεται ως παράγοντας, διαφέρει από άτομο σε άτομο.
Τα μαθηματικά, αποτελούν έναν κλάδο ο οποίος είναι άρρηκτα
συνυφασμένος με την χρήση της απόδειξης. Η μαθηματική δραστηριότητα δεν μπορεί να ολοκληρωθεί χωρίς τη χρήση λογικής απόδειξης και αυτή είναι ο
παράγοντας ο οποίος έδωσε στα μαθηματικά τον δυναμισμό και την δυναμικότητα από την οποία διακατέχονται (Davis et al., 2012). Σε πολλά εκπαιδευτικά συστήματα ανά τον κόσμο ορισμένα κέφαλαια της μαθηματικής λογικής (όπως είναι η θεωρία συνόλων, η προτασιακή λογική και η κατηγορική λογική) διδάσκονται στην
τριτοβάθμια εκπαίδευση, συνήθως πλαίσια μιας εισαγωγής σε βασικές μαθηματικές έννοιες, προκειμένου να εξοικειωθούν επαρκώς οι σπουδαστές με την μαθηματική απόδειξη και τις τεχνικές της. Συνήθως ωστόσο, βασικές αρχές μαθηματικής λογικής και μαθηματικής απόδειξης περιλαμβάνονται στο αναλυτικό πρόγραμμα της
δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης στις περισσότερες χώρες ανά τον κόσμο. Η μαθηματική λογική αποσκοπεί στο να οξύνει τόσο τη λογική δεινότητα ενός ατόμου, όσο και στην αύξηση των αναλυτικών δεξιοτήτων του, καθώς αυτές είναι αναγκαίες για την
κατανόηση και την εκμάθηση των μαθηματικών αποδείξεων. Η μαθηματική λογική όμως είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με το συμβολικό χαρακτήρα της και τους κανόνες που τη διέπουν. Έτσι, για την ορθή εκμάθησή της είναι αναγκαία η χρήση του καταλλήλου συμβολισμού και της κατάλληλης φυσικής γλώσσας.
Όπως προαναφέραμε, ο πατέρας της λογικής θεωρείται ο Αριστοτέλης ο οποίος εισήγαγε όρους όπως "πρόταση" και "συλλογισμός", τα οποία είναι τα βασικά
στοιχεία για την κατηγορηματική, την προτασιακή και την επαγωγική λογική.
Περαιτέρω ανάλυση της συνεισφοράς του Αριστοτέλη στην μαθηματική λογική και την μαθηματική απόδειξη θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο της παρούσας μελέτης. Το έργο του Αριστοτέλη συνεχίστηκε από τους Στωϊκούς φιλοσόφους οι οποίοι
ασχολήθηκαν κατά κόρον με την προτασιακή λογική και στις εργασίες τους ως επί τω πλείστω βασίστηκαν οι σύγχρονοι θεμελιωτές της λογικής, οι Frege και Hilbert κατά τον 19ο αιώνα. Στη μαθηματική λογική χρησιμοποιούνται πολλοί όροι της
μαθηματικής ορολογίας, μερικοί εξ’ αυτών που είναι η έννοια της απόδειξης και του αξιώματος. Η αξιωματική αποδοχή κάποιων προτάσεων είναι απαραίτητη, καθώς είναι αναγκαίο να υπάρχει απαρχή για κάποιες έννοιες έτσι ώστε να μπορέσουν να αποδειχθούν οι πιο σύνθετες. Για το λόγο αυτό, η μελέτη της μαθηματικής λογικής είναι ένας κλάδος αρκετά σύνθετος ο οποίος επιδέχεται ακόμα βελτιώσεων.
Εικόνα 1. Ο Αριστοτέλης
Η μαθηματική λογική, θα μπορούσε να διαιρεθεί σε δύο τμήματα, στην ιστορία της αφαίρεσης η οποία αναγάγεται στον Αριστοτέλη και τον Ευκλείδη, και στην ιστορία της μαθηματικής ανάλυσης η οποία χρονολογείται από την εποχή του Αρχιμήδη. Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, ο Ισαάκ Νεύτωνας ήταν ο πρώτος ο
την μαθηματική λογική. Δεν είναι τυχαίο άλλωστε που στο προσωπικό του
σημειωματάριο, οι σημειώσεις του μεγάλου Άγγλου μαθηματικού ήταν στα αρχαία ελληνικά, καθώς ο Νεύτων θεωρούσε ως βάσει των μαθηματικών τις μελέτες των αρχαίων Ελλήνων. Στην πορεία, ένας από τους πρώτους που μελέτησε με ευρεία χρήση συμβόλων την μαθηματική λογική ήταν ο Boole ο οποίος προσπάθησε να βγάλει εξ’ ολοκλήρου από την λογική την χρήση της φυσικής γλώσσας. Τα γράμματα X, Y, Z και ούτω καθεξής χρησιμοποιούνται συνήθως ως μεταβλητές, ενώ τα P, Q, R χρησιμοποιούνται ως ιδιότητες ή σχέσεις. Με τον τρόπο αυτό ξεκίνησε να γίνεται σταδιακά η μετατροπή μιας κανονικής πρότασης σε μία πρόταση στην οποία γίνεται χρήση μεταβλητών και σχέσεών τους μεταξύ τους.
Παράδειγμα: “ Εάν ο διευθυντής είναι ο υπεύθυνος σε μία εταιρίας, ο Κώστας είναι ο διευθυντής, τότε ο Κώστα είναι ο υπεύθυνος” . Ο λογικός αυτός συλλογισμός, με χρήση μαθηματικών συμβόλων μπορεί να μετατραπεί στον εξής:
.
Πριν να επανέλθουμε στις μελέτες του Boole, πρέπει να αναφέρουμε ότι η
συνεισφορά των υπολοίπων μαθηματικών για αρκετούς αιώνες υπήρξε αξιοσημείωτη, ωστόσο δεν μπορούμε να πούμε ότι παρατηρήθηκε σημαντική πρόοδος μέχρι τον Frege. Σύμφωνα με τον Gillies, η επανάσταση που έφερε ο Frege (1848-1925) στη λογική είναι εφάμιλλη της επανάστασης που έφερε ο Κοπέρνικος στην αστρονομία και τη φυσική. Για τον ερευνητή αυτόν, η εργασία των Frege και Peano ήταν
επαναστατική στον τομέα της μαθηματικής λογικής και της απόδειξης, ενώ κατά τον ίδιο, η μελέτη του Boole ήταν υποδεέστερη. Ο Gillies υποστηρίζει ότι παρόλο που ο λογισμός του Boole κάνει κάποια επέκταση της μαθηματικής λογικής, δεν υπάρχει ωστόσο τίποτα στη μελέτη του που να προκαλεί σημαντικές αλλαγές στο περιεχόμενο της παραδοσιακής λογικής (Gillies 1992, σ. 287). Επισημαίνεται ότι το 90% της Μαθηματικής Ανάλυσης Λογικής του Boole υπάρχει μελέτη της παραδοσιακής λογικής και όχι κάτι σημαντικό που να δείχνει πρόοδο (Gillies, 1992).
Eπόμενες επαναστατικές μελέτες παρουσιάστηκαν από τον Hilbert, του οποίου τα λογικά συστήματα δεν απέχουν πολύ από τα σύγχρονα, αξιωματικά συστήματα, αυτά που, για παράδειγμα, μελετώνται από τους Kleene (1952), Church (1956) και
Mendelson (1964). Η καινοτομία που δόθηκε από τον Hilbert είναι ένα σύστημα λογικών εξισώσεων πρώτης τάξης, κατάλληλο για αφαιρετικούς σκοπούς για όλες τις μαθηματικές θεωρίες. Ως εκ τούτου, δεν προσθέτει καινούργια στοιχεία σε κάποια θεωρία, αλλά βοηθά σημαντικά στην μελέτη των υπαρχουσών θεωριών. Επιπλέον, ο Hilbert εισήγαγε τα βασικά θεωρήματα σχετικά με τη συνέπεια και την πληρότητα και έδωσε την πρώτη σύγχρονη παρουσίαση της μαθηματικής λογικής.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΤΗΣ MAΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ
1.1 Η μαθηματική απόδειξη στον αιγυπτιακό και τον βαβυλωνιακό πολιτισμό
Στα Αιγυπτιακά και Βαβυλωνιακά μαθηματικά κείμενα, παρόλο που υπάρχουν ιδιαιτέρως ανεπτυγμένες μαθηματικές έννοιες για την εποχή εκείνη, δεν υπάρχουν στοιχεία που να μας εισαγάγουν στην έννοια της μαθηματικής απόδειξης. Αυτή η ιδέα εισήχθη πρώτα από τους Έλληνες, γι’ αυτό το λόγο είναι αδιαμφισβήτητη η καταλυτική συμβολή των αρχαίων Ελλήνων στην εξέλιξη των μαθηματικών. Παρόλο που δεν υπήρχε το θεωρητικό υπόβαθρο για να γενικεύονται οι μαθηματικές έννοιες ωστόσο, κάποιες γενικές κατευθυντήριες σκέψεις χρησιμοποιήθηκαν έτσι ώστε να μπορέσουν να δημιουργηθούν κάποιοι τύποι που χρησιμοποιούνταν για την εκτέλεση των καθημερινών εργασιών από Αιγύπτιους και Βαβυλώνιους. Σε αιγυπτιακούς πάπυρους, έχει βρεθεί για πρώτη φορά η επίλυσης εξίσωσης πρώτου βαθμού με μία άγνωστη ποσότητα. Επίσης, παρατηρούνται εφαρμογές του Πυθαγορείου
θεωρήματος πολύ πριν την εποχή του Πυθαγόρα στην Αίγυπτο, ενώ αντίστοιχες χρήσεις του Πυθαγορείου παρατηρούνται και στην Ινδία. Το συμπέρασμα που προκύπτει από την ταυτόχρονη ανάπτυξη των μαθηματικών στις εύφορες περιοχές
του Νείλου, του Τίγρη και του Ευφράτη και του Γάγγη, δείχνουν ότι τα μαθηματικά κατέχουν μια κυριαρχική θέση στους αρχαίους πολιτισμούς και επιπλέον ο
ανθρώπινος νους διακατέχεται από ένα εγγενές ενδιαφέρον για τη μαθηματική σκέψη ανεξαρτήτως τόπου και χρόνου.
Οι Αιγύπτιοι ξεκίνησαν ήδη από το 2000 π.Χ. να εργάζονται πάνω στην εξέλιξη των μαθηματικών, ωστόσο όμως, η πρόσβαση στα μαθηματικά κείμενα ήταν
περιορισμένη και το προνόμιο αυτό ανήκε στους Αιγύπτιους ιερείς. Σύμφωνα με πολλούς ερευνητές, τα μαθηματικά των Αιγυπτίων θεωρούνται ότι ήταν το προϊόν των πρακτικών αναγκών τους, ενώ με την άποψη αυτή συνάδει και ο Ηρόδοτος, σύμφωνα με τον οποίο οι Αιγύπτιοι ασχολήθηκαν με την γεωμετρία προκειμένου να ανακατανείμουν τα εδάφη μετά από τις υπερχειλίσεις του Νείλου. Αυτό ωστόσο, βάσει νεωτέρων ερευνών, απορρίπτεται χάρη στην εις βάθος μελέτη των
μαθηματικών τους επιτευγμάτων. Στην Αίγυπτο παρατηρείται η πρώτη εμφάνιση γραμμικών εξισώσεων, των αριθμητικών και γεωμετρικών σειρών σε προβλήματα που αφορούν την εύρεση των μέσων, των αθροισμάτων όρων, και τύπων για εύρεση εμβαδού και όγκου.
Είναι βέβαιο ότι οι Αιγύπτιοι είχαν την ικανότητα της πρακτικής εφαρμογής των μαθηματικών στην καθημερινότητά τους, όπως μαρτυρούν η κατασκευή των πυραμίδων και των οβελίσκων, τα αριθμητικά τους προβλήματα της
καθημερινότητας όπως η διατροφή των χήνων, η παραγωγή του ψωμιού και πτυχές της εγχώριας οικονομίας. Ωστόσο, μια δίκαιη άποψη των σχετικών μαθηματικών πρέπει να θεωρήσει αυτά τα σημεία ως εφαρμογές και καθόλου ως πηγές των αιγυπτιακών μαθηματικών. Το παλαιότερο μαθηματικό εγχειρίδιο που υπάρχει είναι o πάπυρος του Rhind (Ahmes) o οποίος αποτελεί μια αντιγραφή από κείμενο το οποίο ήταν 200 χρόνων παλαιότερο και περιέχει 87 μαθηματικά προβλήματα. Ο πάπυρος αυτός χρονολογείται περίπου στο 1650 π.Χ. και έχει μήκος 2 μέτρα ενώ το πλάτος του είναι 33 εκατοστά. Υπάρχουν πολλές εξισώσεις πρώτου βαθμού που εμφανίζονται στο εγχειρίδιο αυτό. Σε άλλους αιγυπτιακούς παπύρους, είναι αξιοσημείωτο να
αναφέρουμε ότι εμφανίζονται Πυθαγόρειες τριάδες, ενώ μαρτυρίες τέτοιες υπάρχουν και στα κείμενα των αρχαίων Ελλήνων. Έχει μελετηθεί ευρέως εάν γινόταν χρήση του τριγώνου 3: 4: 5 στην Αρχαία Αίγυπτο, με την χρήση ενός σχοινιού με κόμπους
για να γίνει η κατασκευή του και εάν το θεώρημα του Πυθαγόρα ήταν γνωστό εκείνη την εποχή. Η εικασία αυτή διατυπώθηκε πρώτα από αρχικά από τον ιστορικό Moritz Cantor το 1882, ενώ στην πορεία την ίδια θέση υιοθέτησαν και άλλοι ερευνητές.
Είναι γνωστό ότι οι ορθές γωνίες είχαν σχεδιαστεί με ακρίβεια στην Αρχαία Αίγυπτο και ότι οι Αιγύπτιοι επιθεωρητές χρησιμοποίησαν σχοινιά για μέτρηση. Ο
Πλούταρχος , περί το 100 μ.Χ. αναφέρει σχετικά με τα μαθηματικά των Αιγυπτίων, ότι οι τελευταίοι θαύμαζαν το τρίγωνο 3: 4: 5. Ο ιστορικός των μαθηματικών Roger L. Ο Cooke παρατηρεί ότι είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι μελετά γεωμετρία στην αρχαία Αίγυπτο χωρίς να γνωρίζει το θεώρημα του Πυθαγόρα. Σε αυτό το πλαίσιο, ο Cooke σημειώνει ότι κανένα αιγυπτιακό κείμενο πριν από το 300 π.Χ. δεν αναφέρει στην πραγματικότητα τη χρήση του θεωρήματος για να βρει το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου, ενώ περιγράφονται απλούστεροι τρόποι για την κατασκευή ορθής γωνίας. Ο Cooke καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η εικασία του Cantor παραμένει αβέβαιη: υποθέτει ότι οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι πιθανότατα γνώριζαν το Πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά δεν υπάρχει απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν για την κατασκευή ορθών γωνιών.
Ο Βαβυλωνιακός πολιτισμός έφτασε στο αποκορύφωμά του περίπου το 575 π.Χ., υπό τον Ναβουχοδονόσωρα.
Tα μαθηματικά της Μεσοποταμίας, αν και είναι αρκετά εντυπωσιακά για την εποχής τους, δεν περιλαμβάνουν κάποιο είδος αποδείξεων για τα ευρήματά τους (Krantz, 2007). Για την αναπαράσταση των αριθμών έως και το 59, οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν ένα δεκαδικό σύστημα. Για παράδειγμα, για την γραφή του αριθμού 35, προσαρμόζοντας την σφηνοειδή γραφή σε πιο σύγχρονη μορφή, μπορούμε να πούμε ότι θα έγραφαν:
όπου με Υ αναπαρίσταται ο αριθμός 60.
Η Βαβυλωνιακή χρήση του εξηκονταδικού συστήματος έγινε αποδεκτή και στην ελληνική αστρονομία στην οποία εισήχθη πρώτη φορά γύρω στο 150 π.Χ. από τον Ιππάρχο από τη Νίκαια και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται έως και σήμερα για τη μέτρηση του χρόνου και των γωνιών.
Οι μεταγενέστεροι Βαβυλώνιοι ήταν επίσης αυτοί οι οποίοι εισήγαγαν ένα σύμβολο για το μηδέν. Για παράδειγμα
Εικόνα 2: Tα βαβυλωνιακά μαθηματικά
Ο Πτολεμαίος περί το 150 μ.Χ. αντικατέστησε το σύμβολο των Βαβυλωνίων για το μηδέν από έναν μικρό κύκλο, και δημιούργησε τη λέξη αυτή πιθανώς από την λέξη
«ουδέν». Aξιοσημείωτο είναι επίσης ότι οι Βαβυλώνοι για να κάνουν διαίρεση γνώριζαν ότι η πράξη αυτή ισοδυναμούσε με τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού με
τον αντίστροφο του δεύτερου και για τον λόγο αυτό δημιουργούσαν πίνακες αντιστρόφων αριθμών. Τέλος, πρέπει να αναφέρουμε ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν δημιουργήσει πίνακες με τα τετράγωνα και τους κύβους αριθμών, καθώς και τις τετραγωνικές τους ρίζες.
1.2 Η μαθηματική απόδειξη στην αρχαία Ελλάδα
Οι δημιουργοί των μαθηματικών της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας παρέμειναν ανώνυμοι. Οι Έλληνες ωστόσο διατήρησαν στην αιωνιότητα τα ονόματα των μαθηματικών τους. Ένας από τους πρώτους που αναφέρεται στην ιστορία των μαθηματικών είναι ο Θαλής ο Μιλήσιος. Ο Θαλής έζησε τον έκτο αιώνα π.Χ. στην πόλη της Μιλήτου στις ακτές της Μικράς Ασίας. Μια ημέρα του 585 π.Χ. ο Θαλής μπόρεσε και προέβλεψε μια ηλιακή έκλειψη, αναμφισβήτητη απόδειξη της
εξοικείωσης του Θαλή με την κουλτούρα των αρχαίων πολιτισμών, καθώς απαιτείται η εμπειρία δεκάδων και εκατοντάδων ετών για να καθοριστεί η περιοδικότητα των εκλείψεων. Ο Θαλής δεν είχε σημαντικούς Έλληνες προκάτοχους στην ουσία, και ως εκ τούτου θα μπορούσε να πάρει μόνο τις γνώσεις του για την αστρονομία από τους επιστήμονες της Ανατολής. Ο Θαλής, έδωσε στον κόσμο τις πρώτες μαθηματικές αποδείξεις. Μεταξύ των προτάσεων (θεωρήματα) που του αποδίδονται
περιλαμβάνονται τα εξής:
1 Η διάμετρος χωρίζει έναν κύκλο σε δύο ίσα μέρη.
2 Οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
3 Δύο τρίγωνα που έχουν ίσες πλευρές και τις προσκείμενες σ’ αυτές γωνίες ίσες είναι ίσα.
Η πολύ απλή φύση αυτών των τριών θεωρημάτων και η διαισθητική τους εμφάνιση δείχνουν ότι ο Θαλής γνώριζε πλήρως τη σημασία της απόδειξης. Σαφώς, αυτά τα θεωρήματα αποδείχθηκαν όχι επειδή υπήρχαν αμφιβολίες για την αλήθεια τους, αλλά για να ξεκινήσουν συστηματικά να βρίσκονται αποδείξεις και να αναπτύσσεται μια τεχνική απόδειξης. Με έναν τέτοιο σκοπό είναι φυσικό να ξεκινήσουμε
αποδεικνύοντας τις απλούστερες προτάσεις.
Ας υποθέσουμε ότι το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, δηλαδή η πλευρά AB είναι ίση με την πλευρά BC.
Εικόνα 3: Ισοσκελές τρίγωνο.
Ας χωρίσουμε τη γωνία ABC σε δύο ίσα μέρη φέροντας το ευθύγραμμο τμήμα BD.
Διπλώνουμε νοητά το σχήμα μας κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος BD. Επειδή η γωνία ABD είναι ίση με τη γωνία CBD, το ευθύγραμμο τμήμα BA θα συμπίπτει με το ευθύγραμμο τμήμα BC και επειδή το μήκος των τμημάτων AB και BC είναι ίσο, το σημείο A συμπίπτει με το σημείο C. Επειδή το σημείο D παραμένει σταθερό, οι
γωνίες BCD και BAD πρέπει να είσαι ίσες. Διαισθητικά φαινόταν όντως ότι οι γωνίες BCD και BAD είναι ίσες (ο Θαλής ίσως έτσι έκανε την παρουσίαση στους
σύγχρονούς), ωστόσο όμως, χάρη σ’ αυτόν μπόρεσε να αποδειχτεί με απόλυτη ακρίβεια.
Το πρόβλημα της κατασκευής ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι πιο περίπλοκο και εδώ το αποτέλεσμα δεν είναι καθόλου προφανές εκ των προτέρων. Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
Εικόνα 4: Κατασκευή ενός κύκλου που περιγράφεται γύρω από ένα δεξί τρίγωνο
Με χρήση του τριγώνου αυτού, μπορεί να σχεδιαστεί ένας περιγεγραμμένος κύκλος;
Και αν ναι, πώς; Δεν είναι ξεκάθαρο. Ας υποθέσουμε όμως ότι με χρήση της διαίσθησής μας δίνουμε μία λύση. Διαιρούμε την διάμετρο BC σε δύο ίσα τμήματα και ονομάζουμε το σημείο D. Το συνδέουμε με το σημείο A. Εάν το τμήμα AD είναι ίσο σε μέγεθος με το τμήμα DC (και συνεπώς και στο BD) μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε τον απαιτούμενο κύκλο παίρνοντας το σημείο D ως κέντρο και λαμβάνοντας το ευθύγραμμο τμήμα τμήμα DC ως ακτίνα.
Ισχύει ότι AD = DC, δηλαδή ότι τρίγωνο ADC είναι ισοσκελές; Δεν είναι ξεκάθαρο.
Φαίνεται πιθανό, αλλά σε καμία περίπτωση δεν είναι προφανές. Προσθέτουμε το σημείο E στο σχήμα, κατασκευάζοντας έτσι το ορθογώνιο ABEC και σχεδιάζουμε και μια δεύτερη διαγώνιο AE. Είναι πλέον προφανές ότι το τρίγωνο ADC είναι ισοσκελές: Πράγματι, από τη συνολική συμμετρία του σχήματος, είναι σαφές ότι οι διαγώνιες είναι ίσες και τέμνονται στο σημείο που τις χωρίζει στη μέση - στο σημείο D. Δεν έχουμε φτάσει ακόμη στην απόδειξη, αλλά είμαστε ήδη σε αυτό το επίπεδο σαφήνειας όπου η επίσημη συμπλήρωση της απόδειξης δεν παρουσιάζει καμία δυσκολία. Στηριζόμενοι στην ισότητα των αντιθέτων πλευρών του ορθογωνίου, συμπληρώνουμε την απόδειξη με τον ακόλουθο συλλογισμό: τα τρίγωνα ABC και AEC είναι ίσα επειδή έχουν την AC κοινή, οι πλευρές AB και EC είναι ίσες και οι γωνίες BAC και ECA είναι ορθές. Επομένως η γωνία EAC είναι ίση με τη γωνία BCA. Συνεπώς, το τρίγωνο ADC είναι ισοσκελές τρίγωνο.
Ο Εύδημος αναφέρει ότι ο Θαλής ο οποίος ταξίδεψε στην Αίγυπτο, ήταν ο πρώτος που εισήγαγε την μαθηματική επιστήμη στην Ελλάδα και έκανε πολλές ανακαλύψεις διδάσκοντας ταυτόχρονα τους διαδόχους του. Ωστόσο, για μερικές αποδείξεις του, αναφέρει ότι ήταν πιο εμπειρικές, πράγμα που σημαίνει ότι οι αποδείξεις του Θαλή δεν είχαν τον αυστηρά λογικό χαρακτήρα του Ευκλείδη, καθώς είχαν μια πιο εμπειρική και όχι λογική προσέγγιση. Ο Becker αναφέρει ότι όλα τα αποδιδόμενα θεωρήματα του Θαλή, εκτός του 5ου, απορρέουν μελετώντας τη συμμετρία των σχημάτων. Κάτι τέτοιο στην πορεία αλλάζει με τις επαναστατικές για την εποχή τους μεθόδους του Ευκλείδη (Bramlett& Drake, 2013).
Όλες οι αποδείξεις που υπάρχουν στα Στοιχεία του Ευκλείδη, απαρτίζονται από έξι μέρη και συνοδεύονται επίσης από ένα διάγραμμα. Ο στόχος της παρούσης εργασίας δεν είναι η ανάλυση των Στοιχείων του Ευκλείδη εις βάθος, ωστόσο όμως, θα
αναφέρθουμε σε κάποιες προτάσεις του που συναντάμε και πως χρησιμοποιείται η μαθηματική λογική και η μαθηματική απόδειξη σε αυτές. Παραθέτουμε ενδεικτικά τις προτάσεις 15 ως 19 του 7ου βιβλίου των Στοιχείων.
Πρόταση 15: Έστω Α η μονάδα. (Β = Α και Δ = Γ) → (Γ = Α → Δ = Β)
Πρόταση 16: (Α ⋅ Β = Γ και Β ⋅ Α = Δ) → (Γ = Δ) (αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού)
Πρόταση 17: Α ⋅ Β Α ⋅ Γ = Β Γ Ε.
Πρόταση 18: Β ⋅ Α Γ ⋅ Α = Β Γ Ε
Πρόταση 19: ( Α Β = Γ Δ ) ↔ (Α ⋅ Δ = Β ⋅ Γ)
Με τις παρακάτω προτάσεις, ο Ευκλείδης προσδιορίζει τις ιδιότητες του
πολλαπλασιασμού. Οι προτάσεις αυτές, ακολουθούν την επαγωγική δομή καθώς οι μετέπειτα προτάσεις βασίζονται σε προηγούμενες. Η επαγωγική δομή συγκεκριμένα που υπάρχει φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα:
Εικόνα 5: Προτάσεις 12-19 του 7ου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη.
Παρατηρούμε ότι η αλληλουχία των προτάσεων είναι λογικά δομημένη, καθώς μετέπειτα προτάσεις των στοιχείων του Ευκλείδη βασίζονται σε προηγούμενες.
Εικόνα 6: O Ευκλείδης
Σε γενικές γραμμές, όσον αφορά τις γεωμετρικές αποδείξεις του Ευκλείδη και των διαδόχων του, αυτές διατηρούσαν αυστηρά μια αρχή ομοιογένειας. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι ελληνικές αποδείξεις που αφορούν μήκη καμπυλών, καθώς και εμβαδά ή όγκους που περικλείονται από καμπυλόγραμμα σχήματα. Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν είχαν μια ευέλικτη σημειογραφία ικανή να εκφράσει τη σταδιακή προσέγγιση των καμπυλών από πολύγωνα και μια τελική μετάβαση στο άπειρο. Αντί αυτού, επινόησαν ένα ειδικό είδος απόδειξης που περιελάμβανε αυτό που μπορεί αναδρομικά να θεωρηθεί ως σιωπηρή μετάβαση στο όριο, στα πλαίσια μιας καθαρά γεωμετρικής απόδειξης και έτσι ακολούθησε η απόδειξη σε έξι μέρη που αναφέρθηκε παραπάνω. Αυτή η σιωπηρή μετάβαση στο άπειρο βασίστηκε στην εφαρμογή της αρχής της συνέχειας, η οποία αργότερα συνδέθηκε με τον Αρχιμήδη.
Στο σημείο αυτό πρέπει να αναφέρουμε την προσφορά των Στωϊκών φιλοσόφων στον τομέα της λογικής. Οι Στωϊκοί φιλόσοφοι χρησιμοποιούσαν προτασιακή λογική η οποία κατασκευάστηκε και διαμορφώθηκε κυρίως από τον Χρύσιππο περί τον 3ο αιώνα π.Χ. Η λογική του Χρύσιππου διέφερε από τη λογική που χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης καθώς βασίζεται στην ανάλυση των προτάσεων και όχι των όρων. Κατά τους Στωϊκούς, τα απλά στοιχεία συνδέονται μεταξύ τους με τη χρήση λογικών συνδέσμων και έτσι κατασκευάζονται σύνθετα στοιχεία. Ο Χρύσιππος είναι αυτός ο οποίος φέρεται να έχει εισάγει τους τρεις βασικούς τύπους συνδέσμων: του
υποθετικού (εάν), του συνδετικού (και) και του διαζευκτικού (ή). Οι μετέπειτα Στωϊκοί εισήγαγαν δύο ακόμα συνδετικά, το ψευδο-υποθετικό (εφόσον) και το συγκριτικό (περισσότερο ή λιγότερο πιθανό από).
Όσον αφορά τη μαθηματική λογική στον Αριστοτέλη, στον οποίο έχουμε ήδη αναφερθεί στην εισαγωγή, οι κανόνες της ήταν αυτοί οι οποίοι χρησιμοποιούνταν κατά βάση μέχρι και το μεσαίωνα και στην πορεία άρχισαν να μελετώνται περαιτέρω εις βάθος και να γίνονται κάποιες απόπειρες είτε για να διορθωθούν είτε για να τυποποιηθούν.
1.3 H μαθηματική λογική από τον Μεσαίωνα έως τα σύγχρονα χρόνια
Κατά την περίοδο του Μεσαίωνα δεν παρατηρήθηκε ιδιαίτερη πρόοδος σ’ αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών. Στις αρχές του δέκατου τρίτου αιώνα, το «Όργανον» του Αριστοτέλη και άλλες μελέτες του είχαν γίνει γνωστά στη Δύση και η μόνη πρόοδος που παρατηρείται κατά την εποχή αυτή είναι ως επί το πλείστον παραφράσεις ή σχολιασμός του έργου του Αριστοτέλη. Η ίδια παρακμή παρατηρείται και κατά την περίοδο μεταξύ του 14ου αιώνα και των αρχών του 19ου αιώνα ενώ κατά τα μέσα
φορμαλισμού των μαθηματικών. Κατά την περίοδο αυτή παρατηρείται η πιο έντονη ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής ενώ σημαντικά και αξιοσημείωτα γεγονότα λαμβάνουν χώρα σε όλο τον κόσμο με αποτέλεσμα να έχουν ακόμα περισσότερα κίνητρα οι μαθηματικοί για έρευνα και πρόοδο.
Κατά την ανάπτυξη της σύγχρονης λογικής παρατηρούνται οι ακόλουθες περίοδοι:
Η εμβρυϊκή περίοδος η οποία ξεκινά από τις μελέτες του Leibniz και φτάνει έως το 1847.
Η αλγεβρική περίοδος η οποία λαμβάνει χώρα από την περίοδο των μελετών του Boole έως το Vorlesungen του Schröder.
Η λογική περίοδος η οποία ξεκινά από το Begriffssriri του Frege και φτάνει ως τη δημιουργία του Principia Mathematica του Russell και του Whitehead.
Η μετα-μαθηματική περίοδος που ξεκινά το 1910 και φτάνει έως τη δεκαετία του 1930 και κύριοι εκπρόσωποί της ήταν ο Hilber και ο Gödel.
Η περίοδος μετά τον Β 'Παγκόσμιο Πόλεμο, όταν η μαθηματική λογική
διακλαδίστηκε σε τέσσερις αλληλένδετους αλλά ξεχωριστούς τομείς έρευνας: τη θεωρία μοντέλων, τη θεωρία αποδείξεων, τη θεωρία υπολογισμού και τη θεωρία συνόλων.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
2.1. Προτασιακός λογισμός
Ο Προτασιακός Λογισμός είναι η γλώσσα η οποία ασχολείται με τις εκφράσεις οι οποίες μπορεί να είναι είτε ψευδείς είτε αληθείς. Με τη χρήση του προτασιακού λογισμού, μπορούμε να προβαίνουμε στη διατύπωση σύνθετων προτάσεων και να έχουμε επίσης και την κατάλληλη επιχειρηματολογία σχετικά με αυτές.
Η γλώσσα της Προτασιακής Λογικής απαρτίζεται από: αποτελείται 1. To αλφάβητο
(α) Με τα κεφαλαία γράµµατα του λατινικού ή του ελληνικού αλφαβήτου δημιουργούμε
(ϐ) τις παρενθέσεις
(γ) τους τελεστές οι οποίοι είναι οι : : η άρνηση : η σύζευξη : η διάζευξη : η συνεπαγωγή
2. Το συντακτικό
(α) Γίνεται με επαγωγικό τρόπο ο ορισμός για κάθε πρόταση i. Κάθε αποτελεί πρόταση αποτελεί πρόταση.
ii. Εάν η ρ αποτελεί μία πρόταση, τότε και η άρνησή της, δηλαδή η (¬ρ) είναι πρόταση.
iii. Έστω ρ και τ δύο προτάσεις. Τότε, προτάσεις αποτελούν και τα παρακάτω:
Α. ρ ∧τ Β. ρ ∨ τ Γ. ρ → τ
iv. Κάθε πρόταση η οποία προκύπτει με την χρήση των κανόνων από 1 έως 3 σε πεπερασμένο αριθμών φορών.
Για να μπορούμε να αποφανθούμε για την αλήθεια ή το ψεύδος μίας σύνθετης πρότασης, πρέπει αρχικά να μπορούμε να εντοπίσουμε τις υποπροτάσεις που την απαρτίζουν.
Παράδειγμα σύνθετης πρότασης: . Η πρόταση αυτή γράφεται ως
“Αν p και q, τότε συνεπάγεται όχι r ή q”.
Για να γίνει ορθή ερμηνεία των προτασιακών λογικών τιμών, θα πρέπει να μπορούμε να δίνουμε μία αληθοτιμή σε κάθε πρόταση.
Ορισμός: ΄Εστω Q όλες οι ατομικές προτάσεις. Τότε, η απονομή αληθείας αποτελεί μία συνάρτηση , όπου α=αληθής και ψ=ψευδής.
Πίνακας: Ο πίνακας αληθείας κάποιων βασικών τελεστών.
Έχουμε επιπλέον τους ακόλουθους ορισμούς :
• Ικανοποιήσιµος καλείται ένας προτασιακός τύπος όταν μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον μία αποτίμηση που να του δίνει την τιµή Α.
• Ταυτολογία καλείται ένας προτασιακός τύπος ο οποίος παίρνει την τιµή Α, δηλαδή είναι αληθής για κάθε αποτίµηση από τις προτασιακές του μεταβλητές.
Παράδειγμα: ο τύπος p → (p ∨ q) αποτελεί ταυτολογία καθώς διαπιστώνεται από τον πίνακα αληθείας ότι σε κάθε αποτίμηση των p,q λαμβάνει την τιµή Α
A A A A
A Ψ A A
Ψ A Α Α
Ψ Ψ Ψ Α
• Αντίφαση καλείται ένας προτασιακός τύπος ο οποίος λαμβάνει την τιµή Ψ, δηλαδή είναι ψευδής για κάθε αποτίµηση από τις προτασιακές του μεταβλητές.
Παράδειγμα: O τύπος (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q) αποτελεί αντίφαση, όπως προκύπτει εύκολα από την κατασκευή του πίνακα αληθείας του.
Α Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ
Α Ψ Α Ψ Α Ψ Ψ
Ψ Α Α Α Ψ Ψ Ψ
Ψ Ψ Ψ Α Α Α Ψ
Στην πορεία παρουσιάζονται οι νόμοι της προτασιακής λογικής που αποτελούν τις πιο γνωστές ταυτολογίες. Τα ακόλουθα ισχύουν για τους προτασιακούς τύπους a,b, c:
και
Νόμοι της προσεταιριστικότητας
και
Νόμοι της αντιμεταθετικότητας
και
Nόμοι της επιμεριστικότητας
Νόμος της διπλής άρνησης Nόμος της αντιθετοαντιστροφής Nόμος του αποκλεισμού τρίτου ενδεχόμενου
Νόμοι της αντικατάστασης
Νόμος της άρνησης της συνεπαγωγής και
Nόμοι του De Morgan
Δίνουμε δύο ακόμα σημαντικούς ορισμούς του προτασιακού λογισμού:
• Δύο ή και παραπάνω προτασιακοί τύποι καλούνται συνεπείς (ανάμεσά τους) εάν μπορεί να βρεθεί τουλάχιστον µία αποτίµηση η οποία να καθιστά τους τύπους αληθείς ταυτοχρόνως. Μία τέτοιου είδους αποτίμηση καλείται μοντέλο του συνόλου για αυτούς τους τύπους.
• Αληθοσυναρτησιακά αντιφατικοί καλούνται δύο προτασιακοί τύποι για μία γλώσσα του προτασιακού λογισμού εάν και μόνο εάν λαμβάνουν 33 αντίθετες τιμές αληθείας σε κάθε αποτίμηση από τις προτασιακές μεταβλητές τους.
Πολύ σημαντικός ρόλος στα μαθηματικά και στον προτασιακό λογισμό
συγκεκριμένα, παίζει επίσης η ισοδυναμίας, καθώς όταν υπάρχουν δύο προτάσεις οι οποίες είναι λογικά ισοδύναμες, τότε είναι εφικτό η μία να αντικαταστήσει την άλλη.
Επομένως, όταν έχουμε δύο προτάσεις οι οποίες είναι ισοδύναμες και μία εκ των δύο είναι δυσκολότερη της άλλης, μπορούμε αντί της πρώτης να αποδείξουμε την
δεύτερη πρόταση. Αντιλαμβανόμαστε λοιπόν ότι η η ισοδυναμία p q αποτελεί μία ταυτολογία καθώς ισχύει για κάθε πιθανό συνδυασμό των τιμών αληθείας για τις δοθείσες προτάσεις. για όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των τιμών αληθείας των προτάσεων που τις αποτελούν άρα είναι ταυτολογία. Η παραπάνω πρόταση ισχύει και αντιστρόφως. Εν γένει, όταν έχουμε προτάσεις οι οποίες είναι λογικά ισοδύναμες, μπορούμε να απλοποιήσουμε αρκετές λογικές εκφράσεις όπως είναι οι ακόλουθες:
Νόμοι της Ταυτότητας
Νόμοι της Ταυτοσημίας
Νόμοι του Συμπληρώματος
Νόμοι της αντιμεταθετικότητας
Nόμοι της προσεταιριστικότητας
Νόμοι της επιμεριστικότητας
Κανόνες De Morgan
Nόμοι της απορρόφησης
Νόμος της διπλής συνεπαγωγής Νόμος της αντίφασης
Νόμος της αντιθετοαντιστροφής
Τέλος θα αναφέρουμε κάποιους βασικούς ορισμούς και θεωρήματα της προτασιακής λογικής.
Ορισμός: Ένα σύνολο τύπων Σ καλείται πεπερασμένα ικανοποιήσιμο εάν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό που έχει είναι ικανοποιήσιμο (Lakatos, 2015).
Θεώρημα (Συμπάγειας): Έστω ένα σύνολο τύπων Σ. Το Σ θα είναι ικανοποιήσιμο εάν και μόνον εάν είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο.
Απόδειξη: Αν το Σ είναι ικανοποιήσιμο τότε όλα τα πεπερασμένα υποσύνολά του θα είναι ικανοποιήσιμα. Επομένως η μία κατεύθυνση απεδείχθη εύκολα. Για να
αποδειχτεί η άλλη κατεύθυνση πρέπει να ορίσουμε μια αποτίμηση που θα κάνει αληθείς κάθε που είναι στο Σ.
Έστω απαρίθμηση των τύπων (το είναι αριθμήσιμο, καθώς είναι ένωση αριθμήσιμων συνόλων, συνεπώς και το σύνολο των τύπων θα είναι
αριθμήσιμο). Θεωρούμε την εξής ακολουθία συνόλων:
με i ≥ 0.
Λήμμα: Για κάθε τιμή του i το σύνολο ∆i είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο.
Απόδειξη. Με επαγωγή για το i.
Για i = 0 ισχύει ότι το είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο.
Υποθέτουμε ότι το ∆i είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο.
Θα δείξουμε ότι το ∆i + 1 είναι π.ι. Θέτουμε
Έστω ότι αμφότερα τα δεν είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμα. Τότε υπάρχουν πεπερασμένα υποσύνολα του ∆i έστω ∆′ τέτοια ώστε τα σύνολα
, δεν είναι ικανοποιήσιμα. To όμως
είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο άρα θα υπάρχει κάποια απονομή αλήθειας, έστω α, για την οποία κάθε τύπος του ικανοποιείται. Η α δεν μπορεί να ικανοποιεί τα
άρα θα πρέπει , άτοπο. Επομένως τoυλάχιστον
ένα εκ των είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο, συνεπώς από τον ορισμό του
∆i+1 και αυτό θα είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο.
Από το παραπάνω λήμμα, προκύπτει ότι το σύνολο είναι
πεπερασμένα ικανοποιήσιμο και επιπλέον, για κάθε τύπο ϕ ισχύει .
Θεωρούμε προτασιακή μεταβλητή A. Ορίζουμε την απονομή αλήθειας α κατά τον εξής τρόπο:
Λήμμα: Για κάθε τύπο ϕ είναι α(ϕ) = A ⇔ ϕ ∈ ∆
Απόδειξη: Θα δείξουμε την ισοδυναμία χρησιμοποιώντας επαγωγή στη δομή των τύπων: ϕ = A (προτασιακή μεταβλητή). Είναι προφανές από τον ορισμό της α.
Υποθέτουμε ότι η ισοδυναμία που καλούμαστε να αποδείξουμε ισχύει για τους τύπους .
Θα δείξουμε ότι ισχύει και αν . Οι υπόλοιπες περιπτώσεις προκύπτουν αναλόγως.
(⇒) .
Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι . Αν ¬(ϕ1 ∧ ϕ2) ∈ ∆ τότε θα υπάρχει ένα υποσύνολο του ∆, το που δεν είναι ικανοποιήσιμο, άτοπο αφού από προηγούμενο λήμμα το ∆ είναι πεπερασμένα ικανοποιήσιμο.
Επομένως . Έστω α(ϕ1∧ ϕ2) = Ψ. Τότε
α(ϕ1) = Ψ ∨ α(ϕ2) = Ψ. Από επαγωγική υπόθεση όμως ϕ1.
. Όμως το σύνολο δεν είναι ικανοποιήσιμο, άτοπο. Παρομοίως καταλήγουμε σε άτοπο εαν . Eπομένως σε κάθε
περίπτωση είναι .
Το τελευταίο λήμμα δείχνει ότι το Δ ικανοποιείται από την α. Από την κατασκευή του ∆ όμως είναι Σ ⊆ ∆, άρα Σ ικανοποιήσιμο (Mendelson, 1964)
2.1 Κατηγορικός λογισμός
Κατηγορικός λογισμός είναι ο κλάδος των μαθηματικών στον οποίο γίνεται χρήση εννοιών από από τη θεωρία κατηγοριών και εφαρμόζονται κατά τη μελέτη της μαθηματικής λογικής. Είναι αξιοσημείωτο επίσης να μνημονευτεί ότι ο κατηγορικός λογισμός συνδέεται άρρηκτα με την θεωρητική πληροφορική και έχει συνδράμει τα μέγιστα στην αλματώδη πρόοδο της τεχνολογίας. Εν γένει, η κατηγορική λογική αντιπροσωπεύει τη σημασιολογία και τη σύνταξη σε μια συγκεκριμένη δομή στην οποία δρα ένας τελεστής.
Κατηγορίες, μορφισμοί και αντικείμενα και μορφισμοί
Όσον αφορά την μελέτη των κατηγοριών, αυτό αποτελεί μια προσπάθεια να χρησιμοποιηθούν αξιωματικοί τρόποι για να γίνουν αντιληπτές οι κοινές ιδιότητες και τα κοινά χαρακτηριστικά τα οποία υπάρχουν σε παραπλήσιες μαθηματικές δομές κάνοντας συσχετισμούς μέσω μετασχηματισμών από τη μία μορφή στην άλλη που διατηρούν αναλλοίωτα τα χαρακτηριστικά τους. Μέσω της συστηματικής μελέτης της Θεωρίας Κατηγοριών μπορεί κανείς να λάβει αποδείξεις για οποιεσδήποτε
μαθηματικές δομές από τις προαναφερθείσες.
2.3 Συστήματα Gentzen
Όσον αφορά τα τυπικά αποδεικτικά συστήματα, αυτά είναι γνωστά ως αποδεικτικά συστήματα τύπου Hilbert. Αρχικά ο σκοπός για τον οποίο δημιουργήθηκαν ήταν κατ’
αρχάς το να μπορέσουμε να τυποποιήσουμε τις καθημερινές μαθηματικές διαδικασίες στο σύνολο της συλλογιστικής των μαθηματικών, κάτι το οποίο έγινε εμφανές με το θεώρημα πληρότητας. Ωστόσο όμως, δεν λαμβανόταν υπόψη με ποια μορφή ή με ποιο τρόπο μπορούν να αποδειχθούν οι μαθηματικές προτάσεις. Αυτό που
απασχολούσε κατά βάση, ήταν πόσες ήταν οι προτάσεις οι οποίες μπορούν συνολικά για να αποδειχθούν. Ο πρώτος μαθηματικός ο οποίος ενδιαφέρθηκε για να κάνει τυποποίηση της διαδικασίας με την οποία μπορεί να γίνει απόδειξη των προτάσεων ήταν ο Gentzen. Ο Gentzen δημιούργησε για το σκοπό αυτό δύο συστήματα, το πρώτο ήταν αυτό της φυσικής απαγωγής και το δεύτερο ήταν το σύστημα των
ακολουθητικών. Αμφότερα τα συστήματα διευκόλυναν πάρα πολύ την εξέλιξη και τη μελέτη της μαθηματικής λογικής καθώς έδωσαν τη δυνατότητα στο να γίνει μελέτη της δομής των αποδείξεων. Επιπλέον, χάρη στα συστήματα αυτά ανακαλύφθηκαν απρόσμενες υπολογιστικές πτυχές οι οποίες ενυπήρχαν στις μαθηματικές αποδείξεις και δεν είχαν εντοπιστεί μέχρι πρότινος.