[PENDING] (1)Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ : Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ) Τίτλος Εργασίας «Ιστορική ανάδυση, εξέλιξη, και εφαρμογές της πιθανότητας σε τυχερά παιχνίδια» Φοιτητής ΝΤΑΦΟΠΟΥΛΟΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ Επιβλέπων ΝΙΚΟΛΑΝΤΩΝΑΚΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Β΄ Αξιολογητής ΜΑΝΩΛΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ (2)ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περίληψη………4 ABSTRACT………5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ………6 1ο Κεφάλαιο 1.1 Από την προϊστορία στον μεσαίωνα Ο Cardanο……….9 1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ DE MERE Ο Pascal Ο Christian Huygens Ο Jacob Bernoulli……….20 1.7 Ο De Moivre Ο Thomas Bayes……….27 1.9 Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητας-Εμπειρικός ορισμός-Αξιωματικός ορισμός …..28 2ο Κεφάλαιο Ιστορικά προβλήματα πιθανοτήτων……….29 3ο Κεφάλαιο Εφαρμογές σε τυχερά παιχνίδια Ρουλέτα Πόκερ………39 3.3 Ιπποδομίες……….43 3.4 Λόττο………..44 4ο Κεφάλαιο 4.1 Ερευνητικό πρόβλημα – Ερευνητικός σκοπός Πληθυσμός υπό μελέτη………46 4.3 Ερωτηματολόγια και μεταβλητές υπό μελέτη – Ερευνητικές Υποθέσεις.

Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ : Μεταπτυχιακές Σπουδές στα Μαθηματικά (ΜΣΜ)

Τίτλος Εργασίας «Ιστορική ανάδυση, εξέλιξη, και εφαρμογές της πιθανότητας σε τυχερά παιχνίδια»

Φοιτητής ΝΤΑΦΟΠΟΥΛΟΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ

Επιβλέπων ΝΙΚΟΛΑΝΤΩΝΑΚΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ

Β΄ Αξιολογητής ΜΑΝΩΛΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Περίληψη………4

ABSTRACT………5

ΕΙΣΑΓΩΓΗ………6

1^ο Κεφάλαιο 1.1 Από την προϊστορία στον μεσαίωνα………...7

1.2 Ο Cardanο……….9

1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ DE MERE………..11

1.4 Ο Pascal ………..14

1.5 Ο Christian Huygens………..18

1.6 Ο Jacob Bernoulli……….20

1.7 Ο De Moivre………...23

1.8 Ο Thomas Bayes……….27

1.9 Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητας-Εμπειρικός ορισμός-Αξιωματικός ορισμός …..28

2^ο Κεφάλαιο Ιστορικά προβλήματα πιθανοτήτων……….29

3^ο Κεφάλαιο Εφαρμογές σε τυχερά παιχνίδια………..36

3.1 Ρουλέτα………..36

3.2 Πόκερ………39

3.3 Ιπποδομίες……….43

3.4 Λόττο………..44

4^ο Κεφάλαιο 4.1 Ερευνητικό πρόβλημα – Ερευνητικός σκοπός ……….45

4.2 Πληθυσμός υπό μελέτη………46

4.3 Ερωτηματολόγια και μεταβλητές υπό μελέτη – Ερευνητικές Υποθέσεις.. 47

4.4 Στατιστική ανάλυση………48

4.5 Αποτελέσματα………..48

4.5.1 Περιγραφική Ανάλυση Αποτελεσμάτων….48 4.5.2 Ανάλυση αξιοπιστίας …………50

4.5.3 Παράγοντες που σχετίζονται με τις αντιλήψεις για τα τυχερά παιχνίδια …51 4.5.4 Παράγοντες που σχετίζονται με τις γνώσεις για την πιθανότητα νίκης ..53

4.5.5 Ανάλυση κανονικότητας ………..56

4.6. Επαγωγική ανάλυση αποτελεσμάτων……57

4.6.1 Συσχέτιση Pearson………57

4.6.2 Επίδραση δημογραφικού παράγοντα Φύλο στις κλίμακες του ερωτηματολογίου……….57

4.6.3 Διερεύνηση σχέσεων μεταξύ των αντιλήψεων των ερωτηθέντων για τα τυχερά παίγνια με τα δημογραφικά χαρακτηριστικά………..62

4.6.4 Διερεύνηση σχέσεων μεταξύ γνώσεων πιθανότητας νίκης σε τυχερά παιχνίδια με τα δημογραφικά χαρακτηριστικά……….66

4.7 Συζήτηση………69

4.7.1 Σύγκριση των αποτελεσμάτων της έρευνας με άλλες μελέτες από την βιβλιογραφία…………69

4.7.2 Περιορισμοί έρευνας………..71

4.7.3 Προτάσεις για βελτίωση – μελλοντική έρευνα………72

4.8 Συμπεράσματα………..73

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ……….76

Βιβλιογραφία………80

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Στη διπλωματική εργασία αυτή επιχειρείται αρχικά μια σύντομη χρονική αναδρομή από την προϊστορία μέχρι την αρχή της αναγέννησης που αρχίζουμε να έχουμε τα πρώτα κείμενα που αφορούν αποκλειστικά την θεωρία πιθανοτήτων. Αρχικά καταγράφονται πως αντιλαμβάνονταν οι απλοί άνθρωποι τα διάφορα τυχερά παιχνίδια και στη συνέχεια μέσα από την παρατήρηση πως οδηγήθηκαν στη διατύπωση των ερωτημάτων στους μαθηματικούς. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα έργα διαφόρων μεγάλων επιστημόνων οι οποίοι ασχολήθηκαν με διάσημα προβλήματα της εποχής τους τα οποία αφορούσαν κυρίως τυχερά παιχνίδια και κάποια από αυτά τα προβλήματα αφορούσαν οικονομικής φύσης ζητήματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνουμε κάποια ιστορικά προβλήματα στα οποία προτείνουμε κάποιες ενδεικτικές λύσεις. Στο τρίτο κεφάλαιο δείχνουμε πως εφαρμόζονται οι πιθανότητες σε διάφορα τυχερά παιχνίδια οι οποίες εφαρμογές μπορούν να δοθούν ως σχολικές ασκήσεις ή σχολικές εργασίες σε μαθητές κυρίως λυκείων. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται μία μικρής κλίμακας έρευνα για τις στάση των ανθρώπων απέναντι στα τυχερά παιχνίδια τις αντιλήψεις τους γι’ αυτά και τις γνώσεις πιθανοτήτων που έχουν όταν παίζουν συγκεκριμένα τυχερά παιχνίδια.

Λέξεις κλειδιά: Πιθανότητες, Τυχερά παιχνίδια, Αντιλήψεις, Γνώσεις πιθανοτήτων

ABSTRACT

In this diploma thesis we are initially attempting a brief temporal review from prehistory to the beginning of the Renaissance, when we begin to have the first texts dealing exclusively with the probability theory. First of all, we record how ordinary people perceived the various gambling games and then, through observation how they were led to formulate questions to mathematicians. Next, we present the works of various great scientists who dealt with the famous problems of their time, which mainly concerned gambling games, and some of these problems related to economic issues. In the second chapter we present some historical problems to which we propose some indicative solutions. In the third chapter we show how chances are applied in various gambling games which can be assigned as school exercises or school work mainly to high-school students. Finally, in the fourth chapter there is a small-scale survey of people's attitudes towards gambling games, their perceptions of them and their knowledge of the chances they have when they play specific “games of chances”.

Keywords: Probabilities, Gambling games, Perceptions, Knowledge of Probability

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στη διπλωματική εργασία αυτή επιχειρούμε να κάνουμε μία ιστορική αναδρομή στην έννοια της πιθανότητας μέσα από τα τυχερά παιχνίδια. Ο άνθρωπος αρχικά πρώτα εφεύρε τα τυχερά παιχνίδια για διασκέδαση και στη συνέχεια ασχολήθηκε με τον στοιχηματισμό. Από τη στιγμή που άρχισε να υπάρχει το κέρδος μέσα από τα τυχερά παιχνίδια ο άνθρωπος προσπάθησε να το σιγουρέψει. Αυτό τον έκανε να αναπτύξει κάποιες αντιλήψεις για την τύχη. Οι αντιλήψεις του άλλες φορές ήταν θρησκευτικής φύσης, άλλες φορές κάποιες προλήψεις που είχε, και κάποιες άλλες φορές έβγαζε κάποια συμπεράσματα μέσα από την εμπειρία με την συνεχή ενασχόληση. Η θεωρία πιθανοτήτων έρχεται και ποσοτικοποιεί την τύχη. Αυτό οφείλεται κατά μεγάλο ποσοστό στο ότι οι παίκτες των τυχερών παιγνιδιών ήταν ερασιτέχνες μαθηματικοί αλλά και ότι με τη μελέτη των τυχερών παιχνιδιών και το κέρδος τους ασχολήθηκαν πολλοί διάσημοι μαθηματικοί. Οι μαθηματικοί ασχολήθηκαν όμως με δίκαια τυχερά παιχνίδια. Η έννοια της δικαιοσύνης σ’ ένα τυχερό παιχνίδι είναι μέρος αυτής της τύχης και μπορεί και αυτή να ποσοτικοποιηθεί. Σ’ αυτή τη διπλωματική λύνουμε κάποια προβλήματα που έθεσαν κάποιοι διάσημοι μαθηματικοί στα έργα τους με τη βοήθεια θεωρημάτων της θεωρίας πιθανοτήτων. Τα προβλήματα αυτά αφορούν τυχερά παιχνίδια τα οποία όμως είναι δίκαια και μπορούν να λυθούν με τη θεωρία πιθανοτήτων. Σκοπός μας είναι να δώσουμε στον αναγνώστη να καταλάβει πως μπορεί να εφαρμοστεί η θεωρία πιθανοτήτων σε ιδανικές καταστάσεις. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με πραγματικές εφαρμογές σε σημερινά τυχερά παιχνίδια έχοντας στόχο να δείξουμε ότι μέρος της θεωρίας πιθανοτήτων είναι και η δικαιοσύνη.

Δηλαδή α% είναι το ποσοστό νίκης του παίκτη και β% το ποσοστό δικαιοσύνης του παιχνιδιού. Τα δύο αυτά ποσοστά αν τα αθροίσουμε δίνουν το 100% που είναι και το ποσοστό του βέβαιου ενδεχομένου. Εδώ ο αναγνώστης μπορεί να δει ότι το ποσοστό αυτό της αδικίας του παίκτη αφορά το κέρδος της επιχείρησης που διοργανώνει το τυχερό παιχνίδι. Κάθε φορά ανάλογα με το ποσοστό της αδικίας έχουμε και διαφορά

στο ποσοστό του κέρδους. Οι πραγματικές εφαρμογές αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν και ως ασκήσεις πιθανοτήτων σε μαθητές λυκείου. Επίσης τα ιστορικά προβλήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ασκήσεις σε πρωτοετείς φοιτητές διαφόρων τμημάτων στο μάθημα των πιθανοτήτων. Τέλος στην έρευνα που γίνεται, στόχος είναι να δούμε τον τρόπο που παίζουν οι παίκτες –όσοι παίζουν- βλέποντας αν υπάρχει σχέση μεταξύ των αντιλήψεων που έχουν όταν παίζουν, με τις πραγματικές γνώσεις τους για τις πιθανότητες. Οι ερωτήσεις της έρευνας στο πρώτο μέρος έχουν να κάνουν με τον τρόπο που κάποιος παίζει. Δηλαδή αν κάποιος παίζει με βάση κάποιες αντιλήψεις που έχει όσον αφορά τη θρησκεία όπως πίστευαν αρχικά ότι η τύχη εξαρτάται από τον Θεό. Κάτι άλλο που εξετάζει το πρώτο μέρος είναι αν καταλαβαίνουν μέσα από την εμπειρία της ενασχόλησης με τα τυχερά παιχνίδια πότε έχουν αυξημένες πιθανότητες να κερδίσουν κάτι το οποίο έγινε κατανοητό στην ιστορία των τυχερών παιχνιδιών στην αρχή της αναγέννησης. Στο δεύτερο μέρος της έρευνας εξετάζουμε τη γνώση των πιθανοτήτων που έχουν οι ερωτώμενοι στα τυχερά παιχνίδια που έχουν παίξει κάτι το οποίο έχει μελετηθεί στο τρίτο κεφάλαιο αυτής της διπλωματικής.

1

^Ο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ

1.1 Από την προϊστορία στον μεσαίωνα

Από τα προϊστορικά χρόνια ο άνθρωπος μπέρδευε την έννοια του τυχαίου με την μοίρα. Το να ποδοπατήσει κάποιο αφηρημένο μαμούθ κάποιον άνθρωπο οι προϊστορικοί άνθρωποι το θεωρούσαν ένα γεγονός το οποίο από πριν το είχε καθορίσει η μοίρα. Επίσης το ίδιο αυτό μαμούθ το να ποδοπατήσει κάποιον άνθρωπο κατά τη διάρκεια ενός κυνηγιού μαμούθ ήταν και αυτό καθορισμένο από πριν από τη μοίρα. Οπότε για τον προϊστορικό άνθρωπο είτε κάποιος περπατούσε αμέριμνος στη ζούγκλα είτε κυνηγούσε μαμούθ διέτρεχε τον ίδιο κίνδυνο αφού κάτι άλλο καθόριζε τα δικά του βήματα και τα βήματα του μαμούθ. Βέβαια όσο περνούσαν τα χρόνια αυτό που παρατηρούσαν ήταν ότι όσο και να περπατούσαν μέσα στη ζούγκλα ελάχιστοι ποδοπατήθηκαν από αφηρημένα μαμούθ. Στη διάρκεια όμως ενός κυνηγιού μαμούθ αυτοί οι οποίοι ποδοπατήθηκα ήταν πάρα πολύ περισσότεροι. Άρα ίσως και να μην καθοριζόταν αυτό και τόσο από τη μοίρα αλλά να έπαιζε ρόλο και με τι ασχολούνταν ο άνθρωπος. Περπάτημα στη ζούγκλα ή κυνήγι μαμούθ.

Κάποιοι αρχαίοι λαοί προκειμένου να καθορίσουν τη μοίρα κατασκεύαζαν επιτραπέζια παιχνίδια. Τέτοια επιτραπέζια παιχνίδια πιθανολογείται ότι είχαν φτιάξει οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι 3000 χρόνια π.Χ. Επίσης άλλοι ειδωλολατρικοί λαοί είχαν ανακαλύψει μηχανισμούς με τους οποίους παρήγαγαν τυχαία αποτελέσματα. Ο Όμηρος αναφέρει ότι ο Παλαμήδης είχε εφεύρει διάφορα τυχερά παιχνίδια για να σκοτώνουν την ώρα τους οι Έλληνες στρατιώτες όταν σταματούσαν να σκοτώνουν Τρώες στρατιώτες.

Σ’ αυτά τα παιχνίδια τύχης το τυχαίο γεγονός προέρχονταν από το ρίξιμο των αστραγάλων. Οι αστράγαλοι είναι τα κότσια των προβάτων ή οποιουδήποτε άλλου ζώου που έχει δίχηλες οπλές. Το μειονέκτημα των αστραγάλων ήταν ότι όταν ρίχνονταν μπορούσαν να στηριχθούν μόνο σε 4 έδρες διότι οι άλλες δύο ήταν στρογγυλεμένες και όχι επίπεδες. Πιθανότατα η πάνω πλευρά από το κότσι που ήταν φαρδιά και ελάχιστα κυρτή αντιστοιχούσε στον αριθμό 4. Η απέναντι έδρα που είναι επίσης φαρδιά και λίγο κοίλη ήταν το 3. Από τις παράπλευρες επιφάνειες η πιο στενή ήταν το 3 και η απέναντι της που ήταν λίγο βαθουλωμένη ήταν το 6. Τα αυτοσχέδια αυτά ζάρια δεν είχαν τους αριθμούς 2και 5.

Μέχρι να φτάσουμε στα ζάρια με τη σημερινή τους μορφή δηλαδή με 6 έδρες χρειάστηκε να περάσουν χιλιάδες χρόνια. Το πιθανότερο είναι ότι αυτό το πέτυχαν οι άνθρωποι λειαίνοντας τις στρογγυλεμένες επιφάνειες μέχρι να γίνουν και αυτές επίπεδες. Από διάφορα αρχαιολογικά ευρήματα φαίνεται ότι ο πρώτος λαός που κατασκεύασε εξάεδρα ζάρια ήταν οι Έλληνες. Τα εξάεδρα ζάρια οι Έλληνες τα ονόμαζαν «τέσσερα» πιθανότατα λόγω των τεσσάρων ακμών που είχε η κάθε έδρα.

Ζάρια έχουν βρεθεί και σε άλλα μέρη εκτός από την Ελλάδα και σε άλλα μέρη όπως το Βόρειο Ιράκ και η Ινδία τα οποία όμως δεν ήταν κατασκευασμένα από κότσι ζώου αλλά από καλοψημένο πηλό.

Παρά την ανακάλυψη του κυβικού ζαριού η ρίψη των αστραγάλων εξακολουθούσε να είναι το πιο διαδεδομένο τυχερό παιχνίδι μέχρι τα ρωμαϊκά χρόνια. Ήταν τόσο δημοφιλές το συγκεκριμένο παιχνίδι που κάποια στιγμή προκειμένου να αναγκάσουν τον κόσμο να ξεφύγει από αυτή την ψύχωση που προκαλούσε αυτό το τυχερό παιχνίδι το απαγόρευσαν όλο το χρόνο εκτός από τον μήνα Δεκέμβριο. Αυτή η ρίψη των αστραγάλων πολλές φορές καθόριζε τη ζωή ή τον θάνατο κάποιου μονομάχου στην αρένα.

Ένας άλλος διαδεδομένος μηχανισμός τύχης ήταν το τράβηγμα κλήρου ή κλήρων. Το τράβηγμα κλήρου ήταν πολύ διαδεδομένο στην απονομή δικαιοσύνης μεταξύ διαδίκων των οποίων οι υποθέσεις φαινόταν να είναι ισόνομες. Γνωρίζουμε από τη Βίβλο ότι σε πολλές περιπτώσεις προκειμένου να είναι δίκαιη η μοιρασιά της περιουσίας ή κάποιων προνομίων ρίχνονταν κλήροι. Πάρα πολύ γνωστό περιστατικό είναι ότι οι στρατιώτες του Πόντιου Πιλάτου προκειμένου να πάρουν τον μανδύα του Χριστού έριξαν μεταξύ τους κλήρο. Ιστορικά η σημασία των κλήρων ήταν διπλή.

Σήμαινε όχι μόνο σε ποια μεριά θα πάει το αντικείμενο το οποίο διεκδικούνταν αλλά και το μερίδιο του καθενός από τη ζωή το οποίο καθοριζόταν από τον Θεό. Αυτή η τελευταία σημασία κάνει τη χρήση των κλήρων πιο συμβατή με τη Βίβλο. Στη Βίβλο το αποτέλεσμα μιας κλήρωσης θεωρούνταν δίκαιο διότι δεν προέκυπτε από τύχη αλλά από θεία επέμβαση.

Καταλαβαίνοντας ο άνθρωπος ότι μία ευνοϊκή κλήρωση μπορούσε να του βελτιώσει σημαντικά τη θέση του και τη ζωή του ενέδωσε στον πειρασμό της διεκδίκησης οποιουδήποτε επάθλου μέσω ενός μηχανισμού τύχης που ήταν μία κλήρωση. Ιδίως κάποιοι που δεν είχαν και τίποτα να χάσουν ενέδιδαν αμέσως σ’ αυτό τον πειρασμό

μια και αν κέρδιζαν και τη ζωή τους θα βελτίωναν ενώ παράλληλα θα θεωρούνταν και δίκαιο διότι δεν το αποφάσισε κάποιος τυχαίος αλλά ο ίδιος ο Θεός. Οι ραβίνοι οι οποίοι διεξήγαγαν τέτοιου είδους κληρώσεις προκειμένου να τις κάνουν όσο πιο δίκαιες γίνεται επέβαλλαν μια ποικιλία από απαγορεύσεις διότι πολλοί έμπαιναν στον πειρασμό να επέμβουν με διάφορους τρόπους στους κλήρους για να τους παραποιήσουν. Οι ραβίνοι αυτό που φαίνεται να είχαν αντιληφθεί ότι δίκαια κλήρωση θεωρούνταν αυτή που αν επαναληφθεί πάρα πολλές φορές δίνει την ίδια περίπου συχνότητα το κάθε δυνατό αποτέλεσμα. Σε κληρώσεις όπου ήταν μόνο δύο τα δυνατά αποτελέσματα ήταν πολύ σημαντικό να μην πλειοψηφεί με μεγάλη διαφορά μία από τις δύο δυνατότητες, Το επιχείρημα αυτό επικαλούνταν οι ραβίνοι για να αποδείξουν ότι η κλήρωση ήταν δίκαιη. Αυτή φαίνεται να είναι η πρώτη καταγραφή της συχνότητας πάνω στην οποία στηρίχθηκε ο βασικός ορισμός της πιθανότητας. Τώρα αν για να πάρουν μια απόφαση επαναλάμβαναν τις κληρώσεις και οι περισσότερες έδιναν το ίδιο αποτέλεσμα έβγαζαν το συμπέρασμα ότι αυτό δεν ήταν τύχη αλλά κάποια θεία δύναμη οδηγούσε σ’ αυτή την απόφαση.

Το ρίξιμο των κλήρων εκτός από τρόπος διακανονισμού περιουσιακών στοιχείων, απονομής δικαιοσύνης ή απονομής αξιωμάτων σε όλες σχεδόν τις θρησκείες χρησιμοποιούνταν και σαν τρόπος επικοινωνίας με τους θεούς προκειμένου οι υπηρέτες των θεών όπως ήταν οι ιερείς τους να τους συμβουλευτούν. Αυτή η χρήση των κλήρων για επικοινωνία με τους θεούς είναι και ο λόγος που στην αρχαία Ελλάδα και την αρχαία Ρώμη καθώς και σε άλλα μέρη δεν μελετήθηκε κλάδος της τύχης σαν ιδιαίτερος κλάδος των μαθηματικών. Αυτό μπορεί να οφειλόταν ότι μελετώντας την τύχη ουσιαστικά μπλέκονταν ο άνθρωπος με πληροφορίες οι οποίες ήταν διαθέσιμες μόνο στους θεούς.

Μετά την πτώση της Ρώμης οι πρώτοι χριστιανοί απέρριπταν την ύπαρξη της τύχης.

Κατά τον Άγιο Αυγουστίνο δεν υπάρχει τύχη αλλά όλα είναι ρυθμισμένα από την θεία θέληση. Κάτι το οποίο φαίνεται τυχαίο οφείλεται στην άγνοια του ανθρώπου και όχι στη φύση του γεγονότος. Άρα ο άνθρωπος θα πρέπει να αναζητά τη θεία θέληση και να υποτάσσετε σ’ αυτή. Παρόλες αυτές τις αντιλήψεις και τον σκοταδισμό που επικράτησαν κυρίως τον μεσαίωνα τα τυχερά παιχνίδια εξακολουθούσαν να ευημερούν και να αναπτύσσονται. Τον 14^ο αιώνα εμφανίστηκαν και τα τυχερά παιχνίδια με τις κάρτες τα οποία έγιναν πολύ δημοφιλή και σταδιακά άρχισαν να υποκαθιστούν τα παιχνίδια τύχης με ζάρια, χωρίς όμως να τα εξαφανίσουν τελείως διότι τα τυχερά παιχνίδια με χαρτιά είχαν υψηλό κόστος για έναν μέσο παίκτη. Με την πάροδο των αιώνων οι επαγγελματίες παίκτες που ασχολούνταν με την τράπουλα παρατήρησαν ότι έπαιζαν σοβαρό ρόλο τα διαφορετικά μοιράσματα της τράπουλας.

Αυτό τους οδήγησε να αποκτήσουν μια πολύ καλή γνώση των πιθανοτήτων των διαφορετικών μοιρασμάτων της τράπουλας. Αυτοί ήταν οι πρώιμοι μελετητές της πιθανότητας. Οι επαγγελματίες χαρτοπαίκτες ήταν θα λέγαμε πρακτικοί γνώστες των πιθανοτήτων και οι γνώσεις τους οφείλονταν μόνο στην παρατήρηση και την εμπειρία χωρίς να βασίζονται σε κάποια θεωρήματα των πιθανοτήτων και αφορούσε μόνο συγκεκριμένα τυχερά παιχνίδια της τράπουλας ή των ζαριών. Κάποιοι όμως πιο

συστηματικοί παίκτες κατάλαβαν ότι τα τυχερά παιχνίδια και η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος είχαν σχέση με τα μαθηματικά. Έτσι κάποιοι από αυτούς σκέφτηκαν ότι θα μπορούσαν να αναθέσουν στους μαθηματικούς τη μελέτη αυτών των πιθανοτήτων να κερδίσουν ώστε να αυξηθούν τα κέρδη τους ή σε κάποιες περιπτώσεις ανάλογα με την εξέλιξη του παιχνιδιού να χάσουν όσο το δυνατόν λιγότερα. Σ’ αυτή τη διαδικασία μελέτης των τυχερών παιχνιδιών και της πιθανότητας κέρδους ή χασίματος πήραν μέρος οι περισσότεροι από τους πιο διάσημους μαθηματικούς.( Brian Everitt. Οι κανόνες της τύχης 1999)

1.2 Ο Cardano

Τα πρώτα χρόνια μετά τον μεσαίωνα είχαν αρχίσει διάφορες στοιχειώδεις θεωρίες πιθανοτήτων οι οποίες αφορούσαν παιχνίδια με ζάρια. Έχουν βρεθεί χειρόγραφα όπου μας πληροφορούν πόσες είναι οι διαφορετικές ζαριές όταν ρίχνουμε δύο ζάρια ή τρία ζάρια. Όταν ρίχνει κάποιος δύο ζάρια το πλήθος των διαφορετικών συνδυασμών ζαριών είναι 21 ενώ όταν ρίχνει κάποιος τρία ζάρια το πλήθος των διαφορετικών συνδυασμών ζαριών είναι 56. Κάποιος σημερινός μελετητής των πιθανοτήτων θα έλεγε ότι αυτό είναι λάθος διότι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί με δύο ζάρια είναι 36 ενώ με τρία ζάρια είναι 216. Πρέπει να τονίσουμε εδώ ότι μας ενδιαφέρουν μόνο οι συνδυασμοί και όχι η σειρά των ζαριών. Έτσι παράδειγμα ο αριθμός 3 με δύο ζάρια προκύπτει μόνο μ’ έναν συνδυασμό. Δηλαδή μόνο με τον συνδυασμό 1 και 2. Δεν μας ενδιαφέρει ποιο θα είναι πρώτο και ποιο δεύτερο ζάρι. Οι τρόποι όμως είναι 2.

Δηλαδή (1,2) και (2,1). Ο αριθμός 4 μπορεί να προκύψει με δύο συνδυασμούς με δύο ζάρια. Δηλαδή με 2,2 και 1,3 ενώ οι τρόποι να έρθει ο αριθμός 4 με δύο ζάρια είναι 3.

Δηλαδή (2,2), (3,1), (1,3). Όπως καταλαβαίνουμε οι πιθανότητες να έρθουν οι αριθμοί 3 και 4 είναι διαφορικές διότι ο αριθμός 4 έχει πιο πολλούς τρόπους να επιτευχθεί. Η πιο πρόσφατη αναφορά που υπάρχει σχετικά με ότι αφορά ότι όλες οι ζαριές δεν έχουν την ίδια πιθανότητα να επιτευχθούν είναι ένα ανώνυμο ποίημα γραμμένο στα λατινικά το De Vetula. Το ποίημα αυτό γράφτηκε μεταξύ 1200 και 1400. Το ποίημα αυτό αφορά τρία ζάρια. «εάν και τα τρία έρθουν το ίδιο υπάρχει μόνο ένας συνδυασμός για κάθε αριθμό, εάν δύο έρθουν ίδια και ένα διαφορετικό υπάρχουν τρεις συνδυασμοί, και εάν όλα έρθουν διαφορετικά υπάρχουν έξι συνδυασμοί». Οπότε με βάση αυτή την ανάλυση ο συνολικός αριθμός τρόπων με τρία ζάρια είναι 216. Στο ξεκίνημα του 16^ου αιώνα οι μαθηματικοί και όσοι ασχολούνταν με παιχνίδια τύχης είχαν κατανοήσει τα ισοπίθανα γεγονότα και μπορούμε να πούμε ότι άρχισαν να μπαίνουν τα θεμέλια της μελέτης της έννοιας της πιθανότητας.

Από τους πρώτους μελετητές της έννοιας της πιθανότητας είναι ο Cardano. Αυτό αποτυπώνεται στο βιβλίο του Liber de ludo aleae (Το βιβλίο των τυχερών παιγνίων) που γράφτηκε γύρω στο1526 και το οποίο δεν δημοσιεύτηκε όσο ζούσε. Σ΄ αυτό το βιβλίο ο Cardano υπολογίζει ακριβώς τον αριθμό των διαφορετικών τρόπων εμφάνισης των εδρών όταν ρίχνει κάποιος δύο ή τρία ζάρια. Δηλαδή όταν ρίχνουμε δύο ζάρια έχουμε 36 δυνατούς τρόπους εμφάνισης των εδρών των δύο ζαριών ενώ όταν ρίχνουμε τρία ζάρια έχουμε 216 τρόπους εμφάνισης των εδρών των τριών

ζαριών. Ας πάμε τώρα στα δύο ζάρια. Ο Cardano στο βιβλίο του ότι για να φέρει κάποιος τους αριθμούς 1, 2 ,3 υπάρχουν 27 διαφορετικοί τρόποι. Δηλαδή 11 να έρθει το συν 9 να έρθει το συν 7 να έρθει το 3. Άρα αφού οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι 27 οι υπόλοιπες 9 που απομένουν είναι μη ευνοϊκές. Όπως βλέπουμε ο λόγος ευνοϊκές προς μη ευνοϊκές είναι 3:1. Συνεπώς όταν κάποιος ρίχνοντας δύο ζάρια και ποντάροντας να έρθει 1, 2 ή 3 πρέπει να ποντάρει 3 νομίσματα ενώ αυτός που ποντάρει ότι δεν θα έρθει κάποιος απ’ αυτούς τους αριθμούς πρέπει να ποντάρει 1 νόμισμα λόγω της παραπάνω αναλογίας εμφάνισης αυτών των τριών αριθμών εφόσον θέλουμε το στοίχημα να είναι δίκαιο. Μ΄ αυτό το τρόπο θεωρητικά οι δύο παίκτες θα πάρουν πίσω τα χρήματα τους σε 4 ζαριές.

Επίσης ο Cardano καταλάβαινε τον πολλαπλασιαστικό νόμο μεταξύ ανεξάρτητων ενδεχομένων αλλά στο βιβλίο του καταγράφει την αρχική του σύγχυση τι έπρεπε ακριβώς να πολλαπλασιάσει. Ο Cardano υπολόγισε ότι για να έρθει ένα τουλάχιστον 1 με τρία ζάρια ρίχνοντας μία ζαριά οι ευνοϊκές περιπτώσεις ήταν 91 και οι μη ευνοϊκές 216-91=125. Οπότε ο λόγος μη ευνοϊκές προς ευνοϊκές ήταν 125/91. Άρα αν θέλαμε να φέρουμε τουλάχιστον ένα 1 ρίχνοντας δύο φορές τρία ζάρια τον προηγούμενο λόγο έπρεπε να τον υψώσουμε στο τετράγωνο και το αποτέλεσμα γίνεται 15265/8281 περίπου 2:1. Αυτό όμως κατάλαβε ότι είναι λάθος αφού αν είχαμε ισοπίθανα ενδεχόμενα δηλαδή η αναλογία επιτυχίας αποτυχίας είναι 1:1 τότε το να συμβεί το ίδιο ενδεχόμενο μία ,δύο ή τρεις φορές στη σειρά θα παραμένει συνέχεια 50%. Αυτό σημαίνει ότι αν κάποιος ρίχνει δύο ζάρια έχει τις ίδιες πιθανότητες να φέρει άρτιο ή περιττό αριθμό αλλά δεν σημαίνει ότι θα είναι το ίδιο τυχερός ώστε να φέρει άρτιο αριθμό τρείς συνεχόμενες φορές. Ο Cardano αφού κατάλαβε ότι ο αρχικός του συλλογισμός ήταν λάθος πήρε κάποιες εύκολες περιπτώσεις κατανόησε ότι αυτό που έπρεπε να κάνει είναι να πολλαπλασιάζει τις πιθανότητες και όχι να πολλαπλασιάζει το λόγο τους. Πήρε λοιπόν ο Cardano μία περίπτωση όπου οι ευνοϊκές περιπτώσεις ήταν τριπλάσιες από τις μη ευνοϊκές. Άρα η πιθανότητα να έρθει η ζαρία που θέλουμε είναι 3/4. Στη συνέχεια όταν πήρε να δει πόσες είναι οι ευνοϊκές περιπτώσεις για να ξαναέρθει δεύτερη συνεχόμενη φορά η ίδια ζαριά διαπίστωσε ότι οι ευνοϊκές ήταν 9 και η μη ευνοϊκές 7. Άρα η πιθανότητα να έρθει δύο φορές συνεχόμενες η ίδια ζαριά που θέλουμε ήταν 9/16. Αυτή τη διαπίστωση την παρουσίασε γενικεύοντας ως εξής: Για n επαναλαμβανόμενες δοκιμές με f δυνατά αποτελέσματα και s ευνοϊκές περιπτώσεις η σωστή αναλογία ευνοϊκές προς μη ευνοϊκές περιπτώσεις είναι sⁿ/(fⁿ-sⁿ).

Ο Cardano ασχολήθηκε και με το πρόβλημα του De Mere που αφορούσε το ερώτημα πόσες ζαριές πρέπει να ρίξει κάποιος προκειμένου η πιθανότητα να φέρει εξάρες να είναι τουλάχιστον 50%. Ο Cardano σκέφτηκε αφού οι ευνοϊκή περίπτωση να έρθουν εξάρες με δύο ζάρια έχει πιθανότητα 1/36 άρα για να φτάσουμε το 50% θα πρέπει να φτάσουμε την πιθανότητα 18/36 άρα πρέπει κάποιος να ρίξει τουλάχιστον 18 ζαριές.

Σε ανάλογο συμπέρασμα κατέληξε ότι για να έχει κάποιος 50% πιθανότητα να φέρει τον αριθμό 2 πρέπει να ρίξει τουλάχιστον 3 ζαριές. Από τα παραπάνω ο Cardano κατέληξε ότι αν ρίξει κάποιος 6 φορές ένα ζάρι είναι σίγουρό ότι θα έρθει το 2 ενώ αν

ρίξει 2 ζάρια 36 φορές είναι σίγουρο ότι θα έρθουν εξάρες. Δεν κατάλαβε όμως ότι σ’

αυτούς τους συλλογισμούς του υπήρχε λάθος. (Liber de ludo aleae, Viktor Katz Ιστορία των Μαθηματικών Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης)

1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ DE MERE

Πρόβλημα του De Mere είναι γνωστό και ως πρόβλημα μοιρασιάς του στοιχήματος.

Δύο παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι όπου ο νικητής κερδίζει ένα χρηματικό ποσό. Για να ανακηρυχτεί κάποιος νικητής θα πρέπει να κερδίσει 6 παρτίδες. Για κάποιο λόγο το παιχνίδι διακόπτεται όταν το σκορ είναι 5-3 για κάποιον από τους δύο παίκτες. Το ερώτημα που τίθεται είναι πως θα πρέπει οι δύο παίκτες να μοιράσουν το ποσό που στοιχημάτισαν μια και το παιχνίδι δεν ολοκληρώθηκε. Ο Luca Paciolli στη Summa ισχυρίζεται ότι η μοιρασιά πρέπει να είναι ανάλογη προς το σκορ δηλαδή 5 μέρη του ποσού ο ένας παίκτης και 3 μέρη ο άλλος παίκτης. Ο ισχυρισμός αυτός κατά τον Tartaglia είναι λάθος. Αυτό ισχυρίστηκε στο έργο του Generale Trattato. Ο Tartaglia αυτό το στήριξε στο επιχείρημα ότι σε περίπτωση που το παιχνίδι διακοπή στο 1-0 τότε ο δεύτερος παίκτης θα πρέπει να πάρει 0 μέρη του ποσού και ο πρώτος παίκτης όλο το ποσό. Αυτό προφανώς είναι άδικο για τον παίκτη που χάνει εκείνη τη στιγμή και υπάρχουν πολλές παρτίδες ακόμη στις οποίες μπορεί να αλλάξουν τα πράγματα. Ο Tartaglia σκέφτηκε αφού στο σκορ 5-3 υπάρχει διαφορά 2 παρτίδων που είναι το 1/3 των συνολικών παρτίδων που πρέπει να κερδίσει κάποιος για να βγει νικητής θα πρέπει ο παίκτης που κερδίζει να πάρει τα χρήματα που πόνταρε και το 1/3 των χρημάτων του παίκτη που χάνει. Άρα λοιπόν στη μοιρασια του στοιχήματος η αναλογία πρέπει να είναι 2:1. Παρόλα αυτά ο Tartaglia διατηρούσε αμφιβολίες για την απάντηση του οπότε σκέφτηκε ότι το πρόβλημα δεν αφορά τους μαθηματικούς αλλά τους δικαστικούς λειτουργούς και αυτοί θα πρέπει να βρουν τη λύση του.

Το δεύτερο πρόβλημα του De Mere έλεγε ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός φορών που πρέπει να ρίξουμε δύο ζάρια για να έχουμε πιθανότητα πάνω από 50% να φέρουμε δυο εξάρια

1.4 Ο Pascal

Ο Cardano μαζί με τον Tartaglia παρουσίασαν κάποιες ιδέες όσον αφορά τη μαθηματική μελέτη των πιθανοτήτων τις οποίες οι μαθηματικοί της δικής τους εποχής δεν τις υιοθέτησαν με αποτέλεσμα αυτές να ξεχαστούν. Οι πιθανότητες εντάχθηκαν στην ευρωπαϊκή σκέψη στα μέσα του 16^ου αιώνα. Δεν εντάχθηκαν όμως ως ξεχωριστός κλάδος των μαθηματικών αλλά υπό τη μορφή των εξής εννοιών.

α) Σαν τρόπος κατανόησης των σταθερών συχνοτήτων σε τυχαίες διαδικασίες.

β) Σαν μέθοδος προσδιορισμού του πόσο εύλογη ήταν η πίστη σε ορισμένα συμβάντα.

Ο Blaise Pascal έργο του ασχολήθηκε με παραδειγματικό τρόπο μ’ αυτές τις έννοιες των πιθανοτήτων.

Ο Pascal ασχολήθηκε με το πρόβλημα της μοιρασιάς του στοιχήματος του De Mere.

Ο Pascal στην αλληλογραφία του με τον Fermat περιγράφει την λύση του προβλήματος και αργότερα προς το τέλος του έργου του Traite du triangle arithmetique. Σ’ αυτή την αλληλογραφία ουσιαστικά γεννιέται η έννοια της πιθανότητας. Ο Pascal τοποθέτησε το πρόβλημα μοιρασιάς του στοιχήματος στις εξής δύο αρχές. Η πρώτη αρχή αναφέρεται στη θέση του παίκτη και εξετάζει ότι αν ένα ποσό αν του ανήκει ανεξάρτητα αν κερδίζει ή χάνει. Σ’ αυτή την περίπτωση αν γίνει διακοπή του παιχνιδιού θα πρέπει ο παίκτης να πάρει το ποσό που ούτος ή άλλως του ανήκει. Η δεύτερη αρχή αναφέρεται στη θέση των παικτών τώρα ως εξής: Εάν κάποιος κερδίσει ένα ορισμένο ποσό τότε αυτό του ανήκει ενώ αν χάσει το ποσό τότε αυτό θα ανήκει στον άλλο παίκτη. Επίσης αν οι δύο παίκτες έχουν τις ίδιες πιθανότητες να κερδίσουν την παρτίδα τότε το στοίχημα αν το παιχνίδι διακοπεί πρέπει να μοιραστεί εξίσου.

Μία σημαντική παρατήρηση που έκανε ο Pascal είναι πόσες παρτίδες θέλει για να τελειώσει το παιχνίδι και πόσες παρτίδες χρειάζεται ο κάθε παίκτης να κερδίσει προκειμένου να αναδειχθεί νικητής του παιχνιδιού. Έτσι αν ένα παιχνίδι τελειώνει όταν κάποιος κερδίσει δύο φορές και το σκορ είναι 1-0 η μοιρασιά του στοιχήματος θα πρέπει να γίνει με τον ίδιο τρόπο αν το παιχνίδι τελειώνει όταν κάποιος κερδίσει εκατό φορές και το σκορ είναι 99-98. Αυτό διότι εφόσον το παιχνίδι διακοπεί και στις δύο περιπτώσεις ο νικητής αναδεικνύεται με τον ίδιο τρόπο. Δηλαδή ο ένας παίκτης θέλει δύο παρτίδες για να βγει νικητής και ο άλλος θέλει μία παρτίδα για να νικήσει.

Ας δούμε ένα παράδειγμα πάνω στις αρχές του Pascal. Έστω ότι έχουμε στοιχήματα αξίας 100 Ευρώ. Αν το παιχνίδι είναι ισόπαλο και το παιχνίδι κρίνεται στη μία νίκη τότε αν έχουμε διακοπή του παιχνιδιού το στοίχημα πρέπει να μοιραστεί εξίσου δηλαδή ο καθένα πρέπει να πάρει από 50 Ευρώ. Τώρα αν στο παιχνίδι τη στιγμή της διακοπής ο ένας παίκτης θέλει μία παρτίδα για να κερδίσει και ο άλλος δύο παρτίδες τότε ο Pascal ανέπτυξε το εξής σκεπτικό. Αν την επόμενη παρτίδα κέρδιζε ο παίκτης που προηγείται θα έπρεπε να πάρει όλο το ποσό δηλαδή και τα 100 Ευρώ. Αν κέρδιζε ο παίκτης που χάνει εκείνη τη στιγμή το παιχνίδι θα γινόταν ισόπαλο και συνεπώς ο καθένας έπρεπε να πάρει από 50 Ευρώ λόγω της πρώτης αρχής που αναφέρθηκε πιο πάνω. Άρα ο πρώτος παίκτης τα 50 ευρώ πρέπει να τα πάρει έτσι κι’ αλλιώς. Άρα ο πρώτος παίκτης πρέπει να πάρει τα 50 Ευρώ και επιπλέον τα μισά από τα άλλα 50 που απομένουν. Δηλαδή πρέπει ο παίκτης που κερδίζει τη στιγμή που διακόπτεται το παιχνίδι να πάρει συνολικά 75 Ευρώ και ο παίκτης που χάνει πρέπει να πάρει 25 Ευρώ. Επομένως ο παίκτης που κερδίζει πρέπει να πάρει το μέσο όρο του κέρδους που μπορεί να έχει στην επόμενη ζαριά. Το ίδιο ισχύει και για τον παίκτη που χάνει.

Δηλαδή για τον πρώτο ισχύει (100+50)/2=75 Ευρώ και για τον δεύτερο ισχύει (50+0)/2=25 Ευρώ. Τώρα στην περίπτωση που η διαφορά μεταξύ νικών των δύο παικτών τη στιγμή της διακοπής είναι δύο νίκες μπορούν να συμβούν τα εξής: Να έχουμε νίκη του παίκτη που προηγείται στο επόμενο παιχνίδι και να πάρει τα 100 Ευρώ ή νίκη του παίκτη που παίκτη που χάνει και να μεταβούμε στην προηγούμενη

περίπτωση, δηλαδή η διαφορά των νικών των δύο παικτών να είναι μία νίκη. Άρα σύμφωνα με το προηγούμενο σκεπτικό το αναμενόμενο κέρδος για τον παίκτη που προηγείται στην επόμενη ζαριά είναι 100 Ευρώ ή 75 Ευρώ οπότε θα πρέπει να πάρει τη στιγμή της διακοπής (100+75)/2=87,5 Ευρώ και ο παίκτης που χάνει αφού το αναμενόμενο κέρδος στην επόμενη ζαριά είναι 50 Ευρώ ή 0 ευρώ πρέπει να πάρει (25+0)/2=12,5 Ευρώ.

Επομένως για να φτάσουμε στη γενική λύση του προβλήματος της μοιρασιά του στοιχήματος έχουμε ανάγκη κάποιες από τις ιδιότητες του τριγώνου του Pascal. Πριν ξεκινήσουμε τη μελέτη της λύσης του Pascal ας δούμε πρώτα πως κατασκευάζεται και πως χρησιμοποιείται το αριθμητικό τρίγωνο όπως το αποκαλεί ο Pascal.

Ο Pascal φτιάχνει έναν πίνακα όπου πάνω αριστερά τοποθετεί τον αριθμό 1 και στη συνέχεια για να τοποθετήσει τους υπόλοιπους αριθμούς ακολουθεί τον εξής κανόνα.

Οποιοσδήποτε αριθμός του τριγώνου υπολογίζεται αν προσθέσουμε τον αριθμό που είναι πάνω από την θέση που πρόκειται να τοποθετηθεί ο αριθμός και τον αριθμό που είναι πάνω και αριστερά από αυτή τη θέση. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Παράδειγμα για να βρούμε τον αριθμό της θέσης στην 6^η γραμμή και 3^η στήλη που είναι το 20 αθροίσαμε τους αριθμούς που βρίσκονται ο ένας την 5^η γραμμή και 2^η στήλη και είναι 10 και τον αριθμό στην 5^η γραμμή και 4^η στήλη που είναι πάλι ο 10.

Οπότε 10+10=20

Για διευκόλυνση θα χρησιμοποιήσουμε τους σημερινούς συμβολισμούς. Δηλαδή το σύμβολο του διωνύμου _



 



 k

n όταν θέλουμε να μιλήσουμε για τον k-οστό όρο της n- οστής γραμμής. Εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι την αρίθμηση του n και του k ξεκινάει από το 0. Έτσι π.χ. _



 



 2

4 είναι ο 2^ος όρος της 4^ης γραμμής που όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα είναι ο αριθμός 6. Συνεπώς με τον τρόπο κατασκευής που περιγράψαμε παραπάνω του τριγώνου του Pascal και με τη βοήθεια των σημερινών συμβολισμών θα ισχύει η σχέση:



 



 k

n = _



 



  k n 1

+ _



 







 1 1 k n

Ο Pascal ξεκίνησε μελετώντας τη σχέση διαφόρων όρων με τα αθροίσματα άλλων όρων. Παράδειγμα ο όρος _



 



 2

4 =1+2+3=6 δηλαδή με το άθροισμα όλων των όρων της 1^ης στήλης μέχρι και την 3^η γραμμή. Παρατηρώντας τέτοια παραδείγματα κατέληγε σε αποδείξεις. Μ’ αυτό τον τρόπο η «τρίτη συνέπεια» του ορισμού του τριγώνου λέει ότι κάθε όρος του τριγώνου είναι το άθροισμα όλων των αριθμών της προηγούμενης στήλης μέχρι τη γραμμή που προηγείται αυτού του όρου. Με σημερινούς συμβολισμούς έχουμε



 



 k n =



^



 



 







1

1 1

n

k

j k

j

O Pascal στην έβδομη συνέπεια παρατήρησε μέσω παραδειγμάτων ότι το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι διπλάσιο από το άθροισμα των αριθμών της προηγούμενης γραμμής

O Pascal χρησιμοποιεί τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για να αποδείξει την όγδοη συνέπεια του ορισμού βασιζόμενος ουσιαστικά στην έβδομη συνέπεια. Στην όγδοη συνέπεια ο Pascal αποδεικνύει ότι άθροισμα των όρων της n- οστής γραμμής είναι ίσο με 2ⁿ . Για να πάει από το βήμα κ στο κ+1 χρησιμοποίησε την έβδομη συνέπεια που περιγράψαμε πιο πάνω. Στο τέλος της απόδειξης της όγδοης συνέπειας ο Pascal τονίζει ότι ο μόνος όρος της μηδενικής γραμμής είναι ο 1 διότι 2⁰=1.

Ο Pascal την αρχή της μαθηματικής επαγωγής την διατυπώνει στην δωδέκατη συνέπεια και όχι γενικά αλλά λόγω κάποιου ιδιαίτερου αποτελέσματος που έπρεπε να αποδείξει. Το αποτέλεσμα αυτό ήταν η παρακάτω αναλογία



 



 k

n / _



 





1 k

n =(k+1)/(n-k) Για να αποδείξει αυτή την αναλογία υπέθεσε δύο λήμματα

Το πρώτο λήμμα λέει ότι η αναλογία αυτή ισχύει στην πρώτη γραμμή κάτι το οποίο είναι όπως βλέπουμε παρακάτω



 



 0 1 / _



 



 1

1 =1/1=1

Το δεύτερο λήμμα λέει ότι αν αυτή η πρόταση ισχύει σε μία γραμμή τότε ισχύει και για την επόμενη γραμμή. Οπότε βγαίνει το συμπέρασμα ότι ισχύει σε όλες τις γραμμές. Έτσι λόγω του πρώτου λήμματος ισχύει στην πρώτη γραμμή οπότε λόγω του δευτέρου λήμματος ισχύει στη δεύτερη γραμμή και αφού ισχύει στη δεύτερη γραμμή λόγω του δευτέρου λήμματος ισχύει στην επόμενη γραμμή που είναι η Τρίτη γραμμή. Όπως βλέπουμε φαίνεται καθαρά ότι έχουμε την διατύπωση της επαγωγικής αρχής. Ο Pascal όμως δεν μας έδωσε μια γενική απόδειξη του δευτέρου λήμματος.

Απλώς μας δείχνει ένα γενικό παράδειγμα ότι αν το λήμμα ισχύει στην τρίτη γραμμή

τότε ισχύει και στην τέταρτη και στην συνέχεια γενικεύει. Συγκεκριμένα κάνει τα εξής με σημερινούς συμβολισμούς.

Για να δείξει ότι _



 



 1

4 / _



 



 2

4 =2/3 πρώτα παρατηρεί ότι _



 



 0 3 / _



 



 1

3 =1/3 οπότε _



 



 1

4 / _



 



 1 3 =

( _



 



 0 3 / _



 



 1 3 )/ _



 



 1

3 =4/3 (σχέση 1). Μετά αφού _



 



 1 3 / _



 



 2

3 =2/2 συμπεραίνει ότι _



 



 2 4 / _



 



 1 3

=( _



 



 2 3 + _



 



 1 3 )/ _



 



 1

3 =4/2 (σχέση 2). Κάνοντας την αναλογία (σχέση 1)/ (σχέση 2)= 2/3 που είναι το ζητούμενο αποτέλεσμα.

Ο Pascal κατάλαβε ότι εδώ δεν έδωσε μια γενική απόδειξη αλλά επιχειρηματολογεί με την παρατήρηση ότι « η απόδειξη είναι ίδια για όλες τις γραμμές αφού απαιτεί μόνον η αναλογία να ισχύει στην προηγούμενη γραμμή και ο κάθε όρος να ισούται με τον αριθμό από πάνω του συν τον αριθμό επάνω και αριστερά του συνθήκες που ισχύουν παντού». Ο Pascal ουσιαστικά απέδειξε το εξής:



 



 k n / _



 



 0

n =[(n-k+1)(n-k+2)  n]/[k(k-1)  1] ή αλλιώς αφού _



 



 0 n =1



 



 k n =

!

) 1 (

) 1 (

k k n n

n    

Στη συνέχεια ο Pascal έδειξε πως χρησιμοποιείται το τρίγωνο του. Για παράδειγμα έδειξε με επαγωγικό επιχείρημα ότι _



 



 k

n είναι το πλήθος των συνδυασμών k στοιχείων από ένα πλήθος n στοιχείων συνολικά. Επίσης εξηγεί ότι οι όροι των γραμμών είναι οι διωνυμικοί συντελεστές. Δηλαδή οι συντελεστές των δυνάμεων του α στο ανάπτυγμα της ταυτότητας (1+α)ⁿ. Ο Pascal πίστευε όμως ότι η καλύτερη εφαρμογή του τριγώνου του είναι η λύση του προβλήματος της μοιρασιάς του στοιχήματος. Το πρόβλημα αυτό το έλυσε βασιζόμενος στο παρακάτω θεώρημα.

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω ότι ο πρώτος παίκτης θέλει r παρτίδες για να κερδίσει το παιχνίδι, ενώ ο δεύτερος θέλει s παρτίδες, όπου r και s είναι τουλάχιστον 1. Εάν το παιχνίδι διακοπεί σε αυτό το σημείο, τότε τα στοιχήματα πρέπει να μοιραστούν έτσι ώστε ο λόγος του μεριδίου του πρώτου παίκτη προς το ολικό ποσό να είναι τόσο όσο είναι η



^ 

 





1 0 s

k k

n προς το 2ⁿόπουn=r+s-1(το μέγιστο πλήθος παρτίδων που απέμειναν).

Επομένως σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης είναι ίση με το λόγο του αθροίσματος των πρώτων s όρων του διωνυμικού αναπτύγματος του (1+1)ⁿ προς το συνολικό άθροισμα 2ⁿ. Ο πρώτος όρος του αναπτύγματος του διωνυμικού αναπτύγματος είναι το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους ο πρώτος παίκτης μπορεί να κερδίσει n πόντους. Ο δεύτερος όρος είναι το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους ο πρώτος παίκτης μπορεί να κερδίσει n-1 πόντους και ούτω καθεξής. Τέλος ο s-οστός όρος δίνει το

πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους ο πρώτος παίκτης μπορεί να κερδίσει n-(s-1)=r πόντους. Επομένως αφού αν μένουν n παιχνίδια ακόμη να παιχτούν οι διωνυμικοί συντελεστές δίνουν το πλήθος όλων των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να κερδίσει ο πρώτος παίκτης.

Ο Pascal αποδεικνύει το παραπάνω θεώρημα με την επαγωγική μέθοδο. Πρώτα ξεκινάει με την περίπτωση n=1 ή r=s=1 που είναι η περίπτωση όπου το στοίχημα πρέπει να μοιραστεί στη μέση. Κατά το παραπάνω θεώρημα ο πρώτος παίκτης θα πάρει το ½ του στοιχήματος αφού _



 



 0

1 /2=1/2 οπότε η περίπτωση n=1 αποδείχθηκε.

Στη συνέχεια κατά την επαγωγική μέθοδο υποθέτουμε ότι αληθεύει το θεώρημα στην περίπτωση που έχουμε m μέγιστο πλήθος παρτίδων που απομένουν και θα αποδείξουμε ότι το θεώρημα αληθεύει για m+1 μέγιστο πλήθος παρτίδων να απομένουν με τον πρώτο παίκτη να θέλει r παρτίδες να κερδίσει και το δεύτερο παίκτη να θέλει s παρτίδες να κερδίσει. Ο Pascal αυτό το αποδεικνύει με γενικό παράδειγμα και συγκεκριμένα για m=3. Εμείς θα το αποδείξουμε με τη σημερινή μέθοδο.

Ξεκινάμε μελετώντας την επόμενη παρτίδα. Αν κερδίσει ο πρώτος παίκτης θα χρειάζεται r-1 παρτίδες να κερδίσει ενώ ο δεύτερος θα χρειάζεται s παρτίδες να κερδίσει. Αφού r-1+s-1=m από την επαγωγική υπόθεση ο πρώτος παίκτης πρέπει να πάρει



^ 

 





1 0 s

k k

m /2^m του συνολικού ποσού. Σε περίπτωση που κερδίσει ο δεύτερος παίκτης τότε πάλι από την υπόθεση της επαγωγής το ποσό που θα πάρει ο δεύτερος παίκτης θα είναι



^ 

 





2 0 s

k k

m /2^m του συνολικού ποσού. Συνεπώς κατά τον Pascal ο παίκτης που κερδίζει πρέπει να πάρει τη μέση τιμή των δύο παραπάνω ποσών.

Δηλαδή

{(   



 





1 0 s

k k

m /2^m+



^ 



 





2 0 s

k k

m

)

^/2m

}/ 2 (σχέση 3)

Το άθροισμα των διωνυμικών συντελεστών γράφεται ως εξής;



 



 0 m +



^

 



 





1

1 s

k k

m +



^

 



 







1

1 1

s

k k

m

και λόγω του κανόνα κατασκευής του τριγώνου του Pascal και από τη σχέση



 



 0

m = _



 



  0

1

m (σχέση 4) το παραπάνω άθροισμα ισούται με το



^

 



 



 

1

1

1

s

k k

m (σχέση 5) επομένως η (σχέση 3) μετά από πράξεις και λόγω των σχέσεων 4 και 5 γίνεται:

{

_



 



  0

1 m +



^

 



 



 

1

1

1

s

k k

m

}/ 2m+1.Επομένως αποδείχθηκε και για m+1.

Ο Pascal μ’ αυτόν τον τρόπο έλυσε πλήρως το πρόβλημα της μοιρασιάς του στοιχήματος του De Mere. Ο Pascal επίσης στην αλληλογραφία που είχε με τον Fermat μελέτησαν το ίδιο πρόβλημα στην περίπτωση που οι παίκτες είναι παραπάνω από δύο. Στην αλληλογραφία τους κατέληξαν σε μία λύση στην οποία και συμφωνήσαν.

Ο Pascal ασχολήθηκε και με το άλλο πρόβλημα του De Mere που αναφέρεται στο πόσες φορές πρέπει να ρίξει κάποιος τα ζάρια ώστε να έρθουν μία φορά τουλάχιστον εξάρες. Αρχικά υπολόγισε ότι αν ρίχνει ένα ζάρι κάποιος η πιθανότητα να φέρει εξάρι προς την πιθανότητα να μην φέρει εξάρι είναι 671/625 χωρίς όμως να μας πει πως κατέληξε στο αποτέλεσμα αυτό. Ο De Mere υπέθετε ότι με ένα ζάρι χρειαζόμαστε τέσσερις ζαριές για να μπορούμε να πούμε ότι έχουμε 50 % πιθανότητα ώστε να φέρουμε ένα τουλάχιστον εξάρι. Οπότε με ένα ζάρι ο λόγος 4/6 ισχύει ανεξάρτητα από το πόσες φορές ρίχνουμε το ζάρι. Τώρα αν ρίχνουμε δύο ζάρια η πιθανότητα να φέρουμε μία τουλάχιστον φορά εξάρες είναι 24/ 36 αφού οι δυνατές περιπτώσεις είναι 36. Πιθανώς το πρόβλημα το έθεσε στον Pascal ο οποίος απάντησε ότι η πιθανότητα να έρθουν εξάρες σε 24 ζαριές είναι κάτω από 50% χωρίς όμως κάποια αιτιολόγηση όπως διαπιστώθηκε μέσα από επιστολές του και τα έργα του.

Ο Pascal ως θρησκόληπτος που ήταν ασχολήθηκε και με το επιχείρημα της πίστης στον Θεό. Το επιχείρημα αυτό στηρίχθηκε σε μια θεωρία αποφάσεων. Κατά τον Pascal δύο είναι οι δυνατές περιπτώσεις. Ο Θεός είτε υπάρχει είτε δεν υπάρχει. Ο άνθρωπος στοιχηματίζει σε μία από τις δύο περιπτώσεις και το στοίχημα στηρίζεται στις πράξεις του. Δηλαδή ο άνθρωπος ενεργεί σύμφωνα με τη χριστιανική αντίληψη για τον Θεό οπότε τότε έχει ποντάρει υπέρ της ύπαρξης του Θεού ή ενεργεί αδιαφορώντας για τον Θεό οπότ