[PENDING] (1)ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ UNIVERSITY OF CYPRUS ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ - ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ - ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ "ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" Δ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α «Μια διδακτική παρέμβαση με χρήση ανατρεπτικού κειμένου για τη διόρθωση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού» Αργυρώ Προκόπου Α.Μ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ UNIVERSITY OF CYPRUS

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ - ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ – ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ - ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

"ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ"

Δ Ι Π Λ Ω Μ Α Τ Ι Κ Η Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α

«Μια διδακτική παρέμβαση με χρήση ανατρεπτικού κειμένου για τη διόρθωση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού»

Αργυρώ Προκόπου Α.Μ. Δ201308

Επιβλέπων Συμβουλευτικής Επιτροπής

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Επίκουρος Καθηγητής

Αθήνα, Ιανουάριος 2019

Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών

για την απόκτηση του

Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

που απονέμει το

Διαπανεπιστημιακό – Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»

Εγκρίθηκε την ………από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους :

Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα

 Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Επίκουρος Καθηγητής





Η εκπόνηση της παρούσας Διπλωματική Εργασία πραγματοποιήθηκε υπό την καθοδήγηση της Συμβουλευτικής Επιτροπής αποτελούμενη από τους:

Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα

 Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Επίκουρος Καθηγητής

 Βαμβακούση Ξένια Εκλ. Λέκτορας

 Γιώργος Ψυχάρης Λέκτορας

Ευχαριστίες

Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά:



Τον επιβλέποντά μου επίκουρο καθηγητή κύριο Κωνσταντίνο Π. Χρήστου για τον πολύτιμο χρόνο που μου αφιέρωσε, για τις επιμελείς υποδείξεις του στο κείμενο και γενικότερα για την καθοδήγησή του για την εκπόνηση αυτής της εργασίας.



Την οικογένεια μου για την απεριόριστη στήριξη και ενθάρρυνση στην ολοκλήρωση

της παρούσας διπλωματικής εργασίας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης ... 2

Περίληψη ... 8

Abstract ... 9

1. Θεωρητικό πλαίσιο ... 10

1.1. H προκατάληψη του φυσικού αριθμού ... 10

1.2. Θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής ... 15

1.2.1. Γενικές αρχές ... 15

1.2.2. Γνωστικές διαδικασίες και μέθοδοι διδασκαλίας που υποστηρίζουν την εννοιολογική αλλαγή ... 17

1.3. Ανατρεπτικά κείμενα ... 19

1.3.1. Εισαγωγή στα ανατρεπτικά κείμενα ... 19

1.3.2. Ορισμός, δομή και περιεχόμενο ανατρεπτικού κειμένου ... 21

1.3.3. Η αποτελεσματικότητα των ανατρεπτικών κειμένων ... 22

2. Μεθοδολογία ... 25

2.1. Συμμετέχοντες... 25

2.2. Υλικά ... 26

2.2.1. Ερωτηματολόγια Προελέγχου, Μεταελέγχου & Ελέγχου Διατήρησης ... 26

2.2.2. Ανατρεπτικό κείμενο ... 29

2.3. Διαδικασία ... 32

2.4. Συλλογή δεδομένων ... 33

2.5. Ανάλυση δεδομένων ... 33

3. Αποτελέσματα ... 36

3.1. Ανάλυση απαντήσεων κατανόησης κειμένου ... 36

3.2. 1o ερευνητικό ερώτημα ... 37

3.2.1. Επιδόσεις στα συνεπή και στα μη-συνεπή έργα του πολλαπλασιασμού ... 37

3.2.2. Επιδόσεις σε όλα τα έργα πολλαπλασιασμού της 1^ης και της 2^ης Άσκησης ... 38

3.2.3. Επιδόσεις στα μη-συνεπή έργα πολλαπλασιασμού της 1^ης και της 2^ης Άσκησης ... 40

3.2.4. Επιδόσεις στο σύνολο των έργων πολλαπλασιασμού... 43

3.3. 2o ερευνητικό ερώτημα ... 44

3.3.1. Επιδόσεις στα συνεπή και στα μη-συνεπή έργα της διαίρεσης ... 44

3.3.2. Επιδόσεις σε όλα τα έργα διαίρεσης της 1^ης και της 2^ης Άσκησης ... 46

3.3.3. Επιδόσεις στα μη-συνεπή έργα διαίρεσης της 1^ης και της 2^ης Άσκησης ... 48

3.3.4. Οι συνολικές επιδόσεις των μαθητών στη διαίρεση. ... 50

4. Συζήτηση ... 54

4.1. Γενικά συμπεράσματα ... 54

4.2. Περιορισμοί και προτάσεις για νέες έρευνες ... 57

4.3. Παιδαγωγικές εφαρμογές ... 59

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ... 60

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1_Ερωτηματολόγιο Προελέγχου ... 67

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2_Ανατρεπτικό Κείμενο ... 70

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3_Ερωτηματολόγιο Μεταελέγχου ... 72

Πίνακες

Πίνακας 1. Δημογραφικά στοιχεία του δείγματος των μαθητών ... 26

Πίνακας 2. Ταξινόμηση έργων 1^ης Άσκησης Ερωτηματολογίων ... 28

Πίνακας 3. Συνεπή & Μη-συνεπή έργα Πολλαπλασιασμού ... 38

Πίνακας 4. Έργα Πολλαπλασιασμού 1^ης & 2^ης Άσκησης. ... 40

Πίνακας 5. Μη-συνεπή έργα 1^ης & 2^ης άσκησης Πολλαπλασιασμού ... 41

Πίνακας 6. Συνεπή & Μη-συνεπή έργα Διαίρεσης... 45

Πίνακας 7. 1^η & 2^η Άσκηση Διαίρεσης ... 48

Πίνακας 8. Μη- συνεπή έργα 1^ης & 2^ης Άσκησης Διαίρεσης ... 49

Πίνακας 9. Συνολικές Επιδόσεις μαθητών στη Διαίρεση ... 51

Εικόνες Εικόνα 1. Έργα 1^ης Άσκησης Ερωτηματολογίων ... 27

Εικόνα 2_Έργα 2^ης Άσκησης Ερωτηματολογίων ... 29

Περίληψη

Οι δυσκολίες των μαθητών στα μαθηματικά και ειδικότερα με τους ρητούς αριθμούς οδήγησαν στο σχεδιασμό μιας διδακτικής παρέμβασης με χρήση ανατρεπτικού κειμένου. Τα ανατρεπτικά κείμενα διατυπώνουν αρχικά τις λανθασμένες αντιλήψεις των μαθητών, αμέσως τις αντικρούουν και παρουσιάζουν τις αντίστοιχες μαθηματικώς ορθές. Οι τελευταίες έρευνες στο πεδίο της διδακτικής των θετικών επιστημών υποστηρίζουν την αποτελεσματικότητα των ανατρεπτικών κειμένων στη διδασκαλία σε σχέση με τα παραδοσιακά κείμενα των διδακτικών εγχειριδίων. Επιπροσθέτως, φαίνεται ότι συμβάλλουν στη διόρθωση των λανθασμένων αντιλήψεων των μαθητών. Η παρούσα μελέτη εξετάζει αν ένα ανατρεπτικό κείμενο θα μπορούσε να βοηθήσει μαθητές Στ’ τάξης να διορθώσουν την παρανόηση ότι ο πολλαπλασιασμός πάντα μεγαλώνει τους αρχικούς όρους, που πηγάζει από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού. Προκατάληψη του φυσικού αριθμού είναι η τάση των μαθητών να χρησιμοποιούν την αρχική γνώση για τους φυσικούς αριθμούς για να ερμηνεύσουν ζητήματα που αφορούν τους ρητούς (Ni & Zhou, 2005). Οι μαθητές διδάσκονται τις τέσσερις πράξεις αρχικά στους φυσικούς και τείνουν να επεκτείνουν τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητές τους και σε άλλα σύνολα μη φυσικών αριθμών (αρνητικοί ακέραιοι, ρητοί και πραγματικοί). Έτσι, επηρεάζονται από το γεγονός ότι πολλαπλασιάζοντας δύο φυσικούς αριθμούς, προκύπτει αποτέλεσμα μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς που πολλαπλασιάστηκαν και τείνουν να θεωρούν ότι αυτό συμβαίνει και σε όλους τους αριθμούς. Στην παρούσα μελέτη δημιουργήθηκε ένα ανατρεπτικό κείμενο που στόχευε στη διόρθωση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού και ειδικά στην τάση των μαθητών να θεωρούν ότι ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει και δόθηκε σε 50 μαθητές της Στ΄ Τάξης δυο διαφορετικών σχολείων της Αττικής. Άλλοι 37 μαθητές αποτελούσαν την ομάδα ελέγχου. Στους μαθητές δόθηκαν διαγνωστικά τεστ πριν την παρέμβαση (Προέλεγχος), αμέσως μετά (Μεταέλεγχος) και ένα μήνα μετά (Έλεγχος Διατήρησης). Στόχος ήταν να εξεταστεί αν οι μαθητές που έλαβαν το ανατρεπτικό κείμενο, βελτίωσαν την επίδοσή τους στα έργα πολλαπλασιασμού.

Επίσης, εξετάστηκε η δυνατότητα του ανατρεπτικού κειμένου να οδηγήσει σε γνώση, η οποία θα μεταφερθεί και στην περίπτωση της διαίρεσης, έστω κι αν το κείμενο εστίαζε αποκλειστικά στον πολλαπλασιασμό. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι το ανατρεπτικό κείμενο βοήθησε τους μαθητές να διορθώσουν την παρανόηση ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει, έχοντας μάλιστα και μακροπρόθεσμη επίδραση. Μάλιστα, οι μάθητες μετέφεραν μερικώς τη γνώση που απέκτησαν και στην πράξη της διαίρεσης: τα αποτελέσματα έδειξαν ότι τα λάθη των μαθητών όσον αφορά στην παρανόηση η διαίρεση μικραίνει βελτιώθηκαν στατιστικά σημαντικά.

Abstract

Students’ difficulties with learning mathematics and specifically with rational numbers led to the design of a didactic approach which use a refutational text. Refutational texts directly report to students their false beliefs and immediately overturn them by presenting the alternative correct ideas. Recent studies in the field of science and mathematics education supports the effectiveness of refutational texts in teaching compared to the traditional texts of the textbooks. Furthermore, it seems that they may be able to remedy the students’ misconceptions. The current study assumes that a refutational text could help 6^th-grade students to remedy the misconception “multiplication makes bigger” which stems from a natural number bias. Natural numbers bias is the students’

tendency to use their initial knowledge about natural numbers to reason about rational numbers (Ni

& Zhou, 2005). Students are initially taught the four operations with operations between natural numbers and they tend to extend their characteristics and properties to non-natural numbers (negative integers, rational numbers, and real numbers). More specifically, that multiplication has a bigger result than the initial numbers, independently of the numbers involved. This bias is actually an obstacle in developing the rational numbers. A refutational text was created that aimed to remedy the natural number bias and specifically studends’ trendency to think that multiplication makes bigger. The refutational text was given to 50 6^th grade students in a pre-post- delayed post intervention study in two different schools of Athens; 37 students with same characteristics were the control group. The purpose was also to examine the effectiveness of the refutational text to help the students to make less mistakes in multiplication tasks that were due to the isconception that multiplication makes bigger. Furthermore, it was also examined the efficiency of a refutational text to lead to knowledge which could be transferred to the operation of division. The results suggested that the refutational text may help 6^th-graders to remedy the misconception multiplication makes bigger, having also a long-term affect. In addition, students transferred their knowledge about the results of operations between rational numbers, also to the operation of division: the results showed statistically significantly less mistakes due to the tendency to think that division makes smaller.

1. Θεωρητικό πλαίσιο 1.1. H προκατάληψη του φυσικού αριθμού

Η έρευνα μέχρι σήμερα έχει δείξει πως η κατανόηση της έννοιας και των ιδιοτήτων των ρητών αριθμών είναι απαραίτητη τόσο στην καθημερινή ζωή του ατόμου, όσο και στη φοίτησή του στο σχολείο (Van Hoof, κ.ά., 2014). Ωστόσο, φαίνεται δυστυχώς πως υπάρχουν συχνά δυσκολίες στην κατανόηση των ρητών από τους μαθητές με αποτέλεσμα να διαπιστώνονται λάθη (Christou, 2015, Merenluoto & Lehtinen, 2004, Vamvakoussi, κ.ά., 2012). Τα λάθη αυτά εμφανίζονται ήδη από τη στιγμή που οι μαθητές διδάσκονται τους ρητούς στο δημοτικό σχολείο (δεκαδικοί, κλάσματα).

Κάποιες από τις δυσκολίες αυτές και τα λάθη με τους ρητούς αριθμούς φαίνεται να οφείλονται στην τάση των μαθητών να μεταφέρουν τις ιδιότητές τους στους ρητούς, με αποτέλεσμα να οδηγούνται σε παρανοήσεις (Ni & Zhou, 2005). Στην παρούσα διπλωματική εξετάζεται το φαινόμενο αυτό, που ονομάστηκε από τους ερευνητές προκατάληψη του φυσικού αριθμού.

Η προκατάληψη του φυσικού αριθμού (natural number bias) αποτελεί όρο της βιβλιογραφίας της διδακτικής των μαθηματικών που αναφέρεται στην τάση των μαθητών να αποδίδουν ιδιότητες των φυσικών αριθμών σε μη-φυσικούς (Ni & Zhou, 2005). Αποτέλεσμα αυτής της προκατάληψης είναι συχνά οι μαθητές να οδηγούνται σε λάθη, καθώς οι ιδιότητες των φυσικών διαφέρουν από τις ιδιότητες των μη-φυσικών αριθμών (Christou, 2015, Ni & Zhou, 2005, Vamvakoussi & Vosniadou, 2012, Vamvakoussi & Vosniadou, 2010, Vamvakoussi, κ.ά., 2013, Van Hoof κ.ά., 2015, Van Hoof, κ.ά., 2014). Οι μαθητές επηρεάζονται από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού όταν αντιμετωπίζουν τα κλάσματα και τους δεκαδικούς στο δημοτικό σχολείο, αλλά και τους αρνητικούς αργότερα στο γυμνάσιο. Δηλαδή, σε κάθε νέα μορφή μη-φυσικού αριθμού (ρητού) που διδάσκεται στους μαθητές παρατηρούνται λάθη, από τους ερευνητές και τους εκπαιδευτικούς, που σχετίζονται άμεσα με την προκατάληψη του φυσικού αριθμού.

Ωστόσο, όταν οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν σε έργα που είναι συμβατά με τις διαισθητικές τους αντιλήψεις (congruent items), δηλαδή βασίζονται στην αρχική γνώση των φυσικών αριθμών, τότε απαντούν ορθά (Vamvakoussi, κ.ά., 2012). Για παράδειγμα όταν χρησιμοποιείται κατά τη διδασκαλία των κλασμάτων το μοντέλο του μέρους / όλου στην κατανόηση των κλασμάτων, που είναι συμβατό με τους φυσικούς αριθμούς (για παράδειγμα κόβουμε μια ολόκληρη πίτσα σε 8 κομμάτια). Στην περίπτωση που οι μαθητές χρησιμοποιούν τη μέτρηση μονάδων (μέρη, κομμάτια,

που είναι φυσικοί αριθμοί) για να εκτελέσουν προσθέσεις ομώνυμων κλασμάτων, η στρατηγική αυτή λειτουργεί και δεν οδηγεί σε λάθη, αλλά δεν αρκεί, όταν αργότερα οι μαθητές θα πρέπει να πολλαπλασιάσουν, για παράδειγμα ετερώνυμα κλάσματα (Vamvakoussi, κ.ά., 2012).

Ουσιαστικά πρόκειται όχι για απλή προκατάληψη, αλλά για αναπόφευκτο εμπόδιο κατά τη μετάβαση των μαθητών από το σύνολο των φυσικών στους ρητούς (Christou & Vosniadou, 2012, Merenluoto & Lehtinen, 2004, Prediger, 2008, Stafylidou, & Vosniadou, 2004). Οι Stafylidou &

Vosniadou (2004) εξετάζουν το φαινομένο αυτό με παρουσίαση των διαφορετικών τύπων λαθών που παρατηρούνται, όταν οι μαθητές διαχειρίζονται κλάσματα. Κρίνεται σκόπιμη η αναφορά των ευρημάτων αυτών, καθώς μέσα από τα κλάσματα, την πρώτη μορφή μη φυσικού αριθμού με την οποία έρχονται σε επαφή οι μαθητές, αποκαλύπτεται ήδη μεγάλο μέρος των εμποδίων που υπάρχουν για την κατάκτηση των κανόνων που διέπουν τους ρητούς και έρχονται σε σύγκρουση με κανόνες που οι μαθητές διδάχθηκαν κατά τη διδασκαλία των φυσικών. Οι διαφορές των φυσικών από τους ρητούς αφορούν:

 τη συμβολική αναπαράσταση. Για την αναπαράσταση ενός φυσικού αριθμού απαιτείται ένας αριθμός, ενώ για έναν ρητό απαιτούνται δύο 2 αριθμοί και μία κλασματική γραμμή.

 την ταξινόμηση. Στο σύνολο των φυσικών υπάρχει για κάθε αριθμό ένας προηγούμενος και ένας επόμενος, ενώ δεν συμβαίνει το ίδιο στους ρητούς. Εκεί δεν ισχύει η μοναδικότητα του προηγούμενου και του επόμενου αριθμού, αλλά ανάμεσα σε δύο κλασματικούς αριθμούς υπάρχουν άπειροι ρητοί αριθμοί . Αντίθετα ανάμεσα σε δύο φυσικούς αριθμούς δεν υπάρχει άλλος φυσικός αριθμός.

 τη σχέση με τη μονάδα. Η μονάδα ορίζεται στους φυσικούς ως ο μικρότερος φυσικός αριθμός, ενώ στους ρητούς δεν υπάρχει ο ελάχιστος ρητός.

 τις πράξεις.

 Στην πρόσθεση των φυσικών αριθμών αξιοποιείται η αριθμογραμμή (η πρόσθεση μεγαλώνει, η διαίρεση μικραίνει), ενώ στην πρόσθεση των ρητών δεν αξιοποιείται.

 Στον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών προκύπτει αποτέλεσμα μεγαλύτερο από τους αριθμούς που πολλαπλασιάστηκαν. Αντίθετα στους ρητούς προκύπτει αποτέλεσμα είτε μεγαλύτερο ή μικρότερο από τους αριθμούς που πολλαπλασιάστηκαν.

 Στη διαίρεση φυσικών αριθμών προκύπτει αποτέλεσμα μικρότερο του διαιρετέου.

Αντίθετα στη διαίρεση ρητών προκύπτει αποτέλεσμα είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο από το διαιρετέο.

Ήδη μελετώντας τα παραπάνω, φαίνεται πως η γένεση των παρανοήσεων που πηγάζουν από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού, όπως ο πολλαπλασιασμό μεγαλώνει, είναι πιθανό να σχετίζεται με τη διδασκαλία των φυσικών οι οποίοι προηγούνται αυτής των ρητών. Ωστόσο, η ακριβής προέλευση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού δεν έχει διερευνηθεί πλήρως, καθώς οι απόψεις των ερευνητών δεν συγκλίνουν (Rips, κ.ά., 2008). Κάποιοι παράγοντες που είναι πιθανό να συμβάλουν στη δημιουργία της προκατάληψης του φυσικού αριθμού είναι ότι αρχικά, ήδη από τη βρεφική ηλικία του ανθρώπου διαπιστώνεται σε εμπειρικές έρευνες, όπως επισημαίνουν οι Merenluoto & Lehtinen (2004) μια διαισθητική θεώρηση των μικρών σε πλήθος ποσοτήτων ως διακριτά αντικείμενα (Merenluoto & Lehtinen, 2004). Είναι, έτσι, πιθανό να σχετίζεται η προκατάληψη του φυσικού αριθμού με τις διαισθητικές αντιλήψεις των παιδιών που πριν ακόμα φοιτήσουν στο σχολείο έρχονται σε επαφή με συγκεκριμένες ποσότητες (φυσικοί αριθμοί), όπως για παράδειγμα το μέτρημα των δαχτύλων τους (Vamvakoussi, κ.ά., 2012). Επιπροσθέτως, το ότι οι μαθητές αλληλεπιδρούν από μικρή ηλικία με διακριτά μόνο μεγέθη που απαριθμούνται με τη βοήθεια των φυσικών αριθμών (π.χ. τα φρούτα σε ένα δέντρο), όπως ακόμα και τραγούδια, ρίμες και επιτραπέζια παιχνίδια μπορεί να είναι αιτία εμφάνισης της προκατάληψης. (Vamvakoussi, κ.ά., 2012).

Αργότερα, οι μαθητές διδάσκονται τις τέσσερις πράξεις αρχικά στο σύνολο των φυσικών (αριθμητική) και τείνουν να επεκτείνουν τις ιδιότητες των φυσικών σε κάθε σύνολο αριθμών (κλάσματα, δεκαδικούς, κ.λπ.) (Christou & Vosniadou, 2012, Ni & Zhou, 2005). Για παράδειγμα, φαίνεται να επηρεάζονται από το γεγονός ότι πολλαπλασιάζοντας δύο φυσικούς προκύπτει γινόμενο μεγαλύτερο των δύο αριθμών που πολλαπλασιάστηκαν, με αποτέλεσμα να θεωρούν ότι πάντα η πράξη του «πολλαπλασιασμού μεγαλώνει», ακόμα δηλαδή και σε πολλαπλασιασμό μη – φυσικών αριθμών. Το αντίθετο συμβαίνει με την πράξη της διαίρεσης, όπου οι μαθητές θεωρούν ότι όταν διαιρώ δύο αριθμούς θα έχω πάντα μικρότερο αποτέλεσμα, επηρεαζόμενοι από τη διαίρεση φυσικών αριθμών.

Τα λάθη των μαθητών στη χρήση των ρητών που οφείλονται στην προκατάληψη του φυσικού αριθμού αφορούν ειδικότερα στη χρήση των συμβόλων, στη διάταξη, την πυκνότητα της δομής τους

και στις πράξεις (Christou, 2015, Christou & Vosniadou, 2012, Vamvakoussi, κ.ά., 2012, Van Hoof, κ.ά., 2015, Van Hoof, κ.ά., 2014). Αναλυτικότερα:

 Πυκνότητα δομής. Οι ρητοί αριθμοί διακρίνονται από την ιδιότητα της πυκνότητας της δομής τους. Αυτό σημαίνει πως, σε αντίθεση με τους φυσικούς αριθμούς, δεν υπάρχει μοναδικός αριθμός ανάμεσα σε δύο ρητούς, αλλά άπειροι. Οι μαθητές, όμως, δυσκολεύονται να κατανοήσουν την ιδιότητα αυτή των ρητών και γι’ αυτό θεωρούν για παράδειγμα πως αμέσως μετά τον αριθμό 5,31 ακολουθεί ο αριθμός 5,32, και όχι ότι ανάμεσά τους υπάρχουν άπειροι αριθμοί (Christou, 2015, Vamvakoussi, κ.ά., 2012, Van Hoof, κ.ά., 2015, Van Hoof, κ.ά., 2014).

 Διάταξη. Οι μαθητές κατά τη σύγκριση ρητών αριθμών οδηγούνται σε αρκετά λάθη, καθώς σύμφωνα με τη βιβλιογραφία θεωρούν ότι: ανάμεσα σε δυο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή, το μεγαλύτερο είναι αυτό με το μεγαλύτερο παρονομαστή, ανάμεσα σε δύο δεκαδικούς αριθμούς, μεγαλύτερος είναι αυτός με τα περισσότερα σε πλήθος δεκαδικά ψηφία, ότι η μονάδα είναι μεγαλύτερη από κάθε κλάσμα ή κάθε κλάσμα είναι μεγαλύτερο της μονάδας (Christou, 2015, Stafylidou & Vosniadou, 2004, Vamvakoussi & Vosniadou, 2010, Van Hoof, κ.ά., 2015, Van Hoof, κ.ά., 2014).

 Συμβολική αναπαράσταση. Οι μαθητές εμφανίζουν δυσκολίες στην κατανόηση του πολλαπλού τρόπου αναπαράστασης των ρητών αριθμών, με αποτέλεσμα να δυσκολεύονται να κατανοήσουν πως ένα κλάσμα και ένας δεκαδικός μπορούν να αναπαριστούν τον ίδιο αριθμό (π.χ. ½ = 0,5). Μάλιστα υπάρχουν μαθητές που θεωρούν πως ένα κλάσμα δεν είναι ένας αριθμός, αλλά δυο διαφορετικοί (φυσικοί) αριθμοί (Vamvakoussi, κ.ά., 2012, Van Hoof, κ.ά., 2015, Van Hoof, κ.ά., 2014).

 Πράξεις. Πολλοί μαθητές θεωρούν ότι προσθέτοντας δύο ρητούς προκύπτει αποτέλεσμα μεγαλύτερο από τους αριθμούς που προστέθηκαν και αφαιρώντας προκύπτει αποτέλεσμα μικρότερο του αφαιρετέου (Chistou, 2015, Vamvakoussi, κ.ά., 2012). Επίσης θεωρούν εσφαλμένα ότι οι ρητοί θα έπρεπε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τους φυσικούς (για παράδειγμα 0,99*5>0,99) (Christou, 2015, Vamvakoussi, κ.ά., 2012, Van Hoof, κ.ά., 2015).

Ειδικότερα, τα λάθη των μαθητών με πράξεις μη φυσικών αριθμών αρχίζουν να εμφανίζονται ήδη όταν οι μαθητές φοιτούν στο δημοτικό (Christou, 2015, Van Hoof, κ.ά., 2015). Στο διάστημα αυτό καλούνται να μεταβούν από το πλαίσιο των φυσικών αριθμών στους ρητούς και η πρώτη μορφή

ρητών που αντιμετωπίζουν είναι τα κλάσματα και στη συνέχεια οι δεκαδικοί αριθμοί. Τότε, εμφανίζονται παρανοήσεις που αφορούν στον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση όπως ότι ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει και η διαίρεση μικραίνει.

Σύμφωνα με τον Fischbein (1987), που πρώτος μελέτησε συστηματικά αυτό το φαινόμενο, οι μαθητές διαθέτουν διαισθητικά μοντέλα για κάθε αριθμητική πράξη, σύμφωνα με τα οποία κάθε πράξη συνδέεται κατά απόλυτο τρόπο με ορισμένο τελικό αποτέλεσμα. Πιο συγκεκριμένα, υποστήριξε ότι η πρόσθεση είναι συνδεδεμένη με το μοντέλο της συνένωσης συνόλων, ο πολλαπλασιασμός με το μοντέλο της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης και η διαίρεση με το μοντέλο της ίσης μοιρασιάς (Fischbein, 1987, Fischbein, κ.ά., 1985).

Σύμφωνα με τους σύγχρονους ερευνητές της προκατάληψης του φυσικού αριθμού τα άδηλα αυτά μοντέλα των μαθητών που ορίζουν τον πολλαπλασιασμό ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση και τη διαίρεση ως ίσο μοίρασμα (Vamvakoussi, κ.ά., 2012), είναι συμβατά με την αρχική τους γνώση και πηγάζουν από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού (Christou, 2015, Vamvakoussi, κ.ά., 2012).

Σε πρόσφατες έρευνες που έγιναν σε μαθητές των τελευταίων τάξεων του δημοτικού όσον αφορά στις πράξεις ρητών, παρατηρούνται συνολικά στατιστικά υψηλότερες επιδόσεις σε έργα συμβατά με τις παραπανω διαισθητικές πεποιθήσεις (συνεπή) σε σχέση με έργα μη συμβατά (μη- συνεπή) με τις διαισθητικές πεποιθήσεις (συνολικός μέσος όρος επίδοσης πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης) (Christou, 2015, Van Hoof, κ.ά., 2014). Ειδικότερα, οι μαθητές εμφανίζουν στατιστικά σημαντικά καλύτερες επιδόσεις σε έργα συμβατά με τις διαισθητικές πεποιθήσεις σε σχέση με έργα μη συμβατά, τόσο στην πράξη του πολλαπλασιασμού, όσο και στην πράξη της διαίρεσης (Christou, 2015).

Ωστόσο, είναι σημαντικό να επισημανθεί πως τα λάθη των μαθητών που οφείλονται στην προκατάληψη του φυσικού αριθμού εμφανίζονται για πρώτη φορά όταν οι μαθητές φοιτούν στο δημοτικό (Christou, 2015, Van Hoof, κ.ά., 2014), αλλά δεν εξαλείφονται πλήρως και συνεχίζουν να παρατηρούνται στο γυμνάσιο, στο λύκειο (Christou & Vosniadou, 2012), αλλά ακόμα και αργότερα στην ενήλικη ζωή (Obersteiner, κ.ά., 2013, Vamvakoussi, κ.ά. , 2012, Vamvakoussi, κ.ά. , 2013 , Van Hoof, κ.ά., 2015). Μάλιστα, από σχετική έρευνα των Vamvakoussi, Van Dooren & Verschaffel (2013) φαίνεται πως ακόμα και σε φοιτητές παιδαγωγικών σχολών συνεχίζει να επιδρά η προκατάληψη του φυσικού αριθμού με αποτέλεσμα να παρατηρούνται λανθασμένες απαντήσεις όσον αφορά στις τέσσερις πράξεις των ρητών.

1.2. Θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής 1.2.1. Γενικές αρχές

Για την ερμηνεία παρανοήσεων των μαθητών όσον αφορά στην έννοια και τις ιδιότητες των ρητών αριθμών έχει προταθεί από αρκετούς ερευνητές, ανάμεσα σε άλλες, η χρήση της θεωρίας της εννοιολογικής αλλαγής (Merenluoto & Lehtinen, 2004, Vamvakoussi & Vosniadou, 2010 & 2004, Van Hoof, κ.ά., 2014). Στην παρούσα διπλωματική ο στόχος ήταν μέσα από μια τεχνική που προέρχεται από τη θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής να διορθώσουν οι μαθητές την παρανόηση ο πολλαπλασιασμός μεγαλώνει. Ωστόσο, πριν περιγραφεί η συγκεκριμένη τεχνική είναι σημαντικό να αναλυθούν οι γενικές αρχές της θεωρίας και το πως αυτή συνδεέται με τη συγκεκριμένη παρανόηση.

Σύμφωνα με τη θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής πριν ακόμα τα παιδιά αρχίσουν να διδάσκονται στο σχολείο τις “βασικές αρχές των επιστημών” έχουν ήδη αλληλεπιδράσει με το περιβάλλον τους στην καθημερινή ζωή. Άμεσα προϊόντα της αλληλεπίδρασης αυτής είναι ιδέες και απόψεις για την επιστήμη που συχνά είτε δεν ταιριάζουν ακριβώς με τις επιστημονικές απόψεις ή ακόμα βρίσκονται σε πλήρη αντίθεση με αυτές (Duit & Treagust, 2003). Οι ιδέες αυτές αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως εναλλακτικές ή λανθασμένες (misconceptions/ alternative beliefs) και γιατί είναι διαφορετικές από τις επιστημονκά/μαθηματικά ορθές.

Η θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής στοχεύει σε μάθηση που θα προκύψει όταν ο μαθητής χρειάζεται να αλλάξει θεμελιωδώς αυτό που πιστεύει (εναλλακτική ιδέα) και να δεχθεί μια νέα οπτική (επιστημονική θεωρία). Ουσιαστικά οι προηγούμενες γνώσεις των μαθητών αλληλεπιδρούν με τυχόν καινούριες πληροφορίες με τις οποίες έρχονται σε επαφή. Όταν οι αρχικές γνώσεις των μαθητών διαφέρουν από το νέο γνωστικό (επιστημονικό) περιεχόμενο, θα απαιτηθεί αναδιοργάνωση της γνώσης του μαθητή και αυτή είναι μια περίπτωση μάθησης με εννοιολογική αλλαγή (Vamvakoussi & Vosniadou, 2010 & 2004, Vosniadou, κ.ά., 2001).

Πρόκειται, ωστόσο, για μια δύσκολη διαδιακασία που απαιτεί τόσο χρόνο και σκληρή δουλειά από μέρους του μαθητή για να επιτευχθεί, όσο και ιδιαίτερη προσοχή από μέρους του ερευνητή για να παρατηρηθεί αν πραγματικά συνέβη (Merenluoto & Lehtinen, 2004).

Η εννοιολογική αλλαγή δεν συμβαίνει από τη μια στιγμή στην άλλη από μέρους του μαθητή, κατά τη διάρκεια της οποίας ακυρώνει την εγκυρότητα μιας ιδέας και περνά στην υιοθέτηση μιας νέας (επιστημονικά αληθής) (Posner, κ.ά., 1982). Αντίθετα, η αρχική γνώση του μαθητή

αναδιοργανώνεται καθώς ο ίδιος έρχεται σε επαφή κάθε μέρα με νέες πληροφορίες (Hatano &

Inagaki, 2000) και κάθε νέα πληροφορία που ενσωματώνεται απαιτεί μια νέα προσαρμογή (Posner, κ.ά., 1982). Είναι σημαντικό να επισημανθεί πως δεν προστίθενται νέα κομμάτια γνώσης, αλλά κάθε νέα γνώση αναδιοργανώνει τις αρχικές, διαισθητικές αντιλήψεις του μαθητή. Μάλιστα, η διαδικασία αυτή είναι χρονοβορα και δύσκολη με ενδιάμεσα επίπεδα κατανόησης. Τελικά, είναι ενδιαφέρον να μελετάται η πορεία που ακολούθησε ο κάθε μαθητής μέχρι να φτάσει στην εννοιολογική αλλαγή και όχι μόνο εάν τελικά αυτή επετεύχθη (Limon, 2001). Για το σκοπό αυτό αναπτύχθηκαν δυναμικά μοντέλα ανάλυσης της γνωστικής πορείας προς την εννοιολογική αλλαγή, όπως αυτό των Merenluoto & Lehtinen (2004), περιγράφηκαν οι μηχανισμοί που επηρεάζουν τη γνωστική ανάπτυξη των μαθητών ειδικά στα μαθηματικά (Hatano & Inagaki, 2000) και αναλύθηκαν μεταβλητές που συμβάλλουν στην επιτυχία της εννοιολογικής αλλαγής (Duit & Treagust, 2003, Limon, 2001, Posner κ.ά., 1982, Vosniadou, 1999).

Η κριτική που έγινε στις πρώτες προσπάθειες εννοιολογικής αλλαγής μέσα από τη γνωστική σύγκρουση καταλήγει στο συμπέρασμα πως είναι σημαντικό, τελικά, να ληφθούν υπόψην και μη αμηγώς γνωστικοί παράγοντες. Ειδικότερα, φαίνεται να είναι σημαντικό να λαμβάνονται υπόψην τα κίνητρα και τα ενδιαφέροντα των μαθητών, οι επιστημολογικές τους απόψεις, αλλά και να καλλιεργείται η μεταγνωστική τους επαγρύπνηση (Duit & Treagust, 2003). Επιπλέον, φαίνεται πως είναι πιθανότερο να αναμένονται θετικά αποτελέσματα σε διδακτικές προσεγγίσεις που καλούν το μαθητή να εμπλακεί ενεργητικά στην επεξεργασία των αρχικών του γνώσεων όταν αυτές έρθουν σε αντίθεση με τις μαθηματικώς ορθές αντιλήψεις (Mason, 2007, Prediger, 2008).

Ειδικότερα, όσον αφορά στη διόρθωση της προτάληψης του φυσικού αριθμού, είναι σημαντικό να αναφερθεί πως η διόρθωσή της είναι χρονοβόρα και δύσκολη διαδικασία (Χρήστου, 2015, 2014).

Μάλιστα είναι πιθανό τελικά μέσα από τη διαδικασία της εννοιολογικής αλλαγής, που για να ολοκληρωθεί με επιτυχία απαιτείται κόπος από το μαθητή αλλά και διάρκεια σε χρόνο, να επιτευχθεί η διόρθωση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού. Σε αυτόν τον άξονα κινείται και η παρούσα διπλωματική, που σκοπό έχει τη διόρθωση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού μέσα από ένα ανατρεπτικό κείμενο, που είναι τεχνική που προτείνεται από τη θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής.

1.2.2. Γνωστικές διαδικασίες και μέθοδοι διδασκαλίας που υποστηρίζουν την εννοιολογική αλλαγή

Για την επίτευξη της εννοιολογικής αλλαγής έχουν αναπτυχθεί και σχεδιαστεί διαφορετικές διδακτικές προτάσεις όπως η διερευνητικά σχεδιασμένη διδασκαλία και το ανατρεπικό κείμενο (Gadgil, κ.ά., 2012, Limon, 2001, Lem, κ.ά., 2017). Πυρήνα τέτοιων διδακτικών καταστάσεων αποτελεί η γνωστική σύγκρουση, κατάσταση στην οποία βρίσκεται ο μαθητής όταν οι εναλλακτικές του ιδέες δεν θα είναι σε θέση να ερμηνεύσουν κάποια νέα συνθήκη που θα έχουμε δημιουργήσει κατάλληλα οι εκπαιδευτικοί (Hatano & Inagaki, 2003, Vosniadou, 1999). Σύμφωνα με τους Duit και Treagust (2003) για να υιοθετήσει ο μαθητης μια νέα επιστημονική άποψη, αυτή σε αντίθεση με την εναλλακτική θα πρέπει να είναι:

i) Κατανοητή (intelligible). Οι μαθητές πρέπει να έχουν κατανοήσει τι σημαίνει η νέα έννοια και θα πρέπει να είναι σε θέση να την περιγράψουν με δικά τους λόγια.

ii) Εύλογη/δικαιολογητή (plausible). Θα πρέπει η νέα γνώση να βρίσκεται σε αρμονία με ιδέες ή έννοιες που οι μαθητές ήδη κατέχουν.

iii) Εποικοδομητική (fruitful). Εφόσον ικανοποιούνται οι προηγούμενες συνθήκες, θα πρέπει τελικά η νέα γνώση να θεωρείται από τους μαθητές χρήσιμη και βοηθητική στη λύση προβλημάτων.

Ήδη από τη δεκατία του 1970 ο Piaget ενσωμάτωσε τη γνωστική σύγκρουση στη θεωρία του και την περιέγραψε ως ένα από τα στάδια για τις διαδικασίες της εξισσορόπησης (equilibration) (Limon, 2001). Κατά τις διαδικασίες της εξισσορόπησης οι απαντήσεις των μαθητών ταξινομούνταν για να περιγραφούν οι νέες απόψεις τους, αφότου αυτοί είχαν έρθει σε επαφή με πληροφορίες, οι οποίες συγκρούονταν με τις προσωπικές τους αρχικές απόψεις (Limon, 2001). Αργότερα, επισημάνθηκε από τους Posner κ.ά. (1982), ότι για να πραγματοποιηθεί η γνωστική σύγκρουση είναι απαραίτητο ο μαθητής να συνηδειτοποιήσει, ότι είναι απαραίτητο να αλλάξει τις απόψεις του (Limon,2001).

Ωστόσο, τα αποτελέσματα των ερευνών όσον αφορά σε μελέτες που στόχευαν στην επίστευξη εννοιολογικής αλλαγής μέσα από της χρήση της γνωστικής σύγκρουσης δείχνουν ότι, αν και καταγράφονται θετικά αποτελέσματα δεν υπάρχει πάντοτε βαθιά κατανόηση της νέας γνώσης από τους μαθητές (Limon, 2001). Παρ’ όλα αυτά, είναι σημαντικό να επισημανθεί πως οι διδακτικές

προσεγγίσεις της εννοιολογικής αλλαγής έχουν συνήθως, όμως, καλύτερα αποτελέσματα από τις παραδοσιακές διδακτικές προσεγγίσεις (Vosniadou & Ioannides, 1998).

Εκτός από τη γνωστική σύγκρουση, ωστόσο, έχουν προταθεί από τους ερευνητές και άλλες μέθοδοι για την επίτευξη εννοιολογικής αλλαγής, όπως η χρήση αναλογιών και μεταφορών και η χρήση εξωτερικών αναπαραστάσεων με νόημα (Gadgil, κ.ά., 2012, Limon, 2001, Vosniadou, κ.ά., 2001).

Τα τελευταία ευρήματα όσον αφορά στην εννοιολογική αλλαγή μας προσανατολίζουν σαφώς, όμως, και προς μη γνωστικούς παράγοντες (Mason, 2007, Mason, κ.ά., 2017, Palmer, 2003, Trevors & Muis, 2015). Φαίνεται, δηλαδή, πως η επιτυχία μιας εννοιολογικά σχεδιασμένης διδασκαλίας επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από μη γνωστικούς παράγοντες, όπως το κίνητρο που πιθανόν έχει ο μαθητής, την εμπλοκή του μαθητή στη μαθησιακή διαδικασία, οι επιστημολογικές του απόψεις και ο βαθμός μεταγνωστικής του επαγρύπνησης. Μάλιστα, φαίνεται, τελικά, να είναι και αυτοί, οι παράγοντες που θα κρίνουν την αποτελεσματικότητα και το βάθος της εννοιολογικής αλλαγής.

Ειδικότερα, φαίνεται σκόπιμο να δοθεί έμφαση τόσο στην κινητοποίηση του ενδιαφέροντος του μαθητή, όσο και στην εμπλοκή του στη μαθησιακή διαδικασία (Palmer, 2003). Μάλιστα οι ερευνητές στην εννοιολογική αλλαγή συνδέουν άμεσα την προοπτική πραγμάτωσης εννοιολογικής αλλαγής με την ύπαρξη κινήτρων στο μαθητή (Palmer, 2003). Για παράδειγμα, μαθητές που συμμετέχουν εθελοντικά σε δραστηριότητες ανάγνωσης είναι πιθανόν να είναι περισσότερο κινητοποιημένοι να κατανοήσουν το κείμενο από άλλους που ίσως εξαναγκάστηκαν να επεξεργαστούν το ίδιο κείμενο (Palmer, 2003). Άλλες μορφές συμπεριφοράς που ίσως αποτελέσουν ενδείξεις για την ύπαρξη εμπλοκής και ενδιαφέροντος είναι ο βαθμός συμμετοχής στο μάθημα, ή πρόθυμη εμπλοκή σε δραστηριότητες, η επίμονη προσπάθεια και η εθελοντική συμμετοχή σε δραστηριότητες (Palmer, 2003).

Επιπλέον, άμεση επίδραση στη μάθηση με εννοιολογική αλλαγή φαίνεται να έχει το σύνολο των επιστημολογικών πεποιθήσεων του μαθητή για τη γνώση και την επιστήμη (Palmer, 2003, Trevors &

Muis, 2015). Για το λόγο αυτό, λοιπόν, μια εννοιολογικά σχεδιασμένη διδασκαλία με βαθιά ποιοτικά αποτελέσματα φαίνεται να αποτελεί η μεταγνωστική επαγρύπνηση του μαθητή (Kendeou, κ.ά., 2011, Mason, 2007, Mason, κ.ά., 2017, Palmer, 2003). Η μεταγνωστική επίγνωση σχετίζεται στενά με τις επιστημολογικές αντιλήψεις του μαθητή, καθώς αφορά το βαθμό επαγρύπνησης του μαθητή σχετικά με τον αν έλαβε κάποια νέα γνώση, αλλά και τον τρόπο με τον οποίο αυτή αποκτήθηκε.

Επίσης, σχετίζεται με τη συνειδητοποίηση των στρατηγικών που τον οδήγησαν στην κατάκτηση της νέας πληροφορίας (Palmer,2003).

Τα ευρήματα αυτά των τελευταίων ερευνών σχετικά με την πολυπαραγοντική προσέγγιση στη γνώση και μάθηση φαίνεται να συγκλίνουν με την τεχνική του ανατρεπτικού κειμένου, το οποίο αξιοποιήθηκε και στην παρούσα διπλωματική, όπου σχεδιάστηκε μια διδακτική παρέμβαση με χρήση ανατρεπτικού κειμένου για τη διόρθωση της προκατάληψης του φυσικού αριθμού σε μαθητές Στ’ τάξης δημοτικού. Έτσι, στην παρούσα μελέτη το ανατρεπτικό κείμενο που δόθηκε στους μαθητές συνοδεύεται από μια ερώτηση που στοχεύει στην καλλιέργεια της μεταγνωστικής επίγνωσης στους μαθητές: Ποια θα ήταν η απάντησή σας στο ερώτημα της πρώτης ερώτησης, αν δεν είχατε διαβάσει το κείμενο; Αλλάξατε γνώμη; Εξηγήστε. (Βλ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2_Ανατρεπτικό Κείμενο).

Στην συνέχεια παρουσιάζεται αναλυτικά η τεχνική του ανατρετπικού κειμένου και συνδέεται με τα τελευταία ευρήματα σχετικά με τη θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής και τη γνωστική σύγκρουση.

1.3. Ανατρεπτικά κείμενα

1.3.1. Εισαγωγή στα ανατρεπτικά κείμενα

Τα ανατρεπτικά κείμενα είναι κείμενα που συντάσσονται από ερευνητές με σκοπό να αποτελέσουν τον πυρήνα μιας διδασκαλίας αντικαθιστώντας τα παραδοσιακά κείμενα των διδακτικών εγχειριδίων (Guzzetti, Williams, Skeels & Wu, 1997). Το βασικό τους χαρακτηριστικό είναι ότι το περιεχόμενό τους δεν περιορίζεται στην παρουσίαση μιας επιστημονικής γνώσης ή ιδέας, όπως συνήθως αυτό των παραδοσιακών (Diakidoy, κ.ά., 2011). Αντίθετα, καθώς ο συντάκτης ενός ανατρεπτικού κειμένου γνωρίζει πως οι μαθητές έχουν συγκεκριμένες παρανοήσεις, επιλέγει αυτές να αναφέρονται ήδη στην αρχή του κειμένου αυτού (Ariasi & Mason, 2011, Diakidoy, κ.ά., 2003, Skopeliti & Vosniadou, 2008).

Τα παραδοσιακά κείμενα θέτουν δυσκολίες στην κατανόησή τους από τους μαθητές, καθώς όπως επισημαίνουν οι Sinatra & Broughton (2011) «περιέχουν τεχνικό λεξιλόγιο, πολλές νέες έννοιες, [...]

και είναι αρκετά θεωρητικά για το επίπεδο των μαθητών». Επιπροσθέτως τα παραδοσιακά - μη- ανατρεπτικά- κείμενα των διδακτικών εγχειριδίων δεν αναφέρονται σε προηγούμενες γνώσεις των μαθητών και ίσως για το λόγο αυτό οι μαθητές δυσκολεύονται να τα κατανοήσουν (Mikkilä- Erdmann, 2002, Skopeliti & Vosniadou, 2008). Αντίθετα, τα ανατρεπτικά κείμενα που αναφέρουν και

καταρρίπτουν τις παρανοήσεις των μαθητών φαίνεται να ωφελούν περισσότερο τους μαθητές στην κατανόηση και στη μάθηση (Broughton & Sinatra, 2010, Diakidoy, κ.ά., 2003, Diakidoy, κ.ά., 2016, Guzzetti, 2000, Guzzetti,κ.ά., 1997, Kendeou & Van den Broek 2005, 2007).

Η Hynd (2003) ερμηνεύοντας την αποτελεσματικότητα των ανατρεπτικών κειμένων υποστηρίζει ότι είναι πιθανό να συμβάλλουν στην επίτευξη εννοιολογικής αλλαγής, επειδή ακριβώς πληρούν τα τέσσερα κριτήρια για την πραγμάτωση της εννοιολογικής αλλαγής όπως διατυπώθηκαν από τον Posner το 1982. Αρχικά, συντελλούν στο να συγκρουστεί ο μαθητής με τις γνώσεις που ήδη έχει και στη συνέχεια προτείνουν μια νέα (επιστημονικά ορθή) γνώση που είναι όμως κατανοητή, εύλογη και επικοδομητική (Duit & Treagust, 2003, Posner, κ.ά., 1982). Είναι ευδιάκριτη, λοιπόν, η σχέση των ανατρεπτικών κειμένων με τη θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής, καθώς τα κείμενα αυτά στοχεύουν στην ανατροπή των παρανοήσεων που έχουν οι μαθητές και στην εννοιολογική αλλαγή (Tippett, 2004, 2010).

Επιπροσθέτως, είναι σημαντικό να επισημανθεί πως η τεχνική των ανατρεπτικών κειμένων είναι σε θέση να υλοποιήσει την πολυπαραγοντική προσέγγιση στη μάθηση. Στα πλαίσια της προσέγγισης αυτής προτείνεται να ενθαρρύνεται και να καλλιεργείται η μεταγνωστική επαγρύπνηση του μαθητή (Limon, 2001, Palmer, 2003). Επιπλέον, με τη χρήση των αντρεπτικών κειμένων στη διδασκαλία ο μαθητής ενθαρρύνεται να γράψει, κάτι που είναι ιδιαίτερα σημαντικό όταν τίθεται ο στόχος της επίτευξης εννοιολογικής αλλαγής ή της απόκτησης εννοιολογικής γνώσης (Mason, 2007).

Είναι σημαντικό να επισημανθεί πως έχουν γίνει ερευνητικές προσπάθειες για την εύρεση της ορθότερης χρήσης των ανατρεπτικών κειμένων στη διόρθωση παρανοήσεων (Gadgil, κ.ά., 2012).

Ειδικότερα φαίνεται πως τα ανατρεπτικά κείμενα έχουν αποτελεσματικότερη λειτουργία στη μάθηση όταν στοχεύουν στη διόρθωση συγκεκριμένων παρανοήσεων. Αντίθετα, όταν πρόκειται να διορθωθούν στο σύνολό τους νοητικά μοντέλα των μαθητών θα πρέπει να εφαρμόζονται διαφορετικές τεχνικές (Gadgil, κ.ά., 2012).

Τα ανατρεπτικά κείμενα αμφισβητούν την εγκυρότητα των λανθασμένων αντιλήψεων του αναγνώστη-μαθητή (Tippett, 2010). Είναι δομημένα με στόχο να ενεργοποιήσουν αρχικά την υπάρχουσα γνώση του μαθητή και να ακολουθήσει αντιπαράθεση αυτής με την επιστημονική άποψη που παρουσιάζεται στο ανατρεπτικό κείμενο (σύγκρουση & αντίκρουση) (Diakidoy, κ.ά.,

2016, Kendeou & Van den Broek, 2008). Μέσα από τις έρευνές τους οι Kendeou & Van den Broek (2007 & 2008) όρισαν τις ιδιότητες αυτές των ανατρεπτικών κειμένων ως “ταυτόχρονη ενεργοποιήση» (co-activation). Ανάμεσα στις πληροφορίες που παρατίθενται στο κείμενο, ενώ, συνυπάρχουν εναλλακτική ιδέα και επιστημονική άποψη, αναμένεται από το μαθητή να προβεί σε ερμηνείες και συγκρίσεις. Υπάρχουν δηλαδή σαφείς ενδείξεις για τη σύγκρουση μεταξύ εναλλακτικών αντιλήψεων και επιστήμης, αλλά ο μαθητής θα πρέπει επιπλέον να κατανοήσει σε βάθος το κείμενο, να αντιπαραβάλλει αντικρουόμενες θεωρήσεις και να επιχειρηματολογήσει για την ορθότητα της επιστήμης έναντι λανθασμένων αντιλήψεων (Diakidoy, κ.ά. , 2016, Tippett, 2010).

Επιδιώκεται, λοιπόν, τα εφόδια που δίνονται στο μαθητή υπό μορφή πληροφοριών μέσα στο ανατρεπτικό κείμενο να αξιοποιηθούν δημιουργικά από τον ίδιο και να συγκριθούν με τις προσωπικές του ιδέες και απόψεις. Ερευνητικά όλη αυτή η δουλειά από μέρους του μαθητή αναφέρεται ως «γνωστική επεξεργασία» (actual cognitive work) (Kendeou, κ.ά., 2014).

1.3.2. Ορισμός, δομή και περιεχόμενο ανατρεπτικού κειμένου

Ανατρεπτικά, λοιπόν, ονομάζονται τα κείμενα στα οποία αρχικά δηλώνεται μια παρανόηση των μαθητών και αμέσως αυτή αντικρούεται με τη χρήση επιστημονικά ορθής επιχειρηματολογίας (Broughton, κ.ά., 2010, Christou, 2012, Kendeou, κ.ά., 2014).

Αρχικά δηλώνεται στο κείμενο η διαπραγματευόμενη εναλλακτική ιδέα και στη συνέχεια παρουσιάζεται η μαθηματικώς ορθή άποψη. Επιπλέον, αναφέρεται ότι η εναλλακτική ιδέα είναι λανθασμένη και ακολουθεί απόδειξη για την εγκυρότητα της αντίστοιχης επιστημονικά αποδεκτής άποψης (Kendeou, κ.ά. , 2014, Tippett, 2010). Κάποιες φορές υπάρχουν επιπλέον σχόλια που βοηθούν το μαθητή να κατανοήσει το γεγονός ότι υπάρχουν εναλλακτικές αντιλήψεις παράλληλα με τη θεμελιωμένη επιστημονικά άποψη (Tippett, 2010). Ωστόσο, τελικά, οι ερευνητές φαίνεται να συγκλίνουν στη χρήση ανατρεπτικού κειμένου μικρού σε έκταση (1-2 παράγραφοι), όπου περιλαμβάνουν το σύνολο των πληροφοριών (Lem, 2017, κ.ά., Tippett, 2010).

Βέβαια, δεν πρόκειται για δομικά μέρη που αναμένεται να αναγνωριστούν σε ένα ανατρεπτικό κείμενο, αλλά όπως επισημαίνεται από τους Kendeou, Walsh, Smith και O’Brien (2014) είναι κρίσιμο και καθοριστικό για τα ερευνητικά αποτελέσματα η έκταση των προαναφερθέντων, η θέση τους μέσα στο σώμα του κειμένου, αλλά και η υπεροχή τους ανάμεσα στις υπόλοιπες πληροφορίες του

κειμένου. Σκόπιμο κάποιες φορές είναι τα ανατρεπτικά κείμενα να συνοδεύονται από φωτογραφίες, σχεδιαγράμματα ή σχήματα (Diakidoy, κ.ά., 2016, Diakidoy,κ.ά., 2003, Lem, κ.ά., 2016, Mason, κ.ά., 2017, Tippett, 2010). Ωστόσο, επειδή στην παρούσα διπλωματική διερευνάται η αποτελεσματικότητα του ανατρεπτικού κειμένου στα μαθηματικά, αυτά αντικαθίστανται από αριθμητικά παραδείγματα. Οι προηγούμενες έρευνες, ωστόσο, αφορούσαν τις φυσικές επιστήμες, οπότε οποσδήποτε είναι απαραίτητες κάποιες αλλαγές για τη χρήση τους σε μαθηματικές έννοιες.

Οι πιο πρόσφατες έρευνες επισημαίνουν πως η δομή των ανατρεπτικών κειμένων δεν αποτελεί απλώς ένα αναγνωριστικό χαρακτηριστικό που τα διακρίνει από τα παραδοσιακά κείμενα των διδακτικών εγχειριδίων. Αντίθετα, η αποτελεσματικότητά τους φαίνεται να εξαρτάται από τη συγκεκριμένη δομή που αυτά θα έχουν (Kendeou, κ.ά., 2014, Sinatra & Broughton, 2011, Skopeliti &

Vosniadou, 2008, Tippett, 2010).

Τέλος, όσον αφορά στο ίδιο το περιεχόμενο των ανατρεπτικών κειμένων τίθεται το ερώτημα των κριτηρίων με βάση των οποίων θα επιλέξουμε τις πληροφορίες τις οποίες θα συμπεριλάβουμε σε αυτά (Sinatra & Broughton, 2011, Skopeliti & Vosniadou, 2008). Πόσες πληροφορίες (γνώσεις) θα ανατραπούν; Το ανατρεπτικό κείμενο θα εστιάζει σε 1 ή περισσότερες εναλλακτικές ιδέες; Τι είδος πληροφοριών θα είναι καταλληλότερο για τους μαθητές; Ειδικότερα, έχει προταθεί σε προηγούμενες έρευνες να δίνονται παραδείγματα, αντιπαραδείγματα (Zazkis & Chernoff, 2008), και

«επιχειρήματα» (causal explanations) (Kendeou, κ.ά., 2014), ώστε να είναι περισσότερο κατανοητό το ανατρεπτικό κείμενο στους μαθητές.

1.3.3. Η αποτελεσματικότητα των ανατρεπτικών κειμένων

Η μελέτη της βιβλιογραφίας δείχνει ότι η εισαγωγή των ανατρεπτικών κειμένων στη διδασκαλία των θετικών επιστημών βοηθά τους μαθητές να περιορίσουν τα λάθη τους, διορθώνει τις παρανοήσεις και συμβάλλει στην προώθηση της εννοιολογικής αλλαγής (Palmer, 2003, Tippett, 2010), μάλιστα κάποιες φορές με μακροπρόθεσμα αποτελέσματα (Kendeou, κ.ά., 2014).

Οι περισσότερες έρευνες ελέγχουν την αποτελεσματικότητα του ανατρεπτικού κειμένου περιορίζει τις λανθασμένες απαντήσεις σε παρανοήσεις που αφορούν τις φυσικές επιστήμες (βιολογία, φυσική, γεωγραφία) (Broughton & Sinatra, 2011, Tippett,2010) σε διαφορετικές ηλικίες μαθητών

(δημοτικό, γυμνάσιο, λύκειο) και φοιτητών (Ariasi & Mason, 2011, Tippett, 2010). Ωστόσο, η παρούσα διπλωματική σκοπό έχει τη διερεύνηση του βαθμού στον οποίο ένα ανατρεπτικό κείμενο μπορεί να βοηθήσει τους μαθητές να διορθώσουν λανθασμένες αντιλήψεις στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στη διόρθωση της παρανόησης ο ποπλλαπλασιασμός μεγαλώνει που πηγάζει από την προκατάληψη του φυσικού αριθμού. Συνεπώς, κρίνεται σκόπιμη η αναλυτικότερη παρουσίαση των ευρημάτων ερευνών που αξιοποίησαν τη μέθοδο του ανατρεπτικού κειμένου για τη διόρθωση παρανοήσεων στα μαθηματικά, αν και δεν υπάρχουν πολλές, και ειδικότερα τα αποτελέσματα των Lem, Onghena, Verschaffel & Van Dooren (2016,2017). Εκεί αξιοποιείται το ανατρεπτικό κείμενο για τη διόρθωση παρανοήσεων σε στατιστικά γραφήματα με θετικά αποτελέσματα.

Πιο συγκεκριμένα, το ανατρεπτικό κείμενο βοήθησε τους συμμετέχοντες στην έρευνα να βελτιώσουν τις επιδόσεις τους, διορθώνοντας στον Μεταέλεγχο (Post-test) λάθη που έκαναν πριν την επεξεργασία του ανατρεπτικού κειμένου (Lem, κ.ά., 2017, Lem, κ.ά., 2016). Ωστόσο, δεν βοήθησε στο να διορθωθούν εντελώς οι παρανοήσεις των μαθητών σχετικά με τα στατιστικά γραφήματα (Lem, κ.ά., 2016) και αμφισβητείται τελικά από τους ερευνητές η δυνατότητα του ανατρεπτικού κειμένου να επιφέρει μακροπρόθεσμα αποτελέσματα (Lem, κ.ά., 2017). Ε�