[PENDING] ΘΕΜΑΤΑ Γ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ Γ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Γ (2020)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

 

1 nλ, x 0 f x 1 x

ημx λ συνx, 0 x 3π 2

  

 

    





, με λ > 0.

Γ1. Να αποδείξετε ότι λ = 1. Μονάδες 5

Γ2. Να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(0, 1), η οποία σχηματίζει με τον άξονα x’x γωνία ίση με

π

4 . Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f . Μονάδες 6 Γ4. Ένα σημείο ^{Μ α, f α}

   

_{, με α 0} , κινείται στη γραφική παράσταση της f. Ο ρυθμός

μεταβολής της τετμημένης του σημείου M δίνεται από τον τύπο

 

^{α t}

 

α t   3 .

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο M τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Β. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Β τη χρονική στιγμή t0, κατά την οποία το σημείο M έχει τετμημένη –1. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ (2020 επαν.)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ℝ ℝμε τύπο f(x)=x³.

Γ1. Να αποδείξετε ότι από το σημείο N(-2,f(-2)) διέρχονται δύο ακριβώς εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f και να βρείτε τις εξισώσεις τους. Μονάδες 8

Γ2. Έστω (ε) : y=3x-2 η μία από τις δύο εφαπτομένες του ερωτήματος Γ1. Έστω ακόμα (ζ) ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην (ε) και διέρχεται από το σημείο Μ(0,α) με - 2 < α < 2. Να αποδείξετε ότι ανάμεσα στις ευθείες x=-1 και x=+1 υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της (ζ) με τη γραφική παράσταση της f. Μονάδες 9

Γ 3. Ένα υλικό σημείο M(x, x³) κινείται κατά μήκος της καμπύλης y= x³ με ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του x΄(t)>0. Το σημείο Μ ξεκινά από το σημείο Ν(-2, -8) και καταλήγει στην αρχή τω αξόνων Ο. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ είναι τριπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης του; Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ (2020 παλαιό)

Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ =ΑΓ) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα 1, όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν θ είναι η γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου και ΒΟΜ θ  , τότε:

Γ1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ως συνάρτηση της γωνίας θ είναι :

E(θ) = (1 + συνθ)ημθ, θ(0, π).

Μονάδες 5 Γ2. Να βρείτε την τιμή της γωνίας θ(0,π), για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου μεγιστοποιείται .

Μονάδες 8

Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δυο γωνίες θ1, θ2, με θ1 <θ2 , για τις οποίες το εμβαδόν του

τριγώνου ισούται με 3

4. Μονάδες 6

Γ4. Για τις γωνίες θ1, θ2, του ερωτήματος Γ3, να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ1, ξ2(0, π) τέτοια, ώστε:

1 1 2 2

π π

θ Ε (ξ ) θ Ε (ξ )

3 3

       

   

    Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Γ (2019)

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

 

_{x 1}^{x2 , x 1}

f x e ^ x , x 1

   

    

Γ1. Να αποδείξετε ότι ^{ 1} και ^{ 1}. Μονάδες 5 Γ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ^Rκαι να βρείτε το

σύνολο τιμών της. Μονάδες 4 Γ3. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ^{f x}

 

^0 έχει μοναδική ρίζα ^xo , η

οποία είναι αρνητική . (Μονάδες 4) ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f²

 

x x f xo

 

0 είναι αδύνατη στο



x ,o 



. (Μονάδες 4) Μονάδες 8 Γ4. Ένα σημείο M(x,y) κινείται κατά μήκος της καμπύλης ^{y f x}

 

_{, x 1 .}

Τη χρονική στιγμή ^to κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο ^{A 3,10}

 

, ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου M είναι 2 μονάδες ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου MOK τη χρονική στιγμή ^to, όπου ^{K x, 0}

 

_και ^{O 0, 0}

 

. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ (2019 επαν.)

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, +) , για την οποία ισχύει ότι f(x)f΄(x) = 1

2 για κάθε x>0 και της οποίας η γραφική παράσταση Cf διέρχεται από το σημείο M(1,1). Έστω το σημείο

A 3,0 2

 

 

 

_.

Γ1. Να αποδείξετε ότι f(x) = x , x[0, +). Μονάδες 6

Γ2. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι το μοναδικό σημείο της Cf που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση. Μονάδες 6

Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf, την εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ και τον άξονα x΄x. Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ (2018 )

Έχουμε ένα σύρμα μήκους ^{8 m}, το οποίο κόβουμε σε δύο τμήματα. Με το ένα από αυτά, μήκους x m, κατασκευάζουμε τετράγωνο και με το άλλο κύκλο.

Γ1. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων σε τετραγωνικά μέτρα,

συναρτήσει του ^x, είναι

  

_x ^{4 x}



^{2 64x 256}

16

   

 

 , ^x



^0,8



Μονάδες 5

Γ2. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με την διάμετρο του κύκλου. Μονάδες 10

Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους ^{8 m} , ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με ^{5 m2}. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Γ (2018 επαν.)

Δίνεται η συνάρτηση f : [0, π] →ℝ, με τύπο: f(x) = 2ημx − x . Γ1. Να βρείτε τα ακρότατα της f (τοπικά και ολικά).

Μονάδες 5 Γ2. Να αποδείξετε ότι για κάθε xo∈[0, π] η γραφική παράσταση της f και η εφαπτομένη της στο

A(xo, f(xo)) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Μονάδες 5

Γ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα



₀^πf(x)^συνxdx. Μονάδες 8 Γ4. α) Να αποδείξετε ότι ^x0

lim f(x)= 1

x . (μονάδες 2) β) Να υπολογίσετε το

   

0 

xlim f(x)-f(2x) lnx

. (μονάδες 5) Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ (2017 επαν.)

Έστω συνάρτηση f , ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 3], για την οποία γνωρίζετε τα εξής:

 Η γραφική παράσταση της f′ δίνεται στο παρακάτω σχήμα:

f(0)=2, f(1)=0

 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ τη γραφικής παράστασης της f΄ και των ευθειών x=0 και x=3 ισούται με 8 τ.μ.

 Η f δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα [0, 3].

Γ1 Να αποδείξετε ότι f(3) = 2, f(2) = − 2 και να βρείτε, αν υπάρχουν τα, ^x1

lim f(x)

lnx , ^x0  lim x

f(x) 2 δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

Μονάδες 8

Γ2 Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα,

κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής της f . Μονάδες 8

Γ3 Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό xο∈(2,3) για το οποίο δεν υπάρχει το το όριο ^xx0

lim 1

f(x). Μονάδες 5

Γ4 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f . Μονάδες 4

ΘΕΜΑ Γ (2016 )

Γ1. Να λύσετε την εξίσωση ^{ex2 x2  1 0} , ^{x R} . Μονάδες 4

Γ2. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : RR που ικανοποιούν την σχέση ^{f (x)2 }



^{ex2 x2 1}



² _{για κάθε x R} και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.

Μονάδες 8 Γ3. Αν

x2 2

f (x) e x 1, ^{x R} , να αποδειχθεί ότι η ^f είναι κυρτή. Μονάδες 4 Γ4. Αν ^f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ3 , να λυθεί η εξίσωση

       

f  x 3 f x f x 3 f x

όταν ^{x [0, )} . Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Γ (2016 επαν.)

Δίνεται η συνάρτηση f:ℝ→ℝ με f(x) = x³ .

Γ1 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1 (μονάδες 2) και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f ^-1 (μονάδες 4). Μονάδες 6

Γ2. Nα αποδείξετε ότι κάθε x>0 ισχύει:

f(ημx)

^>

  

 

 

1 3

f x

6

x

. Μονάδες 9

Γ3 Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y= x³, x≥0 με x=x(t) και y=y(t). Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης x(t), αν υποτεθεί ότι x΄(t)>0 για κάθε t>0.

Μονάδες 4

Γ4 Αν g: ℝ→ℝ είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα



1

1

f(x)g(x)dx

. Μονάδες 6

Γ1.

f(x) = x³, χ ^∈R . αν χ1,χ2 ∈R με f(x1)=f(x2)  x13 = x23  χ1=χ2 , άρα f 1-1 οπότε αντιστρέφεται ψ = χ³  αν χ ≥ 0 τότε χ=

√

^3ψ

Αν χ<0 τότε χ = -

√

3^−ψ

Άρα f^-1(x) =

{

⁻

√

³

√

^{3−x , aν χχ , αν χ ≥0<0}

Γ2. Ν.δ.ο.

κάθε x>0 ισχύει:

f(ημx)

^>

  

 

 

1 3

f x

6

x

f(x) = x³, χ ∈R . με f’(x) = 3x² ≥0 , χ ∈R . δλδ γν. αύξουσα , οπότε η ανισότητα γίνεται ημχ > χ- χ³/6  6ημχ – 6χ+ χ³ > 0

αν g(x) = 6ημχ– 6χ+ χ³ , χ ≥0 , τότε g’(x) =6συνχ -6+3x² και g’’(x) = -6ημχ+6χ = -6(ημχ-χ) Ισχύει |ημχ| < χ αν χ>0, άρα -χ<ημχ<χ από ημχ<χ  ημχ-χ<0  -6(ημχ-χ)>0 δλδ g’’(x) >0 άρα g’(x) γν. αύξουσα όταν χ ≥0 τότε ισχύει όταν χ>0,g’(χ) ¿g'(0)  g’(χ) ¿ 0 (αφού g’(0) =6συν0 -6+3*0² = 6-6=0)

Αυτό συνεπάγεται ότι g(x) γν. αύξουσα όταν χ ≥0 , τότε ισχύει όταν χ>0 ,

g(χ) ¿g(0)  g(χ) ¿ 0 (αφού g(0) = 6ημ0– 6*0+ 0³ = 0)  6ημχ – 6χ+ χ³ > 0.

Γ3.

y’(t) = x’(t) [x

³

(t)]’ = x’(t)  3x

²

(t)x’(t) = x’(t)  διαιρούμε με x’(t)

3x

²

(t) = 1  χ(t) =

¹

√

³

= √

₃³

ΘΕΜΑ Γ (2015 επαν.)

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) e 

^{x 1}

 ln x

_, x (0, )_.

Γ1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

f

ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Μονάδες 6 Γ2. ολοκληρωμα

Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

f f (x) 1 1 2

   

 

 

έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες

x , x

^{1 2}_.

Mονάδες 6

Γ4. Αν για τις ρίζες

x , x

^{1 2} του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι

x

¹

 x

²τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό

 (x ,1)

¹ τέτοιο , ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

f

στο σημείο

( ,f ( ))  να διέρχεται από το σημείο

(0, ) 3

 2

. Μονάδες 7