Να χαρακτηρίσετε κάθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ). i) Ισχύει ότι xlim f xx xlim f xx 0. ii) Αν    xlim f xx0 0 τότε f x 0 κοντά στο x 0 iii) Ισχύει ότι x x x x x x x x lim f x lim f x , lim g x 0 g x lim g x . iv)    x 0 lim x 0 x

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2015-2016

Σελίδα 1 από 2

ΘΕΜΑ Α

Α.1 Δίνεται πολυώνυμο P x

 

 vx^v  v 1_x^{v 1}     ... 1x και x R . Να αποδείξετε ότι

   

0

xlim P xx P x0

  .

Μονάδες 9 Α2. Να διατυπώσετε το Κριτήριο Παρεμβολής.

Μονάδες 6 Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή

Λανθασμένη (Λ).

i) Ισχύει ότι _

 

^{ } _

  

^



^

0 0

xlim f xx xlim f xx 0. ii) Αν _

 

^

xlim f xx0 0 τότε ^{f x}

 

^0 κοντά στο x ₀ iii) Ισχύει ότι

 

 

 

   



 



 ⁰ 

0 0

0

x x

x x x x

x x

lim f x

lim f x , lim g x 0

g x lim g x .

iv) 

 

x 0

lim x 0

x .

v) Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής



^,x0

 

^ x ,0 ^



τότε

   



       

0 0 0

xlim f xx xlim f xx xlimx .

Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση

 

 

2 2

2

x 7 4

, x 3

2x 9x 9

f x 9 3

, x 3

x 9 2 x 3

   

  

    

  

 Β1. Να βρεθούν τα _{ }

 

xlim f x , 3 _{ }

 

xlim f x , 3 ^{f 3 .}

 

Μονάδες 10 Β2. Να δείξετε ότι _x^{lim f x}_3

 

^{ 1}

4.

Μονάδες 3 Β3. Να βρείτε το

   

 



 



2 x 3

f x 3f x 1 lim 8f x 1 .

Μονάδες 6 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠ. /

Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 29/12/2015

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΠΑΠΑΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ Δ., ΖΑΧΟΠΟΥΛΟΣ Ν.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 2015-2016

Σελίδα 2 από 2

Β4. Να βρείτε το

 

 







2

x 3

f x 1 lim 16

4f x 1 .

Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Να βρείτε, αν υπάρχει, το όριο



   



3 x 2 2

x x 1 x 7

lim x 4 .

Μονάδες 6 Γ2. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

 

 ^{     }

   



2x2 x , x 2 f x 5 x 2 , x 2.

Να βρείτε τα  , R ώστε η C_f να διέρχεται από το A 1, 1 και να υπάρχει το



^





 

x 2

lim f x .

Μονάδες 8 Γ3. Αν

 



 

 

x 1 2

f x 3x 2

lim 2

x x

α) να βρεθεί το _

 

x 1

lim f x .

Μονάδες 5 β) να βρεθεί το

 







x 1 2

f x 1 lim x x .

Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού



^{ ,}



για την οποία ισχύει ^{xx2 f x}

 

^{x2x ,}

 

  

x , .

α) Να δείξετε ότι

 

 

x 0

limf x 1

x .

Μονάδες 5 β) Να υπολογίσετε το

 

 

x 0

limf x x .

Μονάδες 6 γ) Να δείξετε ότι

 

 



 



x 0

x f x

lim 2

2x f x .

Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε το

 



   



2 x 0 2

x f x x 1 1

lim x .

Μονάδες 8