ΜΟΝΑΔΕΣ 10 ΘΕΜΑ B Δίνεται ο παρακάτω στατιστικός πίνακας: xi Συχνοτηταvi Αθρ

Σελίδα 1 από 3 ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης ^{f x}

 

^c είναι ίση με

μηδέν. ΜΟΝΑΔΕΣ 10

Α2. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός δείγματος μεγέθους ν μιας μεταβλητής Χ.

ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας, τη λέξη

ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ, δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση .

i) Οι γνωστές συναρτήσεις πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές αλλά και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις.

ii) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ^{f΄ x}

 

^{0 για}

κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

iii) Ένα τοπικό ελάχιστο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο.

iv) Το εύρος είναι ένα αξιόπιστο μέτρο διασποράς.

v) Ισχύει ότι:

0

xlimx x x0

    για κάθε x₀R.

ΜΟΝΑΔΕΣ 10 ΘΕΜΑ B

Δίνεται ο παρακάτω στατιστικός πίνακας:

xi Συχνοτηταv_i Αθρ. Συχν.

Ni f %ⁱ x v_i _i



xi x



² vi



xi x



²

1 3

2 ²

2 1 2

4 3

x

x x

v lim

x x



 

 

3

4 32

Σύνολα 25

B1. Να υπολογίσετε την δεύτερη συχνότητα v . ₂

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ)

22 / 04 / 2018

Γ΄ ΕΠΑΛ

Σελίδα 2 από 3 Για v₂ 2

B2. Να συμπληρωθεί ο πίνακας.

ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Β3. Να υπολογίσετε την μέση τιμή, τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση του δείγματος.

(Δίνεται ότι: 0 88, 0 9, ) ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Β4. Να βρείτε την γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στην

2^η συχνότητα.

ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση

 

2 f x x

 x

 με x2 .

Γ1. Να υπολογιστεί η f΄ και να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού

της.

ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ2. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο

σημείο της ^



^4,f

 

⁴



^.

ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Γ3. Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ:

 

1 1

x  f , x2 f

 

3 , x3  2 f

 

4 , x4  3 f

 

5 ,

5

 

7

  1

x f

Να δείξετε ότι η μέση τιμή και η διακύμανση των παραπάνω παρατηρήσεων ταυτίζονται.

ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Γ4. Αν οι παραπάνω τιμές x , x , x , x ,x είναι τετμημένες σημείων της εφαπτομένης της f _{1 2 3 4 5}

στο σημείο ^



^4,f

 

⁴



να βρείτε την μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των

τεταγμένων των σημείων αυτών.

ΜΟΝΑΔΕΣ 5

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση ^{f x}

 

^{ x     x με x0 και   , R}. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της 1¹⁹

, 2

 

  

  σχηματίζει γωνία 45^ με τον άξονα χ΄χ.

Δ1. Να δείξετε ότι: ¹

  2 και  8.

ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Δ2. Στο τελικό διαγώνισμα προσομοίωσης Μαθηματικών των «Φροντιστηρίων Πουκαμισάς» της Γ΄ τάξης των ΕΠΑΛ οι βαθμοί του δείγματος v των μαθητών

Σελίδα 3 από 3 ακολουθούν την κανονική κατανομή με: ^xf

 

^{4 και τυπική απόκλιση}

 

1

2 18

2 ^x 1

f x x

s lim

x



  

   . Να δείξετε ότι η μέση τιμή είναι x12 η τυπική απόκλιση είναι s2 και να υπολογίσετε το εύρος των βαθμών.

ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Δ3. Αν στο παραπάνω δείγμα από 10 έως 16 έχουν βαθμολογηθεί 1630 μαθητές να δείξετε ότι το μέγεθος του δείγματος είναι v=2000. Στην συνέχεια να υπολογίσετε τον αριθμό των μαθητών που βαθμολογήθηκαν όχι κάτω από την βάση.

ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Δ4. Να δείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές και να βρείτε την μικρότερη τιμή της

παραμέτρου c που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μια παρατήρηση για να γίνει ομοιογενές το δείγμα.

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)

1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και ΜΟΝΟ για πίνακες, διαγράμματα κλπ..

4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10:00

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ