[PENDING] ΘΕΜΑ Β πανελληνίων 2016- 2020 με λύσεις

2

^Ο

ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑ Β (2020)

Δίνονται οι συναρτήσεις:

 

f : 1,  , με τύπο f x

 

^{x 2}

x 1

 

 και g :  , με τύπο ^{g x}

 

^ex_.

B1. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση ^{f g} .

Μονάδες 5 B2. Αν



^{f g x}

  

^ex_x ²

e 1

 

 

, με x > 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ^{f g} είναι ‘1-1’ και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 8

B3. Αν ^{φ x}

  

^{f g}

  

^{1 x n x 2}

x 1

   

     

, με x > 1, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 6

B4. Αν φ είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Β3, να βρεθούν τα όρια

   

xlimφ x1_ και lim φ xx

  . Μονάδες 6 ΛΥΣΗ

B1. Πεδίο ορίσμου fog: χεDg kai g(x)εDf , δλδ χεR kai e^x ≠1  χ ≠0 χ ≠0

τύπος : f(g(x)) = f(e^x) <=>



^{f g x}

  

^ex_x ²

e 1

 

 

, B2. χ>0  e^x>1,

(fog)’(x) =

(

e^x+2

)

^'

(

e^x−1

)

−

(

e^x+2

)

^❑

(

e^x−1

)

'

(

e^x−1

)

^{2 =}

e^x

(

e^x−1

)

−e^x

(

e^x+2

)

^❑

(

e^x−1

)

^{2 =}

e^x

(

e^x−1−e^x−2

)

(

e^x−1

)

^{2 =}

−3e^x

(

e^x−1

)

² < 0 άρα fog γν. φθίνουσα οπότε είναι 1-1, ή (fog)(x1) = (fog)(x2)  e^x1+2

(

e^x1−1

)

⁼

e^x2+2

(

e^x2−1

)

^{( e}

x1

+2¿

(

e^x2−1

)

=¿ ( e^x2+2¿

(

e^x1−1

)

 e^x1e^x2 - e^x1  x1 =x2

άρα αντιστρέφεται ψ = e^x+2

(

e^x−1

)

^{ ye}

x – y = e^x +2  ye^x – e^x = y+2   e^x (y-1) = y+2  e^x = y+2

y−1  (y ≠1kai y+2

y−1>1 ) x = ln y+2

y−1 άρα (fog)^-1 (x) = ln x+2

x−1 με x ≠1kai x+2

x−1>1  x+2

x−1−1>0  x+2−x+1

x−1 >0   3

x−1>0  x-1>0  x>1 άρα χ>1 Β3. Φ(χ) = ln x+2

x−1 χ>1 Φ’(χ) = 1 x+2 x−1

( x+2

x−1¿' = x−1 x+2 (x+2)^'(χ−1)−(χ+2)(χ−1)'

(x−1)² =

= x−1 x+2

(χ−1)−χ−2

(x−1)² = x−1 x+2

−3

(x−1)² = −3 (x+2)(χ−1) Αφού χ>1 τότε χ-1>0 και χ+2>0 άρα φ’(χ)<0 άρα φ(χ) γν φθίνουσα.

B4. χ →1^+¿φ(χ) lim

¿ ¿ = χ →1^+¿ln x+2

x−1 lim

¿ ¿

αν υ = x+2

x−1 , ^{χ →1}

+¿υ lim

¿

¿ = χ →1^+¿ x+2 x−1 lim

¿ ¿

= 0^+¿

3

¿ = +οο διότι χ-1>0 κοντά στο 1 με χ>1.

Άρα χ →1^+¿φ(χ) lim

¿ ¿ = lim

υ→+∞lnυ = +οο lim

χ →+∞ln x+2

x−1 , αν υ = x+2

x−1 , lim

χ →+∞υ = lim

χ→+∞x+2

x−1 =1

Άρα lim

χ →+∞^❑

φ(χ) = lim

υ→1lnυ = 0

ΘΕΜΑ Β (2020 επαναληπτικές)

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x² + α και g(x) = x + β, όπου α,βℝ, για τις οποίες ισχύει (fg)(x) = x² 2x, για κάθε xℝ.

Β1. Να αποδείξετε ότι α = β =  1. Μονάδες 5 Αφου Df=Dg=R έχουμε Dfog=R

(fg)(x)= f(g(x))= f((x+β)= (χ+β)²+α = χ²+2χβ+β²+α,

Όμως χ²+2χβ+β²+α = x² 2x  ισότητα πολυωνύμων 2β =-2 και β²+α = 0 Οπότε β =- 1 και (-1)²+α=0  α=-1

B2. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f,g είναι ‘1 – 1’ και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτησή τους , εφόσον αυτή υπάρχει. Μονάδες 6

f(x) = x² -1 , δεν είναι 1-1 διότι f(1)=f(-1)=0 με 1 ^≠ -1 και δεν αντιστρέφεται.

Ή f(x1)=f(x2)  x²1 -1 = x²2 -1  x²1 = x²2  x1 = ± x2

g(x) = x -1, g(x1)=g(x2)  x1-1 = x2-1  x1 = x2 dld g είναι 1-1 οπότε αντιστρέφεται έχουμε ψ= x -1  χ = ψ+1 άρα

g^-1(x) = x+1 , xεR

B3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g^-1f και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

 

-1  φ(x) = (g f) x

. Μονάδες 6 (g^-1o f)(x) = g^-1(f(x)) = g^-1(x²-1) = x²-1+1= x²

Πεδίο ορισμού : χεDf και f(x)εDg-1 xεR και (χ²-1)εR άρα D g^-1o f = R

φ(χ) =

√

^{χ2 =|χ|=}

{

⁻χ , αν χ ≥0^{χ , αν χ<0}

B4. Έστω η συνάρτηση h:[0, 1]  ℝ, για την οποία ισχύει f(x)+2≤h(x)≤g(x)+2, για κάθε x [0, 1] .

i)Να αποδείξετε ότι limh(x) = 2^x1

(μονάδες 3) .

ii) Να υπολογίσετε το όριο

 

x1 2

h x + 7 - 3

lim h (x) - 4 (μονάδες 5) Μονάδες 8 f(x) = x² -1, g(x) = x -1 kai

f(x) [¿+2]

lim

χ →1

¿ = lim

χ →1(x²−1+2) = 2

g(x) [¿+2]

lim

χ →1

¿ =

x−1 (¿+2)

lim

χ →1¿ = 2 σύμφωνα με κρ. Παρεμβολής έχουμε lim

χ →1h(x) = 2

 

x1 2

h x + 7 - 3

lim h (x) - 4 = ^limx→1

(

√

^h(x)+7−3)(

√

^h(x)+7+3)

(h(x)²−4)(

√

^{h(x)+7+3) =}

(h(x)−2)(h(x)+2)

√

^h(x)+7+3

lim

x→1

h(x)+7−9

¿ ¿ =

=

(h(x)−2)(h(x)+2)

√

^h(x)+7+3

lim

x→1

h(x)−2

¿ ¿ = ^lim

x→1

1

(h(x)+2)(

√

^{h(x)+7+3) =}

1

(2+2)(3+3)=¿ 1/24

ΘΕΜΑ Β (2020 παλαιό)

Δίνεται η συνάρτηση ^{f x}

 

^{3x 1, x}

 

³

x 3

   

 

.

B1. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται στο  ^

 

³ . Μονάδες 5

B2. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και f ^–1 είναι ίσες. Μονάδες 8 B3. Να αποδείξετε ότι



^{ff x}

  

^{x για κάθε x  } ³

 

. Μονάδες 6 B4. Να υπολογίσετε το όριο lim

x →−1 3

f(x)ημ 1

3x+1 . Μονάδες 6

B1. Aν χ1, χ2 ≠ 3 , τότε f(x1) = f(x2)  3x1+1

x1−3 =3x2+1

x2−3  (3x1+1)(x2-3)= (3x2+1)(x1-3)



 3x1x2-9x1+x2-3= 3x1x2-9x2+x1-3  10x2=10x1  x2=x1 δλδ f είναι 1-1 άρα υπάρχει η αντίστροφη της.

Β2. Έστω ψ = 3x+1

x−3  ψ(χ-3)=3χ+1  ψχ-3ψ = 3χ +1  ψχ-3χ=3ψ+1  χ(ψ-3) = 3ψ+1   χ = 3ψ+1

ψ−3 (ψ ≠3 ) άρα f^-1(x) = 3x+1

x−3 = f(x) με χ ≠3 οπότε f = f^-1. B3. (fof)(x) = f(f(x)) = f( 3x+1

x−3 ¿ = f (f^-1(x)) = x διότι f = f^-1

Β4. |ημ1/(3χ+1)| ≤1  |f(x)| |ημ1/(3χ+1)| ≤1∨f (x)∨¿  |f(x)ημ1/(3χ+1)| ≤1∨f(x)∨¿



 -|f(x)| ≤ f(x)ημ1/(3χ+1) ≤∨f(x)∨¿

−¿f(x)∨¿

lim

x →−1 3

¿ =

−¿3x+1 x−3 ∨¿

lim

x →−1 3

¿ = - | 0/(-4/3)| = 0 και

¿f (x)∨¿

lim

x →−1 3

¿ =

¿3x+1 x−3 ∨¿

lim

x →−1 3

¿ = | 0/(-4/3)| = 0 σύμφωνα με κριτήριο παρεμβολής ισχύει

lim

x →−1 3

f(x)ημ 1 3x+1

ΘΕΜΑ Β (2019)

Δίνεται η συνάρτηση ^{f : RR} με τύπο ^{f x}

 

^{ex  }_{, όπου  R, η οποία}

έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο ^ την ευθεία y 2 .

B1. Να αποδείξετε ότι ^{ 2}. Μονάδες 3 B2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ^{f x}

 

^{ x 0} έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο διάστημα



^2,3



. Μονάδες 7 B3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 (μονάδες 2) και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφή της (μονάδες 4) . Μονάδες 6 B4. Έστω ^f1

 

^{x  ln x 2}



^



_{, x 2} . Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης (μονάδες 3) και στη συνέχεια να κάνετε

μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων f και f^1 στο ίδιο

σύστημα συντεταγμένων (μονάδες 6). Μονάδες 9 Β1. Αφού η συνάρτηση έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο ^ την ευθεία y 2 , ισχύει

^lim

x →+οοf(x) = 2 

e^−x+λ lim¿

x →+οο

¿ = 2  lim

x →+οο

¿ [

(

¹e

)

^{x+λ] = 2 }

 0 +λ =  λ=2

Β2. f(x)-x = 0  _e^−x+¿ 2 – x = 0 Έστω g(x) = e^−x+¿ 2 – x, xεR ,

Η g(x) είναι συνεχής στο [2,3] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων

g(2) = _e⁻²+¿ 2 – 2 = 1/e² > 0

g(3) = e⁻³+¿ 2 – 3 = 1/e³ – 1 = 1−e³ e³ < 0

άρα g(2)g(3)<0 kai σύμφωνα με θεωρ. Bolzano η εξίσωση

g(x) = 0 έχει μια τουλαχ. ρίζα στο (2,3).

g’(x) = ( e^−x+¿ 2 – x)’ = −e^−x−1 < 0 δλδ g(x) είναι γν. φθίνουσα στο R, άρα και στο [2,3]

Oπότε η ρίζα της εξίσωσης είναι μοναδική.

Β3. f(x) = e^-x+2, f’(x) = - e^-x <0 δλδ f γν. φθίνουσα ( γν. μονότονη) στο R, άρα είναι 1-1 οπότε αντιστρέφεται.

y = e^-x+2  y -2 = e^-x  ln(y-2) = -x  x = - ln(y-2) me y-2>0  y>2 άρα f^-1= -ln(x-2) , x>2

B4. Θα αναζητήσουμε της f^-1= -ln(x-2)της f^-1= -ln(x-2) , x>2

για χ= 2 : χ →2^+¿[−ln(x−2)]

lim¿ ¿ = -(-oo)

=+oo

διότι u = x-2 ^{χ →2}

+¿u lim

¿

¿ =

χ →2^+¿(x−2) lim

¿ ¿ = 0⁺ και το όριο γίνεται : u →0^+¿

lim

¿

¿ (-lnu) = +oo

άρα η f^-1= -ln(x-2) έχει της f^-1= -ln(x-2) την χ=2.

ΑΣΚΗΣΗ

Αν F(x) = xe^1/x , x ≠ 0.

Α) μονοτονία –ακρότατα – σύνολο τιμών Β) κυρτότητα – σημεία καμπής

Γ) γραφική παράσταση ΛΥΣΗ

A) F’(x) = (xe^1/x)’ = e^1/x –e^1/x/x.

F’(x) = 0  e^1/x(1-1/x) = 0  e^1/x(χ-1)/x = 0 πρόσημο του (χ-1)/x δλδ χ(χ-1) = χ²-χ x -oo 0 1 +00

f’(x) + - 0 +

f(x) ↑ ↓ T. Ε. ↑ H f(x) είναι γν. αύξουσα όταν χε(-οο,0)U[1, +οο]

H f(x) είναι γν. φθίνουσα όταν χε(0,1) και έχει τοπ. ελάχιστο για χ=1 το f(1)=e Σύνολο τιμών :

 αν χε(-οο,0) τότε f(χ)ε ( x →0^−¿f(x)

x →−οοlim f(x),lim

¿ ¿

x →0^−¿x e

1 x=¿

x →0^−¿f(x)=lim

¿ ¿

lim¿ ¿

0

(διότι x →0^−¿e

1 x

lim¿ ¿ =0 (αν υ=1/χ τότε

x →0^−¿1/χ=¿

x →0^−¿υ=lim

¿

¿ lim

¿

¿

-οο και x →0^−¿e

1

x=lim e

υ →−οο υ

lim

¿

¿

=0 )

lim

x →−οοf(x) = x e

1 x=¿ lim

x →−οο

¿ -οο

(διότι lim

x →−οοe

1

x =1 (αν υ=1/χ τότε lim

x →−οου= lim

x →−οο1/χ=¿ 0 και lim

x →−οοe

1

x=lim e

υ→0

υ = 1) αν χε(-οο,0) τότε f(χ)ε(-οο ,0)

 αν χε(0,1] τότε f(χ)ε [f(1), x →0^+¿f(x) lim

¿

¿

x →0^+¿x e

1 x=¿

x →0^+¿f(x)=lim

¿ ¿

lim

¿ ¿

0 (+oo)

(αν υ=1/χ τότε

x →0^+¿1/χ=¿

x →0^+¿υ=lim

¿

¿ lim

¿

¿

+οο και x →0^+¿χ e

1 x=

υ→+limοοe^v v lim

¿

¿

= +οο

+οο del’hospital

= lim

υ →+οοe^v

1 = +oo F(1) = e ,άρα αν χε(0,1] τότε f(χ)ε [e, +oo ¿

 αν χε [1,+oo) τότε f(χ)ε [f(1), lim

x →+oof(x)¿

lim

x →+οοf(x) = x e

1 x=¿

lim

x →+οο

¿ +οο

(διότι lim

x →+οοe

1

x =1 (αν υ=1/χ τότε lim

x →+οου= lim

x →+οο1/χ=¿ 0 και lim

x →+οοe

1

x=lim e

υ →0

υ = 1) Άρα αν χε [1,+oo) τότε f(χ)ε [e,+oo ¿

ΣΎΝΟΛΟ ΤΙΜΏΝ : f(χ)ε(-οο ,0)U[e, +oo)

B) f’’(x) = (e^1/x(1-1/x))’= e^1/x(-1/x²)(1-1/x) + e^1/x1/x² = e^1/x1/x²( -1+1/x+1) = e^1/x/x³ αν χ<0 τότε f’’(x) <0 οπότε f (x) κοίλη,

αν χ > 0 τότε f’’(x) > 0 οπότε f (x) κυρτή και δεν έχει σημείο καμπής

Γ)

x →0^+¿x e

1 x=¿

x →0^+¿f(x)=lim

¿ ¿

lim

¿

¿

+oo , άρα η συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμτωτη χ=0

Αναζήτηση πλάγιων ασυμπτώτων:

Στο –οο : lim

x →−οοf(x)/χ =

e

1 x=¿

x e

1

x/χ=¿ lim

x →−οο¿ lim

x→−οο

¿

1=λ (αν υ=1/χ τότε lim

x →−οου= lim

x →−οο1/χ=¿ 0 και

lim

x →−οοe

1

x=lim e

υ→0

υ = 1)

lim

x →−οο(f(x)−χ) = (x e

1

x−χ)=¿

lim

x →−οο¿

e

1 x−1 lim¿=¿

x →−οο χ¿ e

1 x−1 1/χ =¿

lim

x →−οο¿

αν υ =1/χ τότε lim

x →−οου= lim

x →−οο1/χ=¿ 0 και το όριο γίνεται

e

(¿¿υ−1)/υ=0/0 lim

υ →0¿ εφαρμόζουμε κανόνα del’Hospital: lim

υ →0e^υ =e⁰ =1 =β πλάγια aσύμπτωτη στο –οο : ψ = χ+1

Στο +οο : lim

x →+οοf(x) /χ =

e

1 x=¿

x e

1

x/χ=¿ lim

x →+οο¿ lim

x→+οο

¿

1=λ (αν υ=1/χ τότε lim

x →+οου= lim

x →+οο1/χ=¿ 0 και

lim

x →+οοe

1

x=lim e

υ →0

υ = 1)

lim

x →+οο(f(x)−χ) = (x e

1

x−χ)=¿

x →+οοlim ¿

e

1 x−1 lim¿=¿

x →+οο χ¿ e

1 x−1 1/χ =¿

lim

x →+οο¿

αν υ =1/χ τότε lim

x →+οου= lim

x →+οο1/χ=¿ 0 και το όριο γίνεται

e

(¿¿υ−1)/υ=0/0 lim

υ →0 ¿ εφαρμόζουμε κανόνα del’Hospital: lim

υ →0e^υ =e⁰ =1 =β πλάγια aσύμπτωτη στο +οο : ψ = χ+1

Δ1. Η f(χ) είναι συνεχής στο [-1,0) ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ψ =χ⁴ και ψ =

√

^{3 χ και}

στο (0,π] ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων.

Εξετάζουμε στο χ=0. f(0) = e^oημ0 = 0 = χ →0^+¿f(x) lim

¿ ¿

χ →0^−¿f(x) lim

¿ ¿ = χ →0^+¿

√

^3x4

lim

¿ ¿ = 0 άρα f(x) συνεχής στο χ=0, άρα είναι συνεχής στο [-1,π]

Αν -1 ≤ χ<0 τότε F(x) =

√

^{3 χ4 =}

√

^{3 χ3χ =}

√

^{3|χ|3∨χ∨¿ =}

√

^{3 (−χ)3}

√

^{3−χ = -χ}

√

^3−χ

Άρα f’(x) = [-χ

√

³⁻χ¿'=¿ -

√

³⁻χ – x(

√

³⁻χ¿'=¿ -

√

³⁻χ + χ

3

√

^{3(χ)2 διότι}

[

√

³ χ¿'=¿ (χ^1/3)΄ = 1

3

√

^{3 χ2} άρα f’(x) = [

√

³⁻χ¿'=¿ 1

3

√

^{3(−χ)2 (-χ)΄ =}

3

√

^3(χ)2

−1¿

¿

ή

(

√

^{3 χ4)' = (x4/3)’ = 4/3 x1/3} άρα f ’(x) = (

√

^3(−χ)4)' = 4/3 (-x)^1/3 (-x)’ = −4

√

^3−x

3 An 0<x ≤ π τότε f’(x) = (e^xημx)’ = e^xημx+ e^x συνx

Στο χ =0

χ →0^−¿

√

3 ^χ4−0

χ−0 lim¿ ¿

= 0

0 = del’hospital = χ →0^−¿(

√

^{3 χ4)'}

(χ)' lim

¿ ¿

= χ →0^−¿−4

√

^3−x

3 lim

¿ ¿

=0

χ →0^+¿e^xημ x−0 χ−0 lim¿ ¿

= 0

0 = del’hospital = χ →0^+¿(e^xημ x)' (χ)' lim¿ ¿

= χ →0^+¿

lim

¿

¿ (e^xημx+ e^x συνx)=1 Άρα η f δεν παραγωγίζεται στο χ=0 (κρίσιμο σήμειο)

Θα λύσουμε την εξίσωση F’(x)=0

Αν -1 ≤ χ<0 τότε f’(x) =

3

√

^3(χ)2

−1¿

¿

< 0

0<

x ≤ π τότε f’(x) = 0 e^xημx+ e^x συνx=0  e^x (ημx+ συνx)=0  ημx+ συνx=0  ημχ = - συνχ  ( συνχ ≠0 άρα χ ≠ 2κπ ± π/2,άρα χ ≠ π/2 )

εφχ = -1 = εφ3π/4  χ = κπ+ 3π/4 άρα χ = 3π/4

αν χ= π/2 τότε f’(π/2) = e^π/2 ≠0

Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης είναι χ=0 και χ=3π/4

Δ2. Αν -1 ≤ χ<0 τότε f’(x) =

3

√

^3(χ)2

−1¿

¿

< 0 δηλαδή f γν. φθίνουσα

0< x ≤ π τότε f’(x) = 0 e^xημx+ e^x συνx =0 χ= 3π/4 χ -1 0 3π/4 π

f’(x) - + -

f(x) ↓ ↑ ↓ T.M T.E. T.M. T.E.

Mονοτονία της f(x) : γν. φθίνουσα στα διαστήματα : [-1,0)U[3π/4, π]

γν. αύξουσα στο διαστήμα : [0, 3π/4]

Τοπικά ακρότατα της f(x) : Τοπικό μέγιστο για χ=-1 με τιμή f(-1) = 1 Τοπικό ελάχιστο για χ=0 με τιμή f(0) = 0

Τοπικό μέγιστο για χ=3π/4 με τιμή f(3π/4) = e^3π/4ημ3π/4 = e^3π/4

√

²

2 Τοπικό ελάχιστο για χ=π με τιμή f(π) = e^πημπ = 0

Σύνολο τιμών : Αν -1 ≤ χ<0, f γν. φθίνουσα f(x)

χ →0^−¿f(x) lim

¿ ¿

∈¿

, f(-1)]=(0,1]

Στο διάστημα [0,3π/4], f γν. αύξουσα f(x) ∈ [f(0), f(3π/4)] = [0, e^3π/4

√

²

2 ] Στο διάστημα [3π/4, π], f γν. φθίνουσα f(x) ∈ [f(π), f(3π/4)] = [0, e^3π/4

√

²

2 ] Άρα το σύνολο τιμών της είναι : [0, e^3π/4

√

²

2 ] διότι e^3π/4

√

²

2 ^>1 Δ4. 16e^-3π/4f(x) – e^-3π/4(4χ-3π)² = 8

√

^{2 }

16e^-3π/4f(x) = e^-3π/4(4χ-3π)² + 8

√

²  f(x) = (4χ-3π)²/16 + e^3π/4

√

^{2 /2 }

Όμως f(x) ≤ e^3π/4

√

²

2 άρα και f(3π/4) = e^3π/4

√

²

2 ^, αν χ = 3π/4 τότε (4*3π/4-3π)²/16 = 0 , Άρα η μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι χ=3π/4.

ΘΕΜΑ Β (2019 επαναληπτικές)

Δίνονται οι συναρτήσεις f: RR με τύπο f(x)=x²+1 και g : [2, +∞) →R με τύπο g(x) = x-2_.

Β1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση gf έχει πεδίο ορισμού το A=(-, -1]∪[1, +) και

τύπο (gf)(x) = x -1² . Μονάδες 5 Β2. Να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της gf στο + Μονάδες 6

Β3. Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο xo=2 της συνάρτησης h: A-{2}R με τύπο

(g f)(x) h(x) =

x - 2

 . Μονάδες 6

Β4. Έστω η συνάρτηση

2

(g f)(x), x A φ(x) =

1 - x , x (-1,1)





 





. Να εξετάσετε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση t(x)=φ(x) ημ(πx) στο διάστημα∙ [0,2].

Μονάδες 8

Β1. f: RR με τύπο f(x)=x²+1 g : [2, +∞) →R με τύπο g(x) = x-2_. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x²+1) =

√

^{x2.+1−2 =}

√

^x2.−1

xεDF και f(x) εDg δλδ χεR και x²+1 ≥2  x²-1 ≥0  (πρόσημο τριώνυμου χ² -1 ) χε=(-, -1]∪[1, +)

Β2. Αναζητούμε πλάγια ασύμπτωτη στο +οο : lim

χ →+∞

(gof)(x)

x = lim

χ →+∞

√

^x2.−1

x =

lim

χ →+∞

√

^x2(1−x12)

x

= lim

χ →+∞

x

√

^(1−x12)

x

= lim

χ →+∞

√

^{(1−x12) = 1 = λ}

lim

χ →+∞

[

^{(gof) (x)−x}

]

₌ lim

χ →+∞

[ √

^x2.−1−x

]

_{= lim}

χ →+∞

[

^x

√ (

^1−x12

)

^−x

]

^{= χ →+∞lim x(}

√ (

^1−x12

)

^{−1) =+oo}

*0

άρα lim

χ →+∞

[ √

^x2.−1−x

][ √

^x2.−1+x

] [√

^x2.−1+x

]

⁼

χ→+lim∞x^2.−1−x^2.

x

√ (

^1−x12

)

^{+x =}

lim

χ →+∞−1

x(

√ (

^1−x12

)

⁺¹⁾ =-/+oo = 0=β άρα η ασύμπτωτη της συνάρτησης στο +οο είναι η ευθεία ψ =χ

Β3.

(g f)(x) h(x) =

x - 2



=

√

^x2.−1

χ−2

lim

χ →2h(x)=¿ lim

χ→2

√

^x2.−1

χ−2 =

√

^22.−1

2−2 ⁼

√

³

0 εξετάζουμε το πρόσημο του χ-2

Αν χ<2 τότε χ-2<0 άρα ^{χ →2}

−¿h(x)

lim¿ ¿ ^{= -οο}

Αν χ>2 τότε χ-2>0 άρα ^{χ →2}

+¿h(x) lim

¿ ¿ ^=+οο Δεν υπάρχει το όριο της h(x) στο xo=2

Β4.

2

(g f)(x), x A φ(x) =

1 - x , x (-1,1)





 





=

1,+¿

¿

¿

√

^{x2.−1, χ∈¿∪¿}

¿

Τότε t(x)=φ(x) ημ(πx) = ∙

1,+¿

¿

¿

√

^{x2.−1ημ(πχ), χ∈¿∪¿}

¿

Θα εξετάσουμε αν πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση t(x)=φ(x) ημ(πx)∙ στο διάστημα [0,2]

αν χε[0,1) τότε t(x)=

(

1−χ²

)

ημπχ αν χε[1,2] τότε t(x)=

√

^{x2.−1ημ(πχ)}

 αν χε[0,1) τότε t(x) συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων αν χε(1,2] τότε t(x) συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων εξετάζουμε την συνέχεια στο χ=1

(

1−χ²

)

ημπχ=¿

χ →1−¿ ¿ t(x)=¿lim

¿

¿ χ →1−¿ ¿

lim

¿ ¿

0

√

^{x2.−1ημ(πχ)=¿}

χ →1−¿ ¿ t(x)=¿lim

¿

¿ χ →1+¿ ¿

lim

¿ ¿

0 = t(1)

Άρα t(x) συνεχής στο χ=1 οπότε είναι συνεχής στο [1,2].

 αν χε(0,1) τότε t(x) παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων αν χε(1,2) τότε t(x) παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα στο χ=1

χ →1−¿t(x)−t(1) x−1 lim

¿

¿

= χ →1−¿

(

1−χ²

)

ημπχ x−1 lim

¿

¿

= χ →1−¿(1−x)(1+x)ημπχ x−1 lim

¿

¿

=

χ →1−¿−(x−1)(1+x)ημπχ x−1

lim

¿ ¿

=

χ →1−¿−(1+x)ημπχ lim

¿

¿ = -2ημπ = 0

χ →1+¿t(x)−t(1) x−1 lim

¿

¿

= χ →1+¿

√

^{x2.−1ημ(πχ)}

x−1 lim

¿

¿

=

( χ →1+¿

√

^{(χ−1)(χ+1)ημ(πχ)}

x−1 lim

¿

¿

= χ →1+¿

√

^(χ−1)

√

^{χ+1ημ(πχ)}

√

^(χ−1)2

lim¿ ¿

=

χ →1+¿

√

χ+1ημ(πχ)

√

^(χ−1)

lim

¿ ¿

= …….)

= χ →1+¿

√

^{x2.−1ημ(πχ)}

x−1 lim¿ ¿

= χ →1+¿

√

^x2.−1

lim

¿

¿

χ →1+¿ημ(πχ) x−1 lim

¿

¿

.

Όπου χ →1+¿

√

^x2.−1

lim¿ ¿ = 0 και χ →1+¿ημ(πχ) x−1 lim

¿

¿ =0/0 del’hospital ^{χ →1+¿}

(ημ(πχ))' (x−1)' lim

¿

¿

=

χ →1+¿πσυν(πχ) 1 lim

¿

¿

= π(-1) = -π

Άρα χ →1+¿t(x)−t(1) x−1 lim

¿ ¿

= 0 *(-π)=0 οπότε t’(0)=0 Τελικά t(x) παραγωγίσιμη στο (0,2).

 t(0) =

(

1−0²

)

ημπ0 = 0

t(2) =

√

^{22.−1ημ(2π) =}

√

³ * 0 = 0 άρα t(0)=t(2)

οπότε πληρούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος ROLLE στο [0,2].

ΘΕΜΑ Β (2018)

Δίνεται η συνάρτηση

 

2

f x x 4

  x

, ^{x }

 

⁰ .

B1. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.

Μονάδες 8

Β2. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

Μονάδες 4 Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Μονάδες 6

Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα παραπάνω ερωτήματα, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

( Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό με μελάνι που δεν σβήνει)

Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Β (2018 επαναληπτικές)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) =

{

^{xx+2x+a , x ≤1, x>11}

Β1. Να υπολογίσετε το α∈ ℝ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής.

Μονάδες 3 Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρήστε ότι α = 1 .

Β2. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα

 

 



^,



1 4

2 . Μονάδες 6

Β3. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία ^

y = 1x + 2018

4 και να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων στα σημεία αυτά.

Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f και να παραστήσετε γραφικά

τη συνάρτηση.

Μονάδες 9 2017

ΘΕΜΑ Β (2017 επαναληπτικές)

Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά 2cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ:

B1. Να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του x.

Μονάδες 6 B2. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΕZΗΘ

δίνεται από τη συνάρτηση:

f(x)=2x² − 4x + 4, 0≤x≤2

Μονάδες 4 B3. Nα βρείτε για ποιες τιμές του x το εμβαδόν του

τετραγώνου ΕΖΗΘ γίνεται ελάχιστο και για ποιες μέγιστο.

Μονάδες 9

B4. Να εξετάσετε αν υπάρχει xο∈[0,2], για το οποίο το εμβαδόν f(xo) του αντίστοιχου τετραγώνου ΕΖΗΘ ισούται με 4e^xo

 1

_cm²_.

ΘΕΜΑ Β (2016)

Δίνεται η συνάρτηση

2 2

f (x) x

x 1

  , x R .

Β1. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η fείναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f.

Μονάδες 6 Β2. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η fείναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η f είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Μονάδες 9

Β3. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασηs της f.

Μονάδες 7 Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β1,Β2,Β3 να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f.

(Η γραφική παράσταση α σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες 3

ΘΕΜΑ Β (2016 επαναληπτικές)

Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

C1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της

f

.

Μονάδες 2 C2.Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια.

α) ^{x 1}

lim f(x)

^

β) ^{x 3}

lim f(x)

^

γ)^{x 5}

lim f(x)

^

δ) ^{x 7}

lim f(x)

^

ε) ^{x 9}

lim f(x)

^

Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 7 B3. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια.

α) ^x2 lim 1

f(x) β)^x6 lim 1

f(x) γ)

 



x 8lim f f(x)

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 9 B5. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η

f

δεν είναι συνεχής.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 3 B5. Να βρείτε τα σημεία x0του πεδίου ορισμού της

f

για τα οποία ισχύει f΄(x0) = 0.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 4

ΘΕΜΑ 2 ο (2006)

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) =2+(x-2)2 με x≥2.

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

Μονάδες 6 β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f

^{- 1}

της f και να βρείτε τον τύπο της.

Μονάδες 8 γ. i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f

^{- 1}

με την ευθεία y=x.

Μονάδες 4 ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f

^{- 1}

.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 2

^ο

(2004)

Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x)=x

²

lnx .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα

ακρότατα. Μονάδες 10

β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής.

Μονάδες 8 γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 2

^ο

(2006 επαναληπτικές)

Δίνεται η συνάρτηση f ( x )= 1+e

^x

1+ e

^x+1

, x∈IR .

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο IR .

Μονάδες 9

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ f ( 1 x ) dx

.

Μονάδες 9

γ. Για κάθε x<0 να αποδείξετε ότι:

f(5

^x

)+f(7

^x

)<f(6

^x

)+f(8

^x

) .

Μονάδες 7