ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ:
ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ
ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΧΡΟΝΟ ΤΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ ΤΟΥ ΜΑΝΝΑ
Ιωάννης Φραγκούλης Α. Μ: 201048
Υπό την επίβλεψη: Ν. Β. Σαρλή Επίκουρου Καθηγητή, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης
ΑΘΗΝΑ 2012
2
3
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΒΑΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ:
ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ
Μελέτη και ανάλυση στο φυσικό χρόνο του προτύπου του Manna Ιωάννης Ν. Φραγκούλης
ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Νικόλαος Σαρλής, Επίκουρος καθηγητής ΕΚΠΑ
ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ:
Παναγιώτης Βαρώτσος, Καθηγητής ΕΚΠΑ Νικόλαος Σαρλής, Επίκουρος καθηγητής ΕΚΠΑ
Ευθύμιος Σκορδάς, Λέκτορας ΕΚΠΑ
4
5
Περίληψη
Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάται και αναλύεται στο πεδίο του φυσικού χρόνου χ [Phys. Rev. E 66 (2002) 011902] το πρότυπο αυτοοργανωμένης κρισιμότητας του Manna [J. Phys. A: Math. Gen. 24 (1991) L363]. Ειδικότερα εξετάζεται η μετάβαση του συστήματος στην κατάσταση αυτοοργανωμένης κρισιμότητας. Λαμβάνοντας σαν αρχικές συνθήκες ένα άδειο πλέγμα και προσθέτοντας σωματίδια μέχρι την αποκατάσταση αυτοοργανωμένης κρισιμότητας παρατηρούμε ότι:
α) το σύστημα παρουσιάζει κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους και
β) η διασπορά κ1 του φυσικού χρόνου χ μεταβάλλεται, περνώντας από την τιμή 0.070 πρώτα στο 0 και στη συνέχεια στην τιμή κu= 1/ 12≈ 0.080. Τα δύο αυτά χαρακτηριστικά μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι ανεξαρτήτως του μεγέθους του συστήματος η ποσότητα κ1 παίρνει πρώτα την τιμή κ1= 0.070 και κατόπιν μηδενίζεται σε συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα που έχουν παρατηρηθεί μελετώντας τη σεισμικότητα μετά την εκπομπή των σεισμικών ηλεκτρικών σημάτων (Seismic Electric Signals- S.E.S) [Varotsos, P. The Physics of Seismic Electric Signals (2005) TerraPub, Tokyo] μέχρι και την εκδήλωση του συσχετιζόμενου με αυτά μεγάλου σεισμού.
Επίσης, η λεπτομερής μελέτη της χρονικής εξέλιξης στο φυσικό χρόνο του μεγέθους των χιονοστιβάδων μας επιτρέπει να παρατηρήσουμε δύο στάδια εξέλιξής του. Το πρώτο στάδιο είναι εκθετικό και παρατηρείται εφόσον η συγκέντρωση εκπεφρασμένη σαν πιθανότητα κατάληψης κάποιας πλεγματικής θέσης είναι μικρότερη από την κρίσιμη πιθανότητα διήθησης θέσης ρc. Όταν η συγκέντρωση αυτή ξεπεράσει την τιμή ρc η αύξηση του μεγέθους των χιονοστιβάδων γίνεται υπερεκθετική και οδηγεί στο μηδενισμό της ποσότητας κ1. Η τιμή της ποσότητας κ1= 0.070 παρατηρείται λίγο πριν η συγκέντρωση λάβει την τιμή ρc. Επομένως, είναι δυνατόν να χαρακτηρίσει τη μετάβαση του συστήματος
6
στην αυτοοργανωμένη κρισιμότητα σε συμφωνία με τα πειραματικά αλλά και θεωρητικά αποτελέσματα [EPL 92 (2010) 29002, Proc. Natl. Acad. Sci. (USA) 108 (2011) 11361].
Θεματική περιοχή: Δυναμικά συστήματα αυτοοργανωμένης κρισιμότητας- Φυσικός χρόνος χ
Λέξεις κλειδιά: φυσικός χρόνος, αυτοοργανωμένη κρισιμότητα, κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους, μοντέλο Manna, τιμή κατωφλίου διήθησης.
7
Abstract
We study the self- organized critical model suggested by Manna [J. Phys. A. Math Gen.24, 363- 369, 1991] in natural time χ [Varotsos et al., Phys. Rev. E, 66, 011902, 2002]. Starting from an empty lattice as initial condition we find that the system exhibits finite size scaling and the variance κ1 of natural time χ first approaches the value κ1= 0. 070 and later tends to zero when the system reaches Self- Organized Criticality (SOC). The value κ1= 0. 070 is attained before the site occupation probability dc (i.e., the particle density) becomes equal to the site percolation threshold pc. When the latter condition dc= pc is fulfilled, the non- overlapping window maximum size of avalanches exhibits a superexponential increase as a function of the order k of the avalanches thus lowering κ1 to zero. The SOC state is reached when this increase ceases to appear. These results are compatible with the experimental results observed for the seismicity after the initiation of the Seismic Electric Signals (SES) activity [P. Varotsos et al., Tectonophysics 224, 1, 1993] and until the related main shock, e.g. see [P.
Varotsos et al., EPL 92, 29002, 2010].
Subject Area: Self- organizing dynamical systems, Natural time χ
Keywords: natural time χ, self- organized criticality, finite size scaling, Manna model, percolation threshold.
8
9
Ευχαριστίες
Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επίκουρο καθηγητή Νικόλαο Σαρλή για τη στενή συνεργασία και τη συστηματική παρακολούθηση της διπλωματικής καθ’
όλη τη διάρκεια της εκπόνησής της. Η παρουσία του συνιστούσε μόνιμη πηγή πληροφόρησης και έμπνευσης και η ακεραιότητά του θα αποτελεί παράδειγμα στη μελλοντική μου πορεία.
Επίσης, ευχαριστώ τον καθηγητή Παναγιώτη Βαρώτσο και το λέκτορα Ευθύμιο Σκορδά για την τιμή που μου έκαναν να συμμετάσχουν στην τριμελή εξεταστική επιτροπή.
Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους γονείς μου για την αγάπη και τη συνεχή υποστήριξή τους σε κάθε μου βήμα όπως και τους φίλους που ήταν δίπλα μου σε κάθε δυσκολία.
Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε το ακαδημαϊκό έτος 2011- 2012 στον τομέα Φυσικής Στερεάς Κατάστασης του τμήματος Φυσικής της σχολής Θετικών Επιστημών του Ε. Κ. Π. Α.
10
11
Πρόλογος
Ο ευρέως διαδεδομένος θόρυβος 1/ f αποτελούσε ανέκαθεν κλασσικό πρόβλημα της Φυσικής. Ένα άλλο πρόβλημα που χρήζει φυσικής ερμηνείας είναι η κλασματική δομή αυτοομοιότητας. Οι Bak, Tang και Wiesenfeld (BTW) προσπάθησαν να εξηγήσουν τα φαινόμενα αυτά εισάγοντας την έννοια της αυτοοργανωμένης κρισιμότητας (Self- Organized Criticality- SOC). Αργότερα όμως, αποδείχθηκε ότι η αρχική πρόταση των BTW ήταν λάθος, ωστόσο η έννοια της αυτοοργανωμένης κρισιμότητας είχε αυτόνομη φυσική σημασία. Έτσι, στο 1ο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας γίνεται μια εισαγωγή στην έννοια της SOC τονίζοντας τη διαφορά της από την ισορροπία στο κρίσιμο σημείο στις αλλαγές φάσεις, η οποία για να επιτευχθεί απαιτείται συντονισμός κάποιας παραμέτρου, όπως της θερμοκρασίας. Περιγράφεται το μοντέλο του αμμόλοφου που πρότειναν οι BTW για να δώσουν μια εικόνα ενός φυσικού συστήματος που αναμένεται να παρουσιάσει SOC. Το συγκεκριμένο μοντέλο είναι ένα αβελιανό ντετερμινιστικό μοντέλο σε αντίθεση με το μοντέλο του Manna που είναι στοχαστικό.
Στο 2ο κεφάλαιο λοιπόν, περιγράφεται ένα μοντέλο αυτοοργανωμένης κρισιμότητας δύο καταστάσεων, το μοντέλο του Manna. Η χρονική εξέλιξη της διαδοχικής ακολουθίας στο μοντέλο αυτό είναι τυχαία συγκριτικά με την ντετερμινιστική εξέλιξη της χιονοστιβάδας του αμμόλοφου BTW.
Πραγματοποιείται αριθμητική προσομοίωση του μοντέλου του Manna και υπολογίζεται ο κρίσιμος εκθέτης τ.
Στο 3ο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια εισαγωγή στο φυσικό χρόνο χ, στον οποίο πραγματοποιείται ανάλυση του μοντέλου του Manna. Ο φυσικός χρόνος χ συνιστά ένα νέο πεδίο χρόνου που σε αντίθεση με το συμβατικό χρόνο, ο οποίος χαρακτηρίζεται από συνέχεια, δεν είναι συνεχής αλλά διακριτός. Για μια χρονοσειρά Ν γεγονότων ορίζεται ως χk =k/ N, αποτελώντας μια ένδειξη για την ύπαρξη του k- οστού γεγονότος.
12
Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η ανάλυση του μοντέλου του Manna στο φυσικό χρόνο χ. Αρχικά εξετάζεται το θερμοδυναμικό όριο του μοντέλου για το οποίο μέσω μιας ανηγμένης μεταβλητής τ είναι δυνατό να προσδιοριστεί το πεδίο του πραγματικού χρόνου συναρτήσει του μεγέθους του συστήματος και του αριθμού χιονοστιβάδων. Στη συνέχεια μελετώντας την εξέλιξη της διασποράς κ1 του φυσικού χρόνου παρατηρούμε ότι το μοντέλο παρουσιάζει κλιμάκωση πεπερασμένου μεγέθους. Τέλος, παρουσιάζονται οι συνθήκες κ1→0 και κ1= 0. 070 ως ενδείξεις για το μεταβατικό στάδιο του μοντέλου, όπως συνοψίζεται στο 5ο κεφάλαιο.
13
Πίνακας περιεχομένων
Περίληψη ... 5
Abstract ... 7
Ευχαριστίες ... 9
Πρόλογος ... 11
Πίνακας περιεχομένων ... 13
1. Αυτοοργανωμένη κρισιμότητα (Self- organized criticality) ... 15
1.1. Εισαγωγή ... 15
1.2. Το μοντέλο του αμμόλοφου (sandpile model BTW) ... 17
1.3. Το αβελιανό μοντέλο του αμμόλοφου ... 22
1.4. Η αβελιανή ιδιότητα ... 25
2. Ένα μοντέλο δύο καταστάσεων αυτοοργανωμένης κρισιμότητας- Το μοντέλο του Manna... 27
2.1. Σύνοψη ... 27
2.2. Περιγραφή του μοντέλου του Manna ... 28
2.3. Πραγματοποίηση του μοντέλου του Manna ... 32
3. Ο φυσικός χρόνος χ ... 35
3.1. Εισαγωγή ... 35
3.2. Το κανονικοποιημένο «φυσικό» φάσμα ισχύος Π(φ) ... 38
3.3. Αναδρομικές σχέσεις στο φυσικό χρόνο χ ... 40
3.4. Η διασπορά κ1 του φυσικού χρόνου σαν ένδειξη αποκατάστασης της αυτοοργανωμένης κρισιμότητας (SOC) ... 42
4. Ανάλυση του μοντέλου του Manna στο φυσικό χρόνο χ ... 46
4.1. Το θερμοδυναμικό όριο του μοντέλου του Manna ... 46
4.2. Εξέλιξη της διασποράς κ1 του φυσικού χρόνου χ ... 49
4.3. Μελέτη του μηδενισμού της διασποράς κ1 του φυσικού χρόνου χ ... 52
4.4. Μελέτη εξέλιξης διασποράς κ1 και συσχετισμού με τη συνθήκη κ1=0.07 ... 56
14
4.5. Μελέτη χρονικής εξέλιξης του μεγίστου μεγέθους των χιονοστιβάδων ... 62
5. Συμπεράσματα ... 74
ΑΝΑΦΟΡΕΣ ... 76
Παράρτημα 1 ... 81
Παράρτημα 2 ... 93
Παράρτημα 3 ... 97
Παράρτημα 4 ... 100
15
1. Αυτοοργανωμένη κρισιμότητα (Self- organized criticality)
1.1. Εισαγωγή
Ένα από τα κλασσικά προβλήματα που συναντάει κανείς στη Φυσική είναι η ύπαρξη του ευρέως διαδεδομένου θορύβου 1/ f ο οποίος έχει παρατηρηθεί σε συστήματα όπως οι διακυμάνσεις του ηλεκτρικού ρεύματος σε αντιστάσεις, η ροή του ποταμού Νείλου και η φωτεινότητα των αστεριών (Press, 1987). Το χαμηλής συχνότητας φάσμα ισχύος τέτοιων συστημάτων παρουσιάζει μια συμπεριφορά νόμου δύναμης 1/ f β στη διάρκεια μεγάλων διαφορετικών κλιμάκων χρόνου. Παρά την τεράστια προσπάθεια δεν υπάρχει μια γενική θεωρία που να εξηγεί αυτή την εκτεταμένη ύπαρξη του θορύβου 1/ f. Αυτό αποτέλεσε την αιτία της αυτοοργανωμένης κρισιμότητας.
Ένα άλλο πρόβλημα που χρήζει φυσικής εξήγησης είναι η εμπειρική παρατήρηση κατά την οποία εκτεταμένα χωρικά τμήματα, όπως για παράδειγμα παραλιακές γραμμές, παρουσιάζουν κλασματική δομή αυτοομοιότητας (Mandelbrot, 1982). Η τυρβώδης ροή είναι ένα φαινόμενο στο οποίο η αυτοομοιότητα εντοπίζεται τόσο στη χωρική όσο και στη χρονική κλίμακα (Sreenivasan, 1991). Το κοινό χαρακτηριστικό όλων αυτών των συστημάτων είναι ότι οι χωρικές ή χρονικές συσχετίσεις νόμου δύναμης (power law)που τα διέπουν, ισχύουν και εφαρμόζονται για αρκετές δεκαετίες.
Οι Bak P., Tang C. και Wiesenfeld K. (BTW) απέδειξαν αριθμητικά ότι δυναμικά συστήματα με εκτεταμένους χωρικούς βαθμούς ελευθερίας εξελίσσονται φυσικά σε καταστάσεις αυτοοργανωμένης κρισιμότητας που είναι οριακά σταθερές (Bak, Tang and Wiesenfeld, 1987). Μπορούμε λοιπόν σε αυτό το σημείο να ορίσουμε την αυτοοργανωμένη κρισιμότητα ως μια ιδιότητα ενός δυναμικού συστήματος που παρουσιάζεται μακριά από την ισορροπία, έχοντας το σύστημα εξελιχθεί σε αυτή την κρίσιμη κατάσταση χωρίς το συντονισμό κάποιων
16
παραμέτρων, όπως για παράδειγμα η θερμοκρασία. Πρότειναν την αυτοοργανωμένη κρισιμότητα ως τον κοινό βασικό μηχανισμό στον οποίο υπακούουν φαινόμενα όπως αυτά που προαναφέρθηκαν. Ο συνδυασμός ελάχιστης δυναμικής σταθερότητας και χωρικής κλιμάκωσης οδηγεί σε ένα νόμο δύναμης για τις διακυμάνσεις. Ο θόρυβος διαδίδεται με την κλιμάκωση των συσσωματωμάτων (clusters) μέσω της επίδρασης του ντόμινο (domino effect). Μεγάλου μήκους κύματος διαταραχές προκαλούν συνεχώς απώλεια ενέργειας σε όλες τις κλίμακες του χώρου, γεγονός που συνιστά και το κύριο χαρακτηριστικό της τυρβώδους ροής.
Η κρισιμότητα στη θεωρία των BTW είναι θεμελιωδώς διαφορετική της ισορροπίας από το κρίσιμο σημείο στις αλλαγές φάσης στη στατιστική μηχανική, η οποία μπορεί να επιτευχθεί μόνο με το συντονισμό κάποιας παραμέτρου, όπως η θερμοκρασία. Το κρίσιμο σημείο στα δυναμικά συστήματα που μελετήθηκαν από τους BTW είναι μια κατάσταση η οποία επιτυγχάνεται ξεκινώντας μακριά από την ισορροπία και οι ιδιότητες κλιμάκωσής της δεν είναι ευαίσθητες εν γένει στις παραμέτρους του μοντέλου που μελετάται. Oι BTW υποστήριξαν ότι αυτό το φαινόμενο μπορεί να είναι η θεμελιώδης αιτία μεγάλου εύρους φαινομένων στα οποία συμπεριλαμβάνονται θερμοδυναμικά συστήματα μακράν της ισορροπίας, ο θόρυβος 1/ f σε ηλεκτρικά δίκτυα, οι φωτεινοί παλμοί των κβάζαρ (Bak et al., 1987). Παρόλα αυτά, αποδείχθηκε αργότερα ότι οι κλίμακες χρόνου ζωής αλλά και μεγέθους δεν οδηγούν απαραίτητα σε ένα μη- τετριμμένο νόμο δύναμης για το φάσμα ισχύος, διαφορετικό από τις διακυμάνσεις τύπου 1/ f 2 (Kertesz and Kiss, 1990, Jensen, Christensen and Fogedby, 1989). Επομένως, η αρχική πρόταση των BTW για ερμηνεία του θορύβου 1/ f ήταν λάθος. Αυτό το λάθος όμως εισήγαγε την έννοια της αυτοοργανωμένης κρισιμότητας που έχει αυτόνομη φυσική σημασία, όπως θα δούμε παρακάτω.
17
1.2. Το μοντέλο του αμμόλοφου (sandpile model BTW)
Προκειμένου να σχηματιστεί μια σαφής εικόνα ενός φυσικού συστήματος που αναμένεται να παρουσιάσει αυτοοργανωμένη κρισιμότητα, προτάθηκε από τους BTW το μοντέλο του αμμόλοφου (Bak et al. 1987). Θεωρούμε ένα σωρό από κόκκους άμμου. Αν η κλίση του είναι αρκετά μεγάλη τότε ο σωρός είναι μακριά από την ισορροπία και θα καταρρέει μέχρι η μέση κλίση λάβει μια κρίσιμη τιμή όπου και το σύστημα θα παραμείνει οριακά σταθερό όσον αφορά στις μικρές διαταραχές (Σχ. 1).
Για να ενισχυθούν οι παραπάνω θεωρήσεις παρουσιάστηκαν προσομοιώσεις σε μια, δύο και τρεις διαστάσεις για διάφορα μοντέλα. Ένα μοντέλο είναι το κυψελιδικό αυτόματο (cellular automaton) που περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις μιας ακεραίας μεταβλητής z που υπάρχει σε κάθε θέση ενός διδιάστατου πλέγματος και αντιστοιχεί στην κλίση του σωρού, με τους κοντινότερους γείτονές της. Αυτή η κλίση αυξάνεται σταδιακά καθώς κόκκοι άμμου τοποθετούνται τυχαία πάνω στο σωρό, μέχρι που η κλίση υπερβεί μια ειδική τιμή κατωφλίου (zc= 4) και ο σωρός στη συγκεκριμένη θέση καταρρεύσει μεταφέροντας άμμο σε γειτονικές θέσεις, αυξάνοντας και τις αντίστοιχες κλίσεις.
Σχήμα 1. Το μοντέλο του αμμόλοφου.
18
Έτσι, η τυχαία τοποθέτηση άμμου σε συγκεκριμένη θέση μπορεί να μην έχει καμία επίδραση στο σύστημα αλλά μπορεί και να προκαλέσει διαδοχικές καταρρεύσεις, χιονοστιβάδες, που θα επηρεάσουν ευρεία περιοχή του πλέγματος.
Σε δύο διαστάσεις ξεκινώντας από επίπεδη επιφάνεια z(x, y)= 0 η μεταβλητή z αναπροσαρμόζεται συγχρόνως ως εξής:
z(x, y) z(x, y)- 4 (1.1)
z(x±1, y) z(x±1, y)+ 1 (1.2)
z(x, y±1) z(x, y±1)+ 1 (1.3)
αν το z υπερβαίνει μια κρίσιμη τιμή zc. Δεν υπάρχουν άλλοι παράμετροι αφού μια αύξηση του zc απλά μετατοπίζει το z(x, y) κατά μια σταθερά. Συνήθως χρησιμοποιούνται ανοικτές συνοριακές συνθήκες, στις οποίες οι συνοριακές θέσεις του πλέγματος μπορούν να μεταφέρουν ποσότητα z έξω από το πλέγμα χωρίς οι εξωτερικές θέσεις να καταρρέουν. Η κυψελιδική μεταβλητή μπορεί να θεωρηθεί παρόμοια με την τοπική κλίση του αμμόλοφου κατά μια έννοια. Αν η δύναμη είναι αρκετά μεγάλη, η άμμος γλιστράει απαλλάσσοντας τη συγκεκριμένη κλίση αλλά αυξάνοντας την κλίση των γειτόνων. Εάν ο σύστημα ξεκινά με τυχαίες αρχικές συνθήκες z(x, y)≫ zc τότε απλά εξελίσσεται μέχρι να σταματήσει, όταν για παράδειγμα όλες οι τιμές των z είναι μικρότερες από zc. Η δυναμική του συστήματος ελέγχεται τότε με μέτρηση της απόκρισης της επακόλουθης κατάστασης σε μικρές, τυχαίες, τοπικές διαταραχές. Πράγματι, βρέθηκε απόκριση σε ευρεία περιοχή κλιμάκων μήκους με μοναδικό περιορισμό το μέγεθος του συστήματος (Bak et al. 1987).
Το Σχ. 2 παρουσιάζει τη δομή ενός δισδιάστατου πλέγματος μεγέθους 100×100. Οι μαυρισμένες περιοχές υποδηλώνουν συσσωματώματα που θα καταρρεύσουν από την εξέλιξη του ντόμινο που θα προκαλέσει μια ελάχιστη διατάραξη σε μια και μόνο θέσης του πλέγματος. Σε ένα πραγματικό φυσικό
19
σύστημα κάποιος πρέπει να διαταράξει το σύστημα τοπικά προκειμένου να μετρήσει το μέγεθος ενός συσσωματώματος.
Σχήμα 2. Οριακά σταθερά συσσωματώματα στην αυτοοργανωμένη κρίσιμη κατάσταση για πλέγμα μεγέθους 100×100 (Bak P, Tang C and Wiesenfeld K 1987 Phys. Rev. Lett. 59 381,
Copyright 1987 by The American Physical Society).
To Σχ. 3 παρουσιάζει την κατανομή πιθανότητας P(s) των μεγεθών των χιονοστιβάδων. Ο αριθμός καταρρεύσεων που συμβαίνουν όταν προστίθεται ένας κόκκος άμμου συνιστά το μέγεθος s (size) μιας χιονοστιβάδας. O αριθμός των ξεχωριστών (distinct) θέσεων που καταρρέουν εκφράζεται με την ποσότητα sd. Επειδή μια συγκεκριμένη θέση μπορεί να καταρρεύσει πολλές φορές, ο συνολικός αριθμός των καταρρεύσεων s υπερβαίνει τον αριθμό των καταρρεύσεων των ξεχωριστών στηλών sd ,δηλαδή s ≥ sd .Η διάρκεια μιας χιονοστιβάδας είναι ίση με τον αριθμό των σαρωτικών κινήσεων (sweeps) που απαιτούνται μέχρι όλες οι θέσεις να καταστούν σταθερές ξανά. Το γραμμικό μέγεθος r μιας χιονοστιβάδας ισούται με τη μέγιστη απόσταση ανάμεσα στην αρχική και στη στήλη που κατέρρευσε. Σύμφωνα με τη βασική υπόθεση της αυτοοργανωμένης κρισιμότητας (Bak et al. 1987) στην κρίσιμη σταθερή κατάσταση οι κατανομές πιθανότητας θα
20
παρουσιάζουν συμπεριφορά νόμου δύναμης η οποία θα χαρακτηρίζεται από τους κρίσιμους εκθέτες τs , τd , τt και τr σύμφωνα με τις σχέσεις
( ) s
s s s
P s s (1.4)
( ) d
d d d
P s s (1.5)
( ) t
t t t
P s s (1.6)
( ) r
r r r
P s s (1.7)
Σχήμα 3. Η κατανομή πιθανότητας P(s) για διαφορετικά μεγέθη του συστήματος (Lübeck S and Usadel K, 1997 Phys. Rev. E 55 4095, Copyright 1997 by The American Physical Society).
21
Στον παρακάτω πίνακα των Lübeck and Usadel, 1997 παρουσιάζονται οι τιμές των κρίσιμων εκθετών για το μοντέλο των BTW αλλά και του Manna που θα μελετήσουμε παρακάτω (συγκεκριμένα για το μοντέλο του Manna θα υπολογίσουμε τον κρίσιμο εκθέτη τs).
Model τs τd τt τr
BTW 1.293 1.330 1.480 1.665
Manna 1.275 1.373 1.493 1.743
Μεταγενέστερες μελέτες όμως (Ktitarev et al., 2000) έδειξαν ότι η παραπάνω υπόθεση δεν έχει γενική ισχύ για ολοκληρωμένες χιονοστιβάδες αλλά για κύματα καταρρεύσεων (waves of topplings). Τα κύματα αναπαριστούν διαδικασίες εφησυχασμού του συστήματος που δεν περιλαμβάνουν πολλαπλά γεγονότα κατάρρευσης της χιονοστιβάδας στην ίδια θέση. Πιο συγκεκριμένα στο D- διαστάσεων μοντέλο BTW, οι κατανομές νόμου δύναμης παρουσιάζονται προσεγγιστικά στην περίπτωση D= 2 ενώ αποδείχθηκε αναλυτικά στην ίδια εργασία ότι η ανώτερη κρίσιμη διάσταση (upper critical dimension) είναι η D= 4, με τις προηγούμενες παρατηρούμενες αποκλίσεις από την προσέγγιση μέσου πεδίου στην περίπτωση αυτή να οφείλονται σε λογαριθμικές διορθώσεις. Να σημειωθεί ότι για D= 4, η συμπεριφορά κλιμάκωσης των κυμάτων αλλά και των χιονοστιβάδων χαρακτηρίζεται από τους ίδιους εκθέτες και τις ίδιες συναρτήσεις κλιμάκωσης (Ktitarev et al., 2000).
22
1.3. Το αβελιανό μοντέλο του αμμόλοφου
Το μοντέλο των BTW έχει μια σημαντική αβελιανή ιδιότητα που απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό την ανάλυσή του. Για να παρουσιαστεί η ιδιότητα αυτή στην πλήρη γενίκευσή της, είναι προτιμότερο να δουλέψει κανείς σε ένα περισσότερο γενικό υπόβαθρο. Για να δοθεί έμφαση στην αβελιανή ιδιότητα, από το σημείο αυτό θα χρησιμοποιείται το περιγραφικό όνομα ASM (Abelian Sandpile Model) αντί του ιστορικού, πιο συμβατικού, "BTW model". Το ASM μπορεί να οριστεί ως εξής (Dhar, 2006):
Έστω ένα μοντέλο που μπορεί να περιγραφεί σε ένα γράφημα με Ν θέσεις όπου κάθε θέση περιγράφεται από έναν ακέραιο 1, 2, 3,..., Ν (Σχ. 4). Σε κάθε θέση i, το ύψος του αμμόλοφου δίνεται από έναν ακέραιο zi. Σε κάθε χρονικό βήμα, επιλέγεται με τυχαίο τρόπο μια θέση από τη δοθείσα διάταξη, με την πιθανότητα να επιλεχθεί η θέση i, να ισούται με pi. Το ύψος του αμμόλοφου αυξάνεται κατά μια μονάδα από zi σε zi+1.
Επίσης, δίνεται ένας πίνακας Δ με ακέραια Ν×Ν στοιχεία και ένα σύνολο Ν ακεραίων
zi c, , i=1 μέχρι Ν. Αν σε κάποια θέση i, zi zi c, , τότε η θέση είναι ασταθής και ο αμμόλοφος καταρρέει. Όταν συμβαίνει κατάρρευση στη θέση i, τότε όλα τα ύψη zj αναπροσαρμόζονται σύμφωνα με τη συνθήκη:αν zi zi c, τότε zj zj ij, για κάθε j.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορεί να επιλέξει κανείς zi c, ii. Σε αυτή την περίπτωση, οι επιτρεπόμενες τιμές του zi σε μια σταθερή διάταξη είναι οι 1, 2, ..., Δii .
23
Σχήμα 4. Μια γραφική αναπαράσταση του γενικού ASM. Κάθε κομβικό σημείο ορίζει μια θέση.
Το μέγιστο σταθερό ύψος αμμόλοφου zi,c στη θέση i ισούται με τον αριθμό των βελών που απομακρύνονται από αυτή. Κατά την κατάρρευση σε κάθε θέση, ένα σωματίδιο μεταφέρεται
κατά μήκος κάθε δεσμού μακριά από τη θέση αυτή (Dhar D, Physica A 369 2006, Copyright 2006 by Elsevier B.V.).
Προφανώς ο πίνακας Δ πρέπει να ικανοποιεί κάποιες συνθήκες για να εξασφαλιστεί ότι το μοντέλο θα συμπεριφέρεται σωστά.
1. ii 0 για κάθε i (διαφορετικά οι καταρρεύσεις δε θα τερματίζουν ποτέ).
2. Για κάθε ζεύγος τιμών i j, ij 0. (Αυτή η συνθήκη απαιτείται για την επαλήθευση της αβελιανής ιδιότητας διότι η "ταυτόχρονη" αφαίρεση zi από την κρίσιμη θέση και από κάποια άλλη, θα μπορούσε να καταστήσει τη δεύτερη μη- κρίσιμη ενώ ήταν αρχικά.)
3.
j ij 0 για κάθε i. (Αυτή η συνθήκη δηλώνει ότι δεν παράγεται άμμος κατά τη διαδικασία της κατάρρευσης.)24
4. Υπάρχει τουλάχιστον μια θέση i τέτοια ώστε
j ij 0. Τέτοιες θέσεις καλούνται θέσεις απώλειας ενέργειας και είναι αναγκαίες για τον τερματισμό των χιονοστιβάδων αλλιώς αναπτύσσονται κύματα στο γράφημα. Επιπλέον, ο πίνακας Δ είναι τέτοιος ώστε στο σχετικό γράφημα (Σχ. 4), υπάρχει μια διαδρομή κατευθυνόμενων δεσμών από κάποια θέση σε μια εκ των θέσεων απώλειας ενέργειας. Αυτή η συνθήκη εξασφαλίζει ότι όλες οι χιονοστιβάδες τερματίζουν σε πεπερασμένο χρόνο.25
1.4. Η αβελιανή ιδιότητα
Έστω β μια ευσταθής διάταξη και âi τελεστής τέτοιος ώστε η ευσταθής διάταξη β'= âi β να είναι αυτή που προκύπτει μετά την προσθήκη άμμου στη θέση i και την αποκατάσταση ηρεμίας του συστήματος. Η μαθηματική συμπεριφορά του ASM βασίζεται σε μια απλή ιδιότητά του (Dhar, 1990): δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία εκτελούνται οι προσθήκες άμμου και οι καταρρεύσεις στις διάφορες θέσεις.
Έτσι, για τον τελεστή âi θα ισχύει
âi âj= âj âi (1.8)
για κάθε i, j.
Για να αποδειχθεί το παραπάνω ας σημειωθεί ότι αν υπάρχει μια διάταξη με δυο ή περισσότερες ασταθείς θέσεις, τότε αυτές οι θέσεις μπορεί να ηρεμήσουν με οποιαδήποτε σειρά και η επακόλουθη διάταξη είναι ανεξάρτητη της σειράς της κατάρρευσης. Έστω δυο ασταθείς θέσεις i και j. Αν η κατάρρευση συμβεί πρώτα στη θέση i, το μόνο αποτέλεσμα θα είναι η αύξηση της τιμής του zj (από τη συνθήκη 2 της παραγράφου 1. 3) και η θέση j θα παραμένει ασταθής. Αν συμβεί κατάρρευση και στη θέση j, το ύψος σε κάποια θέση k, σαν αποτέλεσμα των δυο αυτών καταρρεύσεων, θα υποστεί μια μεταβολή κατά ik jk. Δηλαδή, αν συμβεί κατάρρευση πρώτα στη j θέση και μετά στην i, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο.
Επίσης, η διαδικασία της κατάρρευσης σε μια ασταθή θέση i, συνεπάγεται την προσθήκη ενός σωματιδίου σε κάποια θέση j. Να σημειωθεί ότι η κατάρρευση στη θέση i θα συμβεί ακόμα και αν πραγματοποιηθεί πρώτα η προσθήκη του σωματιδίου στη θέση j. Με μια συνεχή χρήση της ιδιότητας ότι οι χαρακτηριστικές διαδικασίες της προσθήκης και της κατάρρευσης εναλλάσσονται, προκύπτει η αβελιανή ιδιότητα. (Για αυστηρή απόδειξη βλ. Meester et al. 2001).
26
Ενώ αυτή η ιδιότητα φαίνεται να είναι γενική, πρέπει να τονιστεί ότι δεν ισχύει στα περισσότερα από τα άλλα μοντέλα που παρουσιάζουν αυτοοργανωμένη κρισιμότητα, όπως το μοντέλο για τις πυρκαγιές στα δάση (forest- fire model) (Drossel and Schwabel, 1992) ή ακόμα και άλλα μοντέλα αμμόλοφου όπως μοντέλο κρίσιμης κλίσης στο οποίο η συνθήκη κατάρρευσης σε μια θέση i εξαρτάται από το ύψος στις άλλες θέσεις ή το μοντέλο Zhang (Zhang, 1989) στο οποίο η ποσότητα άμμου που μεταφέρεται εξαρτάται από την ποσότητα κατά την οποία το τοπικό ύψος υπερβαίνει την κρίσιμη τιμή.
27
2. Ένα μοντέλο δύο καταστάσεων αυτοοργανωμένης κρισιμότητας- Το μοντέλο του Manna
2.1. Σύνοψη
Θα μελετήσουμε ένα μοντέλο αυτοοργανωμένης κρισιμότητας, παρόμοιο με το μοντέλο του αμμόλοφου, όμως στην εκδοχή των δύο καταστάσεων. Αντί της κρίσιμης τιμής του ύψους μιας στήλης κόκκων άμμου που χαρακτηρίζει το μοντέλο του αμμόλοφου, εισάγεται η έννοια της αλληλεπίδρασης ανάμεσα στα σωματίδια που βρίσκονται στην ίδια θέση. Στην περίπτωση σύγκρουσης μεταξύ σωματιδίων, αυτά ανακατανέμονται με τυχαίο τρόπο στις πιο κοντινές γειτονικές θέσεις, επομένως πρόκειται για ένα μοντέλο ενδογενώς μη- αβελιανό. Οι κρίσιμοι εκθέτες που υπολογίζονται από αριθμητικές προσομοιώσεις διαφέρουν αισθητά από τις αντίστοιχες τιμές για το μοντέλο του αμμόλοφου των BTW (βλ.
Παράγραφο 1. 2).
28
2.2. Περιγραφή του μοντέλου του Manna
Όπως αναφέραμε η μελέτη του φαινομένου της αυτοοργανωμένης κρισιμότητας, όπως αυτό εισήχθη από τους BTW ασχολείται με ένα σύστημα που κατά τη χρονική του εξέλιξη φτάνει σε μια κρίσιμη κατάσταση η οποία μοιάζει να στερείται κάθε χαρακτηριστικό διάρκειας ή κλίμακας χρόνου και υπακούει σε κατανομές νόμου δύναμης. Η κρίσιμη κατάσταση μοιάζει να είναι ανεξάρτητη της αυθαίρετης αρχικής διάταξης από την οποία ξεκίνησε το σύστημα και σε αντίθεση με τα συνηθισμένα κρίσιμα φαινόμενα δεν απαιτείται κάποιος συντονισμός παραμέτρων για να φτάσουμε σε αυτή την κατάσταση. Πειραματικές εργασίες σχετικές με την αυτοοργανωμένη κρισιμότητα έχουν αναφερθεί σε αμμόλοφους (Jaeger, Lie, and Nagel, 1989) πτώση σταγόνων νερού σε τζάμι (Janosi and Horvath, 1989) και σε αναδιάταξη μαγνητικών περιοχών σε λεπτά φιλμ που χρησιμοποιούνται σε μαγνητοοπτικές διατάξεις (Babcock and Westerfeld, 1990).
Πρέπει να σημειωθεί ότι το κριτήριο απουσίας μιας παραμέτρου συντονισμού παρουσιάζεται σε πολλά άλλα φαινόμενα κλασματικής ανάπτυξης (Dhar and Majumdar, 1990). Έχει μάλιστα προταθεί ότι η τοπική διατήρηση του αριθμού σωματιδίων δεν αποτελεί απαραίτητο κριτήριο για την επίτευξη κατανομών νόμου δύναμης (Manna et al. 1990).
Στην παρούσα εργασία μελετάμε την εκδοχή του μοντέλου του αμμόλοφου BTW στην περίπτωση δυο καταστάσεων, όπως αυτό είναι γνωστό σαν το μοντέλο του Manna (Manna, 1991). Έστω ένα τετραγωνικό πλέγμα στο οποίο οι θέσεις μπορεί να είναι κατειλημμένες με σωματίδια ή κενές. Στην ευσταθή κατάσταση η κάθε θέση δεν μπορεί να έχει παραπάνω από ένα σωματίδιο. Ένα σωματίδιο προστίθεται σε μια από τις τυχαία επιλεγμένες θέσεις Αν είναι κενή, καταλαμβάνεται από αυτό το σωματίδιο και ρίχνεται νέο σωματίδιο στο πλέγμα.
Αν υπάρχει ήδη σωματίδιο σ’ εκείνη τη θέση, βγαίνουν όλα από τη θέση αυτή και ανακατανέμονται με τυχαίο τρόπο στις γειτονικές θέσεις. Μπορεί όμως κάποια από
29
τις γειτονικές θέσεις να είναι ήδη κατειλημμένη, τότε τα σωματίδια ανακατανέμονται ξανά και με αυτό τον τρόπο προκαλείται μια διαδοχική ακολουθία (cascade) παρόμοια της χιονοστιβάδας. Η ακολουθία σταματάει όταν δεν παρουσιάζεται αριθμός κατάληψης μεγαλύτερος από τη μονάδα. Τα όρια του πλέγματος είναι ελεύθερα, δηλαδή τα σωματίδια μπορεί να εγκαταλείψουν το πλέγμα. Γι' αυτή την προσομοίωση ο Manna χρησιμοποίησε (Manna, 1991) τον αλγόριθμο ανάπτυξης συσσωματώματος για το μοντέλο του αμμόλοφου (cluster growth) (Grassberger et al. 1990). Στη συγκεκριμένη περίπτωση h είναι ο αριθμός κατάληψης σε μια θέση. Το σύστημα αναπροσαρμόζεται παράλληλα με τα παρακάτω βήματα που συνιστούν ένα χρονικό βήμα:
α) σε κάθε στιγμή όλες οι θέσεις σύγκρουσης εντοπίζονται β) όλες αυτές οι θέσεις αδειάζουν
γ) για κάθε σωματίδιο σε κάθε θέση σύγκρουσης επιλέγεται μια γειτονική θέση τυχαία και ο αριθμός σωματιδίων της αυξάνεται κατά μια μονάδα
δ) οι περιοχές σύγκρουσης για το επόμενο χρονικό βήμα εντοπίζονται από αυτές τις καινούριες θέσεις
Το μέγεθος της χιονοστιβάδας s μετράται από το συνολικό αριθμό συγκρούσεων σε μια διαδοχική ακολουθία. Σε μια θέση μπορεί να συμβούν πολλές συγκρούσεις σε διαφορετικούς χρόνους αλλά στην ίδια ακολουθία. Ο χρόνος ζωής μιας ακολουθίας μετράται από τον αριθμό των σαρωτικών κινήσεων (sweeps) που απαιτούνται για να εφησυχάσει το σύστημα. Αν αρχικά το πλέγμα είναι άδειο, η επιφανειακή πυκνότητα σωματιδίων d (density) αυξάνει και φτάνει σε μια σταθερή τιμή dc. Παρόλα αυτά κάποιος μπορεί να ξεκινήσει με ένα πλήρως κατειλημμένο πλέγμα και απλά να ρίξει ένα σωματίδιο σε κάθε θέση. Μια τεράστια διαδοχική ακολουθία θα επακολουθήσει και το σύστημα θα σταθεροποιηθεί όταν η πυκνότητα σωματιδίων γίνει ίση με dc.
30
Κάνοντας τη σύγκριση με το μοντέλο του αμμόλοφου BTW, παρατηρούμε ότι στο μοντέλο του Manna zc 2. Οι συγκρούσεις είναι ανάλογες των καταρρεύσεων των στηλών κάθε θέσης. Σε μια σύγκρουση τα σωματίδια κατανέμονται τυχαία σε γειτονικές θέσεις σε σύγκριση με το μοντέλο του αμμόλοφου που κάθε γειτονική θέση αυξάνει κατά μια μονάδα για κάθε κατάρρευση. Επομένως, η χρονική εξέλιξη της διαδοχικής ακολουθίας είναι τυχαία συγκριτικά με την ντετερμινιστική εξέλιξη της χιονοστιβάδας του αμμόλοφου BTW.
Μελετώντας αυτό το μοντέλο αριθμητικά, στην παρούσα εργασία πάντα ξεκινάμε με ένα άδειο πλέγμα και συνεχίζουμε ρίχνοντας σωματίδια το ένα μετά το άλλο σε τυχαίες θέσεις. Όταν υπάρχει σύγκρουση, επιλέγεται με την ίδια πιθανότητα μια γειτονική θέση για κάθε σωματίδιο και το σωματίδιο μεταφέρεται σε εκείνη τη θέση. Αρχικά, η επιφανειακή πυκνότητα σωματιδίων αυξάνει με το χρόνο. Παρόλα αυτά, μόλις πάρει την τιμή dSOC, ο ρυθμός εισερχόμενης ροής σωματιδίων γίνεται ίσος με το ρυθμό εκροής κατά μέσο όρο. Σε αυτή την κατάσταση, η προσθήκη ενός και μόνο σωματιδίου προκαλεί διαδοχικές ακολουθίες όχι μόνο σε όλες τις κλίμακες μήκους αλλά τόσο στο μέγεθος όσο και στη διάρκεια ζωής. Βέβαια, οι κλίμακες αυτές περιορίζονται από τις διαστάσεις του πλέγματος.
Αρχικά μετράμε τη μεταβολή της οριακής πυκνότητας σε σχέση με το μέγεθος του πλέγματος. Όταν φτάσει στην κρίσιμη κατάσταση, μετράμε το μέσο όρο πυκνότητας σε σταθερά χρονικά διαστήματα σε πολλές διατάξεις. Παρατηρείται ότι υπάρχει μια γραμμική συσχέτιση όλων των σημείων συναρτήσει του 1/ L (L:
μέγεθος πλέγματος) με μια ισχνή καμπύλωση για μικρές τιμές του L (Manna, 1991). Αυτό οφείλεται στην επίδραση των ορίων του πλέγματος καθώς ο μέσος όρος πυκνότητας στα όρια είναι μικρότερος από την περιοχή στο εσωτερικό του
31
πλέγματος. Όταν L (Σχ. 5) η πυκνότητα παίρνει την τιμή dc 0.6832 0.0010
για το άπειρο σύστημα (βλ. Παράρτημα 1).
Σχήμα 5. Διάγραμμα πυκνότητας σωματιδίων dSOC συναρτήσει 1/ L.
32
2.3. Πραγματοποίηση του μοντέλου του Manna
Για την αριθμητική προσομοίωση του μοντέλου του Manna αρχικά κατασκευάσαμε ένα πρόγραμμα που θα το περιγράφει χρησιμοποιώντας τη γλώσσα προγραμματισμού Fortran. Στο πρόγραμμα αυτό αναπαριστούμε το τετραγωνικό πλέγμα του μοντέλου του Manna μεγέθους L με ένα πίνακα h(i, j).
Ξεκινάμε μηδενίζοντας όλα τα στοιχεία του πίνακα και ρίχνουμε σωματίδια το ένα μετά το άλλο στο πλέγμα, εξετάζοντας τον αριθμό κατάληψης μιας τυχαίας θέσης.
Αν είναι 0 αυτομάτως γίνεται 1 ενώ αν είναι 1 (δηλαδή έχουμε σύγκρουση των δυο σωματιδίων στην ήδη κατειλημμένη θέση) επιλέγουμε με την ίδια πιθανότητα κάποια γειτονική θέση στην οποία μεταφέρεται το σωματίδιο που έχουμε ρίξει αυξάνοντας τον αντίστοιχο αριθμό κατάληψης κατά μια μονάδα όπως επίσης και αυτό που εξάγεται από τη συγκεκριμένη θέση. Η διαδικασία συνεχίζεται όπως περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Στο πρόγραμμά μας χρησιμοποιούμε ένα αρχείο "rand.dat" που εμφανίζεται στη γραμμή 9 (βλ. Παράρτημα 1) που περιέχει έναν ακέραιο (κατά προτίμηση περιττό αριθμό) ο οποίος λειτουργεί σαν το σπόρο γεννήτριας τυχαίων αριθμών, ενώ το αρχείο "L.dat" είναι το αρχείο που δηλώνουμε το μέγεθος του πλέγματος το οποίο επεξεργαζόμαστε.
Στόχος μας είναι με την προσομοίωση αυτή να αποκτήσουμε τα δεδομένα που απαιτούνται για να απεικονίσουμε την αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας D(s) συναρτήσει του μεγέθους χιονοστιβάδας s. Για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχουμε:
( )
P s dsAs ds (2.1)
Για την αθροιστική συνάρτηση κατανομής D(s) ολοκληρώνοντας την Εξ. (2.1) θα έχουμε:
( ) 1
D s s (2.2)
Ο κρίσιμος εκθέτης τ θα υπολογιστεί παρακάτω.
33
Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας D(s) (Σχ. 6) συναρτήσει του μεγέθους s (βλ. Παράρτημα 1) σχεδιάστηκε σε διπλή λογαριθμική κλίμακα για διαφορετικά μεγέθη πλεγμάτων και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Σχήμα 6. Διπλό λογαριθμικό διάγραμμα αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας D(s) συναρτήσει του μεγέθους χιονοστιβάδας s με τις καμπύλες ξεκινώντας από αριστερά προς δεξιά
να αντιστοιχούν στα L=16, 32, 64, 128, 256, 512 και 1024.
Παρατηρούμε ότι για κάθε καμπύλη η μεσαία περιοχή προσαρμόζεται σε ευθεία γραμμή, αλλά αυτό δε συμβαίνει για τα πολύ μικρά μεγέθη. Αυτά τα τμήματα ευθείας ταυτίζονται στην ίδια γραμμή (Σχ. 7) για τις διάφορες καμπύλες.
Το μεγαλύτερο τμήμα ευθείας είναι προφανώς για το μεγαλύτερο μέγεθος
34
πλέγματος, L= 1024. Υπολογίζοντας την κλίση τμήματος της ευθείας, έχουμε την τιμή της ποσότητας (τ-1) οπότε: 1.28 0.02 .
Σχήμα 7. Διπλό λογαριθμικό διάγραμμα αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας D(s) συναρτήσει του μεγέθους χιονοστιβάδας s (με την προσαρμοσμένη ευθεία) με τις καμπύλες ξεκινώντας από
αριστερά προς δεξιά να αντιστοιχούν στα L= 16, 32, 64, 128, 256, 512 και 1024. Η ευθεία l(x) αντιστοιχεί σε κλίση τ-1=0.28±0.02.
35
3. Ο φυσικός χρόνος χ
3.1. Εισαγωγή
Στην επιστήμη είναι ο χρόνος και όχι ο χώρος το στοιχείο που αποτελεί μεγαλύτερη πρόκληση (Varotsos, 2006). Ο συμβατικός χρόνος παρουσιάζεται σαν μια μονοδιάστατη συνέχεια των πραγματικών αριθμών R. Η συνέχεια αυτή όμως δεν είναι απόρροια κάποιας θεμελιώδους αρχής. Το 2001 προτάθηκε ένα νέο πεδίο χρόνου (Varotsos et al, 2001, 2011a), ο φυσικός χρόνος χ (ο συμβολισμός χ προκύπτει από τη λέξη χρόνος) ο οποίος δεν είναι συνεχής. Σε μια χρονοσειρά αποτελούμενη από Ν γεγονότα, ο φυσικός χρόνος ορίζεται ως
k k N/
(3.1)
συνιστά μια ένδειξη για την ύπαρξη του k-οστού γεγονότος και είναι μικρότερος ή ίσος της μονάδας. Στην ανάλυση στο φυσικό χρόνο υπολογίζεται η εξέλιξη του ζεύγους των ποσοτήτων (χk ,Qk) όπου Qk δηλώνει ποσότητα ανάλογη της ενέργειας.
Αν θέλουμε για παράδειγμα να παρουσιάσουμε την ανάλυση ηλεκτρικών σημάτων (βλ. Σχ. 8), όπως η περίπτωση μιας SES(Seismic Electric Signals) δραστηριότητας (Varotsos and Alexopoulos, 1984 a, b, Varostos and Lazaridou, 1991, Varotsos et al, 1993, 2003, Varotsos, 2005) θεωρούμε την ποσότητα Qk ανάλογη της διάρκειας του k-οστού παλμού.
36
Σχήμα 8. Παρουσίαση σειράς ηλεκτρικών παλμών σε φυσικό (κάτω) και συμβατικό χρόνο(πάνω) (Varotsos et al., 2001).
Υπολογίζοντας την εξέλιξη των (χk ,Qk) μπορούμε να ορίσουμε τη συνεχή συνάρτηση F (δεν πρέπει να συγχέεται με εκείνη του μετασχηματισμού Fourier):
1
exp
N k k
F Q i k
N
(3.2)όπου ω=2 π φ (φ: φυσική συχνότητα). Κανονικοποιούμε τη F
διαιρώντας τη με F 0 : 1
1 1
exp
exp
N
k N
k N k
k k
k
Q i k N k
p i
Q N
(3.3)όπου
1 N
k k n
k
p Q Q
. Έτσι, η ποσότητα pk εκφράζει πιθανότητα αφού1
1
N k k
p
. Απότην Εξ. (3.3) μπορούμε να υπολογίσουμε το κανονικοποιημένο φάσμα ισχύος
:
37
2
(3.4)
Για φυσικές συχνότητες φ< 0.5, το ή το αντιστοιχεί σε ένα είδος χαρακτηριστικής συνάρτησης για την κατανομή πιθανότητας pk στο πλαίσιο της θεωρίας πιθανοτήτων (Varotsos et al., 2011a).