Σχολή Θετικών Επιστημών & Τεχνολογίας
Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά
Διπλωματική Εργασία
Μαθηματικά Μοντέλα Επιδημιολογίας
Χρήστος Πάτσκας
Επιβλέπων καθηγητής: Χρήστος Νικολόπουλος
Αθήνα, Ιούνιος 2019
Η παρούσα εργασία αποτελεί πνευματική ιδιο κτησία του φοιτητή συγγραφέα που την εκπόνησε. Στο πλαίσιο της πολιτικής ανοικτής πρόσβασης ο συγγραφέας εκχωρεί στο ΕΑ Π, μη αποκλειστική άδεια χρήσης του δικαιώματος αναπαραγωγής, προσαρμογής, δημόσιου δανεισμού, παρουσίασης στο κοινό και ψηφιακής διάχυσής τους διεθνώς, σε ηλεκτρονική μορφή και σε οποιοδήποτε μέσο, για διδακτικούς και ερευνητικούς σκοπούς, άνευ ανταλλάγματος και για όλο το χρόνο διάρκειας των δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας. Η ανοικτή πρόσβαση στο πλήρες κείμενο για μελέτη και ανάγνωση δεν σημαίνει καθ’ ο ιονδήποτε τρόπο παραχώρηση δικαιωμάτων διανοητικής ιδιοκτησίας του συγγραφ έα ούτε επιτρέπει την αναπαραγωγή, αναδημοσίευση, αντιγραφή, αποθήκευση, πώληση, εμπορική χρήση, μετάδοση, διανομή, έκδοση, εκτέλεση,
«μεταφόρτωση» (downloading), «ανάρτηση» (uploading), μετάφ ραση, τροποποίηση με οποιονδήποτε τρόπο, τμηματικά ή περιληπτικά της εργασίας, χωρίς τη ρητή προηγούμενη έγγραφη σ υναίνεση του
Μαθηματικά Μοντέλα Επιδημιολογίας
Χρήστος Πάτσκας
Επιτροπή Επίβλεψης Διπλωματικής Εργασίας Επιβλέπων Καθηγητής:
Χρήστος Νικολόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Συν-Επιβλέπων Καθηγητής:
Σφυρής Δημήτριος
Μεταδιδακτορικός Ερευνητής , Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αθήνα, Ιούνιος 2019
Ευχαριστίες
Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Χρήστο Νικολακόπουλο, για την αμέριστη βοήθεια και καθοδήγησή του στην εκπόνηση της διπλωματικής αυτής εργασίας.
Η εργασία αυτή αφιερώνεται στη σύζυγο και στις κόρες μου
"Τα πάντα έκαμε καλά εν τω καιρώ εκάστου· και τον κόσμον υπέβαλεν εις την διάνοιαν αυτών, χωρίς ο
Περίληψη
Κάθε χρόνο εκατομμύρια άνθρωποι σε όλο τον κόσμο πεθαίνουν από λοιμώδεις ασθένειες όπως γρίπη, ιλαρά, ελονοσία, φυματίωση, HIV. Ενώ υπάρχουν πάρα πολλοί και πολύπλοκοι παράγοντες που συμβάλλουν σε μια επιδημία, απλά μαθηματικά μοντέλα μπορούν να δώσουν μια εικόνα για τη δυναμική των επιδημιών και να βοηθήσουν τις αρχές στη χάραξη πολιτικής για τη δημόσια υγεία.
Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται μια εισαγωγή στα Μαθηματικά Μοντέλα Επιδημιολογίας.
Γίνεται μελέτη διαφόρων μαθηματικών μοντέλων διάδοσης ασθενειών, διερεύνηση μεθόδων αντιμετώπισης αλλά και αποφυγής αυτών. Για τους σκοπούς της έρευνας χρησιμοποιείται η θεωρία δυναμικών συστημάτων, μέθοδοι διαταραχής των σημείων ισορροπίας ενός δυναμικού συστήματος, ασυμπτωτική ανάλυση και αριθμητικές μέθοδοι.
Επιπλέον εφαρμόζονται τα αποτελέσματα του μοντέλου SIR σε μια επιδημία γρίπης σε αγγλικό οικοτροφείο και στην επιδημία πανώλης στη Βομβάη, και τα αποτελέσματα ενός απλού μοντέλου για την ταχύτητα της χωρικής εξάπλωσης στην επιδημία της Μαύρης Πανώλης (Black Death) που εμφανίστηκε τον 140 αιώνα στην Ευρώπη.
Για την πειραματική διερεύνηση και μελέτη των εξισώσεων που υπάρχουν στην εργασία χρησιμοποιείται κυρίως το λογισμικό πρόγραμμα MATHEMATICA.
Λέξεις – Κλειδιά
Μολυσματικοί, Ευπαθής πληθυσμός, περίοδος επώασης, ρυθμός αναπαραγωγής ασθένειας, ανάρρωση, σημείο ισορροπίας.
Abstract
Each year, millions of people worldwide die from infectious diseases such as the flu, measles, malaria, tuberculosis, HIV. While there are many complicating factors, simple mathematical models can provide much insight into the dynamics of disease epidemics and help officials make decisions about public health policy.
This dissertation constitutes an introduction to the Mathematical Models of Epidemiology.
Various mathematical models of disease propagation are being studied, methods of treatment and prevention are being investigated. We use the theory of dynamical systems, perturbation methods, asymptotic analysis and various numerical methods.
Moreover, we apply the results of the SIR model to an influenza epidemic in an English boarding school and to an epidemic plague in Bombay, and the results of a simple model for the speed of spatial spread to the Black Death epidemic that occurred in the 14th century in Europe.
For the experimental investigation and study of the equations presented in this essay, the software program MATHEMATICA is mainly used.
Keywords
Infective, Susceptible, Incubation period, Reproduction rate of disease, Recovery Equilibrium point.
Περιεχόμενα
Περίληψη... 1
Abstract ... 3
Περιεχόμενα ... 5
1. Ιστορική αναδρομή ... .7
1.1 Η Μαύρη Πανώλη (Black Death). ... 7
1.2 Η πανούκλα των Αθηνών ... 8
1.3 Η πανούκλα του Ιουστινιανού ... 8
1.4 Η τρίτη πανδημία πανούκλας ... 9
1.5 Η πρώτη πανδημία χολέρας... 9
1.6 Η επιδημία πολιομυελίτιδας του 1916 ... 10
1.7 Ο κίτρινος πυρετός του Μέμφις ... 10
1.8 Η πανδημία γρίπης του 1918-1919 ... 10
1.9 Η επιδημία ανεμοβλογιάς στην Ινδία ... 11
1.10 Ο SARS ... 11
2. Γιατί επιδημιολογικά μοντέλα ; ... 12
3. Συμβολισμοί μοντέλων... ... 15
4. Απλό μοντέλο επιδημίας σε μη σταθερό πληθυσμό ... 17
5. Απλό μοντέλο επιδημίας (SI) σε σταθερό πληθυσμό ... 21
6. Μοντέλο Kermack - McKendrick (SIR) ... 24
6.1 Εφαρμογή σε επιδημία γρίπης σε αγγλικό οικοτροφείο ... 30
6.2 Εφαρμογή σε επιδημία πανώλης στη Βομβάη ... 31
7. Μοντέλο επώασης ... 33
8. Απλό μοντέλο ΣΜΝ. ... 40
9. Απλό μοντέλο χωρικής διασποράς... 48
9.1 Εφαρμογή στη Μαύρη Πανώλη (Black Death)... 53
10. Mοντέλο χωρικής διασποράς ... 56
10.1 Ταχύτητα κύματος ... 60
11. Συμπεράσματα... 62
Βιβλιογραφία... 64
1. Ιστορική αναδρομή
Η ιστορία των επιδημιών είναι πολύ συναρπαστική και πρέπει να μας διδάσκει. Η παλαιότερη αναφορά μιας πιθανής επιδημίας, μάλλον επιδημία πανούκλας, βρίσκεται στη Βίβλο. Η πανούκλα περιγράφεται ως μάστιγα που έπληξε τους Φιλισταίους επειδή είχαν κλέψει την κιβωτό της Διαθήκης από τον λαό Ισραήλ. Έτσι οι Φιλισταίοι τιμωρήθηκαν για το αμάρτημά τους. Αυτά τα γεγονότα έχουν χρονολογηθεί περίπου στο δεύτερο μισό του 11ου αιώνα π.Χ..
1.1 Η Μαύρη Πανώλη (Black Death)
Η πιο γνωστή περίπτωση επιδημίας είναι η Μαύρη Πανώλη ή Μαύρος Θάνατος (Black Death). Ήταν μια πανδημία από τις πιο καταστροφικές στην ανθρώπινη ιστορία. Οι πρώτες επίσημες καταγραφές της πανδημίας ξεκίνησαν τον Οκτώβριο του 1347, όταν γενοβέζικα εμπορικά πλοία από το λιμάνι της Κάφας στη Μαύρη Θάλασσα, που προσέγγισαν το λιμάνι της Μεσσήνης στη Σικελία γεμάτα ετοιμοθάνατους και νεκρούς, μετέφεραν στην Ευρώπη την ασθένεια της πανώλης.
Η ασθένεια αυτή είχε δύο μορφές: τη βουβωνική (ή σηψαιμική) και την πνευμονική.
Μεταδιδόταν ακαριαία και βοηθούμενη από τις κακές συνθήκες υγιεινής, την έλλειψη ιατρικών γνώσεων της εποχής και τις επακόλουθες δεισιδαιμονικές προλήψεις, στις αρχές του 1348 είχε ήδη διαδοθεί από την Ιταλία, σε όλη την κεντρική Γαλλία, μέχρι τον χειμώνα του ιδίου έτους στην νότια Αγγλία και, στη συνέχεια, στις Κάτω Χώρες.
Συνέπεια της επιδημίας ήταν να χαθεί σχεδόν το ένα τρίτο του πληθυσμού της Ευρώπης. Ο συνολικός ανθρώπινος απολογισμός της υπολογίζεται σε 75 έως 100 εκατομμύρια νεκρούς στην Ευρώπη και στην Ασία. Η επιδημία ξαναχτύπησε και στα επόμενα χρόνια του 14ου αιώνα, με μικρά χρονικά διαλείμματα, αναιρώντας έτσι ολοκληρωτικά τη δημογραφική αύξηση που είχε σημειωθεί στα μέσα του 13ου αιώνα. Ο παγκόσμιος πληθυσμός επανήλθε στα επίπεδα πριν το 1347 μόλις τον 17ο αιώνα.
Η πανδημία προκλήθηκε πιθανώς από το εντεροβακτήριο Yersinia pestis ή Bacillus pestis, που ενδημεί σε πληθυσμούς της κεντρικής Ασίας. Μεταδίδεται από ψύλλους και μαύρους αρουραίους στον άνθρωπο. Η δημοφιλέστερη θεωρία για την έναρξή της είναι ότι προήλθε από τις στέπες της Μογγολίας μέσω σταυροφόρων που επέστρεφαν από τη Μέση Ανατολή,
αν και υπάρχει επίσης η άποψη ότι προήλθε από τη βόρεια Ινδία. Πιθανώς μεταφέρθηκε από τις μογγολικές στρατιές και εμπόρους που ακολουθούσαν το δρόμο του μεταξιού. Υπάρχει η εκδοχή να ξεκίνησε λίγο μετά από το 1200 στα Ιμαλάια.
1.2 Η πανούκλα των Αθηνών
Μια επιδημία με την οποία ασχολήθηκαν πολλοί ερευνητές για πολύ μεγάλο διάστημα είναι η πανώλη της Αθήνας (430-428 π.Χ.) που περιγράφεται με πολλές λεπτομέρειες από τον Θουκυδίδη. Αναφέρει τα συμπτώματα αλλά και την εξέλιξη της ασθένειας που είχε σαν αποτέλεσμα να πεθάνουν 1050 από τους 4000 στρατιώτες σε μια εκστρατεία. Μια πανούκλα τόσο μεγάλη (σαν αυτή) και με τόσο καταστροφικές συνέπειες που δεν είχε όμοιά της στην ανθρώπινη ιστορία. Έτσι περιέγραφε ο Θουκυδίδης -στην ιστορία του Πελοποννησιακού Πολέμου- την επιδημία που ξέσπασε στην Αθήνα και άλλαξε τις στρατιωτικές ισορροπίες στον μακρόχρονο πόλεμο Αθήνας-Σπάρτης. Οι ιστορικοί ερίζουν για τη φύση της νόσου, με κάποιους να υποστηρίζουν ότι επρόκειτο για τύφο ή ανεμοβλογιά, και ίσως να μη μάθουμε ποτέ τι πραγματικά χτύπησε τους πολίτες της Αθήνας. Ο Θουκυδίδης εντόπισε τις ρίζες της πανούκλας στην Αιθιοπία και υπολόγισε ότι η επιδημία εξαφάνισε το 1/3 περίπου του πληθυσμού της Αθήνας, με τα στρατεύματα της πόλης να δέχονται ανεπανόρθωτο πλήγμα.
Μια ενδιαφέρουσα διάσταση στην εξιστόρηση του Θουκυδίδη είναι το ότι δεν υπάρχει καμία αναφορά για την από άνθρωπο σε άνθρωπο μετάδοση της ασθένειας. Αυτό που πλέον όλοι αποδεχόμαστε για τις μολυσματικές ασθένειες άρχισε να συζητιέται στα μέσα του 19ου αιώνα
1.3 Η πανούκλα του Ιουστινιανού
Την ώρα που οι στρατιές του παντοδύναμου βυζαντινού αυτοκράτορα Ιουστινιανού αναβίωναν την παλιά δόξα της ρωμαϊκής αυτοκρατορίας ανακαταλαμβάνοντας χαμένα εδάφη, ένας εσωτερικός εχθρός έδειχνε τα τρομακτικά του δόντια: περί το 540 μ.Χ. μια άγνωστη ασθένεια που γεννιόταν από τα τρωκτικά της Αιγύπτου μεταφερόταν μέσω καραβιών στην Κωνσταντινούπολη. Σύμφωνα με εκτιμήσεις, εξαιτίας της πανούκλας χάνονταν 5.000 ζωές την ημέρα, αφανίζοντας τον μισό περίπου πληθυσμό της πόλης. Η πανδημία δεν περιορίστηκε ωστόσο εντός των τειχών της Κωνσταντινούπολης, αλλά
εξαπλώθηκε σε Ευρώπη και Ασία και αποτέλεσε τη φονικότερη επιδημία της αρχαιότητας.
Πενήντα μόνο χρόνια από την πρώτη εκδήλωσή της, 25-100 εκατομμύρια άνθρωποι είχαν χάσει τη ζωή τους.
1.4 Η τρίτη πανδημία πανούκλας
Στη δεκαετία του 1850, η επαρχία Yunnan της Κίνας έμελλε να γίνει το ζοφερό σκηνικό πάνω στο οποίο θα στηνόταν η τρίτη (και τελευταία) πανδημία πανούκλας που γνώρισε ο κόσμος. Ο λοιμώδης πυρετός έπληξε τους κατοίκους της περιοχής, εξοντώνοντας δεκάδες χιλιάδες, ενώ περί τα τέλη του 19ου αιώνα η επιδημία εξαπλωνόταν και στις γύρω περιοχές (Χονγκ - Κονγκ, Ινδία, Νότια Αφρική, Ισημερινό, Σαν Φρανσίσκο κ.λπ.), με καταστροφικές συνέπειες: 12 εκατομμύρια άνθρωποι θα έχαναν τη ζωή τους. Η επιστημονική γνώση που αναπτύχθηκε ωστόσο από την πάλη των γιατρών με τη νόσο εξασφάλισε το γεγονός ότι ο κόσμος δεν θα ξανάβλεπε και μια τέταρτη πανδημία πανούκλας στην ιστορία του.
1.5 Η πρώτη πανδημία χολέρας
Η χολέρα πορεύτηκε με την ανθρωπότητα για αιώνες, με τον Ιπποκράτη να την υπαινίσσεται στην ιατρική του, ήταν ωστόσο για μακρό διάστημα περιορισμένη στο δέλτα του Γάγγη στην Ινδία. Το 1817 όμως ταξιδιώτες μετέφεραν τη νόσο, μέσα από τους δρόμους του εμπορίου, σε όλη τη χώρα και τις γειτονικές περιοχές που καταλαμβάνουν σήμερα οι χώρες της Βιρμανίας και της Σρι Λάνκα. Η «ασιατική χολέρα», όπως ονομάστηκε στη Δύση (που δεν είχε χτυπηθεί από τη χολέρα μέχρι το 1830) απαίτησε τη ζωή χιλιάδων ανθρώπων, ενώ χτύπησε τελικά και τις Φιλιππίνες και το Ιράκ, όπου 18.000 άνθρωποι πέθαναν κατά τις τρεις πρώτες βδομάδες εκδήλωσης της επιδημίας. Η «ασιατική χολέρα» ήταν η πρώτη από τις 7 πανδημίες χολέρας που θα ξεσπούσαν στον πλανήτη.
1.6 Η επιδημία πολιομυελίτιδας του 1916
Η παραλυτική νόσος πρόσβαλε χιλιάδες στην Αμερική, σκοτώνοντας πάνω από 6.000 ανθρώπους. Η πανδημία πολιομυελίτιδας του 1916 αριθμούσε 9.000 περιστατικά στη Νέα Υόρκη μόνο, γεγονός που επέβαλε καραντίνες σε όλες τις ΗΠΑ. Η πολιομυελίτιδα έμελλε ωστόσο να στοιχειώσει την Αμερική για δεκαετίες, με το 25% των ασθενών να καταλήγουν.
Και έπρεπε να περιμένουμε ως τη δεκαετία του 1950 για να αναπτυχθεί το εμβόλιο από τον Jonas Salk.
1.7 Ο κίτρινος πυρετός του Μέμφις
Το 1878 χιλιάδες Κουβανοί εγκατέλειπαν την πατρίδα τους, ως αποτέλεσμα του δεκαετή πολέμου της χώρας για ανεξαρτησία από την Ισπανία. Στο ταξίδι τους για την Αμερική μετέφεραν ωστόσο άθελά τους και τον κίτρινο πυρετό. Η Νέα Ορλεάνη ήταν το θύμα της πρώτης επιδημίας κίτρινου πυρετού που γνώριζε ο Νέος Κόσμος, με τη νόσο να ανηφορίζει τον ποταμό Μισισίπι και να εξαπλώνεται στο Μέμφις. Μέχρι το τέλος του χρόνου, πάνω από 5.000 κάτοικοι του Μέμφις έχασαν τη ζωή τους, ενώ οι συνολικές απώλειες στην κοιλάδα του Μισισίπι ανήλθαν στις 20.000.
1.8 Η πανδημία γρίπης του 1918-1919
Ο Πρώτος Παγκόσμιος Πόλεμος είχε έναν σοβαρό ανταγωνιστή στη φονικότητα: την
«ισπανική γρίπη», όπως έμεινε στην Ιστορία. Η κρίση γρίπης σκότωσε δεκάδες εκατομμύρια και μόλυνε το 1/3 περίπου του παγκόσμιου πληθυσμού. Τα θύματα του ιού πέθαιναν γρήγορα και οδυνηρά. Ακόμα και ο νόμος για υποχρεωτική μάσκα σε δημόσια μέρη δεν κατάφερε να περιορίσει τη θανατηφόρα του δράση. Από τις αυτοψίες των πτωμάτων που είχαν χτυπηθεί από την «ισπανική γρίπη» διαπιστώνονταν ότι οι πνεύμονες των νεκρών ήταν γεμάτοι υγρό.
Οι ασθενείς πέθαιναν πράγματι από πνιγμό.
1.9 Η επιδημία ανεμοβλογιάς στην Ινδία
Παρόλο που δεν ήταν η πρώτη φορά που μια επιδημία ανεμοβλογιάς ξεσπούσε σε κάποια γωνιά του πλανήτη, η μολυσματική νόσος έδειξε τα τρομακτικά της δόντια στην Ινδία περί τα μέσα του 1970, με περισσότερα από 100.000 καταγεγραμμένα κρούσματα και τουλάχιστον 20.000 θανάτους. Έπειτα από μια περίοδο ωστόσο συντονισμένης δράσης και στενής παρακολούθησης από διεθνή επιτροπή, η Ινδία κατάφερε επισήμως να βγει από την καραντίνα τον Μάιο του 1975.
1.10 Ο SARS
Ο ιός του αναπνευστικού που χτύπησε την Ασία το 2003 και έκανε δημοφιλή τη χειρουργική μάσκα, κατάφερε να εξαπλωθεί σε είκοσι και πλέον χώρες της Βόρειας και Νότιας Αμερικής, Ευρώπης και Ασίας, πριν τεθεί υπό περιορισμό. Περισσότεροι από 8.000 άνθρωποι προσβλήθηκαν από τον SARS, ενώ τα θύματά του ανήλθαν σε 774. Έπειτα βέβαια από 6 μήνες πανικού, η επιδημία καταλάγιασε και τέθηκε υπό έλεγχο τον Ιούλιο του 2003. Ακόμα και σήμερα ωστόσο, καθώς οριστική θεραπεία για τον SARS δεν υπάρχει, ο Παγκόσμιος Οργανισμός Υγείας είναι προσανατολισμένος στην ενημέρωση του κόσμου σχετικά με δράσεις πρόληψης του ιού.
Η μελέτη των επιδημιών με τη μακρά τους ιστορία μάς φέρνει μια πληθώρα από θεωρίες που προσπαθούν να περιγράψουν, να εξηγήσουν και να αιτιολογήσουν την έξαρση των επιδημιών.
Ακόμη και σήμερα η αιτία των επιδημιών αποδίδεται σε κακά πνεύματα ή σε δυσαρεστημένους θεούς. Για παράδειγμα το AIDS, η κυρίαρχη επιδημία των τελευταίων 20 ετών και η πανδημία της ισπανικής γρίπης το 1918 πιστεύεται ότι είναι μια τιμωρία από τον Θεό.
2. Γιατί επιδημιολογικά μοντέλα ;
Αν και ο εμβολιασμός μπορεί να γίνει για πολλές μολυσματικές ασθένειες, αυτές θα συνεχίσουν να βασανίζουν πολύ κόσμο και να επιφέρουν το θάνατο, ειδικά στις αναπτυσσόμενες χώρες. Σε αναπτυγμένες χώρες οι χρόνιες αρρώστιες όπως ο καρκίνος και οι καρδιακές παθήσεις λαμβάνουν μεγαλύτερη προσοχή από τις μολυσματικές ασθένειες οι οποίες ωστόσο προκαλούν τους περισσότερους θανάτους στον κόσμο. Τελευταία ο ιός HIV που προκαλεί το AIDS έχει γίνει μια πολύ σημαντική μολυσματική ασθένεια στις αναπτυσσόμενες αλλά και στις αναπτυγμένες χώρες.
Ο μηχανισμός μετάδοσης μια μολυσματικής ασθένειας από ένα μολυσμένο άτομο σε ένα άλλο ευπαθές άτομο είναι κατανοητός για όλες σχεδόν τις λοιμώδεις νόσους και επίσης είναι γνωστός ο τρόπος εξάπλωσης των ασθενειών μέσα από μια αλυσίδα μετάδοσης των μολύνσεων. H αλληλεπίδραση της μετάδοσης σε έναν πληθυσμό είναι αρκετά περίπλοκη και έτσι είναι πολύ δύσκολο να καταλάβουμε τη δυναμική της εξάπλωσης μιας μολυσματικής ασθένειας χωρίς να γνωρίζουμε την τυπική δομή του αντίστοιχου μαθηματικού μοντέλου.
Ένα επιδημιολογικό μοντέλο χρησιμοποιεί την μικροσκοπική περιγραφή, δηλαδή τον ρόλο ενός μολυσμένου ατόμου, για να προβλέψει την μακροσκοπική συμπεριφορά της εξάπλωσης της ασθένειας διαμέσου του πληθυσμού.
Σε πολλές επιστήμες είναι δυνατόν να διεξάγουμε πειράματα για να πάρουμε πληροφορίες και να ελέγξουμε υποθέσεις. Πειράματα με μολυσματικές ασθένειες που διαδίδονται σε ανθρώπινους πληθυσμούς είναι συνήθως αδύνατα, ανήθικα ή πανάκριβα. Οι πληροφορίες που παίρνουμε είναι συνήθως από επιδημίες που εμφανίζονται φυσικά χωρίς την ανθρώπινη σκοπιμότητα και είναι συνήθως ανεπαρκείς λόγω της ελλιπούς πληροφόρησης. Αυτό το κενό των αξιόπιστων πληροφοριών κάνει την ακριβή εκτίμηση των εμφανιζόμενων παραμέτρων δύσκολη και γι' αυτό μπορούμε να εκτιμήσουμε μόνο ένα εύρος τιμών για κάποιες παραμέτρους.
Αφού τα επαναλαμβανόμενα πειράματα και τα αξιόπιστα δεδομένα δεν είναι διαθέσιμα στην επιδημιολογία, θα χρησιμοποιήσουμε μαθηματικά μοντέλα και εξομοιώσεις με υπολογιστές για να διεξάγουμε τα απαραίτητα θεωρητικά πειράματα. Έτσι μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς για μια πληθώρα τιμών των μεταβλητών και των αρχικών συνθηκών.
Τα μαθηματικά μοντέλα έχουν κάποιους περιορισμούς αλλά και δυνατότητες που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Πολλές φορές οι ερωτήσεις δεν μπορούν να απαντηθούν χρησιμοποιώντας επιδημιολογικά μοντέλα, άλλες φορές όμως ο ερευνητής μπορεί να πετύχει τον σωστό συνδυασμό από τα διαθέσιμα δεδομένα, ενδιαφέρουσες ερωτήσεις και ένα μαθηματικό μοντέλο και, με τον τρόπο αυτό, να οδηγηθεί σε απαντήσεις.
Αντιπαραβολές και συγκρίσεις μπορούν να οδηγήσουν σε μια καλύτερη κατανόηση της διαδικασίας μετάδοσης μιας μολυσματικής ασθένειας. Η μοντελοποίηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συγκρίνουμε διαφορετικές ασθένειες στον ίδιο πληθυσμό ή την ίδια ασθένεια σε διαφορετικούς πληθυσμούς ή την ίδια ασθένεια σε διαφορετικές χρονικές περιόδους.
Επιδημιολογικά μοντέλα είναι επίσης χρήσιμα για να συγκρίνουμε τις επιπτώσεις που θα είχε μια ενδεχόμενη προσπάθεια αποτροπής της επιδημίας ή μια προσπάθεια ελέγχου της διαδικασίας μετάδοσης της νόσου. Τα μοντέλα αυτά είναι συνήθως η μόνη πρακτική προσέγγιση για την απάντηση στο ερώτημα για το ποια διαδικασία αποτροπής ή ελέγχου είναι πιο αποτελεσματική.
Ποσοτικές προβλέψεις των επιδημιολογικών μοντέλων εμπεριέχουν αβεβαιότητα καθώς τα μοντέλα είναι συνήθως ιδανικά, με πολλές απλουστεύσεις και παραδοχές, αφού πολλές τιμές των παραμέτρων μπορούν μόνο να εκτιμηθούν και όχι να μετρηθούν με ακρίβεια. Ωστόσο οι προβλέψεις για τη σχετική εγκυρότητα των διαφόρων μεθόδων ελέγχου είναι συνήθως αξιόπιστες και ισχυρές με την έννοια ότι στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε για ένα μεγάλο εύρος των τιμών των παραμέτρων αλλά και για πληθώρα μοντέλων.
Βέλτιστες στρατηγικές εμβολιασμού μπορούν να βρεθούν θεωρητικά με τη χρήση μοντέλων.
Οι Longini, Ackerman και Elveback (βλ [6]) χρησιμοποίησαν ένα επιδημιολογικό μοντέλο για να αποφασίσουν ποια ηλικιακή ομάδα θα εμβολιασθεί πρώτα για να ελαχιστοποιηθεί το κόστος ή ο αριθμός των θανάτων σε μια επιδημία γρίπης. Σίγουρα θα χρειαστούν περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την αποτελεσματικότητα του εμβολιασμού ως μια συνάρτηση του χρόνου για να μπορέσουμε να εκτιμήσουμε την ηλικία στην οποία θα πρέπει να γίνει ο εμβολιασμός για να έχουμε τα βέλτιστα αποτελέσματα. Γι' αυτό λοιπόν τα επιδημιολογικά μοντέλα μπορούν να βοηθήσουν για να πάρουμε αυτές τις χρήσιμες πληροφορίες.
Μια υποτιμημένη αξία των επιδημιολογικών μοντέλων είναι ότι μας οδηγούν σε ξεκάθαρες υποθέσεις σχετικά με τους βιολογικούς και κοινωνικούς μηχανισμούς με τους οποίους η ασθένεια εξαπλώνεται. Οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιούνται στα επιδημιολογικά μοντέλα πρέπει να έχουν μια ξεκάθαρη αντιστοίχιση με φυσικά μεγέθη που δεν δέχονται αμφισβήτηση, όπως για παράδειγμα ο ρυθμός διεπαφής ή αναπαραγωγής της ασθένειας, ρυθμός δηλαδή με τον οποίο ένα μολυσμένο άτομο μεταδίδει την ασθένεια σε άλλο ευπαθές άτομο, η διάρκεια της ασθένειας, ο χρόνος επώασης της ασθένειας κ.ο.κ..
Τα μοντέλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκτιμήσουμε πολλές ποσοτικές υποθέσεις.
Για παράδειγμα ένα μοντέλο θα μπορούσε να ελέγξει την υπόθεση ότι το AIDS θα μειωνόταν αν ένα μεγάλο ποσοστό του ετεροφυλικού, σεξουαλικά ενεργού πληθυσμού χρησιμοποιούσε συστηματικά προφυλακτικά. Τα μοντέλα μπορούν επίσης να προβλέψουν την εξάπλωση ή την εξάλειψη μιας ασθένειας. Για παράδειγμα ο Heathcote (βλ [5]) προέβλεψε ότι η ερυθρά και το σύνδρομο της συγγενούς ερυθράς θα εξαφανισθεί τελικώς από τις ΗΠΑ γιατί το επίπεδο εμβολιασμού (χρησιμοποιώντας τον συνδυασμό του εμβολίου ιλαράς - παρωτίτιδας και ερυθράς) είναι αρκετά πάνω από το όριο που απαιτείται για να αποκτήσουμε ανοσία για την ιλαρά. Ένα επιδημιολογικό μοντέλο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να προσδιορισθεί η ευαισθησία των προβλέψεων στις αλλαγές των τιμών των παραμέτρων.
Εφόσον προσδιορισθούν οι τιμές των παραμέτρων που έχουν τη μεγαλύτερη επιρροή στις προβλέψεις, θα είναι δυνατόν στη συνέχεια να προβούμε σε μελέτες για την καλύτερη εκτίμηση αυτών των παραμέτρων.
3. Συμβολισμοί μοντέλων
Τα ευπαθή άτομα, δηλαδή αυτά που μπορούν να προσβληθούν ευκολότερα από τη μεταδοτική ασθένεια, τα συμβολίζουμε με S (susceptible). Τα μολυσμένα άτομα, αυτά δηλαδή που έχουν προσβληθεί από τη νόσο και μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια τα συμβολίζουμε με I (infective). Τα άτομα που έχουν μεν μολυνθεί αλλά για διάφορους λόγους δεν μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια (έχουν αποκτήσει ανοσία ή έχουν μπει σε καραντίνα κλπ ) τα συμβολίζουμε με R (recovery) . Τα άτομα που έχουν μολυνθεί και βρίσκονται σε φάση επώασης (incubation) τα συμβολίζουμε με Ε.
Είδη μοντέλων :
SIS
Είναι τα μοντέλα στα οποία τα άτομα δεν αποκτούν ανοσία αφού γίνουν καλά και επομένως, μπορούν ξανά να μολυνθούν από την ασθένεια.
Ευπαθή Μολυσμένα Ευπαθή
SIR
Είναι τα μοντέλα στα οποία τα άτομα, αφού γίνουν καλά, αποκτούν μόνιμη ανοσία και δεν μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια.
Ευπαθή Μολυσμένα Ανοσία
SIRS
Είναι τα μοντέλα στα οποία τα άτομα, αφού γίνουν καλά, αποκτούν προσωρινή ανοσία και μετά μπορούν να μολυνθούν ξανά και να μεταδώσουν την ασθένεια.
Ευπαθή Μολυσμένα Ανοσία Ευπαθή
S I S
S I R
S I R S
SI
Είναι τα μοντέλα στα οποία τα άτομα αφού μολυνθούν δεν μπορούν να θεραπευθούν.
Ευπαθή Μολυσμένα
SΕIR
Είναι τα μοντέλα στα οποία τα άτομα αφού μολυνθούν θα μπορούν να γίνουν μεταδοτικοί μόνο όταν έχει τελειώσει ο χρόνος επώασης της ασθένειας.
Ευπαθή Επώαση Μολυσμένα
Ανοσία
Γενικά τα μοντέλα SIR είναι πιο κατάλληλα για ασθένειες που οφείλονται σε ιούς όπως ιλαρά, παρωτίτιδα και ευλογιά. Τα μοντέλα SIS είναι κατάλληλα για μοντέλα με ασθένειες που οφείλονται σε βακτήρια όπως μηνιγγίτιδα, πανώλη και αφροδίσια νοσήματα αλλά και για ασθένειες με πρωτόζωα όπως η ελονοσία και τρυπανοσωμίαση (ασθένεια του ύπνου ή εγκεφαλίτιδα). Τα μοντέλα SI είναι κατάλληλα για ασθένειες όπως το AIDS όπου δεν υπάρχει ακόμη θεραπεία.
Μια βασική αρχή στην επιδημιολογία είναι η ύπαρξη οριακών τιμών, δηλαδή κρίσιμων τιμών για ποσότητες όπως ο ρυθμός διεπαφής, το μέγεθος πληθυσμού, η πληθυσμιακή πυκνότητα , ο ρυθμός θνησιμότητας κ.ά., που παίζουν καθοριστικό ρόλο για τη γέννηση μιας επιδημίας ή όχι και επίσης καθορίζουν και τον ρυθμό εξάπλωσης ή εξάλειψής της.
S I
S E I R
4. Απλό μοντέλο επιδημίας σε μη σταθερό πληθυσμό
Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα πληθυσμό μη σταθερό όπου υπάρχουν ενδημούντες, αποδημούντες , γεννήσεις και θάνατοι . Έστω ότι έχουμε :
x ευπαθή άτομα με την έννοια ότι αυτά μπορούν να προσβληθούν από τη μεταδοτική ασθένεια
y μολυσμένα άτομα τα οποία μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια
Υποθέτουμε ότι στο χρονικό διάστημα dt ο αριθμός των ατόμων που μπορούν να μολύνουν είναι
μ x y dt άτομα
και ταυτόχρονα κάποια μολυσμένα άτομα είτε έχουν πεθάνει , είτε έχουν απομονωθεί ή έχουν γίνει καλά και έχουν αποκτήσει ανοσία. Υποθέτουμε ότι έχουν φύγει έτσι
ν y dt άτομα.
Αν στο διάστημα αυτό προστίθενται
ρ dt νέα ευπαθή άτομα τότε έχουμε το εξής μοντέλο :
x' = - μ x y + ρ y' = μ x y - ν y όπου μ, ν, ρ είναι θετικές σταθερές.
Αν (x0,y0) είναι ένα σημείο ισορροπίας τέτοιο ώστε x' = 0 , y' = 0 τότε έχουμε - μ x0 y0 + ρ = 0
μ x0 y0 - ν y0 = 0 με x0 = , y0 = .
Ας δούμε πως θα συμπεριφερθεί ο πληθυσμός αν προσεγγίσουμε το σημείο ισορροπίας με ένα γειτονικό του σημείο. Κάνουμε γραμμικοποίηση κοντά στο σημείο ισορροπίας εφαρμόζοντας θεωρία διαταραχών. Θέτουμε για
x = x0 (1+ξ) και y = y0 (1+η)
όπου ξ και η είναι πολύ μικρές ποσότητες δηλαδή ξ 0 και η 0 και αντικαθιστώντας στο σύστημα ( απαλείφοντας ποσότητες που έχουν γινόμενο των ξ και η γιατί είναι πάρα πολύ μικρές) παίρνουμε
ξ' = - σ (ξ+η) η' = νξ όπου σ = μρ/ν.
Αντικαθιστούμε το ξ στην δεύτερη εξίσωση και παίρνουμε η''+ ση' + σνη = 0
με αρχικές συνθήκες η = η0 , η' = νξ0 για t = 0.
H εξίσωση έχει λύση
όπου ω2 = σ ν - σ2/4.
Έτσι έχουμε ξ
.
Αν ω2 > 0, δηλαδή 4ν > σ ή 4ν2 > μρ τότε ο πληθυσμός αφού ταλαντευτεί γύρω από το σημείο ισορροπίας θα επανέλθει σ' αυτό με εκθετική απόσβεση.
Στα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 4.1, Σχήμα4.2) έχουμε βάλει τις εξής τιμές στις παραμέτρους: μ = 0.009, ρ = 2, ν =0.8, x(0) = 80, y(0) = 20.
Έτσι έχουμε 4ν2 = 2.56 > 0.018 = μ ρ. Το σημείο ισορροπίας είναι (x0,y0) =
Σχήμα 4.1. Γ ραφική παράσταση των τροχιών x(t), y(t) συναρτήσει του χρόνου t όταν ω2 > 0.
Σχήμα 4.2. Οι τροχιές στο επίπεδο των φάσεων x(t), y(t) όταν ω2 > 0.
Το βέλος δείχνει την πορεία του χρόνου.
Αν ω2 < 0, δηλαδή 4ν2 < μρ τότε το γεγονός ότι |ω|< σ/2 μας εξασφαλίζει πάλι την εκθετική απόσβεση και επιστροφή στο σημείο ισορροπίας χωρίς ταλάντωση όμως.
Στα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 4.3, Σχήμα 4.4) έχουμε βάλει τις εξής τιμές στις παραμέτρους: μ = 2.5, ρ = 20, ν = 3.5, x(0) = 80, y(0) = 20.
100 200 300 400 500
t 20
40 60 80 100 120 x t, y t
60 70 80 90 100 110 120 x
5 10 15 20 y
x(t)
y(t)
x(t) y(t)
Έτσι έχουμε 4ν2 = 49 < 50 = μ ρ. Το σημείο ισορροπίας είναι (x0,y0) =
Σχήμα 4.3. Γ ραφική παράσταση των τροχιών x(t), y(t) συναρτήσει του χρόνου t όταν ω2 < 0.
Σχήμα 4.4. Οι τροχιές στο επίπεδο των φάσεων x(t), y(t) όταν ω2 < 0.
Το βέλος δείχνει την πορεία του χρόνου.
Και στις δύο περιπτώσεις ο πληθυσμός επιστρέφει στο σημείο ισορροπίας, με μεγαλύτερη όμως ταχύτητα όταν υπάρχει ταλάντωση.
2 4 6 8 10
t 20
40 60 80 x t ,y t
20 40 60 80
40 60 80
y(t) x(t)
y(t)
x(t)
5. Απλό μοντέλο επιδημίας (SI) σε σταθερό πληθυσμό
Υποθέτουμε ότι έχουμε μια κλειστή κοινωνία, δηλαδή έναν πληθυσμό σταθερό Ν όπου δεν υπάρχουν ενδημούντες ή αποδημούντες, ούτε γεννήσεις και θάνατοι και ότι είναι ομοιόμορφα ανακατεμένοι. Επίσης υποθέτουμε ότι η λοιμώδης νόσος δεν έχει περίοδο επώασης και ότι δεν υπάρχει θεραπεία για την ασθένεια.
Έστω ότι έχουμε :
S
ευπαθή άτομα I μολυσμένα άτομα
Έστω ότι ο ρυθμός μετάδοσης της ασθένειας είναι ανάλογος του πλήθους των ευπαθών ατόμων και ανάλογος του πλήθους των μολυσμένων ατόμων.
Οι εξισώσεις που περιγράφουν το μοντέλο είναι:
όπου α είναι μια θετική ποσότητα.
Εφόσον έχουμε σταθερό πληθυσμό , δηλαδή S(t) + I(t) = N τότε έχουμε με αντικατάσταση το ισοδύναμο σύστημα
Αυτή η μη γραμμική ΣΔΕ είναι γνωστή ως λογιστική εξίσωση ανάπτυξης (logistic growth equation) και ονομάστηκε έτσι από τον Pierre François Verhulst το 1845, έναν Βέλγο μαθηματικό και γιατρό, ο οποίος μελέτησε μοντέλα ανάπτυξης πληθυσμών.
Είναι χωριζόμενων μεταβλητών, οπότε, διαιρώντας, έχουμε:
ή
και ολοκληρώνοντας παίρνουμε
:
Έχουμε την λογιστική καμπύλη και παρατηρούμε ότι καθώς το έχουμε ότι , δηλαδή τελικώς όλοι θα μολυνθούν.
Στα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 5.1 και Σχήμα 5.2) έχουμε την γραφική παράσταση των ευπαθών S και των μολυσμένων I στο πέρασμα του χρόνου και τις τροχιές τους στο επίπεδο των φάσεων τους αντίστοιχα.
Σχήμα 5.1. Γ ραφική παράσταση των τροχιών S(t), Ι(t) συναρτήσει του χρόνου t.
S(t) I(t)
t
Σχήμα 5.2. Οι τροχιές στο επίπεδο των φάσεων S και Ι.
Το βέλος δείχνει τη φορά του χρόνου.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 S t
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t
6. Μοντέλο Kermack - McKendrick (SIR)
Σ' αυτό το μοντέλο υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός παραμένει σταθερός και χωρίζεται σε τρεις (3) κατηγορίες:
S
ευπαθή άτομα I μολυσμένα άτομα
R άτομα που έχουν μεν μολυνθεί αλλά για διάφορους λόγους δεν μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια
Οι εξισώσεις που περιγράφουν το μοντέλο είναι : S' = - α S I
I' = α S I – β I R' = β I
όπου α και β είναι θετικές σταθερές.
Έχουμε επίσης
S(t) + I(t) + R(t) = N
όπου Ν σταθερός φυσικός αριθμός του πληθυσμού.
Αρχικές συνθήκες :
R = 0 για t = 0 και S(0) + I(0) = N.
Υποθέτουμε ότι στην αρχή έχουμε κάποιους μολυσμένους και κάποια ευπαθή άτομα για να ξεκινήσει η επιδημία, δηλαδή
I(0) > 0 και S(0) > 0
Ψάχνουμε για μη αρνητικές λύσεις S,I,R.
Προφανώς έχουμε
S(t) < S(t1) < S(0) για t > t1 > 0 . Δηλαδή το όριο
υπάρχει και μπορεί να είναι και μηδέν.
Από την εξίσωση I' = α S I – β I
έχουμε ότι I' < 0 αν α S < β
και από την σχέση S(t) < S(t1) < S(0) για t > t1 > 0 ότι αν α S(0) < β τότε I' < 0 για κάθε t
που σημαίνει τελικά ότι η συνάρτηση Ι είναι γνησίως φθίνουσα και ότι η μετάδοση της ασθένειας θα σταματήσει. Αυτό φαίνεται και στο Σχήμα 6.1.
Σχήμα 6.1. Γ ραφική παράσταση των τροχιών S(t), Ι(t), R(t) όταν S(0) < β/α. Δεν έχουμε επιδημία.
Υπάρχει λοιπόν μια οριακή τιμή που θα πρέπει να υπερβεί ο αρχικός πληθυσμός των ευπαθών ατόμων για να μπορεί να ξεκινήσει η επιδημία.
Η οριακή αυτή τιμή θα είναι μικρή αν β << α που σημαίνει ότι η παρασχόμενη ανοσία είναι πολύ μικρή για μπορέσει να εμποδίσει την εξάπλωση της επιδημίας. Αυτό φαίνεται και στο Σχήμα 6.2.
Από την εξίσωση
R' = β I
έχουμε την R γνησίως αύξουσα συνάρτηση με τον περιορισμό R(t) N.
S(t) I(t) R(t)
t
Συνεπώς το όριο υπάρχει και από τη σχέση S(t) + I(t) + R(t) = N
προκύπτει ότι υπάρχει και το όριο .
Η ποσότητα είναι ένα μέτρο της έκτασης με την οποία η επιδημία διαδίδεται στον πληθυσμό.
Σχήμα 6.2. Γ ραφική παράσταση των τροχιών S(t), Ι(t), R(t) όταν S(0) > β/α. Έχουμε επιδημία.
Διαιρούμε κατά μέλη τις εξισώσεις S' = - α S I και R' = β I και παίρνουμε
που έχει λύση
.
Αφού R N θα πρέπει τότε
και άρα
,
δηλαδή θα υπάρχουν πάντοτε ευπαθή άτομα ακόμη και αν σταματήσει η ασθένεια να εξαπλώνεται.Από τις εξισώσεις S' = - α S I και I' = α S I – β I παίρνουμε, διαιρώντας κατά μέλη,
S(t) I(t) R(t)
t
και με αρχική συνθήκη S(0) + I(0) = N έχουμε την λύση
Σχήμα 6.3. Οι τροχιές στο επίπεδο των φάσεων S και I.
Στο Σχήμα 6.3 τα βέλη δείχνουν τη φορά του χρόνου και συνεπώς τη σταθερή μείωση του πλήθους των ευπαθών ατόμων S .
Προφανώς S(t) – S( )> 0 και
I(t) 0 καθώς t 0 και δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία στο Ι = 0.
Έτσι από την εξίσωση
για παίρνουμε την υπερβατική εξίσωση
απ' όπου μπορεί να προσδιορισθεί ο .
S(t)/ N Ι(t)/ N
s( )/ N
S(t) + I(t) = N
Η εξίσωση έχει μία μόνο θετική λύση μικρότερη από .
Όταν γίνει γνωστή η τιμή του τότε βρίσκουμε το από τη σχέση
και η διάδοση της ασθένειας μετριέται από το πηλίκο
.
Στις πιο πολλές επιδημίες είναι δύσκολο να εξακριβώσουμε πόσους νέους μολυσμένους έχουμε κάθε μέρα αφού μόνο αυτοί που απομακρύνονται για ιατροφαρμακευτική περίθαλψη ή για απομόνωση μπορούν να καταμετρηθούν. Γενικά στα αρχεία που τηρούνται για τη δημόσια υγεία γίνεται η καταγραφή των μολυσμένων από τα δεδομένα που τους στέλνουν τα νοσοκομεία, κλινικές, ιδιωτικά ιατρεία κλπ. κάθε μέρα, εβδομάδα ή μήνα. Έτσι αν θέλουμε να προσθέσουμε στα μοντέλα μας την πραγματική κατάσταση μιας επιδημίας θα πρέπει να γνωρίζουμε τον αριθμό των ατόμων που απομονώνονται στην μονάδα του χρόνου, δηλαδή το πηλίκο
ως μια συνάρτηση του χρόνου. Αυτή η πληροφορία θα βοηθήσει τις αρχές να προετοιμαστούν καλύτερα για την αντιμετώπιση της επιδημίας.
Από την εξίσωση
και την έχουμε
.
Για το S ξέρουμε ότι οπότε αντικαθιστούμε στην προηγούμενη εξίσωση και παίρνουμε
με αρχική συνθήκη R(0) = 0.
Αν η επιδημία δεν είναι μεγάλη, που είναι το σύνηθες φαινόμενο , δηλαδή η ποσότητα είναι αρκετά μικρή και μικρότερη του 1, δηλαδή τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε την εκθετική συνάρτηση με τους πρώτους όρους της σειράς Taylor, αφού οι υπόλοιποι είναι πρακτικά μηδενικοί.
Έχουμε
και αντικαθιστώντας παίρνουμε
Ολοκληρώνοντας έχουμε λύση
όπου
.
Ο ρυθμός απομάκρυνσης και απομόνωσης των ασθενών
δίνεται από τη σχέση
που εμπλέκει τρεις παραμέτρους
, και φ.
Αν η επιδημία δεν είναι μεγάλη, αυτή είναι η συνάρτηση που θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί και να μπει στα αρχεία της δημόσιας υγείας. Αν όμως η ασθένεια είναι τέτοια που μας επιτρέπει να γνωρίζουμε τον ακριβή αριθμό των μολυσμένων που απομονώνονται τότε, είναι καλύτερα να χρησιμοποιήσουμε την ίδια την συνάρτηση
.
Αν πάλι η ποσότητα δεν είναι μικρή, τότε θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη διαφορική εξίσωση
για να βρούμε το επιλύοντας την αριθμητικά.
6.1 Εφαρμογή σε επιδημία γρίπης σε αγγλικό οικοτροφείο
Το 1978 στο British Medical Journal "The Lancet" (βλ [12]) υπήρχε μια αναφορά με αναλυτικά στατιστικά για μια επιδημία γρίπης σε αγγλικό οικοτροφείο αρρένων με σύνολο αγοριών 763 άτομα. Από αυτά τα 512 παιδιά αρρώστησαν και απομονώθηκαν στο κρεβάτι τους, για μια περίοδο που κράτησε από 22 Γενάρη έως 4 Φλεβάρη όπως φαίνεται στο παρακάτω γράφημα στο Σχήμα 6.4.
Σχήμα 6.4. Γ ραφική αναπαράσταση των μολυσματικών περιπτώσεων όπως δίνεται από το άρθρο του .Brit ish Medical Journal "The Lancet", Influenza in a boarding school, 4th March 1978.
Η επιδημία ξεκίνησε από ένα αγόρι. Οι τιμές που έχουμε για την επιδημία είναι:
Ν = 763, S(0) = 762, I(0) = 1, α = 2,18 10-3 / ημέρα, β = 0.44 οπότε έχουμε β/α = 202 και άρα S(0) > β/α.
Η συνθήκη για την εμφάνιση επιδημίας ικανοποιείται.
Βάζοντας τις τιμές αυτές στο σύστημα των εξισώσεων S' = - α S I και I' = α S I – β I παίρνουμε το παρακάτω γράφημα στο Σχήμα 6.5.
Οι μαύρες βούλες είναι τα δεδομένα που έχουμε από το γράφημα του British Medical Journal
" The Lancet". Βλέπουμε ότι η καμπύλη Ι(t) των μολυσματικών αγοριών προσεγγίζει πολύ καλά τα πραγματικά στατιστικά δεδομένα.
Περιορισμένοι στο κρεβάτι Σε ανάρρωση
Φεβρουάριος Ιανουάριος
Συχνότητα
Σχήμα 6.5. Γ ραφική παράσταση των τροχιών S(t), Ι(t).
6.2 Εφαρμογή σε επιδημία πανώλης στη Βομβάη
Η επιδημία πανώλης στη Βομβάη της Ινδίας ξέσπασε το 1905 και κράτησε περίπου ένα χρόνο. Τα περισσότερα άτομα που μολύνθηκαν από την ασθένεια πέθαναν. Ο αριθμός των αρρώστων ανά εβδομάδα που απομονώθηκαν, δηλαδή ο αριθμός
, είναι περίπου ίσος με τον αριθμό των θανάτων ανά εβδομάδα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η επιδημία δεν ήταν σοβαρή, δεδομένου ότι οι θάνατοι ήταν 18.000 σε συνολικό πληθυσμό 820.000 περίπου, δηλαδή 22 άτομα ανά χίλιους, οι Kermack και McKendrick το 1927 (βλ [4]) πήραν τα δεδομένα και βρήκαν για τις τρεις παραμέτρους
,
και φ τις τιμές:,
και φ = 3.4.Βάζοντας τις τιμές αυτές στην εξίσωση
παίρνουμε
Ημέρες
Αριθμός
αγοριών S
Η γραφική παράσταση της φαίνεται στο Σχήμα 6.6. Βλέπουμε ότι έχουμε μια ικανοποιητική προσέγγιση των πραγματικών δεδομένων.
Σχήμα 6.6. Γ ραφική παράστασή της
με συνεχή καμπύλη και θεωρητικές τιμές ( συγ κρινόμενη με τις πραγματικές τιμές ( ) για μια συγκριτικά μικρή επιδημία , όπου ο αριθμός των θανάτων είναι περίπου ίσος με το
.
Εβδομάδες
7. Μοντέλο επώασης
Σ' αυτό το μοντέλο υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός παραμένει σταθερός και χωρίζεται σε τέσσερις (4) κατηγορίες:
S ευπαθή άτομα
I μολυσμένα άτομα
R άτομα που έχουν μεν μολυνθεί, αλλά για διάφορους λόγους δεν μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια (καραντίνα, ανοσία κτλ)
Ε άτομα που έχουν μολυνθεί και βρίσκονται στη φάση της επώασης χωρίς να μπορούν να μεταδώσουν την ασθένεια
Επίσης, έχουμε σταθερό πληθυσμό, δηλαδή S(t) + E(t) +I(t) + R(t) = N.
Η εξίσωση για το S παραμένει ίδια όπως στο μοντέλο SIR δηλαδή
S' = - α S I με S(t) < S(t1) < S(0) για t > t1 > 0 και επίσης υπάρχει το . Έχουμε λύση
.
Υποθέτουμε ότι η επιδημία ξεκινά όταν κάποιος συγκεκριμένος αριθμός μολυσμένων ατόμων εισέρχεται στον πληθυσμό για πρώτη φορά.
Ας θεωρήσουμε ότι ξέρουμε πόσα από τα μολυσμένα άτομα είναι μεταδοτικά καθώς ο χρόνος περνάει.
Μέχρι ο πληθυσμός να παραγάγει μέλη που είναι μεταδοτικά θα ισχύει Ι(t) = I0(t)
όπου I0(t) είναι γνωστή συνάρτηση.
Έστω Τ η περίοδος επώασης , ο χρόνος δηλαδή από την στιγμή που μολύνεται ένα άτομο μέχρι την στιγμή που μπορεί να μεταδώσει την ασθένεια.
Αν τότε ο πληθυσμός δεν παράγει μέλη που είναι μεταδοτικά. Έχουμε:
Ε(t) = S(0) - S(t)
Ι(t) = I0(t)
R(t) = N - S(t) - E(t) - I(t).
Aν