[PENDING] (1)1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ “ΚΥΜΑΤΑ ΠΙΕΣΗΣ ΣΤΟ ΑΙΜΑ:ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΗΣ KDV ΣΕ ΑΡΤΗΡΙΕΣ” ΜΟΛΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΚΥΜΑΤΑ ΠΙΕΣΗΣ ΣΤΟ ΑΙΜΑ:ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΗΣ KDV ΣΕ ΑΡΤΗΡΙΕΣ” Μόλης Αλέξανδρος Επιβλέπων καθηγητής Ρόθος Βασίλειος Καθηγητής Τμήμα μηχανολόγων μηχανικών Συν-επιβλέπων καθηγητής Τσίτσας Νικόλαος Επίκουρος καθηγητής Τμήμα πληροφορικής ΑΠΘ Θεσσαλονίκη,2019 (4)4 Abstract Our study aims to analyze a case where KdV has an application in biophysics

1

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

“ΚΥΜΑΤΑ ΠΙΕΣΗΣ ΣΤΟ ΑΙΜΑ:ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΗΣ KDV ΣΕ ΑΡΤΗΡΙΕΣ”

ΜΟΛΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2019

2

3

“ΚΥΜΑΤΑ ΠΙΕΣΗΣ ΣΤΟ ΑΙΜΑ:ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΗΣ KDV ΣΕ ΑΡΤΗΡΙΕΣ”

Μόλης Αλέξανδρος Επιβλέπων καθηγητής

Ρόθος Βασίλειος Καθηγητής

Τμήμα μηχανολόγων μηχανικών

Συν-επιβλέπων καθηγητής

Τσίτσας Νικόλαος Επίκουρος καθηγητής Τμήμα πληροφορικής ΑΠΘ

Θεσσαλονίκη,2019

4

Abstract

Our study aims to analyze a case where KdV has an application in biophysics. More specifically, using a relatively simple model for arteries, it is possible to create a system of three non linear equations with partial derivatives for the artery cross section, blood velocity and pressure. From that system, as well as using disruptive theory, we introduce the partial differential equation of KdV type for blood pressure, and from the dynamics of the soliton it is possible to answer the question of how it is possible to measure blood pressure from our wrist. Our study will commence from a more general analysis of applied mathematics, and more specifically of the usual or even the non usual differential equations, after we first present a brief and appropriate historical background. Then, our study will emphasize on the models of the differential equations, beginning from the distinction between the linearity or non-linearity of an equation. We will emphasize on the diffusion equations.

Specifically, we will emphasize on the heat equation 𝑢_"− 𝑘𝑢_%% = 0, where k is the coefficient of thermal diffusion, as well as the corresponding boundary problems that emerge. Furthermore, Laplace equation is really important on our case study. A rather important tool, that we will emphasize on, is the Fourier transdormation.

Actually, the fourier method is the basic method of constructing solution of PDE’s in finite fields with regard to the spatial variables. This method commences with a rather simple idea, assuming that the solution of the PDE is a linear combination of the eigenfunctions of a relative Stourm-Liouville operator.

After this introduction, we focus on the soliton and it’s practical application.

5

Περίληψη

Η μελέτη μας έχει σκοπό να εξετάσει μια περίπτωση που η KdV εχει εφαρμογή στη βιοφυσική. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας ένα σχετικά απλό μοντέλο για τις αρτηρίες, είναι δυνατόν κάποιος να κατασκευάσει ένα σύστημα τριών μη γραμμικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους για τη διατομή της αρτηρίας, την ταχύτητα του αίματος και την πίεση. Από αυτό το σύστημα, και χρησιμοποιώντας τη θεωρία διαταραχών, εξάγεται η ΜΔΕ τύπου ΚdV για την πίεση του αίματος, και απο τη δυναμική του σολιτονίου είναι δυνατόν να απαντήσουμε στο ερώτημα του πως γίνεται η πίεση του αίματος να μετρηθεί στον καρπό του χεριού. Η μελέτη μας αρχικά ξεκινάει από μια γενικότερη μελέτη των εφαρμοσμένων μαθηματικών, και πιο συγκεκριμένα των συνήθων καθώς και μη διαφορικών εξισώσεων, αφού γίνει πρώτα μια κατάλληλη και σύντομη ιστορική αναδρομή. Ακολούθως, η μελέτη μας εστιάζει στα μοντέλα των διαφορικών εξισώσεων, ξεκινώντας αρχικά από τον διαχωρισμό της γραμμικότητας ή μη μιας διαφορικής εξίσωσης. Δίνεται έμφαση στις εξισώσεις διάχυσης. Πιο συγκεκριμένα, στην εξίσωση θερμότητας, 𝑢_"− 𝑘𝑢_%% = 0, όπου k είναι ο συντελεστής θερμικής διάχυσης, καθώς και στα αντίστοιχα προβλήματα συνοριακών τιμών που προκύπτουν. Επίσης, ιδιαίτερα σημαντικές κρίνονται, στο πλαίσιο της εργασίας μας, η εξίσωση Laplace, όσον αφορά τις εξισώσεις ισορροπίας, καθώς και οι ολοκληρωτικές ταυτότητες. Σημαντικό εργαλείο επίσης, το οποίο μελετάται, είναι οι μετασχηματισμοί fourier. Η μέθοδος Fourier, μάλιστα, όσον αφορά τα αναπτύγματα σε ιδιοσυναρτήσεις, είναι η βασική μέθοδος κατασκευής λύσεων ΜΔΕ σε πεπερασμένα χωρία ως προς τις χωρικές μεταβλητές. Η μεθοδος αυτή ξεκινά με μια σχετικά απλή βασική ιδέα, υποθέτοντας ότι η λύση της ΜΔΕ είναι γραμμικός συνδυασμός των ιδιοσυναρτήσεων ενός σχετικού τελεστή Stourm-Liouville.

Μετά από το εισαγωγικό αυτό υπόβαθρο, επικεντρώνουμε στο σολιτόνιο, την εμβάθυνση στο θεωρητικό του πλαίσιο, καθώς και τη πρακτική του εφαρμογή.

6

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφαλαιο 1

^ο

:Ιστορική

αναδρομή………..7

Kεφαλαιο 2

^ο

:Η εξίσωση KdV……….10

2.1:Η KdV σαν Χαμιλτονιανό σύστημα……….. …………..13

2.2:Η KdV ως εξίσωση Lax………..14

2.3:Η ιεραρχία της KdV………..15

Κεφαλαιο 3

^ο

:To πρόβλημα αρχικών τιμών για την KdV……….16

3.1.Αντίστροφη διασκόρπιση και η εξίσωση της KdV……….17

3.2.Χρονική εξέλιξη των διασκορπιζόμενων δεδομένων……….18

Kεφαλαιο 4

^ο

:Κατασκευή της λύσης:Σύνοψη………..22

Kεφαλαιο 5

^ο

:Δυναμικές μη γραμμικών κυμάτων πίεσης στο αίμα σε μεγάλες αρτηρίες………32

Σύνοψη………..41

Επίλογος………42

Βιβλιογραφία………43

7 Κεφάλαιο 1^ο :Ιστορική αναδρομή

Η εξίσωση ΚdV παρατηρήθηκε αρχικά από τον John Russell.Το 1834 στο κανάλι ένωσης ανάμεσα στο Εδιμβούργο και τη Γλασκώβη, ο Russell έκανε μια αξιοσημείωτη ανακάλυψη. Παρατηρώντας τη κίνηση μιας βάρκας η οποία σερνόταν κατά μήκος ενός καναλιού από ένα ζευγάρι αλόγων, η βάρκα ξαφνικά σταμάτησε, αλλά όχι και το νερό του καναλιού το οποίο την είχε θέσει σε κίνηση. Μαζεύτηκε γύρω από τη πρύμνη της βάρκας σε μια έντονη κατάσταση. Έπειτα, ξαφνικά, αφήνοντας τη βάρκα πίσω, κινήθηκε εμπρός με μεγάλη ταχύτητα, παίρνοντας τη μορφή μιας μεγάλης σολιτονιακής κλιμάκωσης, συνεχίζοντας τη πορεία του χωρίς να φαίνεται διαφορά στη μορφή ή στη διάδοση της ταχύτητας.

Την εποχή εκείνη η προϋπάρχουσα θεωρία για να κύματα ήταν γραμμική. Για την ακρίβεια, οι εξειδικευμένοι μαθηματικοί της εποχής εκείνης απέρριψαν τις παρατηρήσεις του Russell, καθώς πίστευαν ότι ερχόταν σε αντίθεση με τους νόμους της κίνησης των υγρών. Στη πραγματικότητα, για την γραμμική εξίσωση KdV, κάθε κύμα είναι η υπέρθεση των περιοδικών κινούμενων κυμάτων τα οποία διασκορπίζονται με τον χρόνο. Παρ’όλα αυτά, ο Russell δεν έπαψε να αμφισβητεί τη σημασία των ανακαλύψεών του, γεγονός που αποδεικνύεται από το ότι εκτίμησε σωστά το ύψος της ατμόσφαιρας της γης. Ο ίδιος ο Russell περιέγραψε ένα υδροδυναμικό μονήρες (σολιτονιακό) κύμα. [Russell,1844]. Το κύμα παράγεται διαδίδοντας ξαφνικά μια μάζα νερού στο αριστερό άκρο της δεξαμενής, από το γεγονός ότι ο ήχος του κανονιού ταξιδεύει ταχύτερα από την εντολή να πυροδοτηθεί.[Russell,1885].

To 1895, Oι Diederik Korteweg και Henrik de Vries εξέδωσαν μια θεωρία σχετικά με ρηχά νερά η οποία ανήγαγε το πρόβλημα του Russell στα βασικά του χαρακτηριστικά. Ένα από τα αποτελέσματά τους ήταν η μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση:

)*

)"

+ 𝑐

^)*

)%

+ε

^-_)%^.*_.

+ 𝛾𝑢

^)*

)%=0 (1.1) [Korteweg & de Vries, 1895]

Στην οποία θα αναφερθούμε εκτενέστερα στη συνέχεια.

Αν και δεν αναγνωρίστηκε την εποχή εκείνη, ένα τέτοιο μονήρες κύμα το οποίο διατηρεί ενέργεια είναι άμεσα συσχετισμένο με την ύπαρξη μιας τεχνικής μετασχηματισμού η οποία προτάθηκε από τον Backlund το 1885.[Lamb,1976]. Με τη χρήση αυτού του μετασχηματισμού του Backlund, μια γνωστή λύση παράγει μια νέα λύση μέσω μιας ολοκλήρωσης , μετά από την οποία η νέα λύση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παράγει μια νέα λύση, και πάει λέγοντας. Είναι εφικτό να

8 βρεθεί ένας ανάλογος μετασχηματισμός για κάθε γραμμική ΜΔΕ, η οποία συστήνει μια νέα ιδιοσυνάρτηση στη συνολική λύση, με κάθε εφαρμογή του μετασχηματισμού. Μόνο ορισμένες μη γραμμικές ΜΔΕ έχουν ανάλογους μετασχηματισμούς, αλλά οι μαθηματικοί του 19^ου αιώνα γνώριζαν ότι αυτές περιλαμβάνουν και την εξής:

-⁰*

-1-2

= 𝑠𝑖𝑛𝑢 (1.2)

η οποία προέκυψε στην έρευνα πάνω στη γεωμετρία των καμπυλωτών επιφανειών.

Στο τέλος του 1940, oι Enrico Fermi, John Pasta και Stan Ulam, πρότειναν ένα από τα πρώτα επιστημονικά προβλήματα που ανατέθηκα στην υπολογιστική μηχανή MANIAC. Τη δυναμική της διάδοσης της κινητικής ενέργειας σε ένα ελαφρώς μη γραμμικό κρυσταλλικό πλέγμα, το οποίο σχετίζεται με τη θερμική αγωγιμότητα.

Στην έρευνα αυτή, παρατηρήθηκε το εξής παράδοξο. Αν όλη η ενέργεια είναι αρχικά στη μορφή της χαμηλότερης συχνότητας, επιστρέφει σχεδόν εξολοκλήρου στη μορφή αυτή μετά από μια περίοδο διάδρασης ανάμεσα σε μερικές άλλες μορφές χαμηλής συχνότητας. Στη σειρά μερικών αριθμητικών βελτιώσεων, καμία θερμικοποίηση δε παρατηρήθηκε. Η μετέπειτα έρευνα που ακολούθησε, ανέφερε αριθμητικές παρατηρήσεις ότι τα KdV σολιτονιακά κύματα περνούν το ένα μέσα από το άλλο χωρίς καμία αλλαγή στο σχήμα ή στη ταχύτητα, και εισήγαγαν την έννοια «σολιτόνιο» για να προτείνουν την ιδιότητα αυτή.

Το αποτέλεσμα αυτό δεν εξέπληξε τους μαθηματικούς του 19^ου αιώνα , καθώς είναι το δεύτερο μέλος της ιεραρχίας των λύσεων που παράγονται από έναν μετασχηματισμό BT. Oύτε και θα ήταν μη αναμενόμενο από τον Seeger τους συνεργάτες του, που σημείωσαν το 1953 τις σχέσεις ανάμεσα στη δουλειά του 19^ου αιώνα και τις σπουδές των Frenkel και Kontorova.

Στη δεκαετία του 1960, η εξίσωση των Frenkel και Kontorova,η οποία αναγράφεται παρακάτω, εμφανίστηκε σε μια σειρά προβλημάτων:

-⁰*

-%⁰

−

^-0*

-"⁰

= 𝑠𝑖𝑛𝑢 (1.3)

Από μια στιγμή και μετά, η εξίσωση αυτή έμεινε γνωστή ως εξίσωση sine-Gordon, μια μη γραμμική εκδοχή της εξίσωσης Klein-Gordon.[Frenkel και Kontorova,1939].

Ίσως η πιο σημαντική συνεισφορά που έγινε από τους Zabursky και Kruskal στην εργασία τους το 1965 ήταν να αναγνωρίσουν τη σχέση μεταξύ των μη καταστρεπτικών σολιτονιακών συγκρούσεων και του γρίφου της FPU

9 επανεμφάνισης. [Zabusky & Kruskal, 1965] . Βλέποντας τα KdV σολιτόνια σαν ανεξάρτητες και τοπικές δυναμικές οντότητες, εξήγησαν της FPU παρατηρήσεις με τον ακόλουθο τρόπο. Η αρχική συνθήκη παράγει μια οικογένεια σολιτονίων με διαφορετικές ταχύτητες , κινούμενες επάνω στο x-t επίπεδο. Από τη στιγμή που το σύστημα το οποίο μελετήθηκε ήταν πεπερασμένου μήκους με τέλειες αντανακλάσεις και στα 2 άκρα, τα σολιτόνια δε μπορούσαν να κινηθούν απείρως μακριά. Αντίθετα, κάποια στιγμή επανήλθαν στο x-t επίπεδο, σχεδόν επαναδημιουργώντας την αρχική συνθήκη μετά από παραδόξως πολύ μικρό χρονικό διάστημα.[Zabursky και Κruskal,1965]

Μια ακόμη εξέλιξη της δεκαετίας του 1960 υπήρξε η ανακάλυψη ακριβώς δυσολιτονιακών αλληλεπιδράσεων σε ένα μη γραμμικό σύστημα[Toda,1967]. Όσον αφορά το σύστημα FPU, ίσες μάζες υποτέθηκαν ότι είναι διασυνδεμένες με μη γραμμικά ελατήρια, αλλά ο Toda επέλεξε το εξής:

(⁶₇

)[𝑒

^;7*<

− 1] + 𝛼𝑢

_@ (1.4)

Όπου 𝑢_@(𝑡) είναι η επέκταση γεωγραφικού μήκους του j ελατηρίου από την τιμή ισορροπίας του και τα a,b είναι ρυθμιζόμενες παράμετροι. Έτσι, μέχρι το τέλος του 1960 ήτανε πλέον φανερό πως τα σολοτόνια δεν περιορίζονταν σε μερικές διαφορικές εξισώσεις, αλλά τοπικές λύσεις και άλλων διαφορικών εξισώσεων μπορούσαν να εκθέσουν τις απροσδόκητες ιδιότητες των σταθερών ταχυτήτων και σχημάτων μετά από συγκρούσεις.΄

Οι φυσικοί στερεών σωμάτων άρχισαν να βλέπουν σχέσεις ανάμεσα στα σολιτονιακά τους κύματα και σε αυτά από την κλασσική υδροδυναμική και ωκεανογραφία, ενώ οι επιστήμονες των εφαρμoσμένων μαθηματικών άρχισαν να υποπτεύονται πως η ISM θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για ένα ευρύτερο φάσμα μη γραμμικών κυματικών εξισώσεων. Μέσα σε αυτόν τον αναβρασμό ο Newell και οι συνεργάτες του οργάνωσαν το πρώτο εργαστήρι έρευνας σολιτονίων, κατά τη διάρκεια του καλοκαιριού του 1972.[Newell,1974]. Οι Σοβιετικοί Ζαχαροφ και Σαμπατ δημιουργώντας την ISM για τη μη γραμμική ΜΔΕ[Ζαχαροφ και Σαμπατ,1972]:

𝑖

^-*

-"

+

^-0*

-%⁰

+ 2|𝑢

^E

|𝑢 = 0 (1.5)

Σε αντίθεση με την KdV, η εξαρτημένη μεταβλητή της εξίσωσης είναι μιγαδικός και όχι πραγματικός αριθμός, επομένως η εξέλιξη των δύο ποσοτήτων κυβερνώνται

10 από την εξίσωση. Επομένως, η προηγούμενη εξίσωση είναι στην ουσία η μη γραμμική γενίκευση της γραμμικής εξίσωσης :

𝑖𝑢

_"

+ 𝑢

_%%

+ 𝑢 = 0 (1.6)

Aπό τα μέσα του 1970, η έννοια του σολιτονίου έχει καθιερωθεί σε διάφορες περιοχές της εφαρμοσμένης επιστήμης, και δεκάδες μη γραμμικά συστήματα πλέον θεωρούνται ολοκληρώσιμα μέσω της ISM. Έτσι, δε θεωρείται έκπληξη να βρίσκει κανείς τοπικές περιοχές ενέργειας, εξισορροπώντας τα αντίθετα αποτελέσματα της μη γραμμικότητας και της διασποράς, αναπαριστώντας της βασικές ιδιότητες των αντικειμένων.

Κεφάλαιο 2^ο :Η εξίσωση KdV

Όπως προείπαμε, η εξίσωση KdV, 𝑢_"+ 6𝑢𝑢_% + 𝑢_%%%= 0(2.1) ,εκφράζει μια ισορροπία ανάμεσα στην διασπορά από τον τριτοβάθμιο όρο του και την τάση του να δημιουργεί σοκ στον πρωτοβάθμιο όρο του, και στη πραγματικότητα πολλά μοντέλα μονοδιάστατων φυσικών συστημάτων που εκθέτουν την ήπια διασπορά και την αδύναμη μη γραμμικότητα οδηγούν στη KdV ως καθοριστική εξίσωση.

Για να βρούμε τις κυματικές λύσεις της εξίσωσης KdV, η διαδικασία είναι απλή.

Αντικαθιστώντας την Ansatz 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡) στην KdV παίρνουμε τη συνήθη διαφορική εξίσωση – 𝑐𝑓^ʹ+ 6𝑓𝑓^ʹ+ 𝑓^ʹʹʹ και προσθέτοντας σαν συνοριακή συνθήκη το γεγονός ότι η f θα ‘πρεπε να απαλειφεί όσο τείνει στο άπειρο, ένας σύνηθης υπολογισμός οδηγεί στην οικογένεια των κυματικών εξισώσεων με δύο παραμέτρους [Αblowitz,1974]:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 2𝑎

^E

𝑠𝑒𝑐ℎ

^E

M𝑎(𝑥 − 4𝑎

^E

𝑡 + 𝑑)P.(2.2)

Aυτά είναι τα σολιτονιακά κύματα που είδε ο Russell, και πλέον αναφερόμαστε συχνά σε αυτά σε μονο σολιτονιακές λύσεις της KdV. Αυτές οι λύσεις βρέθηκαν από τον Korteweg και τον de Vries, οι οποίοι επίσης εκτέλεσαν ακόμα πιο περίπλοκους υπολογισμούς που προκύπτουν όταν κάποιος υποθέσει τη περιοδικότητα σαν συνοριακή συνθήκη. [Ablowitz,1974]. Το προφίλ του περιοδικά κινούμενου κύματος δίνεται από την ελλειπτική συνάρτηση Jacobi:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 2𝑎

^E

𝑘

^E

𝑐𝑛

^E

M𝑎(𝑥 − 4(2𝑘

^E

− 1)𝑎

^E

𝑡)P (2.3)

Eν συνεχεία, ακολουθώντας τον Τoda, θα παραγωγίσουμε τις n-σολιτονιακές λύσεις της KdV. Πρώτα ξαναγράφουμε την 1-σολιτονιακή λύση ως

11

𝑢(𝑥, 𝑡) = 2_-%^-0₀

𝑙𝑜𝑔𝐾(𝑥, 𝑡)

(2.4), με το K στη μορφή

𝛫

(

𝑥, 𝑡

)

= 1 + 𝐴

₁

𝑒

^2𝜂1

+ 𝛢

₂

𝑒

^2𝜂2

+ 𝛢

₃

𝑒

^{2(𝜂1+𝜂2)}

(2.5).[

Drazin και Johnson,1969]. Οι λύσεις που προκύπτουν από την KdV με αυτόν τον τρόπο ονομάζονται –σολιτονιακές λύσεις της KdV.

Kάθε αρχική συνθήκη 𝑢_[ για την KdV εξίσωση μπορούμε να πούμε ότι φτιάχνεται από 2 μέρη: Μια n-σολιτονιακή λύση για κάποιο n, και μια διασκορπιστική «ουρά».

Η ουρά είναι παροδική, τείνει γρήγορα στο μηδέν στη supremium νόρμα, ενώ το ν- σολιτονιακό κομμάτι συμπεριφέρεται με εύρωστο τρόπο που είναι η προφανής γενίκευση για την 2-σολιτονιακή συμπεριφορά.

Οι Zabusky και Kruskal, εκτέλεσαν ένα υπολογιστικό πείραμα. Για αριθμητικούς λόγους επέλεξαν να ασχοληθούν με την περιοδική συνοριακή συνθήκη, μελετώντας την εξίσωση KdV

𝑢

_"

+ 𝑢𝑢

_%

+ 𝛿

^E

𝑢

_%%%

= 0(2.6)

σε κύκλο αντί για ευθεία. Για την εκδοθείσα αναφορά, επέλεξαν δ=0.022 και χρησιμοποίησαν την αρχική συνθήκη

𝑢(𝑥, 0) = cos (𝜋𝑥)(2.7)

[Zabusky & Kruskal, 1965]

Μετά την εργασία αυτή, έγιναν προσπάθειες για να γίνει κατανοητό τι ήταν τόσο ξεχωριστό το οποίο οδήγησε στο φαινόμενο του σολιτονίου. Ίσως επειδή το σολιτόνιο περιλαμβάνει τη διατήρηση του σχήματος, μια υπόθεση ήταν πως η ροή της KdV μπορεί να έχει ασυνήθιστα πολλές σταθερές της κίνησης, και μια αναζήτηση ξεκίνησε για «πολυωνυμικούς νόμους διατήρησης». Για παράδειγμα, τα πολυώνυμα 𝑃(𝑢, 𝑢_%, 𝑢_%%, … . ) έτσι ώστε τα χωρικά παράγωγά τους όπως το

∫ 𝑃(𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑢_;∞^∞ _%(𝑥, 𝑡), 𝑢_%%(𝑥, 𝑡), … . )𝑑𝑥 να είναι ανεξάρτητα του t για όλες τις λύσεις u(x,t) της KdV που εξαφανίζονται αρκετά γρήγορα στο άπειρο. [Zabusky &

Kruskal, 1965]

Μια ικανή συνθήκη για αυτό είναι ότι κάθε λύση της KdV θα πρέπει να ικανοποιεί έναν νόμο διατήρησης με το ,όπως η πυκνότητα, για παράδειγμα, θα πρέπει να υπάρχει μια αντίστοιχη ροή, 𝐽(𝑢, 𝑢_%, 𝑢_%%, … . ) τέτοια ώστε η εξίσωση ^-e_-"

+

^-f

-%

να ακολουθεί σαν επίσημη συνέπεια της KdV εξίσωσης. Αν είναι όντως έτσι, θα ονομάζουμε το u μια διατηρημένη πυκνότητα της KdV.

Πάντως, η KdV από μόνη της είναι ένας νόμος διατήρησης

𝑢

_"

+ (3𝑢

^E

+ 𝑢

_%%

)

_%

= 0 (2.8)

12 Επίσης, αν πολλαπλασιάσουμε την KdV με το u, μπορούμε να ξαναγράψουμε το αποτέλεσμα σαν

(

^g

E

𝑢

^E

)

_"

+ (2𝑢

^h

+ 𝑢𝑢

_%%

−

^g

E

𝑢

_%^E

)

_%

= 0

(2.9).Επομένως,το 𝑢^E είναι μια δεύτερη διατηρημένη πυκνότητα για την KdV. Τέλος, πολλαπλασιάζοντας την KdV με τον ίδιο παράγοντα, βρίσκουμε ότι το (−𝑢^h

+

^g

E

𝑢

_%^E

)

είναι μια τρίτη

διατηρημένη πυκνότητα της KdV, με συσχετιζόμενη ροή την (−ⁱ_E

𝑢

^j

− 3𝑢

^E

𝑢

_%%

+ 6𝑢𝑢

_%^E

+ 𝑢

_%

𝑢

_%%%

−

^g

E

𝑢

_%%^E ) (2.10)

Αυτές οι τρεις είναι κλασσικές εξισώσεις, με την έννοια ότι ήταν γνωστές πολύ πριν την εργασία των Zabusky και Κruskal. Στη πραγματικότητα, όπως βλέπουμε παρακάτω, αναπαριστούν σημαντικές διατηρημένες φυσικές ποσότητες, στη περίπτωση που η KdV μοντελοποιεί ένα κύμα σ’ένα ρηχό κανάλι. Μια τέταρτη διατηρημένη πυκνότητα βρέθηκε από τον Witham, και οι Zabusky και Kruskal ανακάλυψαν δύο ακόμη. Αυτό συνέβη πριν την ύπαρξη της συμβολικής χειραγώγισης σε προγράμματα υπολογιστή όπως ο Macsyma, και τη στιγμή αυτή οι υπολογισμοί γίνονταν ιδιαίτερα επίπονοι.[Kato,1983]. Ακόμα κι έτσι, με αξιοσημείωτη επιμονή και προσπάθεια,ο αριθμός μειώθηκε σε 11, πριν ο Miura, χρησιμοποιώντας παραγωγικές μεθόδους συναρτήσεων, τελικά δείξει ότι αυτά ήταν στη πραγματικότητα τα πρώτα στοιχεία μιας άπειρης ακολουθίας διατηρημένων πυκνοτήτων για την KdV. [Zabusky & Kruskal, 1965]

13 2.1.H ΚdV σαν Χαμιλτονιανό σύστημα

Θα δούμε τώρα την εξίσωση KdV σαν σύστημα Χαμιλτον, με έναν φυσικό και απλό τρόπο. Προκύπτει ότι αυτό το Χαμιλτονιανό σύστημα έχει μια βασική ιδιότητα, που κάποιος θα περίμενε από κάθε γενίκευση σε άπειρες διαστάσεις, στην έννοια της πλήρους ολοκλήρωσης υπό το πρίσμα του Liouville, και συγκεκριμένα απείρου πλήθους συναρτησιακά ανεξάρτητων σταθερών της κίνησης,οι οποίες βρίσκονται σε εμπλοκή. Για λόγους απλότητας, θα λάβουμε ως χώρο P για τον χώρο Schwartz της KdV, τον S(R), των ταχέως μειωνόμενων συναρτήσεων u:R→R, αν και θα μπορούσε να είναι πιθανώς και ένας ακόμα μεγαλύτερος χώρος.[Wineberg,1991]

Αποδεικνύεται ότι στην [BS], η KdV ορίζει μια συμπαντική ροή στον χώρο Sobolev 𝐻^j(𝑅), και δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι ο P είναι υπόχωρος της ροής αυτής.

[Wineberg,1991].Για τα u,v στον P θα σημειώσουμε το 𝐿^E εσωτερικό γινόμενο

∫ 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥_;∞^∞ και ορίζουμε:

𝛺(𝑢, 𝑣) =

^g

E

∫ (𝑣(𝑥)⨜𝑢(𝑥) − 𝑢(𝑥)⨜𝑣(𝑥))𝑑𝑥

_;∞^∞

(2.11)

Όπου ⨜𝑢(𝑥) = ∫ 𝑢(𝑦)𝑑𝑦_;∞^r συμβολίζει το αόριστο ολοκλήρωμα του u.

Σημειώνουμε με 𝜕 τον παραγωγικό τελεστή, άρα 𝜕⨜𝑢=u, και ∫ 𝜕𝑢 = 0,_;∞^∞ για συναρτήσεις u που απαλείφονται στο άπειρο. Επίσης, θα γράφουμε 𝑢_tuv αντί για

𝜕^u𝑢, αλλά για μικρά k χρησιμοποιούμε επίσης 𝑢 = 𝑢_[, 𝑢_% = 𝑢_g, 𝑢_%% = 𝑢_E. Υπάρχει μια απλή αλλά σημαντική σχέση η οποία συνδέει Ω, 𝜕, και το 𝐿^E εσωτερικό γινόμενο: 𝛺(𝜕𝑢, 𝑣) =< 𝑢, 𝑣 >.

Ένα σημαντικό επακόλουθο αυτού είναι το γεγονός ότι προκύπτει ότι v=0. Το Ω είναι προφανώς μια μορφή στον P. Από τη στιγμή που το P είναι ένας διανυσματικός χώρος, μπορούμε ως συνήθως να αναγνωρίσουμε το P με τον εφαπτόμενο χώρο του σε κάθε σημείο, και έπειτα το Ω γίνεται μια σταθερή 2- μορφή στον P. Από τη στιγμή που είναι σταθερά, προφανώς dΩ=0.

Μια δεύτερη συνέπεια της εξίσωσης 𝛺(𝜕𝑢, 𝑣) =< 𝑢, 𝑣 > είναι το γεγονός ότι αν F:P→R είναι μια λεία συνάρτηση στον P, που έχει μια βαθμίδα ⍔f, που αντιστοιχεί στη δομή Riemann στον P, που ορίζεται από το εσωτερικό γινόμενο 𝐿^E, τότε μια συστηματική βαθμίδα της F υπάρχει επίσης.

Από τη στιγμή που ο P δεν είναι πλήρης στη νόρμα 𝐿^E, δεν είναι απαραίτητο ότι ένα συνεχές γραμμικό συναρτησιακό στον P μπορεί να αναπαρασταθεί ως το εσωτερικό γινόμενο με μερικά από τα στοιχεία του P. Έτσι, η ύπαρξη ενός βαθμωτού

14 διανυσματικού πεδίου το οποίο αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση F απαιτεί απόδειξη.[Toda,1969]

2.2 H συνάρτηση KdV ως εξίσωση Lax

Αναπτύσσοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό διασκόρπισης, οι Gardner, Greene, Kruskal και Miura, απέδειξαν ότι υπάρχει μια στενή σχέση ανάμεσα στην εξίσωση KdV και τους χρονοανεξάρτητους τελεστές του Schrodinger,

−

^-0

-%⁰

+ 𝑢.

Aν μια μονοπαραμετρική οικογένεια πιθανών 𝑢(𝑥, 𝑡) εξελισσόταν σύμφωνα με την εξίσωση KdV, τότε η αντίστοιχη μονοπαραμετρική 𝐿(𝑡) τελεστών στον 𝐿^E(𝑅) που δίνονται από τους τελεστές Schrodinger με δυναμικά 𝑢(𝑡)(𝑥) = 𝑢(𝑥, 𝑡) είναι ισοσχερείς.[Lax,1968]

Ο Peter Lax πήγε αυτή τη συζήτηση ένα βήμα πιο πέρα. Έδειξε ότι κάποιος θα μπορούσε να αναδομήσει την εξίσωση KdV σε μια μορφή που πλέον είναι γνωστή σαν εξίσωση Lax, και ως τέτοια είναι ισοδύναμη στην διαπίστωση ότι τα 𝐿(𝑡) εξελίσσονται με ενιαία ισοδυναμία. Αρχικά αναπτύσσουμε την εξίσωση Lax σε ένα αυθαίρετο σύνολο, και έπειτα εφαρμόζουμε τις διαπιστώσεις αυτές στην εξίσωση KdV. Παρεμπιπτόντως, στα ακόλουθα θα είναι βολικό να πάρουμε την KdV στη μορφή

𝑢

_"

− 6𝑢𝑢

_%

+ 𝑢

_%%%

= 0. (2.12)

Κάνοντας την ανάλογη ανάλυση, προκύπτει η εξής αρχή της ισοσχερείας.[Lax,1968]

Έστω Β(t) και U(t) μονοπαραμετρικές οικογένειες αυτοπροσδιοριζόμενων και παρακαμπτώμενων τελεστών, σε έναν χώρο Hilbert H, ικανοποιώντας την εξίσωση Lax 𝐿_" = [𝐵, 𝐿], και έστω ψ(t) μια καμπύλη στον H, που είναι μια λύση της χρονοανεξάρτητης γραμμικής συνήθους διαφορικής εξίσωσης 𝜓_" = 𝐵𝜓.Αν η αρχική τιμή, ψ(0) είναι ιδιοδιάνυσμα του L(0) που ανήκει σε μια ιδιοτιμή λ, το ψ(t) είναι ιδιοδιάνυσμα του L(t) που ανήκει στην ίδια ιδιοτιμή λ. [Lax,1968].

Εξίσου σημαντικό είναι και το ισοφασματικό θεώρημα της KdV. Έστω 𝑢(𝑥, 𝑡) μια λύση της εξίσωσης KdV 𝑢_"− 6𝑢𝑢_%+ 𝑢_%%% = 0 (18), της οποίας η αρχική συνθήκη είναι 𝑢(𝑥, 0) και η ψ(x) είναι μια ιδιοσυνάρτηση της εξίσωσης Schrodinger με δυναμικό 𝑢(𝑥, 0) και ιδιοτιμή λ:

−

^-0

-%⁰

𝜓(𝑥) + 𝑢(𝑥, 0)𝜓(𝑥) = 𝜆𝜓(𝑥) (2.13)

Έστω ψ(x,t) η λύση της εξίσωσης 𝜓_" = 𝐵𝜓,για παράδειγμα:

-}

-"

= −4

^-.}

-%^.

+ 3 ~𝑢(𝑥, 𝑡)

^-}

-%

(𝑥, 𝑡) +

_-%^-

M𝑢(𝑥, 𝑡)𝜓(𝑥, 𝑡)P•(2.14)

15 Με αρχική συνθήκη ψ(x,0)=ψ(x). Τότε, η ψ(x,t) είναι μια ιδιοσυνάρτηση για την εξίσωση Schrodinger με δυναμικό u(x,t) και την ίδια ιδιοτιμή λ:

−𝜓

_%%

(𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥, 𝑡)𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜆𝜓(𝑥, 𝑡) (2.15)

Και επίσης αν ψ(x) βρίσκεται στον 𝐿^E, τότε η 𝐿^E νόρμα του ψ(·,t) είναι ανεξάρτητη του t. Τελικά, αν η ψ(x,t) ικανοποιεί την πρωτοβάθμια εξίσωση εξέλιξης[Lax,1968]:

𝜓

_"

− (4𝜆 + 2𝑢)𝜓

_%

+ 𝑢

_%

𝜓 = 0 (2.16)

Με εξαίρεση την τελευταία πρόταση, αυτή είναι μια άμεση εφαρμογή της ισοφασματικής αρχής. Παραγωγίζοντας την εξίσωση ιδιοτιμών για ψ(x,t) ως προς x, δίνει την εξίσωση:

𝜓

_%%%

= 𝑢

_%

𝜓 + (𝑢 − 𝜆)𝜓

_% (2.17) 2.3 Η Ιεραρχία της KdV

Παρακάτω θα παραθέσουμε τους λόγους που η μορφή Lax της εξίσωσης KdV είναι τόσο σημαντική. Ας εξετάσουμε και τις 2 μεριές της εξίσωσης 𝐿_" = [𝐵, 𝐿] λίγο πιο προσεκτικά. Στα αριστερά, από τη στιγμή που ο τελεστής L(t) είναι σταθερός δεύτερης τάξης διαφορικός τελεστής, το 𝑑^E συν τον μηδενικού βαθμού τελεστή πολλαπλασιασμένο με το u(t), η παράγωγος του χρόνου, 𝐿_", είναι ο πολλαπλασιασμός του τελεστή μηδενικού βαθμού με το 𝑢_". Στα δεξιά έχουμε τη διαφορά των διαφορικών τελεστών πέμπτου βαθμού B(t)L(t) και L(t)B(t).

Oι τελεστές L(t) και B(t) δεν ανταλάσσονται, αλλά από τη στιγμή που δρουν σαν συναρτήσεις βαθμωτών τιμών, οι μεγιστοβάθμιοι όροι των αποτελεσμάτων τους είναι ανεξάρτητοι από τον βαθμό της σύνθεσης από έναν αρκετά γνωστό βασικό υπολογισμό. Έτσι, ο [B,L] θα έπρεπε να είναι ένας τελεστής τέταρτης τάξης. Τι συνέβη λοιπόν στους όρους με βαθμό 1,2,3 και 4; Στην ουσία ακυρώθηκαν από την ειδική μορφή της συνάρτησης B[t]. Το γεγονός ότι η μηδενικού βαθμού δεξιά μεριά, 6𝑢𝑢_%− 𝑢_%%% της εξίσωσης KdV μπορεί να γραφεί ως ο μετατροπέας της L(t), και ως ένας τελεστής τρίτης τάξης B(t) είναι αυτό που θα έπρεπε να μας εκπλήξει, είναι στην ουσία αυτό στο οποίο οφείλονται οι αξιοσημείωτες ολοκληρωτικές ιδιότητες της KdV. Αν αντικαταστήσουμε την B(t) με έναν άλλο τελεστή τρίτης τάξης που δεν είναι απλά ένα γινόμενο του B(t), θα δούμε ότι δε θα γίνει ποτέ μηδενικού βαθμού.

Ο Peter Lax ρώτησε και απάντησε την ερώτηση αυτή σε μια εργασία στην οποία παρήγαγε για πρώτη φορά τη παραπάνω μορφή Lax της εξίσωσης KdV. Η φυσική γενίκευση της Β, ο Lax σημειώνει ότι είναι ένας τελεστής 𝛣_@ τάξης 2j+1, της μορφής

𝛼𝑑

^E@•g

+ ∑

^@_„…g

(𝑏

_„

𝑑

^E„;g

+ 𝑑

^E„;g

𝑏

_„

)

(2.18) όπου τα 𝑏„ είναι πολυώνυμα στο u

16 και οι μερικές τους παράγωγοι. [Lax,1968].Αν απαιτήσουμε ο [L,𝐵@] να είναι τελεστής μηδενικού βαθμού, ο πολλαπλασιασμός με κάποιο πολυώνυμο 𝐾_@𝑢 στο u και τις παραγώγους του, δίνει j συνθήκες που καθορίζουν μοναδικά 𝑏_g, … . . , 𝑏_@. Για j=0 παίρνουμε 𝐵_[ = 𝑑 και 𝐾_[(𝑢) = 𝑢_%, επομένως η αναλογία της εξίσωσης KdV είναι απλά η γραμμική εξίσωση 𝑢_" = 𝑢_%, η οποία έτσι καλείται επίσης η μηδενική ροή της ιεραρχίας KdV.

Φυσικά, 𝛣_g = 𝛣, και η KdV από μόνη της είναι η πρώτη ροή της KdV ιεραρχίας, και γενικότερα η εξίσωση εξέλιξης 𝑢_" = 𝐾_@(𝑢), αναφέρεται ως j ροή της KdV ιεραρχίας.

Επιπλέον, προκύπτει ότι κάθε μια από αυτές τις KdV ροές είναι μια Χαμιλτονιανή ροή στον χώρο μας S(R) σε αντιστοιχία με τη συμπλεκτική δομή που είδαμε παραπάνω. Οι αντίστοιχες Χαμιλτονιανές συναρτήσεις 𝐹_@: 𝑆(𝑅) → 𝑅 είναι αναλύσεις συναρτησιακών διασποράς. Όλα τα 𝐹_@ βρίσκονται σε εμπλοκή, και έτσι κάθε 𝐹_@ είναι μια διατηρημένη ποσότητα για τη ροή KdV. Στη πραγματικότητα, τα 𝐹_g, 𝐹_E, 𝐹_h είναι κλασσικές διατηρημένες ποσότητες της KdV και τα υψηλότερα 𝐹_@ είναι στη πραγματικότητα η ακολουθία των διατηρημένων ποσοτήτων που ανακαλύπτονται στην [GGKM].[Lax,1968]

Κεφάλαιο 3^ο :Το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση KdV

Στο κομμάτι αυτό θα μελετήσουμε τη σύνδεση ανάμεσα στην αντίστροφη διασκόρπιση και την εξίσωση KdV. Αν 𝑢(𝑥) είναι η εξίσωση δυναμικού για την εξίσωση Stourm-Liouville

𝜓

_%%

+ (𝜆 − 𝑢)𝜓 = 0 (3.1

)με −∞ < 𝑥 <∞, όπου λ είναι η ιδιοτιμή, τότε το u μπορεί να ανακατασκευαστεί από τα δεδομένα διασκόρπισης. Τα δεδομένα αυτά περιγράφονται από τις συμπεριφορές της ιδιοσυνάρτησης ψ, στη μορφή

𝜓Š(𝑥; 𝑘)~ •𝑒^;„u%+ ℎ(𝑘)𝑒^„u%,ό𝜏𝛼𝜈 𝑥 →∞ 𝑎(𝑘)𝑒^;„u%,ό𝜏𝛼𝜈 𝑥 → −∞

(3.2)

Για λ>0 με 𝑘 = 𝜆^E για το συνεχές πεδίο, και 𝜓_•(𝑥)~𝑐_•exp (−𝑘_•𝑥) όταν 𝑥 →∞

Για λ<0, με 𝑘_• = (−𝜆)^”0 για κάθε διακριτή ιδιοτιμή. Δείξαμε λοιπόν ότι 𝑢(𝑥) = −2 𝑑

𝑑𝑥𝐾(𝑥, 𝑥), Όπου Κ(x,z) είναι η λύση της εξίσωσης Μarchenko 𝐾(𝑥, 𝑧) + 𝐹(𝑥 + 𝑧) + ∫_%^•∞𝐾(𝑥, 𝑦)𝐹(𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦 = 0 (3.3) Kαι η F oρίζεται από την

17 𝐹(𝑥) = ∑^–_•…g𝑐_•^Eexp (−𝑘_•𝑋) +_E˜^g ∫ 𝛽(𝜅)𝑒_;∞^{∞ „u›}𝑑𝑘(3.4)

Έτσι ο προσδιορισμός του u απαιτεί τη λύση της γραμμικής ολοκληρωτικής εξίσωσης για K(x,z).

3.1 Aντίστροφη διασκόρπιση και η εξίσωση KdV

Αρχικά γράφουμε την εξίσωση KdV στην εύχρηστη μορφή

𝑢

_"

− 6𝑢𝑢

_%

+ 𝑢

_%%%

= 0(3.5)

Τότε, ένας απλός τρόπος να δείξουμε μια σύνδεση με το πρόβλημα Sturm Liouville είναι να προσδιορίσουμε μια εξίσωση u(x,t) τέτοια ώστε

𝑢 = 𝑣

^E

+ 𝑣

_%

(3.6).

Η προηγούμενη εξίσωση καλείται μετασχηματισμός Miura. Άμεση αντικατάσταση στη πρώτη εξίσωση θα μας δώσει το εξής αποτέλεσμα:

2𝑣𝑣_"+ 𝑣_%" − 6(𝑣^E+ 𝑣_%)(2𝑣𝑣_% + 𝑣_%%) + 6𝑣_%𝑣_%%+ 2𝑣𝑣_%%%+ 𝑣_%%%% = 0(3.7)

Η οποία μπορεί να αναγραφεί ώστε να δώσει (2𝑣 +_-%^-)(𝑣_"− 6𝑣^E𝑣_% + 𝑣_%%%) = 0(3.8)

Έτσι, αν η V είναι μια λύση της 𝑣_"− 6𝑣^E𝑣_%+ 𝑣_%%% = 0(3.9),η εξίσωση 2 αναγνωρίζεται ως εξίσωση Riccatti για το v, η οποία μπορεί στη συνέχεια να γίνει γραμμική με την αντικατάσταση 𝑣 =^}_}^œ (3.10) για κάποια παραγωγίσιμη συνάρτηση ψ(x;t) διαφορετική του μηδενός.[Symes,1980]. Το γεγονός ότι ο χρόνος t εμφανίζεται μόνο παραμετρικά στην εξίσωση (3.11) ικανοποιείται από τη σημείωσή μας για το ψ με τη χρήση της άνω τελείας. Η εξίσωση (3.12) με την εισαγωγή της (3.13) γίνεται 𝜓_%% − 𝑢𝜓 = 0,(33) η οποία είναι σχεδόν η εξίσωση Stourm-Liouville για το ψ. Η σύνδεση ολοκληρώνεται όταν παρατηρήσουμε ότι η εξίσωση KdV είναι Γαλιλαικό αμετάβλητο, δηλαδή το 𝑢(𝑥, 𝑡) → 𝜆 + 𝑢(𝑥 + 6𝜆𝑡, 𝑡) 𝜇𝜀 −∞< 𝜆 <∞ (3.14) αφήνει την εξίσωση 1 αμετάβλητη για αυθαίρετο λ. Εφόσον η x-εξάρτηση είναι απαράλλαχτη από τον μετασχηματισμό αυτό, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το u με u-λ. Η εξίσωση για το ψ γίνεται τώρα

𝜓

_%%

+ (𝜆 − 𝑢)𝜓 = 0(3.15)

η οποία είναι η εξίσωση Stourm Liouville με δυναμικό u και ιδιοτιμή λ. Έτσι, αν μπορέσουμε να λύσουμε ως προς ψ, μπορούμε να ανακτήσουμε το u από τις παραπάνω εξισώσεις. Ωστόσο, η διαδικασία δεν είναι άμεση από τη στιγμή που η εξίσωση (3.15) ήδη περιέχει την εξίσωση u που επιθυμούμε να προσδιορίσουμε.[Wigner,1960]

18 Ο τρόπος για να αποφύγουμε το δίλλημα αυτό είναι να ερμηνεύσουμε το πρόβλημα σε όρους διασκόρπισης από το δυναμικό u. Aς είναι η u(x,t) η λύση της εξίσωσης 𝑢_"− 6𝑢𝑢_% + 𝑢_%%%= 0(3.16) με 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) δοσμένη. Αυτό προσδιορίζει το πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση KdV. Επιπλέον, ας

εισάγουμε τη συνάρτηση ψ η οποία ικανοποιεί την εξίσωση 𝜓_%%+ (𝜆 − 𝑢)𝜓 = 0 (3.17) για κάποιο λ και με την ιδιότητα της παραμετρικής

εξάρτησης από το t πρέπει να επιτρέψουμε το λ=λ(t). Η λύση της εξίσωσης KdV μπορεί έτσι να περιγραφεί ως εξής. Για t=0 μας δίνεται ότι 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) και έτσι με δεδομένο ότι το ψ υπάρχει, μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα της διασκόρπισης για το δυναμικό αυτό, χρησιμοποιώντας εκφράσεις για το b(k). Αν η χρονική εξέλιξη γι’αυτά τα δεδομένα μπορεί να προσδιοριστεί, τότε μπορούμε να ξέρουμε τα δεδομένα διασκόρπισης για κάθε μετέπειτα στιγμή. Η πληροφορία αυτή μας επιτρέπει να λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα διασκόρπισης και έτσι να ανακατασκευάσουμε το u(x,t) για t>0.

Είναι ξεκάθαρο ότι η επιτυχία ή αποτυχία της συγκεκριμένης προσέγγισης πλέον έγκειται στο αν η χρονική εξέλιξη του S μπορεί να προσδιοριστεί. Επιπλέον, ελπίζουμε ότι η εξέλιξη είναι επαρκώς ευθεία έτσι ώστε η εφαρμογή της συγκεκριμένης τακτικής να μην αποδειχτεί πολύ δύσκολη. Θα δείξουμε τώρα πως το S(t) μπορεί να βρεθεί και επίσης θα δείξουμε ότι χρειάζεται μία αρκετά απλή μορφή. Πρέπει ωστόσο να σημειώσουμε πρώτα ότι θα χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό Fourier για τη λύση των γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την εξίσωση 𝑢_"+ 𝑢_% + 𝑢_%%%= 0(3.18) η οποία είναι μια γραμμικοποίηση της εξίσωσης KdV. Αν είναι 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) τότε μπορούμε να γράψουμε:

𝑓(𝑥) = ∫ 𝐴(𝑘)𝑒_;∞^{∞ „u%}𝑑𝑘 ή 𝐴(𝑘) = _E˜^g ∫ 𝑓(𝑥)𝑒_;∞^{∞ ;„u%}𝑑𝑥(3.19)και το Α(k) είναι τότε το ανάλογο των δεδομένων διασκόρπισης S(0). [Fadeev,1967].Επιπλέον, αν 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐴(𝑘)𝑒_;∞^∞ „(u%; ")𝑑𝑘,

oπου ω=ω(κ), τότε ισχύει 𝜔(𝑘) = 𝑘 − 𝑘^h και ο όρος στο ω εκφράζει την εξέλιξη του χρόνου των διασκορπιζόμενων δεδομένων.

3.2 Χρονική εξέλιξη των διασκορπιζόμενων δεδομένων

Το πρώτο και πιθανότατα πιο αναπάντεχο αποτέλεσμα αφορά τη συνέχεια του διακριτού φάσματος καθώς το u(x,t) εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου. Για να το αποδείξουμε, ξεκινάμε με το πρόβλημα Sturm Liouville, όπου

𝜓_%%+ (𝜆 − 𝑢)𝜓 = 0 𝜇𝜀 −∞ < 𝑥 <∞ (1) (3.20)

Και ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση αυτή μπορεί να παραγωγιστεί ως προς το x,

19 𝜓_%%%− 𝑢_%𝜓 + (𝜆 − 𝑢)𝜓_% = 0

(3.21)

Και ως προς το t,

𝜓_%%%+ (𝜆_"− 𝑢_") + (𝜆 − 𝑢)𝜓_" = 0 (

3.22)

Όπου u(x,t) ικανοποιεί την εξίσωση KdV εξίσωση 𝑢_"− 6𝑢𝑢_% + 𝑢_%%%= 0 (3.23)

Θα χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα αυτά στη συνέχεια. Τώρα, είναι βολικό να ορίσουμε 𝑅(𝑥, 𝑡) = 𝜓_"+ 𝑢_%𝜓 − 2(𝑢 + 2𝜆)𝜓_% (3.24) και έπειτα για να κατασκευάσουμε την ιδιότητα

-

-%

(𝜓

_%

𝑅 − 𝜓𝑅

_%

) = 𝜓

_%%

(𝜓

_"

+ 𝑢

_%

𝜓 − 2𝑢𝜓

_%

− 4𝜆𝜓

_%

) − 𝜓(𝜓

_%%"

+ 𝑢

_%%%

𝜓 − 3𝑢

_%

𝜓

_%%

− 2𝑢𝜓

_%%%

− 4𝜆𝜓

_%%%

) (3.25)

Mε την απαλοιφή των 𝜓%%% και 𝜓%%" έχουμε:

-

-%(𝜓_%𝑅 − 𝜓𝑅_%) = 𝜓_%%(𝜓_"+ 𝑢_%𝜓 − 2𝑢𝜓_% − 4𝜆𝜓_%) − 𝜓(𝑢_%%%𝜓 − 4𝑢_%𝜓_%%) − 𝜓(𝑢𝜓_"− 𝜆𝜓_"− 𝜆_"𝜓 + 𝑢_¢ψ) +ψ(2𝑢 + 4𝜆)(𝑢_%𝜓 − 𝜆𝜓_% + 𝑢𝜓_%) (3.26)

Το οποίο απλοποιείται και δίνει _-%^- (𝜓_%𝑅 − 𝜓𝑅_%) = 𝜆_"𝜓^E (3.27). Η εξίσωση αυτή μπορεί να αντιμετωπιστεί χώρια για λ>0 και λ<0 έτσι ώστε να φτάσουμε στην χρονική εξέλιξη των διασκορπισμένων δεδομένων. Πρώτα θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε το διακριτό φάσμα.[Forneberg,1978].

Η προηγούμενη εξίσωση είναι γενικό αποτέλεσμα και εφαρμόζεται σε κάθε ιδιοσυνάρτηση και στην αντίστοιχη ιδιοτιμή. Ας επιλέξουμε 𝜆 = −𝜅_•^E και𝜓 = 𝜓•

(για n=1,2,….N) και έπειτα ολοκληρώνουμε τη προηγούμενη εξίσωση ως προς x [𝜓_•%𝑅_•− 𝜓_•𝑅_•%]_;∞^∞ = −(𝜅_•^E)𝑡 ∫ 𝜓_;∞^∞ _•^E𝑑𝑥 (3.28) όπου το 𝑅_• υποδηλώνει το R εκτιμώμενο σε όρους του 𝜅_• και του 𝜓_•. Από τη στιγμή που οι ιδιοσυναρτήσεις 𝜓_• κανονικοποιούνται σύμφωνα με το ∫ 𝜓_;∞^∞ •E𝑑𝑥= 1, και τα 𝜓• και 𝑅• απαλείφονται εκθετικά καθώς |𝑥| → ∞ ,παίρνουμε (𝜅_•^E)𝑡 = 0 ή 𝜅_• = 𝜎𝜏𝛼𝜃𝜀𝜌ά.

Έτσι κάθε διακριτή ιδιοτιμή −𝜅_•^E είναι μια σταθερά της κίνησης. Όταν τα 𝜅_•𝑠 προσδιοριστούν για ένα δοθέν αρχικό δυναμικό, τότε είναι σταθερά για κάθε χρόνο.

Αν επιστρέψουμε ξανά στην αρχική εξίσωση και εισάγουμε 𝜅_• = 𝜎𝜏𝛼𝜃𝜀𝜌ά, τότε μια ολοκλήρωση ως προς το x δίνει

𝜓_•%𝑅_•− 𝜓_•𝑅_•% = 𝑔_•(𝑡)

(3.29)

20 Όπου τα 𝑔_• είναι τυχαίες συναρτήσεις του t. Ωστόσο και τα 𝜓_• και τα 𝑅_• πλησιάζουν το 0 καθώς |𝑥| →∞, και έτσι, για κάθε n, 𝑔• = 0 για κάθε t. Έτσι από την παραπάνω εξίσωση , μετά από μια ακόμα ολοκλήρωση, παίρνουμε 𝑅_•𝜓_• = ℎ_•(𝑡) όπου τα ℎ_• είναι επίσης αυθαίρετες συναρτήσεις του t. Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση με 𝜓•E, τότε παίρνουμε:

𝜓_•(𝜓_•"+ 𝑢_%𝜓_•− 2𝑢𝜓_•%+ 4𝜅_•^E𝜓_•%)=ℎ_•𝜓_•^E (3.30) ή

^g_E(𝜓_•^E)_"+ (𝑢𝜓_•^E− 2𝜓_•%^E + 4𝜅_•^E𝜓_•^E)_% = ℎ_•𝜓_•^E (

3.31

)

Για άλλη μια φορά ολοκληρώνουμε ως προς το x, και σημειώνουμε ότι τα όρια είναι ανεξάρτητα από το t, για να δώσουν

g E

-

-"M∫ 𝜓_;∞^∞ _•^E𝑑𝑥P = ℎ_•∫ 𝜓_;∞^∞ _•^E𝑑𝑥(3.32)

Από τη στιγμή που το 𝜓_• είναι κανονικοποιημένο η εξίσωση αυτή υποδεικνύει ότι ℎ_• = 0 για κάθε n και κάθε t, και έτσι

𝑅_• = 𝜓_•"+ 𝑢_%𝜓_•− 2(𝑢 − 2𝜅_•^E)𝜓_•% = 0 (3.33)

Η οποία μπορεί να θεωρηθεί εξίσωση χρονικής εξέλιξης για 𝜓_•(𝑥; 𝑡). Η παραπάνω εξίσωση μπορεί πλέον να χρησιμοποιηθεί άμεσα για να βρούμε τη χρονική εξέλιξη της σταθεράς κανονικοποίησης, 𝑐_•(𝑡). Γνωρίζουμε ότι u→ 0 και 𝜓_•(𝑥; 𝑡)∿𝑐_•(𝑡) exp(−𝜅_•𝑥) καθώς x→∞, και η ασυμπτωτική αυτή συμπεριφορά απαιτεί ^-§_-"^¨− 4𝜅_•^h𝑐_• = 0 ή 𝑐_•(𝑡) = 𝑐_•(0)exp (4𝜅_•^h𝑡) όπου 𝑐_•(0) είναι οι σταθερές κανονικοποίησης που καθορίζονται όταν t=0.

Oυσιαστικά η ίδια διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί στην ίδια περίπτωση, για την οποία 𝜆 = 𝑘^E. Από τη στιγμή που το k μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή, έχουμε τη δυνατότητα να ακολουθήσουμε τη χρονική εξέλιξη με το k σταθεροποιημένο. Με την επιλογή αυτή και με 𝜓 = 𝜓Š έχουμε

𝜓Š_%𝑅Š − 𝜓Š𝑅Š_% = 𝑔(𝑡; 𝑘)(3.34)

Όπου η g είναι η συνάρτηση της ολοκλήρωσης, και το 𝑅Š εκφράζει το R εκτιμώμενο σε όρους του 𝜓Š. Για τη συνεχή ιδιοσυνάρτηση έχουμε

𝜓Š(𝑥; 𝑡, 𝑘)∿𝑎(𝑘; 𝑡)𝑒^;„u% καθώς x→ −∞

Παρατηρούμε επίσης ότι 𝑅Š(𝑥, 𝑡; 𝑘)∿ ©^-6_-"+ 4𝑖𝑘^h𝑎ª 𝑐^;„u% καθώς x→ −∞

Και έτσι 𝜓Š_%𝑅Š − 𝜓Š𝑅Š_% → 0 καθώς x→ −∞

21 Έτσι g(t;k)=0 για κάθε t, και ολοκληρώνουμε μια ακόμη φορά και έχουμε _¬^«Š_- = 𝐻 = ℎ(𝑡; 𝑘) ή 𝑅Š = ℎ𝜓Š όπου το h είναι άλλη μια συνάρτηση ολοκλήρωσης. Τώρα, αν εισάγουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά του 𝜓Š και του 𝑅Š καθώς x→ −∞,

Μαζί με την απαίτηση να ισχύει ^-6_-" + 4𝑖𝑘^h𝑎 = ℎ𝑎,

Η αντίστοιχη συμπεριφορά καθώς x→ +∞ είναι 𝑅Š(𝑥, 𝑡; 𝑘)∿^-7_-"𝑒^„u%+ 4𝑖𝑘^hM𝑒^;„u%− 𝑏𝑒^„u%P(3.35)

Με 𝜓Š(𝑥; 𝑡, 𝑘)∿𝑒^;„u%+ 𝑏(𝑘; 𝑡)𝑒^„u% και έτσι προκύπτει

-7

-"𝑒^„u%+ 4𝑖𝑘^hM𝑒^;„u%− 𝑏𝑒^„u%P = ℎ(𝑒^;„u%+ 𝑏𝑒^„u%) (3.36)

Επειδή οι 𝑒^„u% και 𝑒^;„u% είναι γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις, η αμέσως προηγούμενη εξίσωση δίνει τις δύο συνθήκες

-7

-"− 4𝑖𝑘^h𝑏 = ℎ𝑏; και ℎ(𝑡; 𝑘) = 4𝑖𝑘^h

Και έτσι καταλήγουμε τελικά στην πολύ απλή μορφή ^-6_-" = 0.(3.37) Λύνοντας λοιπόν ως προς a και b παίρνουμε

𝛼(𝑘; 𝑡) = 𝛼(𝑘; 0); 𝑏(𝑘; 𝑡) = 𝑏(𝑘; 0)exp (8𝑖𝑘^h𝑡) (3.38)

Που περιγράφουν τη χρονική εξέλιξη των συντελεστών διασκόρπισης, αν και μόνο ο συντελεστής αντανάκλασης ποικίλλει ανάλογα με το t. Aυτό ολοκληρώνει τον προσδιορισμό της χρονικής εξέλιξης των δεδομένων δ�