[PENDING] (1)(2)Επιτάχυνση Σωματιδίων σ τις Μαγνητόσφαιρες των PULSARS Στεφάνου Πέτρος Α.Μ Φεβρουάριος 2017 Επιβλέπων καθηγητής: Νεκτάριος Βλαχάκης Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής (3)Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 3 2 Οι pulsars 3 2.1 Η ανακάλυψη

Επιτάχυνση Σωματιδίων σ τις Μαγνητόσφαιρες των PULSARS

Στεφάνου Πέτρος Α.Μ.:201100178 Φεβρουάριος 2017

Επιβλέπων καθηγητής: Νεκτάριος Βλαχάκης

Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Τομέας Αστροφυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής

Περιεχόμενα

1 Εισαγωγή 3

2 Οι pulsars 3

2.1 Η ανακάλυψη . . . 3

2.2 Βασικές φυσικές αρχές . . . 4

2.2.1 Γενικά χαρακτηριστικά . . . 4

2.2.2 Αστέρες Νετρονίων . . . 4

2.3 Η μαγνητόσφαιρα . . . 7

2.4 Παρατηρησιακά Δεδομένα . . . 11

3 Gap models 12 3.1 Outer Gap model . . . 13

3.1.1 Ο Μηχανισμός . . . 14

3.1.2 Χιονοστιβάδεςe^± . . . 14

3.1.3 Τα όρια . . . 15

3.1.4 Το ηλεκτρικό πεδίοE_k . . . 16

3.1.5 Προβλήματα και αβεβαιότητες . . . 17

3.2 Polar Cap model . . . 17

3.2.1 Γενικά χαρακτηριστικά . . . 18

3.2.2 Η δημιουργία του gap . . . 19

3.2.3 Χιονοστιβάδεςe^± . . . 19

3.2.4 Death Lines . . . 20

3.2.5 Προβλήματα και αβεβαιότητες . . . 20

3.3 Slot Gap Model . . . 21

3.3.1 Ο Μηχανισμός . . . 21

3.3.2 Γεωμετρία - ΄Ορια . . . 21

3.3.3 Το ηλεκτρικό πεδίοE_k . . . 22

3.4 Διαφορές και Προβλήματα . . . 22

4 Dissipation Models 23 4.1 FIDO Model . . . 24

4.1.1 Ο νόμος του Ωμ . . . 24

4.1.2 Η αγωγιμότητα . . . 24

4.1.3 Το μοντέλο . . . 25

4.2 Μοντέλα με Μαγνητική Επανασύνδεση . . . 25

4.2.1 Γενικά . . . 25

4.2.2 Μαγνητική επανασύνδεση στους pulsars . . . 27

4.2.3 Αριστοτέλεια Ηλεκτροδυναμική . . . 27

4.2.4 Ο μηχανισμός επιτάχυνσης . . . 29

4.2.5 Προβλήματα και πλεονεκτήματα . . . 29

5 Προσομοίωση μαγνητόσφαιρας με πεπερασμένη αγωγιμό-

τητα 30

5.1 Λεπτομέρειες της προσομοίωσης . . . 30 5.2 Αποτελέσματα . . . 31 5.3 Συμπεράσματα . . . 37

6 Επίλογος 41

Βιβλιογραφία 42

1 Εισαγωγή

Οιpulsars(συντομογραφία τουPULSating stARS) εδώ και πενήντα περίπου χρό- νια αποτελούν ένα πολύ θερμό πεδίο μελέτης και έρευνας. Είναι εξωτικά αστρικά αντικείμενα που εκπέμπουν ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία σε όλα τα μήκη κύμα- τος γεγονός που τους καθιστά εξαιρετικά ενδιαφέροντες τόσο παρατηρησιακά όσο και θεωρητικά. Σε αυτήν την εργασία εστιάζουμε στη εκπομπή γ-ακτινοβολίας η οποία προέρχεται από φορτισμένα σωματίδια που επιταχύνονται σε σχετικιστικές ταχύτητες εντός της μαγνητόσφαιρας τουpulsar. Μέχρι σήμερα δεν υπάρχει μία κοινώς αποδεκτή, ολοκληρωμένη απάντηση στο ερώτημα της προέλευσης της υψη- λοενεργειακής ακτινοβολίας. Αυτό οφείλεται κυρίως στην ελλιπή γνώση μας για την ακριβή διαμόρφωση της μαγνητόσφαιρας Διάφορα μοντέλα έχουν αναπτυχθεί ανά τα χρόνια με σκοπό τον προσδιορισμό του μηχανισμού της επιτάχυνσης και της περιοχής στην οποία λαμβάνει χώρα. Μέχρι το 2008 είχαν παρατηρηθεί μόνο 7pulsars με επιβεβαιωμένη εκπομπή στις ακτίνες γ. Σήμερα με τις παρατηρήσεις τουFermi LAT ο αριθμός τους ξεπερνάει τους 200, επιτρέποντας τη στατιστική μελέτη και την ασφαλή εξαγωγή συμπερασμάτων για τις θεωρητικές προβλέψεις [3]. Παρακάτω θα περιγράψουμε τα σημαντικότερα φυσικά χαρακτηριστικά των συναρπαστικών αυτών αντικειμένων και θα παρουσιάσουμε τα κυριότερα μοντέλα για την επιτάχυνση των σωματιδίων.

2 Οι pulsars

2.1 Η ανακάλυψη

Το βασικό παρατηρησιακό χαρακτηριστικό των pulsarsείναι η εκπομπή ραδιοκυ- μάτων σε δύο αντιδιαμετρικούς λοβούς. Ανακαλύφθηκαν το 1967 από την Βο- ρειοϊρλανδή φοιτήτρια τουCambridge, Jocelyn Bellστα πλαίσια της διδακτορικής της διατριβής. ΗBellπαρατήρησε σταθερούς, μικρής περιόδου ραδιοπαλμούς προ- ερχόμενους από το διάστημα. Οι παλμοί αυτοί δεν μπορούσαν να αποδοθούν σε κανένα γνωστό αστροφυσικό αντικείμενο. ΄Ενα χρόνο αργότερα οThomas Gold πρότεινε ένα μοντέλο περιστρεφόμενου αστέρα νετρονίων για να ερμηνεύσει το σήμα, πρόταση που είναι αποδεκτή μέχρι σήμερα [19]. Οι αστέρες νετρονίων είχαν προβλεφθεί θεωρητικά το 1934 απο τουςWalter BaadeκαιFritz Zwicky [6]αλλά η αναζήτηση τους είχε εγκαταλειφθεί καθώς τέτοια αντικείμενα αν υπήρχαν θα εξέπεμπαν θερμική ακτινοβολία Χ που δεν μπορούσε να ανιχνευθεί από την τε- χνολογία της εποχής.. Η ανακάλυψη τωνpulsarεπιβεβαίωσε την ύπαρξη αστέρων νετρονίων και έδωσε ώθηση στη μελέτη τους.

Η εκπομπή ραδιοακτινοβολίας γίνεται ανισοτροπικά, σε δύο λοβούς πάνω από τους μαγνητικούς πόλους. Καθώς οpulsar περιστρέφεται, η ακτινοβολία μπορεί να παρατηρηθεί από τη γη μόνο όταν ο λοβός διέρχεται από τη διεύθυνση αστέρα- γης και γίνεται αντιληπτή σαν παλμικό σήμα. Με την όξυνση της έρευνας και τη βελτίωση των τεχνικών μέσων παρατηρήθηκε παλμική ακτινοβολία από τουςpulsar και σε άλλα μήκη κύματος με κυρίαρχο, και ανεξιχνίαστο μέχρι στιγμής, μυστήριο την εκπομπή παλμών ακτίνωνγ

Σχήμα 1: Τυπική εικόνα ραδιοπαλμών ενόςpulsar. Στην εικόνα φαίνονται πέντε παλμοί με περίοδοP = 0.71s[ραδιπυλσειμαγε].

2.2 Βασικές φυσικές αρχές

2.2.1 Γενικά χαρακτηρισ τικά

Οι pulsars είναι ταχύτατα περιστρεφόμενα άστρα νετρονίων με τεράστια μαγνη- τικά πεδία. Αποτελούν τον πολύ ενεργητικό πυρήνα-υπόλειμμα των άστρων που τερμάτισαν τη ζωή τους με μία έκρηξη υπερκαινοφανούς. ΄Εχουν μάζα1.5M ≤ M ≤3M, ακτίνα της τάξης των R∼10⁴m, και μαγνητικό πεδίο της τάξης των B ∼ 10¹²G στην επιφάνεια τους. Είναι πολύ συμπαγή αντικείμενα με πυκνότη- τα της τάξηςρ∼10¹⁴_cm^gr₃ , δηλαδή μεγαλύτερη από την πυρηνική πυκνότητα. Η περίοδος περιστροφής τους κυμαίνεται απόP ∼1msέωςP ∼1sενώ έχουν και πα- ρατηρήσιμο ρυθμό αύξησης της περιόδουP˙ ∼10^−15s_s. Η συνολική αποθηκευμένη ενέργειά τους, η οποία οφείλεται στην περιστροφή τους, είναιErot= ^IΩ₂² = ^2π_P²2^I. Την ακτινοβολούν με ρυθμό

E˙ =L_rot=−4π²I P˙

P³ (1)

Μπορούμε να την εξισώσουμε με την λαμπρότητα ενός κεκλιμένου περιστρε- φόμενου μαγνητικού δίπολου

L_dip=−B_∗²R²_∗Ω⁴_∗

4c³ (1 + sin²(α)) (2)

όπου το σύμβολο ∗ δείχνει την τιμή του μεγέθους στην επιφάνεια και α εί- ναι η γωνία μεταξύ μαγνητικού και περιστροφικού άξονα (βλ. παρακάτω) και να βρούμε το μαγνητικό πεδίο σα συνάρτηση της περιόδου και της παραγώγου της.

Η λαμπρότητα αυτή ονομάζεται spin-down luminocity . Ουσιαστικά το μαγνη- τικό πεδίο τουpulsar μετατρέπει το απόθεμα κινητικής ενέργειας που έχει λόγω περιστροφής σε ακτινοβολία με αυτόν το ρυθμό.

2.2.2 Ασ τέρες Νετρονίων

΄Αστρα νετρονίων σχηματίζονται όταν εξαντληθούν τα πυρηνικά καύσιμα ενός α- στέρα της κυρίας ακολουθίας. Τότε στο εσωτερικό του αστέρα δεν πραγματο-

ποιείται σύντηξη και καμία δύναμη δεν μπορεί να αντισταθμίσει τη βαρύτητα, οπότε ξεκινάει η βαρυτική κατάρρευση. Το άστρο περνάει από διάφορες φάσεις κατά τις οποίες χάνει το μεγαλύτερο μέρος της μάζας του και απομένει μόνο ο κεντρικός, αδρανής πυρήνας του ο οποίος συνεχίζει να καταρρέει.

Αν ο πυρήνας του αστέρα είναι μικρής σχετικά μάζας τότε καθώς η πυκνότητα αυξάνεται και τα ηλεκτρόνια εκφυλίζονται η πίεσή τους είναι ικανή να σταματή- σει την κατάρρευση. Τέτοια αντικείμενα, όπου η δύναμη που αντισταθμίζει την βαρύτητα προέρχεται από την πίεση των εκφυλισμένων ηλεκτρονίων ονομάζονται λευκοί νάνοι. Είναι αδρανή, συμπαγή σώματα αποτελούμενα απόHe, O ή C που σιγά σιγά ακτινοβολούν την αποθηκευμένη ενέργειά τους. Υπάρχει ένα άνω όριο στη μάζα των λευκών νάνων που ονομάζεται όριοChadrasekhar . Προκύπτει ό- ταν η πυκνότητα γίνεται αρκετά μεγάλη (ρ >>10⁶gr/cm³) ώστε τα ηλεκτρόνια να γίνουν σχετικιστικά. Μία καλή προσέγγιση για την πίεση ενός εκφυλισμένου αερίου δίνεται από τη σχέση

P =Kρ^Γ (3)

όπουρ0η πυκνότητα,Kμία σταθερά που εξαρτάται από το μοριακό βάρος ανά ηλεκτρόνιο και

Γ =







5

3, μη σχετικιστικά ηλεκτρόνια

4

3, σχετικιστικά ηλεκτρόνια Από την εξίσωση υδροστατικής ισορροπίας

dP

dr =−Gm(r)ρ

r² (4)

για σταθερή πυκνότητα μπορούμε να δείξουμε ότι P = 2

3πGρ²R² (5)

και σε συνδυασμό με την εξίσωση (1) για μη σχετικιστικά ηλεκτρόνια

R∝M^−1/3 (6)

όπου η μάζα μετριέται σε ηλιακές μάζες και η ακτίνα σεcm.

Επομένως βλέπουμε ότι λευκοί νάνοι με μεγαλύτερες μάζες έχουν μικρότερες ακτίνες.

Αν χρησιμοποιήσουμε στην παραπάνω διαδικασία τη πίεση των εκφυλισμένων σχετικιστικών ηλεκτρονίων και λύσουμε ως προς τη μάζα βρίσκουμε ότι αυτή δεν εξαρτάται από την ακτίνα παρά μόνο από κάποιες φυσικές σταθερές και το μοριακό βάρος ανά ηλεκτρόνιο. Αυτό το αποτέλεσμα μας λέει ότι από κάποια μάζα και πάνω η πίεση των εκφυλισμένων ηλεκτρονίων δεν είναι ικανή να αντισταθμίσει τη βαρύτητα και η κατάρρευση συνεχίζεται. Η οριακή αυτή μάζα ονομάζεται μάζα Chadrasekharκαι έχει τιμήM_Ch= 1.46M

Η σημασία της MCh είναι θεμελιώδης για την ύπαρξη αστέρων νετρονίων.

Λευκοί νάνοι με μάζα μεγαλύτερη από τηMChδεν μπορούν να υπάρξουν επομένως αν ο αρχικός πυρήνας είναι αρκετά μεγάλος θα σχηματιστεί ένα άστρο νετρονίων σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφεται παρακάτω.

ΑνM > MChη βαρύτητα υπερνικά την πίεση των εκφυλισμένων ηλεκτρονίων και η κατάρρευση συνεχίζεται. Καθώς η ακτίνα μικραίνει και η πυκνότητα αυξάνεται δημιουργούνται συνθήκες που ευνοούν την αντίστροφη διάσπασηβ.

e⁻+p+Q7−→n+ν_e (7)

όπουQείναι η ενέργεια που χρειάζεται για να πραγματοποιηθεί η αλληλεπίδρα- ση.

Σε αυτήν τη διαδικασία ηλεκτρόνια δεσμεύονται από πρωτόνια παράγοντας νε- τρόνια και νετρίνα. Υπό κανονικές συνθήκες τα νετρόνια αυτά θα διασπαστούν εκ νέου σε ηλεκτρόνια και πρωτόνια. ΄Ομως τα εκφυλισμένα ηλεκτρόνια στο ε- σωτερικό του πυρήνα έχουν καταλάβει όλες τις διαθέσιμες ενεργειακές στάθμες.

Δεν μπορούν λοιπόν να παραχθούν νέα ηλεκτρόνια και τα νετρόνια γίνονται ευ- σταθή. Από κάποια τιμή της πυκνότητας και πέρα τα ηλεκτρόνια πραγματοποιούν αντίστροφή σκέδαση β με τα πρωτόνια στους πυρήνες των ατόμων παράγοντας ισότοπα με πολύ μεγάλους αριθμούς νετρονίων. Ακόμα τίποτα δεν μπορεί να στα- ματήσει την κατάρρευση και η πυκνότητα συνεχίζει να αυξάνεται. Τα νετρόνια στους πυρήνες γίνονται τόσο πολλά που εκρρέουν και γίνονται ελεύθερα. ΄Οταν η πυκνότητα ξεπεράσει την τιμήρ= 2,8×10¹⁴g/cm³ (πυκνότητα του πυρήνα του ατόμου) δεν μπορούμε να μιλήσουμε για ξεχωριστά άτομα.

Το ίδιο το άστρο αποτελεί έναν γιγαντιαίο ατομικά πυρήνα. Σε αυτόν συνυπάρ- χουν σχετικιστικά ηλεκτρόνια, υπεραγώγιμα πρωτόνια και υπέρρευστα νετρόνια με αναλογία περίπουn:p:e= 8 : 1 : 1.

Η κατάρρευση σταματάει όταν η πυκνότητα γίνει αρκετά μεγάλη ώστε να εκ- φυλιστούν τα νετρόνια και η πίεση τους να αντισταθμίσει τη βαρύτητα. ΄Εχουμε λοιπόν μία κατάσταση ισορροπίας που σηματοδοτεί τον σχηματισμό ενός αστέρα νετρονίων. Τα φυσικά χαρακτηριστικά του είναι αυτά που αναφέραμε επιγραμματι- κά στην§1.1 και προκύπτουν προσεγγιστικά από την ισορροπία των δυνάμεων της βαρύτητας και της πίεσης. Πρόκειται για ακραίες, εξωτικές συνθήκες για όλους τους κλάδους της φυσικής.

Η μετάβαση από την κατάρρευση στην ισορροπία δεν γίνεται σταδιακά και ομα- λά, αλλά απότομα. Μόλις επέλθει ο εκφυλισμός των νετρονίων και αντισταθμιστεί η βαρύτητα στις εσωτερικές περιοχές, τα καταρρέοντα εξωτερικά στρώματα προ- σκρούουν και ανακλώνται προς τα έξω με ταχύτητες μεγαλύτερες από αυτήν του ήχου. Δημιουργείται ένα ωστικό κύμα γύρω από τον αστέρα που οδηγεί σε τερά- στια παραγωγή ενέργειας με τη μορφή φωτονίων και νετρίνων. Το φαινόμενο αυτό είναι η έκρηξη υπερκαινοφανούς. Ο αστέρας νετρονίων βρίσκεται στο εσωτερικό του νέφους που απομένει από την έκρηξη και το τροφοδοτεί με ενέργεια.

Στους αστέρες νετρονίων, όπως και στους λευκούς νάνους υπάρχει ένα άνω όριο μάζας, πάνω από το οποίο η πίεση των εκφυλισμένων νετρονίων δεν είναι ικανή να σταματήσει την κατάρρευση. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτό θα συμβαίνει όταν τα νετρόνια γίνουν σχετικιστικά. Υπάρχουν πολλά ανοιχτά ζητήματα σχετικά

με τη συμπεριφορά της ύλης σε τόσο μεγάλες πυκνότητες οπότε ο προσδιορισμός αυτού του ορίου δεν είναι εύκολος. Πιστεύεται ότι το άνω όριο στη μάζα ενός αστέρα νετρονίων είναιMmax'3M. Μέχρι σήμερα δεν έχει παρατηρηθεί άστρο νετρονίων με μάζα μεγαλύτερη από αυτή την τιμή.

Αν δεν ικανοποιείται αυτό το κριτήριο τότε τίποτα δεν μπορεί να σταματήσει τη βαρύτητα από το να παρασύρει όλη τη μάζα στο κέντρο του. Η κατάρρευση συνεχίζεται ανεμπόδιστα και δημιουργείται μία μελανή οπή.

Τέλος σημειώνουμε ότι άστρα νετρονίων μπορούν να σχηματιστούν και από την κατάρρευση λευκών νάνων στους οποίους προσπίπτει μάζα από κάποιον συ- νοδευτικό αστέρα και υπερβαίνουν την M_ch. Ωστόσο επειδή ανήκουν σε διπλά συστήματα και η μελέτη τους διαφέρει σημαντικά από τους απομονωμένους δε θα ασχοληθούμε περισσότερο με αυτήν την κατηγορία.

2.3 Η μαγνητόσφαιρα

΄Οπως αναφέραμε, οι pulsars είναι μαγνητισμένοι αστέρες νετρονίων. Το πεδίο τους θεωρείται με πολύ καλή προσέγγιση διπολικό

B~ =Bp

R r

3

(ˆrcosθ+1 2

θˆsinθ) (8)

Σε συνδυασμό με την περιστροφή του μπορούμε να αποδώσουμε στονpulsar την εικόνα ενός περιστρεφόμενου μαγνητικού διπόλου. Ο άξονας περιστροφής και ο άξονας του διπόλου δεν είναι ευθυγραμμισμένοι αλλά σχηματίζουν μία γωνίαa.

Γύρω από τονpulsarδεν υπάρχει κενό, ο χώρος είναι γεμάτος με πλάσμα που είναι παγωμένο στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Η περιοχή αυτή ονομάζεται μαγνητόσφαιρα. Εκεί λαμβάνουν χώρα όλα τα ενδιαφέροντα φαινόμενα που αφορούν τουςpulsars, και κυρίως η εκπομπή (μη θερμικής) ακτινοβολίας που παρατηρούμε. Η μαγνητόσφαιρα περιστρέφεται μαζί με τον αστέρα με την ίδια γω- νιακή ταχύτητα σαν ένα συμπαγές σώμα. Σε κάποια απόστασηR από τον αστέρα η γραμμική ταχύτητα των σωματιδίων αγγίζει την ταχύτητα του φωτός. Πέρα από αυτήν την ακτίνα δεν μπορεί να υπάρξει συμπεριστροφή της μαγνητόσφαιρας με τον αστέρα, διότι παραβιάζεται η ειδική σχετικότητα, και οι δυναμικές γραμμές ανοίγουν και συστρέφονται αντίθετα από την φορά περιστροφής. Η ακτίνα αυτή ορίζει επομένως έναν κύλινδρο με ακτίνα

RLC= c

Ω (9)

ο οποίος ονομάζεται κύλινδρος φωτός. ΄Ολες οι δυναμικές γραμμές που τέμνουν τον κύλινδρο φωτός σπάνε και κλείνουν στο άπειρο. Η μαγνητόσφαιρα χωρίζεται έτσι σε δύο περιοχές: την κλειστή μαγνητόσφαιρα, όπου όλες οι δυναμικές γραμμές είναι κλειστές, και την ανοιχτή μαγνητόσφαιρα. Σύνορα των δύο περιοχών είναι οι τελευταίες κλειστές δυναμικές γραμμές οι οποίες εφάπτονται στον κύλινδρο φωτός. Αυτές ορίζουν και το «πολικό καπέλο» (polar cap ) δηλαδή το κομμάτι της επιφάνειας του αστέρα γύρω από τους πόλους στο οποίο έχουν τα ίχνη τους όλες οι ανοιχτές δυναμικές γραμμές (σχήμα 2).

Σχήμα 2: Η γενική άποψη ενός pulsar με τη μαγνητόσφαιρά του. Στο σχήμα φαίνονται ο αστέρας, ο κύλινδρος φωτός, η ανοιχτή και η κλειστή μαγνητόσφαιρα καθώς και οι ραδιολοβοί που εκπέμπονται από τοpolar cap.

Σε όλη την έκταση της μαγνητόσφαιρας, εξαιτίας της παρουσίας του πλάσματος που είναι τέλειος αγωγός η αγωγιμότητα είναι άπειρη. Από τον νόμο του Ωμ έχουμε

J~=σ(E~ +1

c~v×B)~ ⇒E~ =−1

c~v×B~ ⇒E~ =−1

c(~Ω×R)~ ×B~ (10) δηλαδή το ηλεκτρικό πεδίο είναι πάντα κάθετο στο μαγνητικό. Το παγωμένο πλά- σμα κινείται κατά μήκος του μαγνητικού πεδίου επομένως δεν παράγεται έργο και δεν υπάρχει επιτάχυνση που να οφείλεται στο ηλεκτρικό πεδίο. Αυτή η κατάσταση ισορροπίας ονομάζεταιForce Free Electrodynamics (FFE) και υποδηλώνει ότι η ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερη από την ενέργεια του πλάσματος. Αυτό σημαίνει ότι μια μικρή μεταβολή της ενέργειας του πεδίου μπορεί να είναι οδηγήσει σε σημαντική επιτάχυνση του πλάσματος. Μπορούμε λοιπόν να αγνοούμε τους όρους που αφορούν στην ύλη και να εστιάζουμε μόνο στους όρους του πεδίου. Εκτός από συγκεκριμένες ειδικές περιοχές θεωρούμε ότι η μαγνητόσφαιρα στο σύνολό της περιγράφεται απόFFE. Αν αντικαταστήσουμε το παραπάνω ηλεκτρικό πεδίο στο νόμο τουGaussκαι με τη χρήση διανυσματικών ταυτοτήτων μπορούμε να βρούμε την πυκνότητα φορτίου που είναι απαραίτητη για να διατηρηθεί ηF F E κατάσταση

∇ ·~ E~ = 4πρ⇒ρ=ρGJ =−Ω~ ·B~

2πc (11)

η οποία ονομάζεται πυκνότητα φορτίουGoldreich-Julian¹. [20]

1Η σχέση (11) ισχύει μόνο αν υποθέσουμε πλήρη συμπερισ τροφή της μαγνητόσφαιρας με τον ασ τέρα και μηδενικό ρεύμα σ την αζιμουθιακή διεύθυνση. Αυτή είναι η πιο απλή προσέγγιση και δεν ισχύει γενικά και κυρίως κοντά σ τον κύλινδρο φωτός. Για να βρούμε την πλήρη σχέση της πυκνότητας φορτίου πρέπει να λάβουμε υπόψη τη σχέση (21) και όχι τη σχέση (10) για το ηλεκτρικό πεδίο

Από την παραπάνω σχέση ορίζονται δύο επιφάνειες που διασχίζουν τη μαγνη- τόσφαιρα στις οποίες το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στον άξονα περιστροφής και επομένως η πυκνότητα φορτίου σε αυτές είναι μηδέν. Οι επιφάνειες αυτές ονομά- ζονται επιφάνειες μηδενικού φορτίου (null surfaces). Εκατέρωθεν των επιφανειών αυτών το πρόσημο της πυκνότητας φορτίου είναι αντίθετο.

Είναι σημαντικό να αναλύσουμε σε αυτό το σημείο ότι ηF F Eμαγνητόσφαιρα θα επιτευχθεί σε κάθε περίπτωση ακόμα και αν υποθέσουμε ότι ο χώρος γύρω από τονpulsarείναι αρχικά κενός.

Το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του αστέρα είναι ίσο με αυτό της επιφάνειας καθώς ο αστέρας θεωρείται τέλειος αγωγός

B~ =Bp(ˆrcosθ+1 2

θˆsinθ) (12)

Από την εξίσωση (8) προκύπτει το ηλεκτρικό πεδίο στο εσωτερικό του E~_in= B₀ΩR

2c (sin²θrˆ−2cosθsinθ θ)ˆ (13) το οποίο προκύπτει από το δυναμικό

Vin=B0ΩR²

2c sinθ+C (14)

όπουC σταθερά ολοκλήρωσης.

Αν υποθέσουμε ότι έξω από την επιφάνεια υπάρχει αρχικά κενό τότε θα ισχύει η εξίσωσηLaplace

∇²Vout= 0 (15) με οριακή συνθήκη V_in = V_out για r = R. Επιπλέον από την απαίτηση το ολικό φορτίο του αστέρα να είναι μηδέν προκύπτει ότιC=−^B0_3c^ΩR2

Η λύση για το δυναμικό έξω από τον αστέρα είναι τότε Vout= B0ΩR⁵

6cr³ (1−3cos²θ) (16)

και μπορούμε έτσι να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο στο χώρο γύρω από τονpulsar

E~_out= B₀ΩR⁵ 2cr⁴

h(1−3cos²θ) ˆr−2sinθcosθθˆi

(17) Είναι φανερό πως E_out 6= E_in επομένως υπάρχουν φορτία επιφανειακής πυ- κνότηταςΣστην επιφάνεια του αστέρα. Η δύναμη στα φορτία αυτά από το E_out είναι πολύ μεγαλύτερη από την βαρυτική έλξη. Ως αποτέλεσμα αυτά θα αποκολ- ληθούν και θα γεμίσουν τον γύρω χώρο μέχρι η πυκνότητα τους να γίνειρGJ και να εγκατασταθεί η F F E ισορροπία. Πάνω από τους πόλους θα κυριαρχούν τα ηλεκτρόνια καθώςEout <0 ενώ κοντά στον ισημερινό θα κυριαρχούν τα θετικά φορτία. Μέχρι σήμερα δεν υπάρχει αναλυτική λύση για την ακριβή διαμόρφω- ση της μαγνητόσφαιρας, δηλαδή μία αναλυτική λύση που να περιγράφει ακριβώς

πως διαμορφώνεται το μαγνητικό πεδίο με την παρουσία του υψηλής αγωγιμότητας πλάσματος. Το πρόβλημα έγκειται στην εμφάνιση σημειακών ανωμαλιών στον κύ- λινδρο φωτός ο οποίος μαθηματικά χρειάζεται ειδική μεταχείριση αλλά από φυσική σκοπιά δεν πρέπει να παρουσιάζει καμία ιδιαιτερότητα και οι δυναμικές γραμμές οφείλουν να τον διαπερνούν ομαλά και συνεχώς.

Η διαφορική εξίσωση που διέπει τη μαγνητόσφαιρα ονομάζεται εξίσωσηpulsar . Ανακαλύφθηκε το 1973 σε ανεξάρτητες εργασίες από τουςMichel καιScharle- mann, Wagoner . Παρουσιάζουμε παρακάτω πως προκύπτει η εξίσωση για την στατική, αξισυμμετρική περίπτωση με ευθυγραμμισμένους τον μαγνητικό και τον περιστροφικό άξονα. Ακόμα και αυτή η πιο απλή περίπτωση μέχρι σήμερα έχει μόνο ειδικές αναλυτικές λύσεις. Ξεκινώντας από την

1 c

J~×B~ +ρ ~E= 0 (18) όπουρ=^∇·_4π^E~. Εισάγουμε τη συνάρτηση ροήςf με βάση την οποία το μαγνη- τικό πεδίο γράφεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες(r, φ, z)σαν

B~p=∇f×φˆ

r (19)

B_φ= A(f)

r (20)

όπου Α μία άγνωστη συνάρτηση τουf.

Το πολοειδές ρεύμα τότε είναιI=₂^cA(f)ενώ το ηλεκτρικό πεδίο είναι E~ = rΩ

c

Bp~×φˆ (21)

και είναι προφανώς κάθετο στο μαγνητικό πεδίο.

Αν επιπλέον θέσουμεx= _R^r

LC, ξ= _R^z

LC η εξίσωση (18) μπορεί να γραφτεί ως προς τη συνάρτηση ροής

(1−x²)

fxx−1

xfx+fξξ

−2xfx=−RLCAA⁰ (22) που είναι η λεγόμενη εξίσωσηpulsar. Εξ΄ αιτίας του παράγοντα(1−x²)η εξίσωση αυτή παρουσιάζει ανωμαλία στον κύλινδρο φωτόςx= 1.

Το 1999 ο Ιωάννης Κοντόπουλος έλυσε αριθμητικά το πρόβλημα της μαγνη- τόσφαιρας καταφέρνοντας να παράξει λύσεις που διασχίζουν ομαλά και συνεχώς τον κύλινδρο φωτός [13]. Η λύση του επιβεβαιώθηκε το 2006 από τονSpitkovsky και για κεκλιμένο άξονα στις τρεις διαστάσεις [42]. ΄Ενα πολύ σημαντικό χαρα- κτηριστικό της λύσης του Κοντόπουλου που είναι καίριο στις σύγχρονες θεωρίες είναι η εμφάνιση φύλλου ρεύματος στον ισημερινό και κατά μήκος της τελευταίας κλειστής δυναμικής γραμμής. Αυτά τα φύλλα ρεύματος κλείνουν το κύκλωμα του

(αʹ) Αποτέλεσμα προσομοίωσης για το φύλλο ρεύματος σ την περίπτωση του ευ- θυγραμισμένου διπόλου [12]. Η χρωμα- τική κλίμακα δείχνει την ένταση του ρέυ- ματος. Βλέπουμε ότι σ τον ισημερινό και έξω από τον κύλινδρο φωτός είναι εξαι- ρετικά αυξημένη.

(βʹ) Σχέδιο του φύλλου ρεύματος σε μη ευθυγραμισμένο δίπολο [8]. Λόγω της α- πόκλισης των αξόνων το φύλλο δεν είναι επίπεδο και παρουσιάζει πτυχώσεις.

Σχήμα 3: Το φύλλο ρεύματος της μαγνητόσφαιρας τουpulsar.

pulsarέτσι ώστε το συνολικό ρεύμα να είναι μηδέν. Στην περίπτωση του κεκλι- μένου άξονα το φύλλο παρουσιάζει πτυχώσεις γύρω από τον ισημερινό λόγω της περιστροφής.

2.4 Παρατηρησιακά Δεδομένα

Οιpulsarsπαρατηρούνται κυρίως στα ραδιοκύματα. Αυτά προέρχονται από ακτινο- βολία σύνγχροτρον που εκπέμπουν τα φορτία καθώς κινούνται σχετικιστικά κατά μήκος του μαγνητικού πεδίου τουpulsar . Η ακτινοβολία γίνεται σε δύο στενές ακτίνες (λοβούς) πάνω από τους μαγνητικούς πόλους και σε συνδυασμό με την απόκλιση του μαγνητικού άξονα και την περιστροφή τουpulsar παρατηρείται από τη γη σε μορφή παλμών. Μπορούμε να παρομοιάσουμε την εικόνα αυτή με έναν φάρο τον οποίο βλέπουμε μόνο αν η ακτίνα που εκπέμπει διέρχεται από τον οπτικό μας άξονα.

Ομοίως, στις ακτίνες γ παρατηρούμε παλμούς. ΄Εχουν ίδια περίοδο με τους ραδιοπαλμούς αλλά δεν έχουν την ίδια φάση, δλδ. δεν φτάνουν ταυτόχρονα στη γη. Το γεγονός αυτό μας υποδεικνύει ότι πιθανώς οι ακτίνεςγκαι τα ραδιοκύματα δεν εκπέμπονται από την ίδια περιοχή. Σε κάθε περίπτωση η συμπεριφορά αυτή πρέπει να εξηγείται από οποιοδήποτε ρεαλιστικό μοντέλο.

Η καμπύλη φωτός μίας περιόδου τυπικά αποτελείται από δύο στενές, ψηλές κορυφές με ενδιάμεση χαμηλότερης έντασης ακτινοβολία-γέφυρα. Οι κορυφές συ- νήθως απέχουν μεταξύ τους κατά 0,4-0,5 της περιόδου και δεν έχουν ίση ένταση.

Η μορφή αυτή μπορεί να αλλάζει σαν συνάρτηση της απόκλισης του μαγνητικού άξονα και της γωνίας παρατήρησης. Η αναπαραγωγή τέτοιας μορφής καμπύλων

φωτός και η σύγκριση με τις παρατηρήσεις είναι ο τελικός στόχος και ο τελικός κριτής των μοντέλων επιτάχυνσης.

Τέλος το φάσμα της ακτινοβολίας στις υψηλές ενέργειες έχει δύο βασικά συ- στατικά: ένα νόμο δύναμης από τις ακτίνεςX και απλά εκθετική αποκοπή στις πολύ υψηλές ενέργειες. Το τελευταίο είναι καθοριστικής σημασίας καθώς απέκλει- σε την εκπομπή ακτίνωνγ από περιοχές κοντά στη μαγνητόσφαιρα καθώς εκεί η παρουσία του πολύ ισχυρού μαγνητικού πεδίου οδηγεί σε υπέρ-εκθετική αποκοπή.

Τοποθέτησε έτσι τη ζώνη ακτινοβολίας κοντά στον κύλινδρο φωτός ή και πέρα από αυτόν.

Σχήμα 4: Η εικόνα του Νεφελώματος του Καρκίνου στο οπτικό και στις ακτίνες Χ.

Στο κέντρο του βρίσκεται οCrab Pulsar(πάνω δεξιά σχέδιο) με περίοδο περιστρο- φής33ms. Κάτω φαίνονται οι διπλές κορυφές και η ενδιάμεση ακτινοβολία-γέφυρα που αποτελούν έναν παλμό ακτίνων γ [43].

3 Gap models

Οι πρώτες προσπάθειες για να εξηγηθούν σε μικροσκοπικό επίπεδο οι αιτίες και μη- χανισμοί εκπομπής ακτίνων γ εστιάστηκαν στην αναζήτηση περιοχών στις οποίες παύει να ισχύει η ιδεατή μαγνητοϋδροδυναμική και επομένως η συνθήκηE~·B~ = 0 (gaps ). Την επιτάχυνση την προκαλεί το ηλεκτρικό πεδίο που εμφανίζεται πα- ράλληλα στο μαγνητικό στις περιοχές αυτές. Κεντρικό ρόλο σε αυτά τα μοντέλα

Σχήμα 5: Το πλήρες φάσμα τουCrab pulsar από τα ραδιοκύματα ως τις ακτίνες γ [14].

παίζει η τοπολογία και η γεωμετρία των gaps . Υπάρχουν ωστόσο αρκετά προ- βλήματα που αφορούν κυρίως στο γιατί και πως δημιουργούνται και συντηρούνται οι περιοχές αυτές.

3.1 Outer Gap model

΄Ενα πολύ δημοφιλές και καλά μελετημένο μοντέλο για την παραγωγή υψηλής ε- νέργειας φωτονίων στουςpulsarsείναι τοouter gap model (μοντέλο εξωτερικού χάσματος).Καθιερώθηκε αρχικά από τουςCheng, Ho, Rudermanτο 1986 [10] και εξελίχθηκε από τουςChiang, Romaniτο 1994[11] και τουςRomani, Yadigaroglu το 1995[39] ενώ πολλοί άλλοι ερευνητές ασχολήθηκαν με αυτό. Η βασική ιδέα του μοντέλου είναι η δημιουργία μίας περιοχής κενής από φορτία στην απώτερη μα- γνητόσφαιρα κοντά στον κύλινδρο φωτός και γύρω από την επιφάνεια μηδενικού φορτίου. Το αποτέλεσμα είναι η απόκλιση της πυκνότητας φορτίου από τηνρGJ

και επομένως η εμφάνιση ηλεκτρικού πεδίου παράλληλα στις μαγνητικές δυναμικές γραμμές. Το outer gap model έχει καταφέρει σε μεγάλο βαθμό να αναπαράγει τόσο τα φασματικά παρατηρησιακά δεδομένα (εκθετική μείωση στις πολύ υψηλές ενέργειες) όσο και τις παρατηρούμενες καμπύλες φωτός (διπλές κορυφές με ενδιά- μεση ακτινοβολία). Συμβαδίζει επιπλέον με την εκτίμηση ότι η ακτινοβολία υψηλής

ενέργειας στουςpulsarsπροέρχεται από περιοχές κοντά στον κύλινδρο φωτός και όχι στην επιφάνεια του αστέρα. Παρουσιάζουμε εδώ αναλυτικά τα επιμέρους χα- ρακτηριστικά του.

3.1.1 Ο Μηχανισμός

΄Οπως αναφέραμε το gap όπου λαμβάνει χώρα η επιτάχυνση δημιουργείται κο- ντά στον κύλινδρο φωτός και κοντά στην επιφάνεια μηδενικού φορτίου. Στην περιοχή αυτή φορτία που διαφεύγουν από την μαγνητόσφαιρα δια μέσου των ανοι- χτών δυναμικών γραμμών δεν αναπληρώνονται από την επιφάνεια του αστέρα. Η πυκνότητα φορτίου στη περιοχή αυτή είναι

ρ'0 (23)

Επομένως δεν ισχύει πλέον σ → ∞ και μπορεί να εμφανιστεί συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου που είναι παράλληλη στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Από τον νόμο του Poisson λαμβάνουμε το ηλεκτρικό δυναμικό κατά μήκος του gap [29].

∇²V =−4π(ρ−ρ_GJ)) = 4πρ_GJ (24) Το ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει από το δυναμικό αυτό είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιταχύνει τα φορτισμένα σωματίδια (ηλεκτρόνια e⁻ και ποζιτρόνια e⁺) κατά μήκος των δυναμικών γραμμών σε σχετικιστικές ταχύτητες. Είναι προφανές ότι αντίθετα φορτία επιταχύνονται προς αντίθετες διευθύνσεις.

3.1.2 Χιονοσ τιβάδες e^±

Είδαμε λοιπόν ποιος είναι ο φυσικός μηχανισμός επιτάχυνσης φορτίων που αποτελεί τον πυρήνα του μοντέλου. Θα συζητήσουμε τώρα έναν άλλο βασικό μη- χανισμό που αποτελεί φυσική συνέχεια της επιτάχυνσης σωματιδίων στα gaps . Αυτός δεν είναι άλλος από τη χιονοστιβάδαe^± που προκαλείται από την αλληλε- πίδραση φωτονίου-μαγνητικού πεδίου ή φωτονίου-φωτονίου. Η σημασία τέτοιων χιονοστιβάδων είναι θεμελιώδης για τη φυσική συνέπεια του μοντέλου. Εξασφα- λίζουν την οριοθέτηση και τη συντήρηση των gaps, την αέναη παροχή φορτίων για να επιταχυνθούν αλλά και τη διατήρηση της πυκνότητας ρGJ στην υπόλοιπη μαγνητόσφαιρα.

Χιονοστιβάδες e^± δημιουργούνται όταν φωτόνια υψηλής ενέργειας τα οποία έχουν εκπεμφθεί από σχετικιστικά φορτία αλληλεπιδρούν με ισχυρά μαγνητικά πε- δία ή μεταξύ τους και διασπώνται σε ένα ζεύγος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου. Τα νέα αυτά φορτία (δευτερογενή) με τη σειρά τους επιταχύνονται στοgapκαι εκπέ- μπουν εκ νέου φωτόνια τα οποία γεννούν ζεύγη (τριτογενή) κ.ο.κ. Οι τεράστιοι αυτοί πληθυσμοί e^± που δημιουργούνται κινούνται έξω από το gap σε αντίθετες κατευθύνσεις και σε κάποιο σημείο γίνονται επαρκή ώστε να θωρακίσουν και να εκμηδενίσουν το ηλεκτρικό πεδίο. Το σημείο όπου συμβαίνει αυτό εξαρτάται από

τον ρυθμό με τον οποίο παράγονται νέα ζεύγη. Αν είναι πολύ μεγάλος τότε μπορεί να εξαλείψει εντελώς τοgap ενώ αν είναι μικρός αυτό θα εξαπλωθεί. Παρακάτω θα δούμε πως οι χιονοστιβάδες καθορίζουν τα όρια και την τοποθεσία τωνgaps. 3.1.3 Τα όρια

Σε πολύ μεγάλες σχετικιστικές ταχύτητες τα φορτία που χάνουν ενέργεια σε μορφή φωτονίων εκπέμπουν σε έναν κώνο πολύ μικρής γωνίας παράλληλα στη διεύθυνση κίνησης τους. Στη μαγνητόσφαιρα τα φορτία κινούνται πάνω σε δυναμικές γραμ- μές, επομένως τα φωτόνια εκπέμπονται εφαπτομενικά σε αυτές. Αυτό σημαίνει πως χιονοστιβάδες από ένα φορτίο μπορούν να λάβουν χώρα μόνο στην κυρτή πλευρά της δυναμικής γραμμής στην οποία κινείται, εξουδετερώνοντας οποιοδήποτε gap πιθανώς δημιουργηθεί πάνω από την δυναμική γραμμή. Η μοναδική λοιπόν τοπο- θεσία για την ύπαρξη ενός σταθερού gap είναι πάνω από την τελευταία κλειστή δυναμική γραμμή διότι θεωρούμε ότι δεν υπάρχει γ-ακτινοβολία από την κλειστή μαγνητόσφαιρα. Αν ενδεχομένως δημιουργηθεί κάποιοgap σε μικρότερη πολική γωνία τότε αυτό θα «σβηστεί» από τις χιονοστιβάδες e^± των νοτιότερων. Με βάση τα παραπάνω θεωρούμε ως κάτω όριο του outer gap την τελευταία κλειστή δυναμική γραμμή, το όριο δηλαδή μεταξύ ανοιχτής και κλειστής μαγνητόσφαιρας.

Το ανώτερο όριο συμπίπτει με κάποια δυναμική γραμμή στην οποία το μαγνη- τικό πεδίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε η χιονοστιβάδα e^± να εκμηδενίζει το E_k. Μπορούμε να ορίσουμε ως πάχος τουgapτην ποσότητα

f = θc−θu

θ_c (25)

όπουθcείναι η πολική γωνία στην οποία βρίσκεται το ίχνος της τελευταίας κλειστής δυναμικής γραμμής και θu η πολική γωνία του ίχνους του άνω ορίου του gap . Το f αποτελεί μία παράμετρο του μοντέλου και εξαρτάται από την ένταση του μαγνητικού πεδίουB και την περίοδο περιστροφής του αστέρα P. Θεωρούμε ότι κατά μήκος τουgapτοf παραμένει σταθερό.

Το εσωτερικό και το εξωτερικό όριο είναι δυσκολότερο να προσδιοριστούν.

Δεν υπάρχει στη μέχρι τώρα βιβλιογραφία μία σαφής απάντηση για το που βρίσκο- νται, αντίθετα η θέση τους αποτελεί αντικείμενο έρευνας και ένα από τα μεγαλύτε- ρα αγκάθια στην ολοκλήρωση του μοντέλου. Θα δώσουμε εδώ μία προσεγγιστική εκτίμηση που βασίζεται σε απλές παραδοχές.

Το εσωτερικό όριο φυσιολογικά θα βρίσκεται πλησίον της επιφάνειας μηδενικού φορτίου. Η ακριβής θέση του εξαρτάται από την απόκλιση του μαγνητικού άξο- να και την ακριβή γεωμετρία του μαγνητικού πεδίου (δεν είναι αμιγώς διπολικό).

Ωστόσο σύμφωνα με κάποιες προσεγγίσεις για τοOGM θεωρείται ότι τοgap ε- πεκτείνεται μέχρι πολύ βαθύτερα στη μαγνητόσφαιρα ίσως και μέχρι την επιφάνεια του άστρου. Δεν μπορεί να δοθεί επομένως σαφής απάντηση για το εσωτερικό όριο. Σε αυτήν την εργασία θα θεωρήσουμε ότι βρίσκεται πάνω ή κοντά στην επιφάνεια μηδενικού φορτίου.

Τέλος για το εξωτερικό όριο υπάρχει επίσης αβεβαιότητα. Η σημασία του ω- στόσο δεν είναι μεγάλη καθώς δεν επηρεάζει ιδιαίτερα τα αποτελέσματα. Βρίσκεται θεωρητικά κοντά στον κύλινδρο φωτός, αλλά η κατανόηση της μαγνητόσφαιρας

Σχήμα 6: Η τοπολογία του OGM . Οι δύο κάθετες διακεκομμένες γραμμές είναι οι επιφάνειες μηδενικού φορτίου. Τοgap εκτείνεται από αυτές μέχρι τον κύλινδρο φωτός πάνω από την τελευταία κλειστή δυναμική γραμμή [34].

σε εκείνη την περιοχή δεν είναι πολύ καλή. Μπορεί να προσδιοριστεί αναλυτικά ως το σημείο αλλαγής της καμπυλότητας των δυναμικών γραμμών όπου το παράλληλο ηλεκτρικό πεδίο εξασθενεί.

3.1.4 Το ηλεκτρικό πεδίο E_k

Σε αυτή την παράγραφο θα παρουσιάσουμε ορισμένα στοιχεία για το ηλεκτρικό πεδίο που αναπτύσσεται κατά μήκος των γραμμών του μαγνητικού πεδίου.

Η διαφορά δυναμικού στοgapδίνεται από την εξίσωση (24). ΟιCheng et. al.

υπολόγισαν αυτό το ηλεκτρικό πεδίο θέτοντας οριακές συνθήκες μηδενισμού της διαφοράς δυναμικού έξω από τοgap . Μία μερική λύση για το δυναμικό, η οποία ισχύει μακριά από το εσωτερικό όριο είναι η

V₁=1

2axz(z−b) (26)

όπουxη απόσταση κατά μήκος των δυναμικών γραμμών,zη απόσταση κάθετα σε αυτές μεz = 0, z=b το άνω και το κάτω όριο αντίστοιχα και a= _2πcs^ΩB μεs την ακτίνα καμπυλότητας των γραμμών. Το ηλεκτρικό πεδίο είναι τότε

E_1x=−1

2az(z−b) (27)

και

E_1z=−ax(z−b

2) (28)

Το E1z δεν μας ενδιαφέρει εδώ καθώς είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές.

Ωστόσο ένα ενδιαφέρον σημείο είναι ότι δεν μηδενίζεται σταz= 0, z=bγεγονός

που υποδηλώνει την ύπαρξη επιφανειακής πυκνότητας φορτίου πάνω στις ακραίες δυναμικές γραμμές. Η πυκνότητα αυτή απομονώνει το gap από την υπόλοιπη μαγνητόσφαιρα. ΤοE1xείναι το ηλεκτρικό πεδίο που επιταχύνει τα σωματίδια σε σχετικιστικές ταχύτητες. Παρατηρούμε ότι δεν έχει εξάρτηση από τοxαλλά μόνο από τοz. Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι παρότι ταB, a, s έχουν εξάρτηση από το xεντούτοις αυτή είναι τέτοια που να καθιστά το E_1x σταθερό στη x-διεύθυνση του gap . Σημειώνουμε εδώ ότι αυτή η εικόνα ισχύει μακριά από το εσωτερικό όριο. Ακριβέστερα οι οριακές συνθήκες εκεί πρέπει να είναιV₁ = 0, E_1x = 0. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης με αυτή τη συνθήκη είναι περίπλοκη και για αυτό το λόγο παραμένει άγνωστη η ακριβής τοποθεσία του εσωτερικού ορίου τουgap. 3.1.5 Προβλήματα και αβεβαιότητες

Το βασικό πρόβλημα τουOGMόπως συζητήσαμε και παραπάνω αφορά στα όρια της περιοχής επιτάχυνσης. Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς την έκταση της και η απροσδιοριστία αυτή μεταφέρεται και στον υπολογισμό του ηλεκτρικού πεδίου.

Εξάλλου μία παράμετρος που καθορίζει την επιβίωση του gap, αλλά δεν είναι καλά ορισμένη και διαφέρει από περίπτωση σε περίπτωση είναι ο ρυθμός με τον οποίο παράγονται νέα ζεύγη e^± . Αναδείξαμε προηγουμένως τη σημασία των χιονοστιβάδων και είναι πολύ σημαντικό πρόβλημα το ότι ο ρυθμός παραγωγής ζευγών δεν προκύπτει φυσιολογικά από τις ιδιότητες του μοντέλου αλλά εξαρτάται από διάφορες παραμέτρους και υποθέσεις.

Το υπόβαθρο των ακτίνων Χ είναι σημαντικό καθώς τα ζεύγη δημιουργούνται από αντίδραση ενός φωτονίου από αυτό το υπόβαθρο και ενός φωτονίου ακτίνων γ που εκπέμπουν τα φορτία. Η κατανομή των ακτίνων Χ και η ενέργειά τους δεν είναι καθορισμένες παρά μόνο μέσα από απλά μοντέλα[45].

3.2 Polar Cap model

Σε αυτήν την παράγραφο θα περιγράψουμε ένα μοντέλο για την παραγωγή γ- ακτινοβολίας από τους pulsars σύμφωνα με το οποίο η εκπομπή λαμβάνει χώρα κοντά στην επιφάνεια του αστέρα και πάνω από τους πόλους (από όπου και το όνομαpolar cap model, PCMή inner gap model[41, 15, 16, 26]) όπως φαίνεται στο σχήμα 7. Το μοντέλο αυτό παρουσιάζει αρκετές ομοιότητες αλλά και σημαντι- κές διαφορές με τοOGMγεγονός που καθιστούσε για πολλά χρόνια τα μοντέλα αυτά ανταγωνιστικά. Θεωρητικά εμπόδια και ασάφειες και κυρίως οι πρόσφατες παρατηρήσεις τουFermi LATγια το φάσμα τωνpulsar, μας οδηγούν στην απόρ- ριψη αυτού του μοντέλου και στον προσανατολισμό της έρευνας σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Εμείς παρουσιάζουμε εδώ τα βασικά χαρακτηριστικά του μοντέ- λου καθώς αντανακλά δεκάδες χρόνια έρευνας και αποκαλύπτει πολλά σημαντικά στοιχεία για τη φυσική τωνpulsars.

Σχήμα 7: Η τοπολογία των τριών βασικών μοντέλων μεgaps[5].

3.2.1 Γενικά χαρακτηρισ τικά

Ο πυρήνας τουPCMείναι η ύπαρξη μιας περιοχής όπουρ6=ρ_GJ που συνεπάγεται την εμφάνιση ηλεκτρικού πεδίουE_k. Παράλληλα υπάρχουν δύο σημαντικές παρά- μετροι που επηρεάζουν τις φυσικές διεργασίες και οι οποίες δεν είναι παρούσες σε άλλα μοντέλα: α) το μαγνητικό πεδίο είναι πολύ ισχυρό κοντά στην επιφάνεια του αστέρα και ιδιαίτερα πάνω από τους πόλους, και β) οι διορθώσεις λόγω γενικής σχετικότητας είναι σημαντικές εντός του βαρυτικού πεδίου κοντά στον αστέρα.

Ειδικότερα έχουμε την εμφάνιση του σχετικιστικού φαινομένουInertial Frame Dragging (IFD): η παρουσία ενός πολύ συμπαγούς, περιστρεφόμενου αντικειμένου παραμορφώνει το χωρόχρονο γύρω του με αποτέλεσμα ένα πεδίο να διαφέρει σε σχέση με τη νευτώνεια φυσική και τον επίπεδο χωρόχρονο. Η επίδραση τουIF D είναι καθοριστικής σημασίας για το ηλεκτρικό πεδίο καθώς μπορεί να το αυξήσει έως και 100 φορές.

Στις πρώτες εκδοχές τουPCMτα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά μόνο για σχεδόν ευθυγραμμισμένα τα Ω, ~~ µ (~µ είναι η μαγνητική διπολική ροπή). Με την υπόθεση τουIF Dτο μοντέλο είναι εφικτό για όλες σχεδόν τις τιμές της απόκλισης του μαγνητικού άξονα.

3.2.2 Η δημιουργία του gap

Στην επιφάνεια του αστέρα τα φορτία, είτε πρόκειται για ηλεκτρόνια είτε για ιόντα, είναι δέσμια και μπορούν να αποκολληθούν μόνο αν η θερμοκρασίαT της επιφά- νειας είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη θερμοκρασία θερμικής εκπομπής. Για τα ηλεκτρόνια αυτή είναι

Te'3.6·10⁵·(Z

26)^0.8·(B₁₂^∗ )^0.4 (29) με Ζ τον ατομικό αριθμό καιB12το μαγνητικό πεδίο σε μονάδες 10¹²G, ενώ για τα ιόντα είναι

T_i'3.5·10⁵·(B^∗₁₂)^0.73 (30) ΑνT < T_e,i τότε τα φορτία δεν μπορούν να αποσπαστούν από την επιφάνεια. Σε συνδυασμό με την ροή σωματιδίων έξω από τη μαγνητόσφαιρα μέσω των ανοιχτών δυναμικών γραμμών σχηματίζεται ένα gap κενό από φορτία (ρ = 0). Αυτή η εκδοχή ονομάζεται vacuum gap . Το vacuum gap έχει αρχή την επιφάνεια του αστέρα και σβήνει όταν η χιονοστιβάδαe^±είναι αρκετά ισχυρή ώστε να εκμηδενίσει το ηλεκτρικό πεδίο.

Η δεύτερη εκδοχή ονομάζεταιspace-charge limited flow gap (SCLF)και προ- κύπτει ότανT > Te,i. Φορτία μπορούν να ρέουν από την επιφάνεια και να γεμίζουν τη μαγνητόσφαιρα. Ωστόσο η πυκνότητα φορτίου αυτή μειώνεται με το ύψος πιο γρήγορα από ότι η ρGJ που εξασφαλίζει ότι E_k = 0. Το αποτέλεσμα είναι σε κάποιο ύψοςz πάνω από την επιφάνεια η απόκλιση αυτή να δημιουργήσει άναgap και να επαχθεί ένα ηλεκτρικό πεδίο σύμφωνα με τη σχέση∇²V =−4π(ρ−ρGJ).

Οι μετρούμενες θερμοκρασίες επιφανείας για τους pulsars που έχουμε στη διάθεσή μας είναι εν γένει T > T_e,i. Για αυτό τον λόγο η δεύτερη εκδοχή για τοgapτουPCMείναι πιο ρεαλιστική. Εξάλλου συστηματικά στη βιβλιογραφία η συνθήκηSCLFλαμβάνεται ως δεδομένη για τη ροή φορτίων από την επιφάνεια του αστέρα νετρονίων και εμείς θα ακολουθήσουμε αυτή τη συνταγή στην υπόλοιπη εργασία.

3.2.3 Χιονοσ τιβάδες e^±

΄Οπως έχουμε δει ο περιορισμός του gap γίνεται από χιονοστιβάδες e^± που εκ- μηδενίζουν το E_k. Στο PCM εξάιτίας της παρουσίας πολύ ισχυρού μαγνητικού πεδίου, η δίδυμη γέννεση γίνεται σύμφωνα με την αντίδρασηγ→e⁻+e⁺, δηλαδή ένα φωτόνιο αλληλεπιδρά με το μαγνητικό πεδίο και διασπάται σεe^± .

Η εκπομπή υψηλοενεργειακών φωτονίων που θα δημιουργήσουν αυτά τα ζεύ- γη μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: α) curvature raiation (CR) και β) inverse compton scatering (ICS). Και οι δύο αυτοί μηχανισμοί έχουν σημαντική συνει- σφορά στην παραγωγή φωτονίων αλλά κυριαρχούν σε διαφορετικές περιοχές και για διαφορετικούς παράγοντεςLorentz. Οι απώλειες απόCRκυριαρχούν σε με- γαλύτερες αποστάσεις από την επιφάνεια όπου οι δυναμικές γραμμές αρχίζουν να καμπυλώνονται και για ταχύτητεςγ ≥10⁶ , ενώ χαμηλότερα και για μικρότερες ταχύτητες ηICSγίνεται σημαντικότερη.

Σε κάθε περίπτωση θα δημιουργηθεί ένα μέτωπο σε κάποιο ύψος hπάνω από την επιφάνεια όπου θα παράγονται τα ζεύγη. Το μέτωπο αυτό έχει μήκος l με l hκαι αποτελεί ουσιαστικά το όριο του gap . Σύμφωνα με τα παραπάνω τα μέτωπα που δημιουργούνται απόCRβρίσκονται σε μεγαλύτεραh.

Η εξασθένιση τουE_kσυμβαίνει καθώς τα ηλεκτρόνια (πρωτογενή και δευτερο- γενή) επιταχύνονται προς τα έξω ενώ τα ποζιτρόνια επιβραδύνονται, σταματούν και στη συνέχεια επιταχύνονται προς την επιφάνεια. Υπάρχει επομένως ένα ρεύμα από e⁺ πολύ μικρό σε σχέση με το εξωτερικά κινούμενο ρεύμαe⁻ αλλά αρκετό ώστε να προκαλέσει ένα δεύτερο μέτωπο δημιουργίας ζευγών κοντά στην επιφάνεια. Το δεύτερο αυτό μέτωπο μετατοπίζει το κάτω όριο τουgapκαι επηρεάζει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και συνολικά τη δυναμική του gap . Τα ποζιτρόνια που επιταχύνονται προς την επιφάνεια προσκρούουν με πολύ μεγάλες ταχύτητες στον αστέρα θερμαίνοντας τοpolar cap. Η θερμοκρασία που αποκτά η επιφάνεια οδη- γεί στην εκπομπή θερμικών ακτίνων Χ που ανιχνεύουμε στο φάσμα τωνpulsars . Δε θα ασχοληθούμε περισσότερο με τον «βομβαρδισμό» και τη θέρμανση του polar capαλλά θα τονίσουμε ότι το υπόβαθρο θερμικών ακτίνων Χ είναι σημαντική παράμετρος για όλα τα μοντέλα και παίζει καθοριστικό ρόλο για την ICSτις γ-γ δίδυμες γενέσεις κλπ.

3.2.4 Death Lines

ΤοPFFπου δημιουργείται απόCRδεν εξαρτάται γενικώς από τις φυσικές παρα- μέτρους τουpulsar(περίοδος, μαγνητικό πεδίο, κλπ) αλλά μόνο από το μαγνητικό πλάτος. Αν το ύψοςhείναι μεγαλύτερο από περίπου μία αστρική ακτίνα τότε το μαγνητικό πεδίο είναι πολύ ασθενές και στην πραγματικότητα δεν είναι δυνατόν να δημιουργηθεί PFF . Συνεπώς τα φωτόνια που εκπέμπονται μέσωCR από τα φορτία διαφεύγουν χωρίς να παράγουν ζεύγη. Υπάρχει επομένως μία γραμμή πάνω στοP−P˙ διάγραμμα²κάτω από την οποία οι ταPFFsμπορούν να δημιουργηθούν μόνο απόICS.Αντίστοιχα υπάρχει μία δεύτερη γραμμή κάτω από την οποία οιpul- sarsδεν παράγουν καθόλου ζεύγη και αναμένεται να μην εκπέμπουν ραδιοπαλμούς καθώς δεν υπάρχουν στη μαγνητόσφαιρα φορτία ώστε να εκπέμψουν ραδιοφωνι- κή ακτινοβολία σύγχροτρον. Αυτές οι γραμμές ονομάζονται Death Lines και η ύπαρξή τους επιβεβαιώνεται από τις παρατηρήσεις.

3.2.5 Προβλήματα και αβεβαιότητες

ΤοPCMδε θεωρείται σήμερα ένα ικανοποιητικό μοντέλο για την εκπομπή ακτίνων γ. Ο λόγος είναι ότι προβλέπει ένα φάσμα με νόμο δύναμης που σβήνει υπέρ- εκθετικά στις πολύ μεγάλες συχνότητες εξαιτίας της παρουσίας πολύ ισχυρού μαγνητικού πεδίου. Οι νέες παρατηρήσεις αποκλείουν αυτό το χαρακτηριστικό και υποδηλώνουν ότι η εκπομπή γίνεται σε μεγάλες αποστάσεις από την επιφάνεια του αστέρα. Από μόνη της αυτή η επιπλοκή έχει οδηγήσει στην σχεδόν ολοκληρωτική απόρριψη αυτού του μοντέλου.

2ΤοP −P˙ διάγραμμα απεικονίζει τον πληθυσμό τωνpulsarsως προς την περίοδο και την παράγωγο της περιόδου και είναι χρήσιμο για τη σ τατισ τική μελέτη, την κατηγοριοποίηση και τον προσδιορισμό της ηλικίας τωνpulsars.