ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ
Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
«Μελέτη κβαντικών πεδίων σε καμπύλους χώρους, σε χώρο Minkowski με κινούμενο σύνορο, σε χώρο Rindler και στο
σύμπαν του Milne»
ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΚΟΓΙΑΝΝΗΣ
Α.Μ. 91526
Επιβλέπων καθηγητής
ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΚΕΧΑΓΙΑΣ
Τομέας Φυσικής, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Πάτρα, Ιούλιος 2018
«Μελέτη κβαντικών πεδίων σε καμπύλους χώρους, σε χώρο Minkowski με κινούμενο σύνορο, σε χώρο Rindler και στο
σύμπαν του Milne»
ΜΠΑΚΟΓΙΑΝΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ
Α.Μ. 91526
Επιτροπή Επίβλεψης Διπλωματικής Εργασίας
Επιβλέπων Καθηγητής:
ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΚΕΧΑΓΙΑΣ
Τομέας φυσικής, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Πάτρα Ιούλιος 2018
Συν-Επιβλέπων Καθηγητής:
ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΦΕΤΣΟΣ
Τομέας πυρηνικής και σωματιδιακής φυσικής, Εθνικό και Καποδιστριακό
Πανεπιστήμιο Αθηνών
Η παρούσα εργασία αποτελεί πνευματική ιδιοκτησία του φοιτητή που την εκπόνησε. Στο πλαίσιο της πολιτικής ανοικτής πρόσβασης ο συγγραφέας εκχωρεί στο ΕΑΠ, μη αποκλειστική άδεια χρήσης του δικαιώματος αναπαραγωγής, προσαρμογής, δημόσιου δανεισμού, παρουσίασης στο κοινό και ψηφιακής διάχυσής τους διεθνώς, σε ηλεκτρονική μορφή και σε οποιοδήποτε μέσο, για διδακτικούς και ερευνητικούς σκοπούς, άνευ ανταλλάγματος και για όλο το χρόνο διάρκειας των δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας. Η ανοικτή πρόσβαση στο πλήρες κείμενο για μελέτη και ανάγνωση δεν σημαίνει καθ’ οιονδήποτε τρόπο παραχώρηση δικαιωμάτων διανοητικής ιδιοκτησίας του
συγγραφέα/δημιουργού ούτε επιτρέπει την αναπαραγωγή, αναδημοσίευση, αντιγραφή, αποθήκευση, πώληση, εμπορική χρήση, μετάδοση, διανομή, έκδοση, εκτέλεση, «μεταφόρτωση» (downloading),
«ανάρτηση» (uploading), μετάφραση, τροποποίηση με οποιονδήποτε τρόπο, τμηματικά ή περιληπτικά της εργασίας, χωρίς τη ρητή προηγούμενη έγγραφη συναίνεση του συγγραφέα/δημιουργού. Ο συγγραφέας διατηρεί το σύνολο των ηθικών και περιουσιακών του δικαιωμάτων.
Περίληψη
Αρχικά γίνεται μια παρουσίαση των βασικών εννοιών και μεγεθών της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας Παρουσιάζεται μετά η βασική μεθοδολογία της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου για βαθμωτό πεδίο, τόσο για πραγματικό, όσο και για μιγαδικό, σε επίπεδο χωρόχρονο Minkowski Μετά εξηγούμε πως πραγματοποιείται το πέρασμα σε καμπύλο χωρόχρονο και παρουσιάζουμε αναλυτικά τις δυσκολίες στην προσπάθειά μας αυτή. Εξηγείται η αναγκαιότητα της ύπαρξης των συντελεστών Bogolubov και αποτολμάται μία διεξοδική παρουσίαση των σχέσεων στις οποίες υπακούουν οι συντελεστές αυτοί. Γίνεται μία συζήτηση για την έννοια του κενού στους χώρους αυτούς και διευκρινίζεται η ασάφεια που παρουσιάζει η έννοια αυτή. Τονίζεται επίσης με παραδείγματα η δυσκολία στην επιλογή, του πιο κατάλληλου κενού. Αναλύεται η περίπτωση του ομαλά επιταχυνόμενου παρατηρητή Rindler και αποσαφηνίζονται με το παράδειγμα αυτό, όλες οι έννοιες που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο.
Επίσης εξετάζουμε την περίπτωση του επίπεδου χωροχρόνου Minkowski με μη ομαλά κινούμενο σύνορο. Τελειώνουμε με την περιγραφή του σύμπαντος Milne που αποτελεί μία ειδική περίπτωση του χωροχρόνου F.R.W για a(t)=at.Σε όλες τις περιπτώσεις παρατηρούμε παραγωγή σωματιδίων με θερμικό φάσμα ακτινοβολίας, όπου υπολογίζουμε και την αντίστοιχη θερμοκρασία εκπομπής.
Λέξεις – Κλειδιά
Χωρόχρονος Rindler, χωρόχρονος Minkowski με κινούμενο σύνορο, σύμπαν του Milne,κβαντική θεωρία πεδίου σε καμπύλους χώρους, συντελεστές Bogolubov.
Abstract
Initially, there is a presentation of the basic concepts of the General Theory of Relativity. The basic methodology of Quantum Field Theory is presented for a scalar field, for both, for a real and a complex field, in the flat space-time of Minkowski. Then, we explain, how the transition to a curved space done, and we present in detail the difficulties in this effort. It explains the necessity of the existence of Bogolubov coefficients and ventures a thorough presentation of the relationships to which these coefficients obey. There is a discussion about the meaning of the vacuum in these spaces and the ambiguity of this concept is clarified, the difficulty in choosing the most suitable vacuum is also highlighted by examples. We analyze the case of the smoothly accelerated Rindler observer, and with this example, all the concepts described in the previous chapter are elucidated. We also look at the case of Minkowski flat space, space with an irregularly moving frontier. We conclude with the description of the Milne universe which is a special case of space time F.R.W for a (t) = at. In all cases, we observe the production of particles with thermal radiation spectrum, where we calculate the corresponding emission temperature.
Keywords
Space-time Rindler, space-time Minkowski with moving frontier, Milne's universe, quantum field theory in curved spaces, Bogolubov coefficients.
Αφιερώνεται στις κόρες μου, Ελένη και Αγγελική
Ευχαριστίες
Θα ήθελα πρωτίστως να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Κεχαγιά Αλέξανδρο για την βοήθεια του μέσω της προτεινόμενης κατάλληλης βιβλιογραφίας και για την αποτελεσματική καθοδήγηση του στον προσανατολισμό της εργασίας αυτής. Θεωρώ μεγάλη μου τιμή που συνεργάστηκα μαζί του. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω και τον συν επιβλέποντα καθηγητή κ Σφέτσο Κωνσταντίνο ,από τις σημειώσεις του οποίου και από την δομή και συνάφεια των εργασιών στην θεματική ενότητα ΠΣΦ51, απέκτησα ένα πολύ καλό μαθηματικό υπόβαθρο, που με βοήθησε στην εκπόνηση της διπλωματικής μου. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον φίλο μου και συμφοιτητή μου Λαμπρόπουλο Κωνσταντίνο, οι ατέλειωτες συζητήσεις μαζί του με βοήθησαν πολύ να ρίξω φως σε πολλά σημεία της προσπάθειας αυτής Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τα παιδιά μου και την σύντροφό μου που μου συμπαραστάθηκαν και με ανέχτηκαν καθ’ όλη την διάρκεια των σπουδών μου.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Περίληψη---4
Ευχαριστίες--- 7
Ευρετήριο σχημάτων--- 11
Συμβάσεις--- 12
Εισαγωγή--- 13
1.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ--- 171.1 Βασικές αρχές και βασικοί ορισμοί στην Γ.Θ.Σ--- 17
1.2 Οι Γεωδαισιακές--- 22
1.3 Η έννοια της «παραλληλίας» στην Γ.Θ.Σ και τα σύμβολα Christoffel--- 25
1.4 Η συναλλοίωτη παραγώγιση και ο τανυστής Riemann--- 30
1.5 Ο τανυστής Ricci το βαθμωτό Ricci και ο τανυστής Einstein--- 36
1.6 Υπολογισμός του βαθμωτού Ricci R για την μετρική R.W(Robertson –Walker) 39 1.7 Ο τανυστής ενέργειας ορμής τάσης ή τανυστής ύλης--- 45
1.8Το στοιχείο όγκου---49
1.9 Ο φορμαλισμός Lagrange και η εξαγωγή των πεδιακών εξισώσεων του Einstein 51 2. ΤΟ ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ--- 60
2.1 Η σχέση 𝛦2 = 𝑝⃗2𝑐2+ 𝑚2𝑐4 --- 60
2.2 1η κβάντωση--- 61
2.3 2η κβάντωση--- 63
2.4 Η χαμιλτονιανή--- 65
2.5 Ο χώρος του Fock---70
2.6 Ο τελεστής αρίθμησης---73
2.7 Η κανονικοποίηση των ιδιοσυναρτήσεων της ορμής ενός σωματιδίου---74
2.8 Το φυσικό περιεχόμενο της κατάστασης φ̂(x⃗⃗, t)|0 >--- 76
2.9 Η στατιστική των σωματιδίων Glein- Gordon--- 77
2.10 Ο διαδότης Feynman στο ερμιτιανό βαθμωτό πεδίο---78
2.11 Ο διαδότης του Feynman για το σωματίδιο Klein-Gordon είναι μία συνάρτηση green για τον τελεστή Klein-Gordon---84
3. ΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ Ή ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΒΑΘΜΩΤΟ ΠΕΔΙΟ---85
3.1 Εισαγωγή--- 85
3.2 Η παραγωγή των εξισώσεων κίνησης---85
3.3 Τo διατηρούμενο φορτίο Q---87
3.4 Ο διαδότης Feynman στο φορτισμένο βαθμωτό πεδίο--- 93
3.5 Το παράδοξο του διαδότη Feynman--- 97
3.6 Η αποσύνδεση των τελεστών καταστροφής και δημιουργίας στο πραγματικό και στο μιγαδικό βαθμωτό πεδίο--- 98
4. ΑΥΤΟΣΥΖΥΓΕΣ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΒΑΘΜΩΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟ--- 100
4.1 Η μετάβαση από τον χώρο Minkowski στον καμπύλο χώρο---100
4.2 Οι μετασχηματισμοί Bogolubov---110
4.3 Η ασάφεια του κενού---115
4.4 Ο υπολογισμός των συντελεστών Bogolubov κάτω από αδιαβατικό καθεστώς-123 4.5 Το στιγμιαίο κενό ελάχιστης ενέργειας---128
5. ΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ RINDLER ΚΑΙ ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ UNRUH---133
5.1 Τα συστήματα αναφοράς---133
5.2 Οι συντεταγμένες στο επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς---139
5.3 Η μετρική του χωροχρόνου Rindler---142
5.4 Η πρώτη και η δεύτερη κβάντωση---144
5.5 Το σύστημα συντεταγμένων κώνου φωτός (ΣΣΚΦ)---147
5.6 Οι μετασχηματισμοί Bogolubov---151
5.7 Η πυκνότητα σωματιδίων---155
5.8 Η θερμοκρασία Unruh---163
5.9 H διερεύνηση σε όλο το χώρο Minkowski---165
6. ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΣ «ΚΑΘΡΕΠΤΗΣ» ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟ--- 172
6.1 Οι «μηδενικές» συντεταγμένες--- 172
6.2 Υπολογισμός των συντελεστών Bogolubov μεταξύ των in και out περιοχών και η πυκνότητα σωματιδίων--- 178
7. ΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΤΟΥ MILNE--- 192
7.1 O σύμμορφα επίπεδος χωρόχρονος Milne--- 192
7.2 Η λύση της εξίσωσης Glein-Gordon--- 195
7.3 Οι συντελεστές Bogolubov και τα κενά στο σύμπαν του Milne--- 202
7.4 Η πυκνότητα των σωματιδίων Milne--- 208
8. ΕΠΙΛΟΓΟΣ-ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ--- 212
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Στοιχεία από τη θεωρία πινάκων---216
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Συναρτησιακά---218
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Συμμετρίες και νομοί διατήρησης---221
Γ.1Το θεώρημα της Noether στην κλασική μηχανική--- 221
Γ.2 Το θεώρημα Noether στην θεωρία πεδίου---225
Γ.3 Ο τανυστής ενέργειας ορμής--- 229
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ: Σχετικιστικές αποδείξεις--- 231
Βιβλιογραφία---237
Ευρετήριο Σχημάτων
5(α)Το ιδιοσύστημα συντεταγμένων Rindler στο χώρο Minkowski---170
5(β) Η σφήνα του Rindler στον χώρο Minkowski σε σύμμορφα επίπεδες συντεταγμένες (n,𝜉̃)--- 171
6(α) Παραγωγή σωματιδίων από ένα κινούμενο σημείο «καθρέπτη»---190
6(β) Η περίπτωση τροχιάς Z(t)=B-t-Ae-2kt---191
7. Το σύμπαν του Milne---210
Συμβάσεις
Σε όλη την εργασία χρησιμοποιείται η σύμβαση του Einstein,σύμφωνα με την οποία όταν εμφανίζονται δύο επαναλαμβανόμενοι δείκτες ο ένας κάτω και ο άλλος πάνω (πχ Gab Rac) η αντίστροφα, θα εννοείται άθροιση σε όλες τις δυνατές τιμές τους.
Επίσης σε όλα τα κεφάλαια όταν εργαζόμαστε στον τετραδιάστατο χωρόχρονο, θα κάνουμε χρήση της υπογραφής +2 δηλαδή (+,- ,- ,-)
Πάντοτε κάνουμε χρήση του φυσικού συστήματος μονάδων που ονομάζεται και σύστημα μονάδων Planck, σύμφωνα με το οποίο, πέντε παγκόσμιες σταθερές εξισώνονται με την μονάδα, συγκεκριμένα: G=c= =1/4πε0=kB=1 και θεωρούνται βέβαια αδιάστατες
Εισαγωγή
Η μεγάλη επιτυχία της θεωρίας της γενικής σχετικότητας του Einstein έγκειται στο γεγονός ότι αποδεικνύει πειστικά ότι το κλασικό πεδίο βαρύτητας είναι μια εκδήλωση της καμπυλότητας του χωροχρόνου.
Από την άλλη η κβαντική θεωρία πεδίου αποδείχθηκε η πιο κατάλληλη φυσική θεωρία για την περιγραφή του υποατομικού κόσμου. Τόσο η υπολογιστική ισχύς της όσο και το εννοιολογικό της πλαίσιο, είναι αξιοθαύμαστα. Οι προβλέψεις της, που αφορούν στις αλληλεπιδράσεις μεταξύ ηλεκτρονίων και φωτονίων, αποδείχτηκαν εξαιρετικά ακριβείς. Επίσης με μεγάλη επιτυχία μέσω της Κ.Θ.Π χύθηκε άπλετο φως στις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των τριών εκ των τεσσάρων θεμελιωδών δυνάμεων στο σύμπαν. Η επιτυχία της Κ.Θ.Π ως η καταλληλότερη φυσική θεωρία για τις υποατομικές δυνάμεις είναι στις μέρες μας ενσωματωμένη σε αυτό που ονομάζουμε σταθερό μοντέλο.
Είναι ειρωνικό βέβαια, η βαρυτική αλληλεπίδραση που αποτέλεσε την πρώτη από τις τέσσερις δυνάμεις που μελετήθηκε με κλασικό τρόπο, τόσο από τον Newton,όσο και από την Γ.Θ.Σ, να είναι η μοναδική που προς το παρόν δεν επιδέχεται κβάντωση. Έτσι λοιπόν σε καμπύλους χώρους μία κβαντική θεωρία πεδίου έχει ως αντικείμενο την διάδοση και την συμπεριφορά των κβαντικών πεδίων πάνω σε ένα κλασικό βαρυτικό υπόβαθρο. Με άλλα λόγια χρησιμοποιούμε και εμπιστευόμαστε την Γ.Θ.Σ ώστε μέσω των εξισώσεων του Einstein,λαμβάνοντας υπ’ όψη την κατανομή ύλης και ενέργειας, να διαμορφώσουμε την κατάλληλη μετρική του χώρου, αυτό άλλωστε αποτελεί και το χωροχρονικό υπόβαθρο πάνω στο οποίο θα εργασθούμε.
Σε αυτό το κλασικό βαρυτικό υπόβαθρο τα πεδία θα αντιμετωπισθούν με την διαδικασία της δεύτερης κβάντωσης, δυστυχώς όμως αγνοούμε λόγω θεωρητικής αδυναμίας την κβαντική φύση της ίδιας της βαρύτητας. Μας λείπει λοιπόν μία ολοκληρωμένη Κ.Θ.Π που να συμπεριλαμβάνει και την βαρυτική κβάντωση
Παρ’ όλα τα προβλήματά της όμως η Κ.Θ.Π μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει την δομή του σύμπαντος σε μεγάλη κλίμακα και τις ανισοτροπίες της παρατηρούμενης κοσμικής ακτινοβολίας. Αποκαλύπτει τις διεργασίες δημιουργίας των μαύρων οπών, στις οποίες ο καμπύλος χωρόχρονος διαδραματίζει βασικό ρόλο. Εξηγεί πως οι μηχανισμοί αυτοί στο ταχέως αναπτυσσόμενο πρώιμο σύμπαν, αφήνουν παρατηρήσιμα αποτελέσματα στις μέρες μας. Πρέπει επίσης να τονίσουμε ότι η
επιτυχία της είναι επίσης μεγάλη και σε κοσμολογικό επίπεδο. Μέσω της Κ.Θ.Π έχει αποδειχθεί πως οι ανομοιογένειες και οι ανισοτροπίες που παρατηρούμε σήμερα στο κοσμικό μικροκυματικό υπόβαθρο και στην δομή μεγάλης κλίμακας του σύμπαντος, δημιουργήθηκαν σε ένα σύντομο στάδιο πολύ ταχείας επέκτασης του σύμπαντος, γνωστού ως πληθωρισμός. Όλες αυτές οι επιτυχίες της Κ.Θ.Π σε κλασικό βαρυτικό υπόβαθρο μας αφήνουν διάχυτη την αίσθηση για την ύπαρξη μίας ολοκληρωμένης Κ.Θ.Π που θα συμπεριλαμβάνει και την κβαντική θεωρία βαρύτητας
Η παρούσα εργασία έρχεται να μελετήσει την εφαρμογή της θεωρίας αυτής σε βαθμωτά κβαντικά πεδία σε ειδικούς χώρους.
Το πρώτο κεφάλαιο ασχολείται με τα βασικά στοιχεία της Γ.Θ.Σ επιδιώκοντας όλο το κεφάλαιο να έχει μια αυτοτέλεια και μία ενιαία στρατηγική στην ανάλυσή του, γι’ αυτό άλλωστε και γίνονται όλες οι αποδείξεις. Ξεκινάμε με τις βασικές αρχές της Γ.Θ.Σ.
Παρουσιάζεται μετά η έννοια της γεωδεσιακής που αποτελεί το κατάλληλο «στήριγμα»
για να αποσαφηνισθεί ή έννοια της παραλληλίας. Ξεκαθαρίζουμε ότι στην προσπάθειά μας να ορίσουμε την έννοια αυτή, αναπόφευκτα θα «συναντήσουμε» τα σύμβολα Christoffel. Έτσι η συναλλοίωτη παραγώγιση και η εμφάνιση του τανυστή Riemann είναι ένα φυσικό επακόλουθο της πορείας της ανάλυσης αυτής. Ακολούθως παρουσιάζονται χρήσιμα μεγέθη για την εργασία μας, όπως ο τανυστής Ricci,το βαθμωτό Ricci και ο τανυστής Einstein. Στην επόμενη ενότητα υπολογίζουμε τον τανυστή Riemann και το βαθμωτό Ricci για την μετρική F.R.W, πάνω στην οποία θα
«πατήσουμε» για να περάσουμε στο σύμπαν του Milne που είναι μία ειδική περίπτωση αυτής. Παρουσιάζεται ο τανυστής ενέργειας ορμής και διευκρινίζεται η φυσική σημασία των συνιστωσών του. Παρουσιάζεται και υπολογίζεται το στοιχείο όγκου, απαραίτητη έννοια για τους ολοκληρωτικούς υπολογισμούς μας και όχι μόνο. Τέλος χρησιμοποιείται ο φορμαλισμός Lagrange, μέσω του οποίου εξάγονται οι πεδιακές εξισώσεις του Einstein.Εδώ πρέπει να τονισθεί ότι χρησιμοποιείται μία Λαγκρανζιανή που στηρίζεται σε μία παρουσίαση της μαθηματικής θεμελίωσης της Γ.Θ.Σ από τον A.S. Eddington και έχει σαν σκοπό την εμβάθυνση και την εξοικείωση με τον τανυστικό λογισμό.
Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετούμε την διαδικασία της δεύτερης κβάντωσης βαθμωτού ερμιτιανού πεδίου σε χώρο Minkowski, εξηγούμε τον μηχανισμό της κβάντωσης αυτής παρουσιάζοντας τον χώρο του Fock και αποσαφηνίζουμε την στατιστική των
σωματιδίων Klein-Gordon και τονίζουμε την βασική επιτυχία της Κ.Θ.Π. Ακολούθως παρουσιάζεται η φυσική σημασία του διαδότη Feynman και γίνεται η μαθηματική του επεξεργασία, τέλος αποδεικνύεται ότι ο διαδότης αυτός για το σωματίδιοKlein-Gordon δεν είναι παρά μία συνάρτηση Green για τον τελεστή Klein-Gordon.
Στο τρίτο κεφάλαιο ασχολούμαστε με το φορτισμένο βαθμωτό πεδίο στον ίδιο χώρο, παράγουμε τις εξισώσεις κίνησης και υπολογίζουμε το διατηρούμενο ηλεκτρικό φορτίο Q. Τέλος υπολογίζουμε και στην περίπτωση αυτή τον διαδότη Feynman και ξεκαθαρίζουμε την έννοια του αντισωματιδίου.
Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τις δυσκολίες όταν αποτολμούμε το πέρασμα από τον επίπεδο χωρόχρονο στον καμπύλο χώρο και παρακολουθούμε βήμα- βήμα την
«βελτίωση» της εξίσωσης K.G. Παρουσιάζουμε την έννοια των συντελεστών Bogolubov και επεξεργαζόμαστε αναλυτικά τις σχέσεις στις οποίες υπεισέρχονται.
Διευκρινίζεται η έννοια του κενού και αναδεικνύεται με τα κατάλληλα παραδείγματα η ασάφειά του. Παρουσιάζονται οι κυριότερες περιπτώσεις κενών και τέλος παρουσιάζεται η τεχνική υπολογισμού των συντελεστών Bogolubov στην περίπτωση του αδιαβατικού κενού.
Στο πέμπτο κεφάλαιο μελετούμε την περίπτωση ενός ομαλά επιταχυνόμενου (με την έννοια που έχει αυτή η κίνηση στην Γ.Θ.Σ) παρατηρητή Rindler σε επίπεδο χώρο Minkowski, παρουσιάζουμε τα χρησιμοποιούμενα συστήματα αναφοράς και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες μετρικές Ακολούθως προχωράμε στην πρώτη κβάντωση λύνοντας την αντίστοιχη εξίσωση K.G και ξανακβαντώνουμε το προκύπτον βαθμωτό πεδίο, έχοντας ως σκοπό τον υπολογισμό των συντελεστών Bogolubov.
Χρησιμοποιούμε ακολούθως το σύστημα συντεταγμένων κώνου φωτός και προχωρούμε στον υπολογισμό της πυκνότητας σωματιδίων όπως τα αντιλαμβάνεται ο επιταχυνόμενος παρατηρητής Rindler. Βλέπουμε πως ο παρατηρητής αυτός αντιλαμβάνεται ότι βρίσκεται σε ένα θερμικό λουτρό μποζονίων στην θερμοκρασία Unruh που ακολουθούν την κατανομή Bose-Einstein. Τέλος παρουσιάζεται μία ανάλυση του φαινομένου σε όλο τον χώρο Minkowski.
Στο έκτο κεφάλαιο μελετούμε την ύπαρξη κινουμένου σημειακού «καθρέπτη» σε χώρο Minkowski, παρουσιάζουμε την ύπαρξη των διαφορετικών κενών in και out και υπολογίζουμε τόσο τους συντελεστές Bogolubov, όσο και την πυκνότητα σωματιδίων.
Το εντυπωσιακό είναι ,ότι το κινούμενο σημείο «καθρέπτης» παίζει το ρόλο
χρονομεταβαλλόμενης γεωμετρίας του χωροχρονικού βαρυτικού υπόβαθρου. Μόνο που στην περίπτωση του «Καθρέπτη», η παραγωγή σωματίων γίνεται ακαριαία τη στιγμή της ανάκλασης και όχι σταδιακά, σε κάποιο εκτεταμένο χρονικό διάστημα καθώς μεταβάλλεται η γεωμετρία του βαρυτικού υπόβαθρου. Φυσικά αυτό περιγράφεται από το συμπέρασμα, ότι ο κινούμενος καθρέπτης παράγει σωματίδια . Τέλος, στο έβδομο κεφάλαιο, εξετάζουμε μία ειδική περίπτωση της μετρικής F.R.W, την περίπτωση του σύμπαντος του Milne. Αποδεικνύουμε αρχικά, ότι ο χώρος αυτός είναι σύμμορφα επίπεδος και βλέπουμε την ομοιότητα ανάμεσα στο σύμπαν του Milne και τον παρατηρητή Rindler. Λύνουμε την εξίσωση K.G και υπολογίζουμε τους συντελεστές Bogolubov. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε την διαφορά ανάμεσα στο σύμμορφο κενό και το αδιαβατικό κενό και ξεκαθαρίζουμε το γεγονός, ότι ένας αδρανειακός ανιχνευτής που δεν καταγράφει σωματίδια στο αδιαβατικό κενό |𝛰 > θα καταγράφει σωματίδια στο σύμμορφα επίπεδο κενό του χώρου Milne|0̃ >, ακολούθως υπολογίζουμε την πυκνότητα σωματιδίων και διαπιστώνουμε ότι θα ανιχνεύσει μποζονική ακτινοβολία μέλανος σώματος σε κατανομή Bose-Einstein.
1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ (Γ.Θ.Σ)
1.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗΝ Γ.Θ.Σ.
Η Γενική θεωρία της σχετικότητας δομείται πάνω σε ορισμένες αρχές, όχι απαραίτητα σχετικιστικές.
1. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΣΥΝΑΛΛΟΙΩΤΟΥ
Σύμφωνα με αυτή την αρχή όλοι οι νόμοι της φυσικής πρέπει να εκφράζονται από συναλλοίωτες εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις τέτοιες, στις οποίες, η συναρτησιακή μορφή να μην εξαρτάται από τον μετασχηματισμό των συντεταγμένων. Πρέπει όμως να τονίσουμε ότι η αρχή του συναλλοίωτου περιορίζει τη μορφή, όχι όμως και το περιεχόμενο των φυσικών νόμων.
2. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ
Σύμφωνα με την αρχή αυτή όταν μετασχηματίζονται οι συντεταγμένες, παραμένουν αμετάβλητες, τόσο η συναρτησιακή μορφή των εξισώσεων, όσο και η αριθμητική τιμή των «σταθερών» π.χ. η ταχύτητα του φωτός, η σταθερά του Planck κλπ. Επίσης παραμένουν ανεπηρέαστες και ποσότητες ανεξάρτητες από την κατάσταση της ύλης π.χ. ο τανυστής Minkowski 𝑛𝑖𝑗. Οι ποσότητες αυτές ονομάζονται απόλυτα αντικείμενα σε αντίθεση με τα δυναμικά αντικείμενα όπως π.χ. η θέση και η ορμή ενός σωματιδίου, ο μετρικός τανυστής 𝑔𝑖𝑘 κ.λπ.
3. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΣΘΕΝΟΥΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ
Σύμφωνα με την αρχή αυτή εξισώνονται η βαρυτική μάζα ,με την αδρανειακή μάζα.
Όταν λέμε αδρανειακή μάζα μιας φυσικής βαρυτικής πηγής εννοούμε αυτή που αντιδρά σε κάθε μεταβολή της κινητικής κατάστασης της, ενώ με τον όρο βαρυτική μάζα μιας φυσικής πηγής είναι αυτή που δημιουργεί το πεδίο βαρύτητάς της.
4. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΧΥΡΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ
Σύμφωνα με την αρχή αυτή όταν υπάρχει ένα βαρυτικό πεδίο δεν είναι δυνατό να καλυφθεί ολόκληρος ο χωρόχρονος με ένα μόνο αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
Η χαρακτηριστική ιδιότητα που προσδίδει το βαρυτικό πεδίο στον χωρόχρονο είναι η καμπυλότητα. Γι’ αυτό το λόγο ο χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ. ονομάζεται καμπύλος σε αντιδιαστολή με τον επίπεδο χωρόχρονο στην Ε.Θ.Σ.
5. Η ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ
Η οποία καθορίζει το είδος των επιτρεπτών τροχιών των φωτεινών ακτίνων και των ελεύθερα κινουμένων υλικών σωματιδίων.
6. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ
Σύμφωνα με την αρχή αυτή το όριο της Γ.Θ.Σ. πρέπει να είναι πάντοτε η Μηχανική του Newton.Δηλαδή όταν βρισκόμαστε σε ασθενή βαρυτικά πεδία και εργαζόμαστε με ταχύτητες πολύ μικρές σε σχέση με αυτή του φωτός, τότε οι εξισώσεις της Γ.Θ.Σ.
πρέπει να ανάγονται στις αντίστοιχες της κλασσικής μηχανικής.
Ξεκαθαρίσαμε λοιπόν ότι ο χώρος της Γ.Θ.Σ. είναι ένας καμπύλος χώρος. Πρέπει ο χώρος αυτός να εφοδιασθεί με το κατάλληλο μαθηματικό υπόβαθρο.
Έτσι ορίζουμε ως διαφορίσιμη πολλαπλότητα με 𝑛 το πλήθος διαστάσεις, το συνεχές σημείων τα οποία είναι δυνατό να χαρακτηρισθούν από ένα συνεχές πλήθος 𝑛 παραμέτρων.
𝑥𝑖(𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛)
Οι παράμετροι 𝑥𝑖 που χαρακτηρίζουν ένα σημείο ονομάζονται γενικά καμπυλόγραμμες συντεταγμένες του σημείου αυτού.
Για την περιγραφή των φυσικών νόμων στο πλαίσιο μιας φυσικής θεωρίας όπως π.χ. η κλασική φυσική του Newton ή η Γ.Θ.Σ. πρέπει να εφοδιάσουμε την πολλαπλότητα αυτή με ορισμένες ιδιότητες. Έτσι δεχόμαστε ότι η πολλαπλότητα αυτή μπορεί να παρασταθεί με έναν μετρικό χώρο∙ Αυτό σημαίνει ότι δεχόμαστε την ύπαρξη ενός συμμετρικού μετρικού τανυστή 𝑔𝑎𝛽 = 𝑔𝑎𝛽(𝑥𝛾) = 𝑔𝛽𝑎 (1.1.1) Με την βοήθεια του μετρικού τανυστή η στοιχειώδης απόσταση ή το στοιχειώδες μήκος ή το γραμμικό στοιχείο ds μεταξύ δύο γειτονικών σημείων 𝑥𝑖 και 𝑥𝑖+ 𝑑𝑥𝑖 εκφράζεται με τη σχέση: 𝑑𝑠2 = 𝑔𝑎𝛽𝑑𝑥𝑎𝑑𝑥 𝛽 (1.1.2) (έχουμε υιοθετήσει βέβαια την σύμβαση Einstein).
Αν τώρα οι συνιστώσες του μετρικού τανυστή, είναι συνεχείς συναρτήσεις των συντεταγμένων και έχουν συνεχείς πρώτες παραγώγους και μη μηδενική ορίζουσα, τότε περιγράφουμε ένα χώρο Riemann και η αντίστοιχη γεωμετρία ονομάζεται γεωμετρία Riemann.
Όταν εργαζόμαστε σε ένα χώρο Riemann κεντρικό ρόλο παίζουν ορισμένα γεωμετρικά αντικείμενα ή ορισμένες μαθηματικές έννοιες οι τανυστές ή γενικότερα τα τανυστικά πεδία. Σ’ ένα σύνολο 𝑛 διαστάσεων τανυστές είναι σύνολα συναρτήσεων, οι οποίες όταν μετασχηματίζονται οι συντεταγμένες μετασχηματίζονται σύμφωνα με ένα νόμο.
Ειδικότερα ένας τανυστής μηδενικής τάξεως είναι μία απλή συνάρτηση των συντεταγμένων, δηλαδή ένα βαθμωτό μέγεθος (𝑛0) όπου 𝑛 οι διαστάσεις του χώρου.
Ένας τανυστής πρώτης τάξης είναι ένα σύνολο 𝑛 συναρτήσεων, είναι δηλαδή ένα διάνυσμα 𝑛 διαστάσεων, ανάλογα ένας τανυστής δεύτερης τάξης είναι ένα σύνολο 𝑛2 συναρτήσεων π.χ. ο μετρικός τανυστής.
Το βασικό πρόβλημα που έχουμε να αντιμετωπίσουμε τώρα. είναι πως αυτοί οι τανυστές μετασχηματίζονται κάτω από ένα γενικό μετασχηματισμό των παλαιών συντεταγμένων 𝑥𝑎 στις νέες 𝑥̃𝑎.
Ξεκινώ λοιπόν από τις βασικές σχέσεις 𝑥̃𝑎 = 𝑥̃𝑎(𝑥 𝛽) και 𝑥𝑎 = 𝑥𝑎(𝑥̃ 𝛽) (1.1.3) έχω επίσης:
𝑑𝑥̃𝑎 = 𝜗𝑥̃𝑎
𝜗𝑥 𝛽𝑑𝑥 𝛽, 𝑑𝑥𝑎 = 𝜗𝑥𝑎
𝜗𝑥̃ 𝛽𝑑𝑥̃ 𝛽 (1.1.4)
επίσης ισχύει:
𝜗𝑥̃𝑎
𝜗𝑥̃ 𝛽 = 𝛿𝛽𝛼 ή 𝜗𝑥̃𝑎
𝜗𝑥 𝛾 𝜗𝑥 𝛾
𝜗𝑥̃ 𝛽 = 𝛿𝛽𝛼 (1.1.5)
Όπου: 𝛿𝛽𝛼= { 1 𝛼𝜈 𝛼 = 𝛽
0 𝛾𝜄𝛼 𝑎 ≠ 𝛽 Το δέλτα του Kronecker. (1.1.6) Γνωρίζω επίσης ότι οι νόμοι μετασχηματισμού των τελεστών μερικής παραγώγισης είναι:
𝜗
𝜗𝑥 𝛼= 𝜗
𝜗𝑥̃ 𝛽∙ 𝜗𝑥̃𝛽
𝜗𝑥 𝛼 , 𝜗
𝜗𝑥̃ 𝛼= 𝜗
𝜗𝑥 𝛽∙ 𝜗𝑥𝛽
𝜗𝑥̃ 𝛼 (1.1.7)
Έτσι είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε τους τανυστές πρώτης τάξης.
ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΝΤΑΛΛΟΙΩΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
Ένα αντικείμενο 𝛢𝛼 𝑛 διαστάσεων ονομάζεται ανταλλοίωτο διάνυσμα ως προς γενικούς μετασχηματισμούς των συντεταγμένων του, όταν μετασχηματίζεται σύμφωνα με τον νόμο:
𝛢̃𝛼 = 𝜗𝑥̃𝑎
𝜗𝑥 𝛽∙ 𝛢𝛽, 𝛢𝛼= 𝜗𝑥 𝛼
𝜗𝑥̃ 𝛽∙ 𝛢̃𝛽 (1.1.8) Όπου: 𝛢𝛼≡ 𝛢𝛼(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3… 𝑥𝑛 ) και
𝛢̃𝛼≡ 𝛢̃𝛼(𝑥̃1, 𝑥̃2, 𝑥̃3… 𝑥̃𝑛 )
Παρατηρώ λοιπόν ότι, τα ανταλλοίωτα διανύσματα μετασχηματίζονται όπως τα διαφορικά.
ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΛΛΟΙΩΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
Ένα αντικείμενο 𝐴𝑎 𝑛 διαστάσεων, ονομάζεται συναλλοίωτο διάνυσμα ως προς γενικούς μετασχηματισμούς των συντεταγμένων, αν μετασχηματίζεται σύμφωνα με τον νόμο:
𝛢̃𝛼 =𝜗𝑥 𝛽
𝜗𝑥̃𝑎 ∙ 𝛢𝛽, 𝛢𝛼 =𝜗𝑥̃ 𝛽
𝜗𝑥 𝛼∙ 𝛢̃𝛽 (1.1.9)
Παρατηρώ λοιπόν ότι τα συναλλοίωτα διανύσματα, μετασχηματίζονται όπως οι τελεστές μερικής παραγώγισης.
Οι ορισμοί των τανυστών ανώτερης τάξης αποτελούν γενικεύσεις των σχέσεων (1.1.8) (1.1.9) Άρα: (Ν.Κ. Σπύρου, 1989, σ. 16)
𝛢̃𝛽
1,𝛽2,… 𝛽𝑞, 𝛼1,𝛼2,… 𝛼𝑝,
= 𝜗𝑥̃ 𝑎1
𝜗𝑥𝑙1 ∙𝜗𝑥̃ 𝑎2
𝜗𝑥𝑙2 … 𝜗𝑥̃ 𝑎𝑝
𝜗𝑥𝑙𝑝 ∙𝜗𝑥 𝑛1
𝜗𝑥̃𝛽1 ∙ 𝜗𝑥 𝑛2
𝜗𝑥̃𝛽2…𝜗𝑥 𝑛𝑞
𝜗𝑥̃𝛽𝑞 𝐴𝑛
1,𝑛2,… 𝑛𝑞, 𝑙1,𝑙2,… 𝑙𝑝,
(1.1.10)
𝐴𝛽
1,𝛽2,… 𝛽𝑘, 𝛼1,𝛼2,… 𝛼𝑝,
= 𝜗𝑥 𝑎1
𝜗𝑥̃𝑙1 ∙𝜗𝑥 𝑎2
𝜗𝑥̃𝑙2 … 𝜗𝑥 𝑎𝑝
𝜗𝑥̃𝑙𝑝 ∙𝜗𝑥̃ 𝑛1
𝜗𝑥𝛽1 ∙ 𝜗𝑥̃ 𝑛2
𝜗𝑥𝛽2…𝜗𝑥̃ 𝑛𝑞
𝜗𝑥𝛽𝑞 𝛢̃𝑙𝑛1,1,𝑙𝑛2,2,… 𝑙… 𝑛𝑝,𝑞, (1.1.11) Βέβαια ένα σύνολο συναρτήσεων μπορεί να είναι τανυστής ως προς ένα συγκεκριμένο μετασχηματισμό των συντεταγμένων, όχι αναγκαστικά ως προς οποιονδήποτε.
ΣΥΣΤΟΛΗ ΤΑΝΥΣΤΗ
Έστω το γινόμενο 𝛢̃𝛼∙ 𝛣̃𝛼 Έχω 𝛢̃𝛼∙ 𝛣̃𝛼 =𝜗𝑥̃𝑎
𝜗𝑥𝑖 𝐴𝑖 𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑥̃𝑎𝐵𝑗=𝜕𝑥
𝑗
𝜕𝑥𝑖𝐴𝑖𝐵𝐽 = 𝛿𝑖𝑗 𝐴𝑖𝐵𝐽 = 𝐴𝑖𝐵𝑖 Έτσι από δύο διανύσματα 𝐴𝛼 και 𝐵𝛽 σχηματίσθηκε ένα βαθμωτό μέγεθος: 𝐴𝛼𝐵𝛼. Αυτή είναι μία ειδική περίπτωση συστολής των τανυστών. Γενικά για ένα τανυστή 𝛢….𝑘……𝑖… η έκφραση 𝛢….𝑖……𝑖…
είναι ένας τανυστής τάξης, κατά δύο μικρότερης, της τάξης του αρχικού τανυστή.
Εννοείται έχω άθροιση ως προς όλες τις επιτρεπτές τιμές του δείκτη 𝑖.
Εύκολα αποδεικνύεται ότι αν 𝜑(𝑥𝑎) μία βαθμωτή συνάρτηση τότε τα 𝜗𝜑
𝜗𝑥𝛽 είναι συνιστώσες ενός συναλλοίωτου διανύσματος πράγματι: 𝑟𝛼≡ 𝜗𝜑
𝜗𝑥𝛼 και 𝑟̃𝛽 ≡ 𝜗𝜑
𝜗𝑥̃𝛽 έχω:
𝜗𝑥̃𝛽
𝜗𝑥𝛼𝑟̃𝛽 =𝜗𝑥̃𝛽 𝜗𝑥𝛼∙ 𝜗𝜑
𝜗𝑥̃𝛽 = 𝜗𝜑 𝜗𝑥𝛼≡ 𝑟𝛼 Άρα 𝑟𝛼= 𝜗𝑥̃𝛽
𝜗𝑥𝛼𝑟̃𝛽 που είναι ο ορισμός του συναλλοίωτου διανύσματος.
Ας αποδείξουμε τώρα ότι τα 𝑔𝛼𝛽 είναι οι συνιστώσες ενός συναλλοίωτου τανυστή δεύτερης τάξης. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε την σχέση ορισμού:
𝑔𝛼𝛽 = 𝜗𝑥̃𝑖
𝜗𝑥𝛼∙ 𝜗𝑥̃𝑗
𝜗𝑥𝛽𝑔̃𝑖𝑗 (1.1.12)
Δεχόμαστε βέβαια ότι το στοιχείο μήκους 𝑑𝑠 πρέπει να παραμένει αναλλοίωτο σε οποιαδήποτε αλλαγή των συντεταγμένων. Άρα:
𝑑𝑠2 = 𝑔𝛼𝛽 𝑑𝑥𝑎𝑑𝑥𝛽 = 𝑔̃𝑖𝑗𝑑𝑥̃𝑖𝑑𝑥̃𝑗 (1.1.13) Όμως 𝑑𝑥̃𝑖 = 𝜗𝑥̃𝑖
𝜗𝑥𝛼𝑑𝑥𝑎 και 𝑑𝑥̃𝑗 = 𝜗𝑥̃𝑗
𝜗𝑥𝛽𝑑𝑥𝛽 Άρα η (1.1.13) μας δίνει:
𝑔𝛼𝛽 𝑑𝑥𝑎𝑑𝑥𝛽 = 𝑔̃𝑖𝑗 𝜗𝑥̃𝑖 𝜗𝑥𝛼∙ 𝜗𝑥̃𝑗
𝜗𝑥𝛽𝑑𝑥𝑎𝑑𝑥𝛽(𝑔𝛼𝛽− 𝜗𝑥̃𝑖 𝜗𝑥𝛼∙𝜗𝑥̃𝑗
𝜗𝑥𝛽𝑔̃𝑖𝑗) 𝑑𝑥𝑎𝑑𝑥𝛽 = 0 Επειδή η σχέση αυτή πρέπει να ισχύει για κάθε τιμή των 𝑑𝑥𝑎 θα έχω την σχέση (1.1.12) που θέλω να αποδείξω.
Ο αντίστροφος του μετρικού τανυστή 𝑔𝛼𝛽 ορίζεται από την σχέση:
𝑔𝛼𝛽𝑔𝛽𝛾 = 𝛿𝛼𝛾 (1.1.14)
Επίσης το μέτρο ενός διανύσματος ορίζεται από την σχέση 𝛢2 = 𝛢𝑖𝐴𝑖 (1.1.15) ΑΝΑΒΙΒΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΒΙΒΑΣΗ ΔΕΙΚΤΩΝ
Οι τανυστές 𝑔𝛼𝛽 και 𝑔𝛼𝛽 χρησιμοποιούνται για την ανύψωση των συναλλοίωτων δεικτών και την καταβίβαση των ανταλλοίωτων δεικτών ενός τανυστή.
𝛢𝛼 = 𝑔𝛼𝛽𝛢𝛽 (1.1.16)
επίσης: 𝛢𝛼 = 𝑔𝛼𝛽𝛢𝛽 (1.1.17)
ή γενικότερα:
𝛢𝑖𝑘ℓ…= 𝑔𝑛𝑖𝐴𝑛𝑘ℓ… (1.1.18)
επίσης: 𝛢𝑖𝛢𝑖 = 𝑔𝑖𝑗𝛢𝑖𝛢𝑗 = 𝑔𝑖𝑗𝛢𝑖𝛢𝑗 (1.1.19) ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ
Αν σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων η θεμελιώδης σχέση (1.1.12) παίρνει την μορφή
𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥𝑎𝑑𝑥𝑎 (1.1.20)
Τότε ο χώρος ονομάζεται Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων (𝑅𝑛) οι συντεταγμένες 𝑥𝑎 ονομάζονται Ευκλείδειες συντεταγμένες, ο τανυστής 𝑔𝑖𝑘 = 𝛿𝑖𝑘(ή 𝑔𝑖𝑘 = −𝛿𝑖𝑘 ) ονομάζεται Ευκλείδιος τανυστής και η γεωμετρία του χώρου αυτού ονομάζεται Ευκλείδια γεωμετρία 𝑛 διαστάσεων.
Οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο οι συνιστώσες του μετρικού τανυστή είναι σταθεροί αριθμοί, ονομάζεται σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων.
Αν ισχύει επιπλέον και η σχέση 𝑔𝑖𝑘 = 0 για 𝑖 ≠ 𝑘 τότε οι συντεταγμένες ονομάζονται ορθογώνιες. Αποδεικνύεται ότι ένας χώρος Riemann 𝑛 διαστάσεων μπορεί να θεωρηθεί εμφυτευμένος σε ένα Ευκλείδιο χώρο διαστάσεων 𝑚 ≥𝑛(𝑛+1)
2 .
H πιο απλή περίπτωση ο χωρόχρονος Newton Αυτός ο χώρος αποτελείται από δύο ανεξάρτητες μεταξύ τους γεωμετρίες.
Η πρώτη περιγράφει τον τρισδιάστατο χώρο με γραμμικό στοιχείο
𝑑ℓ2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝜓2 + 𝑑𝑧2 = 𝑑ԏ2+ 𝑟2𝑑𝜃2+ 𝑟2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑2 (1.1.21)
Η δεύτερη γεωμετρία περιγράφει το χρόνο και έχει μονοδιάστατο γραμμικό στοιχείο
𝑑ℓ = 𝑐 ∙ 𝑑𝑡 (1.1.22)
O χωρόχρονος της Ε.Θ.Σ. είναι μία γενίκευση του χωροχρόνου Newton.
Μόνο που στην περίπτωση αυτή έχω μόνο μία γεωμετρία που ενσωματώνει τον χώρο με τον χρόνο είναι επομένως τετραδιάστατος, με γραμμικό στοιχείο.
𝑑𝑠2 = 𝑐2𝑑𝑡2− 𝑑𝑥2− 𝑑𝜓2− 𝑑𝑧2 = 𝑐2𝑑𝑡2 − 𝑑𝑟2− 𝑟2𝑑𝜃2− 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑑𝜑2 (1.1.23) Ο χωρόχρονος αυτός είναι επίπεδος και ο διαγώνιος μετρικός τανυστής που αντιστοιχεί στο γραμμικό στοιχείο (1.1.23) είναι 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑛𝑎𝛽 = (1, −1, −1, −1).
ονομάζεται Τανυστής Minkowski. Στον χωρόχρονο αυτό απουσιάζει το πεδίο βαρύτητας. Αν τώρα έχω έναν χωρόχρονο που σε κάθε σημείο του δεν περιγράφεται από τον τανυστή Minkowski τότε αυτός ονομάζεται καμπύλος ή καμπυλωμένος.
Τέτοιος είναι ο τετραδιάστατος χωρόχρονος της Γ.Θ.Σ
1.2. ΟΙ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ
Στην κλασική μηχανική η τροχιά που διαγράφει ένα ελεύθερο σωματίδιο είναι μία ευθεία γραμμή που διανύεται ισοταχώς.
Στην Ε.Θ.Σ. ένας αδρανειακός παρατηρητής που έχει τετραταχύτητα 𝑢𝜇 ≡ 𝛾(𝑐, 𝑢⃗⃗) διαγράφει μια κοσμική γραμμή με παραμετρικές εξισώσεις:
𝑡 = 𝛾 ∙ 𝑟, 𝑟⃗ = 𝛾𝑢⃗⃗𝑟 + 𝜎𝜏𝛼𝜃𝜀𝜌ό 𝛿𝜄ά𝜈𝜐𝜎𝜇𝛼, που δηλώνουν μία ευθεία γραμμή στον χώρο Minkowski. Όμως στον καμπύλο χωρόχρονο ένας αδρανειακός παρατηρητής τι είδους κίνησης θα κάνει; Μια προσεκτική αντικατάσταση του Νόμου του Newton είναι: «Η κοσμική γραμμή ενός αδρανειακού παρατηρητή είναι μία γεωδαισιακή καμπύλη».
Όταν λέμε γεωδαισιακή εννοούμε μία καμπύλη στάσιμου μήκους, προσοχή όμως, εμείς θέλουμε την ελάχιστη τιμή του μήκους της όχι την μέγιστη.
Ας δούμε τώρα πώς η «συνταγή» του Lagrange και η θεωρία των συναρτησιακών θα φωτίσουν την έννοια της γεωδαισιακής. Ας περιγράψουμε μια καμπύλη στον χωρόχρονο με την κίνηση του σημείου 𝑥(𝜎), καθώς η παράμετρος 𝜎 μεταβάλλεται.
Το στοιχειώδες μήκος ισούται με 𝑑𝑠2 = 𝑔𝛼𝛽𝑑𝑥𝑎𝑑𝑥𝛽 άρα:
𝑆 = ∫ √𝑔𝛼𝛽𝑑𝑥𝛼𝑑𝑥𝛽
𝜎=𝜎2
𝜎=𝜎1
(1.2.1) Η σχέση αυτή υπολογίζει το μήκος της καμπύλης μεταξύ των 𝜎1, 𝜎2 .
Όμως 𝑑𝑥𝛼= 𝑑𝑥𝛼
𝑑𝜎 ∙ 𝑑𝜎𝑑𝑥𝛼 = 𝑥̇𝛼𝑑𝜎
(με • υποδηλώνουμε την παραγώγιση ως προς την παράμετρο 𝜎) έτσι η (1.2.1) δίνει:
𝑆 = ∫ √𝑔𝛼𝛽𝑥̇𝛼𝑥̇𝛽
𝜎=𝜎2
𝜎=𝜎1
𝑑𝜎
(1.2.2) Θεωρώ την ποσότητα
𝐿 = 𝑔𝛼𝛽𝑥̇𝛼𝑥̇𝛽 (1.2.3)
Την Λαγκρανζιανή της παραμετροποιημένης καμπύλης
έτσι: 𝑆 = ∫ √𝐿
𝜎=𝜎2
𝜎=𝜎1
𝑑𝜎
(1.2.4)
H παράσταση 𝑆[ӽ𝑥̇] είναι ένα συναρτησιακό, έτσι χρησιμοποιώ την γνωστή παραγώγιση συναρτησιακών.
Από την σχέση (Β.7) Προκύπτει
𝛿𝑠
𝛿𝑥𝛼 = 𝜗√𝐿
𝜗𝑥𝛼− 𝑑
𝑑𝜎(𝜗√𝐿
𝜗𝑥̇𝛼) 𝛿𝑠
𝛿𝑥𝛼 = 1
2√𝐿∙ 𝜗𝐿
𝜗𝑥𝛼−1
2 𝑑 𝑑𝜎[1
√𝐿 𝜗√𝐿
𝜗𝑥̇𝛼] Από τον ορισμό της γεωδαισιακής γνωρίζουμε ότι αυτή πρέπει να είναι στάσιμη έτσι απαιτώ:
𝛿𝑠
𝛿𝑥𝛼 = 0 𝑑 𝑑𝜎( 1
√𝐿 𝜗𝐿
𝜗𝑥̇𝛼) − 1
√𝐿 𝜗𝐿
𝜗𝑥𝛼 = 0 (1.2.5)
Η σχέση (1.2.5) δείχνει ξεκάθαρα ότι όλες οι εξισώσεις για 𝛼 = 1, 2, 3 … . 𝑛 πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα κατά μήκος της καμπύλης.
Εφ’ όσον βέβαια απαιτούνται 𝑛 − 1 εξισώσεις για να καθορισθεί μια καμπύλη στον 𝑛 − 𝛿𝜄ά𝜎𝜏𝛼𝜏𝜊 𝜒ώ𝜌𝜊, οι εξισώσεις που παρέχει η (1.2.5) δεν μπορεί να είναι ανεξάρτητες.
Αυτό επιβεβαιώνει το γεγονός ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να παραμετροποιήσουμε την ίδια καμπύλη. Δεν πρέπει να ξεχνάμε όμως ότι όλα τα παραπάνω ισχύουν όταν:
𝛿𝑥𝛼(𝜎1) = 𝛿𝑥𝛼(𝜎2) = 0
Στην πράξη επιλέγουμε πάντα το 𝜎 να είναι μία συναφής ή αφινική παράμετρος, δηλαδή μία παράμετρος που κάνει την Λαγκραζιανή L σταθερή κατά μήκος της Καμπύλης. Για παράδειγμα μια τέτοια παράμετρος, όταν 𝑑𝑠 > 0 είναι το μετρημένο μήκος της καμπύλης 𝜎 = 𝑠 πράγματι από την σχέση (1.2.4) αυτό μας εγγυάται ότι L=1
παντού πάνω στην καμπύλη. Επίσης επειδή 𝑑𝑠 = 𝑐𝑑𝜏 για 𝑐 = 1 έχω 𝑠 = 𝜏 άρα και ο ιδιόχρονος είναι μία κατάλληλη αφινική παράμετρος.
Μία τέτοια επιλογή αφινικής παραμέτρου είναι χρήσιμη για δύο λόγους.
Πρώτον, αφού 𝐿 = 1 οι σχέσεις (1.2.5) παίρνουν τη μορφή Euler και έτσι έχω:
𝑑 𝑑𝜎(𝜗𝐿
𝜗𝑥̇𝛼) − 𝜗𝐿
𝜗𝑥𝛼 = 0, 𝛼 = 1, 2 … . 𝑛 (1.2.6)
Και δεύτερον, η σχέση 𝐿 = 1 είναι πάντοτε διαθέσιμη ως ένα πρώτο ολοκλήρωμα των (1.2.6).
Επειδή η Λαγκρανζιανή 𝐿 στο (1 + 3)διάστατο χώρο της Γ.Θ.Σ. μπορεί να έχει και τα δύο πρόσημα ή και την μηδενική τιμή, διακρίνουμε τρεις διαφορετικούς τύπους γεωδαισιακής.
1. ΧΡΟΝΟΕΙΔΗΣ:(𝑳 > 0 )
Το εφαπτόμενο διάνυσμα έχει θετικό τετραγωνισμένο μήκος, παντού πάνω στην καμπύλη θεωρείται λοιπόν αβίαστα ως ένα τετρά-διάνυσμα ταχύτητας.
Η γεωδαισιακή ερμηνεύεται τότε ως μία δυνατή κοσμική γραμμή ενός αδρανειακού παρατηρητή. Η κατάλληλη σ’ αυτή την περίπτωση αφινική παράμετρος είναι ο ιδιόχρονος ԏ κατά μήκος της γεωδαισιακής, οπότε το πρώτο ολοκλήρωμα είναι 𝐿 = 1 (με 𝑐 = 1).
2. ΜΗΔΕΝΙΚΗ Ή ΦΩΤΟΕΙΔΗΣ (𝑳 = 𝟎):
Το εφαπτόμενο διάνυσμα έχει μηδενικό τετραγωνισμένο μήκος και κείται στον κώνο φωτός σε κάθε σημείο. Μία τέτοια γεωδαισιακή γραμμή προσφέρεται για κοσμική γραμμή ενός παλμού ραντάρ ή ενός άμαζου σωματιδίου π.χ. φωτόνιο ή νετρίνο. Το πρώτο ολοκλήρωμα 𝐿 = 0 δείχνει ότι η έννοια του ιδιόχρoνου κατά μήκος της κοσμικής γραμμής δεν έχει νόημα.
3. ΧΩΡΟΕΙΔΗΣ (𝑳 < 0):
Τέτοιες γεωδαισιακές βρίσκονται έξω από τους κώνους φωτός σε όλα τα σημεία της καμπύλης. Καμιά χωροειδής γεωδαισιακή δεν μπορεί να είναι η κοσμική γραμμή ενός αντικειμένου.
1.3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ «ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ» ΣΤΗΝ Γ.Θ.Σ. ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ CHRISTOFFEL
Tα διανύσματα έχουν μήκος και κατεύθυνση. Εφόσον το μήκος είναι βαθμωτό μέγεθος δεν έχουμε πρόβλημα να μετρήσουμε τα μήκη δύο διανυσμάτων σε διαφορετικά σημεία. Όμως όταν ο χωρόχρονος δεν είναι επίπεδος τότε είναι αδύνατο να συγκρίνουμε τις κατευθύνσεις τους αφού η «παραλληλία» χάνει το κλασικό της νόημα.
Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να δώσουμε ένα προσεκτικό ορισμό της παράλληλης μεταφοράς ενός διανύσματος κατά μήκος μίας καθορισμένης καμπύλης.
Αναμένουμε βέβαια το αποτέλεσμα της μεταφοράς του διανύσματος από το ένα σημείο στο άλλο να εξαρτάται από την διαδρομή που επιλέξαμε.
Η παράλληλη μεταφορά είναι χρήσιμη για δύο λόγους πρώτον έχει άμεση σχέση με τους αδρανειακούς παρατηρητές (γεωδαισιακές καμπύλες) και δεύτερον μας βοηθά στην κατανόηση της έννοιας της καμπυλότητας.
Επανερχόμαστε τώρα στην σχέση (1.2.6) μόνο που αντί για μηδέν γράφω: (J.L. Martin, 2005, σ. 83)
𝑑 𝑑𝑠(𝜗𝐿
𝜗𝑥̇𝑎) − 𝜗𝐿
𝜗𝑥𝑎 = 2𝐹𝑎 (1.3.1) Όταν το συναλλοίωτο διάνυσμα 𝐹𝑎 μηδενισθεί τότε η (1.3.1) μετατρέπεται σε εξίσωση Euler και είναι γεωδαισιακή. Ένα μη μηδενικό 𝐹𝑎 εκφράζει τόσο το μέτρο όσο και τον προσανατολισμό της καμπυλότητας της καμπύλης 𝑥(𝑠) με συναφή παράμετρο 𝑠.
Αφού 𝐿 = 𝑔𝛼𝛽𝑥̇𝛼𝑥̇𝛽 έχω:
𝜗𝐿
𝜗𝑥̇𝑎 = 2𝑔𝛼𝛽𝑥̇𝛽 (1.3.2)
Επίσης: