x 1 x Μέγιστο το h(1)0 Άρα για x1 η h x 0 οπότε f x h x 0 x x     και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,. γ) Είναι x x DLH x x x 1 nx nx x 1 lim f x lim lim lim lim 0 x 1 x 1 1 x

(1)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Α1. Σχολικό βιβλίο σελ. 262.

Α4. α  Λ β  Λ γ  Σ δ  Σ ε  Λ ΘΕΜΑ Β

α) Η εξίσωση εφαπτομένης της C_f στο ^{A 1,f 1}

   

^είναι:

    

yf 1 f 1 x 1  (1) Είναι

   

 

0 0

2 DLH

x 1 x 1 x 1 x 1 2

nx 1

f x f 1 x 1 nx x 1 nx x 1

lim lim lim lim

x 1 x 1 x 1

x 1

   

  

 

   

 

         

    

   

0

0 2

DLH 2

x 1 x 1 x 1 x 1

1 1 1x 1 1 1 1

x x

lim lim lim lim

2 x 1 2 x 1 2 2x 2

   

  

 

   

  

           . Έτσι από (1) η εξίσωση εφαπτομένης

 

y 1 1 x 1 2y 2 x 1 x 2y 3 0

  2           . β) Η f παραγωγίσιμη στο (1,) με

       

 

2 2

1 x 1 nx nx x 1 nx x 1

nx x

f x x 1 x 1 x 1

   

   

 

        

 

²

1 1 nx

x , x 1

x 1

   

 .

Επειδή



^{x 1}^



² ^⁰ θεωρούμε την ^{h x}

 

¹ ¹ ^nx

  x με x0.

Είναι

 

2

h x 0 1 x 0 1 x 0 x 1

x

          και

 

2

h x 0 1 x 0 1 x 0 x 1

x

         

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ_ΘΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/03/2016

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΖΑΧΟΠΟΥΛΟΣ Ν., ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ Δ.

(2)

 

h x    0 ... x 1

x

Μέγιστο το h(1)0

Άρα για x1 η ^{h x}

 

^⁰^οπότε

   

 

²

f x h x 0

x x

  

 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο



^1,



^.

γ) Είναι

   

 

x x DLH x x x

1

nx nx x 1

lim f x lim lim lim lim 0

x 1 x 1 1 x



  

 

    

     

   .

Άρα η y0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο . Κατακόρυφη δεν έχει, αφού η fσυνεχής στο [1,).

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο



^1,



^.

Έτσι ^{f A}

 

^{f 1,}

    

_xlim f x ,f 1

^{   } ^

0,1

^



    .

δ) Είναι ^{φ x}

 

^e^x ¹ ⁰

2 x

    για κάθε x0, έτσι η φ(x) γνησίως αύξουσα στο



^0,^



και μία προφανής ρίζα η x=0.

Άρα μοναδική αφού η f γνησίως αύξουσα.

ε) H f γνησίως φθίνουσα, έτσι είναι 1-1.

Με x0 έχουμε:

x x

x e 1 x 2e x

x x x x

x x

x x f1:1

x x x

(2e x 1) (e 2)

n(2e x 1) n(e 2)

(e 1) n(2e x 1) (2e x ) n(e 2) n(2e x 1) n(e 2)

e 1

2e x

n(2e x 1) n(e 2)

e 2 1

2e x 1 1

f(2e x 1) f(e 2)

2e x 1 e 2 e x 1 0

 

    

      

    

 

    

    

    

       

0 1 

+ 0 -

-

 

h' x

 

h x

(3)

Θεωρούμε την ^

 

^x ^^e^x ^ ^{x 1}^ ^με^x^⁰, που από (δ) ερώτημα έχει μοναδική ρίζα την x0. Άρα, x0.

ΘΕΜΑ Γ

α) ^{f x}

 

⁰ ^{x e}^{1/ x}



^{3x 1}



⁰^{x 0}^{3x 1 0} ^x ¹

3

          

 

¹

f x 0 3x 1 0 x

      3

 

¹

f x 0 x

   3. Άρα η f γνησίως φθίνουσα στο (0, ]¹

3 και γνησίως αύξουσα στο [ ,1 )

3  .

β) Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο ₀ 1 x 3 το

1 e 3

f 3 3

   

   

    . Είναι ^{f x}^

 

^^xe^{1/ 3}



^{3x 1}^{ }



 

² ^{1/ x} ^{1/ 3}

f x 3x e  x e 

3 1/ x 3 1/ x

2

3 1/ x 3 1/ x

f '(x) (x )' e x e 1

x f '(x) (x )' e x (e )'

f '(x) (x e )' f(x) x e C

 

     

    

     

C R Για 1

x 3 έχουμε:

3 3 3

1 1 3 e e

f e c c c 0

3 3 3 3

            

       

        .

Έτσι ^{f x}

 

^^x³^^e^{1/ x}^.

γ) i) Για κάθε x0 είναι

  

^{1/ x}

   

² ^{1/ x} ^{1/ x}



f x  x e 3x 1  3x e  x e  

 

² ^{1/ x} ²

 

^{1/ x}

 

^{1/ x}

 

^{1/ x}

1/ x 2 1/ x 1/ x 1/ x

2 2

1/ x 1/ x 1/ x 1/ x

2

1/ x 1/ x

3x e 3x e x e x e

1 1

6x e 3x e e x e

x x

6xe 3e e e 1

x

1 6x 4x 1

e 6x 4 e 0

x x

 

   

      

   

          

     

   

 

       γιατί e^{1/ x} 0, x0 και η

(4)

6x24x 1 έχει  16 24   8 0.

Άρα 6x²4x 1 0  . Έτσι ^f^

 

^x ^⁰ και η f κυρτή στο



^0,



^.

ii) Έστω (ε) η εφαπτομένη της C_f στο σημείο της με x1. Είναι: ^y^^{f 1}

 

^^{f 1 x 1}^

 

^{   }



^y ^e ^{2e x 1}



^



y2ex 2e e   y 2ex e . Όμως η f είναι κυρτή, έτσι

 

³ ^{1/ x} ^{x e}³ ^{1/ x} ^{x 0}

f x y x e 2ex e 2x 1

e

       

1 1 x

1/ x 1

x x

3 3 3

e 2x 1 2x 1 2x 1

e e

e x x x

 

  

     .

iii) Είναι ^{f x}

 

^^y^{για κάθε}^x^⁰ με το ίσον να ισχύει μόνο για x1. Επομένως ²

 

²

 

1 1

f x dx 2exe dx

 

^.

Όμως ²

 

² ²

1 1

2ex e dx 2ex ex 2

 

    

 



2 2

[ex ex]1 (4e 2e) (e e)   2e. Έτσι ²

 

1

f x dx2e



^.

δ) Είναι: ^y

 

^y ³ ¹^t ^y

1 1 t

2 t 2 t

1 t 1 t 1

f t t e t

dt dt dt

t e^ t e e te

  

  

  ^{ }  

y y y

t t t y t

1

1 1 1

te dt^ t e^ dt  te^  t  e dt









    



 

y

t y t t y t y y 1 y 1

1 1 1

1

[ te ] ^ 



e dt^  [ te ]^  [ e ]^  ye^ e^ e^ e^ 

y y

2 ye e

e

 

   .

Έτσι ^y ^y

y

2 2

lim ye e

e e

 



   

 

  . Αφού ^y _y

y y

lim e lim 1 0 e



    και

y

y y

y y DLHy

y 1

lim ye lim lim 0

e e

 

 

  

     

ΘΕΜΑ Δ α) Θέτουμε ²

0f(x)d(x)k



^{. Τότε:}

(5)

 

2 2

x x 2 x x 2 x

x 2 x 2 x

f '(x) f(x) k e 4 f '(x) ( x)' f(x) k e 4

f '(x)e e ( x)' f(x) (k e 4)e f(x) e ' [ (k e 4)e ]' f(x)e (k e 4)e c f(x) (k e 4) c e

    

 

          

           

           

(1) Για x0 έχουμε:

2 2

2

f(0) 0 (k e 4) c 0 c k e 4

k c e 4

           

   (2) Αλλά:

2 (1)2

2 x

0 0

2 2 x 2 2 2

0 0

2 2 2 (2) 2 2

2 2 2 2 2

2 2

f(x)d(x) k ( k e 4 c e )dx k

( k e 4) [x] c[e ] k 2k 2e 8 c (e 1) k

ce c 3k 2e 8 ce c 3(c e 4) 2e 8

ce c 3c 3e 12 2e 8 ce 4c e 4

c(e 4) e 4 c 1

        

              

           

           

    

 

Και από (2), k 1 e² 4 e²3 Ενώ από (1), f(x)e^x 1

β) Για x0 η σχέση ισχύει ως ισότητα.

Για x0 έχουμε:

x 0 f(x)

x f(x) xf '(x) 1 f '(x) x

     (1)

1

Αλλά η f συνεχής στο [0,x], παραγωγίσιμη στο (0,x) με f '(x)e^x 0. Έτσι, από θ.Μ.Τ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0,x) τέτοιο ώστε :

f(x) f(0) f(x) f '(ξ)

x 0 x

  

 (2)

H (1) λόγω της (2) γίνεται:

0 ξ x

1 f '(ξ) f '(x)  e e e

που ισχύει γιατί 0 ξ x  και η e^x γνησίως αύξουσα.

γ) i) Θεωρούμε την ^h(x)^^{x G(x}



^^{2) G(x)}^



^^f(x)^^{x G(x}



^^{2) G(x)}^



^^e^x^¹

Για κάθε xRισχύει h(x)0 δηλαδή η h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0.

(6)

Το 0 εσωτερικό σημείο και η h(x) παραγωγίσιμη στο R με

 

^x

h'(x)G(x2) G(x) x g(x2) g(x) e . Άρα, παραγωγίσιμη και στο 0.

Έτσι από θ. Fermat ισχύει

h'(0) 0 G(2) G(0) 1 0   G(2) G(0) 1

Άρα ²

 

²

0 0

g(x)dx G(x) G(2) G(0) 1



ii) Θεωρούμε την 1

φ(χ) G(x) G(0)

  2 που είναι συνεχής στο [0,2] ως πράξη συνεχών

γ(i)

1 1

φ(0) G(0) G(0) 0

2 2

1 1 1

φ(2) G(2) G(0) 1 0

2 2 2

     

      

Έτσι, φ(0) φ(2) 0  και από θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0,2) τέτοιο ώστε φ(ξ) 0 G(ξ) 1 G(0)

   2 iii) H εξίσωση

1 1

xg(x) G(x) G(0) xg(x) G(x) G(0)

2 2

1 1

xG'(x) (x)'G(x) (x)' G(0)(x)' 0 x G(x) G(0) ' 0

2 2

       

 

   

            θεωρούμε την

k(x) x G(x) 1 G(0) 2

 

    που είναι συνεχής σtο [0,ξ] παραγωγίσιμη στο (0,ξ) με k '(x) G(x) 1 G(0) x g(x)

  2  

γ(ii)

1 1 1

k(0) 0,k(ξ) ξ G(ξ) G(0) ξ G(0) G(0) 0

2 2 2

   

           

   

Από θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον x₀(0,ξ)(0,2) τέτοιο ώστε

0 0 0 0

k '(x ) 0 x g(x ) G(x ) 1 G(0)

    2